Рівняння прямої проходить через точки має вигляд. Пряма лінія. Рівняння прямої

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядізалежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутної системикоординат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний прямий, заданою рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівнянняпрямий Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = Ст.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

З = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівнянняпрямий.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типирівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння пряме, що проходить через дану точкуперпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доказ. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння пряме, що проходить через дану точку A(x 1 , y 1) у цьому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1), яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямий, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

Нехай пряма проходить через точки М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Рівняння прямої, що проходить через точку М 1 має вигляд у- у 1 = k (х – х 1), (10.6)

де k - Поки невідомий коефіцієнт.

Оскільки пряма проходить через точку М 2 (х 2 у 2), то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння (10.6): у 2 -у 1 = k (Х 2 -х 1).

Звідси знаходимо Підставляючи знайдене значення k рівняння (10.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки М 1 і М 2:

Передбачається, що в цьому рівнянні х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2

Якщо х 1 = х 2 то пряма, що проходить через точки М 1 (х 1, у I) і М 2 (х 2, у 2) паралельна осі ординат. Її рівняння має вигляд х = х 1 .

Якщо у 2 = у I, то рівняння прямої може бути записано у вигляді у = у 1, пряма М 1 М 2 паралельна осі абсцис.

Рівняння прямої у відрізках

Нехай пряма перетинає вісь Ох у точці М 1 (а; 0), а вісь Оу – у точці М 2 (0; b). Рівняння набуде вигляду:
тобто.
. Це рівняння називається рівнянням прямої у відрізках, т.к. числа а та b вказують, які відрізки відсікає пряма на осях координат.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору

Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через задану точку Мо (х О; у о) перпендикулярно даному ненульовому вектору n = (А; В).

Візьмемо на прямий довільну точку М (х; у) і розглянемо вектор М 0 М (х - х 0; у - у о) (див. рис.1). Оскільки вектори n і М про М перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю: тобто

А (х - хо) + В (у - уо) = 0. (10.8)

Рівняння (10.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору .

Вектор n= (А; В), перпендикулярний до прямої, називається нормальним нормальним вектором цієї прямої .

Рівняння (10.8) можна переписати як Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

де А і координати нормального вектора, С = -Ах про - Ву про - вільний член. Рівняння (10.9) є загальне рівняння прямої(Див. рис.2).

Рис.1 Рис.2

Канонічні рівняння прямої

,

Де
- координати точки, якою проходить пряма, а
- Спрямовуючий вектор.

Криві другого порядку Окружність

Окружністю називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.

Канонічне рівняння кола радіусу R з центром у точці
:

Зокрема, якщо центр колу збігається з початком координат, то рівняння матиме вигляд:

Еліпс

Еліпсом називається безліч точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок і , які називаються фокусами, є постійна величина
більша, ніж відстань між фокусами
.

Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат посередині між фокусами має вигляд
г де a довжина великої півосі; b - Довжина малої півосі (рис. 2).

Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точкиу прямокутній системі координат, що розташована на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і вирішимо кілька прикладів щодо пройденого матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.

Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма буде відповідати рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.

У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).

Необхідно скласти канонічне рівнянняпрямий a , яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) .

Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2, y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.

Приклад 1

Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .

Рішення

Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.

Приклад 2

Скласти загальне рівняння прямої, яка проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) і M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.

Рішення

Для початку необхідно записати канонічний рівняння заданої прямої, яка проходить через задані дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.

Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 , Тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівняннямвиду x - x 1 = 0 .

Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.

Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через дві точки, приймає наступний вигляд y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.

Приклад 3

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .

Рішення

Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати такого значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) і M 2 (2 , 1) .

Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.

При підстановці отримуємо, що

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, що проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 23x - 13.

Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількостічасу. Існує спосіб, у якому завдання вирішується буквально на дві дії.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Відповідь: y = 2 3 x - 1 3 .

Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими незбігаючими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.

Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .

Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.

Приклад 4

Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Рішення

Потрібно знайти канонічне рівняння. Оскільки йдеться про тривимірний простір, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

За умовою маємо, що x1 = 2, y1 = -3, z1 = 0, x2 = 1, y2 = -3, z2 = -5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто спричиняє труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, що вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить точка відрізку, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника тощо). .

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мовою чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом у вирішенні завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку У– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташуваннявекторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів і може набувати значення в інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний добуток векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається в аналітичній геометрії, це скаляр.

Знак векторного творувизначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина, то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідні під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомились із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили завдання щодо знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.