Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх d0. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Эхний түвшин

Квадрат тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)

"Квадрат тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны түлхүүр үг нь "квадрат" юм. Энэ нь тэгшитгэл нь заавал хувьсагч (ижил x) квадратыг агуулсан байх ёстой бөгөөд гурав дахь (эсвэл түүнээс дээш) зэрэглэлийн x байх ёсгүй гэсэн үг юм.

Олон тэгшитгэлийн шийдэл нь яг шийдэхэд хүрдэг квадрат тэгшитгэл.

Энэ бол өөр тэгшитгэл биш харин квадрат тэгшитгэл гэдгийг тодорхойлж сурцгаая.

Жишээ 1.

Хуваагчаас салж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг үржүүлье

Бүгдийг нь шилжүүлье зүүн талба нөхцөлүүдийг х-ийн зэрэглэлийн буурах дарааллаар байрлуул

Одоо бид энэ тэгшитгэл нь квадрат гэж итгэлтэйгээр хэлж чадна!

Жишээ 2.

Зүүн ба үржүүлье баруун талдээр:

Энэ тэгшитгэл нь анхнаасаа байсан ч квадрат биш юм!

Жишээ 3.

Бүгдийг дараах байдлаар үржүүлье.

Аймшигтай юу? Дөрөв, хоёрдугаар зэрэг... Гэсэн хэдий ч бид орлуулалт хийвэл бид энгийн квадрат тэгшитгэлтэй болохыг харах болно:

Жишээ 4.

Тэнд байгаа юм шиг байна, гэхдээ сайтар харцгаая. Бүгдийг зүүн тал руу шилжүүлье:

Хараач, энэ нь багассан - одоо энэ нь энгийн шугаман тэгшитгэл юм!

Одоо дараах тэгшитгэлүүдийн аль нь квадрат, аль нь биш болохыг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Жишээ нь:

Хариултууд:

1. дөрвөлжин;
2. дөрвөлжин;
3. дөрвөлжин биш;
4. дөрвөлжин биш;
5. дөрвөлжин биш;
6. дөрвөлжин;
7. дөрвөлжин биш;
8. дөрвөлжин.

Математикчид бүх квадрат тэгшитгэлийг дараахь төрлүүдэд хуваадаг.

• Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлүүд (жишээ дээрх шиг). Үүнээс гадна бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг өгсөн- эдгээр нь коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд юм (жишээ нь нэг дэх тэгшитгэл нь зөвхөн бүрэн биш, бас буурсан байна!)

• Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэлүүд:

  Зарим элемент дутуу байгаа тул тэдгээр нь бүрэн бус байна. Гэхдээ тэгшитгэлд үргэлж x квадрат байх ёстой!!! Үгүй бол энэ нь квадрат тэгшитгэл байхаа больсон, гэхдээ өөр тэгшитгэл байх болно.

Тэд яагаад ийм хуваагдал гаргав? X квадрат байгаа юм шиг санагдаж байна, зүгээр. Энэ хуваагдлыг шийдлийн аргуудаар тодорхойлно. Тэд тус бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая - тэдгээр нь хамаагүй хялбар юм!

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд байдаг:

1. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.
2. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.
3. , энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.

1. i. Бид квадрат язгуурыг хэрхэн авахаа мэддэг тул энэ тэгшитгэлээс илэрхийлье

Илэрхийлэл нь сөрөг эсвэл эерэг байж болно. Квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй, учир нь хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх тул: хэрэв, тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.

Хэрэв тийм бол бид хоёр үндэстэй болно. Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь та үүнээс бага байж болохгүй гэдгийг мэдэж, үргэлж санаж байх ёстой.

Зарим жишээг шийдэхийг хичээцгээе.

Жишээ 5:

Тэгшитгэлийг шийд

Одоо зүүн, баруун талаас үндсийг нь гаргаж авах л үлдлээ. Эцсийн эцэст, та үндсийг хэрхэн гаргаж авахаа санаж байна уу?

Хариулт:

Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!!!

Жишээ 6:

Тэгшитгэлийг шийд

Хариулт:

Жишээ 7:

Тэгшитгэлийг шийд

Өө! Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг

үндэс байхгүй!

Үндэсгүй ийм тэгшитгэлийн хувьд математикчид тусгай дүрсийг гаргаж ирэв - (хоосон багц). Мөн хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Бид үндсийг нь задлаагүй тул энд ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Жишээ 8:

Тэгшитгэлийг шийд

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:

Тиймээс,

Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Хариулт:

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл (хэдийгээр тэд бүгд энгийн, тийм үү?). Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:

Бид энд жишээгүйгээр хийх болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн тэгшитгэл гэдгийг бид танд сануулж байна

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь эдгээрээс арай илүү хэцүү (бага зэрэг) юм.

Санаж байна, Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдэж болно! Бүр бүрэн бус.

Бусад аргууд нь үүнийг хурдан хийхэд тусална, гэхдээ квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой асуудал байвал эхлээд ялгаварлагч ашиглан шийдлийг эзэмш.

1. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх.

Энэ аргыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм.

Хэрэв, тэгшитгэл нь үндэстэй байна. Онцгой анхааралалхам хий. Дискриминант () нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.

• Хэрэв, дараа нь алхам дахь томъёо багасна. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн үндэстэй байх болно.
• Хэрэв тийм бол бид алхам дээр ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Дараа нь тэгшитгэлдээ буцаж очоод зарим жишээг харцгаая.

Жишээ 9:

Тэгшитгэлийг шийд

1-р алхамбид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.

Алхам 3.

Хариулт:

Жишээ 10:

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс 1-р алхамбид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм.

Хариулт:

Жишээ 11:

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс 1-р алхамбид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь бид ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн үндэс байхгүй.

Одоо бид ийм хариултыг хэрхэн зөв бичихээ мэддэг болсон.

Хариулт:үндэс байхгүй

2. Квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдвэрлэх.

Хэрэв та санаж байгаа бол бууруулсан гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрөл байдаг (a коэффициент нь тэнцүү байх үед):

Ийм тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг.

Үндэс нийлбэр өгсөнквадрат тэгшитгэл тэнцүү, язгуурын үржвэр тэнцүү байна.

Жишээ 12:

Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь .

Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, i.e. Бид эхний тэгшитгэлийг авна:

Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:

Системийг зохиож, шийдье:

• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.

мөн эдгээр нь системийн шийдэл юм:

Хариулт: ; .

Жишээ 13:

Тэгшитгэлийг шийд

Хариулт:

Жишээ 14:

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэл. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - зарим тоо, ба.

Тоо нь хамгийн өндөр буюу эхний коэффициентквадрат тэгшитгэл, - хоёр дахь коэффициент, A - чөлөөт гишүүн.

Яагаад? Учир нь хэрэв тэгшитгэл шууд шугаман болж хувирвал, учир нь алга болно.

Энэ тохиолдолд, мөн тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ сандал дээрх тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг. Хэрэв бүх нөхцөл байгаа бол тэгшитгэл бүрэн байна.

Төрөл бүрийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:

Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье - тэдгээр нь илүү хялбар байдаг.

Дараах төрлийн тэгшитгэлийг ялгаж салгаж болно.

I., энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.

II. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.

III. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.

Одоо эдгээр дэд төрөл бүрийн шийдлийг авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:

Квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй, учир нь хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх болно. Тийм учраас:

хэрэв, тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

хэрэв бид хоёр үндэстэй бол

Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Санаж байх ёстой гол зүйл бол үүнээс бага байж болохгүй.

Жишээ нь:

Шийдэл:

Хариулт:

Сөрөг тэмдэг бүхий үндсийг хэзээ ч бүү март!

Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг

үндэс байхгүй.

Асуудлыг шийдэх арга байхгүй гэдгийг товч бичихийн тулд бид хоосон багц дүрсийг ашигладаг.

Хариулт:

Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.

Хариулт:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:

Хэрэв хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд шийдэлтэй байна гэсэн үг юм.

Тэгэхээр энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.

Жишээ:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож үндсийг нь олцгооё.

Хариулт:

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:

1. Ялгаварлан гадуурхагч

Квадрат тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх нь хялбар бөгөөд гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм. Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар шийдэж болно гэдгийг санаарай! Бүр бүрэн бус.

Үндэсийн томъёонд ялгаварлагчаас үндсийг анзаарсан уу? Гэхдээ ялгаварлагч нь сөрөг байж болно. Юу хийх вэ? Бид 2-р алхамд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Ялгаварлагч нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.

• Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол:
• Хэрэв тэгшитгэл нь ижил үндэстэй бөгөөд үнэндээ нэг үндэстэй бол:

  Ийм үндэсийг давхар үндэс гэж нэрлэдэг.

• Хэрэв, дараа нь ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж аваагүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Яагаад өөр өөр тооны үндэс байж болох вэ? Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утгыг авч үзье. Функцийн график нь парабол юм:

Квадрат тэгшитгэл болох онцгой тохиолдолд . Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь абсцисса тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэгүүд гэсэн үг юм. Парабол нь тэнхлэгтэй огт огтлолцохгүй, эсвэл нэг (параболын орой тэнхлэг дээр байрлах үед) эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болно.

Үүнээс гадна коэффициент нь параболын салбаруудын чиглэлийг хариуцдаг. Хэрэв параболын мөчрүүд дээш, харин доошоо чиглэнэ.

Жишээ нь:

Шийдэл:

Хариулт:

Хариулт: .

Хариулт:

Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Хариулт: .

2. Вьетагийн теорем

Виетийн теоремыг ашиглахад маш хялбар: та үржвэр нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү хос тоог сонгох хэрэгтэй бөгөөд нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна.

Виетийн теоремыг зөвхөн ашиглах боломжтой гэдгийг санах нь чухал юм бууруулсан квадрат тэгшитгэл ().

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ №1:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь . Бусад коэффициентүүд: ; .

Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь:

Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:

Үржвэр нь тэнцүү хос тоонуудыг сонгоод тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.

мөн эдгээр нь системийн шийдэл юм:

Тиймээс, мөн бидний тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: ; .

Жишээ №2:

Шийдэл:

Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн хос тоог сонгоод, тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

ба: тэд нийтдээ өгдөг.

ба: тэд нийтдээ өгдөг. Хүлээн авахын тулд зүгээр л бодож буй үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай: мөн эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн.

Хариулт:

Жишээ №3:

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн нь сөрөг тул язгуурын үржвэр нь сөрөг тоо юм. Нэг үндэс нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байвал энэ нь боломжтой юм. Тиймээс үндэсийн нийлбэр нь тэнцүү байна тэдгээрийн модулиудын ялгаа.

Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн, ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ийм хос тоог сонгоцгооё.

ба: тэдгээрийн ялгаа тэнцүү - тохирохгүй байна;

ба: - тохиромжгүй;

ба: - тохиромжгүй;

ба: - тохиромжтой. Үлдсэн зүйл бол нэг үндэс нь сөрөг гэдгийг санах явдал юм. Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой тул бага модультай үндэс нь сөрөг байх ёстой: . Бид шалгаж байна:

Хариулт:

Жишээ №4:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс үндэсийн бүтээгдэхүүн нь сөрөг байна. Энэ нь тэгшитгэлийн нэг үндэс сөрөг, нөгөө нь эерэг байх үед л боломжтой юм.

Үржвэр нь тэнцүү тооны хосуудыг сонгоод аль үндэс нь сөрөг тэмдэгтэй байх ёстойг тодорхойлъё.

Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн үндэс нь эхний нөхцөлд тохиромжтой:

Хариулт:

Жишээ №5:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Үндэсний нийлбэр нь сөрөг, энэ нь ядаж нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Гэхдээ тэдний бүтээгдэхүүн эерэг учраас энэ нь хоёр үндэс нь хасах тэмдэгтэй гэсэн үг юм.

Үржвэр нь дараахтай тэнцүү хос тоонуудыг сонгоцгооё.

Мэдээжийн хэрэг, үндэс нь тоонууд ба.

Хариулт:

Зөвшөөрч байна, энэ муухай ялгаварлан гадуурхагчийг тоолохын оронд амаар үндсийг гаргах нь маш тохиромжтой. Виетийн теоремыг аль болох олон удаа ашиглахыг хичээ.

Гэхдээ үндсийг нь олоход хялбар, хурдасгахын тулд Виетийн теорем хэрэгтэй. Үүнийг ашиглахын тулд та үйлдлүүдийг автоматжуулах хэрэгтэй. Үүний тулд дахиад таван жишээг шийд. Гэхдээ хууран мэхлэх хэрэггүй: та ялгаварлагчийг ашиглаж болохгүй! Зөвхөн Виетийн теорем:

Бие даасан ажлын даалгаврын шийдэл:

Даалгавар 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Виетийн теоремын дагуу:

Ердийнх шигээ бид сонголтоо дараах хэсгээс эхлүүлнэ.

Хэмжээ нь тохиромжгүй;

: хэмжээ нь танд хэрэгтэй зүйл юм.

Хариулт: ; .

Даалгавар 2.

Мөн бидний дуртай Виетийн теорем: нийлбэр нь тэнцүү байх ёстой бөгөөд үржвэр нь тэнцүү байх ёстой.

Гэхдээ энэ нь тийм биш байх ёстой тул, гэхдээ бид үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчилдөг: ба (нийт).

Хариулт: ; .

Даалгавар 3.

Хмм... Тэр хаана байна?

Та бүх нэр томъёог нэг хэсэгт шилжүүлэх хэрэгтэй:

Үндэсний нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

За, зогсоо! Тэгшитгэлийг өгөөгүй байна. Гэхдээ Виетийн теорем нь зөвхөн өгөгдсөн тэгшитгэлд хамаарна. Тиймээс эхлээд тэгшитгэл өгөх хэрэгтэй. Хэрэв та удирдаж чадахгүй бол энэ санаагаа орхиж, өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдээрэй. Квадрат тэгшитгэл өгөх нь тэргүүлэх коэффициентийг тэнцүү болгоно гэдгийг сануулъя.

Агуу их. Дараа нь үндэсийн нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Энд сонгох нь бялуу шиг амархан: эцсийн эцэст энэ бол анхны тоо (тавтологийн хувьд уучлаарай).

Хариулт: ; .

Даалгавар 4.

Чөлөөт гишүүн сөрөг байна. Энэ юугаараа онцлог вэ? Үнэн хэрэгтээ үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх болно. Одоо сонгохдоо бид үндэсийн нийлбэрийг биш, харин тэдгээрийн модулиудын ялгааг шалгадаг: энэ ялгаа нь тэнцүү, гэхдээ бүтээгдэхүүн юм.

Тэгэхээр, үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Виетийн теорем нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь жижиг үндэс нь хасах: ба, оноос хойш гэсэн үг юм.

Хариулт: ; .

Даалгавар 5.

Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Зөв, тэгшитгэлийг өг:

Дахин хэлэхэд: бид тооны хүчин зүйлсийг сонгох бөгөөд тэдгээрийн ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ёстой.

Үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Аль нь? Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хасах нь илүү том үндэстэй болно гэсэн үг юм.

Хариулт: ; .

Товчхондоо:

1. Виетийн теоремыг зөвхөн өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлд ашигладаг.
2. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгон авч, амаар олж болно.
3. Хэрэв тэгшитгэл өгөгдөөгүй эсвэл тэгшитгэл олдоогүй бол тохиромжтой хосчөлөөт нэр томъёоны хүчин зүйлүүд, энэ нь бүхэл бүтэн үндэс байхгүй гэсэн үг бөгөөд та өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдэх хэрэгтэй.

3. Бүрэн квадратыг сонгох арга

Хэрэв үл мэдэгдэхийг агуулсан бүх нэр томъёог үржүүлэх товчилсон томъёоноос авсан нэр томъёо хэлбэрээр төлөөлвөл - нийлбэр эсвэл зөрүүний квадрат - хувьсагчдыг орлуулсны дараа тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл хэлбэрээр гаргаж болно.

Жишээлбэл:

Жишээ 1:

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Хариулт:

Жишээ 2:

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Хариулт:

IN ерөнхий үзэлөөрчлөлт дараах байдлаар харагдах болно.

Энэ нь: .

Танд юу ч сануулахгүй байна уу? Энэ бол ялгаварлан гадуурхах зүйл! Яг ийм байдлаар бид ялгах томъёог олж авсан.

Квадрат тэгшитгэл. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Квадрат тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл, энд үл мэдэгдэх нь, квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд, чөлөөт гишүүн юм.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл.

Багасгасан квадрат тэгшитгэл- коэффициент байх тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл: .

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл:

• коэффициент бол тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдана.
• Хэрэв чөлөөт нэр томъёо байгаа бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
• хэрэв ба бол тэгшитгэл нь: .

1. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

1.1. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :

1) Үл мэдэгдэхийг илэрхийлье: ,

2) Илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу:

• Хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол,
• Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

1.2. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :

1) Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: ,

2) Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй:

1.3. Маягтын бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, үүнд:

Энэ тэгшитгэл нь үргэлж нэг үндэстэй байдаг: .

2. Хэлбэрийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм хаана

2.1. Дискриминант ашиглан шийдэл

1) Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулъя: ,

2) Дискриминантыг томъёогоор тооцоолъё: , энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог заана.

3) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

• Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
• Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
• Хэрэв тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

2.2. Виетийн теоремыг ашиглан шийдэл

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр (хэлбэрийн тэгшитгэл) тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. , А.

2.3. Бүрэн квадратыг сонгох аргын шийдэл

Энэ математикийн програмын тусламжтайгаар та боломжтой квадрат тэгшитгэлийг шийдэх.

Хөтөлбөр нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг хоёр аргаар харуулдаг.
- ялгаварлагч ашиглах
- Виетийн теоремыг ашиглах (боломжтой бол).

Түүгээр ч зогсохгүй хариулт нь ойролцоо биш яг тодорхой харагдаж байна.
Жишээлбэл, \(81x^2-16x-1=0\) тэгшитгэлийн хувьд хариултыг дараах хэлбэрээр харуулна.

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ба үүн шиг биш: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Энэ програмахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй байж болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин дээшилдэг.

Хэрэв та квадрат олон гишүүнт оруулах дүрмүүдийг мэдэхгүй бол тэдгээртэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.

Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.
Түүнээс гадна, бутархай тоозөвхөн аравтын бутархай бус энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн хувьд бутархай хэсгийг бүхэл хэсгээс цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та орж болно аравтын бутархайүүнтэй адил: 2.5x - 3.5x^2

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас тэмдэгт тэмдгээр тусгаарлана. &
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Үр дүн: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Илэрхийлэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Жишээ нь: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Шийдэх

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Квадрат тэгшитгэл ба түүний үндэс. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Тэгшитгэл бүр
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
шиг харагдаж байна
\(ax^2+bx+c=0, \)
Энд x нь хувьсагч, a, b, c нь тоо юм.
Эхний тэгшитгэлд a = -1, b = 6 ба c = 1.4, хоёрдугаарт a = 8, b = -7 ба c = 0, гуравдугаарт a = 1, b = 0 ба c = 4/9 байна. Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэл.

Тодорхойлолт.
Квадрат тэгшитгэл ax 2 +bx+c=0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, \(a \neq 0 \).

a, b, c тоонууд нь квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд юм. a тоог эхний коэффициент, b тоог хоёр дахь коэффициент, c тоог чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

ax 2 +bx+c=0 хэлбэрийн тэгшитгэл бүрд \(a\neq 0\) x хувьсагчийн хамгийн том чадал нь квадрат байна. Тиймээс нэр нь: квадрат тэгшитгэл.

Зүүн тал нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт тул квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

x 2-ын коэффициент 1-тэй тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл. Жишээлбэл, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлүүд нь тэгшитгэлүүд юм
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ax 2 +bx+c=0 квадрат тэгшитгэлд b эсвэл c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг гэнэ. бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Тэгэхээр -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм. Эхнийх нь b=0, хоёр дахь нь c=0, гурав дахь нь b=0, c=0.

Гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл байдаг.
1) сүх 2 +c=0, энд \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, энд \(b \neq 0 \);
3) сүх 2 =0.

Эдгээр төрөл бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

\(c \neq 0 \) ax 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд түүний чөлөөт гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг дараах байдлаар хуваана.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Баруун сум x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) учраас \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Хэрэв \(-\frac(c)(a)>0\) бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.

Хэрэв \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг \(b \neq 0 \)-ээр үржүүлээд, тэгшитгэлийг олбол.
\(x(ax+b)=0 \Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(массив)(l) x=0 \\ ax+b=0 \төгсгөл(массив) \баруун. \Баруун сум \зүүн\( \эхлэх) (массив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(массив) \баруун.

Энэ нь \(b \neq 0 \)-д зориулсан ax 2 +bx=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл үргэлж хоёр үндэстэй байна гэсэн үг.

ax 2 =0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцэх тул нэг язгуур 0 байна.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициент хоёулаа тэгээс ялгаатай квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэж, үр дүнд нь язгуурын томъёог олж авцгаая. Дараа нь энэ томьёог ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

ax 2 +bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдье

Хоёр талыг а-д хувааснаар бид эквивалент бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авна
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Хоёр гишүүний квадратыг сонгон энэ тэгшитгэлийг хувиргацгаая.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\баруун)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Баруун сум \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\баруун)^ 2 - \frac(c)(a) \Баруун сум \) \(\зүүн(x+\frac(b)(2a)\баруун)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Баруун сум \зүүн(x+\frac(b)(2a)\баруун)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Баруун сум \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Баруун сум x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Баруун сум \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ax 2 +bx+c=0 (“дискриминант” Латинаар – ялгаварлагч). Энэ нь D үсгээр тэмдэглэгдсэн, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Одоо бид дискриминант тэмдэглэгээг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог дахин бичнэ.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), энд \(D= b^2-4ac \)

Энэ нь тодорхой байна:
1) Хэрэв D>0 бол квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.
2) Хэрэв D=0 бол квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Хэрэв D Иймээс дискриминантын утгаас хамааран квадрат тэгшитгэл нь хоёр язгууртай (D > 0-ийн хувьд), нэг язгууртай (D = 0-ийн хувьд) эсвэл үндэсгүй (D хувьд) квадрат тэгшитгэлийг үүнийг ашиглан шийдвэрлэх үед. томъёоны хувьд дараах байдлаар хийхийг зөвлөж байна.
1) ялгаварлагчийг тооцоолж, тэгтэй харьцуулах;
2) хэрэв ялгаварлагч нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү бол ялгаварлагч сөрөг байвал үндэс байхгүй гэж бичнэ;

Вьетагийн теорем

Өгөгдсөн 2 -7х+10=0 квадрат тэгшитгэл нь 2 ба 5 үндэстэй. Үндэсүүдийн нийлбэр нь 7, үржвэр нь 10. Үндэсүүдийн нийлбэр нь эсрэгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү болохыг бид харж байна. тэмдэг, язгуурын үржвэр нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна. Үндэстэй аливаа бууруулсан квадрат тэгшитгэл ийм шинж чанартай байдаг.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь илтгэлцүүртэй тэнцүү, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Тэдгээр. Вьетагийн теорем нь x 2 +px+q=0 бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 язгуурууд нь дараах шинж чанартай байна.
\(\зүүн\( \эхлэх(массив)(л) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \төгсгөл(массив) \баруун. \)

Энэ сэдэв нь маш энгийн биш олон томъёоны улмаас эхлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Ийм тэгшитгэлийг ойр ойрхон шийдсний дараа л боломжтой. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд бид хамгийн том зэрэглэлийг эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичсэн тохиолдолд тэдгээрийн тодорхой бичлэгийг санал болгож байна. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол их байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.

Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.

Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

• шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
• хариулт нь нэг тоо байх болно;
• тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.

Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж ийм харагдахгүй ерөнхий томъёоквадрат тэгшитгэл. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бүрэн тэгшитгэл. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс, зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.

Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолохын тулд доор бичсэн тэгш байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.

Энэ томъёонд коэффициентийн утгыг орлуулсны дараа та тоонуудыг авч болно өөр өөр шинж тэмдэг. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. At сөрөг тооквадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Тэмдгийн доорх илэрхийлэл квадрат язгуурялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.

Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээсээ өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.

Эхлээд авч үзье бүрэн бус тэгшитгэлхоёрдугаарт. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг гаргаж, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.

Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлснээр шийдэгдэнэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.

Доорх нь квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим алхмуудыг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" гэсэн өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээ авч болно. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.

• Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь зэрэггүй, эцэст нь - зүгээр л тоо.

• Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлж болзошгүй юм. Түүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

• Үүнтэй адилаар фракцаас салах нь зүйтэй. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.

Жишээ

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.

Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.

Эхний үндэс нь утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь дараахаас олно шугаман тэгшитгэл: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад амархан.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5х 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2х − x 2 = 0. Энд ба цаашлаад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэдгээрийг дахин бичихээс эхэлнэ. стандарт харагдах байдал: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахьийг ашиглах цаг болжээ. хэрэгтэй зөвлөгөөтэгээд бүгдийг хасах нэгээр үржүүлнэ. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.

Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь та ижил төстэй нэр томъёог авчирч, эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 эсвэл x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Мэдээжийн хэрэг, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэж сурсны дараа та бусадтай, ялангуяа квадрат гэж нэрлэгддэг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлтэй ажиллахыг хүсч байна.

Квадрат тэгшитгэл нь ax² + bx + c = 0 гэх мэт тэгшитгэлүүд бөгөөд хувьсагч нь x, тоонууд нь a, b, c, энд a нь тэгтэй тэнцүү биш юм.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлд нэг буюу өөр коэффициент (c эсвэл b) тэгтэй тэнцүү бол энэ тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж ангилна.

Оюутнууд өнөөг хүртэл зөвхөн нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэж чадсан бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авч үзье янз бүрийн төрөлТэгээд энгийн аргуудтэдний шийдвэр.

a) Хэрэв c коэффициент нь 0-тэй тэнцүү, b коэффициент нь тэгтэй тэнцүү биш бол ax ² + bx + 0 = 0 нь ax ² + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд буурна.

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та түүний зүүн талыг хүчин зүйл болгон хуваах, дараа нь үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлийг ашиглахаас бүрдэх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёог мэдэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, 5x² - 20x = 0. Бид ердийн математик үйлдлийг гүйцэтгэхдээ тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцдог: нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авдаг.

5x (x - 4) = 0

Бүтээгдэхүүнүүд нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцлийг бид ашигладаг.

5 x = 0 эсвэл x - 4 = 0

Хариулт нь: эхний үндэс нь 0; хоёр дахь үндэс нь 4.

b) Хэрэв b = 0, чөлөөт гишүүн нь тэгтэй тэнцүү биш бол ax ² + 0x + c = 0 тэгшитгэлийг ax ² + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулна. Тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийднэ. : a) тэгшитгэлийн олон гишүүнтийг зүүн талд нь хуваах замаар; б) арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг ашиглан. Ийм тэгшитгэлийг аргуудын аль нэгийг ашиглан шийдэж болно, жишээлбэл:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Хариулт нь: эхний үндэс нь 5/2; хоёр дахь үндэс нь - 5/2-тай тэнцүү байна.

в) Хэрэв b нь 0, c нь 0 бол ax ² + 0 + 0 = 0 нь ax ² = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болж буурна. Ийм тэгшитгэлд x нь 0-тэй тэнцүү байх болно.

Таны харж байгаагаар бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь хоёроос илүүгүй үндэстэй байж болно.

Квадрат тэгшитгэлийн бодлогуудыг мөн судалдаг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрмөн их дээд сургуулиудад. Эдгээр нь a*x^2 + b*x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг илэрхийлдэг х-хувьсагч, a, b, c – тогтмолууд; а<>0 . Даалгавар бол тэгшитгэлийн үндсийг олох явдал юм.

Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утга

Квадрат тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын абсцисса (х) тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Үүнээс үзэхэд гурван боломжит тохиолдол байдаг:
1) парабол нь абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй. Энэ нь дээд хавтгайд мөчрүүд нь дээшээ эсвэл доод мөчрүүд нь доошоо байрладаг гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй (хоёр нийлмэл язгууртай).

2) парабол нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна. Ийм цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг бөгөөд үүн дээрх квадрат тэгшитгэл нь түүний хамгийн бага буюу хамгийн бага цэгийг олж авдаг. хамгийн их утга. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай (эсвэл хоёр ижил язгууртай).

3) Сүүлийн тохиолдол нь практикт илүү сонирхолтой байдаг - абсцисса тэнхлэгтэй параболын огтлолцох хоёр цэг байдаг. Энэ нь тэгшитгэлийн хоёр жинхэнэ язгуур байна гэсэн үг.

Хувьсагчдын чадлын коэффициентүүдийн дүн шинжилгээнд үндэслэн параболын байршлын талаар сонирхолтой дүгнэлт хийж болно.

1) Хэрэв коэффициент нь тэгээс их бол параболын мөчрүүд нь сөрөг байвал доош чиглэсэн байна.

2) Хэрэв b коэффициент тэгээс их бол параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд байрлана. сөрөг утгатай- дараа нь баруун талд.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах

Квадрат тэгшитгэлээс тогтмолыг шилжүүлье

тэнцүү тэмдгийн хувьд бид илэрхийллийг авна

Хоёр талыг 4а-аар үржүүлнэ

Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин авахын тулд хоёр талдаа b^2 нэмээд хувиргалтыг хийнэ

Эндээс бид олдог

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба үндэсийн томъёо

Дискриминант нь радикал илэрхийллийн утга юм. Хэрэв энэ нь эерэг байвал томъёогоор тооцоолсон тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй байна Дискриминант нь тэг байх үед квадрат тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй (хоёр давхцах үндэстэй) бөгөөд үүнийг D=0-ийн хувьд дээрх томьёогоор хялбархан гаргаж авч болно. Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг цогцолбор хавтгайд олдог бөгөөд тэдгээрийн утгыг томъёогоор тооцоолно.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг авч үзье, тэдгээрийн үндсэн дээр квадрат тэгшитгэл байгуулъя. Виетийн теорем нь өөрөө тэмдэглэгээнээс амархан гардаг: хэрэв бид хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлтэй бол. тэгвэл түүний язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан p коэффициенттэй тэнцүү ба тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Дээрх томъёоны дүрслэл нь сонгодог тэгшитгэлийн тогтмол а нь тэгээс өөр байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь хувааж, дараа нь Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн хуваарь

Даалгаврыг өгье: квадрат тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооц. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийг шийднэ (үндсийг ол). Дараа нь бид олсон үндсийг квадрат тэгшитгэлийн өргөтгөлийн томъёонд орлуулж, асуудлыг шийднэ.

Квадрат тэгшитгэлийн бодлого

Даалгавар 1. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол

x^2-26x+120=0 .

Шийдэл: Коэффицентүүдийг бичиж, ялгах томьёонд орлуулна уу

Энэ утгын язгуур нь 14, үүнийг тооцоолуур ашиглан олоход хялбар, эсвэл байнга хэрэглэхэд санахад хялбар байдаг, гэхдээ ая тухтай байлгах үүднээс өгүүллийн төгсгөлд би танд ихэвчлэн таарч болох тоонуудын квадратуудын жагсаалтыг өгөх болно. ийм асуудлууд.
Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулна

мөн бид авдаг

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийг шийд

2x 2 +x-3=0.

Шийдэл: Бид бүрэн квадрат тэгшитгэлтэй болж, коэффициентүүдийг бичиж, ялгагчийг ол


By мэдэгдэж байгаа томъёонуудквадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох

Даалгавар 3. Тэгшитгэлийг шийд

9х 2 -12х+4=0.

Шийдэл: Бидэнд бүрэн квадрат тэгшитгэл байна. Ялгаварлагчийг тодорхойлох

Бид үндэс нь давхцаж байгаа тохиолдол гарсан. Томъёог ашиглан үндэсийн утгыг ол

Даалгавар 4. Тэгшитгэлийг шийд

x^2+x-6=0 .

Шийдэл: x-ийн коэффициент бага байгаа тохиолдолд Виетийн теоремыг ашиглахыг зөвлөж байна. Үүний нөхцлөөр бид хоёр тэгшитгэлийг олж авна

Хоёр дахь нөхцөлөөс бид бүтээгдэхүүн нь -6-тай тэнцүү байх ёстойг олж мэдэв. Энэ нь нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Бидэнд дараах боломжит хос шийдлүүд байна (-3;2), (3;-2) . Эхний нөхцлийг харгалзан бид хоёр дахь хос шийдлээс татгалздаг.
Тэгшитгэлийн үндэс нь тэнцүү байна

Бодлого 5. Тэгш өнцөгтийн периметр нь 18 см, талбай нь 77 см 2 бол түүний талуудын уртыг ол.

Шийдэл: Тэгш өнцөгтийн периметрийн хагас нь түүний хажуугийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. x-г том тал гэж тэмдэглэе, тэгвэл 18-x нь түүний жижиг тал болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь эдгээр уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
x(18-x)=77;
эсвэл
x 2 -18x+77=0.
Тэгшитгэлийн дискриминантыг олъё

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох

Хэрэв x=11,Тэр 18 = 7 ,эсрэгээр нь бас үнэн (х=7 бол 21-ийн=9).

Бодлого 6. 10х 2 -11х+3=0 квадрат тэгшитгэлийг үржүүлээрэй.

Шийдэл: Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолъё, үүний тулд бид дискриминантыг олно

Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулж, тооцоолно

Бид квадрат тэгшитгэлийг язгуураар задлах томъёог ашигладаг

Хаалтуудыг нээснээр бид таних тэмдгийг олж авна.

Параметртэй квадрат тэгшитгэл

Жишээ 1. Ямар параметрийн утгууд дээр А,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 тэгшитгэл нэг үндэстэй юу?

Шийдэл: a=3 утгыг шууд орлуулснаар энэ нь шийдэлгүй болохыг харж байна. Дараа нь бид тэг ялгавартай тэгшитгэл нь үржвэрийн 2-ын нэг язгууртай болохыг ашиглах болно. Ялгаварлагчийг бичье

Үүнийг хялбарчилж, тэгтэй тэнцүү болгоё

Бид a параметрийн квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд үүний шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан олж авах боломжтой. Үндэсний нийлбэр нь 7, үржвэр нь 12 байна. Энгийн хайлтаар бид 3,4 тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэдгийг тогтооно. Тооцооллын эхэнд бид a=3 шийдлийг аль хэдийн няцаасан тул цорын ганц зөв шийдэл нь - a=4.Тиймээс a=4-ийн хувьд тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна.

Жишээ 2. Ямар параметрийн утгууд дээр А,тэгшитгэл a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0нэгээс олон үндэстэй юу?

Шийдэл: Эхлээд харцгаая ганц бие цэгүүд, тэдгээр нь a=0 ба a=-3 утгууд байх болно. a=0 үед тэгшитгэлийг 6x-9=0 хэлбэрт хялбаршуулна; x=3/2 ба нэг үндэс байх болно. a= -3-ын хувьд бид 0=0 ижил төстэй байдлыг олж авна.
Дискриминантыг тооцоолъё

эерэг байх а-ийн утгыг ол

Эхний нөхцлөөс бид a>3 авна. Хоёрдугаарт бид тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба язгуурыг олно


Функц эерэг утгыг авах интервалуудыг тодорхойлъё. a=0 цэгийг орлуулснаар бид олж авна 3>0 . Тэгэхээр (-3;1/3) интервалаас гадуур функц сөрөг байна. Гол санааг бүү мартаарай a=0,Анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай тул үүнийг хасах хэрэгтэй.
Үүний үр дүнд бид асуудлын нөхцөлийг хангасан хоёр интервалыг олж авдаг

Практикт ижил төстэй олон даалгавар байх болно, даалгавраа өөрөө тодорхойлохыг хичээ, бие биенээ үгүйсгэдэг нөхцөлүүдийг анхаарч үзэхээ бүү мартаарай. Төрөл бүрийн асуудал, шинжлэх ухааны тооцоололд ихэвчлэн шаардлагатай байдаг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог сайтар судлах;