Ердийн дөрвөлжин пирамидын тухай бүх зүйл. Геометрийн үндэс: зөв пирамид
Тодорхойлолт
Пирамиднь нийтлэг оройтой \(P\) (олон өнцөгтийн хавтгайд хэвтэхгүй) олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(n\) гурвалжнуудаас бүрдэх, эсрэг талууд нь талуудтай давхцах олон өнцөгт юм. олон өнцөгт.
Тэмдэглэл: \(PA_1A_2...A_n\) .
Жишээ нь: таван өнцөгт пирамид \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Гурвалжин \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) гэх мэт. дуудсан хажуугийн нүүрнүүдпирамид, сегмент \(PA_1, PA_2\) гэх мэт. - хажуугийн хавирга, олон өнцөгт \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – суурь, цэг \(P\) – дээд хэмжээний уулзалт.
ӨндөрПирамидууд нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр юм.
Суурь нь гурвалжинтай пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр.
Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол:
\((a)\) пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү;
\((b)\) пирамидын өндөр нь суурийн ойролцоох хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг;
\(c)\) хажуугийн хавирга нь үндсэн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
\(d)\) хажуугийн нүүрүүд нь үндсэн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
ердийн тетраэдрнь гурвалжин пирамид бөгөөд бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Теорем
\((a), (b), (c), (d)\) нөхцөлүүд тэнцүү байна.
Баталгаа
Пирамидын өндрийг зурна уу \(PH\) . Пирамидын суурийн хавтгайг \(\альфа\) гэж үзье.
1) \((a)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) байг.
Учир нь \(PH\perp \alpha\) , тэгвэл \(PH\) нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байх тул гурвалжингууд тэгш өнцөгт байна. Тэгэхээр эдгээр гурвалжнууд нь нийтлэг хөл \(PH\) ба гипотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) тэнцүү байна. Тэгэхээр \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Энэ нь \(A_1, A_2, ..., A_n\) цэгүүд \(H\) цэгээс ижил зайд байгаа тул \(A_1H\) радиустай нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор энэ тойрог \(A_1A_2...A_n\) олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн байна.
2) \((b)\) нь \((c)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт, хоёр хөлтэй тэнцүү. Тиймээс, тэдгээрийн өнцөг нь тэнцүү, тиймээс, \(\өнцөг PA_1H=\өнцөг PA_2H=...=\өнцөг PA_nH\).
3) \((c)\) нь \((a)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Эхний цэгтэй төстэй гурвалжин \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт ба хөлний дагуу болон хурц өнцөг. Энэ нь тэдний гипотенузууд мөн тэнцүү байна гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) \((b)\) нь \((d)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Учир нь энгийн олон өнцөгт дотор хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн төвүүд давхцдаг (ерөнхийдөө энэ цэгийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг), тэгвэл \(H\) нь бичээстэй тойргийн төв болно. \(H\) цэгээс суурийн талууд руу перпендикуляр зуръя: \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. Эдгээр нь бичээстэй тойргийн радиус юм (тодорхойлолтоор). Дараа нь TTP-ийн дагуу (\(PH\) нь хавтгайд перпендикуляр, \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. талуудын перпендикуляр проекцууд) ташуу \(PK_1, PK_2\) гэх мэт. талуудтай перпендикуляр \(A_1A_2, A_2A_3\) гэх мэт. тус тус. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(\ өнцөг PK_1H, \ өнцөг PK_2H\)хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Учир нь гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү (хоёр хөл дээр тэгш өнцөгт хэлбэртэй), дараа нь өнцөг \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H, ...\)тэнцүү байна.
5) \((d)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Дөрөв дэх цэгийн нэгэн адил гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү байна (хөлний дагуу тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг) нь сегментүүд \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) гэсэн үг юм. тэнцүү байна. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(H\) нь сууринд сийлсэн тойргийн төв юм. Гэхдээ түүнээс хойш энгийн олон өнцөгтүүдийн хувьд бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд давхцаж байвал \(H\) нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв болно. Chtd.
Үр дагавар
Энгийн пирамидын хажуу талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Тодорхойлолт
Ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг дээд талаас нь зурсан гэж нэрлэдэг апотема.
Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд мөн медиан ба биссектрис юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Тогтмол гурвалжин пирамидын өндөр нь суурийн өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэгт унадаг (суурь нь ердийн гурвалжин юм).
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг хүртэл унадаг (суурь нь дөрвөлжин).
3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг хүртэл унадаг (суурь нь ердийн зургаан өнцөгт).
4. Пирамидын өндөр нь сууринд байрлах аливаа шулуун шугамд перпендикуляр байна.
Тодорхойлолт
Пирамид гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгтхэрэв түүний хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.
Чухал тэмдэглэл
1. Тэгш өнцөгт пирамидын хувьд суурьтай перпендикуляр ирмэг нь пирамидын өндөр юм. Энэ нь \(SR\) нь өндөр юм.
2. Учир нь \(SR\) суурийн аль ч шулуунд перпендикуляр, тэгвэл \(\гурвалжин SRM, \гурвалжин SRP\)тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
3. Гурвалжин \(\гурвалжин SRN, \гурвалжин SRK\)мөн тэгш өнцөгт хэлбэртэй.
Өөрөөр хэлбэл, энэ ирмэгээс үүссэн аливаа гурвалжин ба уг ирмэгийн оройноос гарч буй диагональ нь тэгш өнцөгт байх болно.
\[(\Том(\текст(Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай)))\]
Теорем
Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. \
Үр дагавар
\(a\) нь суурийн тал, \(h\)-ийг пирамидын өндөр гэж үзье.
1. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(зөв гурвалжин пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн \(V_(\текст(баруун.дөрвөн.пир.))=\dfrac13a^2h\).
3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Энгийн тетраэдрийн эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун тетра.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорем
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
\[(\Том(\текст(Таслагдсан пирамид)))\]
Тодорхойлолт
Дурын пирамидыг авч үзье \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Пирамидын хажуугийн ирмэг дээр байрлах тодорхой цэгээр дамжуулан пирамидын суурьтай параллель хавтгай зурцгаая. Энэ хавтгай нь пирамидыг хоёр олон талт хэлбэрт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь пирамид (\(PB_1B_2...B_n\) ), нөгөөг нь гэж нэрлэдэг. таслагдсан пирамид(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Таслагдсан пирамид нь хоорондоо төстэй олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(B_1B_2...B_n\) гэсэн хоёр суурьтай.
Таслагдсан пирамидын өндөр нь дээд суурийн зарим цэгээс доод суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
2. Тогтмол таслагдсан пирамидын суурийн төвүүдийг холбосон сегмент (өөрөөр хэлбэл ердийн пирамидын зүсэлтээр олж авсан пирамид) нь өндөр юм.
Оюутнууд пирамид гэдэг ойлголттой геометрийг судлахаас нэлээд өмнө танилцдаг. Дэлхийн алдартай Египетийн гайхамшгуудыг буруутгах. Тиймээс энэхүү гайхамшигт олон өнцөгтийг судалж эхэлснээр ихэнх оюутнууд үүнийг аль хэдийн тодорхой төсөөлдөг. Дээрх бүх үзмэрүүд зөв хэлбэртэй байна. Юу баруун пирамид , ямар шинж чанартай, цаашид хэлэлцэх болно.
-тай холбоотой
Тодорхойлолт
Пирамидын олон тодорхойлолт байдаг. Эрт дээр үеэс энэ нь маш их алдартай байсан.
Жишээлбэл, Евклид үүнийг нэг цэгээс эхлээд тодорхой цэгт нийлдэг хавтгайнуудаас бүрдсэн хатуу дүрс гэж тодорхойлсон.
Херон илүү нарийн томъёолол өгсөн. Энэ бол тийм тоо гэж тэр зөрүүдлээд байсан бааз, онгоцтой гурвалжин, нэг цэгт нийлдэг.
найдаж байна орчин үеийн тайлбар, пирамид нь тодорхой k-gon ба k-ээс бүрдсэн орон зайн олон өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгддэг. хавтгай дүрсүүд гурвалжин хэлбэртэйнэг нийтлэг зүйлтэй.
Илүү нарийвчлан харцгаая, Энэ нь ямар элементүүдээс бүрддэг вэ?
- k-gon нь зургийн үндэс гэж тооцогддог;
- 3 өнцөгт дүрс нь хажуугийн хажуугийн хажуугаар цухуйсан;
- хажуугийн элементүүд үүссэн дээд хэсгийг дээд хэсэг гэж нэрлэдэг;
- оройг холбосон бүх сегментийг ирмэг гэж нэрлэдэг;
- Хэрэв шулуун шугамыг оройноос 90 градусын өнцгөөр зургийн хавтгайд буулгасан бол түүний хэсэг нь доторлогоотой байна. дотоод орон зай- пирамидын өндөр;
- Манай олон өнцөгтийн хажуугийн аль ч элемент дээр та апотем гэж нэрлэгддэг перпендикуляр зурж болно.
Ирмэгийн тоог 2*k томьёогоор тооцдог ба энд k нь k-gon-ийн талуудын тоо юм. Пирамид шиг олон өнцөгт хэдэн нүүртэй болохыг k+1 илэрхийллээр тодорхойлж болно.
Чухал!Пирамид зөв хэлбэрСуурийн хавтгай нь тэнцүү талуудтай к-гон болох стереометрийн дүрс гэж нэрлэдэг.
Үндсэн шинж чанарууд
Зөв пирамид байна олон өмч, Энэ нь түүнд өвөрмөц юм. Тэднийг жагсаацгаая:
- Суурь нь зөв хэлбэрийн дүрс юм.
- Хажуугийн элементүүдийг хязгаарласан пирамидын ирмэгүүд нь тэнцүү тоон утгатай байна.
- Хажуугийн элементүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
- Зургийн өндрийн суурь нь олон өнцөгтийн төвд унадаг бол энэ нь нэгэн зэрэг бичээстэй, дүрсэлсэн төв цэг юм.
- Хажуугийн бүх хавирга нь үндсэн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
- Хажуугийн бүх гадаргуу нь суурьтай ижил налуу өнцөгтэй байна.
Бүртгэгдсэн бүх шинж чанаруудын ачаар элементийн тооцооллын гүйцэтгэлийг ихээхэн хялбаршуулсан. Дээрх шинж чанарууд дээр үндэслэн бид анхаарлаа хандуулдаг хоёр тэмдэг:
- Олон өнцөгт нь тойрогт багтах тохиолдолд хажуугийн нүүр нь суурьтай болно тэнцүү өнцөг.
- Олон өнцөгтийг тойрсон тойргийг дүрслэхдээ оройноос гарч буй пирамидын бүх ирмэгүүд нь: тэнцүү уртба суурьтай тэнцүү өнцөгтэй байна.
Талбай нь суурьтай
Ердийн дөрвөлжин пирамид - квадрат дээр суурилсан олон өнцөгт.
Энэ нь дөрвөн хажуугийн нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь гадаад төрхөөрөө адил тэгш өнцөгт юм.
Хавтгай дээр дөрвөлжин дүрслэгдсэн боловч тэдгээр нь ердийн дөрвөлжингийн бүх шинж чанарт суурилдаг.
Жишээлбэл, квадратын талыг диагональтай нь холбох шаардлагатай бол дараахь томъёог ашиглана: диагональ нь квадратын тал ба хоёрын язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.
Ердийн гурвалжин дээр үндэслэсэн
Энгийн гурвалжин пирамид нь суурь нь ердийн 3 өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт юм.
Хэрэв суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд хажуугийн ирмэг нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байвал ийм зураг байна. тетраэдр гэж нэрлэдэг.
Тетраэдрийн бүх нүүр нь ижил талт 3 өнцөгт хэлбэртэй байна. AT Энэ тохиолдолдТооцоолохдоо та зарим нэг зүйлийг мэдэж, тэдэнд цаг үрэхгүй байх хэрэгтэй.
- хавирганы аль ч сууринд налуу өнцөг нь 60 градус;
- бүх дотоод нүүрний утга нь мөн 60 градус;
- ямар ч нүүр царай суурь болж чаддаг;
- Зураг дотор зурсан тэнцүү элементүүд байна.
Олон өнцөгтийн хэсгүүд
Ямар ч олон талт талбарт байдаг хэд хэдэн төрлийн хэсэгонгоц. Сургуулийн геометрийн курст ихэвчлэн хоёртой ажилладаг.
- тэнхлэгийн;
- зэрэгцээ суурь.
Олон өнцөгтийг орой, хажуугийн ирмэг, тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайтай огтлолцох замаар тэнхлэгийн огтлолыг олж авна. Энэ тохиолдолд тэнхлэг нь оройноос татсан өндөр юм. Таслах хавтгай нь бүх нүүртэй огтлолцох шугамаар хязгаарлагдаж, гурвалжин үүснэ.
Анхаар!Ердийн пирамидын хувьд тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Хэрэв зүсэх онгоц нь суурьтай зэрэгцээ гүйж байвал үр дүн нь хоёр дахь сонголт юм. Энэ тохиолдолд бид суурьтай төстэй дүрсийн хүрээнд байна.
Жишээлбэл, хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол суурьтай параллель хэсэг нь зөвхөн жижиг хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй болно.
Энэ нөхцөлд асуудлыг шийдвэрлэхдээ дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг, шинж чанарыг ашигладаг. Фалесийн теорем дээр үндэслэсэн. Юуны өмнө ижил төстэй байдлын коэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай.
Хэрэв онгоцыг суурьтай зэрэгцүүлэн зурвал энэ нь таслагдана дээд хэсэголон талт, дараа нь доод хэсэгт ердийн таслагдсан пирамид олж авна. Дараа нь тайрсан олон өнцөгтийн суурийг ижил төстэй олон өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрнүүд нь хоёр талт трапец хэлбэртэй байдаг. Тэнхлэгийн хэсэг нь мөн адил тэгш өнцөгт байна.
Таслагдсан олон өнцөгтийн өндрийг тодорхойлохын тулд өндрийг тэнхлэгийн хэсэгт, өөрөөр хэлбэл трапец хэлбэрээр зурах шаардлагатай.
Гадаргуугийн талбайнууд
Сургуулийн геометрийн хичээлд шийдвэрлэх ёстой гол геометрийн асуудлууд пирамидын гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг олох.
Хоёр төрлийн гадаргуугийн талбай байдаг:
- хажуугийн элементүүдийн талбай;
- бүх гадаргуугийн талбай.
Гарчигнаас нь юуны тухай болох нь ойлгомжтой. Хажуугийн гадаргуу нь зөвхөн хажуугийн элементүүдийг агуулдаг. Үүнээс үзэхэд үүнийг олохын тулд та хажуугийн хавтгайн талбайг, өөрөөр хэлбэл 3-гонс тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэмэх хэрэгтэй болно. Хажуугийн элементүүдийн талбайн томъёог гаргаж авахыг хичээцгээе.
- 3 өнцөгт тэгш өнцөгтийн талбай нь Str=1/2(aL) бөгөөд a нь суурийн тал, L нь апотем юм.
- Хажуугийн хавтгайн тоо нь суурийн к-гоны төрлөөс хамаарна. Жишээлбэл, ердийн дөрвөлжин пирамид нь дөрвөн хажуугийн хавтгайтай байдаг. Тиймээс Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L гэсэн дөрвөн дүрсийн талбайг нэмэх шаардлагатай. . ПОС нь суурийн периметр болох 4a=POS утга учир илэрхийлэлийг ийм байдлаар хялбарчилсан. Мөн 1/2 * Rosn илэрхийлэл нь түүний хагас периметр юм.
- Тиймээс бид ердийн пирамидын хажуугийн элементүүдийн талбай нь суурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэртэй тэнцүү байна гэж дүгнэж байна: Sside \u003d Rosn * L.
Дөрвөлжин бүрэн гадаргуупирамид нь хажуугийн хавтгай ба суурийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ: Sp.p. = Sside + Sbase.
Суурийн талбайн хувьд энд олон өнцөгтийн төрлөөс хамааран томъёог ашиглана.
Ердийн пирамидын эзэлхүүнСуурийн хавтгай талбайн үржвэр ба өндрийг гуравт хуваасантай тэнцүү: V=1/3*Sbase*H, энд H нь олон өнцөгтийн өндөр.
Геометрийн ердийн пирамид гэж юу вэ
Ердийн дөрвөлжин пирамидын шинж чанарууд
- апотем- ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр, дээд талаас нь зурсан (үүнээс гадна апотем гэдэг нь ердийн олон өнцөгтийн дундаас 1 тал хүртэл доошлуулсан перпендикулярын урт юм);
- хажуугийн нүүрнүүд (ASB, BSC, CSD, DSA) - дээд хэсэгт нийлдэг гурвалжин;
- хажуугийн хавирга ( AS , BS , CS , Д.С. ) - хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд;
- пирамидын дээд хэсэг (v. S) - хажуугийн ирмэгийг холбосон, суурийн хавтгайд ороогүй цэг;
- өндөр ( SO ) - пирамидын оройгоос түүний суурийн хавтгайд татсан перпендикулярын сегмент (ийм сегментийн төгсгөлүүд нь пирамидын орой ба перпендикулярын суурь байх болно);
- пирамидын диагональ хэсэг- дээд ба суурийн диагональ дундуур дамждаг пирамидын хэсэг;
- суурь (A B C D) нь пирамидын орой нь хамаарахгүй олон өнцөгт юм.
пирамидын шинж чанарууд.
1. Хажуугийн бүх ирмэгүүд ижил хэмжээтэй байвал:
- пирамидын суурийн ойролцоо тойрог дүрслэхэд хялбар байдаг бол пирамидын орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглэнэ;
- хажуугийн хавирга нь үндсэн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг;
- Үүнээс гадна, эсрэгээр нь бас үнэн, i.e. Хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэх эсвэл пирамидын суурийн ойролцоо тойрог дүрслэх боломжтой бөгөөд пирамидын оройг энэ тойргийн төв рүү тусгах үед пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд байна. ижил хэмжээтэй.
2. Хажуугийн гадаргуу нь ижил утгатай суурийн хавтгайд налуу өнцөгтэй байвал:
- пирамидын суурийн ойролцоо тойрог дүрслэхэд хялбар байдаг бол пирамидын орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглэнэ;
- хажуугийн нүүрний өндөр нь ижил урттай;
- хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба хажуугийн өндрийн үржвэрийн ½ юм.
3. Хэрэв пирамидын ёроолд олон өнцөгт байрлаж, эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой бол пирамидын ойролцоо бөмбөрцгийг дүрсэлж болно (шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь тэдгээрт перпендикуляр пирамидын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн огтлолцох цэг болно. Энэ теоремоос бид бөмбөрцгийг дурын гурвалжин болон ердийн пирамидын эргэн тойронд хоёуланг нь дүрсэлж болно гэж дүгнэж байна.
4. Хэрэв бөмбөрцөгийг пирамид дотор нь биссектрисын хавтгайд дүрсэлж болно хоёр талт өнцөгпирамидууд 1-р цэг дээр огтлолцдог (шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв болно.
Хамгийн энгийн пирамид.
Пирамидын суурийн булангийн тоогоор гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт хуваагдана.
Пирамид болно гурвалжин, дөрвөлжин, гэх мэт, пирамидын суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт. Гурвалжин пирамид нь тетраэдр - тетраэдр юм. Дөрвөн өнцөгт - пентаэдр гэх мэт.
Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд abracadabra-г харвал кэшийг цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчийг хамгийн их анхаарч үзээрэй ашигтай нөөцтөлөө
Пирамид гэж юу вэ?
Тэр яаж харагддаг вэ?
Та харж байна: доорх пирамид дээр (тэд "гэж хэлдэг" суурь дээр"") зарим олон өнцөгт бөгөөд энэ олон өнцөгтийн бүх оройнууд нь орон зайн аль нэг цэгтэй холбогдсон байдаг (энэ цэгийг " гэж нэрлэдэг. орой»).
Энэ бүх бүтэц бий хажуугийн нүүрнүүд, хажуугийн хавиргаболон суурь хавирга. Дахин нэг удаа эдгээр бүх нэрсийн хамт пирамид зурцгаая.
Зарим пирамидууд нь маш хачирхалтай харагддаг ч пирамид хэвээрээ л байна.
Энд, жишээлбэл, нэлээд "ташуу" пирамид.
Нэрийн талаар бага зэрэг: хэрэв пирамидын ёроолд гурвалжин байгаа бол пирамидыг гурвалжин гэж нэрлэдэг;
Үүний зэрэгцээ унасан цэг өндөр, гэж нэрлэдэг өндөр суурь. "Тахир" пирамидуудад байгааг анхаарна уу өндөрпирамидын гадна байж болно. Үүн шиг:
Мөн үүнд ямар ч аймшигтай зүйл байхгүй. Энэ нь мохоо гурвалжин шиг харагдаж байна.
Зөв пирамид.
Олон хэцүү үгс байна уу? Шифрийг тайлаад үзье: " Үндсэндээ - зөв"- энэ нь ойлгомжтой. Мөн одоо энгийн олон өнцөгт нь төвтэй байдаг гэдгийг санаарай - цэг нь ба , ба -ийн төв юм.
За, "дээд хэсэг нь суурийн төв рүү чиглэсэн" гэсэн үг нь өндрийн суурь нь суурийн төв рүү яг унасан гэсэн үг юм. Энэ нь ямар гөлгөр, хөөрхөн харагдаж байгааг хараарай баруун пирамид.
Зургаан өнцөгт: суурь дээр - ердийн зургаан өнцөгт, орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байна.
дөрвөлжин: суурь дээр - дөрвөлжин, дээд тал нь энэ дөрвөлжингийн диагональуудын огтлолцлын цэг рүү чиглэсэн байна.
гурвалжин: суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд орой нь энэ гурвалжны өндрийн (тэдгээр нь бас медиан ба биссектрисс) огтлолцох цэг рүү проекц байна.
Өндөр Ердийн пирамидын чухал шинж чанарууд:
Баруун пирамид дээр
- бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна.
- Хажуугийн бүх нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин бөгөөд эдгээр гурвалжнууд бүгд тэнцүү байна.
Пирамидын эзлэхүүн
Пирамидын эзэлхүүний үндсэн томъёо:
Энэ нь яг хаанаас ирсэн бэ? Энэ нь тийм ч энгийн зүйл биш бөгөөд эхлээд пирамид ба конус нь томьёо дахь эзэлхүүнтэй гэдгийг санах хэрэгтэй, гэхдээ цилиндр нь тийм биш юм.
Одоо хамгийн алдартай пирамидуудын эзлэхүүнийг тооцоолъё.
Суурийн тал нь тэнцүү, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна. Би олох хэрэгтэй ба.
Энэ бол тэгш өнцөгт гурвалжны талбай юм.
Энэ газрыг хэрхэн хайхыг санацгаая. Бид талбайн томъёог ашигладаг:
Бидэнд "" - энэ, мөн "" - энэ ч байна, тийм ээ.
Одоо олъё.
Пифагорын теоремын дагуу
Ямар хамаатай юм бэ? Энэ бол хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, учир нь пирамидзөвтэгээд төв.
Түүнээс хойш - огтлолцлын цэг ба голч нь мөн.
(Пифагорын теорем)
томъёонд орлуулна.
Бүгдийг эзлэхүүний томъёонд оруулъя:
Анхаар:Хэрэв танд ердийн тетраэдр (жишээ нь) байгаа бол томъёо нь:
Суурийн тал нь тэнцүү, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна.
Энд хайх шаардлагагүй; Учир нь суурь нь дөрвөлжин, тиймээс.
Олъё. Пифагорын теоремын дагуу
Бид мэдэх үү? Бараг л. Хараач:
(бид үүнийг хянан үзэх замаар харсан).
Томъёонд орлуулах:
Одоо бид эзлэхүүний томъёог орлуулж байна.
Суурийн тал нь тэнцүү, хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна.
Хэрхэн олох вэ? Хараач, зургаан өнцөгт нь яг зургаан ижил тэгш гурвалжнаас бүрддэг. Ердийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохдоо бид ердийн гурвалжны талбайг аль хэдийн хайж байсан бөгөөд энд бид олсон томъёог ашигладаг.
Одоо (үүнийг) олъё.
Пифагорын теоремын дагуу
Гэхдээ ямар хамаатай юм бэ? Энэ нь энгийн, учир нь (мөн бусад бүх хүмүүс) зөв юм.
Бид орлоно:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
ПИРАМИД. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ
Пирамид гэдэг нь ямар ч хавтгай олон өнцөгт (), суурийн хавтгайд оршдоггүй цэг (пирамидын дээд хэсэг) ба пирамидын оройг суурийн цэгүүдтэй (хажуугийн ирмэг) холбосон бүх сегментээс бүрдсэн олон өнцөгт юм.
Пирамидын оройноос суурийн хавтгайд перпендикуляр унав.
Зөв пирамид- пирамид, түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын дээд хэсэг нь суурийн төв рүү чиглэсэн байдаг.
Ердийн пирамидын шинж чанар:
- Ердийн пирамидын хувьд бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна.
- Хажуугийн бүх нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин бөгөөд эдгээр гурвалжнууд бүгд тэнцүү байна.
Пирамидын хэмжээ:
За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш сайхан байна.
Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та 5% -д байна!
Одоо хамгийн чухал зүйл.
Та энэ сэдвээр онолыг олж мэдсэн. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.
Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...
Юуны төлөө?
Учир нь амжилттай хүргэлтУлсын нэгдсэн шалгалт, дээд сургуульд төсвөөр элсэх, хамгийн гол нь насан туршдаа.
Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье ...
Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.
Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.
Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...
Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...
Шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь ... илүү аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?
ЭНЭ СЭДЭВТИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА ДҮҮРГЭЭРЭЙ.
Шалгалтанд танаас онол асуухгүй.
Танд хэрэгтэй болно асуудлыг цаг тухайд нь шийдвэрлэх.
Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (ОЛОН!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл үүнийг цаг тухайд нь хийхгүй байх болно.
Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та олон удаа давтах хэрэгтэй.
Та хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой гарцаагүй шийдэлтэй нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!
Та манай даалгавруудыг (шаардлагагүй) ашиглаж болно, бид мэдээж зөвлөж байна.
Бидний даалгаврын тусламжтайгаар гар хүрэхийн тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.
Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:
- Энэ нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг тайлах -
- Хичээлийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгавруудын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль
Тийм ээ, бид сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг нэн даруй нээх боломжтой.
Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын туршид олгодог.
Дүгнэж хэлэхэд...
Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онолоор бүү зогс.
“Ойлголоо”, “Би яаж шийдэхээ мэднэ” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.
Асуудлыг олж, шийдээрэй!
Хүн "пирамид" гэдэг үгийг сонсоод тэр даруй Египетийн сүр жавхлант байгууламжуудыг эргэн санадаг. Гэсэн хэдий ч эртний чулуун аварга бол пирамидын ангийн төлөөлөгчдийн зөвхөн нэг юм. Энэ нийтлэлд бид авч үзэх болно геометрийн цэгердийн дөрвөлжин пирамидын шинж чанарыг харах.
Ер нь пирамид гэж юу вэ?
Геометрийн хувьд үүнийг гурван хэмжээст дүрс гэж ойлгодог бөгөөд хавтгай олон өнцөгтийн бүх оройг энэ олон өнцөгтөөс өөр хавтгайд байрлах нэг цэгтэй холбосноор олж авах боломжтой. Доорх зурагт хангасан 4 дүрсийг харуулав энэ тодорхойлолт.
Эхний зураг байгааг бид харж байна гурвалжин суурь, хоёр дахь нь дөрвөлжин хэлбэртэй. Сүүлийн хоёр нь таван ба зургаан өнцөгт суурьтай. Гэсэн хэдий ч бүх пирамидын хажуугийн гадаргуу нь гурвалжингаар үүсдэг. Тэдний тоо нь суурийн олон өнцөгтийн талууд эсвэл оройн тоотой яг тэнцүү байна.
Ангийн бусад төлөөлөгчдөөс төгс тэгш хэмээр ялгаатай тусгай төрлийн пирамид бол ердийн пирамид юм. Зураг зөв байхын тулд дараах хоёр урьдчилсан нөхцөлийг хангасан байх ёстой.
- суурь нь ердийн олон өнцөгт байх ёстой;
- зургийн хажуугийн гадаргуу нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас бүрдэх ёстой.
Хоёр дахь нь гэдгийг анхаарна уу шаардлагатай нөхцөлөөр нэгээр сольж болно: пирамидын оройноос суурь руу татсан перпендикуляр (хажуугийн гурвалжны огтлолцлын цэг) энэ суурийг геометрийн төвд огтолж байх ёстой.
Одоо нийтлэлийн сэдэв рүү шилжиж, ердийн дөрвөлжин пирамидын ямар шинж чанаруудыг тодорхойлдог болохыг авч үзье. Эхлээд энэ зураг ямар байгааг зураг дээр харуулъя.
Түүний суурь нь дөрвөлжин юм. Талууд нь 4 ижил төстэй байдлыг илэрхийлдэг тэгш өнцөгт гурвалжин(тэдгээр нь дөрвөлжингийн хажуугийн урт ба зургийн өндрийн тодорхой харьцаатай тэнцүү талт байж болно). Пирамидын оройгоос доошлуулсан өндөр нь түүний төв хэсэгт (диагональуудын огтлолцох цэг) талбайг огтолно.
Энэхүү пирамид нь 5 нүүртэй (дөрвөлжин, дөрвөн гурвалжин), 5 орой (дөрөв нь сууринд хамаарна), 8 ирмэгтэй. дөрөв дэх эрэмбийн, пирамидын өндрөөр дамжин өнгөрч, түүнийг 90 o эргүүлэх замаар өөртөө хөрвүүлдэг.
Гиза дахь Египетийн пирамидууд нь ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг.
Дөрвөн үндсэн шугаман параметр
Анхаарал хандуулж эхэлцгээе математик шинж чанаруудөндөр, суурийн хажуугийн урт, хажуугийн ирмэг ба апотемийн томьёо бүхий ердийн дөрвөлжин пирамид. Эдгээр бүх хэмжигдэхүүнүүд хоорондоо холбоотой тул үлдсэн хоёрыг хоёрдмол утгагүй тооцоолохын тулд зөвхөн хоёрыг нь мэдэхэд хангалттай гэж шууд хэлье.
Пирамидын h өндөр ба дөрвөлжин суурийн хажуугийн урт a нь мэдэгдэж байгаа бол хажуугийн ирмэг b нь дараахтай тэнцүү байна гэж бодъё.
b = √(a 2 / 2 + h 2)
Одоо бид апотемийн a b уртын томъёог өгье (гурвалжны өндөр, суурийн хажуу тийш доошлуулсан):
a b = √(a 2 / 4 + h 2)
Хажуугийн ирмэг b нь үгийн тэмдэг a b-ээс үргэлж их байдаг нь ойлгомжтой.
Хэрэв бусад хоёр параметр нь мэдэгдэж байгаа бол, жишээ нь a b ба h бол дөрвөн шугаман шинж чанарыг тодорхойлоход хоёуланг нь ашиглаж болно.
Зургийн талбай ба эзэлхүүн
Эдгээр нь ердийн дөрвөлжин пирамидын хоёр чухал шинж чанар юм. Зургийн суурь нь дараах талбайтай байна.
Оюутан бүр энэ томъёог мэддэг. Дөрвөн ижил гурвалжнаас үүссэн хажуугийн гадаргуугийн талбайг пирамидын a b тэмдэгтээр дараах байдлаар тодорхойлж болно.
Хэрэв a b нь тодорхойгүй бол өмнөх догол мөрөөс h өндөр эсвэл b ирмэгээр томьёогоор тодорхойлж болно.
Харж буй зургийн нийт гадаргуугийн талбай нь S o ба S b талбайн нийлбэр юм.
S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)
Пирамидын бүх нүүрний тооцоолсон талбайг доорх зурагт түүний шүүрдэх байдлаар харуулав.
Хэрэв та түүний эзэлхүүнийг тодорхойлох томъёог авч үзэхгүй бол ердийн дөрвөлжин пирамидын шинж чанаруудын тодорхойлолт бүрэн гүйцэд биш байх болно. Энэ пирамидын утгыг дараах байдлаар тооцоолно.
Өөрөөр хэлбэл, V нь зургийн өндөр ба түүний суурийн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.
Тогтмол таслагдсан дөрвөлжин пирамидын шинж чанарууд
Та энэ зургийг анхны пирамидаас авч болно. Үүнийг хийхийн тулд пирамидын дээд хэсгийг онгоцоор таслах шаардлагатай. Зүссэн хавтгайн доор үлдсэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэнэ.
Хэрэв суурь нь хоорондоо параллель байвал тайрсан пирамидын шинж чанарыг судлах нь хамгийн тохиромжтой. Энэ тохиолдолд доод ба дээд суурь нь ижил төстэй олон өнцөгт байх болно. Дөрвөн өнцөгт ердийн пирамидын суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй тул зүсэх явцад үүссэн хэсэг нь мөн дөрвөлжин хэлбэртэй, гэхдээ арай бага хэмжээтэй байна.
Таслагдсан зургийн хажуугийн гадаргуу нь гурвалжингаар биш, харин тэгш өнцөгт трапецын тусламжтайгаар үүсдэг.
Энэхүү пирамидын чухал шинж чанаруудын нэг нь түүний эзэлхүүнийг томъёогоор тооцдог.
V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))
Энд h нь зургийн суурийн хоорондох зай, S o1, S o2 нь доод ба дээд суурийн талбайнууд юм.
