Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн эзлэхүүнийг ол. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүн

хавтгай дүрстэнхлэгийн эргэн тойронд

Жишээ 3

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг тодорхойлж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талд нь хэвтэж буй" өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр ​​будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг "ердийн" аргаар олж болно. Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.

- сегмент дээр ;

- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь шилжихээс бүрддэг урвуу функцуудболон тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Ойролцоогоор "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Цаашилбал, сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу : Тэнхлэгийг нэгтгэх хязгаар зохион байгуулах ёстойхатуу доороос дээш !

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцийг хэрхэн гүйцэтгэсэнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Тиймээс цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "давган эрвээхэй" гарч ирнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Дугуйлсан хэлбэрийг эргүүл ногоон өнгөтэй, тэнхлэгийн эргэн тойронд, эргэлтийн авсан биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьж байсан интеграцийн давуу тал, үүнийг олоход хамаагүй хялбар юм Интегралыг 4-р зэрэглэлд урьдчилж өсгөхөөс илүү.

Хариулт:

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл огт өөр эргэлтийн бие, байгалийн жамаар өөр эзэлхүүнтэй болохыг анхаарна уу.

Жишээ 7

ба муруйгаар хязгаарлагдсан зургийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Замдаа бид бусад функцүүдийн графиктай танилцаж байна. Энэ бол маш сонирхолтой график юм. жигд функц ….

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд цэнхэр өнгөөр ​​будсан зургийн баруун талыг ашиглахад хангалттай. Хоёр функц хоёулаа тэгш, графикууд нь тэнхлэгийнхээ дагуу тэгш хэмтэй, бидний дүрс ч бас тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сүүдэртэй баруун хэсэг, тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлдэж , зүүн гараагүй хэсэгтэй давхцах нь гарцаагүй.

Үүнээс бусад нь Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох (7.2.3-ыг үзнэ үү)сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ нь Хувьсгалын биеийн эзлэхүүний тооцоо. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: үүнийг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай тодорхойгүй интегралууддунд зэргийн төвөгтэй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл, nМөн ноорог зурах хүчтэй ур чадвар шаардагдана. Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд олон сонирхолтой програмууд байдаг; тодорхой интеграл ашиглан та дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. бие болон бусад олон зүйл. Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. төлөөлсөн үү? ... Одоо энэ тооТа мөн хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно:

- x тэнхлэгийн эргэн тойронд ;

- y тэнхлэгийн эргэн тойронд .

Хоёр тохиолдлыг хоёуланг нь авч үзье. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо ҮХЭР

Жишээ 1

Зургийг эргүүлэх замаар олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. шугамаар хязгаарлагдсан, тэнхлэгийн эргэн тойронд .

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, онгоцонд XOYтэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай. Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Эргэлтийн үр дүнд тэнхлэг дээр хоёр хурц оргилтой ийм бага зэрэг өндөг хэлбэртэй нисдэг таваг олж авдаг. ҮХЭР, тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй ҮХЭР. Үнэн хэрэгтээ бие нь математикийн нэртэй байдаг, лавлах номноос хараарай.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Хэрэв бие нь тэнхлэгийг тойрон эргэхийн үр дүнд үүссэн болҮХЭР, энэ нь оюун санааны хувьд жижиг зузаантай зэрэгцээ давхаргад хуваагддаг dxтэнхлэгт перпендикуляр байдаг ҮХЭР. Бүх биеийн эзэлхүүн нь ийм энгийн давхаргын эзэлхүүний нийлбэртэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Нимбэгний дугуй зүсмэл шиг давхарга бүр нь бага цилиндр өндөртэй байдаг dxба үндсэн радиустай е(x). Дараа нь нэг давхаргын эзэлхүүн нь суурийн талбайн π-ийн үржвэр юм е 2 цилиндрийн өндөр хүртэл ( dx), эсвэл π∙ е 2 (x)∙dx. Хувьсгалын бүх биеийн талбай нь үндсэн эзэлхүүнүүдийн нийлбэр буюу харгалзах тодорхой интеграл юм. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

.

"a" ба "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тохируулахыг зурсан зургаас таахад хялбар байдаг. Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээрээс параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм. Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно ҮХЭР. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: е 2 (x), иймээс, Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм. Хувьсгалын биеийн эзлэхүүнийг ашиглан тооцоол энэ томъёо:

.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь энэ нь хамгийн түгээмэл жор юм. Куб сантиметр байж болно, байж болно Куб метр, магадгүй шоо километр гэх мэт, таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

Тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол ҮХЭРзураасаар хязгаарлагдсан зураг , , .

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Жишээ 3

, , ба шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр , , , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийг дүрсэлж, тэгшитгэлийг мартаж болохгүй. x= 0 нь тэнхлэгийг заана Өө:

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед ҮХЭРЭнэ нь хавтгай, өнцгийн уут (хоёр конус гадаргуутай угаагч) болж хувирдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү. Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед ҮХЭРүр дүнд нь таслагдсан конус үүсдэг. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг гэж тэмдэглэе В 1 .

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв бид энэ зургийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл ҮХЭР, дараа нь та бас тайрсан конус авах болно, зөвхөн бага зэрэг жижиг. Түүний эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе В 2 .

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний зөрүү В = В 1 - В 2 нь манай "пончик"-ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ нь сонин байна Энэ тохиолдолдТаслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан уусмалыг шалгаж болно.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Томъёонд интегралын өмнө заавал тоо байх ёстой. Ийм зүйл болсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

"А" ба "байх" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоох вэ гэдгийг би зурсан зургаас таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээрээс параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: , иймээс Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр байж болно, шоо метр байж болно, шоо километр ч байж болно, энэ бол таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Өөр хоёрыг авч үзье сорилттой даалгаваруудпрактикт ихэвчлэн тулгардаг.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй, , , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед дөрвөн булантай ийм сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн олж авдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авдаг. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг гэж тэмдэглэе.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Одоо завсарлага аваад геометрийн хуурмаг байдлын талаар ярилцъя.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг төсөөлөлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (ижил биш) номонд анзаарчээ Сонирхолтой геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 талбайтай өрөөний эзэлхүүнтэй шингэн уудаг. метр квадрат, энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд бичсэн тэр ном нь хошин шогийн зохиолчийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, эхийг хайж олохыг заадаг. стандарт бус шийдлүүдасуудлууд. Саяхан би зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, үүнийг зөвлөж байна, хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй байна. Үгүй ээ, миний санал болгож буй хөгжилтэй зугаа цэнгэл, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээтэй байдал нь гайхалтай зүйл гэж та инээмсэглэх хэрэггүй.

Дараа нь хазайлтшийдвэрлэхэд тохиромжтой бүтээлч даалгавар:

Жишээ 4

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бараг бэлэн интеграцийн хязгаарыг өгсөн гэдгийг анхаарна уу. Мөн графикуудыг зөв зурахыг хичээ. тригонометрийн функцууд, хэрэв аргумент нь хоёрт хуваагддаг бол: , дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Дор хаяж 3-4 оноо олохыг хичээ тригонометрийн хүснэгтийн дагуумөн зургийг илүү нарийвчлалтай болгох. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. У тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь бас нэлээд байнгын зочин юм. хяналтын ажил. Цаашид авч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалхоёр дахь арга зам - тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх, энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийг хэрхэн олохыг танд заах болно. Энэ нь бас практик утгатай! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд болсон, ажилтнуудаа оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Жишээ 5

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл:Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг тодорхойлж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талд нь хэвтэж буй" өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр ​​будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хичээл дээр авч үзсэн "ердийн" аргаар олж болно. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэлд юу буруу байна вэ? Нэгдүгээрт, хоёр интеграл байдаг. Хоёрдугаарт, интеграл дахь үндэс, интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш, үүнээс гадна интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг үхэлд хүргэдэггүй, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байдаг тул би даалгаврын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгов.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Ойролцоогоор "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Цаашилбал, сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Тайлбар: Тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх хязгаарыг тогтоох хэрэгтэй хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцийг хэрхэн гүйцэтгэсэнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Тиймээс цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "давган эрвээхэй" гарч ирнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, эргэлтийн биетийн эзлэхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьж байсан интеграцийн давуу тал, үүнийг олоход хамаагүй хялбар юм Интегралыг 4-р зэрэглэлд урьдчилж өсгөхөөс илүү.

Хариулт:

Гэсэн хэдий ч өвчтэй эрвээхэй.

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл огт өөр эргэлтийн бие, байгалийн жамаар өөр эзэлхүүнтэй болохыг анхаарна уу.

Жишээ 6

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс , тэнхлэг өгөгдсөн .

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагч дээр нэгтгэн эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Тодорхойлолт 3. Хувьсгалын бие гэдэг нь тухайн дүрстэй огтлолцохгүй, түүнтэй нэг хавтгайд байрлах тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтгай дүрсийг эргүүлснээр олж авсан бие юм.

Эргэлтийн тэнхлэг нь тухайн зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг бол дүрсийг огтолж болно.

Теорем 2.
, тэнхлэг
ба шулуун шугамын сегментүүд
болон

тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг
. Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно

(2)

Баталгаа. Ийм биеийн хувьд abscissa бүхий хэсэг радиустай тойрог юм
, гэсэн үг
томъёо (1) нь хүссэн үр дүнг өгнө.

Хэрэв зураг нь хоёр тасралтгүй функцын графикаар хязгаарлагддаг
болон
, болон шугамын сегментүүд
болон
, үүнээс гадна
болон
, дараа нь абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэх үед бид эзэлхүүнтэй биеийг олж авна

Жишээ 3 Тойргоор хязгаарлагдсан тойргийг эргүүлснээр олж авсан торусын эзэлхүүнийг тооцоол

x тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Р шийдэл. Заасан тойрог нь доороос функцийн графикаар хязгаарлагдана
, ба түүнээс дээш -
. Эдгээр функцүүдийн квадратуудын ялгаа:

Хүссэн хэмжээ

(интегралын график нь дээд хагас тойрог тул дээр бичсэн интеграл нь хагас тойргийн талбай юм).

Жишээ 4 Суурьтай параболик сегмент
, ба өндөр , суурийн эргэн тойронд эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол (Cavalieri-ийн "нимбэг").

Р шийдэл. Зурагт үзүүлсэн шиг параболыг байрлуул. Дараа нь түүний тэгшитгэл
, ба
. Параметрийн утгыг олъё :
. Тиймээс хүссэн хэмжээ:

Теорем 3. Тасралтгүй сөрөг бус функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецийг үзье
, тэнхлэг
ба шулуун шугамын сегментүүд
болон
, үүнээс гадна
, тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг
. Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор олж болно

(3)

нотлох санаа. Сегментийг хуваах
цэгүүд

, хэсгүүдэд хувааж, шулуун шугамыг зур
. Трапецийг бүхэлд нь тууз болгон задлах бөгөөд үүнийг суурьтай тэгш өнцөгт гэж үзэж болно
ба өндөр
.

Ийм тэгш өнцөгтийг эргүүлсний үр дүнд үүссэн цилиндрийг generatrix-ийн дагуу зүсэж, задалдаг. Бид хэмжээс бүхий "бараг" параллелепипед авдаг.
,
болон
. Түүний эзлэхүүн
. Тиймээс, хувьсгалын биетийн эзлэхүүний хувьд бид ойролцоогоор тэнцүү байх болно

Яг тэгш байдлыг хангахын тулд бид хязгаарыг давах ёстой
. Дээр бичсэн нийлбэр нь функцийн интеграл нийлбэр юм
, тиймээс хязгаарт бид (3) томъёоноос интегралыг олж авна. Теорем нь батлагдсан.

Тайлбар 1. 2 ба 3-р теоремуудад нөхцөл
орхигдуулж болно: томьёо (2) нь ерөнхийдөө тэмдгээр мэдрэгддэггүй
, мөн (3) томъёонд энэ нь хангалттай
-ээр сольсон
.

Жишээ 5 Параболик сегмент (суурь
, өндөр ) өндрийг тойрон эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл. Зурагт үзүүлсэн шиг параболыг байрлуул. Эргэлтийн тэнхлэг нь дүрсийг гаталж байгаа ч тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Тиймээс сегментийн зөвхөн баруун талыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Параболын тэгшитгэл
, ба
, гэсэн үг
. Бидэнд эзлэхүүн байна:

Тайлбар 2. Хэрэв муруйн трапецын муруйн хилийг параметрийн тэгшитгэлээр өгвөл
,
,
болон
,
дараа нь (2) ба (3) томъёог орлуулан ашиглаж болно дээр
болон
дээр
өөрчлөгдөх үед т-аас
өмнө .

Жишээ 6 Зураг нь циклоидын эхний нумаар хязгаарлагддаг
,
,
, мөн абсцисса тэнхлэг. Энэ дүрсийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол: 1) тэнхлэг
; 2) тэнхлэг
.

Шийдэл. 1) Ерөнхий томъёо
Манай тохиолдолд:

2) Ерөнхий томъёо
Бидний зургийн хувьд:

Бид оюутнуудыг бүх тооцоог өөрсдөө хийхийг зөвлөж байна.

Тайлбар 3. Тасралтгүй шугамаар хязгаарлагдсан муруйн сектор байг
ба туяа
,

, туйлын тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно.

Жишээ 7 Кардиоидоор хязгаарлагдсан дүрсийн хэсэг
, тойргийн гадна хэвтэж байна
, туйлын тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл. Хоёр шугам, тиймээс тэдгээрийн хязгаарласан дүрс нь туйлын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Тиймээс зөвхөн аль хэсгийг нь авч үзэх хэрэгтэй
. Муруйнууд нь огтлолцдог
болон

цагт
. Цаашилбал, энэ зургийг хоёр салбарын зөрүү гэж үзэж болох тул эзлэхүүнийг хоёр интегралын зөрүү гэж тооцож болно. Бидэнд байгаа:

Даалгаврууд бие даасан шийдлийн хувьд.

1. Суурь нь дугуй хэлбэртэй сегмент
, өндөр , суурийн эргэн тойронд эргэлддэг. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг ол.

2. Суурь нь эргэлтийн параболоидын эзэлхүүнийг ол , мөн өндөр нь .

3. Асроидоор хүрээлэгдсэн зураг
,
х тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Энэ тохиолдолд олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

4. Шугамаар хязгаарлагдсан зураг
болон
x тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг ол.

I. Хувьсгалын биетүүдийн хэмжээ. Г.М.Фихтэнголын сурах бичгийн дагуу XII, p°p° 197, 198-ыг урьдчилан судал.

508. Эллипсийг х тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ замаар,

530. Гадаргуугийн талбайг ол. эргэлтээр бий болсонтэнхлэгийн эргэн тойронд синусоид нумын Ox y \u003d sin x X \u003d 0 цэгээс X цэг хүртэл \u003d It.

531. Өндөр h ба радиус r конусын гадаргуугийн талбайг тооцоол.

532. үүсгэсэн гадаргуугийн талбайг тооцоол

astroid-ийн эргэлт x3 -) - y* - a3 х тэнхлэгийн эргэн тойронд.

533. 18 y-x(6-x)r муруйн гогцоог х тэнхлэгийн эргэн тойронд урвуулахад үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

534. Х тэнхлэгийг тойруулан X2 - j - (y-3)2 = 4 тойргийг эргүүлэхэд үүссэн торусын гадаргууг ол.

535. Ox тэнхлэгийг тойрсон X = a зардал, y = asint тойргийн эргэлтээс үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

536. Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд x = 9t2, y = St - 9t3 муруйн гогцоог эргүүлснээр үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

537. Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд x = e * sint, y = el зардал муруйн нумын эргэлтээс үүссэн гадаргуугийн талбайг ол.

t = 0-ээс t = - хүртэл.

538. Циклоид нумыг x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) Oy тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн гадаргуу нь 16 u2 o2-тэй тэнцүү болохыг харуул.

539. Кардиоидыг туйлын тэнхлэгт эргүүлснээр олж авсан гадаргууг ол.

540. Лемнискатыг эргүүлэхэд үүссэн гадаргуугийн талбайг ол туйлын тэнхлэгийн эргэн тойронд.

IV бүлгийн нэмэлт даалгавар

Онгоцны дүрсүүдийн талбайнууд

541. Муруйгаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг бүхэлд нь ол Мөн тэнхлэг Өө.

542. Муруйгаар хязгаарлагдсан мужийн талбайг ол

Мөн тэнхлэг Өө.

543. Нэгдүгээр квадратад байрлах мужын талбайн муруйгаар хязгаарлагдсан хэсгийг ол.

l координатын тэнхлэгүүд.

544. Дотор нь байгаа талбайн талбайг ол

гогцоо:

545. Муруйн нэг гогцоонд хүрээлэгдсэн бүсийн талбайг ол.

546. Гогцоонд байгаа талбайн талбайг ол.

547. Муруйгаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол

Мөн тэнхлэг Өө.

548. Муруйгаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол

Мөн тэнхлэг Өө.

549. Oxr тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол

шулуун ба муруй