روش لاگرانژ (تغییر ثابت). معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. ODU. روش تغییر یک ثابت دلخواه

اکنون معادله ناهمگن خطی را در نظر می گیریم
. (2)
بگذارید y 1 , y 2 ,..., y n یک سیستم اساسی از راه حل ها باشد و - تصمیم مشترکمناسب معادله همگن L(y)=0. مشابه معادلات مرتبه اول، ما به دنبال حل معادله (2) در شکل خواهیم بود.
. (3)
اجازه دهید مطمئن شویم که راه حلی به این شکل وجود دارد. برای انجام این کار، تابع را جایگزین معادله می کنیم. برای جایگزینی این تابع در معادله، مشتقات آن را پیدا می کنیم. مشتق اول برابر است با
. (4)
هنگام محاسبه مشتق دوم، چهار جمله در سمت راست (4) ظاهر می شود، در هنگام محاسبه مشتق سوم، هشت جمله ظاهر می شود و غیره. بنابراین، برای راحتی محاسبات بعدی، عبارت اول در (4) برابر با صفر تعیین می شود. با در نظر گرفتن این موضوع، مشتق دوم برابر است با
. (5)
به همان دلایل قبلی، در (5) جمله اول را نیز برابر صفر قرار دادیم. سرانجام، مشتق n اممساوی با
. (6)
با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به معادله اصلی، داریم
. (7)
جمله دوم در (7) برابر با صفر است، زیرا توابع y j , j=1,2,..,n راه حل های معادله همگن متناظر L(y)=0 هستند. با ترکیب قبلی، سیستم را دریافت می کنیم معادلات جبریبرای یافتن توابع C" j (x)
(8)
تعیین کننده این سیستم تعیین کننده ورونسکی سیستم اساسی راه حل های y 1 ,y 2 ,..,y n معادله همگن متناظر L(y)=0 است و بنابراین برابر با صفر نیست. در نتیجه، یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم (8) وجود دارد. پس از یافتن آن، توابع C" j (x)، j=1،2،…،n، و در نتیجه، C j (x)، j=1،2،…،n را به دست می آوریم که این مقادیر را جایگزین می کنیم. (3)، ما یک راه حل برای خطی به دست می آوریم معادله ناهمگن.
روش ارائه شده روش تغییر یک ثابت دلخواه یا روش لاگرانژ نامیده می شود.

حداکثر درجه مشتق 2 3 4 5 6

مثال شماره 1. بیایید جواب کلی معادله y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x را پیدا کنیم. معادله همگن مربوطه را در نظر بگیرید y"" + 4y" + 3y = 0. ریشه های معادله مشخصه آن r 2 + 4r + 3 = 0 برابر است با -1 و - 3. بنابراین، سیستم اساسی راه حل های یک معادله همگن از توابع y 1 = e - x و y 2 = e -3 x تشکیل شده است. ما به دنبال راه حلی برای معادله ناهمگن به شکل y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x می گردیم. برای یافتن مشتقات C" 1 , C" 2 سیستمی از معادلات (8) می سازیم.

حل آن، پیدا می کنیم، ادغام توابع به دست آمده، داریم
بالاخره می رسیم

مثال شماره 2. حل خطی معادلات دیفرانسیلسفارش دوم با ضرایب ثابتبا روش تغییر ثابت دلخواه:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

راه حل:
این معادله دیفرانسیل به معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت اشاره دارد.
ما به دنبال حل معادله به شکل y = e rx خواهیم بود. برای این کار آهنگسازی می کنیم معادله مشخصهمعادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

ریشه های معادله مشخصه: r 1 = 4، r 2 = 2
از این رو، سیستم بنیادیراه حل ها از توابع تشکیل شده اند:
y 1 = e 4x، y 2 = e 2x
جواب کلی معادله همگن به شکل زیر است:

جستجوی یک راه حل خاص با روش تغییر یک ثابت دلخواه.
برای یافتن مشتقات C" i یک سیستم معادلات می سازیم:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
بیایید C" 1 را از معادله اول بیان کنیم:
C" 1 = -c 2 e -2x
و آن را با دومی جایگزین کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
ما توابع به دست آمده C" i را ادغام می کنیم:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

از آنجا که ، سپس عبارات به دست آمده را به شکل زیر می نویسیم:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) - 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
بنابراین، جواب کلی معادله دیفرانسیل به شکل زیر است:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
یا
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

بیایید یک راه حل خاص در این شرایط پیدا کنیم:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

با جایگزینی x = 0 در معادله یافت شده، به دست می آوریم:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
اولین مشتق از راه حل کلی به دست آمده را پیدا می کنیم:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
با جایگزینی x = 0، دریافت می کنیم:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

ما یک سیستم از دو معادله بدست می آوریم:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
یا
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
یا
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
جایی که:
C 1 = 0، C * 2 = 2
راه حل خصوصی به صورت زیر نوشته می شود:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی با ضرایب ثابت از مرتبه n دلخواه را در نظر بگیرید:
(1) .
روش تغییر یک ثابت که برای یک معادله مرتبه اول در نظر گرفتیم، برای معادلات مرتبه بالاتر نیز قابل استفاده است.

راه حل در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول سمت راست را کنار می گذاریم و معادله همگن را حل می کنیم. در نتیجه راه حلی حاوی n ثابت دلخواه به دست می آوریم. در مرحله دوم ما ثابت ها را تغییر می دهیم. یعنی ما معتقدیم که این ثابت ها توابعی از متغیر مستقل x هستند و شکل این توابع را پیدا می کنند.

اگرچه در اینجا معادلات با ضرایب ثابت را در نظر می گیریم، اما روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی نیز قابل استفاده است. برای انجام این کار، با این حال، سیستم اساسی راه حل های معادله همگن باید شناخته شود.

مرحله 1. حل معادله همگن

همانطور که در مورد معادلات مرتبه اول، ابتدا به دنبال جواب کلی معادله همگن می‌گردیم و ضلع ناهمگن سمت راست را برابر با صفر می‌کنیم:
(2) .
جواب کلی این معادله به صورت زیر است:
(3) .
در اینجا ثابت های دلخواه وجود دارد. - n راه حل مستقل خطی معادله همگن (2) که یک سیستم اساسی از راه حل های این معادله را تشکیل می دهند.

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

در مرحله دوم به تغییرات ثابت ها می پردازیم. به عبارت دیگر، ما ثابت ها را با توابع متغیر مستقل x جایگزین می کنیم:
.
یعنی ما به دنبال حل معادله اصلی (1) به شکل زیر هستیم:
(4) .

اگر (4) را به (1) جایگزین کنیم، یک معادله دیفرانسیل برای n تابع بدست می آوریم. در این صورت می توانیم این توابع را با معادلات اضافی به هم وصل کنیم. سپس n معادله ای به دست می آورید که n تابع را می توان تعیین کرد. معادلات اضافی را می توان نوشت راه های مختلف. اما این کار را انجام می دهیم تا راه حل ساده ترین شکل را داشته باشد. برای انجام این کار، هنگام تمایز، باید عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر کنید. بیایید این را نشان دهیم.

برای جایگزینی جواب پیشنهادی (4) به معادله اصلی (1)، باید مشتقات n مرتبه اول تابع را که به شکل (4) نوشته شده است، پیدا کنیم. ما (4) را با استفاده از آن متمایز می کنیم قوانین برای افتراق مبالغو آثار:
.
بیایید اعضا را گروه بندی کنیم. ابتدا اصطلاحات را با مشتقات و سپس اصطلاحات را با مشتقات می نویسیم:

.
بیایید شرط اول را بر توابع اعمال کنیم:
(5.1) .
سپس عبارت اولین مشتق با توجه به شکل ساده تری خواهد داشت:
(6.1) .

با استفاده از همین روش، مشتق دوم را پیدا می کنیم:

.
بیایید شرط دومی را بر توابع اعمال کنیم:
(5.2) .
سپس
(6.2) .
و غیره. که در شرایط اضافی، عبارات حاوی مشتقات توابع را با صفر برابر می کنیم.

بنابراین، اگر معادلات اضافی زیر را برای توابع انتخاب کنیم:
(5.k) ,
سپس اولین مشتقات نسبت به ساده ترین شکل را خواهند داشت:
(6.k) .
اینجا .

مشتق n را پیدا کنید:
(6.n)
.

معادله اصلی (1) را جایگزین کنید:
(1) ;






.
اجازه دهید در نظر بگیریم که همه توابع معادله (2) را برآورده می کنند:
.
سپس مجموع عبارت های حاوی صفر صفر را به دست می دهد. در نتیجه دریافت می کنیم:
(7) .

در نتیجه سیستمی به دست آوردیم معادلات خطیبرای مشتقات:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

با حل این سیستم، عباراتی برای مشتقات به عنوان تابعی از x پیدا می کنیم. با ادغام، دریافت می کنیم:
.
در اینجا ثابت هایی هستند که دیگر به x وابسته نیستند. با جایگزینی (4)، یک راه حل کلی برای معادله اصلی به دست می آوریم.

توجه داشته باشید که برای تعیین مقادیر مشتقات، هرگز از ثابت بودن ضرایب a i استفاده نکردیم. از همین رو روش لاگرانژ برای حل هر معادله ناهمگن خطی قابل استفاده است، اگر سیستم اساسی راه حل های معادله همگن (2) شناخته شده باشد.

مثال ها

حل معادلات با استفاده از روش تغییرات ثابت (لاگرانژ).

حداقل نظری

در نظریه معادلات دیفرانسیل، روشی وجود دارد که مدعی است درجه نسبتاً بالایی از جهانی بودن برای این نظریه دارد.
ما در مورد روش تغییر یک ثابت دلخواه صحبت می کنیم که برای حل کلاس های مختلف معادلات دیفرانسیل و آنها قابل استفاده است.
سیستم های این دقیقاً زمانی است که تئوری - اگر شواهد گزاره‌ها را از پرانتز خارج کنیم - حداقل است، اما به ما اجازه می‌دهد به آن دست پیدا کنیم.
نتایج قابل توجهی است، بنابراین تاکید بر مثال ها خواهد بود.

ایده کلی روش برای فرمول بندی بسیار ساده است. اجازه دهید معادله داده شدهحل کردن (سیستم معادلات) دشوار یا کاملاً نامفهوم است،
چگونه آن را حل کنیم اما واضح است که با حذف برخی اصطلاحات از معادله حل می شود. سپس آنها دقیقاً این را ساده شده حل می کنند
معادله (سیستم)، ما یک راه حل حاوی تعداد معینی از ثابت های دلخواه را به دست می آوریم - بسته به ترتیب معادله (تعداد)
معادلات در سیستم). سپس فرض می‌شود که ثابت‌های موجود در جواب یافت شده در واقع ثابت نیستند، جواب یافت شده
با معادله اصلی (سیستم) جایگزین می شود، یک معادله دیفرانسیل (یا سیستم معادلات) برای تعیین "ثابت" به دست می آید.
در به کارگیری روش تغییر یک ثابت دلخواه برای مسائل مختلف، ویژگی خاصی وجود دارد، اما اینها قبلاً ویژگی هایی هستند که
با مثال نشان داده شده است.

اجازه دهید حل معادلات ناهمگن خطی مرتبه های بالاتر را به طور جداگانه در نظر بگیریم، یعنی. معادلات فرم
.
جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی، مجموع جواب کلی معادله همگن مربوطه و یک جواب خاص است.
از این معادله فرض کنید یک راه حل کلی برای معادله همگن قبلاً پیدا شده است، یعنی یک سیستم اساسی از راه حل ها (FSS) ساخته شده است.
. سپس جواب کلی معادله همگن برابر است با .
ما باید هر راه حل خاصی برای معادله ناهمگن پیدا کنیم. برای این منظور، ثابت ها به یک متغیر وابسته در نظر گرفته می شوند.
بعد باید سیستم معادلات را حل کنید
.
این تئوری تضمین می کند که این سیستم معادلات جبری با توجه به مشتقات توابع دارای یک راه حل منحصر به فرد است.
هنگام یافتن خود توابع، ثابت های ادغام ظاهر نمی شوند: از این گذشته، هر راه حل واحدی جستجو می شود.

در مورد حل سیستم های معادلات مرتبه اول ناهمگن خطی شکل

الگوریتم تقریباً بدون تغییر باقی می ماند. ابتدا باید FSR مربوطه را پیدا کنید سیستم همگنمعادلات، یک ماتریس اساسی ایجاد کنید
سیستمی که ستون های آن نشان دهنده عناصر FSR است. بعد، معادله ترسیم می شود
.
هنگام حل سیستم، توابع را تعیین می کنیم، بنابراین یک راه حل خاص برای سیستم اصلی پیدا می کنیم
(ماتریس اساسی در ستون توابع یافت شده ضرب می شود).
ما آن را به حل کلی سیستم متناظر معادلات همگن اضافه می کنیم که بر اساس FSR از قبل یافت شده ساخته شده است.
راه حل کلی سیستم اصلی به دست می آید.

مثال ها.

مثال 1. معادلات ناهمگن خطی مرتبه اول.

اجازه دهید معادله همگن مربوطه را در نظر بگیریم (ما تابع مورد نظر را نشان می دهیم):
.
این معادله را می توان به راحتی با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کرد:

.
حال بیایید جواب معادله اصلی را به شکل تصور کنیم ، جایی که تابع هنوز پیدا نشده است.
ما این نوع راه حل را با معادله اصلی جایگزین می کنیم:
.
همانطور که می بینید، عبارت دوم و سوم در سمت چپ یکدیگر را خنثی می کنند - این است مشخصهروش تغییر یک ثابت دلخواه

در اینجا از قبل یک ثابت واقعا دلخواه است. بدین ترتیب،
.

مثال 2. معادله برنولی.

ما به طور مشابه به مثال اول ادامه می دهیم - معادله را حل می کنیم

روش جداسازی متغیرها به نظر می رسد، بنابراین ما به دنبال یک راه حل برای معادله اصلی در فرم هستیم
.
این تابع را با معادله اصلی جایگزین می کنیم:
.
و دوباره کاهش ها رخ می دهد:
.
در اینجا باید به یاد داشته باشید که هنگام تقسیم بر راه حل از بین نرود. و راه حل اصلی با مورد مطابقت دارد
معادلات بیایید آن را به خاطر بسپاریم. بنابراین،
.
بیایید آن را بنویسیم.
این راه حل است. هنگام نوشتن پاسخ، باید راه حل قبلی را نیز مشخص کنید، زیرا با هیچ مقدار نهایی مطابقت ندارد
ثابت ها

مثال 3. معادلات ناهمگن خطی از مرتبه بالاتر.

بیایید بلافاصله توجه کنیم که این معادله را می توان ساده تر حل کرد، اما نشان دادن روش با استفاده از آن راحت است. اگرچه برخی از مزایای
روش تنوع در این مثال نیز یک ثابت دلخواه دارد.
بنابراین، باید با FSR معادله همگن مربوطه شروع کنید. به یاد بیاوریم که برای یافتن FSR، یک منحنی مشخصه کامپایل شده است
معادله
.
بنابراین، حل کلی معادله همگن
.
ثابت های موجود در اینجا باید متفاوت باشند. ساختن یک سیستم

برای یافتن جواب کلی y’’ + (x) y’ + (x) y = f (x) باید یک جواب خاص پیدا کرد.

می توان آن را از حل کلی معادله y” + (x) y” + (x) y = 0 برخی از تغییرات ثابت دلخواه پیدا کرد.

بیایید در (5.1) جایگزین کنیم

+ + + + (x) + +

(x) + = f (x)

+ + + + (x) +

(x) + = f (x)

با ادغام پیدا می کنیم و

سپس با استفاده از فرمول (5.6) یک راه حل کلی می سازیم

قضیه (5.2): o تحمیل راه حل

اگر قسمت راستمعادله y'' + (x) y' + (x) y = f (x) مجموع 2 تابع است:

f(x) = (x) + (x) ,

و u یک راه حل خاص معادله است

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

این تابع است

راه حل این معادله است

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

10. معادله برنولی.

11. معادله ریکاتی:

معادله ریکاتییکی از جالب ترین هاست معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه اول. به این شکل نوشته شده است:

جایی که آ(ایکس), ب(ایکس), ج(ایکس) - توابع پیوسته بسته به متغیر ایکس.

معادله ریکاتی در حوزه‌های مختلف ریاضیات (مثلاً هندسه جبری و تئوری نگاشت‌های هم‌شکل) و فیزیک یافت می‌شود. همچنین اغلب در مسائل ریاضی کاربردی به وجود می آید.

معادله فوق نامیده می شود معادله کلیریکاتی. راه حل او بر اساس قضیه زیر است:

قضیه: اگر راه حل خاصی شناخته شده باشد y 1 از معادله ریکاتی، سپس حل کلی آن با فرمول تعیین می شود

در واقع، جایگزین راه حل y = y 1 + تودر معادله ریکاتی داریم:

عبارت‌های خط‌کشیده شده در سمت چپ و راست را می‌توان مخفف کرد زیرا y 1 راه حل خاصی است که معادله را برآورده می کند. در نتیجه یک معادله دیفرانسیل برای تابع بدست می آوریم تو(ایکس):

نسخه دوم Riccati (فقط یکی از آنها را بنویسید)

که در مورد کلیدر ربع ادغام نشده است

با این حال، اگر یک راه حل خاص شناخته شود، می توان معادله ریکاتی را به معادله برنولی تقلیل داد.

برای انجام این کار، بیایید یک جایگزین ایجاد کنیم:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0

Z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0

n=2 برنولی

12. معادله لاگرانژ.:

13. معادله Clairaut:

14. معادلات دیفرانسیل از مرتبه بالاتر از اولی. موارد تنزل رتبه.

15. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n. ورونسکیان سیستم بنیادی راه حل ها:

16. معادلات دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت. معادله مشخصه:

یک مورد خاص از همگن های خطی که در بالا در نظر گرفته شد

معادلات دیفرانسیل LODE با ثابت هستند

ضرایب

17. معادلات ناهمگن خطی. یافتن یک جواب خاص در مورد معادله ای با شبه چند جمله ای:

شبه چند جمله ای اویلر:اجازه دهید یک LDDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) شما می توانید با استفاده از روش لاگرانژ راه حل خاصی را جستجو کنید، اما در برخی موارد می توان آن را ساده تر یافت. این موارد را در نظر بگیرید: 1. f(x) = , چند جمله ای درجه n است. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x). در این موارد، f(x) را شبه چند جمله ای اویلر می نامند. در این موارد، شکل مورد انتظار راه حل را با ضرایب نامشخص بنویسید و آن را با معادله (5.1) جایگزین کنید. از هویت حاصل مقدار ضرایب پیدا می شود. مورد 1 : سمت راست (5.7) شکل دارد: f(x) = α R یک چند جمله ای درجه n است. معادله (5.7) به این شکل نوشته می شود: y’’ + p y’ + q y = (5.8) در این مورد، ما به دنبال یک راه حل خاص به شکل: = Qn (x) هستیم. (5.9) که r عدد = کثرت α به عنوان ریشه سطح مشخصه + pk + q = 0 است، یعنی. r – عددی که نشان می‌دهد چند بار α ریشه ur + p k + q = 0 است، علاوه بر این، Qn (x) = + + …. + A n چند جمله ای درجه n است که با ضرایب نامشخص Ai نوشته می شود (i = 0، 1، 2،...n) A) فرض کنید α ریشه سطح مشخصه نباشد: + p k + q = 0، i.e. α , r = 0 و ما به دنبال راه حلی به شکل = Q n (x) B) فرض کنید α یک ریشه واحد (ساده) از معادله مشخصه + p k + q = 0، α = r = 1، = x باشد. Q n (x) B) فرض کنید α = ریشه 2 برابری سطح مشخصه باشد + pk + q = 0، r = 2 = Q n (x) مورد 2: سمت راست (5.7) به شکل: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , که در آن ) و Qm (x) به ترتیب چند جمله‌ای با درجه n و m هستند، α و β اعداد واقعی هستند، سپس معادله (5.7) به شکل y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) در این مورد، یک راه حل خاص: = * (Ml ( x) cosβx + Nl (x) sin βx) (5.11) عدد r برابر با تعدد (α + βi) به عنوان ریشه معادله: + pk + q = 0، Me (x) و Ne (x) چند جمله ای درجه l با ضرایب نامشخص هستند. l بالاترین درجه چندجمله ای ها است و Qm (x)، l =max(n,m). یادداشت 1: پس از جایگزینی تابع (5.11) به (5.10)، چند جمله ای های مقابل مثلثی به همین نام برابر می شوند. در سمت چپ و راست ur-i عمل می کند. تبصره 2 : فرمول (5.11) برای 0 و Qm (x) 0 ثابت می ماند. نکته 3 : اگر سمت راست معادله (5.7) مجموع توابع شکل 1 و 2 باشد، برای یافتن آن باید از قضیه (5.2) در مورد تحمیل جوابها استفاده کنید. قضیه (5.2): در تحمیل راه حل ها: اگر سمت راست معادله (5.1) مجموع 2 تابع را نشان دهد: f(x) = (x) + (x)، و u راه حل های جزئی معادله + (x) y ' + (x) y = (x) + (x) y ' + (x) y = (x) این جواب این معادله است. ادغام مرتبه n LNDDE (n ضریب ثابت و سمت راستنوع خاص اجازه دهید مرتبه n LDDE + (x) + (x) + … + (x)y = f(x) را در نظر بگیریم که در آن (x) , …, (x) , f(x) داده شده است عملکرد پیوستهدر بازه (a, b) . پاسخ معادله همگن + (x) + … + (x)y = 0 . جواب کلی y از مرتبه n ام LNDDE = مجموع جواب خاص NU و جواب کلی OUy = . اگر جواب کلی سیستم عامل شناخته شده باشد = + + … + که در آن yi(x) راه حل خاصی است که سیستم اساسی راه حل های سیستم عامل را تشکیل می دهد. برای یافتن Ci(x)، سیستم ur + + … + = 0 + + … + = کامپایل می شود 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) با این حال، برای مرتبه n-ام LDDE با ضرایب ثابت، سمت راست f(x) آن نوع خاصروش انتخاب یک راه حل خاص برای معادله y'' + + … + y = f (x) R، که در آن f (x) شبه چند جمله ای اویلر است. برای n=2.

از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن استفاده می شود. این درس برای آن دسته از دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که در حال حاضر کم و بیش به این موضوع مسلط هستند. اگر تازه شروع به آشنایی با کنترل از راه دور کرده اید، یعنی. اگر اهل قوری هستید، توصیه می کنم از درس اول شروع کنید: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها. و اگر در حال اتمام هستید، لطفاً این پیش فرض احتمالی را که روش دشوار است، کنار بگذارید. چون ساده است.

در چه مواردی از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده می شود؟

1) برای حل می توان از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده کرد خطی ناهمگن DE از مرتبه 1. از آنجایی که معادله مرتبه اول است، پس ثابت نیز یک است.

2) از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل برخی استفاده می شود معادلات مرتبه دوم ناهمگن خطی. در اینجا دو ثابت متفاوت است.

منطقی است که فرض کنیم درس شامل دو پاراگراف باشد... بنابراین من این جمله را نوشتم و حدود 10 دقیقه به طرز دردناکی به این فکر می کردم که چه مزخرفات هوشمندانه دیگری را می توانم برای انتقال آرام به آن اضافه کنم. نمونه های عملی. اما به دلایلی بعد از تعطیلات هیچ فکری نمی کنم، اگرچه به نظر نمی رسد از چیزی سوء استفاده کرده باشم. بنابراین، بیایید مستقیماً به پاراگراف اول برویم.

روش تغییر یک ثابت دلخواه
برای یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول

قبل از در نظر گرفتن روش تغییر یک ثابت دلخواه، توصیه می شود با مقاله آشنا شوید معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. در آن درس تمرین کردیم راه حل اولناهمگن درجه 1 DE. این اولین راه حل، یادآوری می کنم، نام دارد روش جایگزینییا روش برنولی(با آن اشتباه نشود معادله برنولی!!!)

اکنون نگاه خواهیم کرد راه حل دوم- روش تغییر یک ثابت دلخواه. من فقط سه مثال می زنم و آنها را از درس فوق می گیرم. چرا اینقدر کم؟ زیرا در واقع راه حل در راه دوم بسیار شبیه به راه حل در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، با توجه به مشاهدات من، روش تغییر ثابت های دلخواه کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

(از مثال شماره 2 درس فاصله بگیرید معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:این معادله خطی ناهمگن است و شکلی آشنا دارد:

در مرحله اول، حل یک معادله ساده تر ضروری است:
یعنی ما احمقانه سمت راست را ریست می کنیم و به جای آن صفر می نویسیم.
معادله تماس میگیرم معادله کمکی.

که در در این مثالباید معادله کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله قابل تفکیک، که راه حل آن (امیدوارم) دیگر برای شما سخت نباشد:

بدین ترتیب:
- حل کلی معادله کمکی.

در پله دوم جایگزین خواهیم کردمقداری ثابت در حال حاضرتابع ناشناخته که به "x" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ما ثابت را تغییر می دهیم. از طرف دیگر، ثابت می تواند تابعی باشد که اکنون باید آن را پیدا کنیم.

که در اصلیمعادله ناهمگن بیایید جایگزینی ایجاد کنیم:

بیایید جایگزین کنیم و به معادله :

نقطه کنترل - دو عبارت سمت چپ لغو می شود. اگر این اتفاق نیفتاد، باید به دنبال خطای بالا بگردید.

در نتیجه جایگزینی، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست آمد. متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم.

چه برکتی است که شارحان نیز لغو می کنند:

یک ثابت "عادی" را به تابع یافت شده اضافه می کنیم:

بر مرحله نهاییبیایید جایگزین خود را به یاد بیاوریم:

تابع به تازگی پیدا شده است!

بنابراین راه حل کلی این است:

پاسخ:تصمیم مشترک:

اگر دو راه حل را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما انتگرال های یکسانی پیدا کردیم. تنها تفاوت در الگوریتم حل است.

حالا برای چیز پیچیده تر، در مورد مثال دوم نیز نظر خواهم داد:

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
(از مثال شماره 8 درس متمایز شوید معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)

راه حل:اجازه دهید معادله را به شکل کاهش دهیم :

بیایید سمت راست را تنظیم مجدد کنیم و معادله کمکی را حل کنیم:

حل کلی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

طبق قانون تمایز محصول:

بیایید جایگزین کنیم و به معادله ناهمگن اصلی:

دو عبارت در سمت چپ لغو می شوند، به این معنی که ما در مسیر درست هستیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم. حرف خوشمزه حاصل از ادغام با فرمول قطعات قبلاً در راه حل دخیل است ، بنابراین برای مثال از حروف "a" و "be" استفاده می کنیم:

حالا بیایید جایگزین را به یاد بیاوریم:

پاسخ:تصمیم مشترک:

و یک مثال برای تصمیم مستقل:

مثال 3

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل مربوط به شرط اولیه داده شده پیدا کنید.

,
(از مثال شماره 4 درس جدا شوید معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 1)
راه حل:
این DE ناهمگن خطی است. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم. بیایید معادله کمکی را حل کنیم:

متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم:

تصمیم مشترک:
در معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

بیایید جایگزینی را انجام دهیم:

بنابراین راه حل کلی این است:

اجازه دهید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم:

پاسخ:راه حل خصوصی:

راه حل در پایان درس می تواند مفید باشد مثالبرای تکمیل کاروظایف

روش تغییر ثابت های دلخواه
برای یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

من اغلب این عقیده را شنیده ام که روش تغییر دادن ثابت های دلخواه برای یک معادله مرتبه دوم کار آسانی نیست. اما من موارد زیر را فرض می کنم: به احتمال زیاد، این روش برای بسیاری دشوار به نظر می رسد زیرا اغلب اتفاق نمی افتد. اما در واقعیت هیچ مشکل خاصی وجود ندارد - مسیر تصمیم روشن، شفاف و قابل درک است. و زیبا.

برای تسلط بر روش، مطلوب است که بتوان با انتخاب یک راه حل خاص بر اساس فرم سمت راست، معادلات مرتبه دوم ناهمگن را حل کرد. این روشدر مقاله به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است DEهای مرتبه دوم ناهمگن. به یاد می آوریم که یک معادله ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل زیر است:

روش انتخاب، که در درس بالا مورد بحث قرار گرفت، تنها در موارد محدودی کار می کند که سمت راست شامل چند جمله ای، نمایی، سینوس و کسینوس باشد. اما وقتی در سمت راست، مثلاً کسری، لگاریتم، مماس است، چه باید کرد؟ در چنین شرایطی، روش تغییر ثابت ها به کمک می آید.

مثال 4

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را پیدا کنید

راه حل:کسری در سمت راست این معادله وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خاص کار نمی کند. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

هیچ نشانه ای از رعد و برق وجود ندارد؛ شروع راه حل کاملاً معمولی است:

پیدا خواهیم کرد تصمیم مشترکمناسب همگنمعادلات:

بیایید معادله مشخصه را بسازیم و حل کنیم:


- ریشه های پیچیده مزدوج به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

به رکورد راه حل کلی توجه کنید - اگر پرانتز وجود دارد، آنها را باز کنید.

اکنون ما تقریباً همان ترفند معادله مرتبه اول را انجام می دهیم: ثابت ها را تغییر می دهیم و آنها را با توابع مجهول جایگزین می کنیم. به این معنا که، راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر خواهیم بود:

جایی که - در حال حاضرتوابع ناشناخته

شبیه محل دفن زباله است زباله خانگی، اما اکنون همه چیز را مرتب می کنیم.

مجهولات مشتقات توابع هستند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت شده باید هر دو معادله اول و دوم سیستم را برآورده کنند.

"یونانی ها" از کجا می آیند؟ لک لک آنها را می آورد. ما به راه حل کلی که قبلاً به دست آمده نگاه می کنیم و می نویسیم:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

با قسمت های سمت چپ برخورد شده است. سمت راست چیه؟

سمت راست معادله اصلی است، در در این مورد:

ضریب ضریب مشتق دوم است:

در عمل، تقریباً همیشه، و مثال ما نیز از این قاعده مستثنی نیست.

همه چیز واضح است، اکنون می توانید یک سیستم ایجاد کنید:

سیستم معمولا حل می شود طبق فرمول های کرامربا استفاده از الگوریتم استاندارد تنها تفاوت این است که به جای اعداد، توابع داریم.

بیایید تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا کنیم:

اگر فراموش کرده اید که تعیین کننده دو به دو چگونه آشکار می شود، به درس مراجعه کنید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟لینک به تابلوی شرم منتهی می شود =)

بنابراین: این بدان معنی است که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

پیدا کردن مشتق:

اما این همه چیز نیست، تا کنون فقط مشتق را پیدا کرده ایم.
خود تابع با یکپارچه سازی بازیابی می شود:

بیایید تابع دوم را بررسی کنیم:

در اینجا یک ثابت "عادی" را اضافه می کنیم

در مرحله پایانی حل، به یاد می آوریم که در چه شکلی به دنبال یک راه حل کلی برای معادله ناهمگن بودیم؟ در چنین مواردی:

توابع مورد نیاز شما به تازگی پیدا شده اند!

تنها چیزی که باقی می ماند این است که جایگزینی را انجام دهید و پاسخ را یادداشت کنید:

پاسخ:تصمیم مشترک:

در اصل پاسخ می توانست پرانتز را بسط دهد.

بررسی پاسخ کامل با استفاده از طرح استانداردکه در کلاس مطرح شد DEهای مرتبه دوم ناهمگن. اما تأیید آسان نخواهد بود، زیرا یافتن مشتقات نسبتاً سنگین و انجام جایگزینی دست و پاگیر ضروری است. وقتی چنین دیفیوزرهایی را حل می کنید، این یک ویژگی ناخوشایند است.

مثال 5

یک معادله دیفرانسیل را با تغییر ثابت دلخواه حل کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در واقع، در سمت راست نیز کسری وجود دارد. به یاد بیاوریم فرمول مثلثاتی، به هر حال، باید در طول راه حل اعمال شود.

روش تغییر ثابت های دلخواه بیشترین است روش جهانی. می تواند هر معادله ای را که قابل حل باشد حل کند روش انتخاب یک راه حل خاص بر اساس فرم سمت راست. این سوال مطرح می شود: چرا از روش تغییر ثابت های دلخواه در آنجا نیز استفاده نمی شود؟ پاسخ واضح است: انتخاب یک راه حل خاص، که در کلاس مورد بحث قرار گرفت معادلات مرتبه دوم ناهمگن، به طور قابل توجهی سرعت حل را افزایش می دهد و ضبط را کوتاه می کند - بدون سر و صدا با عوامل تعیین کننده و انتگرال.

بیایید به دو مثال با مشکل کوشی.

مثال 6

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل مربوط به شرایط اولیه داده شده پیدا کنید

,

راه حل:باز هم کسر و توان در مکان جالب.
ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

پیدا خواهیم کرد تصمیم مشترکمناسب همگنمعادلات:



- ریشه های واقعی متفاوتی به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

راه حل عمومی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر هستیم: در حال حاضرتوابع ناشناخته

بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

در این مورد:
,
یافتن مشتقات:
,

بدین ترتیب:

بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

ما تابع را با یکپارچه سازی بازیابی می کنیم:

در اینجا استفاده شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

تابع دوم را با ادغام بازیابی می کنیم:

این انتگرال حل شده است روش جایگزینی متغیر:

از خود جایگزینی بیان می کنیم:

بدین ترتیب:

این انتگرال را می توان یافت روش استخراج مربع کامل، اما در نمونه هایی با دیفیوزر ترجیح می دهم کسر را گسترش دهم روش ضرایب نامشخص:

هر دو تابع پیدا شد:

در نتیجه، جواب کلی معادله ناهمگن به صورت زیر است:

بیایید راه حل خاصی پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند .

از نظر فنی، جستجوی راه حل به روش استاندارد انجام می شود که در مقاله مورد بحث قرار گرفت معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم.

صبر کنید، اکنون مشتق راه حل کلی پیدا شده را خواهیم یافت:

این چنین شرمساری است. ساده کردن آن ضروری نیست، ساده تر است که بلافاصله یک سیستم معادلات ایجاد کنید. با توجه به شرایط اولیه :

بیایید مقادیر یافت شده ثابت ها را جایگزین کنیم به راه حل کلی:

در پاسخ، لگاریتم ها را می توان کمی بسته بندی کرد.

پاسخ:راه حل خصوصی:

همانطور که می بینید، مشکلات ممکن است در انتگرال ها و مشتقات ایجاد شود، اما نه در الگوریتم روش تغییر ثابت های دلخواه. این من نیستم که شما را بترسانم، این همه مجموعه کوزنتسوف است!

برای آرامش، یک مثال نهایی و ساده تر برای حل خودتان:

مثال 7

مشکل کوشی را حل کنید

,

مثال ساده است، اما خلاقانه است، هنگامی که یک سیستم ایجاد می کنید، قبل از تصمیم گیری به دقت به آن نگاه کنید ;-)




در نتیجه راه حل کلی این است:

اجازه دهید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه پیدا کنیم .



اجازه دهید مقادیر یافت شده ثابت ها را با جواب کلی جایگزین کنیم:

پاسخ:راه حل خصوصی: