فرمول حجم یک هرم مثلثی منظم. نحوه محاسبه حجم هرم

هرم یک چندوجهی است که در قاعده آن یک چندضلعی قرار دارد. همه وجوه به نوبه خود مثلث هایی را تشکیل می دهند که در یک راس همگرا می شوند. اهرام مثلثی، چهار گوش و غیره هستند. برای اینکه مشخص کنید کدام هرم در مقابل شما قرار دارد، کافی است تعداد زوایای قاعده آن را بشمارید. تعریف "ارتفاع یک هرم" اغلب در مسائل هندسه یافت می شود برنامه آموزشی مدرسه. در این مقاله سعی می کنیم در نظر بگیریم راه های مختلفمکان او

بخش هایی از هرم

هر هرم از عناصر زیر تشکیل شده است:

• وجه های جانبی که سه گوشه دارند و در راس همگرا هستند.
• آپوتم نشان دهنده ارتفاعی است که از راس آن پایین می آید.
• بالای هرم نقطه ای است که دنده های جانبی را به هم متصل می کند ، اما در صفحه پایه قرار ندارد.
• پایه یک چند ضلعی است که راس روی آن قرار ندارد.
• ارتفاع هرم قطعه ای است که بالای هرم را قطع می کند و با قاعده آن زاویه قائمه تشکیل می دهد.

چگونه می توان ارتفاع یک هرم را در صورتی که حجم آن مشخص باشد، پیدا کرد؟

از طریق فرمول V = (S*h)/3 (در فرمول V حجم است، S مساحت قاعده، h ارتفاع هرم است) در می یابیم که h = (3*V)/ اس. برای تجمیع مواد، بیایید بلافاصله مشکل را حل کنیم. پایه مثلثی 50 سانتی متر مربع است در حالی که حجم آن 125 سانتی متر مکعب است. ارتفاع نامشخص هرم مثلثی، چیزی است که ما باید پیدا کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: ما داده ها را در فرمول خود وارد می کنیم. h = (3*125)/50 = 7.5 سانتی متر بدست می آوریم.

اگر طول قطر و لبه های آن مشخص باشد چگونه ارتفاع هرم را پیدا کنیم؟

همانطور که به یاد داریم، ارتفاع هرم با قاعده آن یک زاویه قائمه تشکیل می دهد. این بدان معنی است که ارتفاع، لبه و نیمی از قطر با هم تشکیل می دهند، البته بسیاری از قضیه فیثاغورث را به یاد دارند. با دانستن دو بعد، یافتن کمیت سوم دشوار نخواهد بود. اجازه دهید قضیه معروف a² = b² + c² را به یاد بیاوریم، که در آن a فرضیه و در مورد ما لبه هرم است. ب - پایه اول یا نیمه مورب و ج - به ترتیب پایه دوم یا ارتفاع هرم. از این فرمول c² = a² - b².

حالا مشکل: در یک هرم منظم قطر آن 20 سانتی متر است، وقتی طول لبه 30 سانتی متر است، باید ارتفاع را پیدا کنید. ما حل می کنیم: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. بنابراین c = √ 500 = حدود 22.4.

چگونه ارتفاع یک هرم کوتاه را پیدا کنیم؟

این یک چند ضلعی است که مقطعی موازی با قاعده آن دارد. ارتفاع هرم ناقص قسمتی است که دو پایه آن را به هم متصل می کند. ارتفاع را می توان در یافت هرم منظم، اگر طول قطرهای هر دو قاعده و همچنین لبه هرم مشخص باشد. فرض کنید مورب پایه بزرگتر d1 باشد، در حالی که قطر پایه کوچکتر d2 است و یال دارای طول l است. برای یافتن ارتفاع، می توانید ارتفاعات را از دو نقطه مقابل بالای نمودار تا پایه آن پایین بیاورید. می بینیم که دو مثلث قائم الزاویه داریم؛ تنها چیزی که باقی می ماند یافتن طول پاهای آنهاست. برای انجام این کار، کوچکتر را از قطر بزرگتر کم کنید و بر 2 تقسیم کنید. بنابراین یک پا را خواهیم یافت: a = (d1-d2)/2. پس از آن، طبق قضیه فیثاغورث، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که پای دوم را که ارتفاع هرم است، پیدا کنیم.

حالا بیایید در عمل به این موضوع نگاه کنیم. ما وظیفه ای در پیش داریم. هرم ناقص دارای یک مربع در پایه است، طول مورب پایه بزرگتر 10 سانتی متر است، در حالی که هرم کوچکتر 6 سانتی متر است و لبه آن 4 سانتی متر است. باید ارتفاع را پیدا کنید. ابتدا یک پا را می یابیم: a = (10-6)/2 = 2 سانتی متر یک پا برابر با 2 سانتی متر و هیپوتنوس 4 سانتی متر است، معلوم می شود که پایه یا ارتفاع دوم برابر با 16- خواهد بود. 4 = 12، یعنی h = √12 = حدود 3.5 سانتی متر.

قضیه.

حجم هرم برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع است.

اثبات:

ابتدا قضیه را برای یک هرم مثلثی و سپس برای یک هرم دلخواه اثبات می کنیم.

1. یک هرم مثلثی را در نظر بگیریدOABCبا حجم V، مساحت پایهاسو ارتفاع ساعت. بیایید محور را رسم کنیم اوه (OM2- ارتفاع)، بخش را در نظر بگیریدA1 B1 C1هرمی با صفحه ای عمود بر محوراوهو بنابراین موازی با صفحه پایه است. اجازه دهید با نشان دادنایکسنقطه آبسیسا م1 تقاطع این صفحه با محور x و از طریقS(ایکس)- سطح مقطع بیان کنیم S(ایکس)از طریق اس, ساعتو ایکس. توجه داشته باشید که مثلث A1 که در1 با1 و ABC ها مشابه هستند. در واقع A1 که در1 II AB، پس مثلث OA 1 که در 1 شبیه مثلث OAB. بااز این رو، آ1 که در1 : آB= OA 1: OA .

مثلث های قائم الزاویه OA 1 که در 1 و OAV همچنین مشابه هستند (آنها یک زاویه حاد مشترک با راس O دارند). بنابراین، OA 1: OA = O 1 م1 : OM = x: ساعت. بدین ترتیبآ 1 که در 1 : A B = x: ساعتبه همین ترتیب ثابت می شود کهB1 C1:آفتاب = ایکس: ساعتو A1 C1:AC =ایکس: ساعتبنابراین، مثلثA1 B1 C1و ABCمشابه با ضریب شباهتایکس: ساعتبنابراین S(x): S = (x: ح)²، یا S(x) = S x²/ ساعت².

اجازه دهید فرمول اصلی را برای محاسبه حجم اجسام در اعمال کنیمآ= 0, b =ساعتما گرفتیم

2. اکنون قضیه یک هرم دلخواه با ارتفاع را اثبات می کنیم ساعتو مساحت پایه اس. چنین هرمی را می توان به اهرام مثلثی با ارتفاع کلی تقسیم کرد ساعتاجازه دهید حجم هر هرم مثلثی را با استفاده از فرمولی که ثابت کرده ایم بیان کنیم و این حجم ها را اضافه کنیم. با برداشتن ضریب مشترک 1/3h از براکت ها، مجموع قاعده های هرم های مثلثی را در براکت ها به دست می آوریم، یعنی. ناحیه S از پایه های هرم اصلی.

بنابراین، حجم هرم اصلی 1/3Sh است. قضیه ثابت شده است.

نتیجه:

حجم V هرم ناقصی که ارتفاع آن h و نواحی قاعده آن S و S است1 ، با فرمول محاسبه می شوند

h - ارتفاع هرم

متوقف کردن - ناحیه پایه بالایی

آرام تر - ناحیه پایه پایین

مشخصه اصلی هر شکل هندسیدر فضا حجم آن است. در این مقاله به این خواهیم پرداخت که یک هرم با یک مثلث در پایه چیست و همچنین نحوه یافتن حجم یک هرم مثلثی - منظم کامل و کوتاه را نشان خواهیم داد.

این چیست - یک هرم مثلثی؟

همه در مورد اهرام مصر باستان شنیده اند، اما آنها چهار گوش منظم هستند نه مثلث. بیایید نحوه بدست آوردن یک هرم مثلثی را توضیح دهیم.

بیایید یک مثلث دلخواه را در نظر بگیریم و تمام رئوس آن را با یک نقطه واحد که در خارج از صفحه این مثلث قرار دارد وصل کنیم. چهره تحصیل کردههرم مثلثی نامیده خواهد شد. در شکل زیر نشان داده شده است.

همانطور که می بینید شکل مورد نظر از چهار مثلث تشکیل شده است که مورد کلیمتفاوت هستند. هر مثلث اضلاع هرم یا صورت آن است. این هرم اغلب چهار وجهی نامیده می شود، یعنی یک شکل سه بعدی چهار وجهی.

علاوه بر اضلاع، هرم دارای لبه ها (6 عدد) و رئوس (از 4 عدد) نیز می باشد.

با پایه مثلثی

شکلی که با استفاده از مثلث دلخواه و نقطه ای در فضا به دست می آید در حالت کلی یک هرم مایل نامنظم خواهد بود. حال تصور کنید که مثلث اصلی دارای اضلاع یکسان است و نقطه ای در فضا دقیقاً بالای مرکز هندسی آن در فاصله h از صفحه مثلث قرار دارد. هرم ساخته شده با استفاده از این داده های اولیه صحیح خواهد بود.

بدیهی است که تعداد لبه‌ها، اضلاع و رئوس هرم مثلثی منتظم با هرم ساخته شده از یک مثلث دلخواه برابر خواهد بود.

با این حال، رقم صحیح مقداری دارد ویژگی های متمایز کننده:

• ارتفاع آن که از راس کشیده شده است دقیقاً پایه را در مرکز هندسی (نقطه تقاطع میانه ها) قطع می کند.
• سطح جانبیچنین هرمی از سه مثلث یکسان تشکیل شده است که متساوی الساقین یا متساوی الاضلاع هستند.

یک هرم مثلثی منظم نه تنها یک شی هندسی صرفا نظری است. به عنوان مثال برخی از ساختارهای طبیعت شکل خود را دارند سلول کریستالیالماس، جایی که یک اتم کربن به چهار اتم مشابه متصل است پیوندهای کووالانسییا مولکول متان، جایی که نوک هرم توسط اتم های هیدروژن تشکیل شده است.

هرم مثلثی

شما می توانید حجم مطلقاً هر هرمی را با یک n-gon دلخواه در پایه با استفاده از عبارت زیر تعیین کنید:

در اینجا نماد S o مساحت پایه را نشان می دهد، h ارتفاع شکل کشیده شده به پایه مشخص شده از بالای هرم است.

از آنجایی که مساحت یک مثلث دلخواه برابر با نصف حاصلضرب طول ضلع آن a است و حرف h a بر روی این ضلع افتاده است، فرمول حجم یک هرم مثلثی را می توان به صورت نوشتاری نوشت. فرم زیر:

V = 1/6 × a × h a × h

برای نوع عمومیتعیین ارتفاع است کار آسانی نیست. برای حل آن، ساده ترین راه استفاده از فرمول فاصله بین یک نقطه (راس) و یک صفحه (پایه مثلثی) است که با معادله نشان داده شده است. نمای کلی.

برای صحیح، ظاهر خاصی دارد. مساحت قاعده (مثلث متساوی الاضلاع) برای آن برابر است با:

ما آن را جایگزین می کنیم بیان کلیبرای V، دریافت می کنیم:

V = √3/12 × a 2 × h

یک مورد خاص وضعیتی است که تمام اضلاع یک چهار وجهی مثلث های متساوی الاضلاع یکسان هستند. در این مورد، حجم آن را می توان تنها بر اساس آگاهی از پارامتر لبه آن تعیین کرد. عبارت مربوطه به نظر می رسد:

هرم کوتاه شده

اگر قسمت بالا، حاوی رأس، بریده از یک هرم مثلثی منظم، یک شکل کوتاه به دست می آورید. بر خلاف اصلی، از دو متساوی الاضلاع تشکیل شده است پایه های مثلثیو سه ذوزنقه متساوی الساقین.

عکس زیر نشان می دهد که یک هرم مثلثی ناقص معمولی که از کاغذ ساخته شده است چگونه است.

برای تعیین حجم یک هرم مثلثی کوتاه، باید سه ویژگی خطی آن را بدانید: هر یک از اضلاع پایه ها و ارتفاع شکل، برابر فاصلهبین پایه های بالا و پایین فرمول مربوط به حجم به صورت زیر نوشته می شود:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

در اینجا h ارتفاع شکل است، A و a به ترتیب طول اضلاع مثلث متساوی الاضلاع بزرگ (پایین) و کوچک (بالا) هستند.

راه حل مشکل

برای اینکه اطلاعات مقاله برای خواننده واضح تر شود، نشان خواهیم داد مثال واضح، نحوه استفاده از برخی از فرمول های نوشته شده.

بگذارید حجم هرم مثلثی 15 سانتی متر 3 باشد. معلوم است که رقم صحیح است. اگر مشخص شود که ارتفاع هرم 4 سانتی متر است ، لازم است Apothem A B از لبه جانبی پیدا شود.

از آنجا که حجم و ارتفاع شکل مشخص است ، می توانید از فرمول مناسب برای محاسبه طول سمت پایه آن استفاده کنید. ما داریم:

V = √3/12 × a 2 × h =>

A = 12 × V / (√3 × H) = 15 × 15 / (4 √ 3) = 25.98 سانتی متر

A B = √ (H 2 + A 2 /12) = √ (16 + 25.98 2 /12) = 8.5 سانتی متر

طول محاسبه‌شده نقطه‌ای از شکل بزرگ‌تر از ارتفاع آن است که برای هر نوع هرم صادق است.

در اینجا به نمونه های مرتبط با مفهوم حجم نگاه می کنیم. برای حل چنین کارهایی باید فرمول حجم یک هرم را بدانید:

اس

h - ارتفاع هرم

پایه می تواند هر چند ضلعی باشد. اما در اکثر مشکلات در آزمون یکپارچه دولتی، معمولاً شرایط مربوط به اهرام معمولی است. یکی از خواص آن را یادآوری کنم:

بالای یک هرم منظم به مرکز قاعده آن کشیده شده است

به برآمدگی اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم نگاه کنید (TOP VIEW):

می توانید در وبلاگ، جایی که مشکلات مربوط به یافتن حجم یک هرم مورد بحث قرار گرفت.بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

27087. حجم یک هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 1 و ارتفاع آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

بیایید مساحت پایه هرم را پیدا کنیم، این یک مثلث منظم است. بیایید از فرمول استفاده کنیم - مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها، به این معنی:

پاسخ: 0.25

27088. ارتفاع هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 2 و حجم آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

مفاهیمی مانند ارتفاع هرم و ویژگی های پایه آن با فرمول حجمی مرتبط هستند:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما خود حجم را می دانیم، می توانیم مساحت پایه را پیدا کنیم، زیرا اضلاع مثلث را که پایه است، می شناسیم. با دانستن مقادیر مشخص شده، به راحتی می توانیم ارتفاع را پیدا کنیم.

برای پیدا کردن مساحت پایه، از فرمول استفاده می کنیم - مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها است، به این معنی:

بنابراین، با جایگزین کردن این مقادیر در فرمول حجم، می توانیم ارتفاع هرم را محاسبه کنیم:

ارتفاع سه است.

پاسخ: 3

27109. در هرم چهار گوش منتظم، ارتفاع 6 و لبه کناری آن 10 است. حجم آن را بیابید.

حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما ارتفاع را می دانیم. شما باید مساحت پایه را پیدا کنید. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که بالای یک هرم منظم به مرکز پایه آن کشیده شده است. قاعده هرم چهار گوش منظم مربع است. ما می توانیم مورب آن را پیدا کنیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید (که با رنگ آبی مشخص شده است):

پاره ای که مرکز مربع را به نقطه B متصل می کند، پایه ای است که برابر با نصف قطر مربع است. ما می توانیم این پا را با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کنیم:

این به معنای BD = 16 است. بیایید مساحت مربع را با استفاده از فرمول مساحت یک چهارضلعی محاسبه کنیم:

از این رو:

بنابراین، حجم هرم برابر است با:

جواب: 256

27178. در یک هرم چهار گوش منتظم ارتفاع 12 و حجم آن 200 است. لبه کناری این هرم را پیدا کنید.

ارتفاع هرم و حجم آن مشخص است، یعنی می توانیم مساحت مربع را که قاعده است، پیدا کنیم. با دانستن مساحت یک مربع، می توانیم قطر آن را پیدا کنیم. در مرحله بعد، با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث، لبه کناری را محاسبه می کنیم:

بیایید مساحت مربع (پایه هرم) را پیدا کنیم:

بیایید قطر مربع را محاسبه کنیم. از آنجایی که مساحت آن 50 است، ضلع برابر با ریشه پنجاه خواهد بود و طبق قضیه فیثاغورث:

نقطه O BD مورب را به دو نیم تقسیم می کند که به معنای پا است راست گوشه OB = 5.

بنابراین، می توانیم محاسبه کنیم که لبه کناری هرم برابر است با:

جواب: 13

245353. حجم هرم نشان داده شده در شکل را بیابید. قاعده آن چند ضلعی است که اضلاع مجاور آن عمود هستند و یکی از یال های کناری آن عمود بر صفحه قاعده و برابر با 3 است.

همانطور که بارها گفته شد، حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

لبه کناری عمود بر قاعده برابر با سه است، یعنی ارتفاع هرم سه است. قاعده هرم چند ضلعی است که مساحت آن برابر است با:

بدین ترتیب:

جواب: 27

27086. قاعده هرم مستطیلی است با اضلاع 3 و 4 حجم آن 16 است ارتفاع این هرم را بیابید.