تعیین ضرایب سری فوریه برای توابع تناوبی. نمونه هایی از تکمیل وظایف بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد

رونوشت

1 وزارت آموزش و پرورش و علوم دانشگاه دولتی RF Novosibirsk دانشکده فیزیک R. K. Belkheeva FOURIER SERIES IN EXAMAPES AND PROBLEMS Textbook Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. سری فوریه در مثال ها و مسائل: کتاب درسی / نووسیبیرسک. حالت دانشگاه نووسیبیرسک، اس. ISBN کتاب درسی اطلاعات اولیه در مورد سری فوریه ارائه می دهد و برای هر موضوع مورد مطالعه مثال هایی ارائه می دهد. نمونه ای از کاربرد روش فوریه برای حل مسئله ارتعاشات عرضی یک ریسمان به تفصیل تحلیل شده است. مطالب گویا ارائه شده است. وظایفی برای راه حل مستقل وجود دارد. در نظر گرفته شده برای دانشجویان و معلمان دانشکده فیزیک NSU. با تصمیم کمیسیون روش شناسی دانشکده فیزیک NSU منتشر شد. داور: دکتر فیزیک-ریاضی. علمی V. A. Aleksandrov این راهنما به عنوان بخشی از اجرای برنامه توسعه NRU-NSU برای سالها تهیه شد. ISBN c دانشگاه دولتی نووسیبیرسک، 211 c Belkheeva R.K.، 211

3 1. بسط تابع تناوبی 2π در تعریف سری فوریه. سری فوریه تابع f(x) سری تابعی a 2 + (a n cosnx + b n sin nx)، (1) است که در آن ضرایب a n، b n با استفاده از فرمول‌ها محاسبه می‌شوند: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) فرمولهای (2) (3) فرمولهای اویلر فوریه نامیده می شوند. این واقعیت که تابع f(x) با سری فوریه (1) مطابقت دارد به صورت فرمول f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) نوشته می شود و می گوییم سمت راست فرمول ( 4) یک سری رسمی تابع فوریه f(x) است. به عبارت دیگر، فرمول (4) فقط به این معنی است که ضرایب a n، b n با استفاده از فرمول های (2)، (3) پیدا شده است. 3

4 تعریف. تابع تناوبی 2π f(x) به صورت تکه ای صاف نامیده می شود اگر تعداد محدودی نقطه = x در بازه [، π] وجود داشته باشد.< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 شکل 1. نمودار تابع f(x) بیایید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2، برای n فرد، برای n زوج ، f(x) sin nxdx =، زیرا تابع f(x) زوج است. اجازه دهید سری فوریه رسمی تابع f(x) را بنویسیم: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 بیایید دریابیم که آیا تابع f(x) به صورت تکه ای صاف است یا خیر. از آنجایی که پیوسته است، فقط حدود (6) را در نقاط انتهایی بازه x = ± π و در نقطه شکست x = : و f(π h) f(π) π h π lim = lim h + محاسبه می کنیم. h h + h = 1، f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1، h + h h + h = 1 ، f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h حدود وجود دارد و متناهی است، بنابراین تابع به صورت تکه ای صاف است. با قضیه همگرایی نقطه ای، سری فوریه آن در هر نقطه به عدد f(x) همگرا می شود، یعنی f(x) = π 2 4 π k = cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) در شکل. 2، 3 ماهیت تقریب مجموع جزئی سری فوریه S n (x) را نشان می دهد، که در آن S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx)، k=1 به تابع f(x ) در بازه [، π]. 6

7 شکل 2. نمودار تابع f(x) با نمودارهای روی هم از مجموع جزئی S (x) = a 2 و S 1(x) = a 2 + a 1 cos x شکل. 3. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی که روی آن قرار گرفته است S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 با جایگزینی x = به (7) بدست می آوریم: = π 2 4 π k = 1 (2k + 1) 2، از آنجا مجموع سری اعداد را می یابیم: = π2 8. با دانستن مجموع این سری، آن است. آسان برای یافتن مجموع زیر داریم: S = ( ) S = ()= π S، بنابراین S = π2 6، یعنی 1 n = π مجموع این سری معروف اولین بار توسط لئونارد اویلر کشف شد. اغلب در تجزیه و تحلیل ریاضی و کاربردهای آن یافت می شود. مثال 2. بیایید یک نمودار رسم کنیم و سری فوریه یک تابع را با فرمول f(x) = x برای x پیدا کنیم.< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 شکل 4. نمودار تابع f(x) تابع f(x) به طور پیوسته در بازه (، π) قابل تمایز است. در نقاط x = ± π، دارای حدهای محدود (5) است: f() =، f(π) = π. علاوه بر این، محدودیت های محدودی وجود دارد (6): f(+ h) f(+) lim = 1 و h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h بنابراین، f(x) است عملکرد صاف تکه ای از آنجایی که تابع f(x) فرد است، a n = است. ضرایب b n را با ادغام با قطعات پیدا می کنیم: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n+ 1. n اجازه دهید یک سری فوریه رسمی از تابع 2(1) n+1 f(x) sin nx بسازیم. n 9 cosnxdx ] =

10 با توجه به قضیه همگرایی نقطه ای یک تابع 2π-تناوبی صاف تکه ای، سری فوریه تابع f(x) به مجموع همگرا می شود: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x، اگر π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 شکل 6. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 2 (x) روی آن قرار گرفته است. 7. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 3 (x) 11 که روی آن قرار گرفته است.

12 شکل. 8. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 99 (x) بر روی آن قرار گرفته است.از سری فوریه حاصل برای یافتن مجموع دو سری عددی استفاده می کنیم. اجازه دهید x = π/2 را در (8) قرار دهیم. سپس 2 () +... = π 2، یا = n= (1) n 2n + 1 = π 4. ما به راحتی مجموع سری معروف لایب نیتس را پیدا کردیم. با قرار دادن x = π/3 در (8)، () +... = π 2 3، یا (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k پیدا می کنیم

13 مثال 3. بیایید یک نمودار رسم کنیم، سری فوریه تابع f(x) = sin x را با فرض اینکه دوره 2π دارد، پیدا کنیم، و 1 مجموع سری اعداد 4n 2 را محاسبه کنیم. 1. راه حل. نمودار تابع f(x) در شکل نشان داده شده است. 9. بدیهی است که f(x) = sin x یک تابع زوج پیوسته با دوره π است. اما 2π همچنین دوره تابع f(x) است. برنج. 9. نمودار تابع f(x) ضرایب فوریه را محاسبه می کنیم. همه b n = چون تابع زوج است. با استفاده از فرمول های مثلثاتی، یک n را برای n 1 محاسبه می کنیم: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 اگر n = 2k ، = π n 2 1 اگر n = 2 هزار

14 این محاسبه به ما اجازه نمی دهد ضریب a 1 را پیدا کنیم، زیرا در n = 1 مخرج به صفر می رسد. بنابراین، ما ضریب a 1 را مستقیماً محاسبه می کنیم: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. از آنجایی که f(x) به طور پیوسته در (،) و (، π) قابل تمایز است و در نقاط kπ، (k یک عدد صحیح است)، محدودیت های محدود (5) و (6) وجود دارد، پس سری فوریه تابع همگرا می شود. به آن در هر نقطه: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x شکل ماهیت تقریب تابع f(x) را نشان می دهد. با مجموع جزئی سری فوریه.. (9) شکل. 1. نمودار تابع f(x) با نموداری از جمع جزئی S (x) 14 که روی آن قرار گرفته است.

15 شکل 11. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 1 (x) روی آن قرار گرفته است. 12. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 2 (x) روی آن قرار گرفته است. 13. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 99 (x) 15 که روی آن قرار گرفته است.

16 1 مجموع سری اعداد را محاسبه کنید. برای انجام این کار، 4n 2 1 در (9) x = قرار دهید. سپس cosnx = 1 برای همه n = 1، 2،... و بنابراین، 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. مثال 4. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک تابع پیوسته صاف تکه ای f(x) شرط f(x π) = f(x) را برای همه x برآورده کند (یعنی π- تناوبی است)، سپس a 2n 1 = b 2n 1 = برای همه n 1، و بالعکس، اگر a 2n 1 = b 2n 1 = برای همه n 1، آنگاه f(x) π-تناوبی است. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) π-تناوبی باشد. بیایید ضرایب فوریه آن a 2n 1 و b 2n 1 را محاسبه کنیم: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1)xdx. در انتگرال اول تغییری در متغیر x = t π انجام می دهیم: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 با استفاده از این واقعیت که cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t و f(t π) = f(t)، به دست می آوریم: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. به روشی مشابه ثابت می شود که b 2n 1 =. برعکس، اجازه دهید a 2n 1 = b 2n 1 =. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس با قضیه نمایش پذیری یک تابع در یک نقطه با سری فوریه آن، داریم پس f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n گناه 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x)، به این معنی که f(x) یک تابع تناوبی π است. مثال 5. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک تابع صاف تکه ای f(x) شرط f(x) = f(x) را برای همه x برآورده کند، آنگاه a = و a 2n = b 2n = برای همه n 1، و بالعکس ، اگر a = a 2n = b 2n =، آنگاه f(x π) = f(x) برای همه x. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) شرط f(x π) = f(x) را برآورده کند. بیایید ضرایب فوریه آن را محاسبه کنیم: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. در انتگرال اول متغیر x = t π را تغییر می دهیم. سپس f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. با استفاده از این واقعیت که cos n(t π) = (1) n cosnt و f(t π) = f(t) به دست می آوریم: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = اگر n زوج، = 2 π f(t) cos nt dt، اگر n فرد باشد. π به طور مشابه ثابت شده است که b 2n =. برعکس، اجازه دهید a = a 2n = b 2n =، برای همه n 1. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس با قضیه نمایش پذیری یک تابع در یک نقطه با سری فوریه آن، برابری f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 سپس = f(x π) = = = f(x). مثال 6. اجازه دهید نحوه گسترش تابع f(x) قابل انتگرال در بازه [, π/2] را به بازه [, π] بسط دهیم، به طوری که سری فوریه آن به شکل: a 2n 1 cos (2n 1) باشد. ایکس. (1) راه حل. اجازه دهید نمودار تابع به شکلی باشد که در شکل نشان داده شده است. 14. از آنجایی که در سری (1) a = a 2n = b 2n = برای همه n، پس از مثال 5 نتیجه می شود که تابع f(x) باید برابری f(x π) = f(x) را برای همه x برآورده کند. . این مشاهده راهی برای گسترش تابع f(x) به بازه [، /2] ارائه می‌کند: f(x) = f(x+π)، شکل. 15. از این واقعیت که سری (1) فقط دارای کسینوس است، نتیجه می گیریم که تابع توسعه یافته f(x) باید زوج باشد (یعنی نمودار آن باید متقارن با محور Oy باشد).

20 شکل 14. نمودار تابع f(x) شکل. 15. نمودار ادامه تابع f(x) تا بازه [, /2] 2

21 بنابراین، تابع مورد نیاز به شکل نشان داده شده در شکل است. 16. شکل. 16. نمودار ادامه تابع f(x) برای بازه [، π] به طور خلاصه، نتیجه می گیریم که تابع باید به صورت زیر ادامه یابد: f(x) = f(x)، f(π x) = f (x)، یعنی در بازه [π/2, π]، نمودار تابع f(x) به طور مرکزی نسبت به نقطه (π/2،) و در بازه [، π متقارن است. ]، نمودار آن نسبت به محور Oy متقارن است. 21

22 تعمیم مثال ها 3 6 بگذارید l >. بیایید دو شرط را در نظر بگیریم: a) f(l x) = f(x); ب) f(l + x) = f(x)، x [، l/2]. از نقطه نظر هندسی، شرط (a) به این معنی است که نمودار تابع f(x) نسبت به خط عمودی x = l/2 متقارن است و شرط (b) که نمودار f(x) است. متقارن مرکزی با توجه به نقطه (l/2;) روی آبسیسا محور. سپس عبارات زیر درست هستند: 1) اگر تابع f(x) زوج باشد و شرط (a) برقرار باشد، آنگاه b 1 = b 2 = b 3 =... =، a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) اگر تابع f(x) زوج باشد و شرط (b) برقرار باشد، آنگاه b 1 = b 2 = b 3 =... =، a = a 2 = a 4 =... = ; 3) اگر تابع f(x) فرد باشد و شرط (a) برقرار باشد، a = a 1 = a 2 =... =، b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) اگر تابع f(x) فرد باشد و شرط (b) برقرار باشد، a = a 1 = a 2 =... =، b 1 = b 3 = b 5 =... =. مشکلات در مسائل 1 7، نمودارها را رسم کنید و سری فوریه را برای توابع پیدا کنید، (با فرض اینکه دوره 2π داشته باشند: اگر< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 اگر / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. بسط تابعی که در بازه [، π]، فقط در سینوس یا فقط در کسینوس داده شده است، اجازه دهید تابع f در بازه [، π] داده شود. اگر بخواهیم آن را در این بازه به یک سری فوریه گسترش دهیم، ابتدا f را به صورت دلخواه به بازه [، π] گسترش می دهیم و سپس از فرمول های فوریه اویلر استفاده می کنیم. دلبخواهی در ادامه یک تابع به این واقعیت منجر می شود که برای همان تابع f: [, π] R می توانیم سری های فوریه متفاوتی به دست آوریم. اما می توانید از این خودسری برای به دست آوردن یک بسط فقط در سینوس یا فقط در کسینوس استفاده کنید: در حالت اول کافی است f را به صورت فرد و در حالت دوم به صورت زوج ادامه دهید. الگوریتم حل 1. تابع را به صورت فرد ( زوج) تا (،) ادامه دهید و سپس به صورت دوره ای با دوره 2π تابع را در امتداد کل محور ادامه دهید. 2. ضرایب فوریه را محاسبه کنید. 3. سری فوریه تابع f(x) را بنویسید. 4. شرایط همگرایی سری را بررسی کنید. 5. تابعی که این سری به آن همگرا می شود را مشخص کنید. مثال 7. اجازه دهید تابع f(x) = cosx را گسترش دهیم،< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 شکل 17. نمودار تابع توسعه یافته واضح است که تابع f (x) به صورت تکه ای صاف است. بیایید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم: a n = برای همه n زیرا تابع f (x) فرد است. اگر n 1، آنگاه b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1، اگر n = 2 k + 1، (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1) (n 1) 2 2n، اگر n = 2k. π n 2 1 هنگامی که n = 1 در محاسبات قبلی، مخرج به صفر می رسد، بنابراین ضریب b 1 را می توان به طور مستقیم محاسبه کرد - 25

26 به طور طبیعی: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. بیایید سری فوریه تابع f (x) را بسازیم: f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. از آنجایی که تابع f (x) به صورت تکه ای صاف است، پس با قضیه همگرایی نقطه ای سری فوریه تابع f (x) به مجموع همگرا می شود: cosx اگر π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 شکل. 18. نمودار تابع f (x) با نموداری از مجموع جزئی S 1 (x) روی آن قرار گرفته است. 19. نمودار تابع f(x) با نموداری از جمع جزئی S 2 (x) 27 که روی آن قرار گرفته است.

28 شکل. 2. نمودار تابع f (x) با نموداری از مجموع جزئی S 3 (x) بر روی آن قرار گرفته است. شکل 21 نمودارهای تابع f (x) و جمع جزئی آن S 99 (x) را نشان می دهد. برنج. 21. نمودار تابع f (x) با نموداری از جمع جزئی S 99 (x) 28 که روی آن قرار گرفته است.

29 مثال 8. اجازه دهید تابع f(x) = e ax, a >, x [, π] را به یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهیم. راه حل. اجازه دهید تابع را به طور مساوی به (،) گسترش دهیم (یعنی، به طوری که تساوی f(x) = f(x) برای همه x (، π) برقرار باشد)، و سپس به صورت دوره ای با یک دوره 2π در امتداد کل خط عددی. تابع f (x) را بدست می آوریم که نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 22. تابع f (x) در نقاط شکل. 22. نمودار تابع توسعه یافته f (x) x = kπ، k یک عدد صحیح است، دارای پیچ خوردگی است. بیایید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم: b n =، زیرا f (x) زوج است. با ادغام بر اساس قطعات 29 بدست می آید

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1)، f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 بنابراین، a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 از آنجایی که f (x) پیوسته است، پس با توجه به قضیه همگرایی نقطه‌ای سری فوریه آن به f (x) همگرا می‌شود. این بدان معنی است که برای همه x [، π] f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π) داریم. شکل‌ها رویکرد تدریجی مجموع جزئی سری فوریه را به یک تابع ناپیوسته نشان می‌دهند. 3

31 شکل. 23. نمودارهای توابع f (x) و S (x) شکل. 24. نمودارهای توابع f (x) و S 1 (x) شکل. 25. نمودارهای توابع f (x) و S 2 (x) شکل. 26. نمودار توابع f (x) و S 3 (x) 31

32 شکل. 27. نمودار توابع f (x) و S 4 (x) شکل. 28. نمودارهای توابع f (x) و S 99 (x) مسائل 9. تابع f (x) = cos x، x π را به یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهید. 1. تابع f(x) = e ax، a >، x π را به یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. 11. تابع f(x) = x 2, x π را به یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. 12. تابع f(x) = sin ax، x π را به یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط دهید. 13. تابع f(x) = x sin x, x π را به یک سری فوریه فقط در سینوس بسط دهید. پاسخ 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. اگر a یک عدد صحیح نباشد، sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2 اگر a = 2m یک عدد زوج باشد، آنگاه sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; اگر a = 2m 1 یک عدد فرد مثبت باشد، آنگاه sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. سری فوریه یک تابع با دوره دلخواه فرض کنید که تابع f(x) در بازه [l, l]، l > داده شده است. با انجام جانشینی x = ly، y π، تابع g(y) = f(ly/π)، تعریف شده در بازه π [، π] را بدست می آوریم. این تابع g(y) مربوط به یک سری فوریه (رسمی) () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) است که ضرایب آن با استفاده از فرمول فوریه اویلر پیدا می شود: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy، n =، 1، 2،...، 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π بازگشت به متغیر قدیمی، یعنی با فرض فرمول های نوشته شده y = πx/ l، برای تابع f(x) یک سری مثلثاتی با شکل کمی تغییر یافته به دست می آوریم: که در آن f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx)، (11) l dx، n =، 1، 2،...، (12) dx، n = 1، 2،.... (13) فرمول ها (11) (13) گفته می شود که بسط سری فوریه یک تابع را با یک دوره دلخواه تعریف می کند. مثال 9. اجازه دهید سری فوریه یک تابع مشخص شده در بازه (l، l) را با عبارت (A، اگر l) پیدا کنیم.< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l a n = 1 l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =، اگر n، l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn بیایید یک سری فوریه از تابع f (x) ایجاد کنیم: f(x) A + B π (B A چون cosπn = (1) n، پس n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l برای n = 2k، b n = b 2k =، برای n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1) بدست می آوریم.

36 بنابراین f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l طبق قضیه همگرایی نقطه‌ای، سری فوریه تابع f(x) به جمع A همگرا می شود، اگر l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 شکل. 29. نمودار تابع f (x) با نمودارهای هارمونیک S (x) = a 2 و S 1 (x) = b 1 sinx روی آن قرار گرفته است. برای وضوح، نمودارهای سه هارمونیک بالاتر S 3 (x) = b 3 sin 3πx، S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l و S 7 (x) = b 7 sin 7πx به صورت عمودی به سمت بالا منتقل می شوند l 37

38 شکل. 3. نمودار تابع f(x) با نموداری از مجموع جزئی S 99 (x) روی آن قرار گرفته است. 31. قطعه ای از شکل. 3 در مقیاس دیگر 38

39 مشکلات در مسائل، توابع نشان داده شده را در بازه های داده شده به سری فوریه بسط دهید. 14. f(x) = x 1، (1، 1). 15. f(x) = cos π x، [ 1، 1] f(x) = sin π x، (1، 1).( 2 1، اگر 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2) πx cos، π 2 (2n 1) 2 l ب) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x شکل پیچیده سری فوریه بسط f(x) = c n e inx، که در آن c n = 1 2π f (x)e inx dx، n = ± 1، ± 2،...، شکل مختلط سری فوریه نامیده می شود. یک تابع در صورتی به یک سری فوریه پیچیده بسط می‌یابد در صورتی که شرایط یکسانی وجود داشته باشد که تحت آن به یک سری فوریه واقعی بسط می‌یابد. 4

41 مثال 1. سری فوریه را به شکل مختلط تابعی که با فرمول f(x) = e ax، در بازه [، π)، که a یک عدد واقعی است، پیدا کنید. راه حل. بیایید ضرایب را محاسبه کنیم: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) سری فوریه مختلط تابع f به شکل f(x) sinh aπ π n= (1) n a در einx است. اجازه دهید مطمئن شویم که تابع f(x) به صورت تکه ای صاف است: در بازه (، π) به طور پیوسته قابل تمایز است، و در نقاط x = ± π محدودیت های محدود (5)، (6) lim h + ea وجود دارد. (+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. در نتیجه، تابع f(x) را می توان با سری فوریه sh aπ π n= (1) n a در einx نشان داد، که به مجموع همگرا می شود: (e S(x) = ax اگر π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 مثال 11. سری فوریه را در شکل مختلط و واقعی تابعی که با فرمول f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 داده شده است، بیابید، جایی که a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 به یاد بیاورید که مجموع یک تصاعد هندسی نامتناهی با مخرج q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 حالا بیایید سری فوریه را به شکل واقعی پیدا کنیم. برای انجام این کار، عبارت ها را با اعداد n و n برای n گروه بندی می کنیم: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx چون c = 1، سپس 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 این سری فوریه به شکل واقعی تابع f(x) است. بنابراین، بدون محاسبه یک انتگرال، سری فوریه تابع را پیدا کردیم. در همان زمان، ما یک انتگرال دشوار را بسته به پارامتر cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a محاسبه کردیم.< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 اجازه دهید هر یک از کسرهای ساده را با استفاده از فرمول پیشرفت هندسی بسط دهیم: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n، n= z a 1 z a = az = a n z n. n= این امکان پذیر است زیرا az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >، یا به طور خلاصه، c n = 1 2i a n sgnn. بنابراین، سری فوریه به شکل پیچیده پیدا شده است. با گروه بندی عبارت ها با اعداد n و n سری فوریه تابع را به صورت واقعی به دست می آوریم: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n = +) = c n e inx = a n sin nx. یک بار دیگر توانستیم انتگرال مختلط زیر را محاسبه کنیم: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 مسائل 24. با استفاده از (15)، انتگرال cos nxdx 1 2a cosx + a 2 را برای a واقعی محاسبه کنید، a > با استفاده از (16)، انتگرال sin x sin nxdx را برای a واقعی محاسبه کنید، a > a cosx + a2 در مسائل، سری فوریه را به شکل پیچیده برای توابع پیدا کنید. 26. f(x) = sgn x، π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. قضیه برابری لیاپانوف (لیاپانوف برابری). فرض کنید تابع f: [, π] R به گونه ای باشد که f 2 (x) dx باشد< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. بنابراین، برابری لیاپانوف برای تابع f(x) به این شکل است: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. از آخرین برابری برای π، sin 2 na n 2 = a(π a) را پیدا می کنیم. با تنظیم a = π 2، sin2 na = 1 را برای n = 2k 1 و sin 2 na = برای n = 2k به دست می آوریم. در نتیجه، k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. مثال 14. بیایید برابری لیاپانوف را برای تابع f(x) = x cosx، x [، π] بنویسیم و از آن برای یافتن مجموع عدد استفاده کنیم. سری (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. راه حل 1 π. محاسبات مستقیم = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 از آنجایی که f(x) یک تابع زوج است، پس برای همه n b n =، a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) داریم. )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 اگر n = 2k، 2 اگر n = 2k + 1. ضریب a 1 باید جداگانه محاسبه شود، زیرا در فرمول کلی برای n = 1 مخرج کسر می رود. به صفر = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = گناه 2xdx = π 2.

50 بنابراین، تساوی لیاپانوف برای تابع f(x) به این شکل است: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π، از آنجا مجموع سری اعداد (4n 2) را پیدا می کنیم. + 1) 2 (4n 2 1) = π π مسائل 32. برابری لیاپانوف را برای تابع بنویسید (x f(x) = 2 πx، اگر x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 پاسخ ها + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n، که در آن c n ضریب فوریه 2π تابع f(x) است. و d n توابع ضریب فوریه g(x) است. 6. تمایز سری فوریه فرض کنید f: R R یک تابع متناوب 2π به طور پیوسته قابل تمایز باشد. سری فوریه آن به شکل: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx) است. مشتق f (x) این تابع یک تابع پیوسته و 2π-تناوبی خواهد بود، که برای آن می توانیم یک سری فوریه رسمی بنویسیم: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx)، که در آن a, a n , b n, n = 1 , 2,... ضرایب فوریه تابع f (x). 51

52 قضیه (در مورد تمایز ترم به ترم سری فوریه). بر اساس مفروضات بالا، برابری های a =، a n = nb n، ​​b n = na n، n 1 معتبر هستند. مثال 15. اجازه دهید تابع صاف تکه ای f(x) در بازه [، π] پیوسته باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر شرط f(x)dx = برآورده شود، نابرابری 2 dx 2 dx که نامساوی استکلوف نامیده می شود برقرار است، و مطمئن خواهیم شد که برابری در آن فقط برای توابع شکل f(x) = برقرار است. یک cosx. به عبارت دیگر، نابرابری استکلوف شرایطی را به دست می‌دهد که در آن کوچکی مشتق (در مربع میانگین) بر کوچکی تابع (در مربع میانگین) دلالت دارد. راه حل. اجازه دهید تابع f(x) را به بازه [, ] به صورت زوج گسترش دهیم. اجازه دهید تابع توسعه یافته را با همان نماد f(x) نشان دهیم. سپس تابع توسعه یافته پیوسته و تکه تکه در بازه [، π] صاف خواهد بود. از آنجایی که تابع f(x) پیوسته است، پس f 2 (x) در بازه و 2 dx پیوسته است.< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 از آنجایی که تابع ادامه دار زوج است، b n =، a = بر اساس شرط. در نتیجه، برابری لیاپانوف به شکل 1 π 2 dx = a 2 π n است. (17) اجازه دهید مطمئن شویم که برای f (x) نتیجه قضیه در مورد تمایز ترم به ترم سری فوریه برآورده می شود، یعنی a =، a n = nb n، ​​b n = na n، n 1. اجازه دهید مشتق f (x) در نقاط x 1، x 2،...، x N در بازه [، π] دچار پیچ خوردگی شود. اجازه دهید x =، x N+1 = π را نشان دهیم. اجازه دهید بازه ادغام [، π] را به N +1 بازه (x، x 1)،...، (x N، x N+1) تقسیم کنیم، که در هر یک از آنها f(x) به طور پیوسته قابل تمایز است. سپس با استفاده از خاصیت افزایشی بودن انتگرال و سپس ادغام با قطعات به دست می‌آید: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= آخرین تساوی به این دلیل رخ می دهد که تابع f(x) به صورت زوج ادامه یافته است که به معنای f(π) = f() است. به طور مشابه یک n = nb n به دست می آوریم. ما نشان دادیم که قضیه تمایز ترم به ترم سری فوریه برای یک تابع متناوب 2π-تناوبی صاف تکه‌ای پیوسته که مشتق آن در بازه [، π] دچار ناپیوستگی‌های نوع اول می‌شود، صحیح است. این یعنی f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx، زیرا a =، a n = nb n =، b n = na n، n = 1، 2، .... از 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 از آنجایی که هر جمله در سری در (18) بزرگتر یا مساوی با عبارت مربوطه در سری در (17) است، پس 2 dx 2 dx است. با یادآوری اینکه f(x) ادامه زوج تابع اصلی است، 2 dx 2 dx داریم. که برابری استکلوف را ثابت می کند. اکنون ما بررسی می کنیم که تساوی برای کدام توابع در نابرابری استکلوف وجود دارد. اگر حداقل برای یک n 2، ضریب a n با صفر متفاوت باشد، 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 مشکلات 37. اجازه دهید تابع صاف تکه ای f(x) در بازه [، π] پیوسته باشد. ثابت کنید که وقتی شرط f() = f(π) = برآورده می شود، نابرابری 2 dx 2 dx که نابرابری استکلوف نیز نامیده می شود برقرار است، و مطمئن شوید که تساوی در آن فقط برای توابع شکل f(x) برقرار است. = B گناه x. 38. فرض کنید تابع f در بازه [، π] پیوسته باشد و مشتق f (x) در آن باشد (به جز تعداد محدودی از نقاط). ثابت کنید که اگر شرایط f() = f(π) و f(x) dx = برآورده شود، آنگاه نابرابری 2 dx 2 dx که نامساوی Wirtinger نامیده می شود برقرار است و تساوی در آن فقط برای توابع شکل f صادق است. (x) = A cosx + B sin x. 56

57 7. کاربرد سری فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی هنگام مطالعه یک شی واقعی (پدیده طبیعی، فرآیند تولید، سیستم کنترل و غیره)، دو عامل مهم هستند: سطح دانش انباشته شده در مورد شی مورد مطالعه و درجه توسعه دستگاه ریاضی در مرحله حاضر از تحقیقات علمی، زنجیره زیر توسعه یافته است: مدل فیزیکی پدیده مدل ریاضی. فرمول فیزیکی (مدل) مسئله به شرح زیر است: شرایط توسعه فرآیند و عوامل اصلی مؤثر بر آن شناسایی می شود. فرمول (مدل) ریاضی شامل توصیف عوامل و شرایط انتخاب شده در فرمولاسیون فیزیکی در قالب یک سیستم معادلات (جبری، دیفرانسیل، انتگرال و غیره) است. در صورتی که در یک فضای عملکردی معین راه حلی برای مسئله وجود داشته باشد، مسئله ای را به خوبی مطرح می کنند که به طور منحصر به فرد و پیوسته به شرایط اولیه و مرزی بستگی دارد. یک مدل ریاضی با شی مورد نظر یکسان نیست، بلکه توصیفی تقریبی از آن است. استخراج معادله ارتعاشات عرضی کوچک آزاد یک رشته. ما کتاب درسی را دنبال می کنیم. بگذارید انتهای رشته محکم شود و خود نخ کشیده شود. اگر یک رشته را از موقعیت تعادل خود حرکت دهید (مثلاً آن را به عقب بکشید یا به آن ضربه بزنید)، آنگاه رشته شروع به 57 می کند.

58 تردید. فرض می کنیم که تمام نقاط ریسمان عمود بر موقعیت تعادل آن (ارتعاشات عرضی) حرکت می کنند و در هر لحظه از زمان رشته در همان صفحه قرار می گیرد. اجازه دهید سیستم مختصات مستطیلی xou را در این صفحه در نظر بگیریم. سپس، اگر در لحظه اولیه زمان t = رشته در امتداد محور Ox قرار داشته باشد، u به معنای انحراف رشته از موقعیت تعادل است، یعنی موقعیت نقطه رشته با آبسیسا x در یک لحظه دلخواه از زمان t با مقدار تابع u(x,t) مطابقت دارد. برای هر مقدار ثابت t، نمودار تابع u(x,t) شکل رشته ارتعاشی را در زمان t نشان می دهد (شکل 32). در مقدار ثابت x تابع u(x,t) قانون حرکت یک نقطه با آبسیسا x را در امتداد یک خط مستقیم موازی با محور Ou می دهد، مشتق u t سرعت این حرکت است و مشتق دوم. شتاب 2 u t 2 است. برنج. 32. نیروهای اعمال شده به بخش بینهایت کوچک از یک رشته بیایید معادله ای ایجاد کنیم که تابع u(x, t) باید آن را برآورده کند. برای انجام این کار، چند فرض ساده تر را مطرح خواهیم کرد. ما رشته را کاملاً انعطاف پذیر در نظر خواهیم گرفت - 58

59 koy، یعنی فرض می کنیم که رشته در برابر خم شدن مقاومت نمی کند. این بدان معنی است که تنش های ایجاد شده در رشته همیشه به صورت مماس بر مشخصات آنی آن هدایت می شود. ریسمان الاستیک و تابع قانون هوک فرض می شود. این بدان معنی است که تغییر در بزرگی نیروی کشش متناسب با تغییر طول رشته است. اجازه دهید فرض کنیم که رشته همگن است. این بدان معنی است که چگالی خطی ρ آن ثابت است. ما از نیروهای خارجی غافل هستیم. این بدان معنی است که ما ارتعاشات رایگان را در نظر می گیریم. ما فقط ارتعاشات کوچک ریسمان را مطالعه خواهیم کرد. اگر زاویه بین محور آبسیسا و مماس به رشته را در نقطه ای با آبسیسا x در زمان t با ϕ (x, t) نشان دهیم، آنگاه شرط نوسانات کوچک این است که مقدار ϕ 2 (x, t) باشد. می توان در مقایسه با ϕ (x، t)، یعنی ϕ 2 نادیده گرفت. از آنجایی که زاویه ϕ کوچک است، پس cosϕ 1، ϕ sin ϕ tan ϕ u بنابراین، مقدار (u x x,) 2 نیز می تواند نادیده گرفته شود. بلافاصله نتیجه می شود که در طول فرآیند ارتعاش می توانیم از تغییر طول هر بخش از رشته چشم پوشی کنیم. در واقع، طول یک تکه ریسمان M 1 M 2 که در فاصله محور آبسیسا قرار گرفته است، که در آن x 2 = x 1 + x، برابر است با l = x 2 x () 2 u dx x. x اجازه دهید نشان دهیم که تحت فرضیات ما، مقدار نیروی کشش T در طول کل رشته ثابت خواهد بود. برای انجام این کار، اجازه دهید هر بخش از رشته M 1 M 2 (شکل 32) را در زمان t بگیریم و عمل بخش های دور ریخته شده را جایگزین کنیم - 59

60 توسط نیروهای کششی T 1 و T 2. از آنجایی که طبق شرایط، تمام نقاط ریسمان به موازات محور Ou حرکت می کنند و هیچ نیروی خارجی وجود ندارد، مجموع برجستگی های نیروهای کششی روی محور Ox باید برابر با صفر باشد: T 1 cosφ (x 1, t) + T 2 cosφ (x 2, t) =. از این رو، به دلیل کوچک بودن زاویه های ϕ 1 = ϕ(x 1, t) و ϕ 2 = ϕ (x 2, t)، نتیجه می گیریم که T 1 = T 2. اجازه دهید مقدار کل T 1 = را نشان دهیم. T 2 توسط T. اکنون مجموع پیش‌بینی‌های F u نیروهای مشابه روی محور Ou را محاسبه می‌کنیم: F u = T sin φ(x 2, t) T sin φ(x 1, t). (2) از آنجایی که برای زوایای کوچک sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t) و tan ϕ(x, t) u(x, t)/x، پس معادله (2) را می توان به صورت F u بازنویسی کرد. T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2 (x 1, t) x . از آنجایی که نقطه x 1 خودسرانه انتخاب می شود، پس F u T 2 u x2(x, t) x. پس از اینکه تمام نیروهای وارد بر مقطع M 1 M 2 یافت شد، قانون دوم نیوتن را برای آن اعمال می کنیم که بر اساس آن حاصل ضرب جرم و شتاب برابر با مجموع همه نیروهای فعال است. جرم یک تکه رشته M 1 M 2 برابر m = ρ l ρ x است و شتاب آن برابر با 2 u(x, t) است. معادله t 2 نیوتن به این شکل است: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2 (x, t) x، که α 2 = T ρ یک عدد مثبت ثابت است. 6

61 با کاهش x، 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2 (x, t) بدست می آوریم. (21) در نتیجه، ما یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت به دست آوردیم. به آن معادله ارتعاش رشته یا معادله موج یک بعدی می گویند. معادله (21) اساساً فرمول بندی مجدد قانون نیوتن است و حرکت ریسمان را توصیف می کند. اما در فرمول بندی فیزیکی مسئله الزاماتی وجود داشت که انتهای رشته ثابت باشد و موقعیت رشته در یک مقطع زمانی مشخص باشد. این شرایط را به صورت معادلات به صورت زیر می نویسیم: الف) فرض می کنیم که انتهای رشته در نقاط x = و x = l ثابت است، یعنی فرض می کنیم که برای همه t روابط u(,t) =, u (l, t) = ; (22) ب) فرض می کنیم که در زمان t = موقعیت رشته با نمودار تابع f(x) منطبق است، یعنی فرض می کنیم که برای همه x [, l] برابری u(x,) = f(x); (23) ج) فرض می کنیم که در لحظه t = به نقطه رشته با ابسیسا x سرعت g(x) داده می شود، یعنی فرض می کنیم که u (x,) = g(x). (24) t روابط (22) را شرایط مرزی و روابط (23) و (24) را شرایط اولیه می نامند. مدل ریاضی عرضهای کوچک آزاد ۶۱

62 نوسان ریسمان این است که حل معادله (21) با شرایط مرزی (22) و شرایط اولیه (23) و (24) حل معادله نوسانات ریسمان عرضی کوچک آزاد به روش فوریه حل معادله (21) در منطقه x l،< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. با جایگزینی (25) به (21)، به دست می آوریم: X T = α 2 X T، (26) یا T (t) α2 T(t) = X (x) X(x). (27) می گویند جدایی از متغیرها رخ داده است. از آنجایی که x و t به یکدیگر وابسته نیستند، سمت چپ در (27) به x و سمت راست به t وابسته نیست و مقدار کل این روابط 62 است.

63 باید یک ثابت باشد که آن را با λ نشان می دهیم: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. از اینجا دو معادله دیفرانسیل معمولی بدست می آوریم: X (x) λx(x) =، (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) در این حالت، شرایط مرزی (22) به شکل X()T(t) = و X(l)T(t) = خواهد بود. از آنجایی که آنها باید برای همه t، t > و سپس X() = X(l) = ارضا شوند. (3) اجازه دهید راه حل هایی برای معادله (28) پیدا کنیم که شرایط مرزی (3) را برآورده کند. بیایید سه مورد را در نظر بگیریم. مورد 1: λ >. اجازه دهید λ = β 2 را نشان دهیم. معادله (28) به شکل X (x) β 2 X(x) = است. معادله مشخصه آن k 2 β 2 = دارای ریشه k = ± β است. بنابراین، جواب کلی معادله (28) X(x) = C e βx + De βx است. باید ثابت های C و D را طوری انتخاب کنیم که شرایط مرزی (3) برآورده شود، یعنی X() = C + D =، X(l) = C e βl + De βl =. از آنجایی که β، این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد C = D =. بنابراین، X(x) و 63

64 u (x, t). بنابراین، در مورد 1 ما یک راه حل بی اهمیت به دست آورده ایم، که ما آن را بیشتر بررسی نمی کنیم. مورد 2: λ =. سپس معادله (28) شکل X (x) = را به خود می گیرد و حل آن به وضوح با فرمول X(x) = C x+d به دست می آید. با جایگزینی این محلول در شرایط مرزی (3)، X() = D = و X(l) = Cl = به دست می آوریم که به معنای C = D = است. بنابراین، X(x) و u(x، t)، و ما دوباره یک راه حل بی اهمیت داریم. مورد 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 در ادامه به n مقدار مثبت n = 1، 2،... خواهیم داد، زیرا برای n منفی راه حل هایی از همان نوع بدست می آوریم (nπ) مقادیر λ n = مقادیر ویژه نامیده می شوند و توابع X n (x) = C n sin πnx توسط توابع ویژه معادله دیفرانسیل (28) با شرایط مرزی (3). حال بیایید معادله (29) را حل کنیم. برای آن، معادله مشخصه به شکل k 2 α 2 λ = است. (32) l 2 از آنجایی که در بالا متوجه شدیم که راه حل های غیر بدیهی X(x) معادله (28) فقط برای λ منفی برابر با λ = n2 π 2 وجود دارند، پس دقیقاً چنین λ است که بیشتر بررسی خواهیم کرد. ریشه های معادله (32) k = ± iα λ است و راه حل های معادله (29) به شکل زیر است: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt، (33) l l که در آن A n و B n ثابت دلخواه هستند. با جایگزینی فرمول های (31) و (33) به (25)، راه حل های جزئی معادله (21) را می یابیم که شرایط مرزی (22) را برآورده می کند: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n گناه πnx. l l l با درج فاکتور C n در داخل پرانتز و معرفی نمادهای C n A n = b n و B n C n = a n، u n (X, T) را به شکل (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n می نویسیم. sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 ارتعاشات ریسمان مربوط به محلول های u n (x,t) را ارتعاشات طبیعی ریسمان می گویند. از آنجایی که رابطه (21) و شرایط مرزی (22) خطی و همگن هستند، ترکیب خطی راه حل های (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l یک راه حل خواهد بود. مطابق با معادله (21)، شرایط مرزی (22) با انتخاب خاصی از ضرایب a n و b n، که همگرایی یکنواخت سری را تضمین می کند. حالا بیایید ضرایب a n و b n حل (35) را انتخاب کنیم تا نه تنها شرایط مرزی، بلکه شرایط اولیه (23) و (24) را نیز برآورده کند، که در آن f(x)، g(x) توابع داده شده هستند. (و f() = f (l) = g() = g(l) =). فرض می کنیم که توابع f(x) و g(x) شرایط بسط را در یک سری فوریه برآورده می کنند. با جایگزینی مقدار t = به (35)، u(x,) = a n sin πnx l = f(x) بدست می آوریم. با تمایز سری (35) نسبت به t و جایگزینی t =، u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x) بدست می آوریم و این بسط توابع f(x) و g(x) است. به سری فوریه بنابراین، a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx، b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 با جایگزینی عبارات ضرایب a n و b n در سری (35)، جوابی برای معادله (21) بدست می آوریم که شرایط مرزی (22) و شرایط اولیه (23) و (24) را برآورده می کند. بنابراین، ما مشکل ارتعاشات عرضی کوچک آزاد یک رشته را حل کردیم. اجازه دهید معنای فیزیکی توابع ویژه u n (x, t) مسئله نوسانات آزاد یک رشته را که با فرمول (34) تعریف شده است، دریابیم. اجازه دهید آن را به شکلی بازنویسی کنیم که u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n، (t + δ n) sin πnx، (37) l πnα δ n = arctan b n . l a n از فرمول (37) مشخص است که تمام نقاط ریسمان نوسانات هارمونیک با فرکانس یکسان ω n = πnα و فاز πnα δ n انجام می دهند. دامنه ارتعاش به l l abscissa x نقطه ریسمان بستگی دارد و برابر α n sin πnx است. با چنین نوسانی، تمام نقاط ریسمان به طور همزمان به حداکثر انحراف خود در یک جهت یا جهت دیگر می رسند و همزمان از موقعیت تعادل عبور می کنند. به این گونه نوسانات امواج ایستاده می گویند. یک موج ایستاده n + 1 نقطه ثابت خواهد داشت که توسط ریشه های معادله sin πnx = در بازه [، l] داده می شود. نقاط ثابت را گره های موج ایستاده می نامند. در وسط بین گره ها نقاطی وجود دارد که انحرافات به حداکثر می رسد. به چنین نقاطی آنتی گره می گویند. هر رشته می تواند ارتعاشات خود را از فرکانس های کاملاً تعریف شده داشته باشد ω n = πnα، n = 1، 2، .... به این فرکانس ها فرکانس های طبیعی رشته می گویند. کمترین صدای l که یک سیم می تواند تولید کند توسط 67 تعیین می شود

68 فرکانس طبیعی کم ω 1 = π T و تون اساسی سیم نامیده می شود. تون های باقیمانده مربوط به l ρ فرکانس های ω n، n = 2، 3،...، اورتون یا هارمونیک نامیده می شوند. برای وضوح، اجازه دهید نیمرخ‌های معمولی یک رشته را به تصویر بکشیم که تون اصلی (شکل 33)، نوای اول (شکل 34) و نوای دوم (شکل 35) را تولید می‌کند. برنج. 33. مشخصات رشته تولید کننده صدای اصلی شکل. 34. نمایه رشته ای که اولین تون را ایجاد می کند شکل. 35. نمایه سیمی که نوای دوم را ساطع می کند اگر سیم ارتعاشات آزاد تعیین شده توسط شرایط اولیه را انجام دهد، تابع u(x,t) همانطور که از فرمول (35) می توان دید، به عنوان مجموع هارمونیک های مجزا نشان داده می شود. . بنابراین نوسان دلخواه 68

69 رشته برهم نهفته از امواج ایستاده است. در این مورد، ماهیت صدای سیم (تن، شدت صدا، تایم) به رابطه بین دامنه هارمونیک های فردی بستگی دارد. قدرت، زیر و بم و تن صدا. یک سیم ارتعاشی ارتعاشات هوا را تحریک می کند، که درک می شود. توسط گوش انسان به عنوان صدایی که از سیم ساطع می شود. قدرت صدا با انرژی یا دامنه ارتعاش مشخص می شود: هر چه انرژی بیشتر باشد، قدرت صدا بیشتر می شود. زیر و بمی صدا بر اساس فرکانس یا دوره ارتعاش آن تعیین می شود: هر چه فرکانس بیشتر باشد، صدا بالاتر است. تن صدا با وجود تون ها، توزیع انرژی بین هارمونیک ها، یعنی روش برانگیختن ارتعاشات تعیین می شود. به طور کلی، دامنه ی تون ها کمتر از دامنه لحن بنیادی است و مراحل تون ها می توانند دلخواه باشند. گوش ما به فاز ارتعاشات حساس نیست. برای مثال، دو منحنی در شکل 1 را مقایسه کنید. 36، وام گرفته شده از . این ضبط صدایی با همان لحن اساسی است که از کلارینت (الف) و پیانو (ب) استخراج شده است. هیچ کدام از این دو صدا یک موج سینوسی ساده نیستند. فرکانس اساسی صدا در هر دو حالت یکسان است که لحن یکسانی ایجاد می کند. اما الگوهای منحنی ها متفاوت است، زیرا رنگ های مختلف بر روی تن اصلی قرار می گیرند. به تعبیری، این نقاشی‌ها نشان می‌دهند که تامبر چیست. 69

معادلات از نوع هذلولی. ارتعاشات یک رشته بی نهایت و نیمه نامتناهی. روش فوریه روش فوریه امواج ایستاده 4 سخنرانی 4.1 معادلات از نوع هذلولی. نوسانات بینهایت و نیمه نامتناهی

دانشگاه فنی هواپیمایی کشوری مسکو V.M. لیوبیموف، E.A. ژوکوا، V.A. اوخوا، یو.آ. کتابچه راهنمای ریاضیات شورینوف برای مطالعه رشته و تکالیف آزمون

وزارت آموزش و پرورش و علوم موسسه آموزشی بودجه دولتی فدرال روسیه آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فنی دولتی روسیه MATI به نام K. E. Tsiolkovsky

موضوع دانشگاه فنی دولتی ویتبسک وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس. گروه ریاضیات نظری و کاربردی "ردیف". توسعه یافته توسط Assoc. E.B. دونینا. پایه ای

آژانس فدرال آموزش موسسه آموزشی دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای دانشگاه فدرال جنوب R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya روش شناسی

موضوع سری فوریه درس عملی سری فوریه برای سیستم های متعامد توابع فضای توابع پیوسته تکه ای سری فوریه تعمیم یافته 3 نابرابری بسل و همگرایی فضای سری فوریه

تئوری سری ها نظریه سری ها مهمترین جزء تحلیل ریاضی است و کاربردهای نظری و عملی متعددی دارد. سری های عددی و عملکردی وجود دارد.

محتویات سری فوریه 4 مفهوم تابع تناوبی 4 چند جمله ای مثلثاتی 6 3 سیستم های متعامد توابع 4 سری فوریه مثلثاتی 3 5 سری فوریه برای توابع زوج و فرد 6 6 بسط

آژانس فدرال آموزش دانشگاه دولتی ژئودزی و کارتوگرافی مسکو (MIIGAiK) دستورالعمل های روشی و وظایف برای کار مستقل در دوره ریاضیات عالی عددی

سخنرانی 4. تجزیه و تحلیل هارمونیک. توابع دوره ای سری فوریه تجزیه و تحلیل هارمونیک در علم و فناوری، ما اغلب باید با پدیده های دوره ای سروکار داشته باشیم، یعنی پدیده هایی که از طریق تکرار تکرار می شوند.

موضوع پنجم سخنرانی فوریه سری 6 گسترش یک تابع تناوبی به یک سری فوریه بسیاری از فرآیندهایی که در طبیعت و فناوری رخ می دهند این ویژگی را دارند که در فواصل زمانی معینی تکرار شوند.

دستورالعمل‌های روش‌شناسی برای وظایف محاسباتی در درس ریاضیات عالی “معادلات دیفرانسیل معمولی سری انتگرال‌های دوگانه” قسمت موضوع سری مطالب مطالب سری تعداد سری همگرایی و واگرایی

6 سری فوریه 6 سیستم توابع متعامد سری فوریه در یک سیستم متعامد توابع توابع ϕ () و ψ () که در بازه [, ] تعریف شده و قابل ادغام هستند، در این بازه متعامد نامیده می شوند.

انتگرال معین. مجموع انتگرال و انتگرال معین اجازه دهید یک تابع y = f () داده شود، در بازه [، b] تعریف شود، جایی که< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 سری توان 5 سری توان: تعریف، منطقه همگرایی سری تابعی به شکل (a + a) + a () + K + a () + K a) (، (5) که در آن، a، a، K، a ,k به برخی از اعداد سری توانی اعداد می گویند

دانشکده ریاضیات کاربردی و علوم اطلاعات دانشگاه دولتی بلاروس دفترچه راهنمای آموزشی و روش شناختی برای دانشجویان دانشکده ریاضیات کاربردی و انفورماتیک گروه ریاضیات عالی

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مثال. بیایید مجموع یک تصاعد هندسی نامحدود را پیدا کنیم فرمول عبارت کلی این سری a+aq+...+aq n +... (a) است. a n = ق n. بیایید مجموع جزئی آن را محاسبه کنیم. اگر q = پس

وظیفه 1.1. در ناحیه نشان داده شده، راه حل های غیر یکسان y = y(x) معادله دیفرانسیل را بیابید که شرایط مرزی داده شده را برآورده می کند (مسئله استورم-لیویل) راه حل: در نظر بگیرید

تجزیه و تحلیل ریاضی موضوع: انتگرال معین انتگرال های نادرست مدرس E.G. Pakhomova 2017 فصل دوم. انتگرال معین و کاربردهای آن 1. انتگرال معین و خواص آن 1. مسائل،

سخنرانی 8 4 مسئله Sturm-Liouville مسئله مقدار مرز اولیه را برای یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم در نظر بگیرید که ارتعاشات عرضی کوچک یک رشته را توصیف می کند.

توضیح متن: علامت "معادل" خوانده می شود و به این معنی است که معادلات سمت راست علامت و سمت چپ علامت مجموعه ای از راه حل های یکسان دارند، علامت IR مجموعه اعداد واقعی را نشان می دهد، علامت IN

82 4. بخش 4. سری عملکردی و توانی 4.2. درس 3 4.2. درس 3 4.2.. بسط یک تابع به یک سری تیلور تعریف 4.2. اجازه دهید تابع y = f(x) در برخی از همسایگی ها بی نهایت متمایز باشد.

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه موسسه آموزشی بودجه دولتی فدرال آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه فنی دولتی سامارا" گروه ریاضیات کاربردی

آژانس فدرال حمل و نقل ریلی دانشگاه حمل و نقل ایالتی اورال گروه ریاضیات عالی و کاربردی N. P. Chuev عناصر تجزیه و تحلیل هارمونیک روش شناختی

سخنرانی 3 سری تیلور و مکلارین کاربرد سری توانی بسط توابع به سری های توانی تیلور و مکلارین برای کاربردها، مهم است که بتوان یک تابع معین را به یک سری توانی، آن توابع، گسترش داد.

S A Lavrenchenko wwwwrckoru سخنرانی تبدیل فوریه مفهوم تبدیل انتگرال روش تبدیل های انتگرالی یکی از روش های قدرتمند فیزیک ریاضی و یک راه حل قدرتمند است.

انتگرال پذیری یک تابع (طبق نظر ریمان) و یک انتگرال معین مثال هایی از حل مسائل 1. تابع ثابت f(x) = C در انتگرال پذیر است، زیرا برای هر پارتیشن و هر انتخاب نقطه ξ i انتگرال

من سال، وظیفه. ثابت کنید که تابع ریمان، اگر 0، m m R()، اگر، m، m 0، و کسر تقلیل ناپذیر است، 0، اگر غیرمنطقی است، در هر نقطه گویا ناپیوسته و در هر نقطه غیر منطقی پیوسته است. راه حل.

1 2 مطالب 1 سری فوریه 5 1.1 سری فوریه مثلثاتی.............. 5 1.2 فقط Sin & cos................... .. 7 1.3 سری فوریه به صورت مختلط........... 11 1.4 f(x) = c k؟..................... .

معادلات فیزیک ریاضی 1. معادلات دیفرانسیل جزئی معادله ای مربوط به تابع مجهول u (x 1، x 2،...، x n)، متغیرهای مستقل x 1، x 2،...، x n و جزئی

سخنرانی 4. معادلات موج 1. استخراج معادله ارتعاشات ریسمان 2. معادله ارتعاشات طولی میله 3. شرایط اولیه، شرایط مرزی 4. بیان مسائل 1. استخراج معادله ارتعاشات رشته

1. الکترواستاتیک 1 1. الکترواستاتیک درس 6 جداسازی متغیرها در مختصات دکارتی 1.1. (مسئله 1.49) صفحه z = با چگالی σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) بار می شود، که σ، α، β ثابت هستند.

موضوع ماژول دنباله ها و سری های تابعی ویژگی های همگرایی یکنواخت دنباله ها و سری ها سری قدرت سخنرانی تعاریف دنباله ها و سری های تابعی به صورت یکنواخت

معادلات سهموی روش جداسازی متغیرها مسئله مقدار مرزی همگن تابع منبع معادله حرارت ناهمگن 7 سخنرانی 7.1 معادلات نوع سهموی. روش جداسازی

سری اعداد سخنرانی نشانه های همگرایی سری اعداد نشانه های همگرایی یک عبارت نامتناهی از یک دنباله اعداد + + + + که از جمله های یک نامتناهی تشکیل شده است، یک سری اعداد اعداد نامیده می شود.

35 7 سری فوریه مثلثاتی سری فوریه برای توابع تناوبی با دوره T. فرض کنید f(x) یک تابع تناوبی پیوسته تکه ای با دوره T باشد. سیستم مثلثاتی پایه را در نظر بگیرید.

دانشکده متالورژی گروه ریاضیات عالی رتبه دستورالعمل های روش شناختی نووکوزنتسک 5 آژانس فدرال آموزش و پرورش موسسه آموزشی دولتی آموزش عالی حرفه ای

گروه ریاضی و علوم کامپیوتر عناصر ریاضی عالی مجتمع آموزشی و روش شناختی برای دانش آموزان آموزش متوسطه حرفه ای که با استفاده از فناوری های راه دور تحصیل می کنند ماژول حساب دیفرانسیل گردآوری شده توسط:

9. ضد مشتق و انتگرال نامعین 9.. اجازه دهید تابع f() در بازه I R داده شود. تابع F () پاد مشتق تابع f () در بازه I نامیده می شود اگر F () = f () برای هر I و ضد مشتق

تمایز توابع یک متغیر مفهوم مشتق، معنای هندسی و فیزیکی آن مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود تعیین مماس S به خط y f (x) در نقطه A x. f (

معادلات از نوع هذلولی. ارتعاشات یک رشته بی نهایت و نیمه نامتناهی. روش دالامبر رشته بی نهایت. فرمول دالامبر رشته نیمه نامتناهی 3 سخنرانی 3.1 معادلات از نوع هذلولی.

مقدمه مطالب. مفاهیم پایه .... 4 1. معادلات انتگرال ولترا ... 5 گزینه تکلیف .... 8 2. حل کننده معادله انتگرال ولترا. 10 گزینه تکلیف .... 11

رتبه ها سری شماره. تعاریف پایه اجازه دهید یک دنباله نامتناهی از اعداد داده شود عبارت (مجموع نامتناهی) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= نامیده می شود. یک سری اعداد شماره

8. سری توانی 8.. یک سری تابعی به شکل c n (z) n، (8.) n= که در آن c n یک دنباله عددی است، R یک عدد ثابت است، و z R یک سری توان با ضرایب c n نامیده می شود. . با انجام تغییر متغیرها

~ ~ انتگرال نامعین و معین مفهوم انتگرال ضد مشتق و نامعین. تعریف: تابع F را پاد مشتق تابع f می نامند اگر این توابع به صورت زیر مرتبط باشند

3724 سری های چندگانه و انتگرال های منحنی 1 برنامه کاری بخش ها "مجموعه های چندگانه و انتگرال های منحنی" 11 سری اعداد مفهوم سری اعداد ویژگی های سری اعداد علامت ضروری همگرایی

بخور آنالیز ریاضی سنگ معدن. سری عددی و عملکردی NOVOSIBIRSK 200 2 وزارت آموزش و پرورش و علوم روسیه GOU VPO "دانشگاه آموزشی دولتی نووسیبیرسک" E.M. تحلیل ریاضی رودوی.

LECTURE N 7. سری Power و سری Taylor.. Power Series..... سری Taylor.... 4. گسترش برخی از توابع ابتدایی به سری Taylor و Maclaurin .... 5 4. کاربرد سری Power .... 7 .قدرت

معادلات مربع محتویات معادلات مربع ... 4. و مطالعه معادلات درجه دوم ... 4.. معادله درجه دوم با ضرایب عددی ... 4.. حل و مطالعه معادلات درجه دوم برای

مشکلات بخش با پارامترها نظر مشکلات مربوط به پارامترها به طور سنتی وظایف پیچیده ای در ساختار آزمون یکپارچه ایالتی است که متقاضی را نه تنها به تسلط بر همه روش ها و تکنیک های حل مختلف نیاز دارد.

حساب دیفرانسیل مقدمه ای بر تحلیل ریاضی حد توالی و تابع. کشف عدم قطعیت ها در محدوده. مشتق یک تابع قوانین تمایز. کاربرد مشتق

سیستم های متعامد توابع سری فوریه از دیدگاه جبر، برابری که در آن - توابع یک کلاس معین و - ضرایب از R یا C به سادگی به این معنی است که بردار ترکیبی خطی از بردارهای B است.

1. انتگرال معین 1.1. فرض کنید f یک تابع محدود تعریف شده در قطعه [, b] R باشد. یک پارتیشن از پاره [, b] مجموعه ای از نقاط τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b است. ] طوری که = x< x 1 < < x n 1

فصل توان سری a a a سری توانی از شکل a a a a () را یک سری توان می نامند، که در آن، a، ثابت هایی هستند که ضرایب سری نامیده می شوند. گاهی اوقات یک سری توانی با فرم کلی تر در نظر گرفته می شود: a (a) a(a) a (a) ()، که در آن

سری فوریه- راهی برای نمایش یک تابع پیچیده به عنوان مجموع تابع های ساده تر و شناخته شده.
سینوس و کسینوس توابع تناوبی هستند. آنها همچنین یک پایه متعامد را تشکیل می دهند. این ویژگی را می توان با قیاس با محورها توضیح داد X X ایکسو Y Y Yدر هواپیما مختصات همانطور که می توانیم مختصات یک نقطه را با توجه به محورها توصیف کنیم، می توانیم هر تابعی را با توجه به سینوس ها و کسینوس ها توصیف کنیم. توابع مثلثاتی به خوبی درک شده و به راحتی در ریاضیات قابل استفاده هستند.

سینوس ها و کسینوس ها را می توان به شکل امواج زیر نشان داد:

آبی ها کسینوس هستند، قرمزها سینوس هستند. به چنین امواجی هارمونیک نیز می گویند. کسینوس زوج هستند، سینوس ها فرد هستند. اصطلاح هارمونیک از دوران باستان می آید و با مشاهداتی در مورد رابطه زیر و بم در موسیقی همراه است.

سری فوریه چیست؟

چنین سری که در آن از ساده ترین توابع سینوس و کسینوس استفاده می شود، مثلثاتی نامیده می شود. این نام به افتخار مخترع آن، ژان باپتیست ژوزف فوریه، در پایان قرن 18 و آغاز قرن 19 نامگذاری شد. او ثابت کرد که هر تابعی را می توان به عنوان ترکیبی از این هارمونیک ها نشان داد. و هر چه تعداد آنها بیشتر باشد، این نمایش دقیق تر خواهد بود. به عنوان مثال، تصویر زیر: می توانید متوجه شوید که با تعداد زیادی هارمونیک، یعنی اعضای سری فوریه، نمودار قرمز به رنگ آبی نزدیکتر می شود - تابع اصلی.

کاربرد عملی در دنیای مدرن

آیا در حال حاضر به این ردیف ها نیاز است؟ کجا می توان از آنها به صورت عملی استفاده کرد و آیا غیر از ریاضیدانان نظری کسی از آنها استفاده می کند؟ معلوم می شود که فوریه در سراسر جهان مشهور است زیرا مزایای عملی سریال او به معنای واقعی کلمه غیرقابل محاسبه است. استفاده از آنها در جاهایی که هر گونه ارتعاش یا امواج وجود دارد راحت است: آکوستیک، نجوم، مهندسی رادیو و غیره. ساده ترین مثال استفاده از آن: مکانیسم عملکرد دوربین یا دوربین فیلمبرداری. برای توضیح مختصر، این دستگاه ها نه تنها تصاویر، بلکه ضرایب سری فوریه را ثبت می کنند. و در همه جا کار می کند - هنگام مشاهده تصاویر در اینترنت، یک فیلم یا گوش دادن به موسیقی. به لطف سری فوریه است که اکنون می توانید این مقاله را از تلفن همراه خود بخوانید. بدون تبدیل فوریه، ما پهنای باند اتصال اینترنت کافی برای تماشای یک ویدیوی YouTube را حتی با کیفیت استاندارد نداریم.

این نمودار یک تبدیل فوریه دو بعدی را نشان می دهد که برای تجزیه تصویر به هارمونیک ها، یعنی اجزای اصلی استفاده می شود. در این نمودار مقدار -1 با رنگ سیاه و 1 با رنگ سفید کدگذاری شده است.در سمت راست و پایین نمودار فرکانس افزایش می یابد.

بسط سری فوریه

احتمالاً از خواندن خسته شده اید، پس بیایید به فرمول ها برویم.
برای چنین تکنیک ریاضی مانند گسترش توابع به یک سری فوریه، شما باید انتگرال بگیرید. انتگرال های زیادی به طور کلی سری فوریه به صورت مجموع نامتناهی نوشته می شود:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n گناه ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (آ n​ cos (n x ) +ب n​ گناه (n x))
جایی که
A = 1 2 π ∫ - π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxآ n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxب n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) گناه (n x) d x

اگر به نحوی بتوانیم یک عدد بی نهایت بشماریم a n a_n آ n​ و b n b_n ب n​ (به آنها ضرایب بسط فوریه می گویند، A A آ- این به سادگی ثابت این بسط است)، سپس سری حاصل 100٪ با تابع اصلی منطبق خواهد شد. f(x) f(x) f(x)در بخش از − π -\pi − π قبل از π\pi π . این بخش به دلیل ویژگی های یکپارچه سازی سینوس و کسینوس است. بیشتر n n n، که برای آن ضرایب بسط سری تابع را محاسبه می کنیم، این بسط دقیق تر خواهد بود.

مثال

بیایید یک تابع ساده را در نظر بگیریم y = 5 x y = 5x y =5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0آ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10ب 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) گناه (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x گناه (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0آ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin⁡ (2 x) d x = - 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5ب 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(ایکس) گناه(2 ایکس) دایکس= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 ایکسگناه(2 ایکس) دایکس= − 5

و غیره. در مورد چنین عملکردی، بلافاصله می توان گفت که همه چیز a n = 0 a_n=0آn​ = 0 ، ضرایب b n b_nبn​ باید محاسبه کند. اگر چهار عبارت اول بسط سری فوریه را برای تابع در نظر بگیریم y = 5 x y = 5xy= 5 ایکس، ما گرفتیم:

$5ایکس\approx 10\cdot \mathrm{گناه}(ایکس)-5\cdot \mathrm{گناه}(2\cdot ایکس)+310\cdot \mathrm{گناه}(3\cdot ایکس)-25\cdot \mathrm{گناه}(4\cdot ایکس)$

نمودار تابع به دست آمده به صورت زیر خواهد بود:

بسط سری فوریه حاصل به عملکرد اصلی ما نزدیک می شود. اگر تعداد بیشتری از عبارت های سری را مثلاً 15 در نظر بگیریم، موارد زیر را مشاهده خواهیم کرد:

هر چه مدت بسط در یک سری بیشتر باشد، دقت بالاتری دارد.
اگر مقیاس نمودار را کمی تغییر دهیم، می توانیم به ویژگی دیگری از تبدیل توجه کنیم: سری فوریه یک تابع تناوبی با نقطه است. 2 π 2\pi2 π .

بنابراین، ما می توانیم هر تابعی را که در بازه پیوسته است، نشان دهیم [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . همه اینها برای تسهیل تجزیه و تحلیل برخی از پدیده هایی که توسط توابع پیچیده توصیف می شوند مورد نیاز است. همیشه نمی توان مشتق را به صورت تحلیلی محاسبه کرد (یعنی با استفاده از یک فرمول)، اما در مورد مجموعه ای از سینوس ها و کسینوس ها، چنین مشکلی ایجاد نمی شود. بسط سری فوریه خود نشان می دهد که اغلب می توان مسائل را به صورت تحلیلی با استفاده از مدل های ساده شده حل کرد که یکی از نمونه های آن سری فوریه است.

به شرح زیر است:

1) نمودار بکشید f(x)در یک بازه حداقل دو دوره طولانی برای نشان دادن دوره ای بودن این تابع.

2) یک نمودار رسم کنید S(x)به طور مشابه، به طوری که شما می توانید ببینید در چه نقاطی f(x)¹S(x);

3) ضرایب فوریه را محاسبه کرده و سری فوریه را یادداشت کنید.

وظایف

№1. گسترش در سری فوریه

راه حل.توجه کنید که f(x)در بازه ای از طول داده می شود T=4. زیرا f(x)دوره ای در نظر گرفته می شود، پس همین عدد دوره آن است، سپس - l = 2.

1) برنامه ریزی کنید f(x):

2) برنامه ریزی کنید S(x):

فلش های انتهای خطوط نشان می دهد که تابع در انتهای بازه مقدار تعیین شده از عبارت مشخص شده در بازه را نمی گیرد. هنگام مقایسه نمودارها f(x)و S(x)به وضوح قابل مشاهده است که در نقاط شکست f(x)¹S(x).

3) ضرایب فوریه را محاسبه می کنیم. این را می توان با استفاده از فرمول (3*): ; ; . دقیقا: ؛ بنابراین،

تجزیه f(x)در سری فوریه به شکل زیر است:

یادداشت. 1) هنگامی که در یکپارچه شده است [-1;3] این بخش به و ، زیرا در این بخش ها f(x)مقادیر مختلف داده شده است.

2) هنگام محاسبه ضرایب، از انتگرال استفاده شد: و، کجا a = ثابت.

№2 . گسترش در سری فوریه

راه حل.اینجا T=2, l = 1.

سری فوریه به شکل زیر است: ; ، زیرا l = 1.

1) برنامه ریزی کنید f(x):

2) برنامه ریزی کنید S(x):

№3. در سری فوریه از نظر سینوس بسط دهید

راه حل.توجه داشته باشید که فقط توابع فرد از نظر سینوس در سری فوریه بسط می‌یابند. زیرا f(x)فقط برای x > 0، xО(0;2)П(2;3)، پس این بدان معنی است که در یک بازه متقارن (-3;-2)È(-2;0) f(x)ما باید ادامه دهیم تا برابری برقرار شود f(-x) = -f(x). بنابراین، طول فاصله ای که در آن f(x)به عنوان یک تابع فرد، برابر با 6 داده می شود T = 6، l = 3.سری فوریه برای f(x)دارای شکل: ، که در آن، n = 1، 2، 3، (طبق فرمول (5")).

1) برنامه ریزی کنید f(x).

برای رسم نمودار f(x)به عنوان یک تابع فرد، ابتدا یک نمودار بر روی آن رسم می کنیم (0;2)È(2;3)و سپس از این واقعیت استفاده کنید که نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است. از این ملاحظات نمودار را بدست می آوریم f(x)بر (-3;-2)È(-2;0). سپس ادامه می دهیم f(x) T=6.

2) برنامه ریزی کنید S(x).

برنامه S(x)متفاوت از برنامه f(x)در نقاط شکست تابع f(x). به عنوان مثال، در t. x = 2 f (x)تعریف نشده است، اما S(x)دارد در x = 2مقداری برابر با نصف مجموع حدود یک طرفه تابع f(x)، دقیقا: ، جایی که ، .

بنابراین، سپس تجزیه f(x)در سری فوریه به شکل: .

№4 . در یک سری کسینوس فوریه بسط دهید.

راه حل. توجه داشته باشید که فقط توابع زوج در سری فوریه از نظر کسینوس بسط می‌یابند. زیرا f(x)تنظیم فقط برای x>0، xО(0;2)Р(2;3]،پس این بدان معنی است که برای یک بازه متقارن [-3;-2)È(-2;0) f(x)باید ادامه دهید تا برابری برقرار شود: f(-x) = f(x).بنابراین، طول فاصله ای که در آن f(x)به عنوان یک تابع زوج، برابر با 6 است، پس T = 6، l = 3.سری فوریه در این مورد به شکل زیر است:

جایی که ؛ ; n = 1،2، ...(طبق فرمول (4")).

1) برنامه ریزی کنید f(x).

برای رسم نمودار f(x)به عنوان یک تابع زوج، ابتدا یک نمودار رسم می کنیم f(x)بر (0;2)È(2;3]، و سپس از این واقعیت استفاده کنید که نمودار یک تابع زوج متقارن با مجمل است. از این ملاحظات نمودار را بدست می آوریم f(x)بر [-3;-2)È(-2;0). سپس ادامه می دهیم f(x)در کل خط اعداد به عنوان یک تابع تناوبی با نقطه T=6.

این نمودار است f(x)در دو دوره کامل تابع ترسیم شده است.

2) برنامه ریزی کنید S(x).

برنامه S(x)متفاوت از برنامه f(x)در نقاط شکست تابع f(x). به عنوان مثال، در t. x = 0 f(x)تعریف نشده است، اما S(x)معنی دارد: ، بنابراین نمودار S(x)قطع نمی شود x = 0برخلاف نمودار f(x).

تجزیه f(x)در سری کسینوس فوریه به شکل: .

№5. گسترش در سری فوریه f(x) = |x|، xO(-2;2)..

راه حل.به شرط، f(x)یک تابع زوج روشن است (-2;2) ; آن ها سری فوریه آن فقط شامل کسینوس و T = 4، l = 2، ,

جایی که ؛ ; n = 1، 2،

1) برنامه ریزی کنید f(x):

2) برنامه ریزی کنید S(x):

3) زیرا |x| = xبرای x > 0.; .

سپس تجزیه f(x)در سری فوریه به شکل: . توجه داشته باشید که هنگام ادغام عبارات یا از فرمول ادغام با قطعات استفاده می شود: , Where u = x; dv = cos(ax)dxیا dv = sin(ax)dx.

№6. تابع را به یک سری فوریه بسط دهید: a) در بازه (-?, ?); ب) در بازه (0، 2؟)؛ ج) در بازه (0، ?) در یک سری سینوس.

راه حل.الف) نمودار یک تابع با 2؟ - با ادامه دوره ای شکل دارد

تابع شرایط قضیه دیریکله را برآورده می کند و بنابراین می تواند به یک سری فوریه بسط داده شود.

بیایید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم. از آنجایی که تابع زوج است، bn = 0 (n = 0، 1، 2،…) و (n = 0، 1، 2،…).

برای محاسبه این انتگرال، از فرمول انتگرال گیری توسط قطعات در یک انتگرال معین استفاده کنید. ما گرفتیم

سری فوریه این تابع به شکل . با توجه به معیار دیریکله، این سری تابع x2 را در بازه (-؟،؟) نشان می دهد.

ب) فاصله (0، 2؟) نسبت به مبدا متقارن نیست و طول آن 2 است. ل= 2؟ ضرایب فوریه را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

بنابراین، سری فوریه دارای فرم است. به موجب قضیه دیریکله، سری به تابع مولد در نقاط x?(0,2?) و در نقاط 0 و 2? به معنی. نمودار مجموع سری به نظر می رسد

ج) تابعی که در یک سری سینوس منبسط شده است باید فرد باشد. در نتیجه، تابع داده شده x2 را در (-π,π) به روشی عجیب بسط می دهیم، یعنی. تابع را در نظر بگیرید برای این تابع f(x) داریم аn = 0 (n = 0، 1، 2،…) و

بسط مورد نیاز دارای فرم است.

نمودار مجموع سری به نظر می رسد

توجه داشته باشید که در نقاط x = (-π,π) سری فوریه به صفر همگرا می شود.

№7 یک تابع ارائه شده به صورت گرافیکی را به یک سری فوریه بسط دهید:

راه حل . اجازه دهید یک عبارت صریح برای f(x) بدست آوریم. نمودار یک تابع یک خط مستقیم است، ما از معادله خط مستقیم به شکل استفاده می کنیم. همانطور که از نقاشی مشاهده می شود، i.e. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

این تابع شرایط معیار دیریکله را برآورده می کند، بنابراین به یک سری فوریه گسترش می یابد. اجازه دهید ضرایب فوریه را محاسبه کنیم ( ل = 1):

; (n = 1، 2،…)؛

سری فوریه برای تابع f(x) دارای شکل است

این تابع f(x) را در -1 نشان می دهد< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. تابع را به یک سری فوریه مثلثاتی در یک قطعه بسط دهید و تابعی را که سری حاصل به آن همگرا می شود نشان دهید.

راه حل.نموداری از تابع رسم کنید و آن را به صورت دوره ای با نقطه یا در امتداد کل محور ادامه دهید. تابع ادامه دارای یک دوره است.

شرایط را برای شرایط کافی برای همگرایی سری فوریه بررسی کنید (دینی-لیپسشیتز، جردن، دیریکله).

تابع به صورت تکه ای در بازه یکنواخت است: روی و روشن افزایش می یابد. در نقاط تابع دارای ناپیوستگی های نوع اول است.

زوج یا فرد بودن یک تابع را تعیین کنید: یک تابع نه زوج است و نه فرد.

الف) اگر تابع روی تنظیم شده باشد

ب) اگر تابع روی تنظیم شده باشد

یک سری فوریه از تابع ایجاد کنید:

با استفاده از آزمون‌های همگرایی نقطه‌ای تابعی را که این سری به آن همگرا می‌شود مشخص کنید: طبق معیار دیریکله، سری فوریه تابع به مجموع همگرا می‌شود:

№9. تابع را به یک سری فوریه بر حسب سینوس بسط دهید و با استفاده از این بسط، مجموع سری اعداد را پیدا کنید.

راه حل.تابع را به صورت زوج (فرد) تا (-) ادامه دهید پ,0) یا (- ل، 0)، و سپس به صورت دوره ای با دوره 2 پیا 2 لعملکرد را در کل محور ادامه دهید.

بیایید تابع را به صورت فرد ادامه دهیم، و سپس به صورت دوره ای، با نقطه، آن را در امتداد کل محور ادامه دهیم.

نمودار ادامه دوره ای را رسم کنید. تابعی مانند زیر دریافت خواهیم کرد:

شرایط را برای شرایط کافی برای همگرایی سری فوریه بررسی کنید (دینی لیپیتزا، جردن، دیریکله).

تابع به صورت تکه ای در بازه ثابت است: برابر است با -1 روشن و 1 روشن. در نقاط تابع دارای ناپیوستگی های نوع اول است.

محاسبه ضرایب فوریه:

ضرایب فوریه آن با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

سری فوریه تابع را بنویسید. .

با استفاده از آزمون های همگرایی نقطه ای تابعی را که این سری به آن همگرا می شود مشخص کنید.

با توجه به معیار دیریکله، سری فوریه یک تابع به مجموع همگرا می شود:

بنابراین، زمانی که

با جایگزینی مقادیر، مجموع سری اعداد داده شده را نشان دهید.

با فرض انبساط حاصل، در می یابیم،

از کجا، از آنجا، .

№10. تساوی پارسوال را برای تابع بنویسید و بر اساس این برابری مجموع سری اعداد را پیدا کنید.

راه حل.تعیین کنید که آیا این تابع یک تابع مربع قابل انتگرال در است.

تابع پیوسته است و بنابراین، در ادغام پذیر است. به همین دلیل، مربع آن را در ادغام می کنیم.

ضرایب فوریه را با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کنید:

از آنجایی که تابع فرد است، ضرایب فوریه آن با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

انتگرال را محاسبه کنید.

فرمول پارسوال را بنویسید:

بنابراین فرمول پارسوال دارای فرم است

با انجام عملیات حسابی در صورت لزوم در سمت راست و چپ، مجموع یک سری عددی معین را به دست آورید.

با تقسیم هر دو طرف برابری حاصل بر 144، در می یابیم: .

№11. انتگرال فوریه یک تابع را پیدا کنید

و آن را ترسیم کنید.

راه حل.یک نمودار از تابع بسازید.

برآورده شدن شرایط برای معیارهای کافی برای همگرایی انتگرال فوریه (دینی، دیریکله-جردن، یا نتایج حاصل از آنها).

تابع کاملاً در بازه ادغام پذیر است، پیوسته در و، و در یک نقطه دارای ناپیوستگی از نوع اول است. علاوه بر این، تابع for و مشتق محدودی دارد و در صفر مشتقات راست و چپ متناهی وجود دارد. زوج یا فرد بودن یک تابع را مشخص کنید. تابع نه زوج است و نه فرد. ; .

بنابراین، یا،

سری های فوریه نمایشی از یک تابع دلخواه با یک دوره خاص در قالب یک سری هستند. به طور کلی، این محلول را تجزیه یک عنصر در امتداد یک پایه متعامد می نامند. بسط توابع به سری فوریه به دلیل ویژگی‌های این تبدیل در حین ادغام، تمایز و همچنین جابجایی عبارات توسط استدلال و کانولوشن، ابزار نسبتاً قدرتمندی برای حل مسائل مختلف است.

شخصی که با ریاضیات عالی و همچنین با کارهای دانشمند فرانسوی فوریه آشنا نیست، به احتمال زیاد متوجه نخواهد شد که این "سری ها" چیست و برای چه چیزی مورد نیاز است. در همین حال، این دگرگونی کاملاً در زندگی ما ادغام شده است. این نه تنها توسط ریاضیدانان، بلکه توسط فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و بسیاری دیگر استفاده می شود. اجازه دهید نگاهی دقیق تر به آثار دانشمند بزرگ فرانسوی بیندازیم که به کشفی جلوتر از زمان خود دست یافت.

انسان و فوریه تبدیل می شوند

سری های فوریه یکی از روش هاست (همراه با آنالیز و غیره) این فرآیند با هر بار شنیدن صدایی اتفاق می افتد. گوش ما به طور خودکار ذرات بنیادی را در یک محیط الاستیک به ردیف هایی (در امتداد طیف) از سطوح حجمی متوالی برای تن هایی با ارتفاع های مختلف تبدیل می کند. در مرحله بعد، مغز این داده ها را به صداهایی تبدیل می کند که برای ما آشنا هستند. همه اینها بدون میل یا آگاهی ما به خودی خود اتفاق می افتد، اما برای درک این فرآیندها، چندین سال طول می کشد تا ریاضیات عالی مطالعه شود.

اطلاعات بیشتر در مورد تبدیل فوریه

تبدیل فوریه را می توان با استفاده از روش های تحلیلی، عددی و غیره انجام داد. سری فوریه به روش عددی تجزیه هر گونه فرآیند نوسانی - از جزر و مد اقیانوس ها و امواج نور تا چرخه های فعالیت خورشیدی (و سایر اجرام نجومی) اشاره دارد. با استفاده از این تکنیک‌های ریاضی، می‌توانید توابع را تجزیه و تحلیل کنید و هر فرآیند نوسانی را به‌عنوان مجموعه‌ای از اجزای سینوسی که از حداقل به حداکثر حرکت می‌کنند و به عقب نشان می‌دهند، نشان می‌دهند. تبدیل فوریه تابعی است که فاز و دامنه سینوسی های مربوط به یک فرکانس خاص را توصیف می کند. این فرآیند را می توان برای حل معادلات بسیار پیچیده که فرآیندهای دینامیکی ناشی از انرژی حرارتی، نور یا الکتریکی را توصیف می کند، استفاده کرد. همچنین سری فوریه جداسازی اجزای ثابت در سیگنال‌های نوسانی پیچیده را امکان‌پذیر می‌سازد و تفسیر صحیح مشاهدات تجربی به‌دست‌آمده در پزشکی، شیمی و نجوم را ممکن می‌سازد.

مرجع تاریخی

بنیانگذار این نظریه، ژان باپتیست ژوزف فوریه، ریاضیدان فرانسوی است. این تحول متعاقباً به نام او نامگذاری شد. در ابتدا، دانشمند از روش خود برای مطالعه و توضیح مکانیسم های هدایت حرارتی - انتشار گرما در جامدات استفاده کرد. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه را می توان به سینوسی های ساده تجزیه کرد، که هر کدام حداقل و حداکثر دمای خود و همچنین فاز خاص خود را دارند. در این صورت، هر یک از این مولفه ها از حداقل به حداکثر و بالعکس اندازه گیری می شود. تابع ریاضی که قله های بالایی و پایینی منحنی و همچنین فاز هر یک از هارمونیک ها را توصیف می کند، تبدیل فوریه بیان توزیع دما نامیده می شود. نویسنده این نظریه تابع توزیع کلی را که توصیف ریاضی آن دشوار است، به یک سری بسیار راحت از کسینوس و سینوس تقلیل داد که با هم توزیع اصلی را به دست می‌دهند.

اصل تحول و دیدگاه معاصران

معاصران دانشمند - ریاضیدانان برجسته اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را نپذیرفتند. ایراد اصلی ادعای فوریه بود که یک تابع ناپیوسته، که یک خط مستقیم یا یک منحنی ناپیوسته را توصیف می کند، می تواند به عنوان مجموع عبارات سینوسی که پیوسته هستند نشان داده شود. به عنوان مثال، مرحله Heaviside را در نظر بگیرید: مقدار آن در سمت چپ ناپیوستگی صفر و در سمت راست یک است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی به یک متغیر موقت را هنگامی که مدار بسته است، توصیف می کند. معاصران این نظریه در آن زمان هرگز با وضعیت مشابهی مواجه نشده بودند که در آن یک عبارت ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته و معمولی مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دوم توصیف شود.

چه چیزی ریاضیدانان فرانسوی را در مورد نظریه فوریه گیج کرد؟

به هر حال، اگر ریاضیدان در اظهارات خود درست گفته باشد، با جمع کردن سری فوریه مثلثاتی بی نهایت، می توان نمایش دقیقی از عبارت گام به دست آورد، حتی اگر مراحل مشابه زیادی داشته باشد. در آغاز قرن نوزدهم، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. اما علیرغم همه تردیدها، بسیاری از ریاضیدانان دامنه مطالعه این پدیده را گسترش دادند و آن را فراتر از مطالعه هدایت حرارتی بردند. با این حال، اکثر دانشمندان همچنان با این سوال عذاب می‌کشیدند: «آیا مجموع یک سری سینوسی می‌تواند به مقدار دقیق تابع ناپیوسته همگرا شود؟»

همگرایی سری فوریه: یک مثال

مسئله همگرایی هر زمان که لازم باشد مجموعه های نامتناهی از اعداد را جمع کنیم، مطرح می شود. برای درک این پدیده، یک مثال کلاسیک را در نظر بگیرید. اگر اندازه هر مرحله بعدی نصف مرحله قبلی باشد، هرگز قادر خواهید بود به دیوار برسید؟ فرض کنید دو متر با هدف خود فاصله دارید، اولین قدم شما را به نیمه راه می برد، مرحله بعدی شما را به نقطه سه چهارم می رساند و پس از پنجمین مرحله تقریباً 97 درصد مسیر را طی کرده اید. با این حال، مهم نیست که چند قدم بردارید، به معنای دقیق ریاضی به هدف مورد نظر خود نخواهید رسید. با استفاده از محاسبات عددی می توان ثابت کرد که در نهایت می توان به اندازه یک فاصله معین نزدیک شد. این برهان معادل نشان دادن این است که مجموع یک دوم، یک چهارم و غیره به وحدت گرایش دارد.

سوال همگرایی: آمدن دوم یا دستگاه لرد کلوین

این موضوع دوباره در اواخر قرن نوزدهم مطرح شد، زمانی که آنها سعی کردند از سری فوریه برای پیش بینی شدت جزر و مد استفاده کنند. در این زمان، لرد کلوین ابزاری اختراع کرد، یک دستگاه محاسباتی آنالوگ که به ملوانان نظامی و دریایی تجاری اجازه می داد تا این پدیده طبیعی را نظارت کنند. این مکانیسم مجموعه‌ای از فازها و دامنه‌ها را از جدول ارتفاع جزر و مد و نقاط زمانی مربوطه تعیین می‌کند که به دقت در یک بندر معین در طول سال اندازه‌گیری می‌شوند. هر پارامتر یک جزء سینوسی از بیان ارتفاع جزر و مد و یکی از اجزای منظم بود. اندازه‌گیری‌ها به ابزار محاسباتی لرد کلوین وارد شد، که منحنی را سنتز کرد که ارتفاع آب را به عنوان تابعی از زمان برای سال بعد پیش‌بینی می‌کرد. خیلی زود منحنی های مشابهی برای تمام بندرهای جهان ترسیم شد.

اگر فرآیند توسط یک عملکرد ناپیوسته مختل شود چه؟

در آن زمان واضح به نظر می رسید که یک پیش بینی کننده موج جزر و مدی با تعداد زیادی عناصر شمارش می تواند تعداد زیادی فاز و دامنه را محاسبه کند و بنابراین پیش بینی های دقیق تری ارائه دهد. با این حال، مشخص شد که این الگو در مواردی مشاهده نمی شود که بیان جزر و مدی که باید سنتز شود حاوی یک پرش شدید است، یعنی ناپیوسته بود. اگر داده های جدول لحظه های زمانی وارد دستگاه شود، چندین ضریب فوریه را محاسبه می کند. عملکرد اصلی به لطف اجزای سینوسی (مطابق با ضرایب یافت شده) بازیابی می شود. اختلاف بین عبارت اصلی و بازسازی شده را می توان در هر نقطه اندازه گیری کرد. هنگام انجام محاسبات و مقایسه های مکرر، واضح است که مقدار بزرگترین خطا کاهش نمی یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه ناپیوستگی محلی هستند و در هر نقطه دیگری به سمت صفر تمایل دارند. در سال 1899، این نتیجه به طور نظری توسط جاشوا ویلارد گیبس از دانشگاه ییل تأیید شد.

همگرایی سری های فوریه و توسعه ریاضیات به طور کلی

تحلیل فوریه برای عباراتی که دارای تعداد نامتناهی اسپک در یک بازه زمانی معین هستند، قابل استفاده نیست. به طور کلی، سری فوریه، اگر تابع اصلی با نتیجه یک اندازه گیری فیزیکی واقعی نشان داده شود، همیشه همگرا هستند. سؤالاتی در مورد همگرایی این فرآیند برای کلاس های خاصی از توابع منجر به ظهور شاخه های جدیدی در ریاضیات شد، به عنوان مثال، نظریه توابع تعمیم یافته. او با نام هایی مانند L. Schwartz، J. Mikusinski و J. Temple مرتبط است. در چارچوب این نظریه، یک مبنای نظری واضح و دقیق برای عباراتی مانند تابع دلتای دیراک (که منطقه ای از یک ناحیه متمرکز در یک همسایگی بینهایت کوچک از یک نقطه را توصیف می کند) و «گام» هیوساید ایجاد شد. به لطف این کار، سری فوریه برای حل معادلات و مسائل مربوط به مفاهیم شهودی: بار نقطه ای، جرم نقطه ای، دوقطبی های مغناطیسی و بار متمرکز روی یک پرتو قابل استفاده شد.

روش فوریه

سری های فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده به شکل های ساده تر شروع می شود. به عنوان مثال، تغییر در جریان گرما با عبور آن از موانع مختلف ساخته شده از مواد عایق حرارتی با شکل نامنظم یا تغییر در سطح زمین - زلزله، تغییر در مدار یک جرم آسمانی - تأثیر توضیح داده می شود. از سیارات به عنوان یک قاعده، چنین معادلاتی که سیستم های کلاسیک ساده را توصیف می کنند، می توانند به راحتی برای هر موج جداگانه حل شوند. فوریه نشان داد که راه حل های ساده را نیز می توان برای ایجاد راه حل برای مسائل پیچیده تر جمع کرد. در اصطلاح ریاضی، سری فوریه تکنیکی برای نمایش یک عبارت به عنوان مجموع هارمونیک ها - کسینوس و سینوس است. بنابراین، این تحلیل به عنوان "تحلیل هارمونیک" نیز شناخته می شود.

سری فوریه - یک تکنیک ایده آل قبل از "عصر کامپیوتر"

قبل از ایجاد فناوری رایانه، تکنیک فوریه بهترین سلاح در زرادخانه دانشمندان هنگام کار با ماهیت موجی جهان ما بود. سری فوریه به شکل پیچیده این امکان را فراهم می کند که نه تنها مسائل ساده ای را که می توان مستقیماً در قوانین مکانیک نیوتن اعمال کرد، بلکه معادلات اساسی را نیز حل کرد. بیشتر اکتشافات علم نیوتنی در قرن نوزدهم تنها با تکنیک فوریه امکان پذیر شد.

سری فوریه امروز

با توسعه کامپیوترها، تبدیل فوریه به سطح کیفی جدیدی ارتقا یافته است. این تکنیک تقریباً در تمام زمینه‌های علم و فناوری به‌طور محکمی تثبیت شده است. به عنوان مثال صدا و تصویر دیجیتال است. اجرای آن تنها به لطف نظریه ای که توسط یک ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن نوزدهم ایجاد شد امکان پذیر شد. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده ای امکان دستیابی به موفقیت در مطالعه فضای بیرونی را فراهم کرد. علاوه بر این، مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار و زلزله شناسی را تحت تاثیر قرار داد.

سری فوریه مثلثاتی

در ریاضیات، سری فوریه راهی برای نمایش توابع پیچیده دلخواه به صورت مجموع توابع ساده تر است. در موارد کلی، تعداد چنین عباراتی می تواند بی نهایت باشد. علاوه بر این، هرچه تعداد آنها در محاسبه بیشتر در نظر گرفته شود، نتیجه نهایی دقیق تر است. اغلب، توابع مثلثاتی کسینوس یا سینوس به عنوان ساده ترین آنها استفاده می شود. در این حالت سری های فوریه را مثلثاتی و حل چنین عباراتی را بسط هارمونیک می نامند. این روش نقش مهمی در ریاضیات دارد. اول از همه، سری مثلثاتی وسیله ای برای به تصویر کشیدن و همچنین مطالعه توابع فراهم می کند؛ این دستگاه اصلی تئوری است. علاوه بر این، به شما امکان می دهد تعدادی از مسائل در فیزیک ریاضی را حل کنید. در نهایت، این نظریه به توسعه تعدادی از شاخه های بسیار مهم علوم ریاضی (نظریه انتگرال ها، نظریه توابع تناوبی) کمک کرد. علاوه بر این، به عنوان نقطه شروع برای توسعه توابع زیر یک متغیر واقعی عمل کرد و همچنین پایه و اساس تحلیل هارمونیک را گذاشت.