1 ба 2 нь шийдлийн гайхалтай хязгаар юм. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Шийдлийн жишээ
Одоо сэтгэл санааны амар амгалангаар бид анхааралдаа авч байна гайхалтай хязгаарууд.
шиг харагдаж байна.
Х хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь 0 байх хандлагатай байдаг.
Бид хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй
Харагдсанаар, өгөгдсөн хязгааранхны гайхалтай зүйлтэй маш төстэй, гэхдээ энэ нь тийм биш юм. Ер нь, хэрэв та хязгаарт гэм нүглийг анзаарсан бол эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой эсэх талаар нэн даруй бодох хэрэгтэй.
Манай №1 дүрмийн дагуу бид x-ийн оронд тэгийг орлуулна.
Бид тодорхойгүй байдлыг олж авдаг.
Одоо эхнийхийг зохион байгуулахыг хичээцгээе гайхалтай хязгаар. Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн хослолыг хийх болно:
Тиймээс бид 7x-ийг ялгахын тулд тоологч ба хуваагчийг зохион байгуул. Танил гайхалтай хязгаар аль хэдийн гарч ирсэн. Шийдвэр гаргахдаа үүнийг тодруулахыг зөвлөж байна:
Эхнийх нь шийдлийг орлуулна гайхалтай жишээмөн бид авах:
Бутархайг хялбарчлах:
Хариулт: 7/3.
Таны харж байгаагаар бүх зүйл маш энгийн.
Маягттай 
, энд e = 2.718281828… нь иррационал тоо юм.
x хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь тэдгээр нь .
Бид хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй
Энд бид хязгаарын тэмдгийн дор зэрэг байгааг харж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно гэсэн үг юм.
Бид үргэлж x-ийн оронд 1-р дүрмийн орлуулалтыг ашиглах болно:
Эндээс харахад х-ийн хувьд зэрэглэлийн суурь нь , харин илтгэгч нь 4x >, өөрөөр хэлбэл. Бид маягтын тодорхой бус байдлыг олж авдаг:
Хоёрдахь гайхамшигтай хязгаарыг ашиглан тодорхойгүй байдлаа илчилье, гэхдээ эхлээд үүнийг зохион байгуулах хэрэгтэй. Таны харж байгаагаар илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид суурийг 3x, үүнтэй зэрэгцэн 1/3x хүртэл өсгөх үзүүлэлтэд хүрэх шаардлагатай байна.
Манай гайхалтай хязгаарыг онцлохоо бүү мартаарай:
Эдгээр нь үнэхээр юм гайхалтай хязгаарууд!
Хэрэв танд асуулт байвал эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарТэднээс сэтгэгдэл дээр асуугаарай.
Бид хүн бүрт аль болох хурдан хариулах болно.
Та мөн энэ сэдвээр багштай ажиллах боломжтой.
Бид танай хотод мэргэшсэн багш сонгох үйлчилгээг санал болгож байгаадаа таатай байна. Манай түншүүд танд таатай нөхцөлөөр сайн багшийг яаралтай сонгох болно.
Мэдээлэл хангалтгүй байна уу? - Чи чадна !
Та тэмдэглэлийн дэвтэрт математикийн тооцоо бичиж болно. Бие даасан дэвтэр дээрээ лого (http://www.blocnot.ru) бичих нь илүү тааламжтай байдаг.
Эхний гайхалтай хязгаарыг дараахь тэгш байдал гэж нэрлэдэг.
\эхлэх(тэгшитгэл)\lim_(\альфа\то(0))\frac(\sin\alpha)(\альфа)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)
$\alpha\to(0)$-ын хувьд бидэнд $\sin\alpha\to(0)$ байгаа тул эхний гайхалтай хязгаар нь $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхой бус байдлыг харуулж байна гэж бид хэлж байна. Ерөнхийдөө (1) томъёонд $\alpha$ хувьсагчийн оронд синус тэмдэг болон хуваагч хэсэгт хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд дурын илэрхийллийг байрлуулж болно.
- Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэдэг, i.e. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна.
- Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил байна.
Эхний гайхалтай хязгаарын үр дүнг ихэвчлэн ашигладаг:
\begin(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)
Арван нэгэн жишээг энэ хуудсан дээр шийдсэн. Жишээ №1 нь (2)-(4) томъёоны нотолгоонд зориулагдсан болно. Жишээ №2, №3, №4, №5 нь дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдлүүдийг агуулдаг. Өмнөх жишээнүүдэд дэлгэрэнгүй тайлбарыг өгсөн тул 6-10-р жишээнд тайлбар багатай эсвэл огт байхгүй шийдлүүдийг агуулсан болно. Шийдэл нь заримыг нь ашигладаг тригонометрийн томъёоүүнийг олж болно.
байгааг анхаарна уу тригонометрийн функцууд$\frac (0) (0)$-ийн тодорхойгүй байдал нь эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх ёстой гэсэн үг биш юм. Заримдаа энгийн тригонометрийн хувиргалт хангалттай байдаг - жишээлбэл, үзнэ үү.
Жишээ №1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) гэдгийг батал. (\альфа)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\альфа)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ тул:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Учир нь $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ба $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, дараа нь:
$$ \lim_(\альфа\то(0))\фрак(\син(\альфа))(\альфа\кос(\альфа)) =\frac(\displaystyle\lim_(\альфа\то(0)) \ frac (\ sin (\ альфа)) (\ альфа)) (\ displaystyle \ lim_ (\ альфа \ to (0)) \ cos (\ альфа)) =\ frac (1) (1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\sin(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ нөхцөлөөс бидэнд $y\to(0)$ байна. Үүнээс гадна $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ гэсэн 0-ийн хөрш байдаг тул:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.
в) $\alpha=\tg(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\tg(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ болон $y\to(0)$ нөхцөлүүд тэнцүү байна. Нэмж дурдахад $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ байх 0-ийн хөрш байдаг тул a) цэгийн үр дүнд тулгуурлан бид дараах байдалтай байна:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.
a), b), c) тэгшитгэлийг ихэвчлэн эхний гайхалтай хязгаартай хамт ашигладаг.
Жишээ №2
Тооцоолох хязгаар $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Учир нь $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ба $\lim_( x) \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. мөн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нь нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэх хандлагатай байгаа бол энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна, өөрөөр хэлбэл. гүйцэтгэсэн. Нэмж дурдахад, синус тэмдгийн дор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил (жишээ нь, сэтгэл хангалуун) байгааг харж болно.
Тиймээс хуудасны эхэнд дурдсан хоёр нөхцөл хангагдсан болно. Үүнээс үзэхэд томъёог хэрэглэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
Хариулт: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Жишээ №3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$-г олоорой.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))x=0$ тул бид $\frac( хэлбэрийн тодорхой бус байдалтай тулгарч байна. 0 )(0)$, өөрөөр хэлбэл, гүйцэтгэсэн. Гэхдээ синус тэмдгийн доорх болон хуваагч дахь илэрхийлэл таарахгүй байна. Энд хуваагч дахь илэрхийллийг хүссэн хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Бид хуваарьт байхын тулд $9x$ илэрхийлэл хэрэгтэй - тэгвэл энэ нь үнэн болно. Үндсэндээ бид хуваарьт 9$-ын хүчин зүйл дутагдаж байна, үүнийг оруулахад тийм ч хэцүү биш, зөвхөн хуваагч дахь илэрхийлэлийг 9 доллараар үржүүлээрэй. Мэдээжийн хэрэг, үржүүлгийг 9 доллараар нөхөхийн тулд та нэн даруй 9 доллараар хувааж, хуваах хэрэгтэй болно.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9х))(9х) $$
Одоо хуваагч болон синусын тэмдгийн доорх илэрхийлэл ижил байна. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ хязгаарын хоёр нөхцөл хангагдсан. Тиймээс $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Мөн энэ нь:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Жишээ №4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$-г олоорой.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ тул энд бид тодорхойгүй байдлын асуудлыг авч үзэж байна. $\frac(0)(0)$ хэлбэр. Гэсэн хэдий ч анхны гайхалтай хязгаарын хэлбэр эвдэрсэн. $\sin(5x)$ агуулсан тоологчийн хуваарьт $5x$ шаардлагатай. Энэ тохиолдолд хамгийн хялбар арга бол тоологчийг $5x$-д хувааж, нэн даруй $5x$-оор үржүүлэх явдал юм. Нэмж хэлэхэд, бид хуваагчтай ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэх бөгөөд $\tg(8x)$-г $8x$-оор үржүүлж, хуваах болно:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$-оор багасгаж, $\frac(5)(8)$ тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс гаргаснаар бид дараахийг олж авна:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ нь эхний гайхалтай хязгаарт тавигдах шаардлагыг бүрэн хангаж байгааг анхаарна уу. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$-г олохын тулд дараах томъёог хэрэглэнэ.
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Жишээ №5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$-г ол.
$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$ гэдгийг санаарай) ба $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тэгвэл бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Гэсэн хэдий ч эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийн тулд та синус (томьёог хэрэглэхийн тулд) эсвэл шүргэгч (томьёог хэрэглэхийн тулд) руу шилжих замаар тоологч дахь косинусыг арилгах хэрэгтэй. Та үүнийг дараах хувиргалтаар хийж болно.
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Хязгаар руугаа буцъя:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\баруун) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархай нь эхний гайхалтай хязгаарт шаардлагатай хэлбэрт аль хэдийн ойрхон байна. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархайтай бага зэрэг ажиллаж, үүнийг эхний гайхалтай хязгаарт тохируулъя (тоологч болон синусын доорх илэрхийллүүд тохирох ёстойг анхаарна уу):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2$$
Төлөвлөсөн хязгаар руу буцъя:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2\баруун)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Жишээ №6
$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ хязгаарыг ол.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ба $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ тул бид $\frac(0)(0)$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Анхны гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар үүнийг нээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд косинусаас синус руу шилжье. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ тул:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Өгөгдсөн синус хязгаарыг давснаар бид дараахь зүйлийг авна.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\баруун)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\зүүн(\frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Жишээ №7
Хязгаарыг тооцоолох $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ өгөгдсөн $\alpha\neq\ бета доллар.
Дэлгэрэнгүй тайлбарыг өмнө нь өгсөн боловч энд $\frac(0)(0)$-ын тодорхойгүй байдал байгааг бид зүгээр л тэмдэглэж байна. Томъёог ашиглан косинусаас синус руу шилжье
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\альфа-\бета)(2).$$
Дээрх томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа+\бета) )(2)\баруун)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\альфа-\бета)(2)\баруун))(x)\баруун)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+\бета)(2))\cdot\frac(\альфа+\бета)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2))\cdot\frac(\alpha- \бета)(2)\баруун)=\\ =-\frac((\альфа+\бета)\cdot(\альфа-\бета))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+бета)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)) =-\frac(\ альфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\фрак(\бета^2-\альфа^2)(2). $$
Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ альфа^2)(2)$.
Жишээ №8
$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ хязгаарыг ол.
$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) ба $\ гэдгийг санаарай. lim_(x\to(0))x^3=0$, тэгвэл энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг авч үзэж байна. Үүнийг дараах байдлаар задалж үзье.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\баруун))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\баруун)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\баруун) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$
Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Жишээ №9
$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ хязгаарыг ол.
Учир нь $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ба $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -) 3)(2)=0$, тэгвэл $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Өргөтгөл рүү орохын өмнө хувьсагчийг шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар өөрчлөх нь тохиромжтой (томьёонд $\alpha \to 0$ хувьсагч байгааг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=x-3$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. Гэсэн хэдий ч, цаашдын хувиргалтыг хийхэд тохиромжтой байхын тулд (энэ үр ашгийг доорх шийдлийн явцад харж болно) дараах орлуулалтыг хийх нь зүйтэй: $t=\frac(x-3)(2)$. Хоёр орлуулалт хоёуланд нь хамааралтай болохыг анхаарна уу Энэ тохиолдолд, ердөө хоёр дахь орлуулалт нь бутархайтай бага ажиллах боломжийг танд олгоно. $x\to(3)$, дараа нь $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\баруун| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Хариулт: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Жишээ №10
Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Дахин бид $\frac(0)(0)$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Өргөтгөл рүү шилжихээсээ өмнө шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийх нь тохиромжтой (томьёонд хувьсагч нь $\alpha\to(0)$ байна гэдгийг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=\frac(\pi)(2)-x$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. $x\to\frac(\pi)(2)$ тул $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\баруун))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\баруун)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Хариулт: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\баруун)^2) =\frac(1)(2)$.
Жишээ №11
Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Энэ тохиолдолд бид эхний гайхамшигтай хязгаарыг ашиглах шаардлагагүй болно. Анхаарна уу: эхний болон хоёр дахь хязгаарт зөвхөн тригонометрийн функцууд болон тоонууд байдаг. Ихэнхдээ ийм төрлийн жишээн дээр хязгаарын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой байдаг. Энэ тохиолдолд дурдсан хялбаршуулж, зарим хүчин зүйлийг бууруулсны дараа тодорхойгүй байдал арилдаг. Хязгаарын тэмдгийн дор тригонометрийн функц байгаа нь эхний гайхалтай хязгаарыг заавал хэрэглэх гэсэн үг биш гэдгийг харуулах гэсэн ганц зорилготойгоор би энэ жишээг өгсөн.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ тул ($\sin\frac(\pi)(2)=1$) гэдгийг санаарай. $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ гэдгийг санаарай), тэгвэл бид тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн. Гэсэн хэдий ч энэ нь бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах ёстой гэсэн үг биш юм. Тодорхой бус байдлыг илчлэхийн тулд $\cos^2x=1-\sin^2x$-г анхаарч үзэхэд хангалттай.
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Демидовичийн шийдлийн номонд (No 475) ижил төстэй шийдэл байдаг. Хоёрдахь хязгаарын хувьд энэ хэсгийн өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Яагаад үүсдэг вэ? Энэ нь $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ба $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ байдгаас үүсдэг. Бид эдгээр утгуудыг тоологч ба хуваагч дахь илэрхийллийг хувиргахад ашигладаг. Бидний үйл ажиллагааны зорилго: нийлбэрийг тоологч ба хуваагчаар үржвэр болгон бич. Дашрамд хэлэхэд, ижил төстэй хэлбэр доторх хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг тул шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байдаг (жишээлбэл, энэ хуудасны №9 эсвэл 10-р жишээг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч, онд энэ жишээхувьсагчийг солих нь утгагүй боловч хэрэв хүсвэл $t=x-\frac(2\pi)(3)$ хувьсагчийн өөрчлөлтийг хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\баруун )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\баруун))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left( -\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Таны харж байгаагаар бид эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагагүй байсан. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв хүсвэл үүнийг хийж болно (доорх тэмдэглэлийг үзнэ үү), гэхдээ энэ нь шаардлагагүй юм.
Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглан ямар шийдэл байх вэ? харуулах/нуух
Эхний гайхалтай хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ баруун))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\баруун) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Хариулт: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Энэхүү нийтлэл: "Хоёр дахь гайхалтай хязгаар" нь тухайн зүйлийн тодорхойгүй байдлын хүрээнд задруулахад зориулагдсан болно:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ болон $ ^\infty $.
Түүнчлэн, ийм тодорхой бус байдлыг экспоненциал-чадлын функцийн логарифм ашиглан илрүүлж болох боловч энэ нь шийдвэрлэх өөр нэг арга бөгөөд үүнийг өөр өгүүллээр авч үзэх болно.
Томъёо ба үр дагавар
ТомъёоХоёрдахь гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичсэн байна: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( энд ) e \ойролцоогоор 2.718 $ доллар
Томъёоноос эхлэн дагаж мөрдөөрэй үр дагавар, эдгээр нь хязгаартай жишээг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( хаана ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг экспоненциал хүчний функцэд үргэлж хэрэглэж болохгүй, гэхдээ зөвхөн суурь нь нэгдмэл байх хандлагатай байгаа тохиолдолд л хэрэглэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд оюун ухаан дахь суурийн хязгаарыг тооцоолж, дараа нь дүгнэлт хийнэ. Энэ бүгдийг жишээ шийдэлд авч үзэх болно.
Шийдлийн жишээ
Шууд томъёо, түүний үр дагаврыг ашиглан шийдлийн жишээг авч үзье. Бид томъёо шаардлагагүй тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зөвхөн бэлэн хариултыг бичихэд хангалттай.
| Жишээ 1 |
| Хязгаарыг олох $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Шийдэл |
|
Хязгаарыг хязгаарт орлуулж, тодорхойгүй байдлыг харвал: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Суурийн хязгаарыг ол: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac() 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Бид нэгтэй тэнцүү суурь авсан бөгөөд энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг аль хэдийн хэрэглэж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид нэгийг хасаж, нэмэх замаар функцийн суурийг томъёонд тохируулна. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Бид хоёр дахь үр дагаврыг хараад хариултыг бичнэ. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол илгээхтүүнийг бидэнд. Бид хангах болно нарийвчилсан шийдэл. Та тооцооллын явцтай танилцаж, мэдээлэл цуглуулах боломжтой болно. Энэ нь багшийн кредитийг цаг тухайд нь авахад тусална! |
| Хариулт |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Жишээ 4 |
| Хязгаарыг шийдэх $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Шийдэл |
|
Бид суурийн хязгаарыг олоод $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ болохыг харж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно. Төлөвлөгөөний дагуу стандартын дагуу бид градусын үндсэн дээр нэгийг нэмж, хасдаг. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Бид 2-р тэмдэглэлийн томъёоны дагуу бутархайг тохируулна. хязгаар: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Одоо зэрэглэлийг тохируулна уу. Экспонент нь $ \frac(3x^2-2)(6) $ суурийн хуваагчтай тэнцүү бутархай байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд зэрэглэлийг үржүүлж, хувааж, үргэлжлүүлэн шийдээрэй. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ дээр байрлах хүчин чадал нь: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Тиймээс бидэнд байгаа шийдлийг үргэлжлүүлэх нь: |
| Хариулт |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай төстэй боловч үүнгүйгээр шийдэгдсэн тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.
"Хоёр дахь гайхалтай хязгаар: шийдлийн жишээ" гэсэн өгүүлэлд томъёонд дүн шинжилгээ хийж, түүний үр дагавар, энэ сэдвээр байнга гардаг асуудлын төрлийг өгсөн болно.
