Гурван тал нь өгөгдсөн гурвалжны талбайг онлайнаар ол. Гурвалжны талбай - томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Гурвалжин бол гурван тал, гурван оройноос бүрддэг хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Энгийн учраас гурвалжинг эрт дээр үеэс барьж хэрэглэж ирсэн янз бүрийн хэмжилт, мөн өнөөдөр зураг нь практик болон өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй байж болно.

Гурвалжингийн онцлог

Энэ зургийг эрт дээр үеэс тооцоололд ашиглаж ирсэн, тухайлбал, маркшейдер, одон орон судлаачид талбай, зайг тооцоолохын тулд гурвалжингийн шинж чанарыг ашигладаг. Энэ зургийн талбайгаар ямар ч n-gon-ийн талбайг илэрхийлэхэд хялбар байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг эртний эрдэмтэд олон өнцөгтийн талбайн томъёог гаргахад ашигладаг байжээ. Байнгын ажилгурвалжин, ялангуяа тэгш өнцөгт гурвалжин нь математикийн бүхэл бүтэн хэсэг болох тригонометрийн үндэс суурь болсон.

гурвалжин геометр

Үл хөдлөх хөрөнгө геометрийн дүрсЭрт дээр үеэс судалж ирсэн: гурвалжингийн тухай хамгийн эртний мэдээлэл нь 4000 жилийн настай Египетийн папирусаас олдсон. Дараа нь уг зургийг судалжээ Эртний Грекгурвалжны геометрт хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Евклид, Пифагор, Херон нар юм. Гурвалжны судалгаа хэзээ ч зогссонгүй, 18-р зуунд Леонхард Эйлер дүрсийн ортоцентр ба Эйлерийн тойрог гэсэн ойлголтыг гаргаж ирэв. 19-20-р зууны зааг дээр гурвалжны талаар бүх зүйл мэдэгдэж байсан мэт санагдах үед Фрэнк Морли өнцгийн трисекторуудын теоремыг томъёолж, Вацлав Сиерпински фрактал гурвалжинг санал болгов.

Сургуулийн геометрийн хичээлээс бидэнд танил болсон хэд хэдэн төрлийн хавтгай гурвалжнууд байдаг.

• хурц өнцөгтэй - зургийн бүх өнцөг нь хурц;
• мохоо - зураг нь нэг мохоо өнцөгтэй (90 градусаас их);
• тэгш өнцөгт - зураг нь 90 градустай тэнцүү нэг зөв өнцгийг агуулна;
• isosceles - хоёр тэнцүү талтай гурвалжин;
• тэгш талт - бүх тэгш талуудтай гурвалжин.
• AT жинхэнэ амьдралБүх төрлийн гурвалжин байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Гурвалжны талбай

Талбай гэдэг нь тухайн зураг хавтгайд хэр их хүрээд байгааг тооцоолдог. Гурвалжны талбайг талууд, өндөр, өнцөг, бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, түүнчлэн Хероны томъёог ашиглан эсвэл хавтгайг хязгаарласан шугамын дагуу давхар интегралыг тооцоолох замаар зургаан аргаар олж болно. Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн энгийн томъёо нь:

a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.

Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр геометрийн дүрсийн өндрийг олох нь бидэнд үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Манай тооны машины алгоритм нь дараахь зүйлийг мэдэж, талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

• гурван тал;
• хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
• нэг тал ба хоёр булан.

Талбайг гурван талаас нь тодорхойлохын тулд бид Хероны томъёог ашиглана:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

Энд p нь гурвалжны хагас периметр юм.

Хоёр тал ба өнцгийн талбайн тооцоог сонгодог томъёоны дагуу хийнэ.

S = a × b × sin(alfa),

альфа нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.

Нэг тал ба хоёр булангаар дамжин өнгөрөх талбайг тодорхойлохын тулд бид дараахь харьцааг ашиглана.

a / нүгэл (альфа) = б / нүгэл (бета) = в / нүгэл (гамма)

Энгийн пропорцийг ашиглан бид хоёр дахь талын уртыг тодорхойлж, дараа нь S = a × b × sin (alfa) томъёог ашиглан талбайг тооцоолно. Энэхүү алгоритм нь бүрэн автоматжуулсан бөгөөд та зөвхөн өгөгдсөн хувьсагчдыг оруулаад үр дүнгээ авахад хангалттай. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Бодит амьдралын жишээнүүд

хучилтын хавтан

Гурвалжин хавтангаар шалыг хучиж, хэмжээг нь тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё шаардлагатай материал, та нэг хавтангийн талбай, шалны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэмжээ нь a = 20 см, b = 21 см, в = 29 см хэмжээтэй хавтанг ашиглан 6 квадрат метр гадаргууг боловсруулах шаардлагатай гэж бодъё. Мэдээжийн хэрэг, тооцоолуур нь гурвалжны талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашигладаг бөгөөд энэ нь тодорхой болно. үр дүнг өгөх:

Тиймээс нэг хавтангийн элементийн талбай 0.021 болно хавтгай дөрвөлжин метр, мөн шалыг гоё болгохын тулд танд 6/0.021 = 285 гурвалжин хэрэгтэй болно. 20, 21, 29 тоонууд нь Пифагорын гурвалсан тоог бүрдүүлдэг. Энэ нь зөв, манай тооны машин гурвалжны бүх өнцгийг тооцоолсон бөгөөд гамма өнцөг нь яг 90 градус байна.

сургуулийн даалгавар

Сургуулийн асуудлын хувьд та гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй, учир нь тал нь 5 см, шархны альфа ба бета өнцөг нь тус тус 30 ба 50 градус байна. Энэ асуудлыг гараар шийдэхийн тулд эхлээд б талын утгыг талуудын харьцаа болон эсрэг талын өнцгийн синусуудыг ашиглан олж, дараа нь S = a × b × sin(alfa) энгийн томъёогоор талбайг тодорхойлно. Цаг хэмнэж, тооцоолуурын маягт руу өгөгдөл оруулаад шууд хариулт авцгаая

Тооцоологч ашиглахдаа өнцөг болон талыг зөв зааж өгөх нь чухал бөгөөд эс тэгвээс үр дүн нь буруу байх болно.

Дүгнэлт

Гурвалжин бол бодит амьдрал дээр ч, хийсвэр тооцоололд ч тохиолддог өвөрмөц дүрс юм. Ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олохын тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу.

Геометрийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжингийн талбайн томъёо

1. Тал ба өндрийн гурвалжны талбайн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн урт ба энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү
   
2. Гурвалжны талбайн томьёог гурван тал ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг өгсөн
   
3. Гурвалжны талбайн томьёо нь гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиусыг өгсөн
   Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.
   
S нь гурвалжны талбай,
- гурвалжны талуудын урт,
- гурвалжны өндөр,
- талуудын хоорондох өнцөг ба,
- бичээстэй тойргийн радиус,
R - тойргийн радиус,

Квадрат талбайн томъёо

1. Талбайн уртыг өгөгдсөн квадратын талбайн томъёо
   дөрвөлжин талбайтүүний хажуугийн уртын квадраттай тэнцүү байна.
2. Дөрвөлжин талбайн томьёо нь диагональ уртыг өгөгдсөн
   дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
   

   S =	1	2
   	2

S нь квадратын талбай,
дөрвөлжингийн хажуугийн урт,
нь квадратын диагональ урт юм.

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгт талбайтүүний зэргэлдээх хоёр талын уртын үржвэртэй тэнцүү байна

S нь тэгш өнцөгтийн талбай,
тэгш өнцөгтийн талуудын урт.

Параллелограммын талбайн томъёо

1. Хажуугийн урт ба өндрийн параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбай
2. Параллелограммын талбайн томьёог хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөв
   Параллелограммын талбайталуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
   

   a b sinα

S нь параллелограммын талбай,
Параллелограммын талуудын уртууд,
параллелограммын өндөр,
параллелограммын талуудын хоорондох өнцөг юм.

Ромбын талбайн томъёо

1. Хажуугийн урт ба өндрийг өгөгдсөн ромбын талбайн томьёо
   Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
2. Хажуугийн урт ба өнцгийг өгөгдсөн ромбын талбайн томьёо
   Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
3. Диагональуудын уртаас ромбын талбайн томьёо
   Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
S нь ромбын талбай,
- ромбын хажуугийн урт,
- ромбын өндрийн урт,
- ромбын талуудын хоорондох өнцөг;
1, 2 - диагональуудын урт.

Трапецын талбайн томъёо

1. Трапецын Хэроны томъёо

   Энд S нь трапецын талбай,
   - трапецын суурийн урт;
   - трапецын хажуугийн урт,
   

Заавар

Намуудба булангуудыг үндсэн элементүүд гэж үздэг а. Гурвалжин нь гурван тал, нэг тал ба хоёр өнцөг, эсвэл хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг гэсэн үндсэн элементүүдийн аль нэгээр нь бүрэн тодорхойлогддог. Оршихуйн төлөө гурвалжин a,b,c гурван талаар тодорхойлогддог, тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг тэгш бус байдлыг хангах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. гурвалжин:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Барилгын хувьд гурвалжин a,b,c гурван тал дээр CB=a хэрчмээс C цэгээс b радиустай тойргийг луужингаар хэрхэн зурах шаардлагатай. Дараа нь ижил төстэй байдлаар B цэгээс радиустай тойрог зур талтай тэнцүүв. Тэдний огтлолцлын цэг А нь хүссэн хэсгийн гурав дахь орой юм гурвалжин ABC, энд AB=c, CB=a, CA=b - талууд гурвалжин. Хэрэв a, b, c талууд тэгш бус байдлыг хангаж байвал асуудал нь байна гурвалжин 1-р алхамд заасан.

Ийм байдлаар баригдсан S талбай гурвалжин ABC-тэй мэдэгдэж байгаа талууд a, b, c -ийг Хероны томъёогоор тооцоолно.
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
энд a, b, c талууд байна гурвалжин, p нь хагас периметр.
p = (a+b+c)/2

Хэрэв гурвалжин тэгш талт бол түүний бүх талууд тэнцүү байна (a=b=c). гурвалжинтомъёогоор тооцоолно:
S=(a^2 v3)/4

Хэрэв гурвалжин нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл нэг өнцөг нь 90 °, түүнийг бүрдүүлж буй талууд нь хөл бол гурав дахь тал нь гипотенуз юм. AT Энэ тохиолдолд дөрвөлжинхоёр хуваагдсан хөлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
S=ab/2

Олох дөрвөлжин гурвалжин, та олон томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно. Ямар өгөгдөл аль хэдийн мэдэгдэж байгаагаас хамааран томьёог сонгоно уу.

Танд хэрэгтэй болно

• гурвалжны талбайг олох томъёоны талаархи мэдлэг

Заавар

Хэрэв та талуудын аль нэгнийх нь утгыг мэдэж байгаа бол эсрэг талын булангаас энэ тал руу буулгасан өндрийн утгыг мэдэж байгаа бол та талбайг дараах байдлаар олох боломжтой: S = a*h/2, S нь ​гурвалжин, a нь гурвалжны талуудын нэг бөгөөд h - өндөр, а тал руу.

Гурвалжны гурван тал нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг тодорхойлох тодорхой арга бий. Тэр бол Хероны томъёо юм. Бичлэгийг хялбарчлахын тулд завсрын утгыг нэвтрүүлсэн - хагас периметр: p \u003d (a + b + c) / 2, энд a, b, c - . Тэгвэл Хэроны томъёо дараах байдалтай байна: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ экспоненциал.

Та гурвалжны нэг тал ба гурван өнцгийг мэддэг гэж бодъё. Дараа нь гурвалжны талбайг олоход хялбар байдаг: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), энд β нь a талын эсрэг өнцөг, α ба γ нь хажуугийн хажуугийн өнцөг юм.

Холбоотой видеонууд

тэмдэглэл

Хамгийн ерөнхий томъёо, энэ нь бүх тохиолдолд тохиромжтой - энэ бол Хероны томъёо юм.

Эх сурвалжууд:

Зөвлөгөө 3: Гурван тал нь өгөгдсөн гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Гурвалжны талбайг олох нь сургуулийн планиметрийн хамгийн түгээмэл ажлуудын нэг юм. Гурвалжны гурван талыг мэдэх нь ямар ч гурвалжны талбайг тодорхойлоход хангалттай. Онцгой тохиолдолд болон тэгш талт гурвалжны хувьд хоёр ба нэг талын уртыг мэдэхэд хангалттай.

Танд хэрэгтэй болно

• гурвалжны хажуугийн урт, Хэроны томъёо, косинусын теорем

Заавар

Гурвалжны талбайн хувьд Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Хэрэв та хагас периметр p-г будвал дараахийг авна: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Та мөн гурвалжны талбайн томъёог авч үзэх замаар, жишээлбэл, косинусын теоремыг ашиглан гаргаж авч болно.

Косинусын хуулиар AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Оруулсан тэмдэглэгээг ашигласнаар эдгээр нь дараах хэлбэртэй байж болно: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Тиймээс cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Гурвалжны талбайг мөн S = a*c*sin(ABC)/2 томъёогоор хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг олно. ABC өнцгийн синусыг үндсэн утгыг ашиглан түүгээр илэрхийлж болно тригонометрийн ижилсэл: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Талбайн томьёонд синусыг орлуулж, будсанаар бид ABC гурвалжны талбайн томъёонд хүрч чадна.

Холбоотой видеонууд

Учир нь засварын ажилхэмжих шаардлагатай байж болно дөрвөлжинхана. Тооцоолоход илүү хялбар байдаг шаардлагатай хэмжээбудаг эсвэл ханын цаас. Хэмжилтийн хувьд соронзон хальсны хэмжүүр эсвэл сантиметр соронзон хальс ашиглах нь хамгийн сайн арга юм. Хэмжилтийг дараа нь хийх ёстой ханазэрэгцүүлсэн байна.

Танд хэрэгтэй болно

• - рулет;
• - шат.

Заавар

Тоолох дөрвөлжинхананы хувьд та таазны яг өндрийг мэдэж, шалан дээрх уртыг хэмжих хэрэгтэй. Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: нэг сантиметрийг авч, тавцан дээр тавь. Ихэвчлэн нэг сантиметр нь бүхэл бүтэн уртад хангалтгүй байдаг тул буланд бэхлээд дараа нь тайл. хамгийн их урт. Энэ үед харандаагаар тэмдэглэгээ хийж, үр дүнг бичиж, хамгийн сүүлийн хэмжилтийн цэгээс эхлэн ижил аргаар хэмжилт хийнэ.

Стандарт таазердийн байдлаар - байшингаас хамааран 2 метр 80 сантиметр, 3 метр, 3 метр 20 сантиметр. Хэрэв байшинг 50-аад оноос өмнө барьсан бол бодит өндөр нь заасан хэмжээнээс арай доогуур байх магадлалтай. Хэрэв та тооцоолж байгаа бол дөрвөлжинзасварын ажилд зориулж, дараа нь жижиг маржин гэмтээхгүй - стандартад үндэслэн анхаарч үзээрэй. Хэрэв та жинхэнэ өндрийг мэдэх шаардлагатай хэвээр байвал хэмжилт хий. Энэ зарчим нь уртыг хэмжихтэй төстэй боловч танд шат хэрэгтэй болно.

Үүссэн тоонуудыг үржүүлээрэй - энэ бол дөрвөлжинчиний хана. Үнэн, цагт будах ажилэсвэл хасах хэрэгтэй дөрвөлжинхаалга ба цонхны нээлхий. Үүнийг хийхийн тулд нээлхийн дагуу нэг сантиметрийг тавина. Хэрэв бид дараа нь солих гэж байгаа хаалганы тухай ярьж байгаа бол үүнийгээ ашиглана уу хаалганы хүрээ, зөвхөн харгалзан үзнэ дөрвөлжиннээлт нь өөрөө. Цонхны талбайг түүний хүрээний периметрийн дагуу тооцоолно. Дараа нь дөрвөлжинЦонх, хаалганы нээлхийг тооцоолж, үр дүнг олж авсан өрөөний нийт талбайгаас хасна.

Өрөөний урт ба өргөнийг хэмжилтийг хамтад нь хийдэг тул сантиметр эсвэл соронзон хэмжүүр засах нь илүү хялбар бөгөөд үүний дагуу илүү ихийг авах боломжтой гэдгийг анхаарна уу. яг үр дүн. Таны авсан тоо үнэн зөв эсэхийг шалгахын тулд ижил хэмжилтийг хэд хэдэн удаа хийнэ.

Холбоотой видеонууд

Гурвалжны эзэлхүүнийг олох нь үнэхээр энгийн ажил биш юм. Гурвалжин бол хоёр хэмжээст дүрс, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь бүхэлдээ нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь ердөө л эзлэхүүнгүй гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, та байхгүй зүйлийг олж чадахгүй. Гэхдээ бууж өгөхгүй байцгаая! Бид дараах таамаглалыг гаргаж болно - хоёр хэмжээст дүрсийн эзэлхүүн, энэ бол түүний талбай юм. Бид гурвалжны талбайг хайж байна.

Танд хэрэгтэй болно

• хуудас, харандаа, захирагч, тооны машин

Заавар

Цаасан дээр захирагч, харандаагаар зур. Гурвалжныг сайтар судалж үзээд онгоцон дээр зурсан тул энэ нь үнэхээр байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно. Гурвалжны талуудыг тэмдэглэ: нэг тал нь "a", нөгөө тал нь "b", гурав дахь тал нь "c" байна. Гурвалжны оройг "A", "B", "C" үсгээр тэмдэглэ.

Гурвалжны аль ч талыг захирагчаар хэмжиж, үр дүнг бич. Үүний дараа эсрэг талын оройноос хэмжсэн тал руу перпендикулярыг сэргээж, ийм перпендикуляр нь гурвалжны өндөр байх болно. Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд перпендикуляр "h" нь "А" оройноос "c" тал руу сэргээгддэг. Үүссэн өндрийг захирагчаар хэмжиж, хэмжилтийн үр дүнг тэмдэглэнэ.

Энэ нь танд яг перпендикулярыг сэргээхэд хэцүү байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та өөр томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гурвалжны бүх талыг захирагчаар хэмжинэ. Үүний дараа "p" гурвалжны хагас периметрийг тооцоолж, талуудын үүссэн уртыг нэмж, тэдгээрийн нийлбэрийг хагасаар хуваана. Хагас периметрийн утгыг эзэмшсэнээр та Хэроны томъёог ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та олборлох хэрэгтэй Квадрат язгуурдараахаас: p(p-a)(p-b)(p-c).

Та гурвалжны хүссэн хэсгийг авлаа. Гурвалжны эзэлхүүнийг олох асуудал шийдэгдээгүй ч дээр дурдсанчлан эзлэхүүн нь . Та 3D ертөнцөөс үндсэндээ гурвалжин болох эзлэхүүнийг олох боломжтой. Хэрэв бид анхны гурвалжин гурван хэмжээст пирамид болсон гэж төсөөлвөл ийм пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн урт ба бидний хүлээн авсан гурвалжны талбайн үржвэр болно.

тэмдэглэл

Хэмжилтийг илүү нарийвчлалтай хийх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно.

Эх сурвалжууд:

• All-to-All Calculator - Лавлагаа портал
• 2019 онд гурвалжингийн хэмжээ

Декартын координатын систем дэх гурвалжинг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гурван цэг нь түүний оройнууд юм. Координатын тэнхлэг тус бүртэй харьцуулахад тэдгээрийн байрлалыг мэдэхийн тулд та үүнээс ямар ч параметрийг тооцоолж болно хавтгай дүрс, үүнд периметрээр хязгаарлагдана дөрвөлжин. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.

Заавар

Талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглана уу гурвалжин. Энэ нь зургийн гурван талын хэмжээсийг багтаасан тул тооцоогоо эхлүүлээрэй. Тал бүрийн урт нь координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын уртын квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байх ёстой. Хэрэв бид A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ба C(X₃,Y₃,Z₃) координатуудыг тэмдэглэвэл тэдгээрийн талуудын уртыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд туслах хувьсагчийг оруулна уу - хагас периметр (P). Үүнээс үзэхэд энэ нь бүх талуудын уртын нийлбэрийн тал хувь юм: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Заримдаа амьдралд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохын тулд ой санамжаа судлах шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, та гурвалжин хэлбэртэй газрын талбайг тодорхойлох, эсвэл орон сууц, хувийн байшинд дараагийн засварын ээлж ирсэн, хэр их материал үлдэхийг тооцоолох хэрэгтэй. бүхий гадаргуугийн хувьд гурвалжин хэлбэртэй. Та ийм асуудлыг хэдхэн минутын дотор шийдэж чаддаг байсан үе байсан бөгөөд одоо та гурвалжингийн талбайг хэрхэн тодорхойлохоо санах гэж маш их хичээж байна уу?

Та энэ талаар санаа зовох хэрэггүй! Эцсийн эцэст, хүний ​​тархи удаан ашиглагдаагүй мэдлэгийг хаа нэгтээ алслагдсан буланд шилжүүлэхээр шийдсэн нь хэвийн үзэгдэл бөгөөд үүнийг олж авахад заримдаа тийм ч амар байдаггүй. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайхад зовохгүй байхын тулд энэ нийтлэлийг багтаасан болно янз бүрийн арга, энэ нь гурвалжны хүссэн хэсгийг олоход хялбар болгодог.

Гурвалжин бол хамгийн багадаа хязгаарлагдмал олон өнцөгт хэлбэр гэдгийг сайн мэддэг боломжит тооталууд. Зарчмын хувьд аливаа олон өнцөгтийг оройг нь хажуу талыг нь огтолдоггүй сегментүүдээр холбосноор хэд хэдэн гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжинг мэддэг тул та бараг ямар ч зургийн талбайг тооцоолж болно.

Амьдралд тохиолдож болох бүх гурвалжнуудын дотроос дараахь төрлүүдийг ялгаж салгаж болно: тэгш өнцөгт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол түүний булангуудын аль нэг нь зөв, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд зөв байх явдал юм. Энэ нь хагас тэгш өнцөгт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс түүний талбай нь тэдгээрийн хооронд тэгш өнцөг үүсгэдэг талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Хэрэв бид гурвалжны аль нэг оройгоос эсрэг тал руу буулгасан өндрийг ба суурь гэж нэрлэдэг энэ талын уртыг мэддэг бол талбайг өндөр ба суурийн үржвэрийн хагасаар тооцно. Үүнийг дараах томъёогоор бичнэ.

S = 1/2*b*h, үүнд

S - гурвалжны хүссэн хэсэг;

b, h - гурвалжны өндөр ба суурь тус тус.

Талбайг тооцоолоход маш хялбар байдаг тэгш өнцөгт гурвалжин, учир нь өндөр нь эсрэг талыг хоёр хуваах бөгөөд үүнийг хялбархан хэмжих боломжтой. Хэрэв талбайг тодорхойлсон бол тэгш өнцөг үүсгэгч талуудын аль нэгний уртыг өндрөөр авах нь тохиромжтой.

Энэ бүхэн мэдээж сайн, гэхдээ гурвалжны нэг өнцөг зөв эсэхийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Хэрэв бидний зургийн хэмжээ бага бол та барилгын өнцөг, зургийн гурвалжин, ил захидал эсвэл бусад зүйлийг ашиглаж болно. тэгш өнцөгт хэлбэр.

Гэхдээ бид гурвалжинтай бол яах вэ газар? Энэ тохиолдолд дараах байдлаар ажиллана: санал болгож буй дээд хэсгээс тоол зөв өнцөгнэг талдаа 3-ын үржвэр (30 см, 90 см, 3 м), нөгөө талд нь 4-ийн үржвэр (40 см, 160 см, 4 м) ижил харьцаагаар хэмжигддэг. Одоо та эдгээр хоёр сегментийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг хэмжих хэрэгтэй. Хэрэв утга нь 5-ын үржвэр (50 см, 250 см, 5 м) бол өнцөг нь зөв гэж маргаж болно.

Хэрэв бидний зургийн гурван тал бүрийн уртын утгыг мэддэг бол гурвалжны талбайг Хероны томъёог ашиглан тодорхойлж болно. Үүнийг илүү энгийн хэлбэртэй болгохын тулд хагас периметр гэж нэрлэгддэг шинэ утгыг ашигладаг. Энэ бол манай гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийг хагасаар хуваасан юм. Хагас периметрийг тооцоолсны дараа та томъёог ашиглан талбайг тодорхойлж эхэлж болно.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), хаана

sqrt - квадрат язгуур;

p нь хагас периметрийн утга (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - гурвалжны ирмэг (тал).

Гэхдээ гурвалжин байвал яах вэ жигд бус хэлбэр? Энд хоёр боломжит арга бий. Эдгээрийн эхнийх нь ийм дүрсийг хоёр хуваахыг оролдох явдал юм зөв гурвалжин, талбайн нийлбэрийг тусад нь тооцож, дараа нь нэмнэ. Эсвэл хоёр талын хоорондох өнцөг болон эдгээр талуудын хэмжээ тодорхой байвал дараах томъёог хэрэглэнэ.

S = 0.5 * ab * sinC, хаана

a,b - гурвалжны талууд;

c нь эдгээр талуудын хоорондох өнцөг юм.

Сүүлчийн тохиолдол нь практикт ховор тохиолддог боловч амьдралд бүх зүйл боломжтой байдаг тул дээрх томъёо нь илүүдэхгүй байх болно. Таны тооцоололд амжилт хүсье!