Тіла та поверхні обертання. Візуальний гід (2019). Усічений конус

Конус. Усічений конус

Конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена усіма прямими, що проходять через кожну точку даної кривої і точку поза кривою (рис.32).

Ця крива називається спрямовуючою , Прямі - утворюючими , крапка - вершиною конічної поверхні.

Прямою круговою конічною поверхнеюназивається поверхня, утворена всіма прямими, що проходять через кожну точку даного кола і точку на прямій, яка перпендикулярна площині кола і проходить через її центр. Надалі цю поверхню коротко називатимемо конічною поверхнею (Рис.33).

Конусом (прямим круговим конусом ) називається геометричне тіло, обмежене конічною поверхнею і площиною, яка паралельна площині напрямного кола (рис.34).

Рис. 32 Мал. 33 Мал. 34

Конус можна розглядати як тіло, отримане під час обертання прямокутного трикутниканавколо осі, що містить один із катетів трикутника.

Коло, що обмежує конус, називається його основою . Вершина конічної поверхні називається вершиною конус. Відрізок, що з'єднує вершину конуса із центром його основи, називається заввишки конус. Відрізки, що утворюють конічну поверхню, називаються утворюючими конус. Ос'ю конуса називається пряма, що проходить через вершину конуса та центр його основи. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь конуса. Розгорткою бічної поверхні конуса називається сектор, радіус якого дорівнює довжиніутворює конуса, а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса.

Для конуса вірні формули:

де R– радіус основи;

H- Висота;

l- Довжина утворює;

S осн– площа основи;

S бік

S повний

V- Об'єм конуса.

Усіченим конусомназивається частина конуса, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі конуса (рис.35).

Усічений конус можна розглядати як тіло, отримане при обертанні прямокутної трапеціїнавколо осі, що містить бічну сторону трапеції, перпендикулярну до основ.

Два кола, що обмежують конус, називаються його підставами . Висотою усіченого конуса називається відстань між його основами. Відрізки, що утворюють конічну поверхню усіченого конуса, називаються утворюючими . Пряма, що проходить через центри основ, називається віссю зрізаного конуса. Осьовим перетином називається переріз, що проходить через вісь усіченого конуса.

Для усіченого конуса вірні формули:

(8)

де R– радіус нижньої основи;

r– радіус верхньої основи;

H- Висота, l - Довжина утворює;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

V- Об'єм зрізаного конуса.

приклад 1.Перетин конуса паралельне основі ділить висоту щодо 1:3, рахуючи від вершини. Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса, якщо радіус основи і висота конуса дорівнюють 9 см і 12 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 36).

Для обчислення площі бічної поверхні зрізаного конуса використовуємо формулу (8). Знайдемо радіуси основ Про 1 Аі Про 1 Ві утворює АВ.

Розглянемо подібні трикутники SO 2 Bі SO 1 A, коефіцієнт подібності , тоді

Звідси

Бо те

Площа бічної поверхні усіченого конуса дорівнює:

Відповідь: .

Приклад2.Чверть кола радіусу згорнута у конічну поверхню. Знайти радіус основи та висоту конуса.

Рішення.Чверть кола є розгорткою бічної поверхні конуса. Позначимо r- Радіус його заснування, H –висота. Площа бічної поверхні обчислимо за такою формулою: . Вона дорівнює площі чверті кола: . Отримаємо рівняння з двома невідомими rі l(Утворююча конуса). У даному випадкуутворююча дорівнює радіусу чверті кола R, Отже, отримаємо наступне рівняння: , Звідки Знаючи радіус основи і утворює, знайдемо висоту конуса:

Відповідь: 2 см, .

приклад 3.Прямокутна трапеція з гострим кутом 45 О, меншою основою 3см і похилою бічною стороною рівною, обертається навколо бічної сторони перпендикулярної основ. Знайти об'єм отриманого тіла обертання.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 37).

В результаті обертання отримаємо зрізаний конус, щоб знайти його об'єм обчислимо радіус більшої основи та висоту. У трапеції O 1 O 2 ABпроведемо AC^O 1 B. Маємо: отже, цей трикутник рівнобедрений AC=BC=3 див.

Відповідь:

приклад 4.Трикутник зі сторонами 13 см, 37 см і 40 см обертається навколо зовнішньої осі, яка паралельна більшій стороні і знаходиться від неї на відстані 3 см (Вісь розташована в площині трикутника). Знайти площу поверхні отриманого тіла обертання.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 38).

Поверхня отриманого тіла обертання складається з бічних поверхонь двох усічених конусів та бічної поверхні циліндра. Для того щоб обчислити ці площі необхідно знати радіуси основ конусів та циліндра ( BEі OC), що утворюють конусів ( BCі AC) та висоту циліндра ( AB). Невідомою є тільки CO. це відстань від боку трикутника до осі обертання. Знайдемо DC. Площа трикутника ABC з одного боку дорівнює добутку половини сторони AB на висоту, проведену до неї DC, з іншого боку, знаючи всі сторони трикутника, його площу обчислимо за формулою Герона.

а площиною, паралельною підставі ( Рис. ). Обсяг У. до. дорівнює , де r 1 і r 2 – радіуси основ, h –висота.

Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Усічений конус" в інших словниках:

Геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною до основи (рис.). Об'єм усіченого конуса дорівнює. * * * УСЕЧЕНИЙ КОНУС УСЕЧЕНИЙ КОНУС, геометричне тіло, відсічене від конуса площиною, паралельною основі. Об `єм… … Енциклопедичний словник

усічений конус- — Тематика нафтогазова промисловість EN truncated cone … Довідник технічного перекладача

УСЕЧЕНИЙ, усічений, усічений; усічений, усічений, усічений. 1. прич. страждань. прош. вр. від усіч (книжн.). 2. Такий, у якого верхня частинавідсічена площиною, паралельною підставі (про конус, піраміду; мат.). Усічений конус. Усічена піраміда … Тлумачний словникУшакова

усічений- ая, ое.; матем. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. У я піраміда ... Словник багатьох виразів

УСЕЧЕНИЙ, ая, ое. У математиці: такий, у якого вершинна частина відокремлена, відсічена площиною, паралельною підставі. У. конус. Усічена піраміда. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

Ая, о. 1. прич. страждань. прош. від усіч. 2. у знач. дод. мат. Такий, у якого верхня частина відсічена площиною, паралельною до основи. Усічений конус. Усічена піраміда. 3. у знач. дод. р., літ. З усіченням (у 2 знач.), що представляє … Малий академічний словник

Прямий круговий конус. Прямий та … Вікіпедія

- (лат. conus, від грецьк. konos) конічна поверхня безліч прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Найпростіший К. круглий, або прямий круговий, що направляє до … Великий енциклопедичний політехнічний словник

- (Лат. conus, від грецьк. konos) (математика), 1) К., або конічна поверхня, геометричне місце прямих (утворюючих) простору, що з'єднують всі точки деякої лінії (напрямної) з даною точкою (вершиною) простору. Велика Радянська Енциклопедія

Навколишній світ динамічний і різноманітний, і далеко не всякий об'єкт можна просто обміряти лінійкою. Для подібного перенесення використовуються спеціальні техніки, як то тріангуляція. Потреба у складанні складних розгорток, як правило, ... Вікіпедія

Усічений конус виходить, якщо від конуса відсікти менший конус площиною, паралельною до основи (рис. 8.10). У усіченому конусі дві основи: "нижня" - основа вихідного конуса - і "верхня" - основа конуса, що відсікається.По теоремі про переріз конуса - основи усіченого конуса подібні.

Висотою зрізаного конуса називається перпендикуляр, опущений з точки однієї основи на площину іншого. Усі такі перпендикуляри дорівнюють (див. п. 3.5). Висотою називають також їх довжину, тобто відстань між площинами основ.

Усічений конус обертання виходить із конуса обертання (рис. 8.11). Тому його основи і всі паралельні їм його перерізи – кола з центрами на одній прямій – на осі. Усічений конус обертання виходить обертанням прямокутної трапеції навколо її бічної сторони, перпендикулярної основ, або обертанням

рівнобедреної трапеції навколо осі симетрії (рис. 8.12).

Бічна поверхня зрізаного конуса обертання

Це частина бічної поверхні конуса обертання, з якого він отриманий. Поверхня зрізаного конуса обертання (або його повна поверхня) складається з його основ та його бічної поверхні.

8.5. Зображення конусів обертання та усічених конусів обертання.

Прямий круговий конус малюють так. Спочатку малюють еліпс, що зображує коло основи (рис. 8.13). Потім знаходять центр основи - точку Про вертикально проводять відрізок РВ, який зображує висоту конуса. З точки Р проводять до еліпсу дотичні (опорні) прямі (практично це роблять на око, прикладаючи лінійку) і виділяють відрізки РА та РВ цих прямих від точки Р до точок дотику А та В. Зверніть увагу, що відрізок АВ – це не діаметр основи конуса, а трикутник АРВ – не осьовий перетин конуса. Осьовий переріз конуса – це трикутник АРС: відрізок АС проходить через точку О. Невидимі лінії малюють штрихами; відрізок ОР часто не малюють, а лише подумки намічають, щоб зобразити вершину конуса Р над центром підстави - точкою Про.

Зображуючи зрізаний конус обертання, зручно намалювати спочатку той конус, з якого виходить зрізаний конус (рис. 8.14).

8.6. Конічні перерізи. Ми вже говорили, що бічну поверхню циліндра обертання площину перетинає еліпсом (п. 6.4). Також і переріз бічної поверхні конуса обертання площиною, що не перетинає його основу, є еліпсом (рис. 8.15). Тому еліпс називається конічним перетином.

До конічних перерізів відносяться й інші добре відомі криві – гіперболи та параболи. Розглянемо необмежений конус, що утворюється при продовженні бічної поверхні конуса обертання (рис. 8.16). Перетнемо його площиною а, що не проходить через вершину. Якщо ж перетинає всі утворюючі конуси, то в перерізі, як уже сказано, отримуємо еліпс (рис. 8.15).

Повертаючи площину ОС, можна домогтися того, щоб вона перетинала всі конуса К, що утворюють, крім однієї (який ОС паралельна). Тоді у перерізі отримаємо параболу (рис. 8.17). Нарешті, обертаючи площину ОС далі, переведемо її в таке положення, що а, перетинаючи частину утворюючих конуса К, не перетинає вже безліч інших його утворюючих і паралельна двом з них (рис. 8.18). Тоді в перерізі конуса К з площиною а отримуємо криву, яку називають гіперболою (точніше, одну її "гілка"). Так, гіпербола, яка є графіком функції окремий випадокгіперболи - рівнобічна гіпербола, подібно до того як коло є окремим випадком еліпса.

Будь-які гіперболи можна отримати з рівнобічних за допомогою проектування, аналогічно тому, як еліпс виходить паралельним проектуванням кола.

Щоб отримати обидві гілки гіперболи, треба взяти перетин конуса, що має дві "порожнини", тобто конуса, утвореного не променями, а прямими, що містять утворюють бічній поверхні конуса обертання (рис. 8.19).

Конічні перерізи вивчали ще давньогрецькі геометри, та його теорія була однією з вершин античної геометрії. Найбільш повне дослідження конічних перерізів у давнину було проведено Аполлонієм Пергським (III ст. до н.е.).

Є ряд важливих властивостей, що поєднують в один клас еліпси, гіперболи та параболи. Наприклад, ними вичерпуються "невироджені", тобто не зводяться до точки, прямої або пари прямих, криві, які задаються на площині в декартових координатах рівняннями виду

Конічні перерізи грають важливу рольу природі: по еліптичних, параболічних та гіперболічних орбітах рухаються тіла в полі тяжіння (згадайте закони Кеплера). Чудові властивості конічних перерізів часто використовуються в науці та техніці, наприклад, при виготовленні деяких оптичних приладів або прожекторів (поверхня дзеркала в прожекторі виходить обертанням дуги параболи навколо осі параболи). Конічні перерізи можна спостерігати як межі тіні від круглих абажурів (рис. 8.20).

Конус (з грецької "konos")- Соснова шишка. Конус знайомий людям з давнину. У 1906 році була виявлена ​​книга «Про метод», написана Архімедом (287-212 рр. до н. е..), в цій книзі дається розв'язання задачі про обсяг загальної частини циліндрів, що перетинаються. Архімед каже, що це відкриття належить давньогрецькому філософу Демокріту (470-380 рр. до н.е.), який за допомогою цього принципу отримав формули для обчислення обсягу піраміди та конуса.

Конус (круговий конус) – тіло, що складається з кола – основа конуса, точки, що не належить площині цього кола, – вершини конуса та всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса та точки кола основи. Відрізки, які з'єднують вершину конуса з точками кола основи, називають утворюючими конуса. Поверхня конуса складається з основи та бічної поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, яка з'єднує вершину конуса з центром основи, перпендикулярна площині основи. Прямий круговий конус можна як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі.

Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається з центром основи. Осі прямого конуса називається пряма, що містить його висоту.

Перетин конуса площиною, що проходить через утворює конуса і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною конуса.

Площина, перпендикулярна до осі конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню – по колу з центром на осі конуса.

Площина перпендикулярна осі конуса відсікає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається усіченим конусом.

Обсяг конуса дорівнює третині твору висоти на площу основи. Таким чином, всі конуси, що спираються на ця підставаі мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній підставі, мають рівний обсягоскільки їх висоти рівні.

Площу бічної поверхні конуса можна знайти за формулою:

S бік = πRl,

Площа повної поверхні конуса знаходиться за формулою:

S кон = πRl + πR 2 ,

де R - радіус основи, l - Довжина утворює.

Об `єм кругового конусадорівнює

V = 1/3 πR 2 H,

де R – радіус основи, Н – висота конуса

Площа бічної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою:

S бік = π(R + r)l,

Площу повної поверхні зрізаного конуса можна знайти за формулою:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

де R – радіус нижньої основи, r – радіус верхньої основи, l – довжина утворює.

Об'єм усіченого конуса можна знайти таким чином:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

де R – радіус нижньої основи, r – радіус верхньої основи, Н – висота конуса.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Лекція: Конус. Основа, висота, бічна поверхня, що утворює, розгортка

Конус– це тіло, яке складається з кола, яке знаходиться в основі, з точки рівновіддаленої від усіх точок на колі, а також від прямих, що з'єднують цю точку (вершину) з усіма точками, що лежать на колі.

Декількома питаннями раніше, ми розглядали піраміду. Так ось конус – це окремий випадок піраміди, в основі якої лежить коло. Майже всі характеристики піраміди підходять і для конуса.

Як можна отримати конус? Згадайте минуле запитання та те, як ми отримали циліндр. Тепер візьміть рівнобедрений трикутникта крутіть його навколо своєї осі – Ви отримаєте конус.

Утворюючі конуси- Це відрізки, укладені між точками кола та вершиною конуса. Утворюючі конуси рівні між собою.

Щоб знайти довжину твірної, слід скористатися формулою:

Якщо всі, що утворюють, з'єднати між собою, можна отримати бічну поверхню конуса. Загальна його поверхня складається з бічної поверхні та основи у вигляді кола.

Конус має висоту. Щоб її отримати, достатньо опустити перпендикуляр з вершини безпосередньо в центр основи.

Щоб знайти площу бічної поверхні, слід скористатися формулою:

Для знаходження повної площіповерхні конуса скористайтеся наступною формулою.