අහඹු විචල්‍යයක අපේක්ෂාව සහ විචලනය පිළිබඳ සූත්‍රය. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව

දැනටමත් දන්නා පරිදි, බෙදා හැරීමේ නීතිය අහඹු විචල්‍යයක් සම්පූර්ණයෙන්ම සංලක්ෂිත කරයි. කෙසේ වෙතත්, බෙදාහැරීමේ නීතිය බොහෝ විට නොදන්නා අතර කෙනෙකුට අඩු තොරතුරු වලට සීමා විය යුතුය. සමහර විට අහඹු විචල්‍යයක් සම්පූර්ණයෙන් විස්තර කරන සංඛ්‍යා භාවිතා කිරීම ඊටත් වඩා ලාභදායී වේ; එවැනි අංක කැඳවනු ලැබේ සංඛ්යාත්මක ලක්ෂණ අහඹු විචල්යය. ගණිතමය අපේක්ෂාව වැදගත් සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ වලින් එකකි.

පහත දැක්වෙන පරිදි ගණිතමය අපේක්ෂාව අහඹු විචල්‍යයේ සාමාන්‍ය අගයට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ. බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා, ගණිතමය අපේක්ෂාව දැන ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු වෙඩික්කරු විසින් ලබා ගත් ලකුණු සංඛ්‍යාව පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාව දෙවැන්නාට වඩා වැඩි බව දන්නේ නම්, පළමු වෙඩික්කරු සාමාන්‍යයෙන් දෙවැන්නාට වඩා වැඩි ලකුණු ලබා ගන්නා අතර එම නිසා වඩා හොඳින් වෙඩි තබයි. දෙවන. ගණිතමය අපේක්ෂාව අහඹු විචල්‍යයක් පිළිබඳ එහි ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ නීතියට වඩා බෙහෙවින් අඩු තොරතුරු ලබා දුන්නද, ලබා දී ඇති එකක් සහ තවත් බොහෝ ගැටලු විසඳීම සඳහා, ගණිතමය අපේක්ෂාව පිළිබඳ දැනුම ප්‍රමාණවත් වේ.

§ 2. විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව

ගණිතමය අපේක්ෂාවවිවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් එහි ඇති සියලුම අගයන් සහ ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුව ලෙස හැඳින්වේ.

සසම්භාවී විචල්‍යයට ඉඩ දෙන්න x අගයන් පමණක් ගත හැක x 1 , X 2 , ..., x පී , එහි සම්භාවිතාව පිළිවෙළින් සමාන වේ ආර් 1 , ආර් 2 , . . ., ආර් පී . එවිට ගණිතමය අපේක්ෂාව එම්(x) අහඹු විචල්යය x සමානාත්මතාවයෙන් අර්ථ දක්වා ඇත

එම්(x) = x 1 ආර් 1 + x 2 ආර් 2 + … + x n පි n .

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් නම් x ගණනය කළ හැකි අගයන් සමූහයක් ගනී

එම්(x)=

එපමනක් නොව, සමානාත්මතාවයේ දකුණු පස ඇති ශ්‍රේණිය නිරපේක්ෂ වශයෙන් අභිසාරී වුවහොත් ගණිතමය අපේක්ෂාව පවතී.

අදහස් දක්වන්න. විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව අහඹු නොවන (ස්ථාවර) විචල්‍යයක් බව අර්ථ දැක්වීමෙන් එය අනුගමනය කරයි. මෙම ප්‍රකාශය පසුව නැවත නැවත භාවිතා කරන බැවින්, ඔබ මෙම ප්‍රකාශය මතක තබා ගන්නා ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාවද නියත අගයක් බව පසුව පෙන්වනු ඇත.

උදාහරණ 1අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න x, එහි බෙදා හැරීමේ නීතිය දැන ගැනීම:

විසඳුමක්. අපේක්ෂිත ගණිතමය අපේක්ෂාව අහඹු විචල්‍යයක හැකි සියලු අගයන් සහ ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ:

එම්(x)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

උදාහරණ 2සිදුවීමක සිදුවීම් සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න නමුත්එක් අත්හදා බැලීමකදී, සිදුවීමක සම්භාවිතාව නම් නමුත්සමාන වේ ආර්.

විසඳුමක්. අහඹු අගය x - සිදුවීමේ සිදුවීම් ගණන නමුත්එක් පරීක්ෂණයකදී - ගත හැක්කේ අගයන් දෙකක් පමණි: x 1 = 1 (සිද්ධිය නමුත්සිදු විය) සම්භාවිතාවක් සහිතව ආර්හා x 2 = 0 (සිද්ධිය නමුත්සිදු නොවීය) සම්භාවිතාවක් සහිතව q= 1 -ආර්.අපේක්ෂිත ගණිතමය අපේක්ෂාව

එම්(x)= 1* පි+ 0* q= පි

ඒ නිසා, එක් අත්හදා බැලීමකදී සිදුවීමක සිදුවීම් ගණන පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාව මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවට සමාන වේ.මෙම ප්රතිඵලය පහත භාවිතා කරනු ඇත.

§ 3. ගණිතමය අපේක්ෂාවේ සම්භාවිතා අර්ථය

නිෂ්පාදනය කරමු පීඅහඹු විචල්‍යය වන පරීක්ෂණ x පිළිගත්තා ටී 1 වාර වටිනාකම x 1 , ටී 2 වාර වටිනාකම x 2 ,...,එම් කේ වාර වටිනාකම x කේ , හා ටී 1 + ටී 2 + …+ටී වෙත = පි.එවිට ලබාගත් සියලුම අගයන්හි එකතුව x, සමාන වේ

x 1 ටී 1 + x 2 ටී 2 + ... + x වෙත ටී වෙත .

අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයන්න අහඹු විචල්‍යයක් මගින් පිළිගන්නා සියලුම අගයන්, ඒ සඳහා අපි සොයාගත් එකතුව බෙදන්නෙමු මුළු සංඛ්යාවපරීක්ෂණ:

= (x 1 ටී 1 + x 2 ටී 2 + ... + x වෙත ටී වෙත)/පී,

= x 1 (එම් 1 / n) + x 2 (එම් 2 / n) + ... + x වෙත (ටී වෙත /පී). (*)

සම්බන්ධය බව දැකීම එම් 1 / n- සාපේක්ෂ සංඛ්යාතය ඩබ්ලිව් 1 අගයන් x 1 , එම් 2 / n - සාපේක්ෂ සංඛ්යාතය ඩබ්ලිව් 2 අගයන් x 2 යනාදී වශයෙන්, අපි සම්බන්ධය (*) පහත පරිදි ලියන්නෙමු:

=x 1 ඩබ්ලිව් 1 + x 2 ඩබ්ලිව් 2 + .. . + x වෙත ඩබ්ලිව් කේ . (**)

අත්හදා බැලීම් සංඛ්යාව ප්රමාණවත් තරම් විශාල බව අපි උපකල්පනය කරමු. එවිට සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතය සිදුවීම සිදුවීමේ සම්භාවිතාවට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ (මෙය IX, § 6 පරිච්ඡේදයෙන් ඔප්පු වේ):

ඩබ්ලිව් 1 පි 1 , ඩබ්ලිව් 2 පි 2 , …, ඩබ්ලිව් කේ පි කේ .

(**) සම්බන්ධිත සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාත අනුරූප සම්භාවිතාවන් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

x 1 පි 1 + x 2 ආර් 2 + … + x වෙත ආර් වෙත .

දකුණු කොටසමෙම ආසන්න සමානාත්මතාවය වේ එම්(x). ඒ නිසා,

එම්(x).

ලබාගත් ප්රතිඵලයේ සම්භාවිතා අර්ථය පහත පරිදි වේ: ගණිතමය අපේක්ෂාව ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ(වඩාත් නිවැරදි වන තරමට අත්හදා බැලීම් ගණන වැඩි වේ) අහඹු විචල්‍යයේ නිරීක්ෂිත අගයන්හි අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය.

සටහන 1. ගණිතමය අපේක්ෂාව කුඩාම අගයට වඩා වැඩි බවත්, හැකි විශාලතම අගයන්ට වඩා අඩු බවත් දැකීම පහසුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සංඛ්‍යා අක්ෂයේ, හැකි අගයන් අපේක්ෂිත අගයට වම් සහ දකුණට පිහිටා ඇත. මෙම අර්ථයෙන්, අපේක්ෂාව බෙදාහැරීමේ ස්ථානය සංලක්ෂිත වන අතර එබැවින් බොහෝ විට එය හඳුන්වනු ලැබේ බෙදා හැරීමේ මධ්යස්ථානයක්.

මෙම පදය යාන්ත්‍ර විද්‍යාවෙන් ලබාගෙන ඇත: ස්කන්ධය නම් ආර් 1 , ආර් 2 , ..., ආර් පී abscissas සහිත ස්ථානවල පිහිටා ඇත x 1 , x 2 , ..., x n, හා
එවිට ගුරුත්වාකර්ෂණ කේන්ද්‍රයේ abscissa

x c =
.

එය දී ඇති විට
= එම් (x) හා
අපට ලැබෙනවා එම්(x)= x සමඟ .

එබැවින්, ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍ය පද්ධතියක ගුරුත්වාකර්ෂණ කේන්ද්‍රයේ abscissa වන අතර, ඒවායේ abscissa අහඹු විචල්‍යයක විය හැකි අගයන්ට සමාන වන අතර ස්කන්ධයන් ඒවායේ සම්භාවිතාවන්ට සමාන වේ.

සටහන 2. "අපේක්ෂාව" යන පදයේ මූලාරම්භය සම්භාවිතා න්‍යායේ (XVI-XVII සියවස්) මතුවීමේ ආරම්භක කාල පරිච්ඡේදය සමඟ සම්බන්ධ වේ, එහි විෂය පථය සූදුවට සීමා විය. ක්රීඩකයා අපේක්ෂිත ගෙවීමේ සාමාන්ය අගය හෝ, වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, ගෙවීමේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ගැන උනන්දු විය.

එක් එක් තනි අගය සම්පූර්ණයෙන්ම තීරණය වන්නේ එහි බෙදා හැරීමේ කාර්යය මගිනි. එසේම, ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීම සඳහා, සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ කිහිපයක් දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ, එයට ස්තූතිවන්ත වන පරිදි අහඹු විචල්‍යයක ප්‍රධාන ලක්ෂණ සංක්ෂිප්ත ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කිරීමට හැකි වේ.

මෙම ප්‍රමාණයන් මූලික වශයෙන් වේ අපේක්ෂිත අගයහා විසුරුම .

අපේක්ෂිත අගය - සම්භාවිතා න්‍යායේ අහඹු විචල්‍යයක සාමාන්‍ය අගය. ලෙස නම් කර ඇත.

වැඩිපුරම සරල ආකාරයකින්අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව X(w), ලෙස දක්නට ලැබේ අනුකලනයලෙබෙස්ගුසම්භාවිතා මිනුම සම්බන්ධයෙන් ආර් මුල් සම්භාවිතා අවකාශය

ඔබට අගයක ගණිතමය අපේක්ෂාව ලෙසද සොයාගත හැකිය Lebesgue අනුකලනයසිට xසම්භාවිතා බෙදා හැරීම මගින් ආර් එක්ස්ප්රමාණ x:

හැකි සියලු අගයන් කට්ටලය කොහෙද x.

අහඹු විචල්‍යයකින් ශ්‍රිත පිළිබඳ ගණිතමය අපේක්ෂාව xබෙදා හැරීම හරහා ය ආර් එක්ස්. උදාහරණ වශයෙන්, නම් x- සහ හි අගයන් සහිත අහඹු විචල්‍යය f(x)- නොපැහැදිලි බොරෙල්කාර්යය x , එවිට:

අ F(x)- බෙදා හැරීමේ කාර්යය x, එවිට ගණිතමය අපේක්ෂාව නියෝජනය වේ අනුකලනයLebesgue - Stieltjes (හෝ Riemann - Stieltjes):

ඒකාබද්ධතාවය අතරතුර xකුමන අර්ථයෙන් ( * ) අනුකලනයේ පරිමිතතාවයට අනුරූප වේ

විශේෂිත අවස්ථාවන්හිදී, නම් xඑයට තිබෙනවා විවික්ත බෙදා හැරීමවිය හැකි අගයන් සමඟ x k, k=1, 2, . , සහ සම්භාවිතා , එවිට

නම් xසම්පූර්ණයෙන්ම ඇත අඛණ්ඩ බෙදා හැරීමසම්භාවිතා ඝනත්වය සමඟ p(x), එවිට

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ගණිතමය අපේක්ෂාවක පැවැත්ම අනුරූප ශ්‍රේණියේ හෝ අනුකලයේ නිරපේක්ෂ අභිසාරීතාවයට සමාන වේ.

අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණ.

• නියත අගයක ගණිතමය අපේක්ෂාව මෙම අගයට සමාන වේ:

සී- නියත;

• M=C.M[X]

• අහඹු ලෙස ගත් අගයන්හි එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ඒවායේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ එකතුවට සමාන වේ:

• ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල ගුණිතයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව = ඒවායේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ ප්‍රතිඵලය:

M=M[X]+M[Y]

නම් xහා වයිස්වාධීන.

මාලාව අභිසාරී නම්:

ගණිතමය අපේක්ෂාව ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම.

විවික්ත අහඹු විචල්‍යවල ගුණ: ඒවායේ සියලුම අගයන් ස්වභාවික සංඛ්‍යා මගින් නැවත අංකනය කළ හැක; සෑම අගයක්ම ශුන්‍ය නොවන සම්භාවිතාවක් සමඟ සම කරන්න.

1. පිළිවෙලින් යුගල ගුණ කරන්න: x iමත pi.

2. එක් එක් යුගලයේ නිෂ්පාදිතය එකතු කරන්න x i p i.

උදාහරණ වශයෙන්, සදහා n = 4 :

විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයපියවරෙන් පියවර, ධනාත්මක ලකුණක් ඇති සම්භාවිතාවන් ඇති ස්ථානවල එය හදිසියේම වැඩිවේ.

උදාහරණයක්:සූත්‍රය මගින් ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න.

විවික්ත සහ අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යවල මූලික සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ: ගණිතමය අපේක්ෂාව, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය. ඔවුන්ගේ ගුණාංග සහ උදාහරණ.

බෙදාහැරීමේ නීතිය (බෙදාහැරීමේ කාර්යය සහ බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණි හෝ සම්භාවිතා ඝනත්වය) සසම්භාවී විචල්‍යයක හැසිරීම සම්පූර්ණයෙන්ම විස්තර කරයි. නමුත් ගැටළු ගණනාවකදී ඉදිරිපත් කරන ලද ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ප්‍රමාණයේ සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ කිහිපයක් දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ (උදාහරණයක් ලෙස, එහි සාමාන්‍ය අගය සහ එයින් විය හැකි අපගමනය). විවික්ත අහඹු විචල්‍යවල ප්‍රධාන සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ සලකා බලන්න.

අර්ථ දැක්වීම 7.1.ගණිතමය අපේක්ෂාවවිවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් යනු එහි හැකි අගයන් සහ ඒවාට අනුරූප සම්භාවිතාවන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුවයි:

එම්(x) = x 1 ආර් 1 + x 2 ආර් 2 + … + x p r p(7.1)

සසම්භාවී විචල්‍යයක විය හැකි අගයන් සංඛ්‍යාව අසීමිත නම්, ප්‍රතිඵල ශ්‍රේණිය නිරපේක්ෂ වශයෙන් අභිසාරී වේ නම්.

සටහන 1.ගණිතමය අපේක්ෂාව සමහර විට හැඳින්වේ බර සහිත සාමාන්යය, එය අහඹු විචල්‍යයේ නිරීක්ෂිත අගයන්හි අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට ආසන්න වශයෙන් සමාන වන බැවින් විශාල සංඛ්යාඅත්හදා බැලීම්.

සටහන 2.ගණිතමය අපේක්ෂාවේ නිර්වචනය අනුව, එහි අගය අහඹු විචල්‍යයක හැකි කුඩාම අගයට වඩා අඩු නොවන අතර විශාලතම අගයට වඩා වැඩි නොවේ.

සටහන 3.විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව වේ අහඹු නොවන(නිරන්තර. පසුව අපට පෙනෙනු ඇත අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයන් සඳහාද එයම සත්‍ය වේ.

උදාහරණ 1. අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න x- දෝෂ සහිත කොටස් 2 ක් ඇතුළුව කොටස් 10 ක කණ්ඩායමකින් තෝරාගත් තුනක් අතර සම්මත කොටස් ගණන. සඳහා බෙදාහැරීමේ මාලාවක් රචනා කරමු x. ගැටලුවේ තත්වය අනුව එය පහත දැක්වේ x 1, 2, 3 අගයන් ගත හැක. එවිට

උදාහරණ 2. අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව නිර්වචනය කරන්න x- ලාංඡනයේ පළමු පෙනුම තෙක් කාසියේ කාසි ගණන. මෙම ප්‍රමාණයට අසීමිත අගයන් ලබා ගත හැක (හැකි අගයන් කට්ටලය කුලකය වේ. ස්වභාවික සංඛ්යා) එහි බෙදාහැරීමේ මාලාවේ ආකෘතිය ඇත:

x			…	පී	…
ආර්	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)පී	…

+ (ගණනය කරන විට, අසීමිත ලෙස අඩු වන එකතුව සඳහා සූත්‍රය ජ්යාමිතික ප්රගතිය: , කොහෙද ).

ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග.

1) නියතයක ගණිතමය අපේක්ෂාව නියතයටම සමාන වේ:

එම්(සිට) = සිට.(7.2)

සාක්ෂි. අපි සලකා බැලුවොත් සිටඑක් අගයක් පමණක් ගන්නා විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් ලෙස සිටසම්භාවිතාව සමඟ ආර්= 1, එවිට එම්(සිට) = සිට?1 = සිට.

2) අපේක්ෂිත ලකුණෙන් නියත සාධකයක් ගත හැකිය:

එම්(එස්.එච්) = සෙමී(x). (7.3)

සාක්ෂි. අහඹු විචල්යය නම් xබෙදාහැරීමේ මාලාව මගින් ලබා දී ඇත

ඉන්පසු එම්(එස්.එච්) = Cx 1 ආර් 1 + Cx 2 ආර් 2 + … + Cx p r p = සිට(x 1 ආර් 1 + x 2 ආර් 2 + … + x p r p) = සෙමී(x).

අර්ථ දැක්වීම 7.2.සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ ස්වාධීන, ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙකුගේ බෙදා හැරීමේ නීතිය අනෙකා ගෙන ඇති අගයන් මත රඳා නොපවතී නම්. එසේ නොමැතිනම් අහඹු විචල්යයන් යැපෙන.

අර්ථ දැක්වීම 7.3.අපි කතා කරමු ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල නිෂ්පාදනයක් xහා වයි අහඹු විචල්යය XY, හැකි අගයන් හැකි සියලු අගයන්හි නිෂ්පාදනවලට සමාන වේ xහැකි සියලු අගයන් සඳහා වයි, සහ ඒවාට අනුරූප වන සම්භාවිතාවන් සාධකවල සම්භාවිතාවන්ගේ නිෂ්පාදන වලට සමාන වේ.

3) ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක ගුණිතයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ඒවායේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ:

එම්(XY) = එම්(x)එම්(වයි). (7.4)

සාක්ෂි. ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, අපි නඩුවට සීමා කරමු xහා වයිහැකි අගයන් දෙකක් පමණක් ගන්න:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, එම්(XY) = x 1 වයි 1 ?පි 1 g 1 + x 2 වයි 1 ?පි 2 g 1 + x 1 වයි 2 ?පි 1 g 2 + x 2 වයි 2 ?පි 2 g 2 = වයි 1 g 1 (x 1 පි 1 + x 2 පි 2) + + වයි 2 g 2 (x 1 පි 1 + x 2 පි 2) = (වයි 1 g 1 + වයි 2 g 2) (x 1 පි 1 + x 2 පි 2) = එම්(x)?එම්(වයි).

සටහන 1.ඒ හා සමානව, සාධකවල වඩාත් හැකි අගයන් සඳහා කෙනෙකුට මෙම දේපල ඔප්පු කළ හැකිය.

සටහන 2. 3 වන ගුණාංගය ගණිතමය ප්‍රේරණයේ ක්‍රමය මගින් ඔප්පු කරන ඕනෑම ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය ගණනක ගුණිතයක් සඳහා වලංගු වේ.

අර්ථ දැක්වීම 7.4.අපි නිර්වචනය කරමු සසම්භාවී විචල්‍ය එකතුව xහා වයි අහඹු විචල්‍යයක් ලෙස X + Y, හැකි අගයන් එක් එක් හැකි අගයේ එකතුවට සමාන වේ xහැකි සෑම වටිනාකමක් සමඟම වයි; එවැනි එකතුවන්හි සම්භාවිතාව පදවල සම්භාවිතාවන්ගේ නිෂ්පාදන වලට සමාන වේ (යැපෙන අහඹු විචල්‍යයන් සඳහා - දෙවැන්නෙහි කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව මගින් එක් පදයක සම්භාවිතාවේ නිෂ්පාදන).

4) සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක (යැපෙන හෝ ස්වාධීන) එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පදවල ගණිතමය අපේක්ෂාවල එකතුවට සමාන වේ:

එම් (X+Y) = එම් (x) + එම් (වයි). (7.5)

සාක්ෂි.

දේපල සාධනය 3 හි ලබා දී ඇති බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියෙන් ලබා දී ඇති අහඹු විචල්‍යයන් නැවත සලකා බලන්න. එවිට හැකි අගයන් X+Yවේ x 1 + හිදී 1 , x 1 + හිදී 2 , x 2 + හිදී 1 , x 2 + හිදී 2. ඒවායේ සම්භාවිතාව පිළිවෙළින් ලෙස දක්වන්න ආර් 11 , ආර් 12 , ආර් 21 සහ ආර් 22. අපි සොයා බලමු එම්(x+වයි) = (x 1 + වයි 1)පි 11 + (x 1 + වයි 2)පි 12 + (x 2 + වයි 1)පි 21 + (x 2 + වයි 2)පි 22 =

= x 1 (පි 11 + පි 12) + x 2 (පි 21 + පි 22) + වයි 1 (පි 11 + පි 21) + වයි 2 (පි 12 + පි 22).

ඒක ඔප්පු කරමු ආර් 11 + ආර් 22 = ආර්එක . ඇත්ත වශයෙන්ම, එම සිදුවීම X+Yඅගයන් ගනීවි x 1 + හිදී 1 හෝ x 1 + හිදී 2 සහ එහි සම්භාවිතාව ආර් 11 + ආර් 22 යන සිදුවීම සමග සමපාත වේ x = x 1 (එහි සම්භාවිතාව වේ ආර්එක). ඒ හා සමානව, එය ඔප්පු කර ඇත පි 21 + පි 22 = ආර් 2 , පි 11 + පි 21 = g 1 , පි 12 + පි 22 = g 2. අදහස්,

එම්(X+Y) = x 1 පි 1 + x 2 පි 2 + වයි 1 g 1 + වයි 2 g 2 = එම් (x) + එම් (වයි).

අදහස් දක්වන්න. 4 ගුණයෙන් ඇඟවෙන්නේ ඕනෑම අහඹු විචල්‍ය ගණනක එකතුව නියමවල අපේක්ෂිත අගයන්හි එකතුවට සමාන බවයි.

උදාහරණයක්. පහක් මත රෝල් කරන ලද ලකුණු සංඛ්‍යාවේ එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න දාදු කැටය.

එක් මරණයක් විසි කිරීමේදී වැටුණු ලකුණු සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයා ගනිමු:

එම්(x 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) එකම අංකය ඕනෑම ඩයි මත වැටුණු ලකුණු සංඛ්‍යාවේ ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වේ. එබැවින්, දේපල 4 අනුව එම්(x)=

විසුරුම.

අහඹු විචල්‍යයක හැසිරීම ගැන අදහසක් ඇති කර ගැනීම සඳහා එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව පමණක් දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් නොවේ. අහඹු විචල්‍ය දෙකක් සලකා බලන්න: xහා වයි, පෝරමයේ බෙදාහැරීමේ මාලාව මගින් ලබා දී ඇත

x
ආර්	0,1	0,8	0,1

වයි
පි	0,5	0,5

අපි සොයා බලමු එම්(x) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, එම්(වයි) \u003d 0? 0.5 + 100? 0.5 \u003d 50. ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්‍රමාණ දෙකෙහිම ගණිතමය අපේක්ෂා සමාන වේ, නමුත් නම් එච්.එම්(x) සසම්භාවී විචල්‍යයක හැසිරීම හොඳින් විස්තර කරයි, එහි වඩාත්ම විය හැකි අගය (එපමනක් නොව, ඉතිරි අගයන් 50 ට වඩා තරමක් වෙනස් වේ), පසුව අගයන් වයිසැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ එම්(වයි) එබැවින්, ගණිතමය අපේක්ෂාව සමඟ, අහඹු විචල්‍යයේ අගයන් එයින් කොපමණ ප්‍රමාණයක් අපගමනය වේද යන්න දැන ගැනීම යෝග්‍ය වේ. මෙම දර්ශකය ගුනාංගීකරනය කිරීම සඳහා විසරණය භාවිතා වේ.

අර්ථ දැක්වීම 7.5.විසුරුම (විසුරුම)සසම්භාවී විචල්‍ය එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් එහි අපගමනයෙහි වර්ග ගණිතමය අපේක්ෂාව ලෙස හැඳින්වේ.

ඩී(x) = එම් (X-M(x))². (7.6)

අහඹු විචල්‍යයක විචලනය සොයන්න x(තෝරාගත් ඒවා අතර සම්මත කොටස් ගණන) මෙම දේශනයේ උදාහරණ 1. ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් හැකි සෑම අගයකම වර්ග අපගමනයෙහි අගයන් ගණනය කරමු:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

සටහන 1.විචලනය නිර්වචනය කිරීමේදී, එය ඇගයීමට ලක් වන්නේ මධ්‍යන්‍යයෙන් අපගමනය නොව, එහි චතුරස්රයයි. මෙය සිදු කරනුයේ විවිධ සංඥා වල අපගමනය එකිනෙකාට වන්දි ලබා නොදෙන ලෙසය.

සටහන 2.මෙම ප්‍රමාණය ඍණ නොවන අගයන් පමණක් ගන්නා බව විසරණයේ නිර්වචනයෙන් පහත දැක්වේ.

සටහන 3.විචලනය ගණනය කිරීම සඳහා වඩාත් පහසු සූත්‍රයක් ඇත, එහි වලංගු භාවය පහත ප්‍රමේයයෙන් සනාථ වේ:

ප්රමේයය 7.1.ඩී(x) = එම්(x²) - එම්²( x). (7.7)

සාක්ෂි.

දේ භාවිතා කිරීමෙන් එම්(x) යනු නියත අගයක් වන අතර, ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග, අපි සූත්‍රය (7.6) ආකෘතියට පරිවර්තනය කරමු:

ඩී(x) = එම්(X-M(x))² = එම්(x² - 2 X?M(x) + එම්²( x)) = එම්(x²) - 2 එම්(x)?එම්(x) + එම්²( x) =

= එම්(x²) - 2 එම්²( x) + එම්²( x) = එම්(x²) - එම්²( x), ඔප්පු කළ යුතු විය.

උදාහරණයක්. අපි අහඹු විචල්‍යවල විචල්‍යයන් ගණනය කරමු xහා වයිමෙම කොටස ආරම්භයේ දී සාකච්ඡා කර ඇත. එම්(x) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

එම්(වයි) \u003d (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. එබැවින්, දෙවන අහඹු විචල්‍යයේ විසුරුම පළමු විසර්ජනයට වඩා දහස් ගුණයකින් වැඩි වේ. මේ අනුව, මෙම ප්රමාණ බෙදාහැරීමේ නීති නොදැන පවා, අනුව දන්නා අගයන්විචලනය, අපට එය ප්රකාශ කළ හැකිය xසඳහා වන අතර, එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් මඳක් බැහැර වේ වයිමෙම අපගමනය ඉතා වැදගත් වේ.

විසරණ ගුණාංග.

1) විසරණ නියතය සිටශුන්‍යයට සමාන වේ:

ඩී (සී) = 0. (7.8)

සාක්ෂි. ඩී(සී) = එම්((සෙමී(සී))²) = එම්((සී-සී)²) = එම්(0) = 0.

2) නියත සාධකය වර්ග කිරීම මගින් විසරණ ලකුණෙන් පිටතට ගත හැක:

ඩී(CX) = සී² ඩී(x). (7.9)

සාක්ෂි. ඩී(CX) = එම්((CX-M(CX))²) = එම්((CX-CM(x))²) = එම්(සී²( X-M(x))²) =

= සී² ඩී(x).

3) ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුවේ විචලනය ඒවායේ විචල්‍යයන්ගේ එකතුවට සමාන වේ:

ඩී(X+Y) = ඩී(x) + ඩී(වයි). (7.10)

සාක්ෂි. ඩී(X+Y) = එම්(x² + 2 XY + වයි²) - ( එම්(x) + එම්(වයි))² = එම්(x²) + 2 එම්(x)එම්(වයි) +

+ එම්(වයි²) - එම්²( x) - 2එම්(x)එම්(වයි) - එම්²( වයි) = (එම්(x²) - එම්²( x)) + (එම්(වයි²) - එම්²( වයි)) = ඩී(x) + ඩී(වයි).

ප්රතිවිපාකය 1.අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය කිහිපයක එකතුවේ විචලනය ඒවායේ විචල්‍යයන්ගේ එකතුවට සමාන වේ.

ප්රතිවිපාක 2.නියත සහ අහඹු විචල්‍යයක එකතුවේ විචලනය අහඹු විචල්‍යයේ විචල්‍යයට සමාන වේ.

4) ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක වෙනසෙහි විචලනය ඒවායේ විචල්‍යයන්ගේ එකතුවට සමාන වේ:

ඩී(X-Y) = ඩී(x) + ඩී(වයි). (7.11)

සාක්ෂි. ඩී(X-Y) = ඩී(x) + ඩී(-වයි) = ඩී(x) + (-1)² ඩී(වයි) = ඩී(x) + ඩී(x).

විචලනය මධ්‍යන්‍යයෙන් අහඹු විචල්‍යයේ වර්ග අපගමනයේ සාමාන්‍ය අගය ලබා දෙයි; අපගමනය තක්සේරු කිරීම සම්මත අපගමනය ලෙස හඳුන්වන අගයකි.

අර්ථ දැක්වීම 7.6.සම්මත අපගමනයσ සසම්භාවී විචල්‍යය xකියලා වර්ගමුලයවිසුරුමෙන්:

උදාහරණයක්. පෙර උදාහරණයේ, සාමාන්යයන් සම්මත අපගමනය xහා වයිපිළිවෙළින් සමාන වේ

ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු අහඹු විචල්‍යයක සාමාන්‍ය අගයයි.

විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු එහි ඇති විය හැකි සියලු අගයන් සහ ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුවයි:

උදාහරණයක්.

X -4 6 10
p 0.2 0.3 0.5

විසඳුම: ගණිතමය අපේක්ෂාව X හි සියලු හැකි අගයන් සහ ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ:

M (X) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6.

ගණිතමය අපේක්ෂාව ගණනය කිරීම සඳහා, එක්සෙල් හි ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම පහසුය (විශේෂයෙන් දත්ත විශාල ප්‍රමාණයක් ඇති විට), අපි භාවිතා කිරීමට යෝජනා කරමු සූදානම් සැකිල්ල ().

නිදසුනක් ස්වාධීන තීරණය(ඔබට කැල්කියුලේටරයක් ​​භාවිතා කළ හැකිය).
බෙදා හැරීමේ නියමය මගින් ලබා දී ඇති විවික්ත අහඹු විචල්‍ය X හි ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න:

X 0.21 0.54 0.61
p 0.1 0.5 0.4

ගණිතමය අපේක්ෂාවට පහත ගුණාංග ඇත.

ගුණය 1. නියත අගයක ගණිතමය අපේක්ෂාව නියත අගයට සමාන වේ: М(С)=С.

දේපල 2. අපේක්ෂිත ලකුණෙන් නියත සාධකයක් ගත හැක: М(СХ)=СМ(Х).

දේපල 3. අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල නිෂ්පාදිතයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සාධකවල ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

දේපල 4. සසම්භාවී විචල්‍යවල එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව පදවල ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ එකතුවට සමාන වේ: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+...+M (Хn).

ගැටළුව 189. X සහ Y ගණිතමය අපේක්ෂාවන් දන්නේ නම්, Z අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

විසඳුම: ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග භාවිතා කිරීමෙන් (එකතුවෙහි ගණිතමය අපේක්ෂාව නියමවල ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ එකතුවට සමාන වේ; නියත සාධකය අපේක්ෂා ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය), අපට M(Z)=M ලැබේ. (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, ඔප්පු කරන්න: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) X-M(X) අපගමනයෙහි ගණිතමය අපේක්ෂාව ශුන්‍ය වේ.

191. විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍ය X විය හැකි අගයන් තුනක් ගනී: x1= 4 සම්භාවිතාව p1 = 0.5 සමඟ; x3 = 6 සම්භාවිතාව P2 = 0.3 සහ x3 සම්භාවිතාව p3 සමඟ. සොයන්න: x3 සහ p3, M(X)=8 බව දැනගෙන.

192. විවික්ත අහඹු විචල්‍ය X හි හැකි අගයන් ලැයිස්තුවක් ලබා දී ඇත: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, මෙම ප්‍රමාණයේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සහ එහි වර්ග ද දනී: M (X ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. හැකි අගයන් xi ට අනුරූප p1, p2, p3 සම්භාවිතා සොයන්න

194. කොටස් 10 ක කණ්ඩායමක් සම්මත නොවන කොටස් තුනක් අඩංගු වේ. අයිතම දෙකක් අහඹු ලෙස තෝරා ගන්නා ලදී. විවික්ත අහඹු විචල්‍ය X හි ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න - තෝරාගත් කොටස් දෙකක් අතර සම්මත නොවන කොටස් ගණන.

196. විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍ය X-සංඛ්‍යාවේ එවැනි දාදු කැට පහක විසිකිරීම්වල ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න, එම එක් එක් ලක්ෂ්‍යය දාදු කැට දෙකක් මත දිස්වනු ඇත, මුළු විසි කිරීම් ගණන විස්සක් නම්.

අපේක්ෂිත අගය ද්විපද ව්යාප්තියඑක් අත්හදා බැලීමක සිදුවීමක සම්භාවිතාව සහ අත්හදා බැලීම් ගණනෙහි ගුණිතයට සමාන වේ:

ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු අර්ථ දැක්වීමයි

පැදුරු බලා සිටීමයිවඩාත්ම වැදගත් සංකල්ප වලින් එකකි ගණිතමය සංඛ්යා ලේඛනසහ සම්භාවිතා න්‍යාය, අගයන් බෙදා හැරීම සංලක්ෂිත කිරීම හෝ සම්භාවිතාවඅහඹු විචල්යය. සාමාන්‍යයෙන් සසම්භාවී විචල්‍යයක විය හැකි සියලු පරාමිතිවල බරිත සාමාන්‍යයක් ලෙස ප්‍රකාශ කෙරේ. තාක්ෂණික විශ්ලේෂණය, සංඛ්යා ශ්රේණි අධ්යයනය, අඛණ්ඩ හා දිගුකාලීන ක්රියාවලීන් අධ්යයනය කිරීම සඳහා එය බහුලව භාවිතා වේ. අවදානම් තක්සේරු කිරීමේදී, මූල්‍ය වෙලඳපොලවල වෙළඳාම් කිරීමේදී මිල දර්ශක පුරෝකථනය කිරීමේදී එය වැදගත් වන අතර ක්‍රීඩා උපක්‍රමවල උපාය මාර්ග සහ ක්‍රම සංවර්ධනය කිරීමේදී භාවිතා වේ. සූදු න්යාය.

චෙක්මේට් බලා සිටීම- මෙයඅහඹු විචල්‍යයක මධ්‍යන්‍ය අගය, ව්‍යාප්තිය සම්භාවිතාවසසම්භාවී විචල්‍යය සම්භාවිතා න්‍යායේ සලකනු ලැබේ.

පැදුරු බලා සිටීමයිසම්භාවිතා න්‍යායේ අහඹු විචල්‍යයක මධ්‍යන්‍ය අගය මැනීම. අහඹු විචල්‍යයක ගණිත අපේක්ෂාව xදක්වා ඇත M(x).

ගණිතමය අපේක්ෂාව (ජනගහන මධ්‍යන්‍ය) වේ

පැදුරු බලා සිටීමයි

පැදුරු බලා සිටීමයිසම්භාවිතා න්‍යායේ දී, මෙම අහඹු විචල්‍යයට ගත හැකි සියලු හැකි අගයන්හි බරිත සාමාන්‍යය.

පැදුරු බලා සිටීමයිමෙම අගයන්හි සම්භාවිතාවන් අනුව සසම්භාවී විචල්‍යයක හැකි සියලු අගයන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුව.

ගණිතමය අපේක්ෂාව (ජනගහන මධ්‍යන්‍ය) වේ

පැදුරු බලා සිටීමයිඑවැනි තීරණයක් විශාල සංඛ්‍යා සහ දිගු දුර පිළිබඳ න්‍යායේ රාමුව තුළ සලකා බැලිය හැකි නම්, විශේෂිත තීරණයකින් ලැබෙන සාමාන්‍ය ප්‍රතිලාභය.

පැදුරු බලා සිටීමයිසූදුව පිළිබඳ න්‍යාය තුළ, සමපේක්‍ෂකයෙකුට සාමාන්‍යයෙන් එක් එක් ඔට්ටුවක් සඳහා උපයාගත හැකි හෝ අහිමි කළ හැකි ජයග්‍රහණ ප්‍රමාණය. සූදු භාෂාවෙන් සමපේක්ෂකයින්මෙය සමහර විට "වාසි" ලෙස හැඳින්වේ සමපේක්ෂකයා” (එය සමපේක්ෂකයාට ධනාත්මක නම්) හෝ "ගෙදර දාරය" (එය සමපේක්ෂකයාට සෘණ නම්).

ගණිතමය අපේක්ෂාව (ජනගහන මධ්‍යන්‍ය) වේ

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer වෙබ් අඩවිය. Wenn Sie diese වෙබ් අඩවිය weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. හරි