Похибки вимірів. Абсолютна, відносна похибка. Основна додаткова похибки. Випадкові, систематичні похибки. Абсолютні та відносні помилки

Фізичні величини характеризуються поняттям "точність похибки". Є висловлювання, що шляхом проведення вимірів можна дійти пізнання. Так вдасться дізнатися, якою є висота будинку чи довжина вулиці, як і багато інших.

Вступ

Розберемося у значенні поняття «виміряти величину». Процес виміру полягає в тому, щоб порівняти її з однорідними величинами, які приймають як одиницю.

Для визначення обсягу використовують літри, для обчислення маси застосовуються грами. Щоб було зручніше робити розрахунки, запровадили систему СІ міжнародної класифікації одиниць.

За вимір довжини грузли метри, маси - кілограми, об'єму - кубічні літри, часу – секунди, швидкості – метри за секунду.

При обчисленні фізичних величин не завжди потрібно скористатися традиційним способомдостатньо застосувати обчислення за допомогою формули. Наприклад, для обчислення таких показників, як середня швидкість, необхідно поділити пройдену відстань на час, проведений у дорозі. Так виробляються обчислення середньої швидкості.

Застосовуючи одиниці виміру, які у десять, сто, тисячу разів перевищують показники прийнятих вимірювальних одиниць, їх називають кратними.

Найменування кожної приставки відповідає своєму числу множника:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кіло.
4. Мега.
5. Гіга.
6. Тера.

У фізичній науці для запису таких множників використовується рівень числа 10. Наприклад, мільйон позначається як 10 6 .

У простій лінійці довжина має одиницю виміру – сантиметр. Вона у 100 разів менше метра. 15-сантиметрова лінійка має довжину 0,15 м-коду.

Лінійка є найпростішим видом вимірювальних приладівдля того, щоб вимірювати показники довжини. Більш складні прилади представлені термометром – щоб гігрометром – щоб визначати вологість, амперметром – заміряти рівень сили, з якою поширюється електричний струм.

Наскільки точними будуть показники проведених вимірів?

Візьмемо лінійку та простий олівець. Наше завдання полягає у вимірі довжини цієї канцелярської приналежності.

Спочатку потрібно визначити, яка ціна поділу, вказана на шкалі вимірювального приладу. На двох поділках, які є найближчими штрихами шкали, написано цифри, наприклад, «1» та «2».

Необхідно підрахувати, скільки поділів укладено у проміжку цих цифр. За правильного підрахунку вийде «10». Віднімемо від числа, яке є більшим, число, яке буде меншим, і поділимо на число, яке становлять поділки між цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так визначаємо, що ціною, що визначає розподіл канцелярської власності, є число 0,1 см або 1 мм. Наочно показано, як визначається показник ціни для поділу із застосуванням будь-якого вимірювального приладу.

Вимірюючи олівець із довжиною, яка трохи менше, ніж 10 см, скористаємося отриманими знаннями. За відсутності на лінійці дрібного поділу слід було б висновок, що предмет має довжину 10 см. Це приблизне значення названо вимірювальною похибкою. Вона свідчить про той рівень неточності, що може допускатися під час проведення вимірів.

Визначаючи параметри довжини олівця з вищим рівнем точності, більшою ціною розподілу досягається більша вимірювальна точність, що забезпечує меншу похибку.

У цьому абсолютно точного виконання вимірів може бути. А показники не повинні перевищувати розмірів ціни поділу.

Встановлено, що розміри вимірювальної похибки становлять ½ ціни, яка вказана на поділах приладу, що застосовується для визначення розмірів.

Після виконання вимірів олівця 9,7 см визначимо показники його похибки. Це проміжок 9,65 – 9,85 см.

Формулою, що вимірює таку похибку, є обчислення:

А = а ± D (а)

А - як величини для вимірювальних процесів;

а – значення результату вимірів;

D – позначення абсолютної похибки.

При відніманні чи складання величин з похибкою результат дорівнюватиме сумі показників похибки, що становить кожна окрема величина.

Знайомство з поняттям

Якщо розглядати в залежності від способу її вираження, можна виділити такі різновиди:

• Абсолютну.
• Відносну.
• Наведену.

Абсолютна похибка вимірювань позначається буквою «Дельта» великою. Це поняття визначається у вигляді різниці між виміряними та дійсними значеннями тієї фізичної величини, яка вимірюється.

Виразом абсолютної похибки вимірів є одиниці тієї величини, яку необхідно виміряти.

При вимірі маси вона виражатиметься, наприклад, у кілограмах. Це не зразок точності вимірювань.

Як розрахувати похибку прямих вимірів?

Є способи зображення та їх обчислення. Для цього важливо вміти визначати фізичну величину з необхідною точністю, знати, що таке абсолютна похибка вимірів, що її ніхто не зможе знайти. Можна обчислити лише її граничне значення.

Навіть якщо умовно вживається цей термін, він вказує на граничні дані. Абсолютна та відносна похибка вимірів позначаються однаковими літерами, різниця в їх написанні.

При вимірі довжини абсолютна похибка вимірюватиметься у тих одиницях, у яких обчислюватиметься довжина. А відносна похибка обчислюється без розмірів, оскільки є відношенням абсолютної похибки до результату виміру. Таку величину часто виражають у відсотках чи частках.

Абсолютна та відносна похибка вимірювань мають кілька різних способів обчислення залежно від того, якою є фізична величина.

Поняття прямого виміру

Абсолютна та відносна похибка прямих вимірювань залежить від класу точності приладу та вміння визначати похибку зважування.

Перш ніж говорити, як обчислюється похибка, необхідно уточнити визначення. Прямим називається вимір, у якому відбувається безпосереднє зчитування результату з приладової шкали.

Коли ми користуємося термометром, лінійкою, вольтметром або амперметром, то завжди проводимо саме прямі виміри, оскільки застосовуємо прилад безпосередньо зі шкалою.

Є два фактори, які впливають на результативність показань:

• Похибка приладів.
• Похибка системи відліку.

Кордон абсолютної похибки при прямих вимірах дорівнюватиме сумі похибки, яку показує прилад, і похибки, що відбувається в процесі відліку.

D = D (пр.) + D (відс.)

Приклад із медичним термометром

Показники похибки вказані на приладі. На медичному термометрі прописано похибку 0,1 градусів за Цельсієм. Похибка відліку становить половину ціни поділу.

D відс. = С/2

Якщо ціна поділу 0,1 градуса, то для медичного термометраможна зробити обчислення:

D = 0,1 o З + 0,1 o З / 2 = 0,15 o З

На тильній стороні шкали іншого термометра є ТУ і зазначено, що для правильності вимірювань необхідно занурювати термометр тильною частиною. Точність виміру не вказана. Залишається лише похибка відліку.

Якщо ціна поділу шкали цього термометра дорівнює 2 o С, то можна вимірювати температуру з точністю до 1 o С. Такі межі абсолютної похибки вимірювань, що допускається, і обчислення абсолютної похибки вимірювань.

Особливу систему обчислення точності використовують у електровимірювальних приладах.

Точність електровимірювальних приладів

Щоб задати точність таких пристроїв, використовується величина, яка називається класом точності. Для її позначення застосовують букву Гамма. Щоб точно визначити визначення абсолютної та відносної похибки вимірювань, потрібно знати клас точності приладу, який вказаний на шкалі.

Візьмемо, наприклад, амперметр. На його шкалі вказано клас точності, що вказує число 0,5. Він придатний для вимірювань на постійному та змінному струмі, відноситься до пристроїв електромагнітної системи.

Це досить точний прилад. Якщо порівняти його зі шкільним вольтметром, видно, що він має клас точності - 4. Цю величину обов'язково знати для подальших обчислень.

Застосування знань

Таким чином, D c = c (max) Х γ /100

Цією формулою і будемо користуватися для конкретних прикладів. Скористаємося вольтметром та знайдемо похибку вимірювання напруги, яку дає батарейка.

Підключимо батарейку безпосередньо до вольтметра, попередньо перевіривши, чи стрілка стоїть на нулі. При підключенні приладу стрілка відхилилася на 4,2 розподілу. Цей стан можна охарактеризувати так:

1. Видно що максимальне значення U для цього предмета дорівнює 6.
2. Клас точності -(?) = 4.
3. U(о) = 4,2 Ст.
4. С=0,2

Користуючись цими даними формули, абсолютна та відносна похибка вимірювань обчислюється так:

DU = DU (пр.) + С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Це похибка приладу.

Розрахунок абсолютної похибки вимірювань у разі буде виконано так:

D U = 0,24 + 0,1 В = 0,34 В

За розглянутою формулою легко можна дізнатися, як розрахувати абсолютну похибку вимірювань.

Існує правило округлення похибок. Воно дозволяє знайти середній показник між межею абсолютної похибки та відносною.

Вчимося визначати похибку зважування

Це один із прикладів прямих вимірів. На особливому місці стоїть зважування. Адже важельні ваги не мають шкали. Навчимося визначати похибку такого процесу. На точність вимірювання маси впливає точність гир та досконалість самих ваг.

Ми користуємося важелями з набором гирь, які необхідно класти саме на праву чашу терезів. Для зважування візьмемо лінійку.

Перед початком досвіду потрібно врівноважити ваги. Лінійку кладемо на ліву чашу.

Маса дорівнюватиме сумі встановлених гир. Визначимо похибку виміру цієї величини.

D m = D m (ваг) + D m (гір)

Похибка вимірювання маси складається з двох доданків, пов'язаних з вагами та гирями. Щоб дізнатися кожну з цих величин, на заводах з випуску ваг та гирь продукція забезпечується спеціальними документами, які дозволяють обчислити точність.

Застосування таблиць

Скористаємося стандартною таблицею. Похибка терезів залежить від того, яку масу поклали на ваги. Чим вона більша, тим, відповідно, більша і похибка.

Навіть якщо покласти дуже легке тіло, буде похибка. Цей пов'язаний із процесом тертя, що відбувається в осях.

Друга таблиця відноситься до набору гирь. На ній зазначено, кожна з них має свою похибку маси. 10-грамова має похибку 1 мг, як і 20-грамова. Прорахуємо суму похибок кожної з цих гирек, взятої з таблиці.

Зручно писати масу та похибку маси у двох рядках, які розташовані одна під одною. Чим менше гирі, тим точніше вимір.

Підсумки

У результаті розглянутого матеріалу встановлено, що визначити абсолютну похибку неможливо. Можна лише встановити її граничні показники. Для цього використовуються формули, описані вище у обчисленнях. Цей матеріалзапропонований для вивчення у школі для учнів 8-9 класів. На основі отриманих знань можна вирішувати задачі на визначення абсолютної та відносної похибки.

Як було сказано вище, результат виміру будь-якої величини відрізняється від справжнього значення. Ця відмінність, рівна різниці між показанням приладу і істинним значенням, називається абсолютною похибкою вимірювання, яка виражається в тих же одиницях, що і сама величина, що вимірюється:

де х- Абсолютна похибка.

Під час проведення комплексного контролю, коли вимірюються показники різної розмірності, доцільніше користуватися абсолютної, а відносної похибкою. Вона визначається за такою формулою:

Доцільність застосування хотн пов'язана з такими обставинами. Припустимо, що ми вимірюємо час із точністю до 0,1 с (абсолютна похибка). При цьому якщо йдеться про біг на 10 000 м, то точність цілком прийнятна. Але вимірювати з такою точністю час реакції не можна, так як величина помилки майже дорівнює величині, що вимірюється (час простої реакції дорівнює 0,12-0,20 с). У зв'язку з цим потрібно зіставити величину помилки і саму величину, що вимірюється, і визначити відносну похибку.

Розглянемо приклад визначення абсолютної та відносної похибок виміру. Припустимо, що вимірювання частоти серцевих скороченьпісля бігу за допомогою високоточного приладу дає нам величину, близьку до істинної і дорівнює 150 уд/хв. Одночасний пальпаторний вимір дає величину, що дорівнює 162 уд/хв. Підставивши ці значення у наведені вище формули, отримаємо:

x=150-162=12 уд/хв - абсолютна похибка;

х=(12: 150) Х100% = 8% -відносна похибка.

Завдання №3 Індекси оцінки фізичного розвитку

Індекс	Оцінка
Індекс Брока-Бругша	Були розроблені та додані такі варіанти: при зростанні до 165 см "ідеальна вага" = зріст (см) - 100; при зростанні від 166 до 175 см «ідеальна вага» = зріст (см) – 105; при зростанні вище 176 см "ідеальна вага" = зріст (см) - 110.
Життєвий індекс	Ж/М (за зростанням) Середня величина показника для чоловіків – 65-70 мл/кг, для жінок – 55-60 мл/кг, для спортсменів – 75-80 мл/кг, для спортсменок – 65-70 мл/кг. Різнисний індекс визначається шляхом віднімання з величини зростання сидячи за довжиною ніг. Середній показникдля чоловіків - 9-10 см, для жінок - 11-12 см. Чим менший індекс, тим, отже, більша довжина ніг, і навпаки.
Весо – ростовий індекс Kетле	BMI = m / h2, де m – маса тіла людини (в кг), h – зростання людини (в м). Виділяють такі значення BMI: менше 15 – гострий дефіцит ваги; від 15 до 20 – дефіцит ваги; від 20 до 25 – нормальна вага; від 25 до 30 - надмірна вага; понад 30 – ожиріння.
Індекс скеліпо Мануврії характеризує довжину ніг.	ІС = (довжина ніг / зріст сидячи) х 100 Величина до 84,9 свідчить про короткі ноги; 85-89 - про середні; 90 і вище – про довгі.
Маса тіла (вага)для дорослих розраховується за формулою Бернгард.	Вага = (зростання х об'єм грудей) / 240 Формула дає можливість враховувати особливості статури. Якщо розрахунок проводиться за формулою Брока, то після розрахунків з результату слід відняти близько 8%: зростання – 100 – 8%
Життєвий показник	ЖЕЛ (мл)/на масу тіла (кг) Чим вище показник, тим краще розвинена дихальна функція грудної клітки. W. Stern (1980) запропонував метод визначення жирового прошарку у спортсменів.
Відсоток жирового прошарку Худа маса тіла	[(Маса тіла - худа маса тіла) / маса тіла] х 100 98,42 + Згідно з формулою Лоренца, ідеальна маса тіла(М) складає: М = Р - (100 - [(Р - 150)/4]) де: Р – зростання людини. Індекс пропорційності розвитку грудної клітки(індекс Ерісмана): обхват грудної клітини в паузі (см) - (зріст (см)/2) = +5,8 см для чоловіків та +3,3 см для жінок.
Показник пропорційності фізичного розвитку	(зростання стоячи - зростання сидячи / зростання сидячи) х 100 Величина показника дозволяє судити про відносну довжину ніг: менше 87% - мала довжина до довжини тулуба, 87-92% - пропорційне фізичний розвиток, понад 92% - щодо велика довжинаніг.
Індекс Руфф'є (Ir).	J r = 0,1 (ЧСС 1 + ЧСС 2 + ЧСС 3 – 200) ЧСС 1 – пульс у спокої, ЧСС 2 – після навантаження, ЧСС 3 – після 1 хв. Відновлення Отриманий індекс Руф'є-Діксона розцінюється як: добрий - 0,1 - 5; середній – 5,1 – 10; задовільний - 10,1 - 15; поганий – 15,1 – 20.
Коефіцієнт витривалості (К).	Використовується для оцінки ступеня тренованості серцево-судинної системи до виконання фізичного навантаження та визначається за формулою: де ЧСС – частота серцевих скорочень, уд./хв; ПД – пульсовий тиск, мм рт. ст. Збільшення KB, пов'язане із зменшенням ПД, є показником детренованості серцево-судинної системи.
Індекс Скібінські	Цей тест відображає функціональні резерви дихальної та серцево-судинної систем: Після 5-хвилинного відпочинку в положенні стоячи визначте ЧСС (по пульсу), ЖЕЛ (мл); Через 5 хв після цього затримайте подих після спокійного вдиху (ЗД); Індекс розрахуйте за такою формулою: Якщо результат більше 60 – відмінно; 30-60 – добре; 10-30-задовільно; 5-10 – незадовільно; Менш 5 – дуже погано.

У фізиці та в інших науках часто доводиться проводити вимірювання різних величин(наприклад, довжини, маси, часу, температури, електричного опоруі т.д.).

Вимірювання– процес знаходження значення фізичної величини за допомогою спеціальних технічних засобів- Вимірювальних приладів.

Вимірювальним приладом називають пристрій, за допомогою якого здійснюється порівняння вимірюваної величини з фізичною величиною того ж таки роду, прийнятої за одиницю виміру.

Розрізняють прямі та непрямі методивимірів.

Прямі методи вимірів – методи, у яких значення визначених величин перебувають безпосереднім порівнянням об'єкта, що вимірюється, з одиницею вимірювання (еталоном). Наприклад, вимірювана лінійкою довжина будь-якого тіла порівнюється з одиницею довжини - метром, маса тіла, що вимірюється вагами, порівнюється з одиницею маси - кілограмом і т. д. Таким чином, в результаті прямого вимірювання визначається величина виходить відразу, безпосередньо.

Непрямі методи вимірів– методи, у яких значення обумовлених величин обчислюються за результатами прямих вимірів інших величин, із якими пов'язані відомої функціональної залежністю. Наприклад, визначення довжини кола за результатами вимірювання діаметра чи визначення об'єму тіла за результатами вимірювання його лінійних розмірів.

Через недосконалість вимірювальних приладів, наших органів чуття, впливу зовнішніх впливівна вимірювальну апаратуру та об'єкт вимірювання, а також інших факторів всі вимірювання можна проводити тільки з певним ступенем точності; тому результати вимірів дають не справжнє значення вимірюваної величини, лише наближене. Якщо, наприклад, вага тіла визначена з точністю до 0,1 мг, це означає, що знайдена вага відрізняється від справжньої ваги тіла менш ніж на 0,1 мг.

Точність вимірів - Характеристика якості вимірювань, що відображає близькість результатів вимірювань до справжнього значення вимірюваної величини.

Чим менша похибка вимірювань, тим більша точність вимірювань. Точність вимірювань залежить від використовуваних при вимірюваннях приладів та від загальних методіввимірів. Цілком марно прагнути при вимірах у даних умовах перейти за цю межу точності. Можна звести до мінімуму вплив причин, що зменшують точність вимірювань, але повністю позбутися їх неможливо, тобто при вимірюваннях завжди відбуваються більш менш значні помилки (похибки). Для збільшення точності остаточного результату будь-який фізичний вимір необхідно робити не один, а кілька разів за однакових умов досвіду.

У результаті i-го виміру (i – номер виміру) величини "Х", виходить наближене число Х i , що відрізняється від істинного значення Хіст на деяку величину ∆Х i = | Х i - Х |, яка є допущеною помилкою або, іншими словами Справжня похибка нам не відома, тому що ми не знаємо справжнього значення вимірюваної величини.

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

де Х i - значення величини Х, отримане при вимірі (тобто вимірюване значення); ∆Х – абсолютна похибка визначення величини Х.

Абсолютна помилка (похибка) виміру ∆Х – це абсолютна величинарізниці між істинним значенням вимірюваної величини Хіст та результатом виміру X i: ∆Х = | Х іст – X i |.

Відносна помилка (похибка) виміру δ (характеризує точність виміру) чисельно дорівнює відношенню абсолютної похибки виміру ∆Х до справжнього значення вимірюваної величини Х іст (часто виражається у відсотках): δ = (∆Х / Х іст) 100% .

Похибки чи помилки вимірів можна поділити на три класи: систематичні, випадкові та грубі (промахи).

Систематичноїназивають таку похибку, яка залишається постійною чи закономірно (відповідно до певної функціональної залежності) змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ж величини. Такі похибки виникають у результаті конструктивних особливостейвимірювальних приладів, недоліків прийнятого методу вимірювань, будь-яких упущень експериментатора, впливу зовнішніх умов або дефекту самого об'єкта вимірювання.

У будь-якому вимірювальному приладі закладено ту чи іншу систематичну похибку, яку неможливо усунути, але порядок якої можна врахувати. p align="justify"> Систематичні похибки або збільшують, або зменшують результати вимірювання, тобто ці похибки характеризуються постійним знаком. Наприклад, якщо при зважуванні одна з гир має масу на 0,01 г більшу, ніж зазначено на ній, то знайдене значення маси тіла буде завищеним на цю величину, хоч би скільки вимірювань вироблялося. Іноді систематичні помилки можна врахувати чи усунути, іноді цього не можна. Наприклад, до непереборних помилок відносяться помилки приладів, про які ми можемо лише сказати, що вони не перевищують певної величини.

Випадковими помилками називають помилки, які непередбачуваним чином змінюють свою величину та знак від досвіду до досвіду. Поява випадкових помилок зумовлено дією багатьох різноманітних та неконтрольованих причин.

Наприклад, при зважуванні вагами цими причинами можуть бути коливання повітря, осілі порошини, різне тертя в лівому і правому підвісі чашок та ін. різних значень: Х1, Х2, Х3,…, Х i ,…, Х n , де Х i – результат i-го виміру. Встановити якусь закономірність між результатами не вдається, тому результат i - го виміру Х вважається випадковою величиною. Випадкові помилки можуть вплинути на окремий вимір, але при багаторазових вимірах вони підпорядковуються статистичним законам і їх вплив на результати вимірів можна врахувати або значно зменшити.

Промахи та грубі похибки- Надмірно великі помилки, що явно спотворюють результат вимірювання. Цей клас похибок викликаний найчастіше неправильними діями експериментатора (наприклад, через неуважність замість показання приладу "212" записується зовсім інше число - "221"). Вимірювання, що містять промахи та грубі похибки, слід відкидати.

Вимірювання можуть бути проведені з точки зору їх точності технічним та лабораторним методами.

При використанні технічних методів вимір проводиться один раз. В цьому випадку задовольняються такою точністю, при якій похибка не перевищує певного певного, заздалегідь заданого значення, що визначається похибкою застосованої вимірювальною апаратурою.

При лабораторних методах вимірювань потрібно точніше вказати значення вимірюваної величини, ніж це допускає її одноразовий вимір технічним методом. У цьому випадку роблять кілька вимірювань і обчислюють середнє арифметичне отриманих значень, яке приймають за достовірне значення величини. Потім проводять оцінку точності результату вимірів (облік випадкових похибок).

З можливості проведення вимірювань двома методами випливає існування двох методів оцінки точності вимірювань: технічного і лабораторного.

Одним з найбільш важливих питаньу чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла в певному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим у міру того, як проводяться наступні операції. Крайнім випадком є ​​віднімання двох майже рівних чисел: навіть за дуже маленьких помилок обох цих чисел відносна помилка різниці може бути дуже великий. Така відносна помилка буде розповсюджуватись далі при виконанні всіх наступних арифметичних операцій.

Одним із джерел обчислювальних похибок (помилок) є наближене уявлення речових чисел в ЕОМ, обумовлене кінцівкою розрядної сітки. Хоча вихідні дані представляються в ЕОМ з великою точністю накопичення похибок округлення в процесі рахунку може призвести до значної результуючої похибки, а деякі алгоритми можуть виявитися зовсім непридатними для реального рахунку на ЕОМ. Докладніше про подання дійсних чисел в ЕОМ можна дізнатися.

Поширення помилок

Як перший крок при розгляді такого питання, як поширення помилок, необхідно знайти висловлювання для абсолютної та відносної помилок результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції величин, що беруть участь в операції, та їх помилок.

Абсолютна помилка

Додавання

Є два наближення і двох величин і , і навіть відповідні абсолютні помилки і . Тоді в результаті складання маємо

.

Помилка суми, яку ми позначимо через , буде рівна

.

Віднімання

Тим самим шляхом отримуємо

.

множення

При множенні ми маємо

.

Оскільки помилки зазвичай набагато менше самих величин, нехтуємо добутком помилок:

.

Помилка твору дорівнюватиме

.

Поділ

.

Перетворюємо цей вираз на вигляд

.

Множник, що стоїть у дужках, можна розкласти в ряд

.

Перемножуючи і нехтуючи всіма членами, які містять твори помилок або ступеня помилок вище за першу, маємо

.

Отже,

.

Необхідно чітко розуміти, що знак помилки буває відомий лише у дуже поодиноких випадках. Не факт, наприклад, що помилка збільшується при додаванні і зменшується при відніманні тому, що у формулі для додавання коштує плюс, а для віднімання - мінус. Якщо, наприклад, помилки двох чисел мають протилежні знаки, то справа буде навпаки, тобто помилка зменшиться при додаванні і збільшиться при відніманні цих чисел.

Відносна помилка

Після того, як ми вивели формули для поширення абсолютних помилок за чотирьох арифметичних дій, досить просто вивести відповідні формули для відносних помилок. Для складання та віднімання формули були перетворені для того, щоб у них входила в явному вигляді відносна помилка кожного вихідного числа.

Додавання

.

Віднімання

.

множення

.

Поділ

.

Ми починаємо арифметичну операцію, маючи у своєму розпорядженні два наближені значення і з відповідними помилками та . Ці помилки можуть бути будь-якого походження. Величини можуть бути експериментальними результатами, що містять помилки; вони можуть бути результатами попереднього обчислення згідно з будь-яким нескінченним процесом і тому можуть містити помилки обмеження; вони можуть бути результатами попередніх арифметичних операцій та можуть містити помилки округлення. Звичайно, вони можуть також містити в різних комбінаціях і всі три види помилок.

Наведені вище формули дають вираз помилки результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції від ; помилка округлення в даній арифметичній дії при цьому не враховується. Якщо ж надалі необхідно буде підрахувати, як поширюється в наступних арифметичних операціях помилка цього результату, то необхідно до обчисленої по одній із чотирьох формул помилки результату додати окремо помилку округлення.

Графи обчислювальних процесів

Тепер розглянемо зручний спосібпідрахунку поширення помилки у якомусь арифметичному обчисленні. З цією метою ми зображуватимемо послідовність операцій у обчисленні за допомогою графаі писатимемо біля стрілок графа коефіцієнти, які дозволять нам порівняно легко визначити загальну помилку остаточного результату. Метод цей зручний ще й тим, що дозволяє легко визначити вклад будь-якої помилки, що виникла у процесі обчислень, у загальну помилку.

Рис.1. Граф обчислювального процесу

на рис.1зображено граф обчислювального процесу. Граф слід читати знизу вгору, дотримуючись стрілок. Спочатку виконуються операції, розташовані на будь-якому горизонтальному рівні, після цього - операції, розташовані на більш високому рівні, і т. д. З рис.1, наприклад, ясно, що xі yспочатку складаються, а потім множаться на z. Граф, зображений на рис.1, є лише зображенням самого обчислювального процесу. Для підрахунку загальної помилкирезультату необхідно доповнити цей граф коефіцієнтами, що пишуться біля стрілок відповідно до таких правил.

Додавання

Нехай дві стрілки, які входять до гуртка додавання, виходять із двох гуртків з величинами і . Ці величини може бути як вихідними, і результатами попередніх обчислень. Тоді стрілка, яка веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт , стрілка ж, що веде від знака + в кружку, отримує коефіцієнт .

Віднімання

Якщо виконується операція, то відповідні стрілки одержують коефіцієнти і.

множення

Обидві стрілки, що входять до гуртка множення, одержують коефіцієнт +1.

Поділ

Якщо виконується розподіл , то стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт +1, а стрілка від косої межі в кухлі отримує коефіцієнт −1.

Сенс всіх цих коефіцієнтів наступний: відносна помилка результату будь-якої операції (кружка) входить у результат наступної операції, множачись на коефіцієнти у стрілки, що з'єднує ці дві операції.

Приклади

Рис.2. Граф обчислювального процесу для складання, причому

Застосуємо тепер методику графів до прикладів і проілюструємо, що означає поширення помилки у практичних обчисленнях.

Приклад 1

Розглянемо завдання додавання чотирьох позитивних чисел:

, .

Граф цього процесу зображено на рис.2. Припустимо, що це вихідні величини задані точно немає помилок, і нехай , і є відносними помилками округлення після кожної наступної операції складання. Послідовне застосування правила для підрахунку повної помилки остаточного результату призводить до формули

.

Скорочуючи суму в першому члені і помножуючи всі вирази на , отримуємо

.

Враховуючи, що помилка округлення дорівнює (у даному випадкупередбачається, що дійсне число в ЕОМ представляється у вигляді десяткового дробуз tзначними цифрами), маємо остаточно

Похибка вимірювання- Оцінка відхилення виміряного значення величини від її істинного значення. Похибка виміру є характеристикою (мірою) точності виміру.

Оскільки з'ясувати з абсолютною точністю справжнє значення ніякої величини неможливо, неможливо і вказати величину відхилення виміряного значення від істинного. (Це відхилення прийнято називати помилкою виміру. У ряді джерел, наприклад, у Великій радянської енциклопедії, терміни помилка виміруі похибка вимірюваннявикористовуються як синоніми, але згідно з РМГ 29-99 термін помилка виміруне рекомендується застосовувати як менш вдалий). Можна лише оцінити величину цього відхилення, наприклад, за допомогою статистичних методів. Насправді замість істинного значення використовують дійсне значення величиних д, тобто значення фізичної величини, отримане експериментальним шляхом і настільки близьке до справжнього значення, що у поставленій вимірювальній задачі може бути використане замість нього. Таке значення зазвичай обчислюється як середньостатистичне значення, отримане при статистичній обробці результатів серії вимірювань. Це отримане значення перестав бути точним, лише найімовірнішим. Тому у вимірах необхідно вказувати, яка їхня точність. Для цього разом із отриманим результатом вказується похибка вимірів. Наприклад, запис T=2,8±0,1 c. означає, що дійсне значення величини Tлежить в інтервалі від 2,7 с.до 2,9 с.з деякою обумовленою ймовірністю

У 2004 році на міжнародному рівні було прийнято новий документ, Який диктує умови проведення вимірювань та встановив нові правила звірення державних стандартів. Поняття «похибка» почало старіти, замість нього було введено поняття «невизначеність вимірів», проте ГОСТ Р 50.2.038-2004 допускає використовувати термін похибкадля документів, які у Росії.

Виділяють наступні видипохибок:

· Абсолютна похибка;

· Відносна похибка;

· Наведена похибка;

· Основна похибка;

· Додаткова похибка;

· Систематична похибка;

· Випадкова похибка;

· Інструментальна похибка;

· Методична похибка;

· Особиста похибка;

· Статична похибка;

· Динамічна похибка.

Похибки вимірів класифікуються за такими ознаками.

· За способом математичного вираження похибки поділяються на абсолютні похибки та відносні похибки.

· За взаємодією змін у часі та вхідної величини похибки діляться на статичні похибки та динамічні похибки.

· За характером появи похибки поділяються на систематичні похибки та випадкові похибки.

· За характером залежності похибки від величин похибки, що впливають, діляться на основні і додаткові.

· За характером залежності похибки від вхідної величини похибки поділяються на адитивні та мультиплікативні.

Абсолютна похибка- Це значення, що обчислюється як різницю між значенням величини, отриманим у процесі вимірювань, і справжнім (дійсним) значенням даної величини. Абсолютна похибка обчислюється за такою формулою:

AQ n = Q n / Q 0 де AQ n - абсолютна похибка; Q n- Значення певної величини, отримане в процесі вимірювання; Q 0– значення тієї самої величини, прийняте за основу порівняння (реальне значення).

Абсолютна похибка міри- Це значення, що обчислюється як різницю між числом, що є номінальним значенням міри, і справжнім (дійсним) значенням мірою величини, що відтворюється.

Відносна погрішність- Це число, що відображає ступінь точності вимірювання. Відносна похибка обчислюється за такою формулою:

Де ∆Q – абсолютна похибка; Q 0- Справжнє (дійсне) значення вимірюваної величини. Відносна похибка виражається у відсотках.

Наведена похибка- Це значення, що обчислюється як відношення значення абсолютної похибки до значення, що нормує.

Нормуюче значення визначається таким чином:

· Для засобів вимірювань, для яких затверджено номінальне значення, це номінальне значення приймається за нормуюче значення;

· Для засобів вимірювань, у яких нульове значення розташовується на краю шкали вимірювання або поза шкалою, нормуюче значення приймається рівним кінцевому значенню з діапазону вимірювань. Винятком є ​​засоби вимірювань із суттєво нерівномірною шкалою виміру;

· Для засобів вимірювань, у яких нульова позначка розташовується всередині діапазону вимірювань, нормуюче значення приймається рівним сумікінцевих чисельних значень діапазону вимірів;

· Для засобів вимірювання (вимірювальних приладів), у яких шкала нерівномірна, нормуюче значення приймається рівним цілій довжині шкали вимірювання або довжині її частини, яка відповідає діапазону вимірювання. Абсолютна похибка виражається в одиницях довжини.

Похибка вимірювання включає інструментальну похибку, методичну похибку і похибку відрахування. Причому похибка відрахування виникає через неточність визначення часток розподілу шкали виміру.

Інструментальна похибка- це похибка, що виникає через допущені в процесі виготовлення функціональних частин засобів вимірювання помилок.

Методична похибка- це похибка, що виникає за наступних причин:

· Неточність побудови моделі фізичного процесу, На якому базується засіб вимірювання;

· Неправильне застосування засобів вимірювань.

Суб'єктивна похибка– це похибка, що виникає через низький рівень кваліфікації оператора засобу вимірювань, а також через похибку зорових органів людини, тобто причиною виникнення суб'єктивної похибки є людський фактор.

Похибки щодо взаємодії змін у часі та вхідної величини поділяються на статичні та динамічні похибки.

Статична похибка– це похибка, що виникає у процесі вимірювання постійної (не змінюється у часі) величини.

Динамічна похибка– це похибка, чисельне значення якої обчислюється як різницю між похибкою, що виникає при вимірі непостійної (змінної у часі) величини, та статичної похибкою (похибкою значення вимірюваної величини у певний момент часу).

За характером залежності похибки від величин похибки, що впливають, діляться на основні і додаткові.

Основна похибка- Це похибка, отримана в нормальних умовах експлуатації засобу вимірювань (при нормальних значеннях величин, що впливають).

Додаткова похибка- це похибка, яка виникає в умовах невідповідності значень впливових величин їх нормальним значенням, або якщо величина, що впливає, переходить межі області нормальних значень.

Нормальні умови– це умови, у яких всі значення впливових величин є нормальними або виходять за межі області нормальних значень.

Робочі умови– це умови, у яких зміна впливових величин має більше широкий діапазон(Значення впливають не виходять за межі робочої області значень).

Робоча областьзначень впливу величини– це область значень, де проводиться нормування значень додаткової похибки.

За характером залежності похибки від вхідної величини похибки поділяються на адитивні та мультиплікативні.

Адитивна похибка– це похибка, що виникає внаслідок підсумовування чисельних значень і залежна від значення вимірюваної величини, взятого за модулем (абсолютного).

Мультиплікативна похибка– це похибка, що змінюється разом із зміною значень величини, що піддається вимірам.

Слід зауважити, що значення абсолютної адитивної похибки не пов'язане зі значенням вимірюваної величини та чутливістю засобу вимірювання. Абсолютні адитивні похибки незмінні по всьому діапазоні вимірів.

Значення абсолютної адитивної похибки визначає мінімальне значення величини, яке можна виміряти засобом вимірювань.

Значення мультиплікативних похибок змінюються пропорційно до змін значень вимірюваної величини. Значення мультиплікативних похибок також пропорційні чутливості засобу вимірювань. Мультиплікативна похибка виникає через вплив впливу величин на параметричні характеристики елементів приладу.

Похибки, які можуть виникнути у процесі вимірювань, класифікують характером появи. Виділяють:

· Систематичні похибки;

· Випадкові похибки.

У процесі вимірювання можуть з'явитися грубі похибки та промахи.

Систематична похибка– це складова частинавсієї похибки результату виміру, яка не змінюється або змінюється закономірно при багаторазових вимірах однієї й тієї ж величини. Зазвичай систематичну похибку намагаються виключити можливими способами(наприклад, застосуванням методів вимірювання, що знижують ймовірність її виникнення), якщо систематичну похибку неможливо виключити, то її прораховують до початку вимірювань і в результат вимірювання вносяться відповідні поправки. У процесі нормування систематичної похибки визначаються межі її допустимих значень. Систематична похибка визначає правильність вимірів засобів виміру (метрологічна властивість). Систематичні похибки часом можна визначити експериментальним шляхом. Результат вимірювань можна уточнити за допомогою введення поправки.

Способи виключення систематичних похибок поділяються на чотири види:

· Ліквідація причин і джерел похибок до початку проведення вимірювань;

· Усунення похибок у процесі вже розпочатого вимірювання способами заміщення, компенсації похибок за знаком, протиставленням, симетричних спостережень;

· Коригування результатів вимірювання за допомогою внесення поправки (усунення похибки шляхом обчислень);

· Визначення меж систематичної похибки у разі, якщо її не можна усунути.

Ліквідація причин та джерел похибок до початку проведення вимірювань. Цей спосібє самим оптимальним варіантом, оскільки його використання спрощує подальший хід вимірів (немає необхідності виключати похибки в процесі вже розпочатого виміру або вносити виправлення в отриманий результат).

Для усунення систематичних похибок у процесі вже розпочатого виміру застосовуються різні способи

Спосіб запровадження поправокбазується на знанні систематичної похибки та чинних закономірностей її зміни. При використанні даного способу результат вимірювання, отриманий з систематичними похибками, вносять поправки, за величиною рівні цим похибкам, але зворотні по знаку.

Спосіб заміщенняполягає в тому, що вимірювана величина замінюється мірою, поміщеною в ті самі умови, в яких знаходився об'єкт вимірювання. Спосіб заміщення застосовується при вимірі наступних електричних параметрів: опору, ємності та індуктивності.

Спосіб компенсації похибки за знакомполягає в тому, що вимірювання виконуються двічі таким чином, щоб похибка, невідома за величиною, включалася до результатів вимірювань із протилежним знаком.

Спосіб протиставленнясхожий спосіб компенсації по знаку. Даний спосіб полягає в тому, що вимірювання виконують двічі таким чином, щоб джерело похибки при першому вимірі протилежним чином діяв результат другого вимірювання.

Випадкова похибка- Це складова частина похибки результату вимірювання, що змінюється випадково, незакономірно при проведенні повторних вимірювань однієї і тієї ж величини. Поява випадкової похибки не можна передбачити та передбачити. Випадкову похибку неможливо повністю усунути, вона завжди дещо спотворює кінцеві результати вимірювань. Але можна зробити результат виміру більш точним за рахунок проведення повторних вимірів. Причиною випадкової похибки може стати, наприклад, випадкова зміна зовнішніх факторів, що впливають на процес виміру. Випадкова похибка під час проведення багаторазових вимірів з досить великим ступенем точності призводить до розсіювання результатів.

Промахи та грубі похибки- це похибки, що набагато перевищують передбачувані в даних умовах проведення вимірювань систематичні та випадкові похибки. Промахи та грубі похибки можуть з'являтися через грубі помилки в процесі проведення вимірювання, технічної несправностізасоби виміру, несподіваної зміни зовнішніх умов.