Тодорхой ба тодорхойгүй интегралын хүснэгт. Интеграцийн үндсэн томъёо, аргууд

Эсрэг дериватив функц ба тодорхойгүй интеграл

Баримт 1. Интеграл гэдэг нь дифференциалын эсрэг, тухайлбал, энэ функцийн мэдэгдэж буй деривативаас функцийг сэргээх явдал юм. Функцийг ийм байдлаар сэргээсэн Ф(x) гэж нэрлэдэг Балар эртнийфункцийн хувьд е(x).

Тодорхойлолт 1. Чиг үүрэг Ф(x е(x) тодорхой интервалаар X, хэрэв бүх утгын хувьд xЭнэ интервалаас тэгш байдал Ф "(x)=е(x), тэр бол өгөгдсөн функц е(x) нь эсрэг дериватив функцийн дериватив юм Ф(x). .

Жишээлбэл, функц Ф(x) = нүгэл x функцийн эсрэг дериватив юм е(x) = cos x бүх тооны шулуун дээр, учир нь x-ийн дурын утгын хувьд (нүгэл x)" = (cos x) .

Тодорхойлолт 2. Функцийн тодорхойгүй интеграл е(x) нь түүний бүх эсрэг деривативуудын цуглуулга юм. Энэ нь тэмдэглэгээг ашигладаг

∫

е(x)dx

,

тэмдэг хаана байна ∫ интеграл тэмдэг, функц гэж нэрлэдэг е(x) салшгүй хэсэг бөгөөд е(x)dx интеграл юм.

Тиймээс, хэрэв Ф(x) нь зарим эсрэг дериватив юм е(x), дараа нь

∫

е(x)dx = Ф(x) +C

хаана C - дурын тогтмол (тогтмол).

Функцийн эсрэг деривативуудын багцын утгыг тодорхойгүй интеграл гэж ойлгохын тулд дараах зүйрлэл тохиромжтой. Хаалга байх болтугай (уламжлалт модон хаалга). Үүний үүрэг бол "хаалга байх" юм. Хаалга юугаар хийгдсэн бэ? Модноос. Энэ нь "хаалга байх" интегралын эсрэг деривативуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойгүй интеграл нь "мод байх + C" функц бөгөөд C нь тогтмол бөгөөд энэ утгаараа дараахийг илэрхийлж болно. Жишээ нь, модны төрөл зүйл. Хаалгыг зарим багажаар модоор хийдэг шиг функцийн дериватив нь эсрэг дериватив функцээр "бүтээгддэг". деривативыг судалснаар бидний сурсан томъёо .

Дараа нь нийтлэг объектууд болон тэдгээрт харгалзах командуудын функцүүдийн хүснэгт ("хаалга байх" - "мод байх", "халбага байх" - "төмөр байх" гэх мэт) нь хүснэгттэй төстэй байна. үндсэн тодорхойгүй интегралуудыг доор өгөв. Тодорхой бус интегралын хүснэгтэд нийтлэг функцуудыг жагсаасан бөгөөд эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг деривативуудыг заана. Тодорхой бус интегралыг олох асуудлын нэг хэсэг болгон тусгай хүчин чармайлтгүйгээр шууд нэгтгэж болох ийм интегралуудыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын хүснэгтийн дагуу. Илүү төвөгтэй бодлогод хүснэгтэн интегралыг ашиглахын тулд эхлээд интегралыг хувиргах ёстой.

Баримт 2. Функцийг эсрэг дериватив болгон сэргээхдээ дурын тогтмол (тогтмол) -ийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. C, мөн 1-ээс хязгааргүй хүртэлх янз бүрийн тогтмолтой эсрэг деривативуудын жагсаалтыг бичихгүйн тулд дурын тогтмолтой эсрэг деривативуудын багцыг бичих хэрэгтэй. C, иймэрхүү: 5 x³+C. Тиймээс эсрэг дериватив нь функц байж болох тул дурын тогтмол (тогтмол) нь эсрэг деривативын илэрхийлэлд багтсан болно, жишээлбэл, 5. x³+4 эсвэл 5 x³+3 ба 4 эсвэл 3-ыг ялгах үед эсвэл бусад тогтмол алга болно.

Бид интеграцийн асуудлыг тавьсан: өгөгдсөн функцийн хувьд е(x) ийм функцийг ол Ф(x), хэний деривативтэнцүү байна е(x).

Жишээ 1Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол

Шийдэл. Энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив нь функц юм

Чиг үүрэг Ф(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг е(x) дериватив бол Ф(x) тэнцүү байна е(x), эсвэл ижил зүйл болох дифференциал Ф(x) тэнцүү байна е(x) dx, өөрөөр хэлбэл

(2)

Тиймээс функц нь функцийн эсрэг дериватив юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц эсрэг дериватив биш юм. Тэд бас функцууд юм

хаана FROMнь дурын тогтмол юм. Үүнийг ялгах замаар баталгаажуулж болно.

Тиймээс, хэрэв функцэд нэг эсрэг дериватив байгаа бол түүний хувьд тогтмол нийлбэрээр ялгаатай хязгааргүй эсрэг деривативууд байдаг. Функцийн бүх эсрэг деривативуудыг дээрх хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь дараах теоремоос үүдэлтэй.

Теорем (баримт 2-ын албан ёсны мэдэгдэл).Хэрвээ Ф(x) нь функцийн эсрэг дериватив юм е(x) тодорхой интервалаар X, дараа нь бусад ямар ч эсрэг дериватив е(x) ижил интервал дээр гэж төлөөлж болно Ф(x) + C, хаана FROMнь дурын тогтмол юм.

Дараах жишээнд бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудын дараа 3-р зүйлд өгөгдсөн интегралын хүснэгтэд аль хэдийн хандсан. Дээрх зүйлийн мөн чанар тодорхой байхын тулд бид хүснэгтийг бүхэлд нь танилцуулахаас өмнө үүнийг хийдэг. Хүснэгт болон шинж чанаруудын дараа бид нэгтгэхдээ тэдгээрийг бүхэлд нь ашиглах болно.

Жишээ 2Эсрэг деривативуудын багцыг ол:

Шийдэл. Бид эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг олдог. Интегралын хүснэгтээс томьёог дурдахдаа одоохондоо ийм томьёо байдгийг хүлээн зөвшөөрч, тодорхойгүй интегралын хүснэгтийг цааш нь бүрэн эхээр нь судлах болно.

1) Интегралын хүснэгтээс (7) томъёог ашиглана n= 3, бид олж авна

2) Интегралын хүснэгтээс (10) томъёог ашиглана n= 1/3, бидэнд байна

3) Түүнээс хойш

дараа нь (7) томъёоны дагуу at n= -1/4 олох

Интеграл тэмдгийн дор тэд функцийг өөрөө бичдэггүй е, мөн түүний бүтээгдэхүүн нь дифференциалаар dx. Энэ нь үндсэндээ эсрэг дериватив ямар хувьсагч хайж байгааг харуулахын тулд хийгддэг. Жишээлбэл,

, ;

Энд хоёр тохиолдолд интеграл нь тэнцүү байх боловч авч үзсэн тохиолдолд түүний тодорхойгүй интегралууд өөр байна. Эхний тохиолдолд энэ функцийг хувьсагчийн функц гэж үзнэ x, хоёрдугаарт - функцээр z .

Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйл явцыг тухайн функцийг интегралдах гэж нэрлэдэг.

Тодорхой бус интегралын геометрийн утга

Муруйг олохыг шаарддаг y=F(x)ба түүний цэг тус бүрийн шүргэгчийн налуугийн тангенс нь өгөгдсөн функц гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн f(x)энэ цэгийн абсцисса.

Деривативын геометрийн утгын дагуу муруйн өгөгдсөн цэг дэх шүргэлтийн налуугийн тангенс y=F(x) утгатай тэнцүү байнадериватив F"(x). Тиймээс бид ийм функцийг олох хэрэгтэй F(x), Үүний төлөө F"(x)=f(x). Даалгаварт шаардлагатай функц F(x)-аас гаралтай f(x). Асуудлын нөхцөл нь нэг муруйгаар биш харин муруйн гэр бүлээр хангагдана. y=F(x)- эдгээр муруйнуудын аль нэгийг, мөн өөр ямар ч муруйг тэнхлэгийн дагуу параллель хөрвүүлэх замаар олж авч болно Өө.

-ийн эсрэг дериватив функцийн графикийг нэрлэе f(x)интеграл муруй. Хэрвээ F"(x)=f(x), дараа нь функцийн график y=F(x)интеграл муруй юм.

Баримт 3. Тодорхой бус интеграл нь геометрийн хувьд бүх интеграл муруйн бүлгээр илэрхийлэгдэнэ. доорх зурган дээрх шиг. Муруй бүрийн эх үүсвэрээс зай нь интегралын дурын тогтмол (тогтмол) -оор тодорхойлогддог. C.

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Баримт 4. Теорем 1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай, дифференциал нь интегралтай тэнцүү.

Баримт 5. Теорем 2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл е(x) функцтэй тэнцүү байна е(x) тогтмол хугацаа хүртэл , өөрөөр хэлбэл

(3)

1 ба 2-р теоремууд нь дифференциал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдлүүд гэдгийг харуулж байна.

Баримт 6. Теорем 3. Интеграл дахь тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно. , өөрөөр хэлбэл

Интеграцийн дөрвөн үндсэн аргыг доор жагсаав.

1) Нийлбэр буюу зөрүүг нэгтгэх дүрэм.
.
Энд болон доор, u, v, w нь x интеграцийн хувьсагчийн функцууд юм.

2) Интеграл тэмдгээс тогтмолыг гаргаж авах.
c нь x-ээс хамааралгүй тогтмол байг. Дараа нь интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

3) Хувьсах солих арга.
Санаж үз тодорхойгүй интеграл.
Хэрэв ийм функцийг сонгох боломжтой бол φ (x) x-ээс, тэгэхээр
,
тэгвэл t = φ(x) хувьсагчийг өөрчилсний дараа бидэнд байна
.

4) Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо.
,
Энд u ба v нь интеграцийн хувьсагчийн функцууд юм.

Эцсийн зорилгоТодорхой бус интегралыг тооцоолох нь хувиргах замаар өгөгдсөн интегралыг хүснэгт гэж нэрлэдэг хамгийн энгийн интегралд хүргэх явдал юм. Хүснэгтийн интегралууд нь үндсэн функцээр илэрхийлэгдэнэ мэдэгдэж байгаа томъёонууд.
Интегралын хүснэгтийг үзнэ үү >>>

Жишээ

Тодорхой бус интегралыг тооцоолох

Шийдэл

Интеграл нь гурван гишүүний нийлбэр ба зөрүү гэдгийг анхаарна уу.
, ба .
Бид аргыг хэрэглэдэг 1 .

Цаашилбал, бид шинэ интегралуудын интегралуудыг тогтмол тоогоор үржүүлж байгааг тэмдэглэв. 5, 4, болон 2 , тус тус. Бид аргыг хэрэглэдэг 2 .

Интегралын хүснэгтээс бид томъёог олно
.
Тохиргоо n = 2 , бид эхний интегралыг олно.

Хоёрдахь интегралыг хэлбэрээр дахин бичье
.
Бид үүнийг анзаарч байна. Дараа нь

Гурав дахь аргыг ашиглацгаая. Бид t = φ хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг (x) = log x.
.
Интегралын хүснэгтээс бид томъёог олно

Интеграцийн хувьсагчийг ямар ч үсгээр тэмдэглэж болох тул

Гурав дахь интегралыг хэлбэрээр дахин бичье
.
Бид хэсгүүдээр нэгтгэх томъёог ашигладаг.
Let .
Дараа нь
;
;

;
;
.

Эцэст нь бидэнд байна
.
x-тэй нэр томъёо цуглуул 3 .
.

Хариулах

Лавлагаа:
Н.М. Гүнтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, Лан, 2003.

Сургуульд олонх нь интегралыг шийдэж чаддаггүй эсвэл тэдэнтэй холбоотой ямар нэгэн бэрхшээлтэй тулгардаг. Энэ нийтлэл танд үүнийг ойлгоход тусална, учир нь та бүх зүйлийг олох болно. интегралын хүснэгтүүд.

Интегралнь тооцооллын гол тооцоо, ойлголтуудын нэг юм. Түүний гадаад төрх нь хоёр зорилгоор бий болсон:
Эхний зорилт- түүний уламжлалыг ашиглан функцийг сэргээх.
Хоёр дахь зорилго- a нь x-ээс их буюу тэнцүү байх ба абсцисса тэнхлэгээс их буюу тэнцүү шулуун шугамын графикаас f (x) функц хүртэлх зайд байрлах талбайн тооцоо.

Эдгээр зорилго нь биднийг тодорхой ба тодорхойгүй интеграл руу хөтөлдөг. Эдгээр интегралуудын хоорондын холбоо нь шинж чанарыг хайх, тооцоолоход оршино. Гэвч бүх зүйл урсаж, цаг хугацаа өнгөрөх тусам бүх зүйл өөрчлөгдөж, шинэ шийдлүүд олдож, нэмэлтүүд илчлэгдэж, интегралын бусад хэлбэрүүдэд тодорхой ба тодорхойгүй интегралуудыг авчирсан.

Юу тодорхойгүй интеграл Та асуух. Энэ нь x-ээс их b-ээс их интервал дахь нэг х хувьсагчийн эсрэг дериватив функц F(x) юм. -ийг дурын функц гэж нэрлэдэг F(x), дурын x тэмдэглэгээнд өгөгдсөн интервалд дериватив нь F(x)-тэй тэнцүү байна. F(x) нь b-ээс их х-ээс их интервал дахь f(x)-ийн эсрэг дериватив болох нь тодорхой байна. Эндээс F1(x) = F(x) + C. C - өгөгдсөн интервал дахь f(x)-ийн аливаа тогтмол ба эсрэг дериватив байна. Энэ мэдэгдэл буцаах боломжтой, f(x) - 2 функцийн хувьд эсрэг деривативууд нь зөвхөн тогтмол хэмжээгээр ялгаатай. Интеграл тооцооллын теорем дээр үндэслэн а интервалд үргэлжилдэг

Тодорхой интеграл интеграл нийлбэр буюу нөхцөл байдлын хязгаар гэж ойлгодог өгөгдсөн функц f(x) нь өгөгдсөн F(b) - F(a) мөрийн төгсгөлд байгаа илэрхийллүүдийн зөрүүг илэрхийлдэг F эсрэг дериватив бүхий зарим (а,b) мөрөнд тодорхойлогдсон.

Тодорхой болгохын тулд энэ сэдвийг судлахын тулд би видеог үзэхийг санал болгож байна. Энэ нь интегралыг хэрхэн олохыг нарийвчлан тайлбарлаж, харуулж байна.

Интегралын хүснэгт бүр нь тодорхой төрлийн интегралыг шийдвэрлэхэд тусалдаг тул маш ашигтай байдаг.

Бүгд боломжит төрлүүдбичгийн хэрэгсэл болон бусад. Та v-kant.ru онлайн дэлгүүрээр дамжуулан худалдан авах боломжтой. Эсвэл зүгээр л линкийг дагана уу Бичиг хэргийн Самара (http://v-kant.ru) чанар, үнэ нь таныг тааламжтайгаар гайхшруулах болно.

Бид интегралуудыг жагсаав үндсэн функцууд, тэдгээрийг заримдаа хүснэгт гэж нэрлэдэг:

Дээрх томъёонуудын аль нэгийг баруун талын деривативыг авах замаар нотолж болно (үр дүнд нь интегралыг авах болно).

Интеграцийн аргууд

Интеграцийн зарим үндсэн аргуудыг авч үзье. Үүнд:

1. задралын арга(шууд интеграци).

Энэ арга нь хүснэгтэн интегралын шууд хэрэглээ, мөн тодорхойгүй интегралын 4 ба 5-р шинж чанаруудыг ашиглах (өөрөөр хэлбэл хаалтаас тогтмол хүчин зүйлийг авах ба/эсвэл интегралыг функцийн нийлбэр болгон илэрхийлэх) дээр суурилдаг. интегралыг нөхцөл болгон өргөжүүлэх).

Жишээ 1Жишээлбэл, (dx/x 4)-ийг олохын тулд x n dx-ийн хүснэгтийн интегралыг шууд ашиглаж болно. Үнэхээр (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2Үүнийг олохын тулд бид ижил интеграл ашигладаг:

Жишээ 3олохын тулд та авах хэрэгтэй

Жишээ 4Үүнийг олохын тулд бид интегралыг хэлбэрээр илэрхийлнэ хүснэгтийн интегралыг ашиглана экспоненциал функц:

Тогтмол хүчин зүйлийг хаалтанд оруулахыг авч үзье.

Жишээ 5Жишээлбэл, олъё . Үүнийг харгалзан үзвэл бид авдаг

Жишээ 6Олъё. Учир нь , бид хүснэгтийн интегралыг ашигладаг Авах

Дараах хоёр жишээнд та хаалт болон хүснэгтийн интегралыг ашиглаж болно.

Жишээ 7

(бид ашигладаг ба );

Жишээ 8

(Бидний хэрэглэдэг болон ).

Нийлбэрийн интеграл ашигладаг илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 9Жишээлбэл, олъё
. Тоолуурт өргөтгөх аргыг хэрэглэхийн тулд бид нийлбэр шоо  томъёог ашиглаж, дараа нь үүссэн олон гишүүнт гишүүнийг хуваагчаар хуваана.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Шийдлийн төгсгөлд нэг нийтлэг тогтмол С бичигдсэн байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй (мөн нэр томъёо бүрийг нэгтгэхдээ салангид биш). Цаашид мөн илэрхийлэлд дор хаяж нэг тодорхойгүй интеграл (бид шийдлийн төгсгөлд нэг тогтмол бичнэ) агуулагдаж байвал шийдвэрлэх явцад бие даасан нэр томьёоны интегралаас тогтмолуудыг орхихыг санал болгож байна.

Жишээ 10Олъё . Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид тоологчийг хүчин зүйл болгон хуваах (дараа нь бид хуваагчийг багасгаж болно).

Жишээ 11.Олъё. Тригонометрийн таних тэмдгийг энд ашиглаж болно.

Заримдаа илэрхийлэлийг нэр томьёо болгон задлахын тулд илүү төвөгтэй арга техникийг ашиглах хэрэгтэй болдог.

Жишээ 12.Олъё . Интеграл дээр бид бутархайн бүхэл хэсгийг сонгоно . Дараа нь

Жишээ 13Олъё

2. Хувьсах орлуулах арга (орлуулах арга)

Арга нь дараах томьёо дээр суурилдаг: f(x)dx=f((t))`(t)dt, энд x =(t) нь авч үзсэн интервал дээр дифференциалагдах функц юм.

Баталгаа. Зүүн ба t хувьсагчтай холбоотой деривативуудыг олъё зөв хэсгүүдтомъёо.

Зүүн талд завсрын аргумент нь x = (t) байх цогц функц байгааг анхаарна уу. Иймд t-д хамааруулан ялгахын тулд эхлээд интегралыг х-ээр ялгаж, дараа нь t-д хамаарах завсрын аргументийн деривативыг авна.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Баруун талын дериватив:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Эдгээр деривативууд нь тэнцүү тул Лагранжийн теоремын үр дүнд батлагдаж буй томьёоны зүүн ба баруун хэсгүүд тодорхой хэмжээгээр ялгаатай байна. Тодорхой бус интегралууд нь тодорхойгүй тогтмол гишүүн хүртэл тодорхойлогддог тул эцсийн тэмдэглэгээнд энэ тогтмолыг орхигдуулж болно. Батлагдсан.

Хувьсагчийн амжилттай өөрчлөлт нь анхны интегралыг хялбарчлах боломжийг олгодог бөгөөд хамгийн энгийн тохиолдолд хүснэгтийн хэлбэрт оруулдаг. Энэ аргыг хэрэглэхдээ шугаман болон шугаман бус орлуулалтын аргуудыг ялгадаг.

a) Шугаман орлуулалтын аргажишээ авч үзье.

Жишээ 1
. Lett= 1 – 2x, тэгвэл

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Шинэ хувьсагчийг тодорхой бичих шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ийм тохиолдолд дифференциалын тэмдгийн дор функцийг хувиргах, эсвэл дифференциалын тэмдгийн дор тогтмол болон хувьсагчийг оруулах тухай ярьдаг. тухай далд хувьсагчийн орлуулалт.

Жишээ 2Жишээ нь cos(3x + 2)dx-г олъё. Дифференциалын шинж чанараар dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тэгвэлcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x +) 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Харгалзан үзсэн хоёр жишээн дээр шугаман орлуулалтыг t=kx+b(k0) ашиглан интегралуудыг олов.

Ерөнхий тохиолдолд дараах теоремыг баримтална.

Шугаман орлуулалтын теорем. F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив байг. Дараа ньf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, энд k ба b зарим тогтмолууд,k0.

Баталгаа.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C интегралын тодорхойлолтоор. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Интеграл тэмдгийн хувьд тогтмол k коэффициентийг гаргана: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Одоо бид тэгш байдлын зүүн ба баруун хэсгийг k-д хувааж, тогтмол гишүүний тэмдэглэгээ хүртэл нотлох баталгааг олж авах боломжтой.

Энэ теорем нь f(x)dx= F(x) + C интегралын тодорхойлолтод (kx+b) илэрхийллийг орлуулбал урд талд 1/k нэмэлт хүчин зүйл гарч ирнэ гэж заасан байдаг. эсрэг деривативын.

Батлагдсан теоремыг ашиглан бид дараах жишээнүүдийг шийднэ.

Жишээ 3

Олъё . Энд kx+b= 3 –x, өөрөөр хэлбэл k= -1,b= 3. Дараа нь

Жишээ 4

Олъё. Энд kx+b= 4x+ 3, өөрөөр хэлбэл k= 4,b= 3. Дараа нь

Жишээ 5

Олъё . Энд kx+b= -2x+ 7, өөрөөр хэлбэл k= -2,b= 7. Дараа нь

.

Жишээ 6Олъё
. Энд kx+b= 2x+ 0, өөрөөр хэлбэл k= 2,b= 0 байна.

.

Хүлээн авсан үр дүнг задралын аргаар шийдсэн 8-р жишээтэй харьцуулж үзье. Үүнтэй ижил асуудлыг өөр аргаар шийдэж, бид хариултыг авсан
. Үр дүнг харьцуулж үзье: Тиймээс эдгээр илэрхийлэл нь бие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай байдаг , өөрөөр хэлбэл хүлээн авсан хариултууд хоорондоо зөрчилддөггүй.

Жишээ 7Олъё
. Бид хуваагчаар бүтэн квадратыг сонгоно.

Зарим тохиолдолд хувьсагчийн өөрчлөлт нь интегралыг шууд хүснэгт болгон бууруулж чадахгүй ч дараагийн алхамд задралын аргыг хэрэглэх боломжтой болгосноор шийдлийг хялбарчлах боломжтой.

Жишээ 8Жишээлбэл, олъё . t=x+ 2, дараа нь dt=d(x+ 2) =dx гэж солино. Дараа нь

,

Энд C \u003d C 1 - 6 (т илэрхийллийн оронд (x + 2) орлуулах үед эхний хоёр гишүүний оронд ½x 2 -2x - 6 болно).

Жишээ 9Олъё
. t= 2x+ 1, тэгвэл dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Бид t-ийн оронд илэрхийлэлийг (2x + 1) орлуулж, хаалтыг нээж, ижил төстэй зүйлийг өгнө.

Өөрчлөлтийн явцад бид өөр тогтмол нэр томъёо руу шилжсэн гэдгийг анхаарна уу, учир нь хувиргах явцад тогтмол нэр томъёоны бүлгийг орхигдуулж болно.

b) Шугаман бус орлуулалтын аргажишээ авч үзье.

Жишээ 1
. t= -x 2 гэж үзье. Цаашлаад х-г t-ээр илэрхийлж, дараа нь dx-ийн илэрхийлэл олж, хүссэн интегралдаа хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж болно. Гэхдээ энэ тохиолдолд өөрөөр хийх нь илүү хялбар байдаг. dt=d(-x 2) = -2xdx-г ол. xdx илэрхийлэл нь хүссэн интегралын интегралын хүчин зүйл гэдгийг анхаарна уу. Бид үүнийг үүссэн тэгшитгэлээс илэрхийлнэ xdx= - ½dt. Дараа нь

Оюутан бүрийн мэдэх ёстой үндсэн интегралууд

Жагсаалтад орсон интегралууд нь суурийн суурь, үндэс суурь юм. Мэдээжийн хэрэг эдгээр томъёог санаж байх хэрэгтэй. Илүү ихийг тооцоолохдоо комплекс интегралТа тэдгээрийг байнга ашиглах хэрэгтэй.

Төл Онцгой анхаарал(5), (7), (9), (12), (13), (17), (19) томъёонд. Интеграл хийхдээ хариултанд дурын тогтмол C нэмэхээ бүү мартаарай!

Тогтмолын интеграл

∫ A d x = A x + C (1)

Эрчим хүчний функцийг нэгтгэх

Үнэн хэрэгтээ (5) ба (7) томъёогоор хязгаарлагдах боломжтой боловч энэ бүлгийн бусад интегралууд нь маш түгээмэл тул тэдэнд бага зэрэг анхаарал хандуулах нь зүйтэй юм.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Экспоненциал функц ба гипербол функцийн интегралууд

Мэдээжийн хэрэг, томъёо (8) (магадгүй санахад хамгийн тохиромжтой) гэж үзэж болно онцгой тохиолдолтомъёо (9). Гипербол синус ба гипербол косинусын интеграл (10) ба (11) томъёог (8) томъёоноос амархан гаргаж авдаг боловч эдгээр хамаарлыг санах нь дээр.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн интегралууд

Оюутнуудын ихэвчлэн гаргадаг алдаа: тэд томъёо (12) ба (13) дахь тэмдгүүдийг андуурдаг. Синусын дериватив нь косинустай тэнцүү гэдгийг санаж, олон хүн яагаад ч юм интеграл гэж үздэг. sinx функцууд cosx-тэй тэнцүү. Энэ үнэн биш! Синусын интеграл нь "хасах косинус" боловч cosx-ийн интеграл нь "зүгээр л синус" юм.

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 нүгэл 2 x d x = − c t g x + C (15)

Интегралуудыг урвуу тригонометрийн функц болгон бууруулах

Нуман шүргэхэд хүргэдэг томьёо (16) нь байгалийн хувьд (17) a=1 томъёоны онцгой тохиолдол юм. Үүний нэгэн адил (18) нь (19)-ийн онцгой тохиолдол юм.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Илүү төвөгтэй интегралууд

Эдгээр томъёог санах нь зүйтэй. Тэдгээрийг бас ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд гаралт нь нэлээд уйтгартай байдаг.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Интеграцийн ерөнхий дүрмүүд

1) Хоёр функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнахаргалзах интеграл: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Хоёр функцийн ялгаварын интеграл нь харгалзах интегралуудын ялгавартай тэнцүү байна: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Тогтмолыг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Үл хөдлөх хөрөнгө (26) нь ердөө л (25) ба (27) шинж чанаруудын хослол гэдгийг харахад хялбар байдаг.

4) интеграл нарийн төвөгтэй функц, хэрэв дотоод функцшугаман байна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Энд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив юм. Энэ томьёо нь зөвхөн дотоод функц Ax + B үед л ажиллана гэдгийг анхаарна уу.

Анхаарах зүйл: хоёр функцийн үржвэрийн интеграл, мөн бутархайн интегралын бүх нийтийн томьёо байдаггүй.

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (гучин)

Энэ нь мэдээжийн хэрэг, фракц эсвэл бүтээгдэхүүнийг нэгтгэх боломжгүй гэсэн үг биш юм. Зүгээр л (30) шиг интегралыг харах болгондоо үүнтэй "тэмцэх" арга сэдэх хэрэгтэй болдог. Зарим тохиолдолд хэсэгчлэн нэгтгэх нь танд туслах болно, хаа нэгтээ та хувьсагчийн өөрчлөлт хийх шаардлагатай болно, заримдаа алгебр эсвэл тригонометрийн "сургуулийн" томьёо ч тусалж чадна.

Тодорхой бус интегралыг тооцоолох энгийн жишээ

Жишээ 1. Интегралыг ол: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Бид (25) ба (26) томъёог ашигладаг (функцийн нийлбэр буюу зөрүүний интеграл нь харгалзах интегралуудын нийлбэр буюу зөрүүтэй тэнцүү байна. Бид дараахийг авна: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Тогтмолыг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно гэдгийг санаарай (томъёо (27)). Илэрхийлэл нь хэлбэрт шилжсэн

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Одоо үндсэн интегралуудын хүснэгтийг ашиглая. Бид (3), (12), (8) ба (1) томъёог ашиглах шаардлагатай болно. Интеграцид орцгооё эрчим хүчний функц, синус, экспонент ба тогтмол 1. Төгсгөлд нь дурын тогтмол С нэмэхээ бүү мартаарай:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн дараа бид эцсийн хариултыг авна.

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Өөрийгөө ялгах замаар туршиж үзээрэй: үүссэн функцийн деривативыг аваад анхны интегралтай тэнцүү эсэхийг шалгаарай.

Интегралын хураангуй хүснэгт

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 син 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Интегралын хүснэгтийг (II хэсэг) энэ линкээс татаж авна уу

Хэрэв та их дээд сургуульд суралцаж байгаа бол дээд математикийн хувьд хүндрэлтэй байгаа бол ( математик шинжилгээ, шугаман алгебр, магадлалын онол, статистик), хэрэв танд мэргэшсэн багшийн үйлчилгээ шаардлагатай бол дээд математикийн багшийн хуудас руу очно уу. Хамтдаа асуудлаа шийдье!

Та ч бас сонирхож магадгүй