Хоёр дахь гайхалтай нотлох хязгаар. Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

Энэ сэдвээр бид хоёр дахь томъёог ашиглан олж авах боломжтой томъёог шинжлэх болно гайхалтай хязгаар(хоёр дахь гайхалтай хязгаарт шууд зориулагдсан сэдэв байрладаг). Энэ хэсэгт хэрэг болох хоёр дахь гайхалтай хязгаарын хоёр томъёоллыг танд сануулъя: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ ба $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\баруун)^\frac(1)(x)=e$.

Би ихэвчлэн нотолгоогүйгээр томъёо өгдөг, гэхдээ энэ хуудасны хувьд би үл хамаарах зүйл хийх болно гэж бодож байна. Баримт нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагаврын нотолгоо нь асуудлыг шууд шийдвэрлэхэд хэрэгтэй зарим заль мэхийг агуулдаг. За, ерөнхийдөө энэ эсвэл тэр томъёог хэрхэн баталж байгааг мэдэх нь зүйтэй юм. Энэ нь түүний дотоод бүтэц, түүнчлэн хэрэглэх боломжийн хязгаарыг илүү сайн ойлгох боломжийг танд олгоно. Гэхдээ нотлох баримтууд нь бүх уншигчдад сонирхолгүй байж магадгүй тул би үр дүн бүрийн дараа тэдгээрийг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Үр дагавар №1

\эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\төгсгөл(тэгшитгэл)

1-р үр дүнгийн баталгаа: харуулах\нуух

$x\to 0$-ын хувьд бидэнд $\ln(1+x)\to 0$ байгаа тул авч үзсэн хязгаарт $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Энэхүү тодорхойгүй байдлыг илчлэхийн тулд $\frac(\ln(1+x))(x)$ илэрхийллийг дараах байдлаар илэрхийлье: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Одоо $(1+x)$-ын хүчинд $\frac(1)(x)$ хүчин зүйлийг нэмж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлье:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \баруун|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\баруун)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Бид дахин $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай байна. Бид аль хэдийн батлагдсан томъёонд найдах болно. $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$ тул $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$ болно.

$$ \lim_(x\to\0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Үр дагавар №2

\begin(тэгшитгэл) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(тэгшитгэл)

2-р үр дүнгийн баталгаа: харуулах\нуух

$x\to 0$-ын хувьд бидэнд $e^x-1\to 0$ байгаа тул авч үзсэн хязгаарт $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Энэ тодорхойгүй байдлыг илчлэхийн тулд $t=e^x-1$ гэж тэмдэглэсэн хувьсагчийг өөрчилье. $x\to 0$, дараа нь $t\to 0$. Цаашилбал, $t=e^x-1$ томъёоноос бид дараахийг олж авна: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \баруун|=\зүүн | \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\төгсгөл (зэрэгцүүлсэн) \баруун|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Бид дахин $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай байна. Бид аль хэдийн батлагдсан томъёонд найдах болно. $a^x=e^(x\ln a)$ тул:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \баруун|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Үр дагавар №3

\эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\альфа-1)(х)=\альфа \төгсгөл(тэгшитгэл)

Үр дүнгийн нотолгоо №3: харуулах\нуух

Дахин хэлэхэд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ тул бид дараахыг авна:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \баруун|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to) \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \баруун)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Жишээ №1

$\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ хязгаарыг тооцоол.

Бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Энэхүү тодорхой бус байдлыг тодруулахын тулд бид томъёог ашиглана. Бидний хязгаарт нийцүүлэхийн тулд энэ томъёо$e$ тооны хүч болон хуваагч дахь илэрхийлэл таарч байх ёстойг анхаарах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, хуваагч дахь синус нь ямар ч газаргүй. Хуваарь нь $9x$ байх ёстой. Мөн энэ жишээг шийдэхдээ эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах болно.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \баруун|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Хариулт: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Жишээ №2

$\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ хязгаарыг тооцоол.

Бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна ($\ln\cos 0=\ln 1=0$ гэдгийг санаарай). Энэхүү тодорхой бус байдлыг тодруулахын тулд бид томъёог ашиглана. Эхлээд $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ гэдгийг анхаарч үзээрэй (тригонометрийн функцуудын жагсаалтыг харна уу). Одоо $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, тэгэхээр хуваагч нь $-2\sin^2 \frac(x ) байх ёстой. (2)$ (бидний жишээнд тохирох). Цаашдын шийдэлд эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах болно.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \баруун|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\баруун))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\баруун)^2 \баруун)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Хариулт: $\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Энэ математик тооцоолуурШаардлагатай бол онлайн танд туслах болно функцийн хязгаарыг тооцоолох. Програм хязгаарлах шийдлүүдасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг нарийвчилсан шийдэлтайлбартай, өөрөөр хэлбэл хязгаарын тооцооны явцыг харуулна.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм ерөнхий боловсролын сургуулиуд-д бэлтгэж байна хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нарынхаа сургалтыг явуулах боломжтой болохын зэрэгцээ шийдвэрлэх шаардлагатай ажлын хүрээнд боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Функцийн илэрхийлэл оруулна уу

Хязгаарыг тооцоолох

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Функцийн хязгаар нь x-> x 0

Зарим X олонлог дээр f(x) функц тодорхойлогдох ба \(x_0 \ in X \) эсвэл \(x_0 \ not in X \) цэг байг.

X-ээс x 0-ээс өөр цэгүүдийн дарааллыг авна.
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* руу нийлэх. Энэ дарааллын цэгүүд дэх функцын утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
мөн түүний хязгаар байгаа эсэх талаар асуулт тавьж болно.

Тодорхойлолт. X аргументийн утгуудын аль нэг дарааллын (1) хувьд A тоог x \u003d x 0 (эсвэл x -> x 0) цэг дэх f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. x 0-д нийлдэг, x 0-ээс ялгаатай, утгын функцийн харгалзах дараалал (2) нь А тоонд нийлдэг.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) функц нь x 0 цэг дээр зөвхөн нэг хязгаартай байж болно. Энэ нь дэс дарааллаас үүдэлтэй
(f(x n)) нь зөвхөн нэг хязгаартай.

Функцийн хязгаарын өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0 \) тоонд \(\delta > 0 \) байгаа бол бүх \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) тэгш бус байдлыг хангах \(|x-x_0| Логик тэмдэг ашиглан энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Тэгш бус байдал \(x \neq x_0) болохыг анхаарна уу. , \; |x-x_0| Эхний тодорхойлолт нь хязгаарын тухай ойлголт дээр суурилдаг тооны дараалал, ийм учраас үүнийг ихэвчлэн "дарааллын хэл" гэсэн тодорхойлолт гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь тодорхойлолтыг "хэл \(\varepsilon - \delta \)" тодорхойлолт гэж нэрлэдэг.
Функцийн хязгаарын эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү бөгөөд та тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд аль нь илүү тохиромжтой болохыг нь ашиглаж болно.

"Дарааллын хэлээр" функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт, "хэлний \(\varepsilon -) функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. \delta \)"-ийг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж бас нэрлэдэг.

X->x 0 - болон x->x 0 + үед функцийн хязгаар

Дараах зүйлд бид функцийн нэг талт хязгаарын тухай ойлголтуудыг ашиглах бөгөөд эдгээр нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт X 0-д нийлэх аливаа дарааллын (1) х n элементүүд нь x 0-ээс их (бага) байвал харгалзах дараалал бол х 0 цэг дэх f (x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж А тоог гэнэ. (2) А-д нийлдэг.

Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

"\(\varepsilon - \delta \) хэлээр" функцын нэг талын хязгаарын ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0 \) нь \(\delta > 0 \) байгаа бол x 0 цэг дэх f(x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь бүх x-ийн хувьд хангагддаг. тэгш бус байдал \(x_0 тэмдэгт оруулгууд:

\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Нотолгоо:

Эхлээд дарааллын тохиолдлын теоремыг баталъя

Ньютоны бином томъёоны дагуу:

Бид авсан гэж бодвол

Энэ тэгшитгэлээс (1) n нэмэгдэх тусам баруун талын эерэг гишүүний тоо нэмэгдэнэ. Үүнээс гадна n нэмэгдэхийн хэрээр тоо нь багасдаг тул хэмжигдэхүүнүүд нэмэгдүүлэх. Тиймээс дараалал нэмэгдэж байхад (2)* хязгаарлагдмал гэдгийг харуулъя. Тэгш тэгш байдлын баруун талд байгаа хаалт бүрийг нэгээр солицгооё. баруун хэсэгөсөхөд бид тэгш бус байдлыг олж авна

Бид үүссэн тэгш бус байдлыг бэхжүүлж, бутархайн хуваагч дахь 3,4,5, ...-ийг 2-оор солино: Нэр томьёоны нийлбэрийн томъёог ашиглан хаалтанд байгаа нийлбэрийг олно. геометрийн прогресс: Тийм учраас (3)*

Тиймээс дараалал нь дээрээс хязгаарлагдах бөгөөд (2) ба (3) тэгш бус байдал нь дараахь зүйлийг агуулна. Тиймээс Вейерштрассын теорем (дарааллын нийлэх шалгуур) дээр үндэслэн дараалал монотон нэмэгдэж, хязгаарлагдмал, энэ нь e үсгээр тэмдэглэгдсэн хязгаартай гэсэн үг юм. Тэдгээр.

Хоёрдахь гайхалтай хязгаар нь x-ийн байгалийн утгуудын хувьд үнэн гэдгийг мэдэж байгаа тул бид бодит x-ийн хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг нотолж байна. . Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1. X утга бүрийг хоёр эерэг бүхэл тооны хооронд байг: , энд x-ийн бүхэл хэсэг байна. => =>

Хэрэв , тэгвэл, хязгаарын дагуу Бидэнд байгаа

Тэмдгээр (хязгаарын тухай завсрын функц) хязгаар байгаа эсэх

2. Let . Тэгвэл − x = t орлуулалтыг хийцгээе

Энэ хоёр тохиолдлоос харахад ийм байна жинхэнэ x-ийн хувьд.

Үр дагавар:

9 .) Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт. Хязгаарт хязгаарлагдмал жижиг тоонуудыг эквивалентаар солих тухай теорем, хязгааргүй жижиг тоонуудын үндсэн хэсгийн тухай теорем.

функцуудыг a( x) ба б( x) – б.м. цагт x ® x 0 .

ТОДОРХОЙЛОЛТ.

1) а( x) дуудсан хязгааргүй жижиг илүү өндөр захиалгаХэрхэн б (x) хэрэв

Бичнэ үү: a( x) = o(b( x)) .

2) а( x) болонб( x)дуудсан ижил дарааллын хязгааргүй жижиг тоо, хэрэв

хаана Cнℝ ба C¹ 0 .

Бичнэ үү: a( x) = О(б( x)) .

3) а( x) болонб( x) дуудсан тэнцүү , хэрэв

Бичнэ үү: a( x) ~ б( x).

4) а( x) -ын хувьд хязгааргүй жижиг эрэмбийг k гэж нэрлэдэг
маш хязгааргүй жижигб( x), хязгааргүй жижиг бола( x)болон(б( x)) к ижил дараалалтай байх, өөрөөр хэлбэл. хэрэв

хаана Cнℝ ба C¹ 0 .

ТЕОРЕМ 6 (хязгааргүй жижиг тоог тэнцүү тоогоор солих тухай).

Болъёа( x), б( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– б.м. x дээр ® x 0 . Хэрвээа( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x),

тэгээд

Нотолгоо: А ( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x), дараа нь

ТЕОРЕМ 7 (хязгааргүй жижиг гол хэсгийн тухай).

Болъёа( x)болонб( x)– б.м. x дээр ® x 0 , баб( x)– б.м. -ээс өндөр дараалала( x).

= , a оноос хойш b( x) – a(-аас өндөр зэрэглэл) x), дараа нь , i.e. -аас нь тодорхой байна a( x) + б( x) ~ a( x)

10) Цэг дэх функцын тасралтгүй байдал (эпсилон-дельта хязгаарын хэлээр, геометр) Нэг талын тасралтгүй байдал. Интервал дахь тасралтгүй байдал, сегмент дээр. Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.

1. Үндсэн тодорхойлолтууд

Болъё е(x) нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог x 0 .

ТОДОРХОЙЛОЛТ 1. функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 Хэрэв тэгш байдал үнэн бол

Тайлбар.

1) §3-ын 5-р теоремоор тэгш байдлыг (1) гэж бичиж болно

Нөхцөл (2) - нэг талт хязгаарын хэлээр цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолт.

2) Тэгш байдлыг (1) мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Тэд: "хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал x 0 , дараа нь хязгаарын тэмдэг ба функцийг сольж болно.

ТОДОРХОЙЛОЛТ 2 (e-d хэлээр).

функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 хэрэв"e>0 $d>0 ийм, юу

хэрэв xОU( x 0 , d) (өөрөөр хэлбэл, | x – x 0 | < d),

дараа нь f(x)ОU( е(x 0), e) (жишээ нь | е(x) – е(x 0) | < e).

Болъё x, x 0 Î Д(е) (x 0 - тогтмол, х-дур зоргоороо)

Тэмдэглэх: Д x= х-х 0 – аргументийн өсөлт

Д е(x 0) = е(x) – е(x 0) – x цэг дээрх функцийн өсөлт 0

ТОДОРХОЙЛОЛТ 3 (геометрийн).

функц f(x) дээр дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 хэрэв энэ үед аргументийн хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байвал, өөрөөр хэлбэл

Функцийг зөвшөөр е(x) нь [ интервал дээр тодорхойлогддог. x 0 ; x 0 + d) (интервал дээр ( x 0 - d; x 0 ]).

ТОДОРХОЙЛОЛТ. функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 баруун талд (зүүн ), Хэрэв тэгш байдал үнэн бол

Энэ нь ойлгомжтой е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 Û е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 баруун ба зүүн.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. функц f(x) дуудсан интервал тутамд тасралтгүй e ( а; б) хэрэв энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал.

функц f(x) сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг [а; б] хэрэв интервал дээр тасралтгүй байвал (а; б) хилийн цэгүүд дээр нэг талын үргэлжлэл байдаг(өөрөөр хэлбэл цэг дээр тасралтгүй азөв, цэг б- зүүн талд).

11) Хагарлын цэгүүд, тэдгээрийн ангилал

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Хэрэв функц f(x) x цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог 0 , гэхдээ тэр үед үргэлжилдэггүй е(x) x цэг дээр тасархай гэж нэрлэдэг 0 , гэхдээ гол нь x 0 таслах цэг гэж нэрлэдэг функцууд f(x) .

Тайлбар.

1) е(x) цэгийн бүрэн бус хөршөөр тодорхойлж болно x 0 .

Дараа нь функцийн харгалзах нэг талын тасралтгүй байдлыг авч үзье.

2) z-ийн тодорхойлолтоос, цэг x 0 нь функцийн таслах цэг юм е(x) хоёр тохиолдолд:

a) U( x 0 , d)н Д(е) , Харин е(x) тэгш байдал хангагдаагүй байна

б) U * ( x 0 , d)н Д(е) .

Учир нь үндсэн функцуудЗөвхөн b) тохиолдолд боломжтой.

Болъё x 0 - функцийн таслах цэг е(x) .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан эвдрэх цэг I төрлийн хэрэв функц f(x)зүүн болон баруун талдаа энэ цэгт хязгаарлагдмал хязгаартай.

Хэрэв нэмэлтээр эдгээр хязгаарууд тэнцүү бол x цэг болно 0 дуудсан таслах цэг , өөрөөр - үсрэх цэг .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан эвдрэх цэг II төрлийн хэрэв функцийн нэг талт хязгаарын нэгээс доошгүй бол f(x)энэ үед тэнцүү байна¥ эсвэл байхгүй.

12) Хэсэг дээрх тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд (Вейерштрассын (баталгаагүй) ба Коши теоремууд

Вейерштрассын теорем

f(x) функцийг хэрчим дээр тасралтгүй байя

1)f(x) нь хязгаарлагдмал

2)f(x) ба интервал дээрх хамгийн бага утгыг авна хамгийн өндөр үнэ цэнэ

Тодорхойлолт: Дурын x ∈ D(f) m≤f(x) бол m=f функцийн утгыг хамгийн бага гэж нэрлэдэг.

Аливаа x ∈ D(f)-ийн хувьд m≥f(x) бол m=f функцийн утгыг хамгийн их гэж нэрлэдэг.

Функц нь сегментийн хэд хэдэн цэг дээр хамгийн бага \ хамгийн том утгыг авч болно.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Кошигийн теорем.

f(x) функцийг хэрчим дээр тасралтгүй, x нь f(a) ба f(b)-ийн хооронд хаагдсан тоо байя, тэгвэл f(x 0)= g байх x 0 € ядаж нэг цэг байна.

Энэхүү нийтлэл: "Хоёр дахь гайхалтай хязгаар" нь тухайн зүйлийн тодорхойгүй байдлын хүрээнд задруулахад зориулагдсан болно:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ болон $ ^\infty $.

Түүнчлэн, ийм тодорхой бус байдлыг экспоненциал-чадлын функцийн логарифм ашиглан илрүүлж болох боловч энэ нь шийдвэрлэх өөр нэг арга бөгөөд үүнийг өөр өгүүллээр авч үзэх болно.

Томъёо ба үр дагавар

ТомъёоХоёрдахь гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичсэн байна: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( энд ) e \ойролцоогоор 2.718 $ доллар

Томъёоноос эхлэн дагаж мөрдөөрэй үр дагавар, эдгээр нь хязгаартай жишээг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( хаана ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг экспоненциал хүчний функцэд үргэлж хэрэглэж болохгүй, гэхдээ зөвхөн суурь нь нэгдмэл байх хандлагатай байгаа тохиолдолд л хэрэглэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд оюун ухаан дахь суурийн хязгаарыг тооцоолж, дараа нь дүгнэлт хийнэ. Энэ бүгдийг жишээ шийдэлд авч үзэх болно.

Шийдлийн жишээ

Шууд томъёо, түүний үр дагаврыг ашиглан шийдлийн жишээг авч үзье. Бид томъёо шаардлагагүй тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зөвхөн бэлэн хариултыг бичихэд хангалттай.

Жишээ 1

Хязгаарыг олох $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Шийдэл

Хязгаарыг хязгаарт орлуулж, тодорхойгүй байдлыг харвал: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Суурийн хязгаарыг ол: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac() 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Бид нэгтэй тэнцүү суурь авсан бөгөөд энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг аль хэдийн хэрэглэж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид нэгийг хасаж, нэмэх замаар функцийн суурийг томъёонд тохируулна. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Бид хоёр дахь үр дагаврыг хараад хариултыг бичнэ. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол илгээхтүүнийг бидэнд. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцтай танилцаж, мэдээлэл цуглуулах боломжтой болно. Энэ нь багшийн кредитийг цаг тухайд нь авахад тусална!

Хариулт

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Жишээ 4

Хязгаарыг шийдэх $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Шийдэл

Бид суурийн хязгаарыг олоод $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ болохыг харж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно. Төлөвлөгөөний дагуу стандартын дагуу бид градусын үндсэн дээр нэгийг нэмж, хасдаг. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Бид 2-р тэмдэглэлийн томъёоны дагуу бутархайг тохируулна. хязгаар: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Одоо зэрэглэлийг тохируулна уу. Экспонент нь $ \frac(3x^2-2)(6) $ суурийн хуваагчтай тэнцүү бутархай байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд зэрэглэлийг үржүүлж, хувааж, үргэлжлүүлэн шийдээрэй. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ дээр байрлах хүчин чадал нь: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Тиймээс бидэнд байгаа шийдлийг үргэлжлүүлэх нь:

Хариулт

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай төстэй боловч үүнгүйгээр шийдэгдсэн тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

"Хоёр дахь гайхалтай хязгаар: шийдлийн жишээ" гэсэн өгүүлэлд томъёонд дүн шинжилгээ хийж, түүний үр дагавар, энэ сэдвээр байнга гардаг асуудлын төрлийг өгсөн болно.