Рішення матриць крамером. Правило Крамер. Метод зворотної матриці

Для того, щоб освоїти цей параграф, Ви повинні вміти розкривати визначники «два на два» і «три на три». Якщо з визначниками погано, будь ласка, вивчіть урок Як визначити обчислювач?

Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівняньіз двома невідомими. Навіщо? – Адже найпростішу системуможна вирішити шкільним способом, шляхом почленного складання!

Справа в тому, що нехай іноді, але трапляється таке завдання – вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, простіший приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для більш складного випадку– системи трьох рівнянь із трьома невідомими.

Крім того, існують системи лінійних рівнянь із двома змінними, які доцільно вирішувати саме за правилом Крамера!

Розглянемо систему рівнянь

На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи.

метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення, і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще два визначники:
і

На практиці вищезазначені визначники також можуть позначатися латинською літерою.

Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,

Приклад 7

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Рішення: Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, у правій частині присутні десяткові дробиз комою. Кома – досить рідкісний гість у практичних завданнях з математики, цю систему я взяв з економетричної задачі.

Як вирішити таку систему? Можна спробувати висловити одну змінну через іншу, але в цьому випадку напевно вийдуть страшні накручені дроби, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення виглядатиме просто жахливо. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але й тут виникнуть ті самі дроби.

Що робити? У таких випадках і приходять на допомогу формули Крамера.

;

Відповідь: ,

Обидва корені мають нескінченні хвости, і знайдені приблизно, що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.

Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак є один нюанс. Коли використовуєте даний метод, обов'язковимфрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «Отже, система має єдине рішення». А якщо ні, то рецензент може Вас покарати за неповагу до теореми Крамера.

Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення ліву частинукожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, що знаходяться у правих частинах.

Приклад 8

Відповідь уявити у звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.

Це приклад для самостійного рішення(Приклад чистового оформленнята відповідь наприкінці уроку).

Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

Знаходимо головний визначник системи:

Якщо , то система має безліч рішень або несумісна (не має рішень). В цьому випадку правило Крамера не допоможе, потрібно використовувати метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще три визначники:
, ,

І, нарешті, відповідь розраховується за формулами:

Як бачите, випадок «три на три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два на два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо стовпцями головного визначника.

Приклад 9

Вирішити систему за формулами Крамера.

Рішення: Вирішимо систему за формулами Крамера

Отже, система має єдине рішення.

Відповідь: .

Власне, тут знову коментувати особливо нічого, зважаючи на те, що рішення проходить за готовими формулами. Але є кілька зауважень.

Буває так, що в результаті обчислень виходять погані нескоротні дроби, наприклад: .
Я рекомендую наступний алгоритм лікування. Якщо під рукою немає комп'ютера, робимо так:

1) Можливо, допущено помилку у обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганим» дробом, відразу необхідно перевірити, чи правильно переписано умову. Якщо умова переписана без помилок, потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).

2) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то найімовірніше, допущено друкарську помилку в умови завдання. У цьому випадку спокійно та уважно вирішуємо завдання до кінця, а потім обов'язково робимо перевіркута оформляємо її на чистовику після рішення. Звичайно, перевірка дробової відповіді – заняття неприємне, але зате буде аргумент для викладача, який ну дуже любить ставити мінус за всяку бяку начебто. Як керуватися дробами, детально розписано у відповіді для Прикладу 8.

Якщо під рукою є комп'ютер, то для перевірки використовуйте автоматизовану програму, яку можна безкоштовно завантажити на початку уроку. До речі, найвигідніше відразу скористатися програмою (ще до початку рішення), Ви відразу бачитимете проміжний крок, на якому припустилися помилки! Цей калькулятор автоматично розраховує рішення системи матричним методом.

Зауваження друге. Іноді зустрічаються системи у рівняннях яких відсутні деякі змінні, наприклад:

Тут у першому рівнянні відсутня змінна, у другому – змінна. У таких випадках дуже важливо правильно та УВАЖНО записати головний визначник:
– на місці відсутніх змінних ставляться нулі.
До речі визначники з нулями раціонально розкривати по тому рядку (стовпцю), в якому знаходиться нуль, тому що обчислень виходить помітно менше.

Приклад 10

Вирішити систему за формулами Крамера.

Це приклад самостійного рішення (зразок чистового оформлення і у кінці уроку).

Для випадку системи 4 рівнянь із 4 невідомими формули Крамера записуються за аналогічними принципами. Живий приклад можна побачити на уроці Властивості визначника. Зниження порядку визначника – п'ять визначників 4-го порядку цілком вирішальні. Хоча завдання вже дуже нагадує черевики професора на грудях у студента-щасливчика.

Рішення системи за допомогою зворотної матриці

Метод зворотної матриці- це, по суті, окремий випадок матричного рівняння(Див. Приклад №3 зазначеного уроку).

Для вивчення даного параграфа необхідно вміти розкривати визначники, знаходити зворотну матрицю та виконувати матричне множення. Відповідні посилання будуть надані по ходу пояснень.

Приклад 11

Вирішити систему з матричним методом

Рішення: Запишемо систему в матричній формі:
, де

Будь ласка, подивіться на систему рівнянь та на матриці. За яким принципом записуємо елементи в матриці, гадаю, всім зрозуміло. Єдиний коментар: якби в рівняннях були відсутні деякі змінні, то на відповідних місцях у матриці потрібно було б поставити нулі.

Зворотну матрицю знайдемо за формулою:
де - транспонована матриця алгебраїчних доповненьвідповідних елементів матриці.

Спочатку знаємося з визначником:

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Увага! Якщо , то зворотної матриці немає, і вирішити систему матричним методом неможливо. І тут система вирішується шляхом виключення невідомих (методом Гаусса) .

Тепер потрібно обчислити 9 мінорів та записати їх у матрицю мінорів

Довідка:Корисно знати сенс подвійних підрядкових індексів у лінійній алгебрі. Перша цифра – це номер рядка, в якому знаходиться цей елемент. Друга цифра – це номер стовпця, в якому знаходиться цей елемент:

Тобто подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці

У ході рішення розрахунок мінорів краще розписати докладно, хоча, при певному досвіді їх можна пристосуватися до помилок усно.

2. Вирішення систем рівнянь матричним методом (за допомогою зворотної матриці).
3. Метод Гауса вирішення систем рівнянь.

Метод Крамер.

Метод Крамера застосовується для вирішення лінійних систем алгебраїчних рівнянь (СЛАУ).

Формули з прикладу системи із двох рівнянь із двома змінними.
Дано:Вирішити методом Крамера систему

Щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи Обчислення визначників. :

Застосуємо формули Крамера та знайдемо значення змінних:
і .
Приклад 1:
Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:

Замінимо в цьому визначнику перший стовпець стовпцем коефіцієнтів з правої частини системи та знайдемо його значення:

Зробимо аналогічну дію, замінивши в першому визначнику другий стовпець:

Застосуємо формули Крамераі знайдемо значення змінних:
та .
Відповідь:
Примітка:Цим методом можна вирішувати системи та більшої розмірності.

Примітка:Якщо виходить, що , а ділити на нуль не можна, то кажуть, що система не має єдиного рішення. У цьому випадку система має або нескінченно багато рішень, або не має рішень взагалі.

Приклад 2(нескінченна кількість рішень):

Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Рішення систем шляхом підстановки.

Перше з рівнянь системи — рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних (бо 4 завжди одно 4). Отже, залишається лише одне рівняння. Це рівняння зв'язку між змінними.
Отримали рішенням системи є будь-які пари значень змінних, пов'язаних між собою рівністю .
Загальне рішеннязапишеться так:
Приватні рішення можна визначати вибираючи довільне значення у і обчислюючи їх за цією рівності зв'язку.

і т.д.
Таких рішень дуже багато.
Відповідь:загальне рішення
Приватні рішення:

Приклад 3(Рішень немає, система несумісна):

Розв'язати систему рівнянь:

Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Застосовувати формули Крамера не можна. Вирішимо цю систему методом підстановки

Друге рівняння системи - рівність, неправильне ні при яких значеннях змінних (звичайно ж, оскільки -15 не дорівнює 2). Якщо одне з рівнянь системи не вірно ні за яких змінних змін, то і вся системи не має рішень.
Відповідь:рішень немає

Розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими

Використовуючи визначники 3-го порядку, рішення такої системи можна записати у такому вигляді, як й у системи двох рівнянь, тобто.

(2.4)

якщо 0. Тут

Це є правило Крамера рішення системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

приклад 2.3.Розв'язати систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера:

Рішення . Знаходимо визначник основної матриці системи

Оскільки 0, то для знаходження рішення системи можна застосувати правило Крамера, але попередньо обчислимо ще три визначники:

Перевірка:

Отже рішення знайдено правильно. 

Правила Крамера, отримані для лінійних систем 2-го і 3-го порядку наводять на думку, що такі ж правила можна сформулювати і для лінійних систем будь-якого порядку. Справді має місце

Теорема Крамера. Квадратна система лінійних рівнянь з відмінним від нуля визначником основної матриці системи (0) має одне і лише одне рішення і це рішення обчислюється за формулами

(2.5)

де  – визначник основної матриці,  i – визначник матриці, отриманої з основної, заміноюi-го стовпця стовпцем вільних членів.

Зазначимо, що якщо =0, то правило Крамера не застосовується. Це означає, що система або взагалі не має рішень, або має нескінченно багато рішень.

Сформулювавши теорему Крамера, природно виникає питання обчисленні визначників вищих порядків.

2.4. Визначники n-го порядку

Додатковим мінором M ijелемента a ijназивається визначник, що отримується з даного шляхом викреслення i-й рядки та j-го стовпця. Алгебраїчним доповненням A ijелемента a ijназивається мінор цього елемента, взятого зі знаком (-1) i + j, тобто. A ij = (–1) i + j M ij .

Наприклад, знайдемо мінори та алгебраїчні доповнення елементів a 23 і a 31 визначника

Отримуємо



Використовуючи поняття алгебраїчного доповнення, можна сформулювати теорему про розкладання визначникаn-го порядку за рядком або стовпцем.

Теорема 2.1. Визначник матриціAдорівнює сумі творів всіх елементів деякого рядка (або стовпця) на їх додатки алгебри:

(2.6)

Ця теорема є основою одного з основних методів обчислення визначників, т.зв. способу зниження порядку. В результаті розкладання визначника n-го порядку за будь-яким рядком або стовпцем, виходить n визначників ( n-1)-го порядку. Щоб таких визначників було менше, доцільно вибирати той рядок чи стовпець, у якому найбільше нулів. Насправді формулу розкладання визначника зазвичай записують як:

тобто. алгебраїчні доповнення записують у явному вигляді через мінори.

Приклади 2.4.Обчислити визначники, попередньо розклавши їх за будь-яким рядком або стовпцем. Зазвичай у таких випадках вибирають такий стовпець або рядок, в якому найбільше нулів. Вибраний рядок або стовпець будемо позначати стрілкою.



2.5. Основні властивості визначників

Розкладаючи визначник по якомусь рядку або стовпцю, ми отримаємо n визначників ( n-1)-го порядку. Потім кожен із цих визначників ( n-1)-го порядку також можна розкласти на суму визначників ( n-2)-го порядку. Продовжуючи цей процес, можна дійти визначників 1-го порядку, тобто. до елементів матриці, визначник якої обчислюється. Так, для обчислення визначників 2-го порядку доведеться обчислити суму двох доданків, для визначників 3-го порядку – суму 6 доданків, для визначників 4-го порядку – 24 доданків. Число доданків різко зростатиме в міру збільшення порядку визначника. Це означає, що обчислення визначників дуже високих порядків стає досить трудомістким завданням, непосильним навіть ЕОМ. Однак обчислювати визначники можна і інакше, використовуючи властивості визначників.

Властивість 1 . Визначник не зміниться, якщо у ньому поміняти місцями рядки та стовпці, тобто. при транспонуванні матриці:

Ця властивість свідчить про рівноправність рядків і стовпців визначника. Інакше кажучи, будь-яке твердження про стовпці визначника справедливе і для його рядків і навпаки.

Властивість 2 . Визначник змінює знак при перестановці двох рядків (стовпців).

Слідство . Якщо визначник має два однакові рядки (стовпця), він дорівнює нулю.

Властивість 3 . Загальний множник всіх елементів у будь-якому рядку (стовпці) можна винести за знак визначника.

Наприклад,

Слідство . Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 4 . Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця), додати елементи іншого рядка (стовпця), помноженого на якесь число.

Наприклад,

Властивість 5 . Визначник твору матриць дорівнює добутку визначників матриць:

Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.

Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.

Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).

Визначники

виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:

;

Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Згідно теоремі Крамерамаємо:

Отже, рішення системи (2):

онлайн-калькулятором вирішальним методомКрамер.

Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь

Як випливає з теореми Крамера, при вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:

Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення

(Система спільна та визначена)

Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень

(Система спільна та невизначена)

** ,

тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.

Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має

(Система несумісна)

Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система рівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера

Нехай дана система

На підставі теореми Крамера

………….
,

де
-

визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:

приклад 2.

Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.

приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, рішення системи – (2; -1; 1).

На початок сторінки

Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом

Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.

Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих

Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.

У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостейбудь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви який-небудь новий матеріалабо пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.

Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.

Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Знаходимо визначники при невідомих

У першій частині ми розглянули трохи теоретичного матеріалу, метод підстановки, і навіть метод почленного складання рівнянь системи. Всім, хто зайшов на сайт через цю сторінку, рекомендую ознайомитися з першою частиною. Можливо, деяким відвідувачам здасться матеріал надто простим, але під час вирішення систем лінійних рівнянь я зробив ряд дуже важливих зауважень та висновків щодо вирішення математичних завданьзагалом.

Нині ж ми розберемо правило Крамера, і навіть рішення системи лінійних рівнянь з допомогою зворотної матриці (матричний метод). Всі матеріали викладені просто, докладно і зрозуміло, практично всі читачі зможуть навчитися вирішувати системи вищезазначеними способами.

Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Навіщо? – Найпростішу систему можна вирішити шкільним методом, методом почленного складання!

Справа в тому, що нехай іноді, але трапляється таке завдання – вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, простіший приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для складнішого випадку – системи трьох рівнянь із трьома невідомими.

Розглянемо систему рівнянь

На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи.

метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення, і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще два визначники:
і

На практиці вищезазначені визначники також можуть позначатися латинською літерою.

Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,

Приклад 7

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Рішення: Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, у правій частині присутні десяткові дроби з комою. Кома – досить рідкісний гість у практичних завданнях з математики, цю систему я взяв з економетричної задачі.

Що робити? У таких випадках і приходять на допомогу формули Крамера.

;

Відповідь: ,

Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак є один нюанс. Коли використовуєте цей метод, обов'язковимфрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «Отже, система має єдине рішення». А якщо ні, то рецензент може Вас покарати за неповагу до теореми Крамера.

Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення у ліву частину кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, що знаходяться у правих частинах.

Приклад 8

Відповідь подати у звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.

Це приклад самостійного рішення (приклад чистового оформлення і у кінці уроку).

Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими: