Скласти рівняння щодо графіку. Калькулятор онлайн. Рівняння прямої дотичної до графіка функції заданої точки

Розглянемо наступний малюнок:

На ньому зображено деяку функцію y = f(x), яка диференційована в точці a. Відзначено точку М з координатами (а; f(a)). Через довільну точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графіка проведена січна МР.

Якщо тепер точку Р зрушувати за графіком до точки М, то пряма МР повертатиметься навколо точки М. При цьому ∆х прагнутиме нуля. Звідси можна сформулювати визначення, що стосується графіку функції.

Стосовна графіку функції

Дотична до графіка функції є граничне положення січе при прагненні збільшення аргументу до нуля. Слід розуміти, що існування похідної функції f у точці х0 означає, що в цій точці графіка існує дотичнадо нього.

При цьому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнюватиме похідної цієї функції в цій точці f'(x0). У цьому полягає геометричний зміст похідної. Дотична до графіка диференційованої в точці х0 функції f - це деяка пряма, що проходить через точку (x0; f (x0)) і має кутовий коефіцієнт f'(x0).

Рівняння дотичної

Спробуємо отримати рівняння щодо графіку деякої функції f у точці А(x0; f(x0)). Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має наступний вигляд:

Так як у нас кутовий коефіцієнт дорівнює похідній f'(x0), то рівняння набуде наступного вигляду: y = f'(x0)* x + b.

Тепер обчислимо значення b. І тому використовуємо те що, що функція проходить через точку А.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, звідси виражаємо b і отримаємо b = f(x0) - f'(x0)*x0.

Підставляємо отримане значення рівняння дотичної:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0) * (x - x0).

Розглянемо наступний приклад: знайти рівняння щодо графіку функції f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 у точці х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3 * x 2 - 4 * x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3 * 2 2 - 4 * 2 = 4.

5. Підставимо отримані значення формулу дотичної, отримаємо: y = 1 + 4*(x - 2). Розкривши дужки та привівши подібні доданки отримаємо: y = 4*x - 7.

Відповідь: y = 4 * x - 7.

Загальна схема складання рівняння дотичноїдо графіка функції y = f(x):

1. Визначити х0.

2. Обчислити f(x0).

3. Обчислити f'(x)

Стосовна - це пряма яка стосується графіка функції в одній точці і всі точки якої знаходяться на найменшій відстані від графіка функції. Тому дотична проходить щодо графіка функції під певним кутом і не можуть проходити через точку дотику кілька дотичних під різними кутами. Рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції складаються за допомогою похідної.

Рівняння дотичної виводиться з рівняння прямої .

Виведемо рівняння дотичної, та був - рівняння нормалі до графіку функції.

y = kx + b .

У ньому k- Кутовий коефіцієнт.

Звідси отримуємо наступний запис:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Значення похідної f "(x 0 ) функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту k= tg φ дотичної до графіка функції, проведеної через точку M0 (x 0 , y 0 ) , де y0 = f(x 0 ) . У цьому полягає геометричний зміст похідної .

Таким чином, можемо замінити kна f "(x 0 ) та отримати наступне рівняння дотичної до графіка функції :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

У завданнях на складання рівняння дотичної до графіку функції (а ми вже скоро до них перейдемо) потрібно привести рівняння, що вийшло за вищенаведеною формулою рівняння прямий у загальному вигляді. Для цього потрібно всі літери та числа перенести в ліву частинурівняння, а правій частині залишити нуль.

Тепер про рівняння нормалі. Нормаль - це пряма, яка проходить через точку торкання графіка функції перпендикулярно дотичної. Рівняння нормалі :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для розминки перший приклад пропонується вирішити самостійно, а потім подивитися рішення. Є всі підстави сподіватися, що для наших читачів це завдання не буде холодним душем.

приклад 0.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції у точці M (1, 1) .

приклад 1.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції , якщо абсцис точки торкання .

Знайдемо похідну функції:

Тепер у нас є все, що потрібно підставити до наведеного в теоретичній довідці запису, щоб отримати рівняння дотичної. Отримуємо

У цьому прикладі нам пощастило: кутовий коефіцієнт дорівнював нулю, тому окремо приводити рівняння до загального вигляду не знадобилося. Тепер можемо скласти і рівняння нормалі:

На малюнку нижче: графік функції бордового кольору, що стосується зеленого кольору, нормаль оранжевого кольору.

Наступний приклад - теж не складний: функція, як і в попередньому, також є багаточленом, але кутовий коефіцієнт не дорівнюватиме нулю, тому додасться ще один крок - приведення рівняння до загального вигляду.

приклад 2.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

.

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

Підставляємо всі отримані дані у "формулу-болванку" і отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду (всі букви та числа, відмінні від нуля, збираємо в лівій частині, а в правій залишаємо нуль):

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 3.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

.

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

.

Знаходимо рівняння дотичної:

Перед тим, як привести рівняння до загального вигляду, потрібно його трохи "зачесати": помножити почленно на 4. Робимо це і наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 4.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

.

Отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

Поширена помилка при складанні рівнянь дотичної та нормалі - не помітити, що функція, дана в прикладі, - складна і обчислювати її похідну як похідну простий функції. Наступні приклади - вже зі складними функціями(Відповідний урок відкриється в новому вікні).

Приклад 5.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Увага! Ця функція- складна, оскільки аргумент тангенсу (2 x) сам є функцією. Тому знайдемо похідну функції як похідну складної функції.

Нехай дана функція f, яка в деякій точці x0 має кінцеву похідну f(x0). Тоді пряма, що проходить через точку (x 0 ; f (x 0)), має кутовий коефіцієнт f '(x 0), називається дотичною.

А що буде, якщо похідна у точці x 0 не існує? Можливі два варіанти:

1. Щодо графіка теж не існує. Класичний приклад – функція y = | x | у точці (0; 0).
2. Стосовна стає вертикальною. Це правильно, наприклад, для функції y = arcsin x у точці (1; π /2).

Рівняння дотичної

Будь-яка невертикальна пряма визначається рівнянням виду y = kx + b , де k - кутовий коефіцієнт. Стосовна - не виняток, і щоб скласти її рівняння в деякій точці x 0 достатньо знати значення функції і похідної в цій точці.

Отже, нехай дана функція y = f (x), яка має похідну y = f '(x) на відрізку. Тоді в будь-якій точці x 0 ∈ (a ; b ) до графіка цієї функції можна провести дотичну, яка задається рівнянням:

y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Тут f '(x 0) - значення похідної в точці x 0 а f (x 0) - значення самої функції.

Завдання. Дано функцію y = x 3 . Скласти рівняння щодо графіку цієї функції у точці x 0 = 2.

Рівняння дотичної: y = f '(x0) · (x−x0) + f(x0). Точка x 0 = 2 нам дано, а ось значення f (x 0) та f '(x 0) доведеться обчислювати.

Спочатку знайдемо значення функції. Тут все легко: f(x0) = f(2) = 23 = 8;
Тепер знайдемо похідну: f '(x) = (x3) = 3x2;
Підставляємо у похідну x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 · 2 2 = 12;
Разом отримуємо: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Це і є рівняння дотичної.

Завдання. Скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = 2sin x + 5 у точці x 0 = π /2.

Цього разу не детально розписуватимемо кожну дію - вкажемо лише ключові кроки. Маємо:

f(x0) = f(π/2) = 2sin(π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Рівняння дотичної:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

У разі пряма виявилася горизонтальної, т.к. її кутовий коефіцієнт k = 0. Нічого страшного в цьому немає – просто ми натрапили на точку екстремуму.

Тип завдання: 7

Умова

Пряма y=3x+2 є дотичною до графіка функції y=-12x^2+bx-10. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки торкання менше нуля.

Показати рішення

Рішення

Нехай x_0 - абсцис точки на графіку функції y = -12x ^ 2 + bx-10, через яку проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=-24x_0+b=3. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Отримуємо систему рівнянь. \begin(cases) -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Відповідь

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=-3x+4 паралельна до графіки функції y=-x^2+5x-7. Знайдіть абсцис точки торкання.

Показати рішення

Рішення

Кутовий коефіцієнт прямий до графіка функції y=-x^2+5x-7 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=-2x+5, отже, y"(x_0)=-2x_0+5. Кутовий коефіцієнт прямої y=-3x+4, вказаної в умові, дорівнює -3. Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти.

Отримуємо: x_0 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Показати рішення

Рішення

На рисунку визначаємо, що дотична проходить через точки A(-6; 2) і B(-1; 1). Позначимо через C(-6; 1) точку перетину прямих x=-6 і y=1, а через кут кут ABC (на малюнку видно, що він гострий). Тоді пряма AB утворює з позитивним напрямом осі Ox кут \pi -\alpha, який тупий.

Як відомо, tg(\pi -\alpha) і буде значенням похідної функції f(x) у точці x_0. Зауважимо, що tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.Звідси за формулами наведення отримуємо: tg(\pi -\alpha) = -tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=-2x-4 є дотичною до графіка функції y=16x^2+bx+12. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки дотику більше нуля.

Показати рішення

Рішення

Нехай x_0 - абсциса точки на графіку функції y=16x^2+bx+12, через яку

проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=32x_0+b=-2. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4. Отримуємо систему рівнянь. \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Вирішуючи систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Відповідно до умови абсцису точки дотику більше нуля, тому x_0=1, тоді b=-2-32x_0=-34.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі (-2; 8). Визначте кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої y=6.

Показати рішення

Рішення

Пряма y=6 паралельна осі Ox. Тому знаходимо такі точки, у яких дотична до графіка функції паралельна осі Ox. На цьому графіку такими точками є точки екстремуму (точки максимуму чи мінімуму). Як бачимо, точок екстремуму 4 .

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=4x-6 паралельна до графіки функції y=x^2-4x+9. Знайдіть абсцис точки торкання.

Показати рішення

Рішення

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=x^2-4x+9 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=2x-4, отже, y"(x_0)=2x_0-4. Кутовий коефіцієнт дотичної y =4x-7, вказаної в умові, дорівнює 4 . Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x_0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x_0.

Показати рішення

Рішення

На рисунку визначаємо, що дотична проходить через точки A(1; 1) і B(5; 4). Позначимо через C(5; 1) точку перетину прямих x=5 і y=1, а через кут кут BAC (на малюнку видно, що він гострий). Тоді пряма AB утворює з позитивним напрямом осі Ox кут α.

на сучасному етапірозвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знаньта умінь з кожної теми шкільного курсу математики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння повинні бути дидактичною метою не окремих завдань, а ретельно продуманої системи. У самому широкому значенніпід системою розуміється сукупність взаємозалежних взаємодіючих елементів, що володіє цілісністю та стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінністьвід уже відомих полягає в тому, що абсциса точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння дотичної до графіка функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f "(a) в загальне рівняннядотичної y = f(a) = f "(a)(x - a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішеннякожним із ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхід відповідає теорії поетапного формування розумових дій, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

• дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
• дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою дотику, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

• дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
• дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a – кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 загальному вигляді, Складання системи рівнянь і подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання при вирішенні складних завдань, що вимагають певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на перебування функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Нехай t – абсцис точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь: