Метод Лагранжа (варіації постійної). Лінійні диференціальні рівняння першого ладу. ОДУ. Метод варіації довільної постійної

Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння
. (2)
Нехай y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальна система рішень, а - спільне рішеннявідповідного однорідного рівняння L(y)=0 . Аналогічно нагоди рівнянь першого порядку, шукатимемо рішення рівняння (2) у вигляді
. (3)
Переконаємося у тому, що рішення у такому вигляді існує. Для цього підставимо функцію рівняння. Для встановлення цієї функції в рівняння знайдемо її похідні. Перша похідна дорівнює
. (4)
При обчисленні другої похідної у правій частині (4) з'явиться чотири доданки, при обчисленні третьої похідної - вісім доданків і так далі. Тому, для зручності подальшого рахунку, перший доданок (4) вважають рівним нулю. З урахуванням цього, друга похідна дорівнює
. (5)
За тими самими, що раніше, міркувань, в (5) також вважаємо перший доданок рівним нулю. Зрештою, n-а похіднадорівнює
. (6)
Підставляючи отримані значення похідних у вихідне рівняння, маємо
. (7)
Друге доданок (7) дорівнює нулю, так як функції y j , j=1,2,..,n, є рішеннями відповідного однорідного рівняння L(y)=0. Поєднуючи з попереднім, отримуємо систему алгебраїчних рівняньдля знаходження функцій C" j (x)
(8)
Визначник цієї системи є визначником Вронської фундаментальної системи рішень y 1 ,y 2 ,..,y n відповідного однорідного рівняння L(y)=0 і тому не дорівнює нулю. Отже, існує єдине рішення системи (8). Знайшовши його, отримаємо функції C" j (x), j=1,2,…,n, а, отже, і C j (x), j=1,2,…,n Підставляючи ці значення (3), отримуємо рішення лінійного неоднорідного рівняння.
Викладений метод називається методом варіації довільної постійної чи методом Лагранжа.

Максимальний ступінь похідної 2 3 4 5 6

Приклад №1. Знайдемо загальне рішення рівняння y" + 4y + 3y = 9e -3 x . Розглянемо відповідне однорідне рівняння y" + 4y + 3y = 0. Коріння його характеристичного рівняння r 2 + 4r + 3 = 0 рівні -1 і - 3. Тому фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння складається з функцій y 1 = e - x та y 2 = e -3 x. Розв'язання неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Для знаходження похідних C" 1 , C" 2 складаємо систему рівнянь (8)

вирішуючи яку, знаходимо , інтегруючи отримані функції, маємо
Остаточно отримаємо

Приклад №2. Вирішити лінійні диференційне рівняннядругого порядку з постійними коефіцієнтамиметодом варіації довільних постійних:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Рішення:
Дане диференціальне рівняння відноситься до лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.
Розв'язання рівняння будемо шукати у вигляді y = e rx. Для цього складаємо характеристичне рівняннялінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Коріння характеристичного рівняння: r 1 = 4, r 2 = 2
Отже, фундаментальну системурішень складають функції:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:

Пошук приватного рішення шляхом варіації довільної постійної.
Для знаходження похідних C" i складаємо систему рівнянь:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Виразимо C" 1 з першого рівняння:
C" 1 = -c 2 e -2x
і підставимо на друге. У результаті отримуємо:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x / (e 2x +2e 4x)
Інтегруємо отримані функції C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Оскільки , то записуємо отримані вирази у вигляді:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким чином, загальне рішення диференціального рівняння має вигляд:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
або
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Знайдемо приватне рішення за умови:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Підставляючи x = 0, у знайдене рівняння, отримаємо:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Знаходимо першу похідну від отриманого загального рішення:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Підставляючи x = 0, отримаємо:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Отримуємо систему із двох рівнянь:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
або
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
або
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Звідки:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Приватне рішення запишеться як:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами довільного n-го порядку:
(1) .
Метод варіації постійної, розглянутий нами рівняння першого порядку , також застосуємо й у рівнянь вищих порядків.

Рішення виконується у два етапи. На першому етапі ми відкидаємо праву частину та вирішуємо однорідне рівняння. В результаті отримуємо рішення, що містить довільних n постійних. На другому етапі ми змінюємо постійні. Тобто ми вважаємо, що ці постійні є функціями від незалежної змінної x та знаходимо вигляд цих функцій.

Хоча ми тут розглядаємо рівняння із постійними коефіцієнтами, але метод Лагранжа також застосовний і для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь. Для цього, однак, має бути відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння.

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Як і у разі рівнянь першого порядку, ми шукаємо загальне рішення однорідного рівняння, прирівнюючи праву неоднорідну частину до нуля:
(2) .
Загальне рішення такого рівняння має вигляд:
(3) .
Тут – довільні постійні; - n лінійно незалежних розв'язків однорідного рівняння (2), які утворюють фундаментальну систему розв'язків цього рівняння.

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

На другому етапі ми займемося варіацією постійних. Іншими словами, ми замінимо постійні на функції від незалежної змінної x:
.
Тобто ми шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у такому вигляді:
(4) .

Якщо ми підставимо (4) (1), то отримаємо одне диференціальне рівняння для n функцій . У цьому ми можемо пов'язати ці функції додатковими рівняннями. Тоді вийде n рівнянь, у тому числі можна визначити n функцій . Додаткові рівняння можна скласти у різний спосіб. Але ми це зробимо так, щоб рішення мало найпростіший вигляд. Для цього, при диференціюванні, потрібно прирівнювати до нуля члени, що містять похідні від функцій. Продемонструємо це.

Щоб підставити передбачуване рішення (4) у вихідне рівняння (1), потрібно знайти похідні перших n порядків від функції, записаної як (4). Диференціюємо (4), застосовуючи правила диференціювання сумита твори:
.
Згрупуємо члени. Спочатку випишемо члени з похідними від , а потім члени з похідними від :

.
Накладемо на функції першу умову:
(5.1) .
Тоді вираз для першої похідної буде мати більш простий вигляд:
(6.1) .

Тим самим способом знаходимо другу похідну:

.
Накладемо на функції другу умову:
(5.2) .
Тоді
(6.2) .
І так далі. У додаткових умов, ми прирівнюємо члени, що містять похідні функції до нуля.

Таким чином, якщо вибрати наступні додаткові рівняння для функцій:
(5.k) ,
то перші похідних по матимуть найпростіший вид:
(6.k) .
Тут.

Знаходимо n-ю похідну:
(6.n)
.

Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;






.
Врахуємо, що всі функції відповідають рівнянню (2):
.
Тоді сума членів, що містять, дають нуль. У результаті отримуємо:
(7) .

В результаті ми отримали систему лінійних рівняньдля похідних:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Вирішуючи цю систему, знаходимо вирази для похідних як функції x . Інтегруючи, отримаємо:
.
Тут - вже не залежать від x постійні. Підставляючи (4), отримуємо загальне рішення вихідного рівняння.

Зауважимо, що визначення величин похідних ми ніде не використовували той факт, що коефіцієнти a i є постійними. Тому метод Лагранжа застосовується для вирішення будь-яких лінійних неоднорідних рівнянь, якщо відома фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння (2).

Приклади

Розв'язати рівняння методом варіації постійних (Лагранжа).

Теоретичний мінімум

Теоретично диференціальних рівнянь існує метод, що претендує досить високий для цієї теорії ступінь універсальності.
Йдеться про метод варіації довільної постійної, що застосовується до розв'язання різних класів диференціальних рівнянь та їх
систем. Це саме той випадок, коли теорія – якщо вивести за дужки докази тверджень – мінімальна, але дозволяє добиватися
значних результатів, тому основний акцент буде зроблено на прикладах.

Загальну ідею способу сформулювати досить легко. Нехай задане рівняння(систему рівнянь) вирішити складно чи взагалі незрозуміло,
як її вирішувати. Однак видно, що при виключенні з рівняння деяких доданків воно вирішується. Тоді вирішують саме таке спрощене
рівняння (систему), одержують рішення, що містить кілька довільних констант - залежно від порядку рівняння (кількості
рівнянь у системі). Потім вважають, що константи у знайденому рішенні насправді константами не є, знайдене рішення
підставляється у вихідне рівняння (систему), виходить диференціальне рівняння (чи система рівнянь) визначення "констант".
Існує певна специфіка у застосуванні методу варіації довільної постійної до різних завдань, але це вже зокрема, які будуть
показані на прикладах.

Окремо розглянемо рішення лінійних неоднорідних рівнянь вищих порядків, тобто. рівнянь виду
.
Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння та приватного рішення
даного рівняння. Припустимо, що загальне рішення однорідного рівняння вже знайдено, а саме побудовано фундаментальну систему рішень (ФСР)
. Тоді загальне рішення однорідного рівняння дорівнює.
Потрібно знайти будь-яке окреме рішення неоднорідного рівняння. Для цього константи вважаються залежними від змінної.
Далі потрібно вирішити систему рівнянь
.
Теорія гарантує, що ця система алгебраїчних рівнянь щодо похідних від функцій має єдине рішення.
При знаходженні самих функцій константи інтегрування не з'являються: адже шукається будь-яке одне рішення.

У разі розв'язання систем лінійних неоднорідних рівнянь першого порядку виду

алгоритм майже змінюється. Спочатку потрібно знайти ФСР відповідною однорідної системирівнянь, скласти фундаментальну матрицю
системи , стовпці якої є елементами ФСР. Далі складається рівняння
.
Вирішуючи систему, визначаємо функції , знаходячи таким чином приватне рішення вихідної системи
(фундаментальна матриця множиться на стовпець знайдених функцій).
Додаємо його до загального розв'язання відповідної системи однорідних рівнянь, що будується на основі вже знайденої ФСР.
Виходить загальне рішення вихідної системи.

приклади.

приклад 1. Лінійні неоднорідні рівняння першого порядку.

Розглянемо відповідне однорідне рівняння (шукану функцію позначимо):
.
Це рівняння легко вирішується шляхом поділу змінних:

.
А тепер представимо рішення вихідного рівняння у вигляді , де функцію ще потрібно знайти.
Підставляємо такий вид рішення у вихідне рівняння:
.
Як видно, другий і третій доданок у лівій частині взаємно знищуються - це характерна рисаметоду варіації довільної постійної.

Ось тут уже – справді, довільна постійна. Таким чином,
.

приклад 2. Рівняння Бернуллі.

Діємо аналогічно першому прикладу – вирішуємо рівняння

шляхом поділу змінних. Вийде , тому рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Підставляємо цю функцію у вихідне рівняння:
.
І знову відбуваються скорочення:
.
Тут потрібно не забути переконатися, що при розподілі на не втрачається рішення. А випадку відповідає рішення вихідного
рівняння. Запам'ятаємо його. Отже,
.
Запишемо.
Це є рішення. При записі відповіді слід також вказати знайдене раніше рішення, оскільки йому не відповідає жодне кінцеве значення
константи.

приклад 3. Лінійні неоднорідні рівняння вищих порядків.

Відразу зауважимо, що це рівняння можна вирішити і простіше, але на ньому зручно показати метод. Хоча деякі переваги
метод варіації довільної постійної і в цьому прикладі є.
Отже, треба починати з ФСР відповідного однорідного рівняння. Нагадаємо, що для знаходження ФСР складається характеристичне
рівняння
.
Таким чином, загальне рішення однорідного рівняння
.
Константи, що входять сюди, і доведеться варіювати. Складаємо сист

Для знаходження загального рішення y''+(x) y'+(x) y = f(x) необхідно знайти приватне рішення.

Його можна знайти із загального рішення рівняння y'' + (x) y' + (x) y = 0 деяких варіацій довільних постійних

Підставимо в (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

Інтегруванням знайдемо і

Потім за формулою (5.6) складемо загальне рішення

Теорема (5.2): про накладення рішення

Якщо права частинарівняння y'' + (x) y' + (x) y = f (x) являє собою суму двох функцій:

f(x) = (x) + (x) ,

а u - приватне рішення рівняння

+ (x) y '+(x) y = (x)

+ (x) y '+(x) y = (x)

То функція

Є рішення даного рівняння

() '' + ) ' + ) '= '' + + + () '' + ) ' + = (x) + (x) = f(x)

10. Рівняння Бернуллі.

11. Рівняння Ріккаті.:

Рівняння Ріккатіє одним із найцікавіших нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Воно записується у формі:

де a(x), b(x), c(x) − безперервні функції, що залежать від змінної x.

Рівняння Ріккаті зустрічається в різних галузях математики (наприклад, в геометрії алгебри і в теорії конформних відображень) і фізики. Воно також нерідко виникає у прикладних математичних завданнях.

Наведене вище рівняння називається загальним рівняннямРіккаті. Його рішення ґрунтується на наступній теоремі:

Теорема: Якщо відомо приватне рішення y 1 рівняння Ріккаті, його загальне рішення визначається формулою

Справді, підставляючи рішення y = y 1 + uв рівняння Ріккаті, маємо:

Підкреслені члени у лівій та правій частині можна скоротити, оскільки y 1 – приватне рішення, що задовольняє рівняння. В результаті ми отримуємо диференціальне рівняння для функції u(x):

Другий варіант риккаті(писати тільки один з)

У загальному випадкуне інтегровано у квадратурах

Однак якщо відомо одне приватне рішення, то рівняння Ріккаті можна звести до рівняння Бернуллі

Для цього покладемо зробимо заміну:

P(x) + p(x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q(x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x)) + q (x) = 0

n=2 Бернули

12. Рівняння Лагранжа.:

13. Рівняння Клер.:

14. Диференціальні рівняння порядку вище першого. Випадки зниження порядку.

15. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку. Вронскіан. Фундаментальна система рішень.

16. Однорідні диференціальні рівняння із постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння:

Окремим випадком розглянутих вище лінійних однорідних

диференціальних рівнянь є ЛОДУ з постійними

коефіцієнтами.

17. Лінійні неоднорідні рівняння. Відшукання приватного рішення у разі рівняння з квазіполіномом:

Квазіполіном Ейлера:Розглянемо ЛНДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) Можна шукати приватне рішення методом Лагранжа, однак у деяких випадках можна знайти простіше Розглянемо ці випадки:1. f(x) = , -Многочлен ступеня n. 2.f(x) = (cos β x + (x) sin β x). У цих випадках f(x) називають квазіполіномом Ейлер. У цих випадках записують очікувану форму рішення з невизначеними коефіцієнтами та підставляють у ур-і (5.1). З отриманого тотожності знаходять значення коефіцієнтів. Випадок 1 : права частина (5.7) має вигляд: f(x) = R - багаточлен ступеня n. Ур-е (5,7) запишеться як: y'' + p y' + q y = (5.8) І тут приватне реш-е шукаємо як: = Qn (x) (5.9) де r - Число = кратності α як кореня характеристичного ур-я + p k + q = 0, тобто. r - число, що показує скільки разів α явл-я коренем ур-я + p k + q = 0, При цьому Qn (x) = + + …. + A n - багаточлен ступеня n, записаний з невизначеними коефіцієнтами Ai (i = 0, 1, 2, ... n) А) Нехай α не є коренем характеристичного ур-я: + p k + q = 0, тобто. α , r = 0 і рішення шукаємо у вигляді = Q n (x) Б) Нехай α є одноразовим (простим) коренем характеристичного ур-я + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) В) Нехай α = є 2-кратним коренем характеристичного ур-я + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) Випадок 2: Права частина (5.7) має вигляд: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) ,Де )і Qm (x) багаточлени ступеня n і m відповідно, α і β - дійсного числа, тоді ур-е (5.7) запишеться у вигляді y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) У цьому випадку приватне рішення: = * (Ml(x) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r-число рівне кратності (α + βi) як кореня рівняння: + pk + q = 0, Me (x) і Ne (x) - багаточлени ступеня l з невизначеними коефіцієнтами. l – найвища ступінь багаточленів) і Qm (x), l = max (n, m). Примітка 1: Після підстановки функції (5.11) (5.10) прирівнюють багаточлени, що стоять перед однойменними тригоном. функціями в лівій та правій частинах ур-я. Зауваження 2 : Формула (5.11) зберігається і за ) 0 і Qm (x) 0. Примітка 3 : Якщо права частина ур-я (5.7) є сума функцій виду 1 і 2 , то знаходження слід використовувати теорему (5.2) про накладення рішень. Теорема (5.2): про накладення рішень: Якщо праві частини ур-я (5.1) являють собою суму 2-х функцій: f (x) = (x) + (x), а u - приватні рішення ур-я + (x) y '+ (x) y = (x) + (x) y '+ (x) y = (x) Це рішення цього ур-я. Інтегрування ЛНДУ п-го порядку (n постійним коефіцієнтом та правою частиноюспеціального виду. Розглянемо ЛНДУ n-го порядку + (x) + (x) + … + (x) y = f(x) де (x) , …, (x) , f(x) задані безперервною функцієюна інтервалі (а, b). Соотв. однорідне ур-е + (x) + … + (x) y = 0 . Загальне рішення у ЛНДУ n-го порядку = сумі приватного рішення НУ та загального рішення ОУy= . може бути знайдено якщо відомо загальне рішення ОУ = + + … + де yi (x) - приватне реш-е утворює фундаментальну систему рішень ОУ. Для знаходження Сi (x) складається система ур-й + + … + = 0 + + 0 + + … + = 0 + + … + = f (x)Однак для ЛНДУ n-го порядку з постійними коефіцієнтами, права частина f(x) якого має спеціальний вид, можна знайти методом невизначених коеф-в. Метод підбору приватного рішення для рівняння y'' + + … + y = f (x) R, де f (x) квазіполіном Ейлера той же, що і при n=2.

Метод варіації довільних постійних застосовується на вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. Цей урок призначений для студентів, які вже більш-менш добре орієнтуються в темі. Якщо ви тільки починаєте знайомитися з ДК, тобто. є чайником, то рекомендую почати з першого уроку: Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. А якщо вже закінчуєте, будь ласка, відкиньте можливу упереджену думку, що метод складний. Тому що він простий.

У яких випадках застосовують метод варіації довільних постійних?

1) Метод варіації довільної постійної можна використовувати при вирішенні лінійного неоднорідного ДК 1-го порядку. Якщо рівняння першого порядку, те й стала (константа) теж одна.

2) Метод варіації довільних постійних використовують для вирішення деяких лінійних неоднорідних рівнянь другого порядку. Тут варіюються дві постійні (константи).

Логічно припустити, що урок складатиметься з двох параграфів. Ось написав цю пропозицію, і хвилин 10 болісно думав, яку б ще розумну хрень додати для плавного переходу до практичним прикладам. Але чомусь думок після свят немає жодних, хоча ніби й не зловживав нічим. Тому одразу візьмемося за перший параграф.

Метод варіації довільної постійної
для лінійного неоднорідного рівняння першого порядку

Перед розглядом методу варіації довільної постійної бажано бути знайомим із статтею Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. На тому уроці ми відпрацьовували перший спосіб вирішеннянеоднорідного ДК 1-го порядку. Цей перший спосіб вирішення, нагадую, називається метод заміниабо метод Бернуллі(не плутати з рівнянням Бернуллі!!!)

Зараз ми розглянемо другий спосіб вирішення– метод варіації довільної постійної. Я наведу лише три приклади, причому візьму їх із вищезгаданого уроку. Чому так мало? Тому що насправді рішення другим способом буде дуже схожим на рішення першим способом. Крім того, за моїми спостереженнями, метод варіації довільних постійних застосовується рідше за метод заміни.

Приклад 1

(Діффур з Прімера №2 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Дане рівняння є лінійним неоднорідним і має знайомий вигляд:

На першому етапі необхідно вирішити просте рівняння:
Тобто тупо обнулюємо праву частину – замість пишемо нуль.
Рівняння Я буду називати допоміжним рівнянням.

У даному прикладіпотрібно вирішити наступне допоміжне рівняння:

Перед нами рівняння з змінними, що розділяються, Рішення якого (сподіваюся) вже не представляє для вас складнощів:

Таким чином:
- Загальне рішення допоміжного рівняння.

На другому кроці замінимоконстанту деякою поки щоневідомою функцією, яка залежить від «ікс»:

Звідси і назва методу – варіюємо константу. Як варіант, константа може бути деякою функцією, яку ми маємо зараз знайти.

У вихідномунеоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Підставимо і у рівняння :

Контрольний момент – два доданки в лівій частині скорочуються. Якщо цього немає, слід шукати помилку вище.

В результаті заміни отримано рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні та інтегруємо.

Яка благодать, експоненти також скорочуються:

До знайденої функції приплюсовуємо «нормальну» константу:

на заключному етапізгадуємо про нашу заміну:

Функцію щойно знайдено!

Таким чином, загальне рішення:

Відповідь:спільне рішення:

Якщо ви роздрукуєте два способи рішення, то легко помітите, що в обох випадках ми знаходили ті самі інтеграли. Відмінність лише алгоритмі решения.

Тепер щось складніше, другий приклад я теж прокоментую:

Приклад 2

Знайти загальне рішення диференціального рівняння
(Діффур з Прімера №8 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Наведемо рівняння до виду :

Обнулимо праву частину і вирішимо допоміжне рівняння:

Загальне рішення допоміжного рівняння:

У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

За правилом диференціювання твору:

Підставимо і у вихідне неоднорідне рівняння:

Два складові в лівій частині скорочуються, значить ми на вірному шляху:

Інтегруємо частинами. Смачна буква з формули інтегрування частинами у нас вже задіяна у рішенні, тому використовуємо, наприклад, букви «а» і «бе»:

Тепер згадуємо проведену заміну:

Відповідь:спільне рішення:

І один приклад для самостійного рішення:

Приклад 3

Знайти окреме рішення диференціального рівняння, що відповідає заданій початковій умові.

,
(Діффур з Прімера №4 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)
Рішення:
Дане ДК є лінійним неоднорідним. Використовуємо метод варіації довільних постійних. Вирішимо допоміжне рівняння:

Розділяємо змінні та інтегруємо:

Спільне рішення:
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Виконаємо підстановку:

Таким чином, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові:

Відповідь:приватне рішення:

Рішення наприкінці уроку може бути зразкомдля чистового оформленнязавдання.

Метод варіації довільних постійних
для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

Часто доводилося чути думку, що метод варіації довільних постійних рівняння другого порядку – штука не з легких. Але я припускаю наступне: швидше за все, метод багатьом здається важким, оскільки зустрічається не так часто. А насправді особливих складнощів немає – перебіг рішення чіткий, прозорий, зрозумілий. І красивий.

Для освоєння методу бажано вміти розв'язувати неоднорідні рівняння другого порядку способом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Цей спосібдокладно розглянуто у статті Неоднорідні ДК 2-го порядку. Згадуємо, що лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:

Метод підбору, який розглядався на згаданому вище уроці, проходить лише в обмеженій низці випадків, коли в правій частині знаходяться багаточлени, експоненти, синуси, косинуси. Але що робити, коли справа, наприклад, дріб, логарифм, тангенс? У такій ситуації на допомогу таки приходить метод варіації постійних.

Приклад 4

Знайти загальне рішення диференціального рівняння другого порядку

Рішення:У правій частині даного рівняння знаходиться дріб, тому одразу можна сказати, що метод підбору приватного рішення не прокочує. Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Ніщо не віщує грози, початок рішення цілком звичайне:

Знайдемо спільне рішеннявідповідного однорідногорівняння:

Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:


– отримано пов'язане комплексне коріння, тому загальне рішення:

Зверніть увагу на запис загального рішення – якщо є дужки, їх розкриваємо.

Тепер робимо практично той же трюк, що і для рівняння першого порядку: варіюємо константи, замінюючи їх невідомими функціями. Тобто, загальне рішення неоднорідногорівняння будемо шукати у вигляді:

Де – поки щоневідомі функції.

Схоже на звалище побутових відходів, Але зараз все розсортуємо.

Як невідомі виступають похідні функцій. Наша мета – знайти похідні, причому знайдені похідні повинні задовольняти і першому та другому рівнянню системи.

Звідки беруться "ігреки"? Їх приносить лелека. Дивимося на отримане раніше загальне рішення та записуємо:

Знайдемо похідні:

Із лівими частинами розібралися. Що праворуч?

– це права частина вихідного рівняння, даному випадку:

Коефіцієнт – це коефіцієнт при другій похідній:

Насправді майже завжди, і наш приклад не виняток.

Все прояснилося, тепер можна скласти систему:

Систему зазвичай вирішують за формулами Крамера, використовуючи стандартний алгоритм. Єдина відмінність полягає в тому, що замість чисел ми маємо функції.

Знайдемо головний визначник системи:

Якщо забули, як розкривається визначник «два на два», зверніться до уроку Як визначити обчислювач?Посилання веде на дошку ганьби =)

Отже, отже, система має єдине рішення.

Знаходимо похідну:

Але це ще не все, поки ми знайшли лише похідну.
Сама функція відновлюється інтегруванням:

Розбираємось з другою функцією:

Тут додаємо «нормальну» константу

На заключному етапі рішення згадуємо, як ми шукали загальне рішення неоднорідного рівняння? У такому:

Потрібні функції щойно знайдені!

Залишилося виконати підстановку та записати відповідь:

Відповідь:спільне рішення:

У принципі, у відповіді можна було розкрити дужки.

Повна перевірка відповіді виконується за стандартною схемою, яка розглядалася на уроці Неоднорідні ДК 2-го порядку. Але перевірка буде непростою, оскільки має знаходити досить важкі похідні та проводити громіздку підстановку. Це неприємна особливість, коли ви вирішуєте такі дифури.

Приклад 5

Розв'язати диференціальне рівняння методом варіації довільних постійних

Це приклад самостійного рішення. Насправді у правій частині теж дріб. Згадуємо тригонометричну формулу, її, до речі, необхідно буде застосувати у процесі рішення.

Метод варіації довільних постійних - найбільш універсальний метод. Їм можна вирішити будь-яке рівняння, яке вирішується методом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Постає питання, а чому б і там не використовувати метод варіації довільних постійних? Відповідь очевидна: добір приватного рішення, що розглядався на уроці Неоднорідні рівняння другого порядку, значно прискорює рішення та скорочує запис – ніякого трахкання з визначниками та інтегралами.

Розглянемо два приклади з завданням Коші.

Приклад 6

Знайти окреме рішення диференціального рівняння, що відповідає заданим початковим умовам

,

Рішення:Знову дріб та експонента в цікавому місці.
Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Знайдемо спільне рішеннявідповідного однорідногорівняння:



– отримано різне дійсне коріння, тому загальне рішення:

Загальне рішення неоднорідногорівняння шукаємо у вигляді: , де – поки щоневідомі функції.

Складемо систему:

В даному випадку:
,
Знаходимо похідні:
,

Таким чином:

Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.

Відновлюємо функцію інтегруванням:

Тут використаний метод підведення функції під знак диференціалу.

Відновлюємо другу функцію інтегруванням:

Такий інтеграл вирішується методом заміни змінної:

Із самої заміни виражаємо:

Таким чином:

Цей інтеграл можна знайти методом виділення повного квадрата, але в прикладах з диффурами я волію розкладати дріб методом невизначених коефіцієнтів:

Обидві функції знайдено:

В результаті загальне рішення неоднорідного рівняння:

Знайдемо приватне рішення, що задовольняє початкові умови .

Технічно пошук рішення здійснюється стандартним способом, що розглядався у статті Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.

Тримайтеся, зараз знаходимо похідну від знайденого загального рішення:

Ось таке неподобство. Спрощувати його не обов'язково, легше одразу скласти систему рівнянь. Відповідно до початкових умов :

Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:

У відповіді логарифми можна запакувати.

Відповідь:приватне рішення:

Як бачите, труднощі можуть виникнути в інтегралах і похідних, але не в самому алгоритмі методу варіації довільних постійних. Це не я вас залякав, це все збірка Кузнєцова!

Для розслаблення останній, більш простий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Вирішити завдання Коші

,

Приклад нескладний, але творчий, коли складете систему, уважно її подивіться, як вирішувати;-),




В результаті загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає початковим умовам .



Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:

Відповідь:приватне рішення: