Чистий вигин. Поперечний вигин. Загальні концепції. Розрахункові схеми для балок Має певний вигин і якщо

Розраховувати балку на вигинможна кількома варіантами:
1. Розрахунок максимального навантаження, яке вона витримає
2. Підбір перерізу цієї балки
3. Розрахунок за максимальною допустимою напругою (для перевірки)
Давайте розглянемо загальний принцип підбору перерізу балки на двох опорах завантаженим рівномірно розподіленим навантаженням або зосередженою силою.
Для початку вам необхідно буде знайти точку (перетин), в якій буде максимальний момент. Це залежить від спирання балки або її загортання. Знизу наведені епюри згинальних моментів для схем, які найчастіше зустрічаються.

Після знаходження згинального моменту ми повинні знайти момент опору Wx цього перерізу за формулою, наведеною в таблиці:

Далі, при розподілі максимального згинального моменту на момент опору в даному перерізі, ми отримуємо максимальна напруга в балціі цю напругу ми маємо порівняти з напругою, яку взагалі зможе витримати наша балка із заданого матеріалу.

Для пластичних матеріалів(сталь, алюміній і т.п.) максимальна напруга дорівнюватиме межі плинності матеріалу, а для тендітних(чавун) – межі міцності. Межу плинності та межу міцності ми можемо знайти за таблицями нижче.

Давайте розглянемо кілька прикладів:
1. Ви хочете перевірити, чи витримає вас двотавр №10 (сталь Ст3сп5) довжиною 2 метри жорстко замурованого в стіну, якщо ви на ньому повисніть. Ваша маса нехай буде 90 кг.
Для початку нам потрібно вибрати розрахункову схему.

На цій схемі видно, що максимальний момент буде в закладенні, а оскільки наш двотавр має однаковий переріз по всій довжині, то й максимальна напруга буде у закладенні. Давайте знайдемо його:

P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН

М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН * м

За таблицею сортаменту двотаврів знаходимо момент опору двотавра №10.

Він дорівнюватиме 39.7 см3. Переведемо в кубічні метри та отримаємо 0.0000397 м3.
Далі за формулою знаходимо максимальну напругу, яка у нас виникає в балці.

б = М/W = 1.8 кН/м/0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа

Після того, як ми знайшли максимальну напругу, яка виникає в балці, то ми її може порівняти з максимально допустимою напругою, що дорівнює межі плинності сталі Ст3сп5 – 245 МПа.

45.34 МПа - вірно, значить цей двотавр витримає масу 90 кг.

2. [i] Оскільки в нас вийшов досить великий запас, то вирішимо друге завдання, в якому знайдемо максимально можливу масу, яку витримає все той же двотавр №10 довжиною 2 метри.
Якщо хочемо знайти максимальну масу, то значення межі плинності і напруги, що виникатиме в балці, ми маємо прирівняти (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).

При побудові епюри згинальних моментівМ у будівельниківприйнято: ординати, які виражають у певному масштабі позитивнізначення згинальних моментів, відкладати з боку розтягнутихволокон, тобто. - вниз, а негативні - вгорувід осі балки. Тому кажуть, що будівельники будують епюри на розтягнутих волокнах. У механіківпозитивні значення і поперечної сили та згинального моменту відкладаються вгору.Механіки будують епюри на стислихволокнах.

Головні напруження при згинанні. Еквівалентна напруга.

У випадку прямого вигину в поперечних перерізах балки виникають нормальніі дотичнінапруги. Ці напруги змінюються як у довжині, і по висоті балки.

Таким чином, у разі вигину має місце плоский напружений стан.

Розглянемо схему, де балка навантажена силою Р

Найбільші нормальнінапруги виникають у крайніх,найбільш віддалених від нейтральної лінії точках, а дотичні напруги у них відсутні.Таким чином, для крайніхволокон ненульовими головними напругами є нормальні напругиу поперечному перерізі.

На рівні нейтральної лініїу поперечному перерізі балки виникають найбільші дотичні напруги,а нормальні напруги дорівнюють нулю. отже, у волокнах нейтральногошару Основні напруги визначаються значеннями дотичних напруг.

У цій розрахунковій схемі верхні волокна балки будуть розтягнуті, а нижні – стиснуті. Для визначення головної напруги використовуємо відомий вираз:

Повний аналіз напруженого станупредставимо на малюнку.

Аналіз напруженого стану при згинанні

Найбільша напруга σ 1знаходиться на верхніхкрайніх волокнах та одно нулю на нижніх крайніх волокнах. Головна напруга σ 3має найбільше за абсолютною величиною значення нижніх волокнах.

Траєкторія головних напругзалежить від типу навантаженняі способу закріплення балки.

При вирішенні завдань достатньо окремоперевірити нормальніі окремо дотичні напруги.Однак іноді найбільш напруженимивиявляються проміжніволокна, в яких є і нормальні, і дотичні напруги. Це відбувається у перерізах, де одночасно і згинальний момент, і поперечна сила досягають великих значень- це може бути в закладенні консольної балки, на опорі балки з консоллю, в перерізах під зосередженою силою або в перерізах з різко мінливою шириною. Наприклад, у двотавровому перерізі найбільш небезпечні місця примикання стінки до полиці- там є значні та нормальні, і дотичні напруження.

Матеріал знаходиться в умовах плоского напруженого стану і потрібний перевірка за еквівалентною напругою.

Умови міцності балок із пластичних матеріалівпо третьою(Теорії найбільших дотичних напруг) і четвертою(Теорія енергії формозмін) теоріям міцності.

Як правило, в прокатних балках еквівалентна напруга не перевищує нормальних напруг у крайніх волокнах і спеціальної перевірки не потрібно. Інша справа - складові металеві балки,в яких стінка тонша, ніж у прокатних профілів за тієї ж висоти. Найчастіше застосовуються зварні складові балки із сталевих листів. Розрахунок подібних балок на міцність: а) підбір перерізу - висоти, товщини, ширини та товщини поясів балки; б) перевірка міцності за нормальними і дотичними напругами; в) перевірка міцності за еквівалентними напругами.

Визначення дотичних напруг у двотавровому перерізі. Розглянемо перетин двотавра. S x = 96,9 см 3; Yх = 2030 см 4; Q=200 кН

Для визначення дотичної напруги застосовується формуладе Q - поперечна сила в перерізі, S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x - момент інерції всього поперечного перерізу, b - ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Розглянемо переріз стандартного профілю у вигляді двотавраі визначимо дотичні напруги, що діють паралельно поперечній силі:

Розрахуємо статичні моментипростих фігур:

Цю величину можна обчислити та інакше, Використовуючи ту обставину, що для двотаврового та коритного перерізу в даний статичний момент половини перерізу. Для цього необхідно відняти від відомої величини статичного моменту величину статичного моменту до лінії А 1 В 1:

Дотичні напруги в місці примикання полиці до стінки змінюються стрибкоподібно, так як різкозмінюється товщина стінки від t стдо b.

Епюри дотичних напруг у стінках коритного, порожнистого прямокутного та інших перерізів мають той самий вигляд, що й у разі двотаврового перерізу. У формулу входить статичний момент заштрихованої частини перерізу щодо осі Х, а в знаменнику ширина перерізу (нетто) у тому шарі, де визначається дотична напруга.

Визначимо дотичні напруги для круглого перерізу.

Так як у контуру перерізу дотичні напруги повинні бути спрямовані по дотичній до контуру,то в точках Аі Ув кінці якої-небудь паралельної діаметру хорді АВ,дотичні напруги спрямовані перпендикулярно радіусам ОАі ВВ.Отже, напрямкидотичних напруг у точках А, В, Ксходяться в деякій точці Нна осі Y.

Статичний момент відсіченої частини:

Тобто дотичні напруження змінюються по параболічномузакону і будуть максимальні на рівні нейтральної лінії, коли у 0 = 0

Формула для визначення дотичних напруг (формула)

Розглянемо прямокутний перетин

На відстані у 0від центральної осі проведемо перетин 1-1і визначимо дотичні напруги. Статичний момент площівідсіченої частини:

Слід пам'ятати, що важливо байдужебрати статичний момент площі заштрихованої чи решти частинипоперечного перерізу. Обидва статичні моменти рівні та протилежні за знакомтому їх сума,яка представляє статичний момент площі всього перерізущодо нейтральної лінії, а саме центральної осі х, дорівнюватиме нулю.

Момент інерції прямокутного перерізу:

Тоді дотичні напругиза формулою

Змінна у 0 входить у формулу другийступеня, тобто. дотичні напруги в прямокутному перерізі змінюються по закону квадратної параболи.

Дотичні напруги досягнуто максимумулише на рівні нейтральної лінії, тобто. коли у 0 = 0:

, де А-площа всього перерізу.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

, де S x 0- Статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x- момент інерції всього поперечного перерізу, b- Ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга, Q-поперечна сила, τ - дотична напруга, [τ] - Допускна дотична напруга.

Ця умова міцності дозволяє виробляти тривиду розрахунку (три типи завдань при розрахунку на міцність):

1. Перевірочний розрахунок або перевірка міцності щодо дотичних напруг:

2. Підбір ширини перерізу (для прямокутного перерізу):

3.Визначення допустимої поперечної сили (для прямокутного перерізу):

Для визначення дотичнихнапруг розглянемо балку, навантажену силами.

Завдання визначення напруг завжди статично невизначената вимагає залучення геометричнихі фізичнихрівнянь. Однак можна прийняти такі гіпотези про характер розподілу напруг, що завдання стане статично визначимою.

Двома нескінченно близькими поперечними перерізами 1-1 та 2-2 виділимо елемент dz,зобразимо його у великому масштабі, потім проведемо поздовжній переріз 3-3.

У перерізах 1–1 та 2–2 виникають нормальні σ 1 , σ 2 напруги, Які визначаються за відомими формулами:

де М - згинальний моменту поперечному перерізі, dМ - збільшеннязгинального моменту на довжині dz

Поперечна силау перерізах 1–1 та 2–2 спрямована вздовж головної центральної осі Y і, очевидно, представляє суму вертикальних складових внутрішніх дотичних напруг, розподілених за перерізом. У опорі матеріалів зазвичай приймається припущення про рівномірне їх розподіл за шириною перерізу.

Для визначення величини дотичних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу, розташованого на відстані у 0від нейтральної осі Х, проведемо через цю точку площину, паралельну до нейтрального шару (3-3), і винесемо відсічений елемент. Визначатимемо напругу, що діє по майданчику АВСД.

Спроектуємо всі сили на вісь Z

Рівнодія внутрішніх поздовжніх сил по правій грані дорівнюватиме:

де А 0 – площа фасадної грані, S x 0 – статичний момент відсіченої частини щодо осі Х. Аналогічно на лівій грані:

Обидві рівнодіючі спрямовані назустріч один одному,оскільки елемент знаходиться в стиснутоюзоні балки. Їхня різниця врівноважується дотичними силами на нижній грані 3-3.

Припустимо, що дотичні напруги τрозподілені за шириною поперечного перерізу балки b рівномірно. Таке припущення тим ймовірніше, що менше ширина проти висотою перерізу. Тоді рівнодіюча дотичних сил dTдорівнює значенню напруг, помноженому на площу грані:

Складемо тепер рівняння рівноваги Σz=0:

або, звідки

Згадаймо диференціальні залежностізгідно з якими Тоді отримуємо формулу:

Ця формула отримала назву формули. Ця формула отримана 1855 р. Тут S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу,розташованої по одну сторону від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x – момент інерціївсього поперечного перерізу, b – ширина перерізутам, де визначається дотична напруга, Q-поперечна силау перерізі.

- Умова міцності при вигині,де

- максимальний момент (по модулю) з епюри згинальних моментів; - осьовий момент опору перерізу, геометрична характеристика; - допустима напруга (σ adm)

- максимальна нормальна напруга.

Якщо розрахунок ведеться за методом граничних станів,то в розрахунок замість напруги, що допускається, вводиться розрахунковий опір матеріалу R.

Типи розрахунків на міцність при згинанні

1. Перевірочнийрозрахунок або перевірка міцності за нормальними напругами

2. Проектнийрозрахунок або підбір перерізу

3. Визначення допустимоїнавантаження (визначення вантажопідйомністьта або експлуатаційної несучоюможливості)

При виведенні формули для обчислення нормальних напруг розглянемо такий випадок вигину, коли внутрішні сили в перерізах балки наводяться лише до згинальний момент, а поперечна сила виявляється рівною нулю. Цей випадок вигину зветься чистого вигину. Розглянемо середню ділянку балки, що піддається чистому вигину.

У навантаженому стані балка прогинається так, що її нижні волокна подовжуються, а верхні коротшають.

Оскільки частина волокон балки розтягується, частина стискається, причому перехід від розтягнення до стиску відбувається плавно, без стрибків, в середньоїчастини балки знаходиться шар, волокна якого тільки викривляються, але не відчувають ні розтягування, ні стискування.Такий шар називають нейтральнимшаром. Лінія, якою нейтральний шар перетинається з поперечним перерізом балки, називається нейтральною лінієюабо нейтральною віссюперерізу. Нейтральні лінії нанизані на вісь балки. Нейтральна лінія- це лінія, в якій нормальні напруги дорівнюють нулю.

Лінії, проведені на бічній поверхні балки перпендикулярно до осі, залишаються плоскимипри згинанні. Ці дослідні дані дозволяють покласти в основу висновків формул гіпотезу плоских перерізів (гіпотеза). Згідно з цією гіпотезою перерізу балки плоскі та перпендикулярні до її осі до вигину, залишаються плоскими і виявляються перпендикулярними до вигнутої осі балки при її вигині.

Допущення для виведення формул нормальної напруги: 1) Виконується гіпотеза плоских перерізів. 2) Поздовжні волокна один на одного не тиснуть (гіпотеза про ненатискання) і, отже, кожне з волокон знаходиться в стані одновісного розтягування або стиснення. 3) Деформації волокон не залежить від їх положення за шириною перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими. 4) Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині. 5) Матеріал балки підпорядковується закону Гука, причому модуль пружності при розтягуванні та стисканні однаковий. 6) Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского вигину без жолоблення або скручування.

Розглянемо балку довільного перерізу, але має вісь симетрії. Згинальний моментявляє собою результуючий момент внутрішніх нормальних сил, що виникають на нескінченно малих майданчиках і можуть бути виражені в інтегральномувигляді: (1), де y - плече елементарної сили щодо осі х

Формула (1) висловлює статичнубік задачі про згин прямого бруса, але по ній за відомим згинальним моментом не можна визначити нормальні напруги, доки встановлено закон їх розподілу.

Виділимо на середній ділянці балки та розглянемо ділянку довжиною dz,що піддається вигину. Зобразимо його у укрупненому масштабі.

Перерізи, що обмежують ділянку dz, паралельні один одному до деформації, а після застосування навантаження обернуться навколо своїх нейтральних ліній на кут . Довжина відрізка волокон нейтрального шару при цьому не змінитьсяі дорівнюватиме: , де це радіус кривизнивигнутої осі балки. А ось будь-яке інше волокно, що лежить нижче або вищенейтрального шару, змінить свою довжину. Обчислимо відносне подовження волокон, що від нейтрального шару з відривом у.Відносне подовження - це відношення абсолютної деформації до початкової довжини, тоді:

Скоротимо на і наведемо подібні члени, тоді отримаємо: (2) Ця формула висловлює геометричнубік завдання про чистий вигин: деформації волокон прямо пропорційні їх відстані до нейтрального шару.

Тепер перейдемо до напруженням, тобто. будемо розглядати фізичнубік завдання. відповідно до припущенням про ненатисканняволокон використовуємо при осьовому розтягуванні-стисканні:, тоді з урахуванням формули (2) маємо (3), тобто. нормальні напруженняпри вигині за висотою перерізу розподіляються за лінійним законом. На крайніх волокнах нормальні напруги досягають максимального значення, а центрі тяжкості перерізу дорівнюють нулю. Підставимо (3) у рівняння (1) і винесемо за знак інтеграла дріб як постійну величину, тоді маємо . Але вираз – це осьовий момент інерції перерізу щодо осі х - I х. Його розмірність см 4 , м 4

Тоді звідки (4) ,де - це кривизна вигнутої осі балки, а - жорсткість перерізу балки при згинанні.

Підставимо отриманий вираз кривизни (4)на вираз (3) і отримаємо формулу для обчислення нормальних напруг у будь-якій точці поперечного перерізу: (5)

Т.о. максимальнінапруги виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії.Ставлення (6) називають осьовим моментом опору перерізу. Його розмірність см 3 , м 3. Момент опору характеризує вплив форми та розмірів поперечного перерізу на величину напруги.

Тоді максимальна напруга: (7)

Умова міцності при згинанні: (8)

При поперечному згині діють не тільки нормальні, а й дотичні напруги,т.к. є поперечна сила. Дотичні напруження ускладнюють картину деформування, вони призводять до викривленняпоперечних перерізів балки, внаслідок чого порушується гіпотеза плоских перерізів. Однак дослідження показують, що спотворення, які привносять дотичні напруги, незначновпливають на нормальні напруги, підраховані за формулою (5) . Таким чином, при визначенні нормальних напруг у разі поперечного вигину теорія чистого вигину цілком застосовна.

нейтральна лінія. Питання про становище нейтральної лінії.

При згинанні відсутня поздовжня сила, тому можна записати Підставимо сюди формулу нормальних напруг (3) і отримаємо Так як модуль поздовжньої пружності матеріалу балки не дорівнює нулю і вигнута вісь балки має кінцевий радіус кривизни, залишається покласти, що цей інтеграл є статичний момент площіпоперечного перерізу балки щодо нейтральної лінії-осі х , і, оскільки він дорівнює нулю, то нейтральна лінія проходить через центр тяжкості перерізу.

Умова (відсутність моменту внутрішніх сил щодо силової лінії) дасть або з урахуванням (3) . З тих самих міркувань (див. вище) . У підінтегральному вираженні - відцентровий момент інерції перерізу щодо осей х і у дорівнює нулю, отже, ці осі є головними та центральнимиі становлять прямийкут. Отже, силова і нейтральна лінії при прямому згині взаємно перпендикулярні.

Встановивши положення нейтральної лінії, нескладно збудувати епюру нормальних напругза висотою перерізу. Її лінійнийхарактер визначається рівнянням першого ступеня.

Характер епюри для симетричних перерізів щодо нейтральної лінії, М<0

Для консольної балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м і зосередженим моментом кН/м (рис. 3.12), потрібно: побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів , підібрати балку круглого поперечного перерізу при допустимій нормальній напрузі кН/см2 і перевірити дотичній напруги при допущеній дотичній напрузі кН/см2. Розміри балки м; м; м.

Розрахункова схема для завдання на прямий поперечний вигин

Мал. 3.12

Розв'язання задачі "прямий поперечний вигин"

Визначаємо опорні реакції

Горизонтальна реакція в закладенні дорівнює нулю, оскільки зовнішні навантаження у напрямку осі z на балку не діють.

Вибираємо напрями решти реактивних зусиль, що виникають у закладенні: вертикальну реакцію направимо, наприклад, вниз, а момент – протягом годинної стрілки. Їх значення визначаємо з рівнянь статики:

Складаючи ці рівняння, вважаємо момент позитивним при обертанні проти ходу годинникової стрілки, а проекцію позитивної сили, якщо її напрямок збігається з позитивним напрямом осі y.

З першого рівняння знаходимо момент у закладенні:

З другого рівняння – вертикальну реакцію:

Отримані нами позитивні значення для моменту та вертикальної реакції у закладенні свідчать про те, що ми вгадали їхні напрямки.

Відповідно до характеру закріплення та навантаження балки, розбиваємо її довжину на дві ділянки. По межах кожної з цих ділянок намітимо чотири поперечні перерізи (див. рис. 3.12), в яких ми і будемо методом перерізів (РОЗУ) обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів.

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Замінимо її дію на ліву частину , що залишилася , що перерізує силою і згинальним моментом . Для зручності обчислення їх значень закриємо відкинуту нами праву частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка з перерізом, що розглядається.

Нагадаємо, що сила, що перерізує, що виникає в будь-якому поперечному перерізі, повинна врівноважити всі зовнішні сили (активні і реактивні), які діють на частину балки, що розглядається (тобто видиму) нами. Тому сила, що перерізує, повинна дорівнювати алгебраїчній сумі всіх сил, які ми бачимо.

Наведемо і правило знаків для сили, що перерізує: зовнішня сила, що діє на розглянуту частину балки і прагне «повернути» цю частину щодо перерізу по ходу годинної стрілки, викликає в перерізі позитивну перерізуючу силу. Така зовнішня сила входить у суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

У нашому випадку ми бачимо лише реакцію опори, яка обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (щодо краю аркуша паперу) проти перебігу годинникової стрілки. Тому

кн.

Згинальний момент у будь-якому перерізі повинен урівноважити момент, створюваний видимими нами зовнішніми зусиллями, щодо перерізу, що розглядається. Отже, він дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які діють на частину балки, що розглядається нами, щодо аналізованого перерізу (іншими словами, щодо краю листка паперу). При цьому зовнішнє навантаження, що згинає розглянуту частину балки опуклістю вниз, викликає в перерізі позитивний згинальний момент. І момент, створюваний таким навантаженням, входить в суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

Ми бачимо два зусилля: реакцію та момент у закладенні. Однак у сили плече щодо перерізу 1 дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Знак «плюс» нами взятий тому, що реактивний момент згинає видиму частину балки опуклістю вниз.

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер, на відміну першого перетину, у сили з'явилося плече: м. Тому

кН; кН·м.

Перетин 3. Закриваючи праву частину балки, знайдемо

кН;

Перетин 4. Закриємо листком ліву частину балки. Тоді

кН·м.

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.12, б) і згинальних моментів (рис. 3.12, в).

Під незавантаженими ділянками епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по похилій прямій вгору. Під опорною реакцією на епюрі є стрибок вниз величину цієї реакції, тобто на 40 кН.

На епюрі згинальних моментів ми бачимо злам під опорною реакцією. Кут зламу спрямований назустріч реакції опори. Під розподіленим навантаженням q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, в цьому місці проходить тут через нульове значення.

Визначаємо необхідний діаметр поперечного перерізу балки

Умова міцності за нормальними напругами має вигляд:

де - момент опору балки при згинанні. Для балки круглого поперечного перерізу він дорівнює:

Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент виникає в третьому перерізі балки: кН · див.

Тоді необхідний діаметр балки визначається за формулою

див.

Приймаємо мм. Тоді

кН/см2 кН/см2.

«Перенапруження» складає

що допускається.

Перевіряємо міцність балки за найбільшою дотичною напругою

Найбільші дотичні напруги, що виникають у поперечному перерізі балки круглого перерізу, обчислюються за формулою

де - Площа поперечного перерізу.

Згідно з епюрою, найбільше за величиною алгебри значення перерізуючої сили дорівнює кн. Тоді

кН/см2 кН/см2

тобто умова міцності і з дотичних напруг виконується, причому, з великим запасом.

Приклад розв'язання задачі "прямий поперечний вигин" №2

Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин

Для шарнірно опертої балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м, зосередженою силою кН і зосередженим моментом кН·м (рис. 3.13), потрібно побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів і підібрати балку двотаврового поперечного перерізу при допусканому нормальному допустимій дотичній напрузі кН/см2. Проліт балки м.

Приклад завдання на прямий вигин – розрахункова схема

Мал. 3.13

Розв'язання прикладу задачі на прямий вигин

Визначаємо опорні реакції

Для заданої шарнірно опертої балки необхідно знайти три опорні реакції: , і . Оскільки на балку діють лише вертикальні навантаження, перпендикулярні до осі, горизонтальна реакція нерухомої шарнірної опори A дорівнює нулю: .

Напрямки вертикальних реакцій і вибираємо довільно. Направимо, наприклад, обидві вертикальні реакції вгору. Для обчислення їх значень складемо два рівняння статики:

Нагадаємо, що рівнодіюча погонної навантаження , рівномірно розподіленої на ділянці довжиною l, дорівнює , тобто дорівнює площі епюри цього навантаження і прикладена вона в центрі тяжкості цієї епюри, тобто посередині довжини.

;

кн.

Робимо перевірку: .

Нагадаємо, що сили, напрямок яких збігається з позитивним напрямком осі y, проектуються (проектуються) на цю вісь зі знаком плюс:

тобто вірно.

Будуємо епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів

Розбиваємо довжину балки окремі ділянки. Межами цих ділянок є точки докладання зосереджених зусиль (активних та/або реактивних), а також точки, що відповідають початку та закінченню дії розподіленого навантаження. Таких ділянок у нашому завданні виходить три. По межах цих ділянок намітимо шість поперечних перерізів, в яких ми і будемо обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів (рис. 3.13, а).

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Для зручності обчислення сили, що перерізує, і згинального моменту , що виникають у цьому перерізі, закриємо відкинуту нами частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка паперу з самим перетином.

Перерізувальна сила в перерізі балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил (активних і реактивних), які ми бачимо. У разі ми бачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малої довжині. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кн.

Знак «плюс» взятий тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (краю листка паперу) протягом годинної стрілки.

Згинальний момент у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо, щодо розглянутого перерізу (тобто щодо краю листка паперу). Ми бачимо реакцію опори та погонне навантаження q, розподілене на нескінченно малій довжині. Однак у сили плече дорівнює нулю. Рівнодія погонного навантаження також дорівнює нулю. Тому

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер ми бачимо реакцію та навантаження q, що діє на ділянці завдовжки . Рівнодія погонного навантаження дорівнює. Вона прикладена посередині ділянки завдовжки. Тому

Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частину балки від усіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би защемленою в розрізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки є жорстким закладенням).

Перетин 3. Закриємо праву частину. Отримаємо

Перетин 4. Закриваємо листком праву частину балки. Тоді

Тепер для контролю правильності обчислень закриємо листком паперу ліву частину балки. Ми бачимо зосереджену силу P, реакцію правої опори та погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малу довжину. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Тобто все правильно.

Перетин 5. Як і раніше, закриємо ліву частину балки. Будемо мати

кН;

кН·м.

Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. Отримаємо

кН;

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.13, б) і згинальних моментів (рис. 3.13, в).

Переконуємося в тому, що під незавантаженою ділянкою епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по прямій, що має нахил вниз. На епюрі є три стрибки: під реакцією - на 37,5 кН, під реакцією - на 132,5 кН і під силою P - вниз на 50 кН.

На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням інтенсивністю q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. Під зосередженим моментом – стрибок на 60 кН · м, тобто величину самого моменту. У перерізі 7 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, для цього перерізу проходить через нульове значення (). Визначимо відстань від перерізу 7 до лівої опори.

Балка є основним елементом несучої конструкції споруди. При будівництві важливо провести розрахунок прогину балки. У реальному будівництві на даний елемент діє сила вітру, навантаження та вібрації. Однак при виконанні розрахунків прийнято брати до уваги лише поперечне навантаження або проведене навантаження, яке еквівалентне поперечному.

Балки у будинку

При розрахунку балка сприймається як жорстко закріплений стрижень, який встановлюється двома опорах. Якщо вона встановлюється на трьох і більше опорах, розрахунок її прогину є складнішим і провести його самостійно практично неможливо. Основне навантаження розраховується як сума сил, що діють у напрямку перпендикулярного перерізу конструкції. Розрахункова схема потрібна для визначення максимальної деформації, яка не повинна бути вищою за граничні значення. Це дозволить визначити оптимальний матеріал необхідного розміру, перерізу, гнучкості та інших показників.

Для будівництва різних споруд застосовуються балки із міцних та довговічних матеріалів. Такі конструкції можуть відрізнятися за довжиною, формою та перерізом. Найчастіше використовуються дерев'яні та металеві конструкції. Для розрахункової схеми прогину велике значення має елемент елемента. Особливість розрахунку прогину балки в даному випадку залежатиме від однорідності та структури її матеріалу.

Дерев'яні

Для будівництва приватних будинків, дач та іншого індивідуального будівництва найчастіше використовуються дерев'яні балки. Дерев'яні конструкції, що працюють на вигин, можуть використовуватися для стельових та підлогових перекриттів.

Дерев'яні перекриття

Для розрахунку максимального прогину слід враховувати:

Матеріал. Різні породи дерева мають різний показник міцності, твердості та гнучкості.
Форма поперечного перерізу та інші геометричні характеристики.
Різні види навантаження на матеріал.

Допустимий прогин балки враховує максимальний реальний прогин, а також можливі додаткові експлуатаційні навантаження.

Конструкції з деревини хвойних порід

Сталеві

Металеві балки відрізняються складним або навіть складеним перетином і найчастіше виготовляються з кількох видів металу. При розрахунку таких конструкцій потрібно враховувати як їх жорсткість, а й міцність з'єднань.

Сталеві перекриття

Металеві конструкції виготовляються шляхом з'єднання кількох видів металопрокату, використовуючи при цьому такі види сполук:

електрозварювання;
заклепки;
болти, гвинти та інші види різьбових з'єднань.

Сталеві балки найчастіше застосовуються для багатоповерхових будинків та інших видів будівництва, де потрібна висока міцність конструкції. В даному випадку при використанні якісних з'єднань гарантується рівномірно розподілене навантаження на балку.

Для проведення розрахунку балки на прогин може допомогти відео:

Міцність та жорсткість балки

Щоб забезпечити міцність, довговічність та безпеку конструкції, необхідно виконувати обчислення величини прогину балок ще на етапі проектування споруди. Тому дуже важливо знати максимальний прогин балки, формула якого допоможе скласти висновок про можливість застосування певної будівельної конструкції.

Використання розрахункової схеми жорсткості дозволяє визначити максимальні зміни геометрії деталі. Розрахунок конструкції за дослідними формулами не завжди ефективний. Рекомендується використовувати додаткові коефіцієнти, що дозволяють додати потрібний запас міцності. Не залишати додатковий запас міцності – одна з основних помилок будівництва, що призводить до неможливості експлуатації будівлі чи навіть тяжких наслідків.

Існує два основних методи розрахунку міцності та жорсткості:

Простий. З використанням цього методу застосовується збільшувальний коефіцієнт.
Точний. Даний метод включає використання не тільки коефіцієнтів для запасу міцності, але і додаткові обчислення прикордонного стану.

Останній метод є найточнішим і достовірнішим, адже саме він допомагає визначити, яке саме навантаження зможе витримати балка.

Розрахунок балок на прогин

Розрахунок на жорсткість

Для розрахунку міцності балки на вигин застосовується формула:

M – максимальний момент, що виникає у балці;

W n,min – момент опору перерізу, що є табличною величиною чи визначається окремо кожному за виду профілю.

R y є розрахунковим опором сталі при згинанні. Залежить від виду сталі.

γ c є коефіцієнтом умов роботи, який є табличною величиною.

Розрахунок жорсткості чи величини прогину балки досить простим, тому розрахунки може здійснити навіть недосвідчений будівельник. Однак для точного визначення максимального прогину необхідно виконати такі дії:

Упорядкування розрахункової схеми об'єкта.
Розрахунок розмірів балки та її перерізу.
Обчислення максимального навантаження, що впливає на балку.
Визначення точки застосування максимального навантаження.
Додатково балка може бути перевірена на міцність за максимальним згинальним моментом.
Обчислення значення жорсткості або максимально прогинання балки.

Щоб скласти розрахункову схему, потрібні такі дані:

розміри балки, довжину консолей та проліт між ними;
розмір та форму поперечного перерізу;
особливості навантаження на конструкцію та точно її застосування;
матеріал та його властивості.

Якщо проводиться розрахунок двоопорної балки, то одна опора вважається жорсткою, а друга шарнірною.

Розрахунок моментів інерції та опору перерізу

Для виконання розрахунків жорсткості знадобиться значення момент інерції перерізу (J) та моменту опору (W). Для розрахунку моменту опору перерізу найкраще скористатися формулою:

Важливою характеристикою щодо моменту інерції і опору перерізу є орієнтація перерізу в площині розрізу. При збільшенні моменту інерції збільшується показник жорсткості.

Визначення максимального навантаження та прогину

Для точного визначення прогину балки, найкраще застосовувати цю формулу:

q є рівномірно-розподіленим навантаженням;

E – модуль пружності, що є табличною величиною;

l - Довжина;

I – момент інерції перерізу.

Щоб розрахувати максимальне навантаження, слід враховувати статичні та періодичні навантаження. Наприклад, якщо йдеться про двоповерхову споруду, то на дерев'яну балку постійно діятиме навантаження від її ваги, техніки, людей.

Особливості розрахунку на прогин

Розрахунок на прогин проводиться обов'язково для будь-яких перекриттів. Дуже важливим є точний розрахунок цього показника при значних зовнішніх навантаженнях. Складні формули у разі використовувати необов'язково. Якщо використовувати відповідні коефіцієнти, то обчислення можна звести до простих схем:

Стрижень, який спирається на одну жорстку та одну шарнірну опору, та сприймає зосереджене навантаження.
Стрижень, що спирається на жорстку та шарнірну опору, і при цьому на нього діє розподілене навантаження.
Варіанти навантаження консольного стрижня, який закріплений жорстко.
Дія на конструкцію складного навантаження.

Застосування цього обчислення прогину дозволяє не враховувати матеріал. Тому на розрахунки не впливають значення основних характеристик.

Приклад підрахунку прогину

Щоб зрозуміти процес розрахунку жорсткості балки та її максимального прогину, можна використати простий приклад проведення розрахунків. Цей розрахунок проводиться для балки з такими характеристиками:

матеріал виготовлення – деревина;
щільність складає 600 кг/м3;
довжина складає 4 м;
переріз матеріалу складає 150*200 мм;
маса елементів, що перекривають, становить 60 кг/м²;
максимальне навантаження конструкції складає 249 кг/м;
гнучкість матеріалу становить 100 000 кгс/м²;
J дорівнює 10 кг * м ².

Для обчислення максимального припустимого навантаження враховується вага балки, перекриттів та опор. Рекомендується також врахувати вагу меблів, приладів, оздоблення, людей та інших важких речей, які також впливатимуть на конструкцію. Для розрахунку знадобляться такі дані:

вага одного метра балки;
вага м2 перекриття;
відстань, що залишається між балками;

Щоб попросити розрахунок цього прикладу, можна прийняти масу перекриття за 60 кг/м², навантаження на кожне перекриття за 250 кг/м², навантаження на перегородки 75 кг/м², а вага метра балки дорівнює 18 кг. При відстані між балками 60 см, коефіцієнт k дорівнюватиме 0,6.

Якщо підставити всі ці значення формулу, то вийде:

q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Для розрахунку згинального моменту слід скористатися формулою f = (5/384)*[(qn*L4)/(E*J)]£[|].

Підставивши в неї дані, виходить f = (5/384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0 , 13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063748 = 0,13020833

Саме це і є показником прогину при дії на балку максимального навантаження. Дані розрахунки показують, що при дії на неї максимального навантаження, вона прогнеться на 0,83 см. Якщо цей показник менший за 1, то її використання при зазначених навантаженнях допускається.

Використання таких обчислень є універсальним способом обчислення жорсткості конструкції та величини їх прогинання. Самостійно обчислити ці величини досить легко. Достатньо знати необхідні формули, а також вирахувати величини. Деякі дані потрібно взяти в таблиці. Під час проведення обчислень дуже важливо приділяти увагу одиницям виміру. Якщо у формулі величина стоїть за метри, її потрібно перевести у такий вид. Такі звичайні помилки можуть зробити розрахунки марними. Для обчислення жорсткості та максимального прогину балки достатньо знати основні характеристики та розміри матеріалу. Ці дані слід підставити до кількох простих формул.

Завдання. Побудувати епюри Q та M для статично невизначеної балки.Обчислимо балки за формулою:

n= Σ R- Ш— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один разстатично невизначена, значить одназ реакцій є «зайвої» невідомої. За «зайву» невідому приймемо реакцію опори У — R В.

Статично визначна балка, яка виходить із заданим шляхом видалення «зайвого» зв'язку називається основною системою (Б).

Тепер цю систему слід подати еквівалентноїзаданою. Для цього завантажуємо основну систему заданоюнавантаженням, а в точці У докладемо «зайву» реакцію R В(Мал. в).

Однак для еквівалентностіцього недостатньо, оскільки в такій балці точка У може переміщатися по вертикалі, а заданій балці (рис. а ) такого статися не може. Тому додаємо умова, що прогин т. Ув основній системі повинен дорівнювати 0. Прогин т.п. У складається з прогину від чинного навантаження Δ F і от прогину від «зайвої» реакції Δ R.

Тоді складаємо умова спільності переміщень:

Δ F + Δ R=0 (1)

Тепер залишається обчислити ці переміщення (прогини).

Завантажуємо основнусистему заданим навантаженням(Мал .г) і збудуємо вантажну епюруМ F (Мал. д ).

У т. У прикладемо і побудуємо еп. (Мал. е, ж ).

За формулою Сімпсона визначимо прогин від чинного навантаження.

Тепер визначимо прогин від дії «зайвої» реакції R В , для цього завантажуємо основну систему R В (Мал. з ) і будуємо епюру моментів від її дії М R (Мал. і ).

Складаємо та вирішуємо рівняння (1):

Побудуємо еп. Q і М (Мал. до,л ).

Будуємо епюру Q.

Побудуємо епюру М методом характерних точок. Розставляємо крапки на балці - це точки початку і кінця балки ( D,A ), зосередженого моменту ( B ), а також відзначимо як характерну точку середину рівномірно розподіленого навантаження ( K ) - це додаткова точка для побудови параболічної кривої.

Визначаємо згинальні моменти в точках. Правило знаківдив. - .

Момент у т.ч. У визначатимемо так. Спочатку визначимо:

Крапку До візьмемо до серединіділянки з рівномірно розподіленим навантаженням.

Будуємо епюру M . Ділянка АВ – параболічна крива(правило «парасолька»), ділянка ВD – пряма похила лінія.

Для балки визначити опорні реакції та побудувати епюри згинальних моментів ( М) та поперечних сил ( Q).

Позначаємо опорилітерами А і У і спрямовуємо опорні реакції R А і R В .

Складаємо рівняння рівноваги.

Перевірка

Записуємо значення R А і R В на розрахункову схему.

2. Побудова епюри поперечних силметодом перерізів. Перетини розставляємо на характерних ділянках(Між змінами). По розмірній нитці – 4 ділянки, 4 перерізи.

січ. 1-1 хід зліва.

Перетин проходить дільницею з рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 1 вліво від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 2м. Правило знаківдля Q - Див.

Будуємо за знайденим значенням епюруQ.

січ. 2-2 хід праворуч.

Перетин знову проходить ділянкою рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 2 праворуч від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 6м.

Будуємо епюру Q.

січ. 3-3 хід праворуч.

січ. 4-4 хід праворуч.

Будуємо епюруQ.

3. Побудова епюри Мметодом характерних точок.

Характерна точка- Крапка, яка-небудь помітна на балці. Це точки А, У, З, D , а також точка До , в якій Q=0 і згинальний момент має екстремум. також в серединіконсолі поставимо додаткову точку Е, оскільки на цій ділянці під рівномірно розподіленим навантаженням епюру Мописується кривийлінією, а вона будується, як мінімум, по 3 точкам.

Отже, точки розставлені, приступаємо до визначення в них значень згинальних моментів. Правило знаків – див..

Ділянки NA, AD – параболічна крива(правило «парасолька» у механічних спеціальностей або «правило вітрила» у будівельних), ділянки DС, СВ – прямі похилі лінії.

Момент у точці D слід визначати як ліворуч, так і праворучвід крапки D . Сам момент у ці висловлювання не входить. У точці D отримаємо двазначення з різницеюна величину m – стрибокз його величину.

Тепер слід визначити момент у точці До (Q=0). Однак спочатку визначимо положення точки До , позначивши відстань від неї до початку ділянки невідомою х .

Т. До належить другомухарактерною ділянкою, його рівняння для поперечної сили(див. вище)

Але поперечна сила у т.ч. До дорівнює 0 , а z 2 дорівнює невідомому х .

Отримуємо рівняння:

Тепер, знаючи х, визначимо момент у точці До з правого боку.

Будуємо епюру М . Побудову виконаємо для механічнихспеціальностей, відкладаючи позитивні значення вгорувід нульової лінії та використовуючи правило «парасольки».

Для заданої схеми консольної балки потрібно побудувати епюри поперечної сили Q і моменту, що згинає M, виконати проектувальний розрахунок, підібравши круглий переріз.

Матеріал - дерево, розрахунковий опір матеріалу R = 10МПа, М = 14кН · м, q = 8кН / м

Будувати епюри в консольній балці з жорстким закладенням можна двома способами - звичайним, попередньо визначивши опорні реакції, і без визначення опорних реакцій, якщо розглядати ділянки, йдучи від вільного кінця балки і відкидаючи ліву частину із закладенням. Побудуємо епюри звичайнимспособом.

1. Визначимо опорні реакції.

Поступово розподілене навантаження qзамінимо умовною силою Q= q·0,84=6,72 кН

У жорсткому закладенні три опорні реакції — вертикальна, горизонтальна і момент, у разі горизонтальна реакція дорівнює 0.

Знайдемо вертикальнуреакцію опори R Aі опорний момент М Aіз рівнянь рівноваги.

На перших двох ділянках праворуч поперечна сила відсутня. На початку ділянки з рівномірно розподіленим навантаженням (праворуч) Q=0, в затишку - величині реакції R A.
3. Для побудови складемо вирази їх визначення на ділянках. Епюру моментів збудуємо на волокнах, тобто. вниз.

(Епюра поодиноких моментів вже була побудована раніше)

Вирішуємо рівняння (1), скорочуємо на EI

Статична невизначеність розкрита, Значення «зайвої» реакції знайдено. Можна приступати до побудови епюр Q та M для статично невизначеної балки... Замальовуємо задану схему балки та вказуємо величину реакції R b. У цій балці реакції в закладенні можна не визначати, якщо йти ходом праворуч.

Побудова епюри Qдля статично невизначеної балки

Будуємо епюру Q.

Побудова епюри М

Визначимо М у точці екстремуму – у точці До. Спочатку визначимо її становище. Позначимо відстань до неї як невідому. х». Тоді

Будуємо епюру М.

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Проектний та перевірочний розрахунки. Для балки з побудованими епюрами внутрішніх зусиль підібрати перетин у вигляді двох швелерів з умови міцності за нормальними напругами. Перевірити міцність балки, використовуючи умову міцності за дотичною напругою та енергетичний критерій міцності. Дано:

Покажемо балку із побудованими епюрами Q і М

Згідно з епюрою згинальних моментів небезпечним є переріз С,в котрому М С = М max = 48,3 кНм.

Умова міцності за нормальними напругамидля даної балки має вигляд max = M C /W X ≤σ adm .Потрібно підібрати перетин із двох швелерів.

Визначимо необхідне розрахункове значення осьового моменту опору перерізу:

Для перерізу у вигляді двох швелерів згідно приймаємо два швелери №20а, момент інерції кожного швелера I x = 1670см 4тоді осьовий момент опору всього перерізу:

Перенапруга (недонапруга)у небезпечних точках порахуємо за формулою: Тоді отримаємо недонапруга:

Тепер перевіримо міцність балки, виходячи з умови міцності щодо дотичних напруг.Згідно епюре поперечних сил небезпечнимиє перерізи на ділянці ВС та переріз D.Як видно з епюри, Q max =48,9 кН.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

Для швелера №20 а: статичний момент площі S x 1 =95,9 см 3 момент інерції перерізу I x 1 =1670 см 4 товщина стінки d 1 =5,2 мм, середня товщина полиці t 1 =9,7 мм , Висота швелера h 1 = 20 см, ширина полиці b 1 = 8 см.

Для поперечного перерізи з двох швелерів:

S x = 2S x 1 = 2 · 95,9 = 191,8 см 3

I x = 2I x 1 = 2 · 1670 = 3340 см 4

b = 2d 1 = 2 · 0,52 = 1,04 см.

Визначаємо значення максимальної дотичної напруги:

Як видно, τ max<τ adm (27МПа)<75МПа).

Отже, умова міцності виконується.

Перевіряємо міцність балки за енергетичним критерієм.

З розгляду епюр Q і Мвипливає, що небезпечним є переріз,в якому діють M C = M max = 48,3 кНм і Q C = Q max = 48,9 кН.

Проведемо аналіз напруженого стану в точках перерізу

Визначимо нормальні та дотичні напругина кількох рівнях (відзначені на схемі перерізу)

Рівень 1-1: y 1-1 = h 1/2 = 20/2 = 10см.

Нормальні та дотичні напруги:

Головні напруги:

Рівень 2−2: y 2-2 = h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Головні напруження:

Рівень 3−3: y 3-3 = h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Нормальні та дотичні напруги: