Знайти довжину відрізка за координатами у просторі. Знаходження координат середини відрізка: приклади, рішення

У статті нижче будуть висвітлені питання знаходження координат середини відрізка за наявності вихідних даних координат його крайніх точок. Але, перш ніж приступити до вивчення питання, запровадимо низку визначень.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відрізок- Пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки, звані кінцями відрізка. Як приклад нехай це будуть точки A та B і відповідно відрізок A B .

Якщо відрізок A B продовжити в обидві сторони від точок A і B ми отримаємо пряму A B . Тоді відрізок A B – частина отриманої прямої, обмежена точками A і B . Відрізок A B поєднує точки A і B, що є його кінцями, а також безліч точок, що лежать між. Якщо, наприклад, взяти будь-яку довільну точку K , що лежить між точками A і B можна сказати, що точка K лежить на відрізку A B .

Визначення 2

Довжина відрізка- Відстань між кінцями відрізка при заданому масштабі (відрізку одиничної довжини). Довжину відрізка A B позначимо так: A B .

Визначення 3

Середина відрізка- Крапка, що лежить на відрізку і рівновіддалена від його кінців. Якщо середину відрізка A B позначити точкою C , то вірною буде рівність: A C = C B

Вихідні дані: координатна пряма O x і точки, що не збігаються на ній: A і B . Цим точкам відповідають дійсні числа x A та x B . Точка C – середина відрізка A B: необхідно визначити координату x C .

Оскільки точка C є серединою відрізка АВ, вірним буде рівність: | А З | = | З У | . Відстань між точками визначається модулем різниці їх координат, тобто.

| А З | = | З У | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тоді можливі дві рівності: x C - x A = x B - x C і x C - x A = - (x B - x C)

З першої рівності виведемо формулу для координати точки C: x C = x A + x B 2 (напівсума координат кінців відрізка).

З другої рівності отримаємо: x A = x B що неможливо, т.к. у вихідних даних - незбігаючі точки. Таким чином, формула визначення координат середини відрізка A B з кінцями A (x A) і B (x B):

Отримана формула буде основою визначення координат середини відрізка на площині чи просторі.

Вихідні дані: прямокутна система координат на площині О x y , дві довільні точки, що не збігаються, з заданими координатами A x A , y A і B x B , y B . Крапка C – середина відрізка A B . Необхідно визначити координати x C та y C для точки C .

Візьмемо для аналізу випадок, коли точки A і B не збігаються і не лежать на одній координатній прямій чи прямій, перпендикулярній до однієї з осей. A x, A y; B x , B y і C x , C y - проекції точок A , B і C на осі координат (прямі О х та О y).

Відповідно до побудови прямі A A x , B B x , C C x паралельні; прямі також паралельні між собою. Сукупно з цим за теоремою Фалеса з рівності А С = С слідують рівності: А x С x = С x В x і А y С y = С y В y , і вони у свою чергу свідчать про те, що точка С x - середина відрізка А x x , а С y - середина відрізка А y В y . І тоді, спираючись на отриману раніше формулу, отримаємо:

x C = x A + x B 2 і y C = y A + y B 2

Цими формулами можна скористатися у випадку, коли точки A і B лежать на одній координатній прямій або прямій, перпендикулярній одній з осей. Проводити детальний аналізцього випадку не будемо, розглянемо його лише графічно:

Резюмуючи все вище сказане, координати середини відрізка A B на площині з координатами кінців A (x A , y A) і B (x B , y B) визначаються як:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Вихідні дані: система координат x y z і дві довільні точки із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити координати точки C , що є серединою відрізка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z та C x , C y , C z - проекції всіх заданих точок на осі системи координат.

Відповідно до теореми Фалеса вірні рівності: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Отже, точки C x , C y , C z є серединами відрізків A x B x , A y B y , A z B z відповідно. Тоді, для визначення координат середини відрізка у просторі вірні формули:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Отримані формули можна застосовувати також у випадках, коли точки A і B лежать на одній з координатних прямих; на прямій, перпендикулярній до однієї з осей; в одній координатній площині або площині перпендикулярної однієї з координатних площин.

Визначення координат середини відрізка через координати радіус-векторів його кінців.

Формулу для знаходження координат середини відрізка також можна вивести відповідно до тлумачення алгебри векторів.

Вихідні дані: прямокутна декартова система координат O x y, точки із заданими координатами A (x A, y A) і B (x B, x B). Крапка C – середина відрізка A B .

Відповідно до геометричного визначення дій над векторами вірною буде рівність: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Крапка C в даному випадку- Точка перетину діагоналей паралелограма, побудованого на основі векторів O A → і O B → , тобто. точка середини діагоналей. Координати радіус-вектора точки дорівнюють координатам точки, тоді вірні рівності: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Виконаємо деякі операції над векторами в координатах та отримаємо:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Отже, точка C має координати:

x A + x B 2 , y A + y B 2

За аналогією визначається формула для знаходження координат середини відрізка у просторі:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Приклади розв'язання задач на знаходження координат середини відрізка

Серед завдань, що передбачають використання отриманих вище формул, зустрічаються, як і ті, в яких безпосередньо стоїть питання розрахувати координати середини відрізка, так і такі, що передбачають приведення заданих умов до цього питання: найчастіше використовується термін «медіана», що має на меті знаходження координат одного з кінців відрізка, і навіть поширені завдання на симетрію, вирішення яких загалом також має викликати труднощів після вивчення цієї теми. Розглянемо характерні приклади.

Приклад 1

Вихідні дані:на площині – точки із заданими координатами А (- 7, 3) та В (2, 4). Необхідно знайти координати середини відрізка АВ.

Рішення

Позначимо середину відрізка A B точкою C . Координати її визначатимуться як напівсума координат кінців відрізка, тобто. точок A та B .

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Відповідь: координати середини відрізка АВ - 5 2 , 7 2 .

Приклад 2

Вихідні дані:відомі координати трикутника АВС: А(-1,0), В(3,2), С(9,-8). Необхідно знайти довжину медіани АМ.

Рішення

1. За умовою завдання A M – медіана, отже M є точкою середини відрізка B C . Насамперед знайдемо координати середини відрізка BC , тобто. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (-8) 2 = - 3

1. Оскільки тепер нам відомі координати обох кінців медіани (точки A та М), можемо скористатися формулою для визначення відстані між точками та порахувати довжину медіани А М:

A M = (6 - (-1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Відповідь: 58

Приклад 3

Вихідні дані:в прямокутної системикоординат тривимірного простору заданий паралелепіпед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Задано координати точки C 1 (1 , 1 , 0) , а також визначено точку M , що є серединою діагоналі B D 1 і має координати M (4 , 2 , - 4) . Потрібно розрахувати координати точки А.

Рішення

Діагоналі паралелепіпеда мають перетин в одній точці, яка при цьому є серединою всіх діагоналей. Виходячи з цього твердження, можна мати на увазі, що відома за умовами завдання точка М є серединою відрізка АС 1 . Спираючись на формулу для знаходження координат середини відрізка у просторі, знайдемо координати точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Відповідь:координати точки А (7, 3, - 8).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще пара важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, Корисний не тільки для розглянутої задачі:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить достатньо велика кількістьнаприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями в загальному виглядіможна знайти в шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного рішенняз відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Відрізкомназивають частину прямої лінії, що складається з усіх точок цієї лінії, які розташовані між даними двома точками - їх називають кінцями відрізка.

Розглянемо перший приклад. Нехай у площині координат заданий двома точками якийсь відрізок. У разі його довжину ми можемо визначити, застосовуючи теорему Піфагора.

Отже, у системі координат накреслимо відрізок із заданими координатами його кінців.(x1; y1) і (x2; y2) . На осі X і Y з кінців відрізка опустимо перпендикуляри. Відзначимо червоним кольором відрізки, що є на осі координат проекціями від вихідного відрізка. Після цього перенесемо паралельно до кінців відрізків відрізки-проекції. Отримуємо трикутник (прямокутний). Гіпотенузою у даного трикутникастане сам відрізок АВ, яке катетами є перенесені проекції.

Обчислимо довжину даних проекцій. Отже, на вісь Y довжина проекції дорівнює y2-y1 , а на вісь Х довжина проекції дорівнює x2-x1 . Застосуємо теорему Піфагора: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . В даному випадку |AB| є довжиною відрізка.

Якщо використовувати цю схему для обчислення довжини відрізка, можна навіть відрізок і будувати. Тепер вирахуємо, яка довжина відрізка з координатами (1;3) і (2;5) . Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . А це означає, що довжина нашого відрізка дорівнює 5:1/2 .

Розглянемо наступний спосіб знаходження довжини відрізка. Для цього нам необхідно знати координати двох точок у будь-якій системі. Розглянемо цей варіант, застосовуючи двовимірну Декартову систему координат.

Отже, у двомірній системі координат дано координати крайніх точок відрізка. Якщо проведемо прямі лінії через ці точки, вони мають бути перпендикулярними до осі координат, то отримаємо прямокутний трикутник. Початковий відрізок буде гіпотенузою отриманого трикутника. Катети трикутника утворюють відрізки, їхня довжина дорівнює проекції гіпотенузи на осі координат. Виходячи з теореми Піфагора, робимо висновок: щоб знайти довжину даного відрізка, потрібно знайти довжини проекцій на дві осі координат.

Знайдемо довжини проекцій (X та Y) вихідного відрізка координатні осі. Їх обчислимо шляхом знаходження різниці координат точок по окремій осі: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Розрахуємо довжину відрізка А , для цього знайдемо квадратний корінь:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Якщо наш відрізок розташований між точками, координати яких 2;4 і 4;1 , то його довжина, відповідно, дорівнює √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Існує ціла група завдань (що входять до екзаменаційних типів завдань), пов'язана з координатною площиною. Це завдання починаючи з найелементарніших, які вирішуються усно (визначення ординати чи абсциси. заданої точки, або точки симетричної заданої та інші), закінчуючи завданнями у яких потрібне якісне знання, розуміння та гарні навички (завдання пов'язані з кутовим коефіцієнтом прямої).

Поступово ми з вами розглянемо їх. У цій статті почнемо з елементарних. Це прості завданняна визначення: абсциси та ординати крапки, довжини відрізка, середини відрізка, синуса або косинуса кута нахилу прямої.Більшості ці завдання будуть нецікавими. Але викласти їх вважаю за необхідне.

Справа в тому, що не всі навчаються у школі. Дуже багато хто здає ЄДІ через 3-4 і більше років після її закінчення і що таке абсцису та ординату пам'ятають неясно. Розбиратимемо й інші завдання, пов'язані з координатною площиною, не пропустіть, підпишіться, на оновлення блогу. Тепер немної теорії.

Побудуємо на координатній площині точку з координатами х= 6, y=3.

Кажуть, що абсцис точки А дорівнює шести, ордината точки А дорівнює трьом.

Якщо висловитися просто, то вісь ох це вісь абсцис, ось оу це ось ординат.

Тобто, абсцис це точка на осі ох в яку проектується точка задана на координатній площині; ордината це точка на осі оу в яку проектується обумовлена ​​точка.

Довжина відрізка на координатній площині

Формула визначення довжини відрізка, якщо відомі координати його кінців:

Як ви бачите, довжина відрізка - це довжина гіпотенузи в прямокутному трикутнику з катетами рівними

Х В – Х А та У В – У А

* * *

Середина відрізка. Її Координати.

Формула для знаходження координат середини відрізка:

Рівняння прямої проходить через дві дані точки

Формула рівняння прямої походить через дві дані точки має вигляд:

де (х 1; у 1) і (х 2; у 2 ) координати заданих точок.

Підставивши значення координат у формулу, вона наводиться до вигляду:

y = kx + b, де k - це кутовий коефіцієнт прямий

Ця інформація нам знадобиться при вирішенні іншої групи завдань, пов'язаних з координатною площиною. Стаття про це буде, не пропустіть!

Що ще можна додати?

Кут нахилу прямої (або відрізка) це кут між віссю оХ і цієї прямої, лежить в межах від 0 до 180 градусів.

Розглянемо завдання.

З точки (6; 8) опущений перпендикуляр на вісь ординат. Знайдіть ординату основи перпендикуляра.

Основа перпендикуляра опущеного на вісь ординат матиме координати (0;8). Ордината дорівнює восьми.

Відповідь: 8

Знайдіть відстань від точки Aз координатами (6; 8) до осі ординат.

Відстань від точки А до осі ординат дорівнює абсцисі точки А.

Відповідь: 6.

A(6;8) щодо осі Ox.

Точка симетрична точці А щодо осі оХ має координати (6; - 8).

Ордината дорівнює мінусу восьми.

Відповідь: – 8

Знайдіть ординату точки, симетричній точці A(6; 8) щодо початку координат.

Точка симетрична точці А щодо початку координат має координати (-6; - 8).

Її ордината дорівнює – 8.

Відповідь: -8

Знайдіть абсцису середини відрізка, що з'єднує точкиO(0;0) та A(6;8).

Для того, вирішити поставлене завдання, необхідно знайти координати середини відрізка. Координати кінців нашого відрізка (0; 0) та (6; 8).

Обчислюємо за такою формулою:

Отримали (3; 4). Абсцис дорівнює трьом.

Відповідь: 3

*Абсцис середини відрізка можна визначити без обчислення за формулою, побудувавши цей відрізок на координатній площині на аркуші в клітину. Середину відрізка нескладно визначити по клітинах.

Знайдіть абсцису середини відрізка, що з'єднує точки A(6;8) та B(–2;2).

Для того, вирішити поставлене завдання, необхідно знайти координати середини відрізка. Координати кінців нашого відрізка (–2;2) та (6;8).

Обчислюємо за такою формулою:

Отримали (2; 5). Абсцис дорівнює двом.

Відповідь: 2

*Абсцис середини відрізка можна визначити без обчислення за формулою, побудувавши цей відрізок на координатній площині на аркуші в клітину.

Знайдіть довжину відрізка, що з'єднує точки (0; 0) і (6; 8).

Довжина відрізка при даних координатах його кінців обчислюється за такою формулою:

у разі маємо О(0;0) і А(6;8). Значить,

*Порядок координат при відніманні не має значення. Можна від абсциси та ординати точки Про відняти абсцису та ординату точки А:

Відповідь:10

Знайдіть косинус кута нахилу відрізка, що з'єднує точки O(0;0) та A(6; 8), з віссю абсцис.

Кут нахилу відрізка – це кут між цим відрізком та віссю оХ.

З точки А опустимо перпендикуляр на вісь оХ:

Тобто, кут нахилу відрізка це кутВОАв прямокутному трикутникуАВО.

Косинусом гострого кута у прямокутному трикутнику є

відношення прилеглого катета до гіпотенузи

Необхідно знайти гіпотенузуОА.

За теоремою Піфагора:У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

Таким чином, косинус кута нахилу дорівнює 0,6

Відповідь: 0,6

З точки (6; 8) опущений перпендикуляр на вісь абсцис. Знайдіть абсцису основи перпендикуляра.

Через точку (6;8) проведено пряму, паралельну осі абсцис. Знайдіть ординату її точки перетину з віссю оУ.

Знайдіть відстань від точки Aз координатами (6; 8) до осі абсцис.

Знайдіть відстань від точки Aз координатами (6; 8) до початку координат.