Тодорхойгүй интеграл дахь хэсгүүдээр интеграцийн жишээ. Хэсэгээр нь нэгтгэх арга

Дараахь томъёог нэрлэнэ хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх тодорхойгүй интегралд:

Интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор хэрэглэхийн тулд интегралыг хоёр хүчин зүйлд хуваах шаардлагатай. Тэдний нэгийг нь тэмдэглэв у, үлдсэн хэсэг нь хоёр дахь хүчин зүйлд хамаарах бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ dv. Дараа нь ялгах замаар бид олдог дуба интеграци - функц v. Үүний зэрэгцээ, төлөө у dv- амархан нэгтгэж болох интегралын ийм хэсэг.

Хэсэг хэсгээр нэгтгэх аргыг хэрэглэх нь хэзээ ашигтай вэ? Тэгээд хэзээ интеграл агуулагддаг :

1) - логарифмын функцууд, түүнчлэн урвуу тригонометрийн функцууд ("нуман" угтвартай), дараа нь хэсэгчлэн нэгтгэх олон жилийн туршлага дээр үндэслэн эдгээр функцийг дараах байдлаар тэмдэглэв. у;

2) , , - синус, косинус ба илтгэгчийн үржвэр П(x) нь x-д дурын олон гишүүнт байвал эдгээр функцийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ dv, мөн олон гишүүнт нь дамжуулан байна у;

3) , , , , энэ тохиолдолд хэсгүүдийн интеграцийг хоёр удаа хэрэглэнэ.

Эхний тохиолдлын жишээг ашиглан хэсгүүдээр нэгтгэх аргын утгыг тайлбарлая. Интеграл тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь логарифмын функц агуулна (энэ нь жишээ 1 болно). Хэсэгчилсэн интегралыг ашигласнаар ийм интеграл нь зөвхөн алгебрийн функцүүдийн интегралыг (ихэнхдээ олон гишүүнт) тооцоолоход хүргэдэг, өөрөөр хэлбэл логарифм эсвэл урвуу тригонометрийн функцийг агуулдаггүй. Хичээлийн эхэнд өгсөн хэсгүүдийн интеграцийн томъёог ашиглах

Бид эхний гишүүнд (интегралгүй) логарифмын функцийг, хоёр дахь гишүүнд (интеграл тэмдгийн дор) логарифм агуулаагүй функцийг олж авдаг. Алгебрийн функцийн интеграл нь логарифм эсвэл урвуу тригонометрийн функцийг тусад нь эсвэл алгебрийн хүчин зүйлтэй хамт олдог тэмдгийн дор байх интегралаас хамаагүй хялбар юм.

Тиймээс ашиглах хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх интеграл нэн даруй хийгддэггүй: өгөгдсөн интегралыг олох нь нөгөөг олох хүртэл буурдаг. Хэсэгчилсэн интегралын томъёоны утга нь түүнийг хэрэглэсний үр дүнд шинэ интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй эсвэл наад зах нь анхныхаасаа илүү хялбар болдог.

Хэсэгээр нэгтгэх арга нь хоёр функцийн бүтээгдэхүүнийг ялгах томъёог ашиглахад суурилдаг.

дараа нь хэлбэрээр бичиж болно

Хичээлийн эхэнд өгсөн.

Функцийг нэгтгэх замаар олох үед vүүний тулд эсрэг дериватив функцуудын хязгааргүй багцыг олж авдаг. Интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор ашиглахын тулд та тэдгээрийн аль нэгийг нь авч болно, тиймээс дурын тогтмолд тохирохыг нь авч болно. ХАМТ, тэгтэй тэнцүү. Тиймээс функцийг олох үед vдурын тогтмол ХАМТоруулах ёсгүй.

Хэсэгээр нь нэгтгэх арга нь үнэхээр байдаг тусгай програм: түүний тусламжтайгаар та интеграл тэмдгийн дор функцын зэрэглэлийг багасгах шаардлагатай үед эсрэг дериватив функцийг олохын тулд давтагдах томъёог гаргаж авах боломжтой. Жишээлбэл, синус, косинус зэрэг функцууд болон тэдгээрийн үржвэрүүдээс их хүчин чадалтай функцүүдийн хувьд хүснэгтэн интеграл байхгүй үед зэрэг бууруулах шаардлагатай. Давтагдах томьёо нь өмнөх гишүүнээр дамжуулан дарааллын дараагийн гишүүнийг олох томьёо юм. Заасан тохиолдлуудын хувьд зэрэглэлийг дараалан бууруулах замаар зорилгодоо хүрдэг. Тэгэхээр хэрэв интеграл нь х-ийн дөрөв дэх зэрэглэлийн синус юм бол хэсгүүдээр интеграл хийснээр синусын интегралыг гуравдахь зэрэгт тооцох томьёог олж болно. Энэ хичээлийн сүүлчийн догол мөр нь тайлбарласан даалгаварт зориулагдсан болно.

Интеграцийг хэсэг хэсгээр нь хамтад нь хэрэглэх

Жишээ 1. Тодорхой бус интегралыг хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашиглан ол:

Шийдэл. Интеграл илэрхийлэлд - логарифм бөгөөд үүнийг бидний аль хэдийн мэдэж байгаагаар үндэслэлтэйгээр тэмдэглэж болно. у. Үүнд бид итгэдэг, .

Бид (онолын лавлагааны тайлбарт дурьдсанчлан бид нэн даруй эхний гишүүнд логарифм функцийг (интегралгүйгээр), хоёр дахь гишүүнд логарифм агуулаагүй функцийг (интеграл тэмдгийн дор) олж авна):

Мөн дахин логарифм ...

Жишээ 2.Тодорхой бус интегралыг ол:

Шийдэл. Let, .

Логарифм нь дөрвөлжинд байна. Энэ нь нарийн төвөгтэй функц гэж ялгах шаардлагатай гэсэн үг юм. Бид олдог
,
.

Бид дахин хоёр дахь интегралыг хэсгүүдээр нь олж, аль хэдийн дурдсан давуу талыг олж авдаг (эхний гишүүнд (интегралгүй) логарифм функц байдаг ба хоёр дахь гишүүнд (интеграл тэмдгийн дор) нь агуулаагүй функц байдаг. логарифм).

Бид анхны интегралыг олно:

Жишээ 3.

Шийдэл. Логарифмын нэгэн адил арктангенсийг илүү сайн тэмдэглэдэг у. Тиймээс үзье, .

Дараа нь,
.

Интеграцийг хэсэгчилсэн томъёогоор ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хувьсагчийг өөрчилснөөр бид хоёр дахь интегралыг олно.

Хувьсагч руу буцах x, бид авдаг

.

Бид анхны интегралыг олно:

.

Жишээ 4. Хэсгээр интегралдах аргыг ашиглан тодорхойгүй интегралыг ол:

Шийдэл. Үзэсгэлэнгийн оролцогчийг -ээр тэмдэглэх нь дээр dv. Бид интегралыг хоёр хүчин зүйл болгон хуваадаг. Үүнд итгэж байна

Жишээ 5. Тодорхой бус интегралыг хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашиглан ол:

.

Шийдэл. Let, . Дараа нь , .

Хэсэгчилсэн интеграцийн томъёог (1) ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Жишээ 6.Тодорхой бус интегралыг хэсгүүдээр нь интегралаар ол:

Шийдэл. Экспоненциалын нэгэн адил синусыг хялбархан тэмдэглэж болно dv. Let, .

Хэсэгчилсэн интеграцийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Бид интеграцийг хэсэг хэсгээр нь дахин хэрэгжүүлдэг

Жишээ 10.Тодорхой бус интегралыг хэсгүүдээр нь интегралаар ол:

.

Шийдэл. Үүнтэй төстэй бүх тохиолдлын нэгэн адил косинусыг тэмдэглэх нь тохиромжтой dv. Бид , гэж тэмдэглэдэг.

Дараа нь , .

Хэсэгчилсэн интеграцийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Мөн бид интеграцийг хэсэг хэсгээр нь хоёрдугаар нэр томъёонд ашигладаг. Бид , гэж тэмдэглэдэг.

Эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан бид дурдсан нэр томъёог нэгтгэдэг:

Одоо бид шаардлагатай интегралыг олно:

Хэсэгчилсэн интегралчлалын аргаар шийдэж болох интегралуудын дунд онолын хэсэгт дурдсан гурван бүлгийн алинд нь ч ороогүй интегралууд бас байдаг бөгөөд үүнийг практик дээр тэмдэглэсэн нь дээр. у, тэгээд юугаар дамжуулан dv. Тиймээс, эдгээр тохиолдолд та "Хэсгээр нэгтгэх аргын мөн чанар" гэсэн догол мөрөнд өгөгдсөн тав тухтай байдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай. уялгах явцад нэг их төвөгтэй болдоггүй интегралын хэсгийг авах хэрэгтэй, гэхдээ dv- амархан нэгтгэж болох интегралын ийм хэсэг. Сүүлийн жишээЭнэ хичээл бол яг ийм интегралын шийдэл юм.

Хэсэгээр нэгтгэх томъёо нь дараах байдалтай байна.
.

Хэсэгээр нь нэгтгэх арга нь энэ томъёог хэрэглэхээс бүрдэнэ. At практик хэрэглээ u ба v нь интеграцийн хувьсагчийн функцууд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Интеграцийн хувьсагчийг x (интеграл тэмдэглэгээний төгсгөл дэх дифференциал тэмдгийн d-ийн дараах тэмдэг) гэж тэмдэглэе. Дараа нь u ба v нь x функцууд болно: u(x) ба v(x) .
Дараа нь
, .
Мөн хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Өөрөөр хэлбэл интеграл функц нь хоёр функцийн үржвэрээс бүрдэх ёстой.
,
нэгийг нь бид u гэж тэмдэглэдэг: g(x) = u, нөгөө нь интегралыг тооцоолох ёстой (илүү нарийвчлалтай, эсрэг деривативыг олох ёстой):
, дараа нь dv = f(x) dx .

Зарим тохиолдолд f(x) = 1 . Энэ нь интегралд
,
бид g(x) = u, x = v гэж тавьж болно.

Дүгнэлт

Тэгэхээр, in энэ арга, хэсгүүдээр нэгтгэх томъёог санаж, хоёр хэлбэрээр хэрэглэх нь зүйтэй.
;
.

Интегралыг хэсэг хэсгээр нь нэгтгэж тооцсон

Логарифм болон урвуу тригонометрийн (гипербол) функц агуулсан интегралууд

Логарифм, урвуу тригонометр эсвэл гипербол функц агуулсан интегралууд нь ихэвчлэн хэсгүүдээр нэгтгэгддэг. Энэ тохиолдолд логарифм буюу урвуу тригонометрийн (гипербол) функцийг агуулсан хэсгийг u, үлдсэн хэсгийг dv гэж тэмдэглэнэ.

Хэсэгчилсэн интегралын аргаар тооцоолсон ийм интегралуудын жишээ энд байна.
, , , , , , .

Олон гишүүнт ба sin x, cos x эсвэл e x-ийн үржвэрийг агуулсан интегралууд

Хэсгийн интегралын томъёог ашиглан маягтын интегралуудыг олно.
, , ,
Энд P(x) нь х дахь олон гишүүнт юм. Интегралдах үед олон гишүүнт P(x)-ийг u, e ax dx, cos ax dxэсвэл нүгэл сүх dx- dv-ээр дамжуулан.

Ийм интегралуудын жишээ энд байна:
, , .

Хэсэгээр интегралдах аргыг ашиглан интегралыг тооцоолох жишээ

Логарифм болон урвуу тригонометрийн функц агуулсан интегралын жишээ

Жишээ

Интегралыг тооцоолох:

Нарийвчилсан шийдэл

Энд интеграл нь логарифм агуулна. Сэлгээ хийх
у = ln x,
dv = x 2 dx.
Дараа нь
,
.

Бид үлдсэн интегралыг тооцоолно:
.
Дараа нь
.
Тооцооллын төгсгөлд тодорхойгүй интеграл нь бүх антидеривативуудын олонлог тул тогтмол C нэмэх шаардлагатай. Үүнийг мөн завсрын тооцоонд нэмж болох боловч энэ нь зөвхөн тооцооллыг замбараагүй болгоно.

Богино шийдэл

Та шийдлийг богино хувилбараар танилцуулж болно. Үүнийг хийхийн тулд та u болон v-ээр орлуулалт хийх шаардлагагүй, харин хүчин зүйлсийг бүлэглэж, интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор хоёр дахь хэлбэрээр хэрэглэж болно.

.

Хариулах

Олон гишүүнт ба sin x, cos x эсвэл ex-ийн үржвэрийг агуулсан интегралын жишээ

Жишээ

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Дифференциал тэмдгийн дор илтгэгчийг танилцуулъя:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Хэсэгээр нь нэгтгэе.
.
Бид мөн хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашигладаг.
.
.
.
Эцэст нь бидэнд байна.

Ижил төстэй найрлагын хэсгүүдээр нэгтгэх жишээг 1, 2-р курсын оюутнуудад өгсөн болно. Эдгээр ажлуудыг асуусан туршилтын ажилнэрэмжит LNU-д. И.Фрэнк. Бодлого, хариулт дахь томъёо давтагдахгүйн тулд бид асуудлыг тайлбарлахгүй. Даалгаврын нөхцлийн дагуу та "Интегралыг олох" эсвэл "Интегралыг тооцоолох" хэрэгтэй.
Жишээ 8. Интегралыг int(u*dv)=u*v-int(v*du) хэсгүүдээр нэгтгэх дүрмийг ашиглан олно. Энд гол зүйл бол дүрмийн зөв функцийг сонгох явдал юм. (Өөрийнхөө хувьд, dv-ийн хувьд боломжтой бол үечилсэн функцууд эсвэл хүчин зүйл хүртэл ялгагдах үед өөрсдийгөө экспоненциал өгдөг функцүүдийг сонгох хэрэгтэй гэдгийг санаарай). Энэ интегралд та дифференциал дор синусыг нэмэх хэрэгтэй

Цаашид нэгтгэх нь маш энгийн бөгөөд бид нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзэхгүй.

Жишээ 9. Дахин та u*dv хэсгүүдээр интеграцийн дүрмийг хэрэгжүүлэх хэрэгтэй. Энд бид бүтээгдэхүүн байна үечилсэн функцэкспоненциалаар, тиймээс дифференциал дор юу нэмэхийг сонгох нь танаас хамаарна. Та экспоненциал эсвэл косинусыг ашиглаж болно (сонголт бүрт бид давтагдах томъёог авдаг).

Бид интеграцийг хэсэг хэсгээр нь дахин ашигладаг

Бид давтагдах томъёонд хүрэв. Хэрэв бид хайж байсан интеграл болон тооцооллын үр дүнг бичвэл бид ижил төстэй хоёр гишүүнийг авна.

Бид тэдгээрийг бүлэглэж, шаардлагатай интегралыг олдог


Жишээ 10. Бидэнд u*dv дүрмийн дагуу интегралд зориулсан бэлэн оруулга байна. du-г олоод интеграцийг гүйцэтгэнэ


Бид хоёр дахь интегралыг хүснэгтийн томьёо болгон бууруулж, тооцоолно

Жишээ 11. cos(ln(x))=u-г шинэ хувьсагч гэж тэмдэглээд du -г олоод дифференциал доор оруулна.


Бид интегралд хэсэгчилсэн интегралчлалын дүрмийг дахин ашигладаг


Бид давтагдах томъёонд хүрэв

Үүний тусламжтайгаар бид үл мэдэгдэх интегралыг тооцоолно

Жишээ 12. Интегралыг олохын тулд хуваагч дахь бүтэн квадратыг сонгоно. Дараа нь хуваагчийг багасгана мэдэгдэж байгаа томъёоинтеграцид бид арктангенсыг авна


Үржүүлэгчийн ээлжийн дарааллыг сайн санаарай. Нэгжийг язгуураар хуваасан чөлөөт нэр томьёо арктангенсын өмнө гарч ирэх ба энэ хүчин зүйл нь хувьсагчийн урд байрлах арктангенст мөн байна.
Жишээ 13. Бид ижил төстэй интегралтай харьцаж байгаа бөгөөд зөвхөн хуваагч дээр квадрат хамаарал язгуур дор байна. Бид төгс квадратыг сонгоод логарифмыг өгдөг интеграцийн томъёо болгон бууруулна


Эдгээр нь туршилт эсвэл туршилтын жишээ юм. Интеграцийн үндсэн схемүүдийг сайн санаарай.
Хэрэв та интегралыг өөрөө шийдэж чадахгүй бол тусламж хүс.

Тодорхой интегралаар -аас тасралтгүй функц е(x) эцсийн сегмент дээр [ а, б] (энд ) нь энэ сегмент дээрх зарим эсрэг деривативуудын өсөлт юм. (Ерөнхийдөө тодорхойгүй интегралын сэдвийг давтвал ойлгоход мэдэгдэхүйц хялбар байх болно) Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана.

Доорх графикуудаас харж болно (эсрэг дериватив функцийн өсөлтийг -ээр илэрхийлнэ), тодорхой интеграл эерэг эсвэл аль аль нь байж болно сөрөг тоо (Үүнийг дээд хязгаар дахь эсрэг деривативын утга ба доод хязгаар дахь утгын зөрүүгээр тооцно. Ф(б) - Ф(а)).

Тоонууд аТэгээд бинтеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг ба сегмент [ а, б] – интеграцийн сегмент.

Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив функц е(x), дараа нь тодорхойлолтын дагуу,

(38)

Тэгш байдлыг (38) гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо . Ялгаа Ф(б) – Ф(а) дараах байдлаар товч бичигдсэн байна.

Тиймээс бид Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах байдлаар бичнэ.

(39)

Тодорхой интеграл нь түүнийг тооцоолохдоо түүний эсрэг деривативыг авахаас хамаарахгүй гэдгийг баталцгаая. Болъё Ф(x) ба F( X) нь интегралын дурын эсрэг деривативууд юм. Эдгээр нь ижил функцийн эсрэг деривативууд тул тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай: Ф( X) = Ф(x) + C. Тийм ч учраас

Энэ нь сегмент дээр [ а, б] функцийн бүх эсрэг деривативуудын өсөлт е(x) тааруулна.

Тиймээс тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд интегралын эсрэг деривативыг олох шаардлагатай. Эхлээд та тодорхойгүй интегралыг олох хэрэгтэй. Тогтмол ХАМТ дараагийн тооцооноос хассан. Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ: дээд хязгаарын утгыг деривативын эсрэг функцээр орлуулна. б , цааш нь - доод хязгаарын утга а мөн ялгааг тооцно F(b) - F(a) . Үүссэн тоо нь тодорхой интеграл байх болно..

At а = бтодорхойлолтоор хүлээн зөвшөөрсөн

Жишээ 1.

Шийдэл. Эхлээд тодорхойгүй интегралыг олъё:

Ньютон-Лейбницийн томъёог эсрэг деривативт хэрэглэх

(цагт ХАМТ= 0), бид олж авна

Гэхдээ тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эсрэг деривативыг тусад нь олохгүй, харин интегралыг (39) хэлбэрээр нэн даруй бичих нь дээр.

Жишээ 2.Тодорхой интегралыг тооцоолох

Шийдэл. Томъёог ашиглах

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

Теорем 2.Тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл

(40)

Болъё Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Учир нь е(т) эсрэг дериватив нь ижил функцтэй Ф(т), бие даасан хувьсагчийг зөвхөн өөрөөр тэмдэглэдэг. Тиймээс,

Томъёо (39) дээр үндэслэн сүүлчийн тэгшитгэл нь интегралуудын тэгш байдлыг илэрхийлнэ

Теорем 3.Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхой интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл

(41)

Теорем 4.Хязгаарлагдмал тооны функцын алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. тодорхой интегралЭдгээр функцээс, өөрөөр хэлбэл

(42)

Теорем 5.Хэрэв интеграцийн сегментийг хэсэг болгон хуваасан бол бүх сегмент дэх тодорхой интеграл болно нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний хэсгүүд дээрх тодорхой интегралууд, өөрөөр хэлбэл Хэрэв

(43)

Теорем 6.Интеграцийн хязгаарыг дахин зохицуулах үед үнэмлэхүй үнэ цэнэтодорхой интеграл өөрчлөгддөггүй, зөвхөн тэмдэг нь өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл

(44)

Теорем 7(дундаж утгын теорем). Тодорхой интеграл нь интеграцийн сегментийн урт ба түүний доторх хэсэг дэх интегралын утгын үржвэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл

(45)

Теорем 8.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хязгаараас их бөгөөд интеграл нь сөрөг биш (эерэг) байвал тодорхой интеграл нь мөн сөрөг биш (эерэг), өөрөөр хэлбэл. Хэрэв

Теорем 9.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хэмжээ ба функцүүдээс их бөгөөд тасралтгүй байвал тэгш бус байдал

нэр томьёогоор нэгтгэж болно, өөрөөр хэлбэл

(46)

Тодорхой интегралын шинж чанарууд нь интегралын шууд тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.

Жишээ 5.Тодорхой интегралыг тооцоолох

4 ба 3-р теоремуудыг ашиглан эсрэг деривативуудыг олохдоо (7) ба (6) хүснэгтийн интегралуудыг олж авна.

Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл

Болъё е(x) – сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функц, ба Ф(x) нь түүний эсрэг дериватив юм. Тодорхой интегралыг авч үзье

(47)

ба дамжуулан тИнтеграцийн хувьсагчийг дээд хязгаартай андуурахгүйн тулд тодорхойлсон. Энэ нь өөрчлөгдөхөд Xтодорхой интеграл (47) мөн өөрчлөгддөг, i.e. энэ нь интеграцийн дээд хязгаарын функц юм X, бид үүнийг тэмдэглэдэг Ф(X), i.e.

(48)

Функц гэдгийг баталцгаая Ф(X) нь эсрэг дериватив юм е(x) = е(т). Үнэхээр ялгаж салгаж байна Ф(X), бид авдаг

учир нь Ф(x) – эсрэг дериватив е(x), А Ф(а) нь тогтмол утга юм.

Чиг үүрэг Ф(X) – хязгааргүй тооны эсрэг деривативуудын нэг е(x), тухайлбал тэр x = атэг рүү очдог. Хэрэв бид (48) тэгш байдалд оруулбал энэ мэдэгдлийг олж авна x = амөн өмнөх догол мөрийн 1-р теоремыг ашигла.

Тодорхой интегралыг хэсэгчилсэн интегралын аргаар, хувьсагчийг өөрчлөх аргаар тооцоолох

хаана, тодорхойлолтоор, Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Хэрэв бид интеграл дахь хувьсагчийг өөрчилвөл

дараа нь (16) томъёоны дагуу бид бичиж болно

Энэ илэрхийлэлд

эсрэг дериватив функц

Үнэн хэрэгтээ, дагуу түүний дериватив нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэм, тэнцүү байна

α ба β нь хувьсагчийн утгууд байг т, үүнд зориулсан функц

дагуу утгыг авдаг аТэгээд б, өөрөөр хэлбэл

Гэхдээ Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу ялгаа Ф(б) – Ф(а) Байна

Комплекс интеграл

Энэ нийтлэл нь тодорхойгүй интегралын сэдвийг төгсгөж, миний нэлээд төвөгтэй гэж үзсэн интегралуудыг багтаасан болно. Хичээлийг сайт дээр илүү хэцүү жишээг шинжлэхийг хүсч байгаагаа илэрхийлсэн зочдын давтан хүсэлтийн дагуу бүтээсэн.

Энэ бичвэрийг уншигч сайн бэлтгэгдсэн, интеграцийн үндсэн аргуудыг хэрхэн ашиглахаа мэддэг гэж үздэг. Дамми болон интегралд тийм ч итгэлтэй биш хүмүүс хамгийн эхний хичээлийг үзэх хэрэгтэй - Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ, та сэдвийг бараг эхнээс нь эзэмших боломжтой. Илүү туршлагатай оюутнууд миний нийтлэлд хараахан гараагүй байгаа интеграцийн техник, аргуудтай танилцаж болно.

Ямар интегралыг авч үзэх вэ?

Эхлээд бид шийдэлд дараалан ашигладаг үндэстэй интегралуудыг авч үзэх болно хувьсах солихТэгээд хэсгүүдээр нэгтгэх. Өөрөөр хэлбэл, нэг жишээнд хоёр техникийг нэгэн зэрэг хослуулсан болно. Тэгээд бүр илүү.

Дараа нь бид сонирхолтой, эх сурвалжтай танилцах болно интегралыг өөртөө багасгах арга. Цөөн хэдэн интегралыг ингэж шийддэг.

Хөтөлбөрийн гурав дахь дугаар нь өмнөх нийтлэлүүдэд кассын хажуугаар өнгөрч байсан нийлмэл бутархайн интегралууд байх болно.

Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нэмэлт интегралуудыг шинжлэх болно. Ялангуяа цаг хугацаа их шаарддаг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтаас зайлсхийх аргууд байдаг.

(2) Интегралд бид хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана.

(3) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Сүүлчийн интегралд нэн даруй функцийг дифференциал тэмдгийн доор тавина.

(4) Бид үлдсэн интегралуудыг авдаг. Логарифмд модулийн оронд хаалт хэрэглэж болно гэдгийг анхаарна уу, учир нь .

(5) Бид урвуу орлуулалтыг хийж, шууд орлуулахаас "te"-г илэрхийлнэ.

Масохист оюутнууд миний хийсэн шиг хариултыг ялгаж, анхны интегралыг гаргаж чадна. Үгүй ээ, би зөв утгаар нь шалгалт хийсэн =)

Таны харж байгаагаар шийдлийн явцад бид хоёроос илүү шийдлийн аргыг ашиглах шаардлагатай болсон тул ийм интегралтай ажиллахын тулд танд өөртөө итгэлтэй интеграцийн ур чадвар, бага зэрэг туршлага хэрэгтэй болно.

Практикт мэдээж квадрат язгуур нь илүү түгээмэл байдаг, энд гурван жишээ байна бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол

Эдгээр жишээнүүд нь ижил төрлийнх тул өгүүллийн төгсгөлд байгаа бүрэн шийдэл нь зөвхөн 2-р жишээнд зориулагдсан болно. Жишээ 3-4 нь ижил хариулттай байна. Шийдвэр гаргах эхэнд аль орлуулалтыг ашиглах нь ойлгомжтой гэж бодож байна. Би яагаад ижил төрлийн жишээг сонгосон бэ? Тэдний дүрд ихэвчлэн олддог. Илүү олон удаа, магадгүй, зүгээр л нэг зүйл .

Гэхдээ дандаа биш, арктангенс, синус, косинус, экспоненциал болон бусад функцүүдийн дор язгуур байдаг. шугаман функц, та нэг дор хэд хэдэн аргыг ашиглах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тохиолдолд "хялбар гарах" боломжтой, өөрөөр хэлбэл орлуулсны дараа шууд авч болох энгийн интегралыг олж авдаг. Дээр санал болгож буй ажлуудын хамгийн хялбар нь 4-р жишээ бөгөөд орлуулсны дараа харьцангуй энгийн интегралыг олж авдаг.

Интегралыг өөртөө багасгах замаар

Ухаантай, үзэсгэлэнтэй арга. Энэ төрлийн сонгодог бүтээлүүдийг харцгаая.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол

Үндэс дор квадрат бином байдаг бөгөөд интегралдах гэж оролдох үед энэ жишээданх хэдэн цагийн турш зовж шаналж болно. Ийм интегралыг хэсэг хэсгээр нь авч, өөртөө багасгадаг. Зарчмын хувьд энэ нь хэцүү биш юм. Хэрэв та яаж гэдгийг мэддэг бол.

Харж байгаа интегралыг латин үсгээр тэмдэглээд шийдлийг эхлүүлье.

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

(1) Нэр томъёогоор хуваах интеграл функцийг бэлтгэх.

(2) Бид интеграл функцийн нэр томьёогоор хуваагдана. Энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байж болох ч би үүнийг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно:

(3) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг.

(4) Сүүлийн интегралыг ("урт" логарифм) ав.

Одоо шийдлийн эхэн үеийг харцгаая:

Тэгээд эцэс хүртэл:

Юу болсон бэ? Бидний заль мэхийн үр дүнд интеграл өөрөө багассан!

Эхлэл ба төгсгөлийг тэнцүүлж үзье:

Нүүх зүүн талтэмдгийн өөрчлөлттэй:

Тэгээд бид хоёрыг авч явдаг баруун тал. Үр дүнд нь:

Тогтмол, хатуухан хэлэхэд өмнө нь нэмэх ёстой байсан, гэхдээ би үүнийг төгсгөлд нь нэмсэн. Энд ямар хатуу ширүүн байгааг уншихыг зөвлөж байна:

Жич: Илүү хатуу Эцсийн шатшийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна:

Тиймээс:

Тогтмолыг -аар дахин тодорхойлж болно. Яагаад дахин томилогдсон байж болох вэ? Учир нь тэр одоо ч гэсэн үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг ямар чутгууд ба энэ утгаараа тогтмол ба хоёрын хооронд ямар ч ялгаа байхгүй.
Үр дүнд нь:

Тогтмол өөрчлөлттэй ижил төстэй заль мэхийг өргөн ашигладаг дифференциал тэгшитгэл. Тэнд би хатуу байх болно. Энд би ийм эрх чөлөөг зөвхөн шаардлагагүй зүйлээр төөрөлдүүлэхгүйн тулд, интеграцийн аргад анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд л зөвшөөрч байна.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол

Бие даасан шийдлийн өөр нэг ердийн интеграл. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт. Өмнөх жишээн дээрх хариултаас ялгаатай байх болно!

Хэрэв доор байвал квадрат язгуурХэрэв квадрат гурвалжин олдвол ямар ч тохиолдолд шийдэл нь хоёр жишээнд бууна.

Жишээлбэл, интегралыг авч үзье . Таны хийх ёстой зүйл бол эхлээд бүрэн дөрвөлжин сонгоно уу:
.
Дараа нь шугаман орлуулалт хийгддэг бөгөөд энэ нь "ямар ч үр дагаваргүйгээр" хийдэг.
, үр дүнд нь интеграл . Танил зүйл байна, тийм үү?

Эсвэл квадрат бином бүхий энэ жишээ:
Бүрэн квадратыг сонгоно уу:
Шугаман орлуулсны дараа бид интегралыг олж авдаг бөгөөд үүнийг аль хэдийн хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан шийддэг.

Интегралыг өөртөө хэрхэн бууруулах талаар өөр хоёр ердийн жишээг авч үзье.
– экспоненциалыг синусаар үржүүлсэн интеграл;
– экспоненциалыг косинусаар үржүүлсэн интеграл.

Жагсаалтад орсон интегралуудад та хоёр удаа интегралдах шаардлагатай болно.

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол

Интеграл нь экспоненциалыг синусаар үржүүлсэн тоо юм.

Бид хэсэг хэсгээр нь хоёр удаа нэгтгэж, интегралыг өөртөө багасгадаг.

Хэсэгчилсэн давхар интегралын үр дүнд интеграл өөрөө багассан. Бид шийдлийн эхлэл ба төгсгөлийг тэнцүүлж байна:

Бид үүнийг зүүн тал руу тэмдгээр шилжүүлж, интегралыг илэрхийлнэ.

Бэлэн. Үүний зэрэгцээ баруун талыг самнахыг зөвлөж байна, i.e. илтгэгчийг хаалтнаас гаргаж, синус ба косинусыг хаалтанд "сайхан" дарааллаар байрлуул.

Одоо жишээний эхэнд, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар хэсэгчлэн нэгтгэх рүү буцъя:

Бид илтгэгчийг дараах байдлаар тодорхойлсон. Асуулт гарч ирнэ: энэ нь үргэлж тэмдгээр тэмдэглэгдэх ёстой үзүүлэлт мөн үү? Хэрэгцээгүй. Үнэн хэрэгтээ, авч үзсэн интегралд үндсэндээ хамаагүй, гэж юу гэсэн үг вэ, бид өөр замаар явж болох байсан:

Энэ яагаад боломжтой вэ? Экспоненциал нь өөрөө болж хувирдаг (дифференциал ба интегралын үед хоёулаа) синус болон косинус нь харилцан бие биедээ (дахин ялгах ба интегралын үед) хувирдаг.

Өөрөөр хэлбэл, бид тригонометрийн функцийг бас илэрхийлж болно. Гэхдээ авч үзсэн жишээн дээр фракцууд гарч ирэх тул энэ нь оновчтой биш юм. Хэрэв та хүсвэл хоёр дахь аргыг ашиглан энэ жишээг шийдэхийг оролдож болно.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдвэрлэхээсээ өмнө энэ тохиолдолд экспоненциал эсвэл тригонометрийн функц гэж тодорхойлох нь юу илүү ашигтай вэ гэдгийг бодоорой. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Мэдээжийн хэрэг, энэ хичээлийн ихэнх хариултыг ялгах замаар шалгахад хялбар гэдгийг мартаж болохгүй!

Үзсэн жишээнүүд нь хамгийн төвөгтэй биш байсан. Практикт интеграл нь тогтмол нь экспонент болон тригонометрийн функцийн аргументад хоёуланд нь байх үед илүү түгээмэл байдаг, жишээлбэл: . Ийм интегралд олон хүмүүс төөрөлдөх болно, би өөрөө ихэвчлэн эргэлздэг. Уусмал дахь фракцууд гарч ирэх магадлал өндөр бөгөөд анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ямар нэг зүйлийг алдах нь маш амархан байдаг. Нэмж дурдахад, тэмдгээр алдаа гарах магадлал өндөр байдаг бөгөөд энэ нь нэмэлт бэрхшээлийг үүсгэдэг.

Эцсийн шатанд үр дүн нь ихэвчлэн дараах байдалтай байдаг.

Шийдлийн төгсгөлд ч гэсэн та маш болгоомжтой байж, фракцуудыг зөв ойлгох хэрэгтэй.

Комплекс бутархайг нэгтгэх

Бид хичээлийн экватор руу аажмаар ойртож, бутархайн интегралуудыг авч үзэж эхэлнэ. Дахин хэлэхэд тэдгээр нь бүгд маш нарийн төвөгтэй биш, зүгээр л нэг шалтгааны улмаас жишээнүүд нь бусад нийтлэлд бага зэрэг "сэдвээс гадуур" байсан.

Үндэсийн сэдвийг үргэлжлүүлж байна

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол

Үндэс дор хуваагч дээр квадрат гурвалсан ба язгуурын гадна талд “X” хэлбэртэй “хавсралт” байна. Энэ төрлийн интегралыг стандарт орлуулалт ашиглан шийдэж болно.

Бид шийднэ:

Энд орлуулах нь энгийн:

Солигдсоны дараах амьдралыг харцгаая:

(1) Орлуулсны дараа бид хүртэл бууруулна Ерөнхий хуваарьүндэс дор байгаа нэр томъёо.
(2) Бид үүнийг үндэснээс нь гаргаж авдаг.
(3) Тоолуур ба хуваагчийг -аар багасгасан. Үүний зэрэгцээ, үндэс дор би нөхцөлүүдийг тохиромжтой дарааллаар дахин зохион байгуулав. Зарим туршлагатай бол (1), (2) алхамуудыг алгасаж, тайлбар хийсэн үйлдлүүдийг амаар хийж болно.
(4) Хичээлээс санаж байгаагаар үүссэн интеграл Зарим бутархайг нэгтгэх, шийдвэрлэж байна дөрвөлжин олборлох бүрэн арга. Бүрэн квадратыг сонгоно уу.
(5) Интегралчлалаар бид ердийн "урт" логарифмийг олж авдаг.
(6) Бид урвуу солих ажлыг гүйцэтгэдэг. Хэрэв эхэндээ , дараа нь буцаж: .
(7) Эцсийн үйлдэл нь үр дүнг засахад чиглэгддэг: язгуурын дор бид нэр томъёог дахин нийтлэг хуваагч руу авчирч, үндэснээс нь гаргаж авдаг.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд ганц "X" дээр тогтмолыг нэмсэн бөгөөд орлуулах нь бараг ижил байна:

Нэмэлт хийх ёстой цорын ганц зүйл бол орлуулалтаас "x" -ийг илэрхийлэх явдал юм.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Заримдаа ийм интегралд язгуур дор квадрат бином байж болох бөгөөд энэ нь шийдлийн аргыг өөрчилдөггүй, бүр илүү хялбар байх болно. Ялгааг мэдэр:

Жишээ 11

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 12

Тодорхойгүй интегралыг ол

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариултууд. Жишээ 11 нь яг таарч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй бином интеграл, шийдвэрлэх аргыг ангид хэлэлцсэн Иррационал функцүүдийн интегралууд.

2-р зэрэглэлийн задрахгүй олон гишүүнтийн интеграл

(хүлээгчийн олон гишүүнт)

Илүү ховор, гэхдээ энд олддог практик жишээнүүдинтегралын төрөл.

Жишээ 13

Тодорхойгүй интегралыг ол

Гэхдээ жишээ рүүгээ буцъя азын тоо 13 (Үнэнийг хэлэхэд би буруу таамаглаагүй). Энэ интеграл нь хэрвээ та хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байгаа бол нэлээд бухимдал төрүүлдэг зүйлсийн нэг юм.

Шийдэл нь хиймэл өөрчлөлтөөс эхэлдэг:

Хүн бүр тоологчийг хуваагч гишүүнээр хуваахыг аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна.

Үүссэн интегралыг дараах хэсгүүдэд хуваана.

Маягтын интегралын хувьд (- натурал тоо) татсан давтагдахбууруулах томъёо:
, Хаана - интеграл нэг градусаар бага.

Шийдвэрлэсэн интегралын хувьд энэ томьёо зөв эсэхийг шалгацгаая.
Энэ тохиолдолд: , , бид томъёог ашиглана:

Таны харж байгаагаар хариултууд ижил байна.

Жишээ 14

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Загварын шийдэл нь дээрх томъёог хоёр удаа дараалан ашигладаг.

Хэрэв зэрэгтэй бол хуваагдашгүйдөрвөлжин гурвалсан, дараа нь төгс квадратыг тусгаарлах замаар уусмалыг бином болгон бууруулна, жишээлбэл:

Тоолуурт нэмэлт олон гишүүнт байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд тодорхойгүй коэффициентийн аргыг хэрэглэж, интеграл функцийг бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ. Гэхдээ миний практикт ийм жишээ байдаг хэзээ ч уулзаагүйтиймээс би үүнийг алдсан Энэ тохиолдолднийтлэлд Бутархай-рационал функцүүдийн интеграл, Би үүнийг одоо алгасах болно. Хэрэв та ийм интегралтай тулгарсан хэвээр байгаа бол сурах бичгийг хараарай - тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Материалыг (энгийн ч гэсэн) оруулахыг зөвлөдөггүй гэж би бодож байна, тааралдах магадлал нь тэг болох хандлагатай байдаг.

Нарийн төвөгтэй тригонометрийн функцуудыг нэгтгэх

Ихэнх жишээнүүдийн "цогцолбор" гэсэн нэр томъёо нь ихэвчлэн нөхцөлт байдаг. Өндөр чадлын шүргэгч ба котангентуудаас эхэлье. Ашигласан шийдлийн аргын үүднээс авч үзвэл тангенс ба котангенс нь бараг ижил зүйл тул би тангенсийн талаар илүү их ярих болно, энэ нь интегралыг шийдэх үзүүлсэн арга нь котангентын хувьд ч хүчинтэй гэдгийг илтгэнэ.

Дээрх хичээл дээр бид үзсэн бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт-аас тодорхой төрлийн интегралыг шийдвэрлэх тригонометрийн функцууд. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын сул тал нь түүнийг ашигласнаар тооцоолол хийхэд хүндрэлтэй, төвөгтэй интеграл үүсдэг. Мөн зарим тохиолдолд бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтаас зайлсхийх боломжтой!

Нэгийн интегралыг синусаар хуваасан өөр нэг каноник жишээг авч үзье.

Жишээ 17

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энд та бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглаж, хариултыг авч болно, гэхдээ илүү оновчтой арга бий. Би алхам бүрийн тайлбар бүхий бүрэн шийдлийг өгөх болно:

(1) Бид давхар өнцгийн синусын тригонометрийн томьёог ашигладаг.
(2) Бид зохиомол хувиргалт хийдэг: хуваарьт хувааж, -ээр үржүүлнэ.
(3) Бид хуваагч дахь сайн мэддэг томьёог ашиглан бутархайг шүргэгч болгон хувиргана.
(4) Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг.
(5) Интегралыг ав.

Хос энгийн жишээнүүдбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 18

Тодорхойгүй интегралыг ол

Анхаар: Хамгийн эхний алхам бол багасгах томъёог ашиглах явдал юм өмнөх жишээтэй төстэй үйлдлүүдийг болгоомжтой хийх хэрэгтэй.

Жишээ 19

Тодорхойгүй интегралыг ол

За, энэ бол маш энгийн жишээ юм.

Хичээлийн төгсгөлд шийдлүүд болон хариултуудыг бөглөнө үү.

Одоо хэн ч интегралтай холбоотой асуудал гарахгүй гэж би бодож байна:
гэх мэт.

Аргын санаа юу вэ? Гол санаа нь хувиргалтыг ашиглан, тригонометрийн томъёозөвхөн шүргэгч ба шүргэгчийн деривативыг интегралд зохион байгуул. Өөрөөр хэлбэл, бид солих тухай ярьж байна: . 17-19-р жишээн дээр бид энэ орлуулалтыг ашигласан боловч интегралууд нь маш энгийн байсан тул функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулснаар ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэсэн.

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг би дээр дурдсанчлан котангентын хувьд хийж болно.

Дээрх орлуулалтыг хэрэглэх албан ёсны урьдчилсан нөхцөл бас бий.

Косинус ба синусын зэрэглэлийн нийлбэр нь сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо юм, Жишээлбэл:

интегралын хувьд – сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо.

! Анхаарна уу : хэрэв интеграл нь ЗӨВХӨН синус эсвэл ЗӨВХӨН косинус агуулж байвал интегралыг мөн сөрөг сондгой градусаар авна (хамгийн энгийн тохиолдлуудыг жишээ №17, 18-д үзүүлэв).

Энэ дүрэмд үндэслэн хэд хэдэн илүү утга учиртай ажлыг авч үзье.

Жишээ 20

Тодорхойгүй интегралыг ол

Синус ба косинусын зэрэглэлийн нийлбэр: 2 – 6 = –4 нь сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо бөгөөд энэ нь интегралыг шүргэгч болон түүний дериватив болгон бууруулж болно гэсэн үг юм.

(1) хуваагчийг өөрчилье.
(2) Сайн мэддэг томьёог ашиглан бид .
(3) Хусагчийг өөрчилье.
(4) Бид томъёог ашигладаг .
(5) Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг.
(6) Бид солих ажлыг гүйцэтгэдэг. Илүү туршлагатай оюутнууд орлуулалт хийхгүй байж болох ч шүргэгчийг нэг үсгээр солих нь дээр - төөрөлдөх эрсдэл бага байдаг.

Жишээ 21

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Түр хүлээгээрэй, аваргын тойргууд эхлэх гэж байна =)

Ихэнхдээ интеграл нь "hodgepodge" агуулдаг:

Жишээ 22

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэхүү интеграл нь эхлээд шүргэгчийг агуулдаг бөгөөд энэ нь тэр даруйд аль хэдийн танил болсон бодолд хүргэдэг:

Бүх зүйлийг дээр дурдсан тул би хиймэл өөрчлөлтийг эхэнд нь, үлдсэн алхмуудыг тайлбаргүйгээр орхих болно.

Хос бүтээлч жишээнүүдбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 23

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 24

Тодорхойгүй интегралыг ол

Тийм ээ, тэдгээрт мэдээжийн хэрэг та синус ба косинусын хүчийг бууруулж, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглаж болно, гэхдээ шүргэгчээр дамжуулан шийдэл нь илүү үр дүнтэй бөгөөд богино байх болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариултууд