Як визначити певний інтеграл шляхом трапецій? Як обчислити певний інтеграл за формулою трапецій та методом Сімпсона

Єкатеринбург

Вступ

Завдання чисельного інтегрування функцій полягає у обчисленні наближеного значення певного інтегралу:

, (1)

на основі ряду значень підінтегральної функції. (f(x) | x = x k = f (x k) = y k).

Формули чисельного обчислення одноразового інтеграла називаються квадратурними формулами, подвійного і кратного – кубатурними.

Звичайний прийом побудови квадратурних формул полягає у заміні підінтегральної функції f(x) на відрізку інтерполюючою або апроксимуючою функцією g(x) порівняно простого виглядунаприклад, поліномом, з подальшим аналітичним інтегруванням. Це призводить до уявлення

У зневазі залишковим членом R[f] отримуємо наближену формулу

Позначимо через y i = f(x i) значення підінтегральної функції у різних точках

на . Квадратурні формули є формулами замкнутого типу, якщо x 0 = a x n = b.

Як наближену функцію g(x) розглянемо інтерполяційний поліном на

у формі полінома Лагранжа:

, при цьому

де - залишковий член інтерполяційної формули Лагранжа

Формула (1) дає

, (2)

. (3)

У формулі (2) величини (

) називаються вузлами, () - терезами, - похибкою квадратурної формули. Якщо ваги () квадратурної формули обчислені за формулою (3), відповідну квадратурну формулу називають квадратурною формулою інтерполяційного типу.

Підведемо підсумок.

) квадратурної формули (2) при заданому розташуванні вузлів не залежать від виду підінтегральної функції.

2. У квадратурних формулах інтерполяційного типу залишковий член R n [f] може бути представлений як значення конкретного диференціального оператора на функції f(x). Для

3. Для поліномів порядку n включно квадратурна формула (2) точна, тобто.

. Найвища міра полінома, для якого квадратурна формула точна, називається ступенем квадратурної формули.

Розглянемо окремі випадки формул (2) і (3): метод прямокутників, трапецій, парабол (метод Сімпсона). Назви цих методів зумовлені геометричною інтерпретацією відповідних формул.

Метод прямокутників

Певний інтеграл функції від функції f(x):

чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, Обмеженої кривими у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).

Рис. 1 Площа під кривою y=f(x) Для обчислення цієї площі весь інтервал інтегрування розбивається на n рівних підінтервалів довжини h=(b-a)/n. Площа під підінтегральною кривою приблизно замінюється на суму площ прямокутників, як це показано на малюнку (2).

Рис. 2 Площа під кривою y=f(x) апроксимується сумою площ прямокутників
Сума площ усіх прямокутників обчислюється за формулою (4)

Метод, поданий формулою (4), називається методом лівих прямокутників, а метод, поданий формулою (5) – методом правих прямокутників:

(5) Похибка обчислення інтеграла визначається величиною кроку інтегрування h. Чим менше крокінтегрування, тим точніше інтегральна сума S апроксимує значення інтеграла I. Тому будується алгоритм для обчислення інтеграла із заданою точністю. Вважається, що інтегральна сума S являє значення інтеграла I c точністю eps, якщо різниця по абсолютній величині між інтегральними сумами і обчисленими з кроком h і h/2 відповідно, не перевищує eps.

Для знаходження певного інтеграла методом середніх прямокутників площа, обмежена прямими a і b, розбивається на n прямокутників з однаковими основами h, висотами прямокутників будуть точки перетину функції f(x) із серединами прямокутників (h/2). Інтеграл буде чисельно дорівнює суміплощ n прямокутників (рисунок 3).

Рис. 3 Площа під кривою y=f(x) апроксимується сумою площ прямокутників

n – кількість розбиття відрізка.

Метод трапецій

Для знаходження певного інтеграла методом трапецій площа криволінійної трапеції також розбивається на n прямокутних трапеційз висотами h і основами у 1, у 2, у 3, .. у n, де n - номер прямокутної трапеції. Інтеграл буде чисельно дорівнює сумі площ прямокутних трапецій (рис. 4).

Рис. 4 Площа під кривою y=f(x) апроксимується сумою площ прямокутних трапецій.

n – кількість розбиття

(6)

Похибка формули трапецій оцінюється числом

Похибка формули трапецій із зростанням

зменшується швидше, ніж похибка формули прямокутників. Отже, формула трапецій дозволяє отримати більшу точність, ніж метод прямокутників.

Формула Сімпсона

Якщо для кожної пари відрізків

побудувати многочлен другого ступеня, потім проінтегрувати його на відрізку і скористатися властивістю адитивності інтеграла, то отримаємо формулу Сімпсона. У методі Сімпсона для обчислення певного інтеграла весь інтервал інтегрування розбивається на підінтервали рівної довжини h=(b-a)/n. Число відрізків розбиття є парним числом. Потім кожної парі сусідніх подинтервалов подинтегральная функція f(x) замінюється многочленом Лагранжа другого ступеня (рисунок 5).

Рис. 5 Функція y=f(x) на відрізку замінюється многочленом 2-го порядку Розглянемо підінтегральну функцію відрізку . Замінимо цю підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом Лагранжа другого ступеня, що збігається з y= у точках:

Сьогодні ми познайомимося із ще одним методом чисельного інтегрування, методом трапецій. З його допомогою ми обчислюватимемо певні інтеграли із заданим ступенем точності. У статті опишемо суть методу трапецій, розберемо, як виводиться формула, порівняємо метод трапеції з методом прямокутника, запишемо оцінку абсолютної похибки методу. Кожен із розділів ми проілюструємо прикладами для глибшого розуміння матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Припустимо, що нам потрібно приблизно обчислити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x , підінтегральна функція якого y = f (x) безперервна на відрізку [ a ; b]. Для цього розділимо відрізок [a; b ] на кілька рівних інтервалівдовжини h точками a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Знайдемо крок розбиття: h = b - a n. Визначимо вузли з рівності x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . , n.

На елементарних відрізках розглянемо підінтегральну функцію x i - 1; x i, i = 1, 2,. . , n.

При нескінченному збільшенні n зведемо всі випадки до чотирьох найпростіших варіантів:

Виділимо відрізки x i - 1; x i, i = 1, 2,. . . , n. Замінимо на кожному з графіків функцію y = f(x) відрізком прямої, який проходить через точки з координатами xi - 1; f x i - 1 і x i; f x i. Зазначимо їх на малюнках синім кольором.

Візьмемо вираз f (xi - 1) + f (xi) 2 · h як наближеного значення інтеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Тобто. приймемо ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (xi - 1) + f (xi) 2 · h .

Давайте подивимося, чому метод чисельного інтегрування, який ми вивчаємо, зветься методом трапецій. Для цього нам потрібно з'ясувати, що з погляду геометрії означає записану наближену рівність.

Для того щоб обчислити площу трапеції, необхідно помножити півсуми її підстав на висоту. У першому випадку площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює трапеції з основами f (xi - 1), f (xi) висотою h . У четвертому з наведених випадків заданий інтеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x приблизно дорівнює площі трапеції з основами - f (xi - 1) , - f (xi) і висотою h , яку необхідно взяти зі знаком «-». Для того, щоб обчислити наближене значення певного інтеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x у другому та третьому з розглянутих випадків, нам необхідно знайти різницю площ червоної та синьої областей, які ми відзначили штрихуванням на малюнку нижче.

Підведемо підсумки. Суть методу трапецій полягає в наступному: ми можемо уявити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x у вигляді суми інтегралів виду ∫ x i - 1 x i f (x) d x на кожному елементарному відрізку та в наступній наближеній заміні ∫ x i - 1 x i f (x) ≈ f(xi - 1) + f(xi) 2 · h .

Формула методу трапецій

Згадаймо п'яту властивість певного інтеграла: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Для того, щоб отримати формулу методу трапецій, необхідно замість інтегралів ∫ x i - 1 x i f (x) d x підставити їх наближені значення: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 · h = = h 2 · (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2 ) + f (x 3) + .. . x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Визначення 1

Формула методу трапецій:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Оцінка абсолютної похибки методу трапецій

Оцінимо абсолютну похибку методу трапецій наступним чином:

Визначення 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · b - a 3 12 n 2

Графічна ілюстрація методу трапецій наведена малюнку:

Приклади обчислень

Розберемо приклади використання методу трапецій наближеного обчислення певних інтегралів. Особливу увагуприділимо двом різновидам завдань:

обчислення певного інтеграла методом трапецій даного числа розбиття відрізка n;
знаходження наближеного значення певного інтеграла з обумовленою точністю.

При заданому n усі проміжні обчислення необхідно проводити з досить високим ступенем точності. Точність обчислень має бути вище, ніж більше n .

Якщо ми маємо задану точність обчислення певного інтеграла, всі проміжні обчислення необхідно проводити на два і більше порядків точніше. Наприклад, якщо задана точність до 0 01 то проміжні обчислення ми проводимо з точністю до 0 0001 або 0 00001 . При великих n проміжні обчислення необхідно проводити ще більш високої точністю.

Розглянемо наведене вище правило з прикладу. Для цього порівняємо значення певного інтеграла, обчисленого за формулою Ньютона-Лейбніца та отриманого за методом трапецій.

Отже, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 r c t g (x) 0 5 = 7 r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Приклад 1

Обчислимо за методом трапецій певний інтеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n 10 .

Рішення

Формула методу трапецій має вигляд ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Для того, щоб застосувати формулу, нам необхідно обчислити крок h за формулою h = b - a n, Визначити вузли x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n обчислити значення підінтегральної функції f (x) = 7 x 2 + 1 .

Крок розбиття обчислюється так: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Для обчислення підінтегральної функції у вузлах x i = a + i · h, i = 0, 1,. . . n будемо брати чотири знаки після коми:

i = 0: x 0 = 0 + 0 · 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f(x1) = f(0.5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Внесемо результати обчислень до таблиці:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Підставимо отримані значення у формулу методу трапецій: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5, 6 + 3, 5 + 2, 1538 + 1, 4 + 0, 9655 + 0, 7 + 0, 5283 + 0, 4117 + 0, 3294 + 0, 2692 = 9,

Порівняємо наші результати з результатами, обчисленими за формулою Ньютона-Лейбніца. Отримані значення збігаються до сотих.

Відповідь:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9, 6117

Приклад 2

Обчислимо методом трапецій значення певного інтеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x з точністю до 0,01 .

Рішення

Відповідно до умови задачі a = 1; b = 2, f(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δ n ≤ 0,01.

Знайдемо n , яка дорівнює кількості точок розбиття відрізка інтегрування за допомогою нерівності для оцінки абсолютної похибки n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Зробимо ми це в такий спосіб: ми знайдемо значення n , котрим буде виконуватися нерівність m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . За даними n формула трапецій дасть нам наближене значення певного інтеграла із заданою точністю.

Для початку знайдемо найбільше значеннямодуля другої похідної функції на відрізку [1; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Друга похідна функція є квадратичною параболою f"" (x) = x 2 . З її властивостей ми знаємо, що вона позитивна та зростає на відрізку [1; 2]. У зв'язку з цим m a x x ∈ [a; b ] f " " (x) = f " " (2) = 2 2 = 4 .

У наведеному прикладі процес знаходження m a x x ∈ [a; b ] f " " (x) виявився досить простим. У складних випадкахдля проведення обчислень можна звернутися до найбільших та найменших значень функції. Після розгляду даного прикладуми наведемо альтернативний методзнаходження m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x).

Підставимо отримане значення в нерівність m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 · (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

Кількість елементарних інтервалів, на які розбивається відрізок інтегрування n є натуральним числом. Для поведінки обчислень візьмемо n рівну шести. Таке значення n дозволить нам досягти заданої точності методу трапецій за мінімум розрахунків.

Обчислимо крок: h = b - a n = 2 - 16 = 16.

Знайдемо вузли x i = a + i · h, i = 1, 0,. . . , n , визначимо значення підінтегральної функції цих вузлах:

i = 0: x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266 . . . i = 6: x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833

Результати обчислень запишемо у вигляді таблиці:

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Підставимо отримані результати у формулу трапецій:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054

Для порівняння обчислимо вихідний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Як бачимо, отриманої точності обчислень ми досягли.

Відповідь: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1 , 0054

Для підінтегральних функцій складного виглядузнаходження числа n з нерівності з метою оцінки абсолютної похибки який завжди просто. У цьому випадку буде доречним такий метод.

Позначимо наближене значення певного інтеграла, яке було отримано методом трапецій для n вузлів, як I n . Виберемо довільне число n. За формулою методу трапецій обчислимо вихідний інтеграл при одинарному (n = 10) та подвоєному (n = 20) числі вузлів та знайдемо абсолютну величину різниці двох отриманих наближених значень I 20 - I 10 .

Якщо абсолютна величинарізниці двох отриманих наближених значень менше необхідної точності I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Якщо абсолютна величина різниці двох отриманих наближених значень більше необхідної точності, необхідно повторити дії з подвоєним кількістю вузлів (n = 40) .

Такий метод вимагає великого обсягу обчислень, тому розумно використовувати обчислювальну технікудля економії часу.

Вирішимо за допомогою наведеного вище алгоритму завдання. З метою економії часу опустимо проміжні обчислення методом трапецій.

Приклад 3

Необхідно обчислити певний інтеграл ∫ 0 2 x e x d x за методом трапецій з точністю до 0,001.

Рішення

Візьмемо n 10 і 20 . За формулою трапецій отримаємо I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8,4595380 = 0,0528474> 0,001, що вимагає продовження обчислень.

Візьмемо n рівне 40: I 40 = 8,3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0,013225>0,001, що також вимагає продовження обчислень.

Візьмемо n рівне 80: I 80 = 8 3901585 .

I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8,3934656 = 0,0033071>0,001, що вимагає проведення ще одного подвоєння числа вузлів.

Візьмемо n рівне 160: I 160 = 8,3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Отримати наближене значення вихідного інтеграла можна округлити I 160 = 8 , 3893317 до тисячних: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Для порівняння обчислимо вихідний певний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 3890561 . Необхідна точність досягнуто.

Відповідь: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389

Похибки

Проміжні обчислення для визначення значення певного інтеграла проводять здебільшого приблизно. Це означає, що зі збільшенням n починає накопичуватися обчислювальна похибка.

Порівняємо оцінки абсолютних похибокметоду трапецій та методу середніх прямокутників:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [a; b] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [a; b] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Метод прямокутників для заданого n за однакового обсягу обчислювальної роботи дає вдвічі меншу похибку. Це робить метод кращим у тих випадках, коли відомі значення функції в середніх відрізках елементарних відрізків.

У тих випадках, коли інтегровані функції задаються не аналітично, а як безліч значень у вузлах, ми можемо використовувати метод трапецій.

Якщо порівнювати точність методу трапецій та методу правих та лівих прямокутників, то перший метод перевершує другий у точності результату.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Чисельне інтегрування.

Формули чисельного інтегрування.

При вирішенні багатьох завдань, які у геометрії, техніці, економіці, доводиться обчислювати певні інтеграли.

Якщо для підінтегральної функції f(x) знайдено первісну F(x) , то інтеграл, як відомо, можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца:

(1)

Однак на практиці часто не буває можливості використовувати формулу (1), наприклад, у таких випадках:

якщо первісна функція F(x) не виражається в кінцевому вигляді через елементарні функції. Це стосується, наприклад, інтегралів:

якщо аналітичний вираз первісної функції F(x) є настільки складним, що застосування формули (1) стає скрутним;

якщо аналітичний вираз підінтегральної функції f(x) невідомо, а її значення задаються таблицею чи графіком.

У всіх випадках виникає необхідність розробки методів, дозволяють обчислити наближені значення інтегралів без застосування формули (1). В даний час відомо багато формул наближеного інтегрування, званих також квадратурними формулами (формули обчислення площ).

Формула прямокутників.Висновок цієї формули ґрунтується на заміні певного інтеграла інтегральною сумою. З аналізу відомо, що

де
- інтегральна сума для функції f(x) на відрізку [ a, b].

ξ - Внутрішня точка відрізка [ a, b].

Якщо відрізок [ a, b] розбити на n рівних частин:

а=х 0 х 1 , …, х п = b,

∆х i = = h.

Число hназивається крок квадратурної формули.За цієї умови отримуємо:

Якщо взяти як крапки ξ iліві кінці часткових відрізків:

f(ξ i ) = f(х i ) (i = 0, 1, …, n-1),

Позначимо f(х i ) = у i. Замінюючи інтеграл інтегральною сумою, отримаємо наближену рівність:

, (2)

зване формулою прямокутників (з лівими ординатами)

Якщо взяти як крапки ξ iправі кінці часткових відрізків:

f(ξ i ) = f(х i ) (i = 1, 2,…, n),

то отримаємо наближену рівність:

, (3)

зване формулою прямокутників (з правими ординатами).

Геометричний зміст формули прямокутників у тому, що криволінійна трапеція замінюється ступінчастою фігурою, складеної з прямокутників. Наближене значення інтеграла дорівнює площі ступінчастої фігури.

приклад.Обчислимо інтеграл , Розбивши інтервал інтегрування на 10 рівних частин ( n = 10 ). Знайдемо та запишемо в таблицю значення підінтегральної функції

у = у точках розподілу:

i	х i	у i =	i	х i	у i =

За формулою прямокутників із лівими ординатами отримаємо:

За формулою прямокутників з правими ординатами отримаємо:

Значення, отримане за формулою (1):

Ми, формули прямокутників дають грубі наближення.

Оскільки функція у =є спадною на відрізку , то формула прямокутників з лівими ординатами дозволяє отримати наближене значення інтеграла з надлишком, формула прямокутників з правими ординатами - з нестачею.

Абсолютну похибку rформул прямокутників (2) та (3) можна оцінити за формулою:

(4)

Ідея виведення квадратурних формул трапецій та Сімпсона:

підінтегральної функції f ( x ) поставити у відповідність близьку їй функцію g n ( x ) , яку можна проінтегрувати, і приблизно замінити шуканий інтеграл I інтегралом цієї функції.

Формула трапецій.Нехай потрібно обчислити інтеграл

Позначимо a = x 0 , b = x 1 .

Як апроксимуюча функція g ( x ) оберемо лінійну функціюі зробимо заміну підінтегральної функції f(x) за формулою лінійного інтерполювання

f(x) ≈у 0 +tу 0 ,

у 0 =f(x 0 ) ,у 1 =f(x 1 ) , у 0 =у 1 - у 0 .

В цьому випадку

, (5)

Відомо що t =

Звідси х = х 0 + thі dx =hdt.

При х = х 0 t = 0;

при х =х 1 t = 1 .

Переходячи до нової змінної t, Отримаємо:

(6)

оскільки  у 0 =у 1 –у 0

Формула (6) називається формулою трапецій.

Е е геометричний сенс полягає в тому, що на відрізку [ х 0 ;х 1 ] крива у=f(х)замінюється відрізком прямою (хордою), тобто криволінійна трапеція замінюється прямолінійною.

Значення інтеграла, обчислене за формулою (6), дорівнюватиме площі трапеції. На малюнку ця площа заштрихована.

Як показує обчислювальна практика, за недостатньо малої довжини відрізка інтегрування точність результатів, отриманих за допомогою формули (6), буває недостатньою.

Для більш точного результату надходять так:

Відрізок інтегрування [а;b] розбивають на прівних частин крапками: х 0 = а, х 1 х 2 ,…,х n = b. І апроксимують шматково-лінійною функцією g п (x) . Застосовуючи формулу (6) кожному з часткових відрізків інтегрування, отримують:

(7)

Склавши рівності, одержують формулу, звану узагальненою формулою трапецій:

(8)

де у i =f(х i ) (i = 0, 1, …, n).

Геометричний зміст цієї формули полягає в тому, що крива – графік функції у = f(х) -замінюється ламаною, вписаною в криву АВ. Площа криволінійної трапеції замінюється сумою площ прямолінійних трапецій. Як показує практика, формула (8) при велику кількість точок поділу дозволяє отримувати хороші результати.

приклад 1.Обчислимо за формулою трапецій (8) інтеграл , Розбивши відрізок інтегрування на десять рівних частин.

Скориставшись даними, занесеними до попередньої таблиці, отримаємо:

Порівняння отриманого результату зі значенням ln2  0,693147 показує, що похибка значення інтеграла, обчисленого за узагальненою формулою трапецій, значно менша за похибку, допущену при обчисленні цього ж інтеграла за формулою прямокутників.

Можна показати, що похибка результатів, одержуваних за узагальненою формулою трапецій, підраховується за формулою

(9)

де а<  < b,

а абсолютна похибка оцінюється так:

(10)

(11)

Формула Сімпсона (формула парабол)

Для обчислення інтегралу
розіб'ємо відрізок інтегрування на два рівні відрізки:

[х 0 х 1 ] і [х 1 х 2 ] (х 0 = а, х 2 =b)

та замінимо підінтегральну функцію за формулою квадратичного інтерполювання

(12)

де t = .

Перейдемо до нової змінної інтегрування, враховуючи, що

х = х 0 + ht, dx= hdt,

при х = х 0 t=0

при х = х 2 t=2

(13)

Формула (13) називається формулою Сімпсона чи формулою парабол.

Її геометричний зміст полягає в наступному: на відрізку [х 0 х 2 ] крива у= f(x) замінюється квадратною параболою – графіком інтерполяційного багаточлена. При обчисленні за формулою (13) значення інтеграла буде чисельно дорівнює значенню площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху дугою параболи, що проходить через точки: [ х 0 , f(х 0 )], [ х 1 , f(х 1 )], [ х 2 , f (х 2 )]

На малюнку суцільною лінією зображено графік функції f(x) пунктирний - графік багаточлена Р 2 (х).

Для більш точного результату достатньо розбити відрізок інтегрування [а;b] на парне число (2 n) частин і застосувати формулу (13) для кожної пари суміжних відрізків розбиття:

(14)

Підсумовуючи рівності (14), отримаємо узагальнену формулу Сімпсона (парабол):

приклад. Обчислимо наближене значення інтегралу за формулою Сімпсона. Розбивши відрізок інтегрування на десять рівних частин і використовуючи дані, що містяться в таблиці, отримаємо:

Отже,
.

Вище показали, що
.

Абсолютна похибка знайденого значення вбирається у 0,000005.

Порівняння наближених значень інтегралу , обчислених за різними формулами, показує, що найбільше точне значеннябуло отримано за узагальненою формулою Сімпсона та найменш точне - за формулою прямокутників.

Похибка r узагальненої формули Сімпсона можна обчислити за формулою

(16)

де а< ξ< b.

Для абсолютної похибки узагальненої формули Сімпсона можна отримати таку оцінку:

де
(17)

Порівняння точності квадратурних формул.

Вище було наведено оцінки абсолютної похибки квадратурних формул:

для формул прямокутників: | r |
;

для узагальненої формули трапеції: | r |
;

для узагальненої формули Сімпсона: | r |
,

де М i =
|f(i) (x)|.

Зіставлення цих оцінок дозволяє зробити такі висновки:

Т.к. похідна порядку n+1 від многочлена ступеня дорівнює нулю, то отримуємо точно значення інтеграла: за формулою трапецій, якщо підінтегральна функція лінійна,

за формулою парабол, Якщо підінтегральна функція - многочлен не вище третього ступеня.

Похибка обчислень за формулами прямокутників обернено пропорційна n; при використанні формули трапецій - n2; при використанні формули Сімпсона - n4.

Так, наприклад, при збільшенні числа часткових відрізків вдвічі похибка обчислень за формулою прямокутників зменшується приблизно вдвічі, за формулою трапецій в 4 рази, за формулою Сімпсона в 16 разів.

Для ілюстрації зроблених висновків звернемося до порівняння результатів обчислення інтегралу

за різними квадратурними формулами. Для оцінки похибок обчислимо похідні функції
.

На відрізку всі похідні монотонними функціями. Абсолютна величина кожної їх досягає свого найбільшого значення при x=0, тому М 1 =1, М 2 =2, М 4 =24.

Це дозволяє отримати при обчисленні відповідні оцінки похибок:

за формулою прямокутників r≤0,05;

за формулою трапецій r≤ 0,0017;

за формулою Сімпсона r≤ 0,000033.

Порівняємо отримані результати, отримані за різними квадратурними формулами зі значенням ln2 0,6931472:

за формулою прямокутників 0,71877;

за формулою трапецій 0,69377;

за формулою Сімпсона 0,69315

Видно, що оцінки похибки, як і слід було очікувати, виявилися дещо завищеними.

Отже, із розглянутих квадратурних формул найбільшу точність дає формула Сімпсона, найменшу – формула прямокутників.

Практичні прийоми оцінки похибки обчислень за квадратурними формулами.

Практичне застосування одержаних вище оцінок похибок квадратурних формул пов'язане зі знаходженням похідних другого або навіть четвертого порядку, що призводить до трудомістких обчислень у випадках, коли підінтегральна функція f(х)задається складним аналітичним виразом. Якщо ж функція f(х)задана таблицею та її аналітичний вираз невідомий, то безпосереднє використання цих оцінок стає неможливим. З такими випадками зазвичай і доводиться мати справу під час вирішення практичних обчислювальних завдань.

Якщо таблиця, якою задається підінтегральна функція f(х),містить практично постійні першірізниці, тобто. f(х)поводиться приблизно як многочлен першого ступеня, можна скористатися формулою трапецій.

Якщо ж таблиця функції f(х)містить практично постійні другі або треті різниці, тобто якщо f(х)поводиться приблизно як многочлен другого чи третього ступеня, то доцільно використати формулу Сімпсона. Це, як зазначалося, пов'язано з тим, що обчислення за формулою трапецій дозволяє отримати точне значення інтеграла за умови лінійності підінтегральної функції, а формула Сімпсона в тому випадку, якщо підінтегральна функція є багаточленом не вище третього ступеня.

При табличному завданні функції f(х) наближене значення похибки, одержуваної при обчисленні інтеграла за тією чи іншою квадратурною формулою, знаходиться так:

1. Обчислення інтегралу
виконується двічі з кроками hі 2 h. Отримані значення інтеграла позначаються відповідно S h та S 2 h .

2. Якщо припустити, що на аналізованому відрізку [а; b] друга похідна f"(x) змінюється повільно, то при обчисленні інтегралу за формулою трапеційможна скористатися наступним наближеним виразом для похибки:

(18)

3. Як виправлене (наближене) значення інтеграла можна взяти наступне значення:

(19)

Якщо припустити, що на аналізованому відрізку [а; b] четверта похідна f (4) (х)змінюється повільно, то при обчисленні інтегралу за формулою Сімпсонаможна вважати, що похибка приблизно дорівнює

(20)

Як виправлене (наближене) значення інтеграла в цьому випадку можна взяти:

(21)

У обчислювальній практиці часто користуються також наступним правилом підрахунку вірних знаків в отриманому результаті: вважають практично вірними всі цифри значень S h і S 2 h .

Наближене обчислення площ плоских фігур

П усть плоска фігура Р обмежена замкнутим контуром С. Виберемо систему координат таким чином, щоб фігура, що розглядається, лежала в перому квадранті. Припускатимемо, що будь-яка пряма, паралельна осі Оу,перетинає контур не більше, ніж у двох точках. Спроектуємо фігуру Р на вісь Ох; у проекції вийде відрізок [ a; b] .

Нехай А – точка фігури з абсцисою х = а, В – точка фігури з абсцисою х =b. Точки А та В розбивають контур С на дві криві верхню та нижню з рівняннями відповідно y = f(x) і y = g(x), де f(x), g(x) – безперервні на відрізку [ a; b] функції. Позначимо через Рплоща постаті Р. Площа Рдорівнюватиме різниці площ двох криволінійних трапецій:

аАТb і aAhBb,

тобто. чисельно дорівнює різниці двох інтегралів:

Наближені значення цих інтегралів можуть бути обчислені за будь-якою з квадратурних формул.

Розіб'ємо відрізок [а;b] на n рівних частин

[х 0 х 1 ], [х 1 х 2 ], …, [х п-1 ; х п ]

(а = х 0 х 1 , …, х п = b).

Значення підінтегральної функції y= f(x) - g(x) будуть обчислюватися у вузлах квадратурної формули за співвідношенням:

y i = f(x i ) - g(x i ) (i = 0, 1, …,п) .

Очевидно, що

y 0 = f(x 0 ) - g(x 0 ) = 0 і y n = f(x n ) - g(x n ) = 0

Значення y i- Довжини відрізків ординат у вузлових точках, укладених усередині фігури Р. Якщо аналітичні вирази функцій f(x) і g(x) невідомі, то y iможна виміряти, користуючись кресленням.

Загальні формули Ньютона-Котеса

Нехай потрібно обчислити певний інтеграл

I =
,

якщо на відрізку [а;b] функція задана таблицею з постійнимкроком h:

x i	x 0	x 1	x 2		x n
y i	y 0	y 1	y 2		y n

Підінтегральну функцію замінимо першим інтерполяційним багаточленом Ньютона та отримаємо:

f(x) = P n (x) + R n (x) (22)

де R n (x) - Залишковий член інтерполування. Інтегруючи рівність (22), отримаємо:

відкидаючи другий доданок у правій частині, отримаємо наближену рівність

, (23)

похибка якого визначається формулою:

. (24)

Рівність (23) називають квадратурними формулами Ньютона-КотесаЗ формули (23) при п=1виходить формула трапецій, а при п= 2 - Формула Сімпсона.

Обчислення інтегралів найпростішим методом Монте-Карло

Яким чином за допомогою купи каміння виміряти площу ставка? Припустимо, що ставок розташований у центрі поля відомої площі А. Кидайте камені в ставок довільним чином так, щоб вони падали у випадкових точках у межах поля, і рахуйте кількість сплесків при попаданні каменів у ставок. Ця проста процедура є прикладом методу Монте-Карло.

У Докладніше з'ясуємо суть цього методу. Нехай дано прямокутник заввишки Нта довжиною b- aтакий, що функція f(x) лежить усередині нього. Генеруємо ппара випадкових чисел x i і y i , задовольняють умовам a<= x i <= b і 0 <= y i <= H. Частка точок (x i , y i ) , які задовольняють умові y i <=f(x i ) , є оцінкою відносини інтеграла від функції f(x) до площі прямокутника. Звідси оцінка F nу методі "проб і помилок" визначається виразом

, (4)

де n s – число "сплесків" або точок, що лежать під кривою, п– загальна кількість точок, а А – площа прямокутника.

Інший різновид методу Монте-Карло ґрунтується на теоремі математичного аналізу, згідно з яким певний інтеграл

визначається середнім значенням підінтегральної функції f(x) на відрізку [ a; b]. Для обчислення цього середнього візьмемо x iне з постійним кроком, а випадковим чином і зробимо вибіркузначень f(x) . Оцінка F n одновимірного інтеграла

Метод трапецій одна із методів чисельного інтегрування. Він дозволяє обчислювати певні інтеграли із заздалегідь заданим ступенем точності.

Поставимо перед собою таке завдання: нехай нам потрібно приблизно обчислити певний інтеграл , де підінтегральна функція y=f(x)безперервна на

відрізку .

Розіб'ємо відрізок на nрівних інтервалів довжини hточками. В цьому випадку крок розбиття знаходимо які вузли визначаємо з рівності.

Розглянемо підінтегральну функцію на елементарних відрізках .

Можливі чотири випадки (на малюнку показані найпростіші з них, до яких все зводиться при нескінченному збільшенні n):

На кожному відрізку замінимо функцію y=f(x)відрізком прямий, що проходить через точки з координатами і. Зобразимо їх на малюнку синіми лініями:

Як наближене значення інтеграла візьмемо вираз тобто приймемо .

Давайте з'ясуємо, що означає у геометричному сенсі записана наближена рівність. Це дозволить зрозуміти, чому метод чисельного інтегрування, що розглядається, називається методом трапецій.

Ми знаємо, що площа трапеції знаходиться як добуток підлоги суми підстав на висоту. Отже, у першому випадку площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі трапеції з основами та заввишки h, в останньому випадку певний інтеграл приблизно дорівнює площі трапеції з основами та заввишки h, узятий зі знаком мінус. У другому та третьому випадках наближене значення певного інтеграла дорівнює різниці площ червоної та синьої областей, зображених на малюнку нижче.

Таким чином, ми підійшли до суті методу трапецій, яка полягає у поданні певного інтеграла у вигляді суми інтегралів видана кожному елементарному відрізку та у наступній наближеній заміні .

Формула методу трапеції.

В силу п'ятої властивості певного інтегралу .

Якщо замість інтегралів підставити їх наближені значення, то вийде формула методу трапецій:

Оцінка абсолютної похибки способу трапецій.

Абсолютна похибка методу трапеційоцінюється як.

Графічна ілюстрація методу трапецій.

3. Метод Сімпсона (парабол)

Це досконаліший спосіб – графік підінтегральної функції наближається не ламаною лінією, а дрібними параболками. Скільки проміжних відрізків – стільки й невеликих парабол. Якщо взяти самі три відрізка, то метод Сімпсона дасть ще більш точне наближення, ніж метод прямокутників або метод трапецій.

Нехай функція y = f(x)безперервна на відрізку і нам потрібно обчислити певний інтеграл.

Розіб'ємо відрізок на nелементарних відрізків довжини крапками. Нехай точки є серединами відрізків відповідно. І тут всі " вузли " визначаються з рівності.

Суть методу парабол.

На кожному інтервалі підінтегральна функція наближається квадратичною параболою , що проходить через точки. Звідси і назва методу – метод парабол.

Це робиться для того, щоб як наближене значення певного інтеграла взяти , що ми можемо обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца. У цьому полягає суть методу парабол.

Геометрично це виглядає так:

Графічна ілюстрація методу парабол (Сімпсона).

Червоною лінією зображено графік функції y=f(x), синій лінією показано наближення графіка функції y=f(x)квадратичними параболами на кожному елементарному відрізку розбиття.