Знайти фундаментальний набір рішень онлайн. Системи лінійних однорідних рівнянь
Нехай М 0 – безліч рішень однорідної системи (4) лінійних рівнянь.
Визначення 6.12.Вектори з 1 ,з 2 , …, з p, що є рішеннями однорідної системи лінійних рівнянь, називаються фундаментальним набором рішень(скорочено ФНР), якщо
1) вектори з 1 ,з 2 , …, з pлінійно незалежні (тобто жоден з них не можна виразити через інші);
2) будь-яке інше рішення однорідної системи лінійних рівнянь можна виразити через рішення з 1 ,з 2 , …, з p.
Зауважимо, що якщо з 1 ,з 2 , …, з p- будь-який ф.н.р., то виразом k 1 × з 1 + k 2 × з 2 + … + k p× з pможна описати все безліч М 0 рішень системи (4), тому його називають загальним видом вирішення системи (4).
Теорема 6.6.Будь-яка невизначена однорідна система лінійних рівнянь має фундаментальний набір рішень.
Спосіб знаходження фундаментального набору рішень полягає в наступному:
Знайти загальне рішенняоднорідної системи лінійних рівнянь;
Побудувати ( n – r) приватних рішень цієї системи, при цьому значення вільних невідомих мають утворювати одиничну матрицю;
Виписати загальний вигляд рішення, що входить до М 0 .
приклад 6.5.Знайти фундаментальний набір рішень наступної системи:
Рішення. Знайдемо загальне рішення цієї системи.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
У цій системі п'ять невідомих ( n= 5), з них головних невідомих два ( r= 2), вільних невідомих три ( n – r), тобто у фундаментальному наборі рішень міститься три вектори рішення. Побудуємо їх. Маємо x 1 та x 3 – головні невідомі, x 2 , x 4 , x 5 – вільні невідомі
Значення вільних невідомих x 2 , x 4 , x 5 утворюють одиничну матрицю Eтретього порядку. Отримали, що вектори з 1 ,з 2 , з 3 утворюють ф.н.р. даної системи. Тоді безліч рішень цієї однорідної системи буде М 0 = {k 1 × з 1 + k 2 × з 2 + k 3 × з 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).
З'ясуємо тепер умови існування ненульових рішень однорідної системи лінійних рівнянь, тобто умови існування фундаментального набору рішень.
Однорідна система лінійних рівнянь має ненульові рішення, тобто є невизначеною, якщо
1) ранг основної матриці системи менше числаневідомих;
2) в однорідній системі лінійних рівнянь число рівнянь менше від числа невідомих;
3) якщо в однорідній системі лінійних рівнянь число рівнянь дорівнює числу невідомих і визначник основної матриці дорівнює нулю (тобто | A| = 0).
Приклад 6.6. При якому значенні параметра aоднорідна система лінійних рівнянь 
має ненульові рішення?
Рішення. Складемо основну матрицю цієї системи та знайдемо її визначник: = = 1×(–1) 1+1 × = – а– 4. Визначник цієї матриці дорівнює нулю при a = –4.
Відповідь: –4.
7. Арифметичне n-мірний векторний простір
Основні поняття
У попередніх розділах вже зустрічалося поняття про набір із дійсних чисел, розташованих у певному порядку. Це матриця-рядок (або матриця-стовпець) і рішення системи лінійних рівнянь з nневідомими. Ці відомості можна узагальнити.
Визначення 7.1. n-мірним арифметичним векторомназивається впорядкований набір з nдійсних чисел.
Значить а= (a 1 , a 2 , …, a n), де a iÎ R, i = 1, 2, …, n- Загальний вигляд вектора. Число nназивається розмірністювектора, а числа a iназиваються його координатами.
Наприклад: а= (1, -8, 7, 4, ) - П'ятимірний вектор.
Все безліч n-мірних векторів прийнято позначати як R n.
Визначення 7.2.Два вектори а= (a 1 , a 2 , …, a n) та b= (b 1 , b 2 , …, b n) однакової розмірності рівнітоді й лише тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Визначення 7.3.Сумоюдвох n-мірних векторів а= (a 1 , a 2 , …, a n) та b= (b 1 , b 2 , …, b n) називається вектор a + b= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n+ b n).
Визначення 7.4. Творомдійсного числа kна вектор а= (a 1 , a 2 , …, a n) називається вектор k× а = (k×a 1 , k×a 2 , …, k×a n)
Визначення 7.5.Вектор о= (0, 0, …, 0) називається нульовим(або нуль-вектором).
Легко перевірити, що дії (операції) складання векторів та множення їх на дійсне число мають наступними властивостями: " a, b, c Î R n, " k, lÎ R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + о = a;
4) a+ (–a) = о;
5) 1× a = a, 1 R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Визначення 7.6.Безліч R nіз заданими на ньому операціями складання векторів та множення їх на дійсне число називається арифметичним n-вимірним векторним простором.
Ви можете замовити докладне рішеннявашого завдання !!!Щоб зрозуміти, що таке фундаментальна система рішеньВи можете переглянути відео-урок для цього ж прикладу, клацнувши . Тепер перейдемо власне до опису всієї необхідної роботи. Це допоможе вам детальніше розібратися в суті цього питання.
Як знайти фундаментальну систему розв'язків лінійного рівняння?
Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:
Знайдемо рішення цієї лінійної системирівнянь. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.
Перетворимо цю матрицю на трикутну.Перший рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(11)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(21)$, треба від другого рядка відняти першу, і різницю записати в другому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від третього рядка відняти першу і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(41)$, треба від четвертого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в п'ятому рядку. 
Перший та другий рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(22)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(32)$, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(42)$, треба від четвертого рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(52)$, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 і різницю записати в п'ятому рядку. 
Бачимо, що останні три рядки – однаковітому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими. 
За цією матрицею записуємо нову системурівнянь.
Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас лише три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень складатиметься з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі праворуч.
Тепер починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять у лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо $x_3$, потім отриманий результат підставимо на друге рівняння і висловимо $x_2$, а потім у перше рівняння і тут висловимо $x_1$. Таким чином ми всі невідомі, що стоять у лівій частині, висловили через невідомі, що стоять у правій частині. 
Після чого ви замість $x_4$ і $x_5$ можемо підставляти будь-які числа і знаходити $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять до ФСРнам треба замість $x_4$ підставити 1, а замість $x_5$ підставити 0, знайти $x_1$, $x_2$ і $x_3$, та був навпаки $x_4=0$ і $x_5=1$.
Рішеннязнаходимо за допомогою калькулятора. Алгоритм рішення такий самий, як і для лінійних систем не однорідних рівнянь.
Оперуючи тільки з рядками, знаходимо ранг матриці, базовий мінор; оголошуємо залежні та вільні невідомі та знаходимо спільне рішення.
Перший і другий рядки пропорційні, один з них викреслимо:
.
Залежні змінні - x 2, x 3, x 5, вільні - x 1, x 4. З першого рівняння 10x5=0 знаходимо x5=0, тоді
; .
Загальне рішення має вигляд:
Знаходимо фундаментальну систему рішень, що складається з (n-r) рішень. У разі n=5, r=3, отже, фундаментальна система рішень і двох рішень, причому ці рішення мають бути лінійно незалежними. Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 2. Достатньо надати вільним невідомим x 1 і x 4 значення з рядків визначника другого порядку, відмінного від нуля, і підрахувати х 2 , х 3 , х 5 . Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є .
Таким чином, перше рішення:
, друге – 
.
Ці два рішення становлять фундаментальну систему рішень. Зауважимо, що фундаментальна система не єдина (визначників, відмінних від нуля, можна скласти скільки завгодно).
Приклад 2 . Знайти загальне рішення та фундаментальну систему рішень системи 
Рішення.
,
звідси випливає, що ранг матриці дорівнює 3 і дорівнює числу невідомих. Отже, система немає вільних невідомих, тому має єдине рішення – тривіальне.
Завдання. Дослідити та вирішити систему лінійних рівнянь.
Приклад 4
Завдання. Знайти загальне та приватне рішення кожної системи.
Рішення.Випишемо основну матрицю системи:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Наведемо матрицю до трикутного вигляду. Будемо працювати тільки з рядками, тому що множення рядка матриці на число, відмінне від нуля, і додаток до іншого рядка для системи означає множення рівняння на це число і додавання з іншим рівнянням, що не змінює рішення системи.
Помножимо 2-й рядок на (-5). Додамо 2-й рядок до 1-го:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Помножимо 2-й рядок на (6). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го:
Знайдемо ранг матриці.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Виділений мінор має найвищий порядок (з можливих мінорів) і відмінний від нуля (він дорівнює добутку елементів, що стоять на зворотній діагоналі), отже rang(A) = 2.
Цей мінор є базовим. До нього увійшли коефіцієнти при невідомих x 1, x 2, отже, невідомі x 1, x 2 - залежні (базисні), а x 3, x 4, x 5 - вільні.
Перетворимо матрицю, залишаючи зліва тільки базовий мінор.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Методом виключення невідомих знаходимо нетривіальне рішення :
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 через вільні x 3 x 4 x 5 тобто знайшли загальне рішення:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Знаходимо фундаментальну систему рішень, що складається з (n-r) рішень.
У разі n=5, r=2, отже, фундаментальна система рішень складається з 3-х рішень, причому ці рішення мають бути лінійно незалежними.
Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 3.
Достатньо надати вільним невідомим x 3 x 4 x 5 значення з рядків визначника 3-го порядку, відмінного від нуля, і підрахувати x 1 x 2 .
Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є одинична матриця.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Завдання. Знайти фундаментальний набір розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь.
Системи лінійних однорідних рівнянь- має вигляд ∑a k i x i = 0. де m > n або m Однорідна система лінійних рівнянь завжди спільна, оскільки rangA = rangB. Вона свідомо має рішення, що складається з нулів, яке називається тривіальним.Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження нетривіального та фундаментального рішення СЛАУ. Отримане рішення зберігається в файлі Word(Див. приклад рішення).
Інструкція. Виберіть розмірність матриці:
Властивості систем лінійних однорідних рівнянь
Для того, щоб система мала нетривіальні рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг її матриці був меншим за кількість невідомих.Теорема. Система у разі m=n має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.
Теорема. Будь-яка лінійна комбінація рішень системи є рішенням цієї системи.
Визначення. Сукупність розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною системою рішеньякщо ця сукупність складається з лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих рішень.
Теорема. Якщо ранг r матриці системи менше числа n невідомих, існує фундаментальна система рішень, що складається з (n-r) рішень.
Алгоритм розв'язання систем лінійних однорідних рівнянь
- Знаходимо ранг матриці.
- Виділяємо базовий мінор. Виділяємо залежні (базисні) та вільні невідомі.
- Викреслюємо ті рівняння системи, коефіцієнти яких не увійшли до складу базисного мінору, оскільки вони є наслідками інших (за теоремою про базисний мінор).
- Члени рівнянь, які містять вільні невідомі, перенесемо до правої частини. В результаті отримаємо систему з r рівнянь з r невідомими, еквівалентну даній, визначник якої відмінний від нуля.
- Вирішуємо отриману систему шляхом виключення невідомих. Знаходимо співвідношення, що виражають залежні змінні через вільні.
- Якщо ранг матриці не дорівнює кількості змінних, знаходимо фундаментальне рішення системи.
- Що стосується rang = n маємо тривіальне рішення.
Приклад. Знайти базис системи векторів (а 1, а 2, ..., а m), ранг і виразити вектори по базі. Якщо а 1 = (0,0,1, -1), а 2 = (1,1,2,0), а 3 = (1,1,1,1), а 4 = (3,2,1) ,4), а 5 = (2,1,0,3).
Випишемо основну матрицю системи:
Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 4-й рядок до 3-го:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Помножимо 4-й рядок на (-2). Помножимо 5-й рядок на (3). Додамо 5-ий рядок до 4-го:
Додамо 2-й рядок до 1-го:
Знайдемо ранг матриці.
Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Методом виключення невідомих знаходимо нетривіальне рішення:
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 x 3 через вільні x 4 тобто знайшли загальне рішення:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь(СЛАУ), безперечно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими чинниками пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете
- підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
- вивчити теорію обраного методу,
- вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.
Короткий опис статті.
Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття та введемо позначення.
Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключенняневідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.
Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального вигляду, В яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.
Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних і не однорідних системлінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.
Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.
Навігація на сторінці.
Визначення, поняття, позначення.
Будемо розглядати системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними (p може бути дорівнює n ) виду
Невідомі змінні - коефіцієнти (деякі дійсні або комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).
Таку форму запису СЛАУ називають координатною.
У матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де 
- основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.
Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто, 
Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівнянняпри даних значеннях невідомих змінних також звертається до тотожності.
Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.
Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.
Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.
Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю 
, то система називається однорідний, інакше – неоднорідний.
Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.
Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні дорівнюють нулю.
Такі СЛАУ ми починали вивчати у середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, потім брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.
Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.
Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.
Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри 
в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .
Нехай – визначник основної матриці системи, а 
- визначники матриць, що виходять з А заміною 1-го, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів: 
За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як 
. Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.
приклад.
Методом Крамера 
.
Рішення.
Основна матриця системи має вигляд 
. Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю): 
Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.
Складемо та обчислимо необхідні визначники 
(визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів): 
Знаходимо невідомі змінні за формулами 
:
Відповідь:
Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли кількість рівнянь системи більше трьох.
Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).
Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.
Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.
приклад.
Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.
Рішення.
Перепишемо систему рівнянь у матричній формі: 
Бо
то СЛАУ можна вирішувати матричним методом. За допомогою зворотної матрицірішення цієї системи може бути знайдено як 
.
Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з алгебраїчних доповненьелементів матриці А (при необхідності дивіться статтю): 
Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю 
на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю): 
Відповідь:
або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матрицьпорядку вище за третій.
Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.
Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними 
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.
Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.
Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.
Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду 
де , а 
.
До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.
Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку 
Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду 
де , а 
. Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.
Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи 
Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду 
З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.
приклад.
Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.
Рішення.
Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно: 
Тепер з третього рівняння виключимо x 2 додавши до його лівої і правою частинамиліву та праву частини другого рівняння, помножені на : 
У цьому прямий хід методу Гаусса закінчено, починаємо зворотний хід.
З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3 : 
З другого рівняння отримуємо.
З першого рівняння знаходимо невідому змінну, що залишилася, і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса.
Відповідь:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.
У загальному випадкучисло рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:
Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.
Теорема Кронекер - Капеллі.
Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто Rank (A) = Rank (T) .
Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.
приклад.
З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь 
рішення.
Рішення.
. Скористаємося методом обрамляють мінорів. Мінор другого порядку 
відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку: 
Так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.
У свою чергу ранг розширеної матриці 
дорівнює трьом, оскільки мінор третього порядку 
відмінний від нуля.
Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.
Відповідь:
Система рішень немає.
Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.
А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?
Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.
Мінор найвищого порядкуматриці А , відмінний від нуля, називається базисним.
З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.
Наприклад розглянемо матрицю 
.
Всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.
Базисними є такі мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля 
Мінори 
базисними є, оскільки рівні нулю.
Теорема про ранг матриці.
Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.
Що нам дає теорема про ранг матриці?
Якщо з теоремі Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основний матриці системи (його порядок дорівнює r ), і виключаємо з системи всі рівняння, які утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, оскільки відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теоремою про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).
У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.
Якщо кількість рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.
приклад.
.
Рішення.
Ранг основної матриці системи 
дорівнює двом, оскільки мінор другого порядку 
відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці 
також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю 
а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. З теореми Кронекера – Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank(A)=Rank(T)=2 .
Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь: 
Третє рівняння системи не бере участі в освіті базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці: 
Так ми отримали елементарну систему лінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера: 
Відповідь:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше числа невідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.
Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.
Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.
Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних висловлюватимуться через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти, вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.
Розберемо з прикладу.
приклад.
Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь 
.
Рішення.
Знайдемо ранг основної матриці системи 
методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує даний мінор: 
Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує: 
Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.
Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базисний.
Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор: 
Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини: 
Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо 
де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду 
Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера: 
Отже, .
У відповіді не забуваємо вказати вільні невідомі змінні.
Відповідь:
Де – довільні числа.
Підіб'ємо підсумок.
Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінора.
Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.
Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методомКрамера, матричний метод або метод Гауса.
Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.
Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.
З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.
Дивіться його докладний описі розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .
Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем алгебраїчних ліній за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.
У цьому розділі мова піде про спільні однорідні і неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри, що мають безліч рішень.
Розберемося спочатку з однорідними системами.
Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.
Якщо визначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – це матриці стовпці розмірності n на 1 ) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтамиЗ 1, З 2, …, З (n-r), тобто, .
Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?
Сенс простий: формула задає все можливі рішеннявихідною СЛАУ, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С 1 , С 2 , …, С (n-r) , за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.
Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, ми зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .
Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.
Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,...,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.
Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення подається у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.
Розберемо з прикладів.
приклад.
Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри 
.
Рішення.
Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основний матриці системи. Знайдемо ненульовий мінор другого порядку, що облямовує: 
Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового: 
Всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють: 
Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено: 
Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:
Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна системарішень даної СЛАУ і двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомих змінних, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь 
.
