Тоонуудын пропорцийг хэрхэн зөв гаргах вэ. Пропорцийг хэрхэн тооцоолох вэ

Пропорц гэдэг нь хоёр ба түүнээс дээш тоог бие биетэйгээ харьцуулах математик илэрхийлэл юм. Пропорцийг харьцуулж болно үнэмлэхүй утгуудболон тоо хэмжээ эсвэлилүү том бүхэл бүтэн хэсгүүд. Пропорцийг хэд хэдэн янзаар бичиж, тооцоолж болох боловч үндсэн зарчим нь адилхан.

Алхам

1-р хэсэг

Пропорц гэж юу вэ

Ямар пропорцууд хэрэгтэйг олж мэдээрэй.Пропорцийг дараах байдлаар ашигладаг Шинжлэх ухааны судалгаа, түүнчлэн дотор Өдөр тутмын амьдралянз бүрийн үнэ цэнэ, хэмжигдэхүүнийг харьцуулах. Хамгийн энгийн тохиолдолд хоёр тоог харьцуулах боловч пропорциональ нь хэдэн ч утгыг агуулж болно. Хоёр ба түүнээс дээш хэмжигдэхүүнийг харьцуулахдаа пропорцийг үргэлж хэрэглэж болно. Хэмжигдэхүүнүүд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг мэдэх нь жишээлбэл бичих боломжийг олгодог химийн томъёоэсвэл жор төрөл бүрийн хоол. Пропорц нь янз бүрийн зорилгоор хэрэг болно.

1. Пропорц гэж юу гэсэн үг болохыг олж мэд.Дээр дурдсанчлан пропорц нь хоёр ба түүнээс дээш хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, жигнэмэг хийхэд 2 аяга гурил, 1 аяга элсэн чихэр шаардлагатай бол гурил, элсэн чихэр хоёрын хооронд 2-1 харьцаатай байдаг гэж бид хэлдэг.

   • Хэрхэн гэдгийг харуулахын тулд пропорцийг ашиглаж болно янз бүрийн тоо хэмжээшууд хамааралгүй байсан ч бие биенээ хэлнэ (жороос ялгаатай). Жишээлбэл, ангид таван охин, арван хөвгүүн байгаа бол охидын тоог хөвгүүдийн тоонд харьцуулсан харьцаа нь 5-10 байна.Энэ тохиолдолд нэг тоо нөгөөгөөсөө хамаарахгүй бөгөөд шууд хамааралтай байдаггүй. Энэ нь: хэрэв хэн нэгэн ангиас гарвал хувь хэмжээ өөрчлөгдөж болно, эсвэл эсрэгээр, шинэ оюутнууд түүнд ирэх болно. Пропорц нь хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулах боломжийг танд олгоно.

2. анхаарал хандуулах янз бүрийн арга замуудпропорциональ илэрхийллүүд.Пропорцийг үгээр бичиж эсвэл математикийн тэмдэглэгээг ашиглаж болно.

   • IN өдөр тутмын амьдралПропорцийг ихэвчлэн үгээр илэрхийлдэг (дээрх шиг). Пропорцийг хамгийн их ашигладаг өөр өөр газар нутаг, хэрэв таны мэргэжил математик эсвэл бусад шинжлэх ухаантай холбоогүй бол та пропорцийг бичих ийм аргыг ихэвчлэн олж хардаг.
   • Пропорцийг ихэвчлэн хоёр цэгээр бичдэг. Пропорц ашиглан хоёр тоог харьцуулахдаа 7:13 гэх мэт хоёр цэгээр бичиж болно. Хэрэв хоёроос дээш тоог харьцуулж байгаа бол хоёр тоо бүрийн хооронд хоёр цэгийг дараалан оруулна, жишээ нь 10:2:23. Дээрх ангийн жишээн дээр бид охид хөвгүүдийн тоог 5 охин: 10 хөвгүүдтэй харьцуулж байна. Тиймээс энэ тохиолдолд пропорцийг 5:10 гэж бичиж болно.
   • Заримдаа пропорцийг бичихдээ бутархай тэмдгийг ашигладаг. Манай ангийн жишээнд 5 охин, 10 хөвгүүний харьцааг 5/10 гэж бичнэ. Энэ тохиолдолд "хуваах" тэмдгийг уншиж болохгүй бөгөөд энэ нь бутархай биш, харин хоёр өөр тооны харьцаа гэдгийг санах нь зүйтэй.

   2-р хэсэг

   Пропорцтой үйлдлүүд

   1. Пропорцийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулаарай.Пропорцийг бутархайн нэгэн адил гишүүдийг нийтлэг хуваагчаар багасгах замаар хялбарчилж болно. Пропорцийг хялбарчлахын тулд доторх бүх тоог нийтлэг хуваагчдад хуваа. Гэсэн хэдий ч энэ пропорцийг бий болгоход хүргэсэн анхны утгуудын талаар мартаж болохгүй.

      • Дээрх жишээнд 5 охин, 10 хөвгүүнтэй анги (5:10) пропорциональ хоёр тал нь 5-ын нийтлэг хуваагчтай байна. Хоёуланг нь 5-д (хамгийн их нийтлэг хуваагч) хуваахад бид 1 охиныг 2-ын харьцаатай болно. хөвгүүд (жишээ нь 1:2). Гэсэн хэдий ч хялбаршуулсан пропорцийг ашиглахдаа эхний тоонуудыг санах хэрэгтэй: ангид 3 сурагч биш, харин 15. Бууруулсан хувь хэмжээ нь зөвхөн охид, хөвгүүдийн хоорондын харьцааг харуулдаг. Охид бүрт хоёр эрэгтэй хүүхэд ногддог боловч энэ нь ангид 1 охин, 2 эрэгтэй хүүхэд байна гэсэн үг биш юм.
      • Зарим хувь хэмжээг хялбарчлах боломжгүй. Жишээлбэл, 3:56 харьцааг бууруулж болохгүй, учир нь пропорцонд орсон тоо хэмжээ нь байхгүй байна. нийтлэг хуваагч: 3 нь анхны тоо бөгөөд 56 нь 3-т хуваагддаггүй.

   2. "Хамшрах" хувьд пропорцийг үржүүлж эсвэл хувааж болно.Пропорцийг ихэвчлэн пропорциональ тоог нэмэгдүүлэх, багасгахад ашигладаг. Бүх хэмжигдэхүүнийг ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь тэдгээрийн хоорондын харьцаа өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ. Тиймээс пропорцийг "масштаб" хүчин зүйлээр үржүүлж эсвэл хувааж болно.

      • Талхчин жигнэсэн жигнэмэгийнхээ хэмжээг гурав дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай гэж бодъё. Хэрэв гурил, элсэн чихэрийг 2-оос 1 (2: 1) харьцаатай авбал жигнэмэгийн тоог 3 дахин нэмэгдүүлэхийн тулд энэ харьцааг 3-аар үржүүлэх хэрэгтэй. Үр дүн нь 3 аяга элсэн чихэр хийхэд 6 аяга гурил болно ( 6:3).
      • Та мөн эсрэгээр нь хийж болно. Талхчин жигнэмэгийн хэмжээг хоёр дахин багасгах шаардлагатай бол пропорцын хоёр хэсгийг 2-оор (эсвэл 1/2-оор үржүүлнэ) хуваана. Үр дүн нь хагас аяга (1/2, эсвэл 0.5 аяга) элсэн чихрийн хувьд 1 аяга гурил юм.

   3. Хоёр тэнцүү пропорц ашиглан үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг хэрхэн олохыг сур.Пропорцийг өргөнөөр ашигладаг өөр нэг нийтлэг асуудал бол үүнтэй ижил төстэй хоёр дахь пропорцийг өгсөн бол үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг аль нэгэнд нь олох явдал юм. Бутархай тоог үржүүлэх дүрэм нь энэ ажлыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Пропорц бүрийг бутархай хэлбэрээр бичээд, эдгээр бутархайг өөр хоорондоо тэнцүүлж, хүссэн утгыг ол.

      • Бид 2 хүү, 5 охиноос бүрдсэн жижиг бүлэгтэй гэж бодъё. Охид, хөвгүүдийн харьцааг хадгалъя гэвэл 20 охинтой ангид хэдэн хөвгүүд байх ёстой вэ? Нэгдүгээрт, хоёр пропорцийг бүрдүүлье, тэдгээрийн аль нэг нь үл мэдэгдэх утгыг агуулна: 2 хүү: 5 охин \u003d x хөвгүүд: 20 охин. Хэрэв бид пропорцийг бутархай гэж бичвэл 2/5 ба x/20 болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваагчаар үржүүлсний дараа бид 5х=40 тэгшитгэлийг авна; бид 40-ийг 5-д хуваагаад үр дүнд нь x=8-г олно.

   3-р хэсэг

   Алдаа илрүүлэх

   1. Пропорцтой харьцахдаа нэмэх, хасахаас зайлсхий.Пропорцын олон асуудал ингэж сонсогддог: “Нэг таваг хийхэд 4 төмс, 5 лууван хэрэгтэй. Хэрэв та 8 төмс хэрэглэхийг хүсвэл хэдэн лууван хэрэгтэй вэ?" Олон хүмүүс зүгээр л харгалзах утгыг нэмэх гэж оролдоод алдаа гаргадаг. Гэхдээ ижил пропорцийг хадгалахын тулд нэмэх биш үржүүлэх хэрэгтэй. Энд алдаа байна зөв шийдэлөгсөн даалгавар:

      • Буруу арга: “8 - 4 = 4, өөрөөр хэлбэл жор дээр 4 төмс нэмсэн. Тиймээс, та өмнөх 5 лууваныг аваад 4-ийг нэмэх хэрэгтэй, ингэснээр ... ямар нэг зүйл буруу байна! Пропорц нь өөр өөрөөр ажилладаг. Дахин оролдъё."
      • Зөв арга нь: “8/4 = 2, өөрөөр хэлбэл төмсний тоо хоёр дахин нэмэгдсэн. Энэ нь луувангийн тоог мөн 2-оор үржүүлэх ёстой гэсэн үг юм. 5 x 2 = 10, өөрөөр хэлбэл шинэ жороор 10 лууван ашиглах ёстой.

   2. Бүх утгыг ижил нэгж болгон хөрвүүлэх.Заримдаа утгууд нь өөр өөр нэгжтэй байдаг тул асуудал үүсдэг. Пропорцийг бичихийн өмнө бүх хэмжигдэхүүнийг ижил хэмжигдэхүүн болгон хөрвүүлнэ. Жишээлбэл:

      • Луу 500 грамм алт, 10 килограмм мөнгөтэй. Лууны нөөц дэх алт мөнгөний харьцаа хэд вэ?
      • Грам ба килограмм нь өөр өөр хэмжлийн нэгж тул тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй. 1 килограмм = 1000 грамм, тэгэхээр 10 килограмм = 10 килограмм х 1000 грамм / 1 килограмм = 10 х 1000 грамм = 10 000 грамм.
      • Тэгэхээр луу 500 грамм алт, 10 мянган грамм мөнгөтэй.
      • Алтны массыг мөнгөний масстай харьцуулбал 500 грамм алт / 10,000 грамм мөнгө = 5/100 = 1/20 байна.

   3. Асуудлын шийдэлд хэмжих нэгжийг бичнэ үү.Пропорцтой холбоотой асуудалд хэрэв та утга бүрийн дараа хэмжлийн нэгжийг бичвэл алдаа олоход илүү хялбар болно. Хэрэв тоологч ба хуваагч нь ижил хэмжүүртэй бол тэдгээр нь багасна гэдгийг санаарай. Бүх боломжит товчлолын дараа хариултын зөв хэмжилтийн нэгжийг авах ёстой.

      • Жишээлбэл: 6 хайрцаг өгсөн бөгөөд гурван хайрцаг бүрт 9 бөмбөг байдаг; хэдэн бөмбөг байна?
      • Буруу арга: 6 хайрцаг х 3 хайрцаг / 9 гантиг = ... Хмм, юу ч буураагүй бөгөөд хариулт нь "хайрцаг х хайрцаг / гантиг". Энэ утгагүй юм.
      • Зөв арга: 6 хайрцаг х 9 бөмбөг / 3 хайрцаг = 6 хайрцаг x 3 бөмбөг / 1 хайрцаг = 6 х 3 бөмбөг / 1 = 18 бөмбөг.

Математикийн үүднээс авч үзвэл пропорци гэдэг нь хоёр харьцааны тэгш байдал юм. Харилцан хамаарал нь пропорцын бүх хэсгүүдийн шинж чанар бөгөөд тэдгээрийн өөрчлөгдөөгүй үр дүн юм. Пропорцын шинж чанар, томьёотой танилцсанаар пропорцийг хэрхэн яаж хийхийг ойлгож болно. Пропорцийг шийдэх зарчмыг ойлгохын тулд нэг жишээг авч үзэхэд хангалттай. Зөвхөн пропорцийг шууд шийдэхийн тулд та эдгээр чадварыг амархан бөгөөд хурдан сурах боломжтой. Мөн энэ нийтлэл нь уншигчдад энэ талаар туслах болно.

Пропорцийн шинж чанар ба томъёо

1. Пропорцийг эргүүлэх. Өгөгдсөн тэгшитгэл нь 1a: 2b = 3c: 4d шиг харагдах тохиолдолд 2b: 1a = 4d: 3c гэж бичнэ. (Үүнээс гадна 1a, 2b, 3c, 4d анхны тоонууд, 0-ээс бусад).
2. Пропорцын өгөгдсөн гишүүдийг хөндлөн үржүүлэх. Шууд утгаараа энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: 1a: 2b \u003d 3c: 4d, 1a4d \u003d 2b3c бичих нь үүнтэй тэнцэх болно. Тиймээс аливаа пропорцын туйлын хэсгүүдийн үржвэр (тэгш байдлын ирмэг дээрх тоонууд) нь дунд хэсгийн үржвэртэй (тэгш байдлын дунд байрлах тоонууд) үргэлж тэнцүү байдаг.
3. Пропорцийг эмхэтгэхдээ түүний хэт ба дунд нэр томъёоны орлуулах шинж чанар нь бас ашигтай байж болно. 1a: 2b = 3c: 4d тэгш байдлын томьёог дараах байдлаар харуулж болно.
   • 1a: 3c = 2b: 4d (пропорцын дунд гишүүдийг өөрчлөх үед).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (пропорцын туйлын гишүүдийг өөрчлөх үед).
4. Энэ нь түүний өмчийн өсөлт, бууралтын хувь хэмжээг шийдвэрлэхэд төгс тусалдаг. 1a: 2b = 3c: 4d гэж бичнэ:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (пропорцийг нэмэгдүүлэх замаар тэгш байдал).
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (пропорцийг бууруулах замаар тэгш байдал).
5. Та нэмэх, хасах замаар пропорц үүсгэж болно. Пропорцийг 1a:2b = 3c:4d гэж бичихэд:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорцийг нэмсэн).
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорцийг хассан).
6. Мөн бутархай эсвэл их тоо агуулсан пропорцийг шийдэхдээ түүний хоёр гишүүнийг ижил тоогоор хувааж эсвэл үржүүлж болно. Жишээ нь: 70:40=320:60 пропорцын бүрдэл хэсгүүдийг дараах байдлаар бичиж болно: 10*(7:4=32:6).
7. Пропорцийг хувь хэмжээгээр шийдэх хувилбар иймэрхүү харагдаж байна. Жишээлбэл, 30=100%, 12=x гэж бичнэ үү. Одоо та дунд нэр томъёог (12 * 100) үржүүлж, мэдэгдэж буй туйлын (30) хуваах хэрэгтэй. Тиймээс хариулт нь: x=40%. Үүнтэй адилаар, хэрэв шаардлагатай бол та мэдэгдэж буй туйлын нэр томъёог үржүүлж, өгөгдсөн дундаж тоогоор хувааж, хүссэн үр дүнг гаргаж болно.

Хэрэв та тодорхой пропорциональ томъёог сонирхож байгаа бол хамгийн энгийн бөгөөд түгээмэл хувилбарт пропорц нь ийм тэгш байдал (томъёо): a / b \u003d c / d бөгөөд a, b, c, d нь дөрвөн бус байна. - тэг тоо.

Пропорцийг тохируулна уу. Энэ нийтлэлд би тантай пропорцын талаар ярихыг хүсч байна. Пропорц гэж юу болохыг ойлгох, түүнийг зохиож чадах нь маш чухал бөгөөд энэ нь үнэхээр хэмнэлттэй байдаг. Математикийн том цагаан толгойн жижиг, өчүүхэн “үсэг” мэт боловч үүнгүйгээр математик доголон, дорд байх хувьтай.Эхлээд пропорц гэж юу болохыг сануулъя. Энэ нь хэлбэрийн тэгш байдал юм:

аль нь адилхан (энэ өөр хэлбэрбичлэгүүд).

Жишээ:

Нэг бол хоёр, дөрөв бол найм гэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хоёр харилцааны тэгш байдал юм энэ жишээхарилцаа нь тоо).

Пропорцын үндсэн дүрэм:

a:b=c:d

туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунджийн үржвэртэй тэнцүү байна

тэр бол

a∙d=b∙c

*Хэрэв пропорцын ямар нэг утга тодорхойгүй байвал түүнийг үргэлж олж болно.

Хэрэв бид маягтын бүртгэлийн хэлбэрийг авч үзвэл:

тэгвэл та ашиглаж болно дараагийн дүрэм, үүнийг "загалмайн дүрэм" гэж нэрлэдэг: диагональ байрлалтай элементүүдийн (тоо эсвэл илэрхийлэл) бүтээгдэхүүний тэгш байдлыг бичнэ.

a∙d=b∙c

Таны харж байгаагаар үр дүн нь ижил байна.

Хэрэв пропорцын гурван элемент нь мэдэгдэж байгаа болБид дөрөв дэхийг үргэлж олж чадна.

Энэ бол ашиг тус, хэрэгцээний мөн чанар юмасуудал шийдвэрлэхэд эзлэх хувь хэмжээ.

Үл мэдэгдэх утга x нь пропорцын "аль ч газар" байх бүх сонголтуудыг харцгаая, энд a, b, c нь тоонууд байна:

Х-ээс диагональ дээр байрлах утгыг бутархайн хуваарьт, диагональ дээр байрлах мэдэгдэж буй утгуудыг үржвэр болгон тоологч хэсэгт бичнэ. Үүнийг цээжлэх шаардлагагүй, хэрэв та пропорцын үндсэн дүрмийг эзэмшсэн бол бүх зүйлийг зөв тооцоолох болно.

Одоо гол асуултӨгүүллийн гарчигтай холбоотой. Пропорцийг хэзээ хэмнэж, хаана ашигладаг вэ? Жишээлбэл:

1. Юуны өмнө эдгээр нь сонирхолд нийцсэн даалгавар юм. Бид тэдгээрийг "" ба "" нийтлэлд авч үзсэн.

2. Олон томьёог пропорцоор өгөгдсөн:

> синусын теорем

> гурвалжин дахь элементүүдийн харьцаа

> шүргэгч теорем

> Фалесийн теорем ба бусад.

3. Геометрийн даалгаварт талуудын (бусад элементүүдийн) эсвэл талбайн харьцааг ихэвчлэн жишээлбэл, 1: 2, 2: 3 болон бусад нөхцөлд тохируулдаг.

4. Хэмжилтийн нэгжийг хөрвүүлэх, хувь хэмжээг нэг хэмжигдэхүүнд хоёуланг нь хөрвүүлэх, нэг хэмжигдэхүүнээс нөгөөд шилжүүлэхэд ашигладаг.

цагаас минут хүртэл (мөн эсрэгээр).

эзлэхүүний нэгж, талбай.

- урт, тухайлбал миль-километр (мөн эсрэгээр).

градусаас радиан хүртэл (ба эсрэгээр).

энд хувь хэмжээг эмхэтгэхгүйгээр зайлшгүй шаардлагатай.

Гол зүйл бол та захидал харилцааг зөв тогтоох, энгийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

700-ийн 35% байх тоог тодорхойлох шаардлагатай.

Хувьтай холбоотой асуудлуудад бидний харьцуулсан утгыг 100% гэж авдаг. Үл мэдэгдэх тоог x гэж тэмдэглэе. Тохируулъя:

Долоон зуун гучин тав нь 100 хувьтай тэнцэж байна гэж хэлж болно.

X нь 35 хувьтай тохирч байна. гэсэн үг,

700 – 100%

x - 35%

Бид шийднэ

Хариулт: 245

50 минутыг цаг болгон хувирга.

Нэг цаг нь 60 минуттай тэнцдэг гэдгийг бид мэднэ. Захидал харилцааг тэмдэглэе -x цаг нь 50 минут. гэсэн үг

1 – 60

x - 50

Бид шийднэ:

Өөрөөр хэлбэл, 50 минут бол цагийн зургааны тав юм.

Хариулт: 5/6

Николай Петрович 3 км замыг туулсан. Энэ нь хэдэн миль байх вэ (1 миль нь 1.6 км гэдгийг анхаарна уу)?

1 миль нь 1.6 километр гэдгийг бид мэднэ. Николай Петровичийн туулсан милийн тоог х гэж авъя. Бид таарч болно:

Нэг миль нь 1.6 километртэй тохирч байна.

X миль нь гурван километр юм.

1 – 1,6

x - 3

Хариулт: 1875 миль

Та градусыг радиан болгон хувиргах (мөн эсрэгээр) томъёо байдаг гэдгийг мэднэ. Би тэдгээрийг бичихгүй, учир нь тэдгээрийг цээжлэх нь илүүц гэж бодож байгаа тул та маш их мэдээллийг санах ойд хадгалах хэрэгтэй. Хэрэв та пропорц ашигладаг бол градусыг радиан руу (мөн эсрэгээр) хөрвүүлэх боломжтой.

65 градусыг радиан болгон хөрвүүлнэ.

Санаж байх ёстой гол зүйл бол 180 градус бол Пи радиан юм.

Хүссэн утгыг x гэж тэмдэглэе. Тоглолт тохируулна уу.

Зуун наян градус нь Пи радиантай тохирч байна.

Жаран таван градус нь x радиантай тохирч байна. нийтлэлийг судлах энэ блогийн сэдвээр. Материалыг арай өөр хэлбэрээр танилцуулсан боловч зарчим нь адилхан. Би үүгээр дуусгая. Илүү сонирхолтой зүйл байх нь гарцаагүй, бүү алдаарай!

Хэрэв бид математикийн тодорхойлолтыг эргэн санавал дараахь үгсийг агуулна: математик судлал тоон ХАРИЛЦАА(ХАРИЛЦАА- Энд түлхүүр үг). Таны харж байгаагаар математикийн тодорхойлолт нь хувь хэмжээг агуулдаг. Ер нь пропорцгүй математик бол математик биш!!!

Хамгийн сайн сайхныг хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Пропорц ашиглан асуудлыг шийдэх нь үл мэдэгдэх утгыг гаргахад хүргэдэг xэнэ пропорциональ гишүүн. Дараа нь пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглан авна шугаман тэгшитгэлтэгээд шийднэ.

Урьдчилсан ур чадвар Хичээлийн агуулга

Пропорцийг ашиглан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ

Санаж үз хамгийн энгийн жишээ. Гурван бүлэг тус бүр 1600 рублийн тэтгэлэг төлөх шаардлагатай. Нэгдүгээр бүлэгт 20 оюутан суралцдаг. Энэ нь эхний бүлэгт 1600 × 20, өөрөөр хэлбэл 32 мянган рубль төлнө гэсэн үг юм.

Хоёрдугаар бүлэгт 17 хүн байна. Энэ нь хоёр дахь бүлэгт 1600 × 17, өөрөөр хэлбэл 27.200 мянган рубль төлнө гэсэн үг юм.

За тэгээд гуравдугаар бүлэгт тэтгэлэг төлнө. 15 хүнтэй. Тэд 1600 × 15, өөрөөр хэлбэл 24 мянган рубль зарцуулах хэрэгтэй.

Үүний үр дүнд бид дараах шийдэлтэй байна.

Ийм асуудлын хувьд шийдлийг пропорц ашиглан бичиж болно.

Тодорхойлолтоор пропорц нь хоёр харьцааны тэгш байдал юм. Жишээлбэл, тэгш байдал нь пропорц юм. Энэ харьцааг дараах байдлаар уншиж болно.

а-д хамаарна б, Хэрхэн вхамаарна г

Үүний нэгэн адил та тэтгэлэг, оюутнуудыг хооронд нь холбож, хүн бүр 1600 рубль авах боломжтой.

Тиймээс, эхний харьцаа, тухайлбал нэг хүнд ногдох мянга зургаан зуун рублийн харьцааг бичье.

Бид 20 оюутанд тус бүр 1600 рубль төлөхийн тулд 32 мянган рубль хэрэгтэй болохыг олж мэдэв. Хоёрдахь харьцаа нь гучин хоёр мянгаас хорин оюутны харьцаа байх болно.

Одоо бид олж авсан харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбодог.

Бид пропорцтой болсон. Үүнийг дараах байдлаар уншиж болно.

Мянга зургаан зуун рубль нь нэг оюутанд гучин хоёр мянган рубль хорин оюутантай адил ханддаг..

1600 рубль тус бүрийг ойлгох хэрэгтэй. Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр талд хуваах юм бол , дараа нь бид хорин оюутан шиг нэг оюутан тус бүр 1600 рубль авах болно.

Хорин оюутанд тэтгэлэг олгоход шаардагдах мөнгө тодорхойгүй байсан гээд бод доо. Асуулт нь: В 20 оюутны бүлэг, тус бүр 1600 рубль төлөх шаардлагатай. Тэтгэлэг төлөхөд хэдэн рубль шаардлагатай вэ?

Энэ тохиолдолд пропорц хэлбэрийг авах болно. Энэ нь тэтгэлэг төлөхөд шаардагдах мөнгөний хэмжээ нь тодорхойгүй пропорциональ гишүүн болсон. Энэ харьцааг дараах байдлаар уншиж болно.

Нэг оюутанд мянга зургаан зуун рубль ханддаг үл мэдэгдэх дугааррубльхорин оюутанд хамаарна

Одоо пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглая. Энэ нь пропорцын туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунджийн үржвэртэй тэнцүү байна гэжээ.

Пропорциональ нөхцлүүдийг "хөндлөн" үржүүлснээр бид 1600 × 20 = 1 × тэнцүү болно. x. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тооцоолоход бид 32000 = болно xэсвэл x= 32000. Өөрөөр хэлбэл, бид хайж байсан үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийнхээ утгыг олох болно.

Үүний нэгэн адил, үлдсэн оюутнуудын нийт дүнг тодорхойлох боломжтой байсан - 17 ба 15. Эдгээр пропорц нь дараах байдалтай байв. Пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглан та утгыг олох боломжтой x

Даалгавар 2. Автобус 2 цагийн дотор 100 км замыг туулсан. Автобус ижил хурдтай явбал 300 км замыг хэр удаан туулах вэ?

Та эхлээд автобус нэг цагийн дотор явах зайг тодорхойлж болно. Дараа нь энэ зай 300 километрт хэдэн удаа багтаж байгааг тодорхойл.

100: 2 = 50 км/цаг

300 км: 50 = 6 цаг

Эсвэл та "зуун километр нь нэг цагтай, гурван зуун километр нь тодорхойгүй тооны цагтай холбоотой" гэсэн харьцааг бүрдүүлж болно.

Ижил хэмжээний харьцаа

Хэрэв пропорцын хэт эсвэл дунд гишүүдийг сольж байвал пропорц зөрчигдөхгүй.

Тиймээ, хувь хэмжээгээр Та эцсийн нөхцлүүдийг сольж болно. Дараа нь та пропорцийг авна .

Хэрэв энэ нь эсрэгээрээ, өөрөөр хэлбэл хоёр хэсэгт урвуу харьцааг ашиглавал пропорцийг зөрчихгүй.

Пропорцийг эргүүлье . Дараа нь бид пропорцийг авна . Харилцаа тасраагүй. Оюутны хоорондох харьцаа нь эдгээр оюутнуудад зориулагдсан мөнгөний хэмжээтэй тэнцүү байна. Асуудлыг шийдэхийн тулд хүснэгтүүдийг эмхэтгэх үед энэ хувь хэмжээг ихэвчлэн сургуульд хийдэг.

Энэ бичих арга нь маш тохиромжтой, учир нь энэ нь асуудлын нөхцөл байдлыг илүү ойлгомжтой хэлбэрт шилжүүлэх боломжийг олгодог. Хорин оюутанд тэтгэлэг олгоход хэдэн рубль шаардлагатайг тодорхойлох шаардлагатай байсан асуудлыг бид шийдэх болно.

Бид асуудлын нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ нөхцөл дээр үндэслэн хүснэгт үүсгэцгээе.

Хүснэгтийн өгөгдлийг ашиглан пропорцийг гаргацгаая.

Пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийг олж, түүний үндсийг олно.

Эхэндээ бид пропорцийг авч үзсэн , өөр өөр шинж чанартай хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаанаас бүрддэг. Харилцааны тоологч нь мөнгөний хэмжээ, хуваагч нь оюутнуудын тоо байв.

Хэт туйлшралыг сольж, бид пропорцийг олж авлаа . Энэ хувь хэмжээ нь ижил шинж чанартай хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаанаас бүрдэнэ. Эхний харьцаа нь оюутнуудын тоог, хоёр дахь нь мөнгөний хэмжээг агуулна.

Хэрэв хамаарал нь ижил шинж чанартай хэмжигдэхүүнүүдээс бүрдсэн бол бид үүнийг нэрлэх болно ижил хэмжээний харьцаа. Жишээлбэл, жимс жимсгэнэ, мөнгө, физик хэмжигдэхүүн, үзэгдэл, үйлдлүүдийн хоорондын хамаарал.

Харьцаа нь ижил утгатай ба өөр өөр шинж чанартай утгуудаас бүрдэж болно. Сүүлчийн жишээ бол зай ба цаг хугацааны харьцаа, бүтээгдэхүүний үнэ цэнийн тоо хэмжээ, тэтгэлгийн нийт дүнг оюутны тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Жишээ 2. IN сургуулийн цэцэрлэгнарс, хус тарьсан бөгөөд нарс бүрт 2 хус байдаг. 240 хус тарьсан бол цэцэрлэгт хэдэн нарс тарьсан бэ?

Цэцэрлэгт хэдэн нарс тарьсаныг тодорхойл. Үүнийг хийхийн тулд бид пропорцийг гаргана. Нөхцөл байдал нь нарс бүрт 2 хус байдаг гэжээ. Нэг нарсанд хоёр хус байгааг харуулсан харьцаа бичье.

Одоо үүнийг харуулан хоёр дахь хамаарлыг бичье xнарс 240 хус эзэлдэг

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбосноор бид дараахь харьцааг авна.

"2 хус мод нэг нарстай маш холбоотой,
240 хус мод нарс модтой хэрхэн холбоотой вэ?

Пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглан бид утгыг олно x

Эсвэл өмнөх жишээн дээрх нөхцөлийг эхлээд бичих замаар пропорцийг гаргаж болно.

Ижил пропорцийг авах боловч энэ удаад ижил нэртэй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаанаас бүрдэнэ.

Тиймээс цэцэрлэгт 120 нарс тарьсан.

Жишээ 3. 225 кг хүдрээс 34.2 кг зэс авсан. Хүдэрт хэдэн хувь зэс агуулагддаг вэ?

Та 34.2-ыг 225-д хувааж, үр дүнг хувиар илэрхийлж болно.

Эсвэл 34.2 кг зэс үл мэдэгдэх хувь дээр унадаг тул 225 кг хүдрийн эзлэх хувийг 100% болго.

Эсвэл ижил нэртэй хэмжигдэхүүнүүдээс харьцаа бүрдэх пропорцийг гарга:

Шууд пропорциональ байдлын даалгавар

Ижил хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарлыг ойлгох нь шууд ба урвуу пропорциональ байдлын асуудлын шийдлийг ойлгоход хүргэдэг. Шууд пропорциональ байдлын асуудлаас эхэлье.

Эхлээд шууд пропорциональ гэж юу болохыг санацгаая. Энэ нь хоёр хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарал бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь нэмэгдүүлэх нь нөгөөг нь ижил хэмжээгээр нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг.

Автобус 1 цагт 50 км замыг туулдаг бол 100 км замыг (ижил хурдтай) 2 цаг туулах болно. Зай хэд дахин нэмэгдэв, хөдөлгөөний хугацаа тэр хэмжээгээр нэмэгдэв. Үүнийг хэрхэн хувь хэмжээгээр харуулах вэ?

Харьцааны зорилгын нэг нь эхний утгыг хэд дахин нугалж байгааг харуулах явдал юм секундээс илүү. Энэ нь бид пропорцийг ашиглан зай, цаг хоёр дахин нэмэгдсэнийг харуулж чадна гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид ижил хэмжээний харьцааг ашигладаг.

Зай хоёр дахин нэмэгдсэнийг харуулъя:

Үүний нэгэн адил цаг хугацаа ижил хүчин зүйлээр нэмэгдсэнийг бид харуулж байна

“2 цаг 1 цагтай холбоотой шиг 100 км нь 50 км-тэй холбоотой”

Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт хуваах юм бол зай ба цаг ижил тооны удаа нэмэгдсэн болохыг олж мэднэ.

2 = 2

Даалгавар 2. 3 цагийн дотор тээрэмд 27 тонн нунтагласан улаан буудайн гурил. Ажлын хурд өөрчлөгдөхгүй бол 9 цагийн дотор хэдэн тонн улаан буудайн гурил нунтаглах вэ?

Шийдэл

Тээрмийн ажиллах хугацаа болон нунтагласан гурилын масс шууд пропорциональ байна. Ашиглалтын хугацаа хэд дахин нэмэгдэх тусам нунтагласан гурилын хэмжээ ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно. Үүнийг пропорцоор харуулъя.

Даалгавар 3 цаг өгөгдсөн.Энэ 3 цаг 9 цаг болж нэмэгдлээ.9 цагийг 3 цагийн харьцаагаар бичье.Энэ харьцаа нь тээрмийн цаг хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулна.

Одоо хоёр дахь хамаарлыг бичье. Ийм хандлага байх болно xтонн улаан буудайн гурилыг 27 тоннд хүргэв. Энэ харьцаа нь нунтагласан гурилын хэмжээ тээрэмдэх хугацаатай адил нэмэгдсэнийг харуулах болно

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, пропорцийг авдаг.

Бид пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, олдог x

Энэ нь 81 тонн улаан буудайн гурилыг 9 цагийн дотор нунтаглана гэсэн үг.

Ерөнхийдөө, хэрэв бид хоёр шууд пропорциональ хэмжигдэхүүнийг авч, тэдгээрийг ижил тооны удаа нэмэгдүүлбэл шинэ утгыг эхний хэмжигдэхүүний хуучин утгатай харьцуулсан харьцаа нь шинэ утгыг хуучин утгын харьцаатай тэнцүү байх болно. хоёр дахь хэмжээ.

Тиймээс өмнөх асуудалд хуучин утгууд нь 3 цаг ба 27 т байсан бөгөөд эдгээр утгыг ижил тооны (гурван дахин) нэмэгдүүлсэн. Шинэ утгууд нь 9 цаг 81 цаг байна. Дараа нь тээрмийн ажиллах хугацааны шинэ утгыг хуучин утгатай харьцуулсан харьцаа нь нунтагласан гурилын массын шинэ утгыг хуучин утгатай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт хуваах юм бол тээрмийн ажиллах хугацаа болон нунтагласан гурилын хэмжээ ижил тооны дахин нэмэгдсэн болохыг олж мэднэ.

3 = 3

Шууд пропорциональ байдлын даалгавруудын эзлэх хувь хэмжээг дараах илэрхийлэл ашиглан тодорхойлж болно.

Дараа нь 81-тэй тэнцэх болсон.

Даалгавар 2. 8 үнээ тутамд өвлийн цагСаальчин өдөрт 80 кг өвс, 96 кг үндэс, 120 кг дарш, 12 кг баяжмал бэлтгэдэг. Эдгээр тэжээлийн 18 үнээний хоногийн хэрэглээг тодорхойлно.

Шийдэл

Үхрийн тоо, тэжээл бүрийн жин шууд пропорциональ байна. Үхрийн тоо хэд дахин нэмэгдэх тусам тэжээл тус бүрийн масс ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно.

18 үнээний тэжээл тус бүрийн массыг тооцоолох хэд хэдэн пропорцийг хийцгээе.

Өвс өвсөөр эхэлцгээе. Өдөрт 8 үнээнээс 80 кг хурааж авдаг. Дараа нь 18 үнээ хураана xкг өвс.

Үхрийн тоо хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан харьцаа бичье.

Одоо бид хадлангийн масс хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан харьцааг бичнэ.

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, бид дараахь харьцааг авна.

Эндээс бид олдог x

Тэгэхээр 18 үнээний хувьд 180 кг өвс бэлтгэх шаардлагатай. Үүний нэгэн адил бид үндэс үр тариа, дарш, баяжмалын массыг тодорхойлдог.

8 үхрийн хувьд өдөрт 96 кг үндсийг хурааж авдаг. Дараа нь 18 үнээ хураана xкг үндэс үр тариа. Харьцаанаас пропорцийг зохиож, дараа нь утгыг тооцоол x

18 үнээний хувьд хэр хэмжээний дарш, баяжмал бэлтгэх шаардлагатайг тодорхойлъё.

Энэ нь 18 үхрийн өдөрт 180 кг өвс, 216 кг үндэс, 270 кг дарш, 27 кг баяжмал бэлтгэх шаардлагатай гэсэн үг.

Даалгавар 3. Гэрийн эзэгтэй интоорын чанамал чанаж, 3 аяга интоор дээр 2 аяга элсэн чихэр хийнэ. 12 аяга интоорт хэр их элсэн чихэр хийх вэ? 10 аяга интоорын хувьд? нэг шил интоорын төлөө?

Шийдэл

Интоорын шилний тоо, нунтагласан элсэн чихрийн шилний тоо шууд пропорциональ байна. Интоорын шилний тоо хэд дахин нэмэгдэх тусам элсэн чихрийн шилний тоо ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно.

Интоорын шилний тоо хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан харьцаа бичье.

Одоо аяга элсэн чихрийн тоо хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан харьцаа бичье.

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, пропорцийг авч, утгыг олдог x

Тиймээс 12 аяга интоорын хувьд 8 аяга элсэн чихэр хийх хэрэгтэй.

10 шил интоор, нэг шил интоорын шилний элсэн чихрийн тоог тодорхойл

Урвуу пропорциональ бодлого

Урвуу пропорциональ байдлын асуудлыг шийдэхийн тулд та ижил хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаанаас бүрдэх пропорцийг дахин ашиглаж болно.

Шууд пропорциональ байдлаас ялгаатай нь хэмжигдэхүүнүүд нь ижил чиглэлд нэмэгдэж эсвэл буурч, урвуу пропорциональ байдлаар хэмжигдэхүүнүүд бие биедээ буцаж өөрчлөгддөг.

Хэрэв нэг утга хэд хэдэн удаа нэмэгдвэл нөгөө нь ижил хэмжээгээр буурна. Эсрэгээр, хэрэв нэг утга хэд хэдэн удаа буурч байвал нөгөө нь ижил хэмжээгээр нэмэгддэг.

Та 8 хуудаснаас бүрдэх хашаа будах хэрэгтэй гэж бодъё

Нэг зураач бүх 8 хуудсыг өөрөө будна

Хэрэв 2 зураач байвал тус бүр 4 хуудас будна.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг, зураачид бие биедээ үнэнч байж, энэ ажлыг хоёрын хооронд шударгаар хуваалцаж байгаа нөхцөлд л болно.

Хэрэв 4 зураач байгаа бол тус бүр 2 хуудас будна

Зураачдын тоо хэд дахин нэмэгдэх тусам нэг зураач дээр унах хуудасны тоо ижил хэмжээгээр буурч байгааг бид анзаарч байна.

Ингээд зураачдынхаа тоог 1-ээс 4 болголоо.Өөрөөр хэлбэл зураачдынхаа тоог дөрөв дахин нэмэгдүүлсэн. Үүнийг хамаарлаар бичье:

Ингэснээр нэг будагчинд ногдох хашааны хуудас дөрөв дахин багассан. Үүнийг хамаарлаар бичье:

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, пропорцийг авдаг

"4 зураач 1 зураачид 8 хуудас 2 хуудастай адил"

Даалгавар 2. Шинэ байрны орон сууцыг 15 ажилчин 24 хоногийн дотор барьж дуусгасан. Энэ ажлыг 18 ажилчин хэдэн өдөр хийх вэ?

Шийдэл

Ажилчдын тоо болон ажилд зарцуулсан өдрийн тоо нь урвуу пропорциональ байна. Хэрэв ажилчдын тоо хэд дахин нэмэгдвэл энэ ажлыг дуусгахад шаардагдах хоногийн тоо ижил хэмжээгээр буурна.

18 ажилчин, 15 ажилчинтай харьцуулсан харьцааг бичье. Энэ харьцаа нь ажилчдын тоо хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулах болно

Одоо өдрийн тоо хэд дахин багассаныг харуулсан хоёр дахь харьцааг бичье. Учир нь өдрийн тоо 24 хоногоос багасна xхоног, дараа нь хоёр дахь харьцаа нь хуучин өдрийн тоо (24 хоног) -ын шинэ өдрийн тоо ( xөдөр)

Бид олж авсан харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, дараахь харьцааг авна.

Эндээс бид олдог x

Тэгэхээр 18 ажилчин хийнэ шаардлагатай ажил 20 хоногийн дотор.

Ер нь урвуу пропорциональ хоёр хэмжигдэхүүнийг аваад нэгийг нь тодорхой тоогоор нэмэгдүүлбэл нөгөө нь мөн адил хэмжээгээр буурна. Дараа нь шинэ утгыг эхний хэмжигдэхүүний хуучин утгатай харьцуулсан харьцаа нь хуучин утгыг хоёр дахь хэмжигдэхүүнтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байх болно.

Тиймээс өмнөх даалгаварт хуучин үнэ цэнэ нь 15 ажилчин, 24 хоног байсан. Ажилчдын тоог 15-аас 18 болгон нэмэгдүүлсэн (өөрөөр хэлбэл 1 дахин нэмэгдсэн). Үүний үр дүнд ажлыг дуусгахад шаардагдах өдрийн тоо ижил хүчин зүйлээр буурсан байна. Шинэ утгууд нь ажлын 18 өдөр, 20 хоног байна. Дараа нь шинэ ажилчдын тоог хуучин тоонд харьцуулсан харьцаа нь хуучин өдрийн тоог шинэ тоонд харьцуулсантай тэнцүү байна.

Урвуу пропорциональ байдлын асуудалд пропорцийг гаргахын тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.

Бидний даалгавартай холбоотойгоор хувьсагчдын утгууд дараах байдалтай байна.

Дараа нь 20 болсон.

Даалгавар 2. Уурын усан онгоцны хурд нь голын хурдтай 36:5 харьцаатай байна.Уурын усан онгоц урсгалын дагуу 5 цаг 10 минутын турш хөдөлсөн. Түүнийг эргэж ирэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?

Шийдэл

Завины өөрийн хурд нь 36 км/цаг. Голын урсгалын хурд 5 км/цаг. Уурын хөлөг гарны урсгалаар хөдөлж байсан тул хурд нь 36 + 5 = 41 км / цаг байв. Аяллын хугацаа 5 цаг 10 минут байв. Тохиромжтой болгох үүднээс бид цагийг минутаар илэрхийлнэ.

5 цаг 10 минут = 300 минут + 10 минут = 310 минут

Буцах замдаа усан онгоц голын урсгалын эсрэг хөдөлж байсан тул хурд нь 36 - 5 = 31 км / цаг байв.

Усан онгоцны хурд ба түүний хөдөлгөөний цаг нь урвуу пропорциональ байна. Хэрэв хурд хэд хэдэн удаа буурвал түүний хөдөлгөөний хугацаа ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно.

Хөдөлгөөний хурд хэд дахин буурсаныг харуулсан харьцаа бичье.

Одоо хөдөлгөөний хугацаа хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан хоёр дахь харьцааг бичье. Шинэ цагаас хойш xхуучин цагаас их байх болно, харьцааны дугаарт бид цагийг бичнэ x, мөн хуваагч нь хуучин цаг, гурван зуун арван минуттай тэнцэнэ

Бид олж авсан харьцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, пропорцийг авна. Эндээс бид үнэ цэнийг олох болно x

410 минут бол 6 цаг 50 минут. Тиймээс хөлөг буцаж ирэхэд 6 цаг 50 минут зарцуулагдана.

Даалгавар 3. Зам засварын ажилд 15 хүн ажилласан бөгөөд 12 хоногт дуусгах ёстой байв. Тав дахь өдөр өглөө хэд хэдэн ажилчид гарч ирээд, үлдсэн ажлыг 6 хоногийн дотор хийсэн. Үүнээс гадна хэдэн ажилчин ирсэн бэ?

Шийдэл

12 хоногоос ажилласан 4 хоногийг хасна. Тиймээс арван таван ажилчин ажиллахад хэдэн өдөр үлдсэнийг бид тодорхойлох болно

12 хоног - 4 хоног = 8 хоног

Тав дахь өдөр нэмэлт ирсэн xажилчид. Дараа нь нийт ажилчдын тоо 15+ байсан x .

Ажилчдын тоо болон ажлыг дуусгахад шаардагдах өдрийн тоо нь урвуу пропорциональ байна. Ажилчдын тоо хэд дахин нэмэгдэх тусам өдрийн тоо ижил хэмжээгээр буурна.

Ажилчдын тоо хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан харьцаа бичье.

Одоо ажил дуусгахад шаардагдах өдрийн тоо хэд дахин буурсаныг бичье.

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, пропорцийг авдаг. Эндээс та утгыг тооцоолж болно x

Ингээд 5 ажилчин нэмж ирлээ.

Масштаб

Масштаб нь зураг дээрх сегментийн уртыг газар дээрх харгалзах сегментийн урттай харьцуулсан харьцаа юм.

Гэрээс сургууль хүртэлх зайг 8 км гэж бодъё. Байшин, сургууль, тэдгээрийн хоорондох зайг зааж өгөх талбайн төлөвлөгөөг зурахыг хичээцгээе. Гэхдээ бид 8 км зайг цаасан дээр зурж чадахгүй, учир нь энэ нь нэлээд том юм. Гэхдээ нөгөө талаас бид энэ зайг хэд хэдэн удаа багасгаж, цаасан дээр тааруулж болно.

Бидний төлөвлөгөөнд байгаа газар дээрх километрийг сантиметрээр илэрхийлье. 8 километрийг сантиметр болгон хөрвүүлбэл 800,000 сантиметр болно.

800,000 см-ийг зуун мянган дахин багасгая:

800,000 см: 100,000 см = 8 см

8 см бол гэрээсээ сургууль хүртэлх зайг зуун мянга дахин багасгасан. Одоо та байшин, сургуулийг цаасан дээр хялбархан зурж болно, тэдгээрийн хоорондох зай нь 8 см байх болно.

Эдгээр 8 см нь жинхэнэ 800,000 см-ийг хэлж байгаа бөгөөд үүнийг харьцаагаар бичье.

8: 800 000

Харьцааны нэг шинж чанар нь түүний нөхцөлийг ижил тоогоор үржүүлж, хуваахад хамаарал өөрчлөгдөхгүй.

8: 800,000 харьцааг хялбарчлахын тулд түүний хоёр гишүүнийг 8-д хувааж болно. Дараа нь бид 1: 100,000 харьцааг авна. Энэ харьцааг масштаб гэж нэрлэнэ. Энэ харьцаа нь төлөвлөгөөний нэг сантиметр нь газар дээрх нэг зуун мянган сантиметртэй (эсвэл тохирч байгаа) байгааг харуулж байна.

Тиймээс, бидний зураг дээр төлөвлөгөөг 1: 100,000 масштабаар боловсруулсан болохыг зааж өгөх шаардлагатай.

Төлөвлөгөөний 1 см нь газар дээрх 100,000 см-ийг хэлнэ;
Төлөвлөгөө дээрх 2 см нь газар дээрх 200,000 см-ийг хэлнэ;
Төлөвлөгөө дээрх 3 см нь газар дээрх 300,000 гэх мэтийг хэлнэ.

Аливаа газрын зураг, төлөвлөгөөнд тэдгээрийг ямар масштабаар хийсэн болохыг зааж өгдөг. Энэ масштаб нь объектуудын хоорондох бодит зайг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Тэгэхээр бидний төлөвлөгөөг 1:100,000 масштабаар зурсан.Энэ төлөвлөгөөнд гэр, сургуулийн хоорондох зай 8 см байна.Гэр, сургуулийн хоорондох бодит зайг тооцоолохын тулд та 8 см-ийг 100,000 дахин нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл 8 см-ийг 100 мянгаар үржүүлнэ

8 см × 100,000 = 800,000 см

Сантиметрийг километр болгон хувиргавал бид 800,000 см буюу 8 км болно.

Байшин, сургуулийн хооронд мод байна гэж бодъё. Төлөвлөгөөний дагуу сургууль болон энэ модны хоорондох зай 4 см байна.

Дараа нь байшин ба модны хоорондох бодит зай 4 см × 100 000 = 400 000 см буюу 4 км болно.

Газар дээрх зайг пропорц ашиглан тодорхойлж болно. Бидний жишээн дээр гэр, сургуулийн хоорондох зайг дараахь харьцаагаар тооцоолно.

Төлөвлөгөөний 1 см нь газар дээрх 100,000 см, төлөвлөгөөний 8 см нь газар дээрх х см-тэй холбоотой.

Энэ харьцаанаас бид үнэ цэнийг олж мэдсэн x 800000 см-тэй тэнцэнэ.

Жишээ 2. Газрын зураг дээр хоёр хотын хоорондох зай 8,5 см байна.Газрын зургийг 1: 1,000,000 масштабаар зурсан бол хот хоорондын бодит зайг тодорхойл.

Шийдэл

Масштаб 1: 1,000,000 нь газрын зураг дээрх 1 см нь газар дээрх 1,000,000 см-тэй тохирч байгааг харуулж байна. Дараа нь 8.5 см таарах болно xорон нутгийг үзнэ үү. 1-ээс 1000000 хүртэлх харьцааг 8.5-тай тэнцүү болгоё x

1 км нь 100,000 см-ийг агуулна.Тэгвэл 8,500,000 см болно.

Эсвэл ингэж маргаж болно. Газрын зураг дээрх зай, газар дээрх зай нь шууд пропорциональ байна. Хэрэв та газрын зураг дээрх зайг хэд хэдэн удаа нэмэгдүүлэх юм бол газар дээрх зай ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно. Дараа нь пропорцийг авна дараагийн харах. Эхний харьцаа нь газар дээрх зай газрын зураг дээрх зайнаас хэд дахин их байгааг харуулна.

Хоёр дахь харьцаа нь газрын зураг дээрх зай 8.5 см-ээс хэд дахин их байгааг харуулах болно.

Эндээс x 8,500,000 см буюу 85 км-тэй тэнцэнэ.

Даалгавар 3. Нева мөрний урт 74 км. Масштаб нь 1: 2,000,000 хэмжээтэй газрын зураг дээр түүний урт хэд вэ

Шийдэл

Масштаб 1:2000000 гэдэг нь газрын зураг дээрх 1 см нь газар дээрх 2,000,000 см-тэй тохирч байна гэсэн үг.

Мөн 74 км бол газар дээрх 74 × 100 000 = 7 400 000 см юм. 7,400,000-аас 2,000,000 болгон бууруулснаар бид газрын зураг дээр Нева мөрний уртыг тодорхойлно.

7,400,000: 2,000,000 = 3,7 см

Газрын зураг дээр масштаб нь 1: 2,000,000, Нева мөрний урт 3.7 см байна.

Бид шийдлийг пропорц ашиглан бичдэг. Эхний харьцаа нь газрын зураг дээрх урт нь газар дээрх уртаас хэд дахин бага болохыг харуулна.

Хоёр дахь харьцаа нь 74 км (7,400,000 см) ижил хүчин зүйлээр буурсан болохыг харуулах болно.

Эндээс бид олдог x 3.7 см-тэй тэнцүү

Бие даасан шийдлийн даалгавар

Даалгавар 1. 21 кг хөвөн үрнээс 5,1 кг тос авсан. 7 кг хөвөн үрээс хэр хэмжээний тос авах вэ?

Шийдэл

Болъё x 7 кг хөвөн үрнээс кг тос авч болно. Хөвөн үрийн масс болон үүссэн тосны масс нь шууд пропорциональ байна. Дараа нь хөвөн үрийг 21 кг-аас 7 кг болгон бууруулснаар үүссэн тос ижил хэмжээгээр буурах болно.

Хариулт: 7 кг хөвөн үрнээс 1,7 кг тос авна.

Даалгавар 2. Тодорхой сайт дээр төмөр замын зам 8 м урт хуучин рельсийг 12 м уртаар шинээр сольсон.Хэрэв 360 хуучин рельс буулгавал арван хоёр метрийн хэдэн шинэ төмөр зам шаардагдах вэ?

Шийдэл

Төмөр замыг сольж байгаа хэсгийн урт нь 8 × 360 = 2880 м байна.

Болъё xсолиход арван хоёр метр төмөр зам шаардлагатай. Нэг төмөр замын уртыг 8 м-ээс 12 м болгон нэмэгдүүлэх нь төмөр замын тоог 360-аас бууруулна. xзүйлс. Өөрөөр хэлбэл, төмөр замын урт ба тэдгээрийн тоо нь урвуу хамааралтай байна

Хариулт:Хуучин төмөр замыг солихын тулд 240 шинэ төмөр зам шаардлагатай болно.

Даалгавар 3. Ангийн сурагчдын 60% нь кино театрт, үлдсэн 12 хүн үзэсгэлэнд очсон. Ангид хэдэн оюутан байдаг вэ?

Шийдэл

Оюутнуудын 60% нь кино театрт, үлдсэн 12 хүн үзэсгэлэнд оролцсон бол 40% нь үзэсгэлэнг үзсэн 12 хүн байна. Дараа нь 12 сурагч 40% -д хамаарах пропорцийг гаргах боломжтой. xоюутнууд 100%

Эсвэл ижил хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаанаас бүрдэх пропорцийг хийж болно. Сурагчдын тоо, хувь нь шууд пропорциональ өөрчлөгддөг. Дараа нь оролцогчдын тоо хэд дахин нэмэгдсэн, эзлэх хувь тэр хэмжээгээр өссөн гэж бичиж болно

Бодлого 5. Явган хүн замдаа 2,5 цаг зарцуулж, 3,6 км/цагийн хурдтай явжээ. Явган зорчигчийн хурд 4.5 км/цаг бол тэр замаар хэр удаан явах вэ?

Шийдэл

Хурд ба цаг нь урвуу пропорциональ байна. Хэрэв та хурдыг хэд хэдэн удаа нэмэгдүүлбэл хөдөлгөөний хугацаа ижил хэмжээгээр буурна.

Явган хүний ​​хурд хэд дахин нэмэгдсэнийг харуулсан харьцааг бичье.

Хөдөлгөөний хугацаа ижил хүчин зүйлээр багассаныг харуулсан харьцааг бичье.

Бид эдгээр харилцааг тэнцүү тэмдгээр холбож, пропорцийг авч, утгыг олдог x

Эсвэл та ижил хэмжээний харьцааг ашиглаж болно. Үйлдвэрлэсэн машинуудын тоо болон эдгээр машинуудын эзлэх хувь нь шууд пропорциональ байна. Машины тоо хэд дахин нэмэгдэх тусам хувь нь ижил хэмжээгээр нэмэгддэг. Дараа нь бид 230 машин нь үүнээс хэд дахин их гэж бичиж болно xмашин хэрэгсэл, 100% -иас 115% хэд дахин их

Хариулт:Төлөвлөгөөний дагуу үйлдвэр 200 машин үйлдвэрлэх ёстой байв.

Хичээл таалагдсан уу?
Манай шинэ Вконтакте бүлэгт нэгдэж, шинэ хичээлүүдийн мэдэгдлийг хүлээн авч эхлээрэй

Сүүлийн видео хичээл дээр бид пропорц ашиглан хувь хэмжээний асуудлыг шийдэх талаар авч үзсэн. Дараа нь асуудлын нөхцөлийн дагуу бид нэг буюу өөр хэмжигдэхүүний утгыг олох шаардлагатай болсон.

Энэ удаад анхны болон эцсийн утгыг бидэнд өгсөн. Тиймээс даалгаварт хувь хэмжээг олох шаардлагатай болно. Илүү тодорхой хэлбэл, энэ эсвэл тэр утгыг хэдэн хувиар өөрчилсөн бэ. Оролдоод үзье.

Даалгавар. Пүүзний үнэ 3200 рубль байна. Үнэ нэмэгдсэний дараа тэд 4000 рубльтэй болж эхлэв. Пүүзний үнэ хэдэн хувиар нэмэгдсэн бэ?

Тиймээс бид пропорцоор шийддэг. Эхний алхам - анхны үнэ нь 3200 рубльтэй тэнцсэн. Тиймээс 3200 рубль нь 100% байна.

Үүнээс гадна бидэнд эцсийн үнийг өгсөн - 4000 рубль. Энэ нь тодорхойгүй хувь тул үүнийг x гэж тэмдэглэе. Бид дараах бүтээн байгуулалтыг авна.

3200 — 100%
4000 - x%

За тэгээд асуудлын нөхцөлийг биччихсэн байгаа. Бид пропорцийг гаргадаг:

Зүүн талд байгаа бутархай нь 100-аар төгс буурсан: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Үүнээс гадна та 4: 32: 4 = 8-аар багасгаж болно; 40: 4 = 10. Бид дараах пропорцийг авна.

Пропорцын үндсэн шинж чанарыг ашиглацгаая: туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунд хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна. Бид авах:

8 x = 100 10;
8х = 1000.

Энэ бол ердийн шугаман тэгшитгэл юм. Эндээс бид x-г олно:

x=1000:8=125

Тэгэхээр бид эцсийн хувь х = 125-ыг авсан. Гэхдээ 125 тоо нь асуудлын шийдэл мөн үү? Арга ч үгүй! Учир нь даалгавар нь пүүзний үнэ хэдэн хувиар нэмэгдсэнийг олж мэдэхийг шаарддаг.

Хэдэн хувиар - энэ нь бид өөрчлөлтийг олох шаардлагатай гэсэн үг юм:

∆ = 125 − 100 = 25

Бид 25% -ийг авсан - анхны үнэ нь ийм хэмжээгээр нэмэгдсэн. Энэ хариулт нь: 25.

Сонирхлын B2 асуудал №2

Хоёр дахь даалгавар руугаа явцгаая.

Даалгавар. Цамц нь 1800 рублийн үнэтэй. Үнэ хямдруулсны дараа 1530 рубль болж эхлэв. Цамцны үнэ хэдэн хувиар буурсан бэ?

Бид нөхцөлийг математик хэл рүү хөрвүүлдэг. 1800 рублийн анхны үнэ 100% байна. Эцсийн үнэ нь 1530 рубль юм - бид үүнийг мэдэж байгаа боловч хэдэн хувь нь анхны үнэ цэнэ нь тодорхойгүй байна. Тиймээс бид үүнийг x гэж тэмдэглэнэ. Бид дараах бүтээн байгуулалтыг авна.

1800 — 100%
1530 - x%

Үр дүнгийн бүртгэлд үндэслэн бид дараахь харьцааг бүрдүүлдэг.

Цаашдын тооцооллыг хялбарчлахын тулд энэ тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг 100-д ​​хуваая. Өөрөөр хэлбэл, зүүн ба баруун бутархайн тоологч дээр хоёр тэгийг таслана. Бид авах:

Одоо пропорциональ үндсэн шинж чанарыг дахин ашиглая: туйлын нөхцлийн үржвэр нь дундаж утгуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

x-г олоход л үлдлээ:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Бид x = 85 гэж авсан. Гэхдээ өмнөх бодлоготой адил энэ тоо өөрөө хариулт биш юм. Одоо нөхцөл байдал руугаа буцъя. Хөнгөлсний дараах шинэ үнэ нь хуучин үнийн 85% гэдгийг бид одоо мэдэж байна. Өөрчлөлтийг олохын тулд хүнээс хэрэгтэй хуучин үнэ, өөрөөр хэлбэл 100%, хасах шинэ үнэ, өөрөөр хэлбэл 85%. Бид авах:

∆ = 100 − 85 = 15

Энэ тоо нь хариулт байх болно: Анхаарна уу: яг 15, ямар ч тохиолдолд 85. Энэ бол бүх зүйл! Асуудал шийдэгдэж.

Анхааралтай оюутнууд: яагаад эхний даалгаварт зөрүүг олохдоо эцсийн тооноос эхний тоог хасаж, хоёр дахь даалгаварт яг эсрэгээр нь хийсэн: эхний 100% -иас эцсийн 85% -ийг хассан бэ?

Үүнийг тодруулъя. Албан ёсоор математикийн хувьд үнэ цэнийн өөрчлөлт нь эцсийн болон анхны үнэ цэнэ хоёрын зөрүү юм. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь бодлогод бид 15 биш, харин -15 авах ёстой байсан.

Гэсэн хэдий ч ямар ч тохиолдолд энэ хасахыг хариултад оруулах ёсгүй, учир нь энэ нь анхны асуудлын нөхцөлд аль хэдийн тооцогдсон байдаг. Яг тэнд үнийн бууралтын талаар бичсэн байгаа. 15%-иар үнэ буурсан нь -15%-ийн үнийн өсөлттэй адил юм. Тийм ч учраас асуудлын шийдэл, хариултанд ямар ч хасах зүйлгүйгээр ердөө 15-ыг бичихэд хангалттай.

Энэ мөчид бид бүгд ойлгосон гэж найдаж байна. Энэ нь бидний өнөөдрийн хичээлийг дуусгаж байна. Удахгүй уулзацгаая!