Нормальна фср. Однорідні системи лінійних рівнянь

Однорідна система завжди спільна і має тривіальне рішення
. Для існування нетривіального рішення необхідно, щоб ранг матриці був менше числаневідомих:

.

Фундаментальною системою рішень однорідної системи
називають систему рішень у вигляді векторів-стовпців
, що відповідають канонічного базису, тобто. базису, в якому довільні постійні
по черзі покладаються рівними одиниці, тоді як інші дорівнюють нулю.

Тоді загальне рішенняоднорідної системи має вигляд:

де
- Довільні постійні. Інакше кажучи, загальне рішення є лінійна комбінація фундаментальної системи рішень.

Таким чином, базисні рішення можуть бути отримані із загального рішення, якщо вільним невідомим по черзі надавати значення одиниці, вважаючи всі інші рівні нулю.

приклад. Знайдемо рішення системи

Приймемо, тоді отримаємо рішення у вигляді:

Побудуємо тепер фундаментальну систему рішень:

.

Загальне рішення запишеться у вигляді:

Рішення системи однорідних лінійних рівняньмають властивості:

Іншими словами, будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи знову є рішенням.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гауса

Вирішення систем лінійних рівнянь цікавить математиків кілька століть. Перші результати було отримано у XVIII столітті. У 1750 р. Г. Крамер (1704 –1752) опублікував свої праці з детермінантам квадратних матриць і запропонував алгоритм перебування зворотної матриці. У 1809 р. Гаус виклав новий метод рішення, відомий як метод виключення.

Метод Гаусса, чи метод послідовного виключення невідомих, у тому, що з допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого (чи трикутного) виду. Такі системи дозволяють послідовно знаходити всі невідомі у порядку.

Припустимо, що в системі (1)
(Що завжди можливо).

(1)

Помножуючи по черзі перше рівняння так звані відповідні числа

і складаючи результат множення з відповідними рівняннями системи, ми отримаємо еквівалентну систему, в якій у всіх рівняннях, крім першого, не буде відома х 1

(2)

Помножимо тепер друге рівняння системи (2) на відповідні числа, вважаючи, що

,

і складаючи його з нижчестоящими, виключимо змінну із усіх рівнянь, починаючи з третього.

Продовжуючи цей процес, після
кроку ми отримаємо:

(3)

Якщо хоча б одне із чисел
не дорівнює нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) несумісна. Назад, для будь-якої спільної системи числа
рівні нулю. Число - це що інше, як ранг матриці системи (1).

Перехід від системи (1) до (3) називається прямим ходом методу Гауса, а знаходження невідомих (3) – зворотним ходом .

Зауваження : Перетворення зручніше робити не з самими рівняннями, а з розширеною матрицею системи (1).

приклад. Знайдемо рішення системи

.

Запишемо розширену матрицю системи:

.

Додамо до рядків 2,3,4 перший, помножений на (-2), (-3), (-2) відповідно:

.

Поміняємо рядки 2 і 3 місцями, потім в матриці, що вийшла, додамо до рядка 4 рядок 2, помножений на :

.

Додамо до рядка 4 рядок 3, помножений на
:

.

Очевидно, що
, Отже, система спільна. З отриманої системи рівнянь

знаходимо рішення зворотною підстановкою:

,
,
,
.

приклад 2.Знайти рішення системи:

.

Вочевидь, що система несумісна, т.к.
, а
.

Переваги методу Гауса :

Менш трудомісткий, ніж метод Крамера.

Однозначно встановлює спільність системи та дозволяє знайти рішення.

Дає можливість визначити ранг будь-яких матриць.

Системи лінійних рівнянь, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :

Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менший за кількість її невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.

При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо загальне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.

Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор

.

Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:

Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо

, .

Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна системарішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що й потрібно було довести.

Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, у теорії лінійних електричних ланцюгівСтрум у будь-якому контурі може бути отриманий як алгебраїчна сума струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.

Ви можете замовити докладне рішеннявашого завдання !!!

Щоб зрозуміти, що таке фундаментальна система рішеньВи можете переглянути відео-урок для цього ж прикладу, клацнувши . Тепер перейдемо власне до опису всієї необхідної роботи. Це допоможе вам детальніше розібратися в суті цього питання.

Як знайти фундаментальну систему розв'язків лінійного рівняння?

Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:

Знайдемо рішення цієї лінійної системирівнянь. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.

Перетворимо цю матрицю на трикутну.Перший рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(11)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(21)$, треба від другого рядка відняти першу, і різницю записати в другому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від третього рядка відняти першу і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(41)$, треба від четвертого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в п'ятому рядку.

Перший та другий рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(22)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(32)$, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(42)$, треба від четвертого рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(52)$, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 і різницю записати в п'ятому рядку.

Бачимо, що останні три рядки – однаковітому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими.

За цією матрицею записуємо нову системурівнянь.

Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас лише три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень складатиметься з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі праворуч.

Тепер починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять у лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо $x_3$, потім отриманий результат підставимо на друге рівняння і висловимо $x_2$, а потім у перше рівняння і тут висловимо $x_1$. Таким чином ми всі невідомі, що стоять у лівій частині, висловили через невідомі, що стоять у правій частині.

Після чого ви замість $x_4$ і $x_5$ можемо підставляти будь-які числа і знаходити $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять до ФСРнам треба замість $x_4$ підставити 1, а замість $x_5$ підставити 0, знайти $x_1$, $x_2$ і $x_3$, та був навпаки $x_4=0$ і $x_5=1$.

Рішення однорідної системи мають такі властивості. Якщо вектор = (α 1 , α 2 ,... ,α n) є рішенням системи (15.14), то і для будь-якого числа kвектор k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n)буде вирішенням цієї системи. Якщо рішенням системи (15.14) є вектор = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), то сума + також буде вирішенням цієї системи. Звідси випливає, що будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи є рішенням цієї системи.

Як ми знаємо з п. 12.2, будь-яка система n-мірних векторів, що складається більш ніж з пвекторів є лінійно залежною. Отже, з безлічі векторів-рішень однорідної системи (15.14) можна вибрати базис, тобто. будь-який вектор-рішення даної системи буде лінійною комбінацією векторів цього базису. Будь-який такий базис називається фундаментальною системою рішеньоднорідної системи лінійних рівнянь. Справедлива наступна теорема, яку ми наводимо без доказів.

ТЕОРЕМА 4. Якщо ранг r системи однорідних рівнянь (15.14) менше числа невідомих п, то будь-яка фундаментальна система рішень системи (15.14) складається з п - r рішень.

Вкажемо тепер спосіб знаходження фундаментальної системи рішень (ФСР). Нехай система однорідних рівнянь (15.14) має ранг r< п. Тоді, як випливає з правил Крамера, базові невідомі цієї системи x 1 , x 2 , … x rлінійно виражаються через вільні змінні x r + 1 , x r + 2 , ..., x п:

Виділимо окремі рішення однорідної системи (15.14) за наступним принципом. Для знаходження першого вектора-рішення 1 покладемо x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Потім знаходимо друге рішення 2: приймаємо x r+2 = 1, а решта r- 1 вільних змінних покладемо нулями. Інакше кажучи, ми послідовно присвоюємо кожної вільної змінної одиничне значення, поклавши інші нулями. Таким чином, фундаментальна система рішень у векторній формі з урахуванням перших rбазисних змінних (15.15) має вигляд

ФСР (15.16) є одним з фундаментальних наборіврозв'язків однорідної системи (15.14).

приклад 1.Знайти рішення та ФСР системи однорідних рівнянь

Рішення. Вирішуватимемо цю систему методом Гауса. Оскільки кількість рівнянь системи менша за кількість невідомих, вважаємо х 1 , x 2 , х 3 базисними невідомими, а x 4 х 5 , x 6 - вільними змінними. Складемо розширену матрицю системи та виконаємо дії, що становлять прямий хід методу.

Дано матриці

Знайти: 1) aA - bB,

Рішення: 1) Знаходимо послідовно, використовуючи правила множення матриці на число і додавання матриць.

2. Знайдіть А*В, якщо

Рішення: Використовуємо правило множення матриць

Відповідь:

3. Для заданої матриці знайдіть мінор М31 і обчисліть визначник.

Рішення: Мінор М 31 - це визначник матриці, яка виходить з А

після викреслення рядка 3 та стовпця 1. Знаходимо

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Перетворимо матрицю А, не змінюючи її визначника (зробимо нулі у рядку 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Тепер обчислюємо визначник матриці А розкладанням рядка 1

Відповідь: М 31 = 0, detA = 0

Вирішити методом Гауса і методом Крамера.

2х 1 + х 2 + х 3 = 2

x 1 + х 2 + 3x 3 = 6

2x1+x2+2x3=5

Рішення: Перевіримо

Можна застосувати метод Крамеру

Рішення системи: х 1 = D 1 / D = 2, х 2 = D 2 / D = -5, х 3 = D 3 / D = 3

Застосуємо метод Гауса.

Розширену матрицю системи наведемо до трикутного вигляду.

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (k = -1/2 = -1 / 2 ) і додамо до 3-ї:

	1 / 2		7 / 2

Помножимо 1-й рядок на (k = -2/2 = -1 ) і додамо до 2-ї:

Тепер вихідну систему можна записати як:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

З 2-го рядка висловлюємо

З першого рядка висловлюємо

Рішення те саме.

Відповідь: (2; -5; 3)

Знайти загальне рішення системи та ФСР

13х 1 - 4х 2 - х 3 - 4х 4 - 6х 5 = 0

11х 1 - 2х 2 + х 3 - 2х 4 - 3х 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Рішення: Застосуємо метод Гауса. Розширену матрицю системи наведемо до трикутного вигляду.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Помножимо 1-й рядок на (-11). Помножимо 2-й рядок на (13). Додамо 2-й рядок до 1-го:

	-2		-2	-3

Помножимо 2-й рядок на (-5). Помножимо 3-й рядок на (11). Додамо 3-й рядок до 2-го:

Помножимо 3-й рядок на (-7). Помножимо 4-й рядок на (5). Додамо 4-й рядок до 3-го:

Друге рівняння є лінійною комбінацією інших

Знайдемо ранг матриці.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Виділений мінор має найвищий порядок(з можливих мінорів) і відмінний від нуля (він дорівнює добутку елементів, що стоять на зворотній діагоналі), отже rang(A) = 2.

Цей мінор є базовим. До нього увійшли коефіцієнти при невідомих x 1, x 2, отже, невідомі x 1, x 2 - залежні (базисні), а x 3, x 4, x 5 - вільні.

Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:

18x2=24x3+18x4+27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Методом виключення невідомих знаходимо загальне рішення:

x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Знаходимо фундаментальну систему рішень (ФСР), що складається з (n-r) рішень. У разі n=5, r=2, отже, фундаментальна система рішень складається з 3-х рішень, причому ці рішення мають бути лінійно незалежними.

Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 3.

Достатньо надати вільним невідомим x 3 x 4 x 5 значення з рядків визначника 3-го порядку, відмінного від нуля, і підрахувати x 1 x 2 .

Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є одинична матриця.

Але тут зручніше взяти

Знаходимо, використовуючи загальне рішення:

а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 ? х 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I рішення ФСР: (-2; -4; 6; 0; 0)

б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II рішення ФСР: (0; -6; 0; 6; 0)

в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 ? х 1 = - 1/3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III рішення ФСР: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Знайти: a) z 1 - 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 / z 2

Рішення: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Відповідь: а) -3i б) 12+26i в) -1.4 - 0.3i