تمام زوایای دو وجهی زوایای دو وجهی و فرمول محاسبه آنها. زاویه دو وجهی در قاعده یک هرم منظم چهار گوش

برای استفاده از پیش نمایش های ارائه، یک حساب کاربری برای خود ایجاد کنید ( حساب) گوگل و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

DIHEDRAL ANGLE معلم ریاضیات GOU دبیرستان شماره 10 Eremenko M.A.

اهداف اصلی درس: مفهوم زاویه دو وجهی و زاویه خطی آن را برای به کارگیری این مفاهیم در نظر بگیرید.

تعریف: زاویه دو وجهی شکلی است که توسط دو نیم صفحه با یک خط مستقیم مرز مشترک تشکیل شده است.

بزرگی یک زاویه دو وجهی، بزرگی زاویه خطی آن است. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - زاویه دو وجهی خطی ACD B

اجازه دهید ثابت کنیم که تمام زوایای خطی یک زاویه دو وجهی با یکدیگر برابر هستند. بیایید دو زاویه خطی AOB و A 1 OB 1 را در نظر بگیریم. پرتوهای OA و OA 1 روی یک وجه قرار دارند و بر OO 1 عمود هستند، بنابراین هم جهت هستند. تیرهای OB و OB 1 نیز به طور مشترک هدایت می شوند. بنابراین، ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (مانند زاویه هایی با اضلاع هم جهت).

نمونه هایی از زوایای دو وجهی:

تعریف: زاویه بین دو صفحه متقاطع کوچکترین زاویه دو وجهی است که توسط این صفحات تشکیل شده است.

وظیفه 1: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ABC و CDD 1 را پیدا کنید. پاسخ: 90 o.

مسئله 2: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ABC و CDA 1 را پیدا کنید. پاسخ: 45 o.

مسئله 3: در مکعب A ... D 1، زاویه بین صفحات ABC و BDD 1 را پیدا کنید. پاسخ: 90 o.

مسئله 4: در مکعب A ... D 1 زاویه بین صفحات ACC 1 و BDD 1 را پیدا کنید. پاسخ: 90 o.

مسئله 5: در مکعب A ... D 1 زاویه بین صفحات BC 1 D و BA 1 D را پیدا کنید. راه حل: فرض کنید O نقطه وسط B D باشد. A 1 OC 1 - زاویه خطی زاویه دو وجهی A 1 B D C 1.

مشکل 6: در چهار وجهی DABC همه یال ها برابرند، نقطه M وسط یال AC است. ثابت کنید که ∠ DMB زاویه خطی زاویه دو وجهی BACD است.

راه حل: مثلث های ABC و ADC منظم هستند، بنابراین، BM ⊥ AC و DM ⊥ AC و بنابراین ∠ DMB زاویه خطی زاویه دو وجهی DACB است.

مسئله 7: از راس B مثلث ABC که ضلع AC آن در صفحه α قرار دارد، یک BB 1 عمود بر این صفحه رسم می شود. اگر AB=2، ∠ВАС=150 0 و زاویه دووجهی ВАСВ 1 برابر با 45 0 باشد، فاصله نقطه B تا خط مستقیم AC و صفحه α را به دست آورید.

راه حل: ABC یک مثلث منفرد با زاویه منفرد A است، بنابراین قاعده ارتفاع BC روی امتداد ضلع AC قرار دارد. VC - فاصله از نقطه B تا AC. BB 1 - فاصله از نقطه B تا صفحه α

2) از آنجایی که AC ⊥BK، سپس AC⊥KB 1 (با قضیه معکوس قضیه در حدود سه عمود). بنابراین، ∠VKV 1 زاویه خطی زاویه دو وجهی BASV 1 و ∠VKV 1 =45 0 است. 3) ∆VAK: ∠A=30 0، VK=VA·sin 30 0، VK =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· گناه 45 0 , ВВ 1 =

زاویه دو وجهی. زاویه دو وجهی خطی. زاویه دو وجهی شکلی است که از دو نیم صفحه تشکیل شده است که به یک صفحه تعلق ندارند و دارای یک مرز مشترک هستند - خط مستقیم a. نیم صفحه هایی که یک زاویه دو وجهی را تشکیل می دهند وجه های آن و مرز مشترک این نیم صفحه ها را لبه زاویه دو وجهی می گویند. زاویه خطی زاویه دو وجهی زاویه ای است که اضلاع آن پرتوهایی هستند که در امتداد آن وجوه زاویه دو وجهی با صفحه ای عمود بر لبه زاویه دو وجهی قطع می شود. هر زاویه دو وجهی هر تعداد زاویه خطی دارد: از طریق هر نقطه لبه می توان صفحه ای عمود بر این لبه رسم کرد. پرتوهایی که این صفحه در امتداد آن وجوه یک زاویه دو وجهی را قطع می کند زوایای خطی را تشکیل می دهند.

تمام زوایای خطی یک زاویه دو وجهی با یکدیگر برابر هستند. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر زوایای دو وجهی تشکیل شده توسط صفحه قاعده هرم CABC و صفحات وجه های جانبی آن با هم برابر باشند، قاعده عمود برگرفته از راس K مرکز دایره محاطی در مثلث ABC است.

اثبات اول از همه، بیایید خطی بسازیم زوایا مساوی هستند x زوایای دو وجهی طبق تعریف، صفحه یک زاویه خطی باید بر لبه زاویه دو وجهی عمود باشد. بنابراین، لبه یک زاویه دو وجهی باید عمود بر اضلاع زاویه خطی باشد. اگر KO بر صفحه پایه عمود باشد، می توانیم OR عمود بر AC، OR عمود بر SV، OQ عمود بر AB رسم کنیم و سپس نقاط P، Q، R را با نقطه K وصل کنیم. بنابراین، یک برآمدگی از RK، QK شیب دار خواهیم ساخت. ، RK به طوری که لبه های AC، NE، AB بر این برجستگی ها عمود باشند. در نتیجه، این لبه ها عمود بر لبه های مایل هستند. و بنابراین صفحات مثلث ROK، QOK، ROK بر لبه های مربوط به زاویه دو وجهی عمود هستند و آن زوایای خطی مساوی را تشکیل می دهند که در شرط ذکر شده است. مثلث های قائم الزاویه ROK، QOK، ROK متجانس هستند (چون یک پایه مشترک دارند OK و زوایای مقابل این پایه برابر هستند). بنابراین، OR = OR = OQ. اگر دایره ای با مرکز O و شعاع OP رسم کنیم، اضلاع مثلث ABC بر شعاع های OP، OR و OQ عمود هستند و بنابراین بر این دایره مماس هستند.

عمود بودن صفحات. صفحات آلفا و بتا در صورتی عمود نامیده می شوند که زاویه خطی یکی از زوایای دو وجهی تشکیل شده در محل تلاقی آنها برابر با 90 باشد. پس این صفحات عمود هستند.

شکل یک متوازی الاضلاع مستطیلی را نشان می دهد. پایه های آن مستطیل های ABCD و A1B1C1D1 است. و دنده های جانبی AA1 BB1، CC1، DD1 بر پایه ها عمود هستند. نتیجه این است که AA1 عمود بر AB است، یعنی وجه جانبی مستطیل است. بنابراین، می‌توانیم ویژگی‌های یک متوازی الاضلاع مستطیلی را توجیه کنیم: در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، هر شش وجه مستطیل هستند. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، هر شش وجه مستطیل هستند. تمام زوایای دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل قائمه هستند. تمام زوایای دو وجهی یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل قائمه هستند.

قضیه مربع مورب یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر با مجموعمربع های سه بعدی آن اجازه دهید دوباره به شکل برگردیم و ثابت کنیم که AC12 = AB2 + AD2 + AA12 از آنجایی که لبه CC1 بر پایه ABCD عمود است، زاویه ACC1 راست است. از جانب راست گوشه ACC1 با استفاده از قضیه فیثاغورث AC12=AC2+CC12 را بدست می آوریم. اما AC مورب مستطیل ABCD است، بنابراین AC2 = AB2 + AD2. علاوه بر این، CC1 = AA1. بنابراین AC12= AB2+AD2+AA12 قضیه ثابت می شود.

"زاویه دو وجهی" - فاصله نقطه B تا صفحه را پیدا کنید. زاویه C حاد است. مثلث ABC منفرد است. زاویه C مبهم است. فاصله از یک نقطه تا یک خط. در چهار وجهی DАВС همه یال ها برابر هستند. زاویه بین آنهایی که مایل هستند. فاصله بین پایه های شیبدار زوایای خطی یک زاویه دو وجهی برابر است. الگوریتم ساخت زاویه خطی

"هندسه زاویه دو وجهی" - زاویه RSV - خطی برای یک زاویه دو وجهی با لبه AC. لبه و وجه های زاویه دو وجهی را پیدا کنید (نگاه کنید). مدل می تواند حجیم یا تاشو باشد. برش یک زاویه دو وجهی توسط صفحه ای عمود بر لبه. لبه ها. خط CP بر یال CA عمود است (با قضیه سه عمود). زاویه RKV - خطی برای زاویه دو وجهی با RSAV.

"زاویه سه وجهی" - علائم برابری زوایای سه وجهی. داده شده: Оabc – زاویه سه وجهی; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. درس 6. پیامدها. 1) برای محاسبه زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه، فرمول قابل اجرا است: فرمول سه کسینوس. . با توجه به زاویه سه وجهی Oabc. زاویه مثلثی. قضیه. در سمت راست هرم مثلثیزاویه راس مسطح کمتر از 120 درجه

"زوایای سه وجهی و چند وجهی" - زوایای سه وجهی دوازده وجهی. زوایای سه وجهی و چهار وجهی دوازده وجهی لوزی. زوایای چهار وجهی هشت وجهی. گوشه های سه وجهی چهار وجهی. اندازه گیری زوایای چند وجهی وظیفه. زوایای چند وجهی زوایای پنج ضلعی ایکوز وجهی. زوایای چند وجهی عمودی گوشه مثلثی هرم. فرض کنید SA1…An یک زاویه n وجهی محدب باشد.

"زاویه بین خط مستقیم و صفحه" - در منشور ششم منظم A...F1 که لبه های آن برابر با 1 است، زاویه بین خط مستقیم AC1 و صفحه ADE1 را پیدا کنید. در منشور ششم منظم A...F1 که لبه های آن برابر با 1 است، زاویه بین خط مستقیم AA1 و صفحه ACE1 را پیدا کنید. زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه. در منشور ششم منظم A...F1 که لبه های آن برابر با 1 است، زاویه بین خط مستقیم AB1 و صفحه ADE1 را پیدا کنید.

"زاویه چند وجهی" - زوایای چند وجهی محدب. زوایای چند وجهی بسته به تعداد وجوه، زوایای چندوجهی سه وجهی، چهار وجهی، پنج وجهی و غیره است. ج) ایکوسادرون. دو زاویه صفحه یک زاویه سه وجهی 70 درجه و 80 درجه هستند. از این رو،؟ ASB+؟ BSC+؟ A.S.C.< 360° . Сумма زوایای مسطحزاویه سه وجهی کمتر از 360 درجه

در مجموع 9 ارائه وجود دارد

فصل اول مستقیم و هواپیما

V. زوایای دو وجهی، زاویه قائمه با یک صفحه،
زاویه دو ضلع راست متقاطع، زوایای چند وجهی

زوایای دو وجهی

38. تعاریف.قسمتی از هواپیما که در یک طرف هر خط مستقیمی که در این صفحه قرار دارد نامیده می شود نیمه هواپیما. شکلی که توسط دو نیم صفحه (P و Q، شکل 26) که از یک خط مستقیم (AB) سرچشمه می‌گیرد، تشکیل می‌شود. زاویه دو وجهی. مستقیم AB نامیده می شود حاشیه، غیرمتمرکز، و نیم صفحه P و Q - مهمانییا لبه هازاویه دو وجهی

چنین زاویه ای معمولاً با دو حرف در لبه آن (زاویه دو وجهی AB) تعیین می شود. اما اگر در یک لبه چندین زاویه دو وجهی وجود داشته باشد، هر یک از آنها با چهار حرف مشخص می شود که دو حرف میانی در لبه و دو قسمت بیرونی در وجوه قرار دارند (به عنوان مثال، زاویه دو وجهی SCDR) (شکل 2). 27).

اگر از یک نقطه دلخواه D، لبه های AB (شکل 28) بر روی هر وجه عمود بر لبه کشیده شود، آنگاه زاویه CDE تشکیل شده توسط آنها نامیده می شود. زاویه خطیزاویه دو وجهی

بزرگی یک زاویه خطی به موقعیت راس آن در لبه بستگی ندارد. بنابراین، زوایای خطی CDE و C 1 D 1 E 1 برابر هستند زیرا اضلاع آنها به ترتیب موازی و در یک جهت هستند.

صفحه یک زاویه خطی عمود بر لبه است، زیرا شامل دو خط عمود بر آن است. بنابراین برای به دست آوردن زاویه خطی کافی است وجه یک زاویه دو وجهی معین را با صفحه ای عمود بر لبه قطع کنیم و زاویه حاصل را در این صفحه در نظر بگیریم.

39. تساوی و نابرابری زوایای دو وجهی.دو زاويه دو وجهي در صورتي كه بتوان آنها را با هم تركيب كرد با هم يكسان در نظر گرفت. در غیر این صورت، هر زاویه دو وجهی کوچکتر در نظر گرفته شود، بخشی از زاویه دیگر را تشکیل می دهد.

مانند زوایا در پلان سنجی، زوایای دو وجهی نیز می توانند باشند مجاور، عمودیو غیره.

اگر دو زاویه دو وجهی مجاور با یکدیگر برابر باشند، هر یک از آنها نامیده می شود زاویه دو وجهی راست.

قضایا. 1) زوایای دو وجهی مساوی با زوایای خطی مساوی مطابقت دارد.

2) یک زاویه دو وجهی بزرگتر مربوط به یک زاویه خطی بزرگتر است.

فرض کنید PABQ و P 1 A 1 B 1 Q 1 (شکل 29) دو زاویه دو وجهی باشند. زاویه A 1 B 1 را در زاویه AB قرار می دهیم تا لبه A 1 B 1 با لبه AB و وجه P 1 با وجه P منطبق شود.

سپس اگر این زوایای دو وجهی مساوی باشند، صورت Q 1 با وجه Q منطبق خواهد شد. اگر زاویه A 1 B 1 کمتر از زاویه AB باشد، صورت Q 1 در داخل زاویه دو وجهی قرار می گیرد، برای مثال Q 2.

با توجه به این موضوع، اجازه دهید مقداری از نقطه B را روی یک یال مشترک بگیریم و صفحه R را عمود بر لبه از آن عبور دهیم. از تقاطع این صفحه با وجوه زوایای دو وجهی، زوایای خطی به دست می آید. واضح است که اگر زوایای دو وجهی منطبق باشند، آنگاه همان زاویه خطی CBD را خواهند داشت. اگر زوایای دو وجهی منطبق نباشند، اگر برای مثال، صورت Q 1 موقعیت Q 2 را بگیرد، زاویه دو وجهی بزرگتر زاویه خطی بزرگتری خواهد داشت (یعنی: / CBD > / C 2 BD).

40. قضایای معکوس. 1) زوایای خطی مساوی با زوایای دو وجهی مساوی مطابقت دارد.

2) یک زاویه خطی بزرگتر مربوط به یک زاویه دو وجهی بزرگتر است .

این قضایا را می توان به راحتی با تناقض اثبات کرد.

41. پیامدها. 1) یک زاویه دو وجهی راست با یک زاویه خطی راست مطابقت دارد و بالعکس.

بگذارید (شکل 30) زاویه دو وجهی PABQ مستقیم باشد. این به این معنی است که با زاویه مجاور QABP 1 برابر است. اما در این حالت، زوایای خطی CDE و CDE 1 نیز برابر هستند. و چون مجاورند هر کدام باید مستقیم باشند. برعکس، اگر زوایای خطی مجاور CDE و CDE 1 برابر باشند، زوایای دو وجهی مجاور برابر هستند، یعنی هر یک از آنها باید مستقیم باشند.

2) همه زوایای دو وجهی قائم به هم برابر هستند،زیرا زوایای خطی آنها برابر است .

به همین ترتیب، اثبات اینکه:

3) زوایای دو وجهی عمودی برابر هستند.

4) دو وجهی زوایایی که به ترتیب دارای لبه های جهت دار موازی و یکسان (یا مخالف) هستند، برابر هستند.

5) اگر به عنوان واحد زوایای دو وجهی، زاویه دو وجهی را که مطابق با یک واحد زوایای خطی است، در نظر بگیریم، می توانیم بگوییم که زاویه دو وجهی با زاویه خطی آن اندازه گیری می شود.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است ما جمع آوری کنیم اطلاعات مختلف، از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما این امکان را می دهد که با شما تماس بگیریم و به شما اطلاع دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و رویدادهای دیگر و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبه منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف بهداشت عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی را درباره شما فاش کنیم. موارد مهم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.