Метод варіації довільних постійних. Приклади розв'язків. Метод варіації довільної постійної розв'язки лінійних неоднорідних рівнянь

Лекція 44. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних постійних. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами. (спеціальна права частина).

Соціальні перетворення. Держава та церква.

Соціальна політика більшовиків багато в чому диктувалася їх класовим підходом.Декретом від 10 листопада 1917 р. знищено станову систему, скасовано дореволюційні чини, титули та нагороди. Встановлено виборність суддів; проведено секуляризацію цивільних станів. Встановлено безкоштовну освіту та медичне обслуговування(Декрет від 31 жовтня 1918 р.). Жінки зрівнювалися у правах із чоловіками (декрети від 16 та 18 грудня 1917 р.). Декрет про шлюб запроваджував інститут громадянського шлюбу.

Декретом РНК від 20 січня 1918 року церква відокремлена від держави та від системи освіти. Більшість церковного майна конфісковано. Патріарх Московський і всієї Русі Тихін (обраний 5 листопада 1917 року) 19 січня 1918 року зрадив анафемі Радянську владу і закликав до боротьби проти більшовиків.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння другого порядку

Структура загального рішеннятакого рівняння визначається наступною теоремою:

Теорема 1.Загальне рішення не однорідного рівняння(1) подається як сума якогось окремого рішення цього рівняння та загального рішення відповідного однорідного рівняння

(2)

Доведення. Потрібно довести, що сума

Існує загальне рішення рівняння (1). Доведемо спочатку, що функція (3) є рішенням рівняння (1).

Підставляючи суму в рівняння (1) замість у, будемо мати

Оскільки є рішення рівняння (2), то вираз, що стоїть у перших дужках, тотожно дорівнює нулю. Оскільки є рішення рівняння (1), то вираз, що стоїть у других дужках, дорівнює f(x). Отже, рівність (4) є тотожністю. Отже, першу частину теореми доведено.

Доведемо друге твердження: вираз (3) є загальнерозв'язання рівняння (1). Ми повинні довести, що довільні постійні, що входять до цього виразу, можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:

(5)

які б не були числа х 0 , y 0і (аби х 0було взято з тієї галузі, де функції а 1 , а 2і f(x)безперервні).

Помітивши, що можна уявити у формі . Тоді на підставі умов (5) матимемо

Вирішимо цю систему і визначимо З 1і З 2. Перепишемо систему у вигляді:

(6)

Зауважимо, що визначник цієї системи є визначником Вронського для функцій у 1і у 2у точці х = х 0. Оскільки ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже система (6) має певне рішення З 1і З 2, тобто. існують такі значення З 1і З 2, За яких формула (3) визначає рішення рівняння (1), що задовольняє цим початковим умовам. Що й потрібно було довести.

Перейдемо до загальному методузнаходження приватних розв'язків неоднорідного рівняння.

Напишемо загальне рішення однорідного рівняння (2)

. (7)

Шукатимемо приватне рішення неоднорідного рівняння (1) у формі (7), розглядаючи З 1і З 2як деякі поки невідомі функції від х.

Продиференціюємо рівність (7):

Підберемо потрібні функції З 1і З 2так, щоб виконувалася рівність

. (8)

Якщо врахувати це додаткова умова, то перша похідна набуде вигляду

.

Диференціюючи тепер це вираз, знайдемо:

Підставляючи в рівняння (1), отримаємо

Вирази, що стоять у перших двох дужках, звертаються в нуль, оскільки y 1і y 2- Рішення однорідного рівняння. Отже, остання рівність набуває вигляду

. (9)

Таким чином, функція (7) буде вирішенням неоднорідного рівняння (1) у тому випадку, якщо функції З 1і З 2задовольняють рівнянням (8) та (9). Складемо систему рівнянь із рівнянь (8) та (9).

Оскільки визначником цієї системи є визначник Вронського для лінійно незалежних рішень y 1і y 2рівняння (2), він не дорівнює нулю. Отже, вирішуючи систему, ми знайдемо як певні функціївід х.

Звернемося до розгляду лінійних неоднорідних диференціальних рівняньвиду

де - потрібна функція аргументу , а функції



задані та безперервні на деякому інтервалі
.

Введемо на розгляд лінійне однорідне рівняння, ліва частинаякого збігається з лівою частиною неоднорідного рівняння (2.31),

Рівняння виду (2.32) називають однорідним рівнянням, що відповідає неоднорідному рівнянню (2.31).

Наявна наступна теорема про структуру загального рішення неоднорідного лінійного рівняння (2.31).

Теорема 2.6.Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (2.31) у сфері

є сума будь-якого його приватного рішення та загального рішення відповідного однорідного рівняння (2.32) у сфері (2.33), тобто.

де - приватне рішення рівняння (2.31),
- фундаментальна системарозв'язків однорідного рівняння (2.32), а
- Довільні постійні.

Доказ цієї теореми Ви знайдете у .

На прикладі диференціального рівняння другого порядку викладемо спосіб, з якого можна визначити приватне рішення лінійного неоднорідного рівняння. Цей метод називають методом Лагранжа варіації довільних постійних.

Отже, нехай дано неоднорідне лінійне рівняння

(2.35)

де коефіцієнти
та права частина
безперервні в деякому інтервалі
.

Позначимо через
і
фундаментальну систему розв'язків однорідного рівняння

(2.36)

Тоді його загальне рішення має вигляд

(2.37)

де і - Довільні постійні.

Шукатимемо рішення рівняння (2.35) у такому ж вигляді , як і загальне рішення відповідного однорідного рівняння, замінюючи довільні постійні деякими функціями, що диференціюються від (варіюємо довільні постійні),тобто.

де
і
- Деякі диференційовані функції від , які поки що невідомі і які спробуємо визначити так, щоб функція (2.38) була б рішенням неоднорідного рівняння (2.35). Диференціюючи обидві частини рівності (2.38), отримаємо

Щоб при обчисленні не з'явилися похідні другого порядку від
і
, вимагатимемо, щоб усюди в
виконувалася умова

Тоді для будемо мати

Обчислимо другу похідну

Підставляючи вирази для ,,з (2.38), (2.40), (2.41) до рівняння (2.35), отримаємо

Вирази, що стоять у квадратних дужках, дорівнюють нулю всюди
, так як і - Приватні рішення рівняння (2.36). При цьому (2.42) набере вигляд Об'єднуючи цю умову з умовою (2.39), отримаємо систему рівнянь для визначення
і

(2.43)

Остання система є системою двох алгебраїчних лінійних неоднорідних рівнянь щодо
і
. Визначником цієї системи є визначник Вронського для фундаментальної системи рішень ,і, отже, відмінний від нуля всюди
. Це означає, що система (2.43) має єдине рішення. Вирішивши її будь-яким способом щодо
,
знайдемо

де
і
- Відомі функції.

Виконуючи інтегрування та враховуючи, що як
,
слід брати одну якусь пару функцій, покладемо постійні інтегрування рівними нулю. Отримаємо

Підставивши вирази (2.44) у співвідношення (2.38), зможемо записати шукане рішення неоднорідного рівняння (2.35) у вигляді

Цей метод можна узагальнити для знаходження приватного розв'язання лінійного неоднорідного рівняння -го порядку.

Приклад 2.6. Вирішити рівняння
при
якщо функції

утворюють фундаментальну систему розв'язків відповідного однорідного рівняння.

Знайдемо окреме рішення даного рівняння. Для цього згідно з методом Лагранжа слід спочатку вирішити систему (2.43), яка в нашому випадку має вигляд
Скоротивши обидві частини кожного з рівнянь на отримаємо

Віднімаючи почленно з другого рівняння перше, знайдемо
а тоді з першого рівняння випливає
Виконуючи інтегрування і вважаючи постійні інтегрування рівними нулю, матимемо

Приватне рішення даного рівняння можна подати у вигляді

Загальне рішення даного рівняння має вигляд

де і - Довільні постійні.

Зазначимо, нарешті, одну чудову властивість, яку часто називають принципом накладання рішень та описують наступною теоремою.

Теорема 2.7.Якщо на проміжку
функція
- приватне рішення рівняння функція
приватне рішення рівняння на цьому ж проміжку функція
є приватне рішення рівняння

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку:
(1) .
Існує три способи розв'язання цього рівняння:

• метод постійної варіації (Лагранжа).

Розглянемо рішення лінійного диференціального рівняння першого ладу методом Лагранжа.

Метод варіації постійної (Лагранжа)

У методі постійної варіації ми вирішуємо рівняння в два етапи. На першому етапі ми спрощуємо вихідне рівняння та вирішуємо однорідне рівняння. З другого краю етапі замінимо постійну інтегрування, отриману першої стадії рішення, на функцію. Після цього шукаємо загальне рішення вихідного рівняння.

Розглянемо рівняння:
(1)

Крок 1 Розв'язання однорідного рівняння

Шукаємо рішення однорідного рівняння:

Це рівняння з змінними, що розділяються

Розділяємо змінні - множимо на dx, ділимо на y:

Інтегруємо:

Інтеграл по y-табличний:

Тоді

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та приберемо знак модуля, що зводиться до множення на постійну ±1, яку включимо в C:

Крок 2 Замінимо постійну C на функцію

Тепер замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)
Тобто, шукатимемо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(2)
Знаходимо похідну.

За правилом диференціювання складної функції:
.
За правилом диференціювання твору:

.
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
(1) ;

.
Два члени скорочуються:
;
.
Інтегруємо:
.
Підставляємо в (2) :
.
В результаті одержуємо загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку:
.

Приклад розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку методом Лагранжа

Вирішити рівняння

Рішення

Вирішуємо однорідне рівняння:

Розділяємо змінні:

Помножимо на:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні:

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та прибираємо знаки модуля:

Звідси:

Замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)

Знаходимо похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння:
;
;
Або:
;
.
Інтегруємо:
;
Вирішення рівняння:
.

Метод варіації довільних постійних застосовується на вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. Цей урок призначений для студентів, які вже більш-менш добре орієнтуються в темі. Якщо ви тільки починаєте знайомитися з ДК, тобто. є чайником, то рекомендую почати з першого уроку: Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади рішень. А якщо вже закінчуєте, будь ласка, відкиньте можливу упереджену думку, що метод складний. Тому що він простий.

У яких випадках застосовують метод варіації довільних постійних?

1) Метод варіації довільної постійної можна використовувати при вирішенні лінійного неоднорідного ДК 1-го порядку. Якщо рівняння першого порядку, те й стала (константа) теж одна.

2) Метод варіації довільних постійних використовують для вирішення деяких лінійних неоднорідних рівняньдругого порядку. Тут варіюються дві постійні (константи).

Логічно припустити, що урок складатиметься з двох параграфів. Ось написав цю пропозицію, і хвилин 10 болісно думав, яку б ще розумну хрень додати для плавного переходу до практичним прикладам. Але чомусь думок після свят немає жодних, хоча ніби й не зловживав нічим. Тому одразу візьмемося за перший параграф.

Метод варіації довільної постійної
для лінійного неоднорідного рівняння першого порядку

Перед розглядом методу варіації довільної постійної бажано бути знайомим із статтею Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. На тому уроці ми відпрацьовували перший спосіб вирішеннянеоднорідного ДК 1-го порядку. Цей перший спосіб вирішення, нагадую, називається метод заміниабо метод Бернуллі(не плутати з рівнянням Бернуллі!!!)

Зараз ми розглянемо другий спосіб вирішення– метод варіації довільної постійної. Я наведу лише три приклади, причому візьму їх із вищезгаданого уроку. Чому так мало? Тому що насправді рішення другим способом буде дуже схожим на рішення першим способом. Крім того, за моїми спостереженнями, метод варіації довільних постійних застосовується рідше за метод заміни.

Приклад 1

(Діффур з Прімера №2 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Дане рівняння є лінійним неоднорідним і має знайомий вигляд:

На першому етапі необхідно вирішити просте рівняння:
Тобто тупо обнулюємо праву частину – замість пишемо нуль.
Рівняння Я буду називати допоміжним рівнянням.

У даному прикладіпотрібно вирішити наступне допоміжне рівняння:

Перед нами рівняння з змінними, що розділяються, Рішення якого (сподіваюся) вже не представляє для вас складнощів:

Таким чином:
- Загальне рішення допоміжного рівняння.

На другому кроці замінимоконстанту деякою поки щеневідомою функцією, яка залежить від «ікс»:

Звідси і назва методу – варіюємо константу. Як варіант, константа може бути деякою функцією, яку нам належить зараз знайти.

У вихідномунеоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Підставимо і у рівняння :

Контрольний момент – два доданки в лівій частині скорочуються. Якщо цього немає, слід шукати помилку вище.

В результаті заміни отримано рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні та інтегруємо.

Яка благодать, експоненти також скорочуються:

До знайденої функції приплюсовуємо «нормальну» константу:

на заключному етапізгадуємо про нашу заміну:

Функцію щойно знайдено!

Таким чином, загальне рішення:

Відповідь:загальне рішення:

Якщо ви роздрукуєте два способи рішення, то легко помітите, що в обох випадках ми знаходили ті самі інтеграли. Відмінність лише алгоритмі решения.

Тепер щось складніше, другий приклад я теж прокоментую:

Приклад 2

Знайти загальне рішення диференціального рівняння
(Діффур з Прімера №8 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)

Рішення:Наведемо рівняння до виду :

Обнулимо праву частину та вирішимо допоміжне рівняння:

Загальне рішення допоміжного рівняння:

У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

За правилом диференціювання твору:

Підставимо і у вихідне неоднорідне рівняння:

Два складові в лівій частині скорочуються, значить, ми на вірному шляху:

Інтегруємо частинами. Смачна буква з формули інтегрування частинами у нас вже задіяна у рішенні, тому використовуємо, наприклад, букви «а» і «бе»:

Тепер згадуємо проведену заміну:

Відповідь:загальне рішення:

І один приклад для самостійного рішення:

Приклад 3

Знайти окреме рішення диференціального рівняння, що відповідає заданій початковій умові.

,
(Діффур з Прімера №4 уроку Лінійні неоднорідні ДК 1-го порядку)
Рішення:
Дане ДК є лінійним неоднорідним. Використовуємо метод варіації довільних постійних. Вирішимо допоміжне рівняння:

Розділяємо змінні та інтегруємо:

Загальне рішення:
У неоднорідному рівнянні проведемо заміну:

Виконаємо підстановку:

Таким чином, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові:

Відповідь:приватне рішення:

Рішення наприкінці уроку може бути зразкомдля чистового оформленнязавдання.

Метод варіації довільних постійних
для лінійного неоднорідного рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами

Часто доводилося чути думку, що метод варіації довільних постійних рівняння другого порядку – штука не з легких. Але я припускаю наступне: швидше за все, метод багатьом здається важким, оскільки зустрічається не так часто. А насправді особливих складнощів немає – перебіг рішення чіткий, прозорий, зрозумілий. І красивий.

Для освоєння методу бажано вміти розв'язувати неоднорідні рівняння другого порядку способом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Цей спосібдокладно розглянуто у статті Неоднорідні ДК 2-го порядку. Згадуємо, що лінійне неоднорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:

Метод підбору, який розглядався на згаданому вище уроці, проходить лише в обмеженому ряді випадків, коли в правій частині знаходяться багаточлени, експоненти, синуси, косинуси. Але що робити, коли справа, наприклад, дріб, логарифм, тангенс? У такій ситуації на допомогу таки приходить метод варіації постійних.

Приклад 4

Знайти загальне рішення диференціального рівняння другого порядку

Рішення:У правій частині даного рівняння знаходиться дріб, тому одразу можна сказати, що метод підбору приватного рішення не прокочує. Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Ніщо не віщує грози, початок рішення цілком звичайне:

Знайдемо загальне рішеннявідповідного однорідногорівняння:

Складемо і вирішимо характеристичне рівняння:


– отримано пов'язане комплексне коріння, тому загальне рішення:

Зверніть увагу на запис загального рішення – якщо є дужки, їх розкриваємо.

Тепер робимо практично той же трюк, що і для рівняння першого порядку: варіюємо константи, замінюючи їх невідомими функціями. Тобто, загальне рішення неоднорідногорівняння шукатимемо у вигляді:

Де – поки щеневідомі функції.

Схоже на звалище побутових відходів, Але зараз все розсортуємо.

Як невідомі виступають похідні функцій. Наша мета – знайти похідні, причому знайдені похідні повинні задовольняти і першому та другому рівнянню системи.

Звідки беруться "ігреки"? Їх приносить лелека. Дивимося на отримане раніше загальне рішення та записуємо:

Знайдемо похідні:

Із лівими частинами розібралися. Що праворуч?

– це права частина вихідного рівняння, даному випадку:

Коефіцієнт – це коефіцієнт при другій похідній:

Насправді майже завжди, і наш приклад не виняток.

Все прояснилося, тепер можна скласти систему:

Систему зазвичай вирішують за формулами Крамера, використовуючи стандартний алгоритм. Єдина відмінність полягає в тому, що замість чисел ми маємо функції.

Знайдемо головний визначник системи:

Якщо забули, як розкривається визначник «два на два», зверніться до уроку Як визначити обчислювач?Посилання веде на дошку ганьби =)

Отже, значить, система має єдине рішення.

Знаходимо похідну:

Але це ще не все, поки ми знайшли лише похідну.
Сама функція відновлюється інтегруванням:

Розбираємось з другою функцією:

Тут додаємо «нормальну» константу

На заключному етапі рішення згадуємо, як ми шукали загальне рішення неоднорідного рівняння? В такому:

Потрібні функції щойно знайдені!

Залишилося виконати підстановку та записати відповідь:

Відповідь:загальне рішення:

У принципі, у відповіді можна було розкрити дужки.

Повна перевірка відповіді виконується за стандартною схемою, яка розглядалася на уроці Неоднорідні ДК 2-го порядку. Але перевірка буде непростою, оскільки має знаходити досить важкі похідні та проводити громіздку підстановку. Це неприємна особливість, коли ви вирішуєте такі дифури.

Приклад 5

Розв'язати диференціальне рівняння методом варіації довільних постійних

Це приклад самостійного рішення. Насправді у правій частині теж дріб. Згадуємо тригонометричну формулу, її, до речі, необхідно буде застосувати у процесі рішення.

Метод варіації довільних постійних - найбільш універсальний метод. Їм можна вирішити будь-яке рівняння, яке вирішується методом підбору приватного рішення на вигляд правої частини. Постає питання, а чому б і там не використовувати метод варіації довільних постійних? Відповідь очевидна: добір приватного рішення, що розглядався на уроці Неоднорідні рівняння другого порядку, значно прискорює рішення та скорочує запис – ніякого трахкання з визначниками та інтегралами.

Розглянемо два приклади з завданням Коші.

Приклад 6

Знайти окреме рішення диференціального рівняння, що відповідає заданим початковим умовам

,

Рішення:Знову дріб та експонента в цікавому місці.
Використовуємо метод варіації довільних постійних.

Знайдемо загальне рішеннявідповідного однорідногорівняння:



– отримано різне дійсне коріння, тому загальне рішення:

Загальне рішення неоднорідногорівняння шукаємо у вигляді: , де – поки щеневідомі функції.

Складемо систему:

В даному випадку:
,
Знаходимо похідні:
,

Таким чином:

Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.

Відновлюємо функцію інтегруванням:

Тут використаний метод підведення функції під знак диференціалу.

Відновлюємо другу функцію інтегруванням:

Такий інтеграл вирішується методом заміни змінної:

Із самої заміни виражаємо:

Таким чином:

Цей інтеграл можна знайти методом виділення повного квадрата, але в прикладах з диффурами я волію розкладати дріб методом невизначених коефіцієнтів:

Обидві функції знайдено:

В результаті загальне рішення неоднорідного рівняння:

Знайдемо приватне рішення, що задовольняє початкові умови .

Технічно пошук рішення здійснюється стандартним способом, що розглядався у статті Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.

Тримайтеся, зараз знаходимо похідну від знайденого загального рішення:

Ось таке неподобство. Спрощувати його не обов'язково, легше одразу скласти систему рівнянь. Відповідно до початкових умов :

Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:

У відповіді логарифми можна запакувати.

Відповідь:приватне рішення:

Як бачите, труднощі можуть виникнути в інтегралах і похідних, але не в самому алгоритмі методу варіації довільних постійних. Це не я вас залякав, це все збірка Кузнєцова!

Для розслаблення останній, більш простий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Вирішити завдання Коші

,

Приклад нескладний, але творчий, коли складете систему, уважно її подивіться, як вирішувати;-),




В результаті загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає початковим умовам .



Підставимо знайдені значення констант у загальне рішення:

Відповідь:приватне рішення:

Метод варіації довільних постійних

Метод варіації довільних постійних для побудови розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

полягає у заміні довільних постійних c kу загальному рішенні

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

відповідного однорідного рівняння

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

на допоміжні функції c k (t) , похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри

Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z 1 ,z 2 ,...,z n , що забезпечує її однозначну розв'язність щодо .

Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція

є рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівняння за наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться, таким чином, до квадратур.

Метод варіації довільних постійних для побудови рішень системи лінійних диференціальних рівнянь у нормальній векторній формі

полягає у побудові приватного рішення (1) у вигляді

де Z(t) - базис розв'язків відповідного однорідного рівняння, записаний у вигляді матриці, а векторна функція, Замінила вектор довільних постійних, визначена співвідношенням . Шукане приватне рішення (з нульовими початковими значеннями при t = t 0 має вигляд

Для системи з постійними коефіцієнтами останній вираз спрощується:

Матриця Z(t)Z− 1 (τ)називається матрицею Кошіоператора L = A(t) .

Зовнішні посилання

• exponenta.ru - Теоретична довідка з прикладами

Wikimedia Foundation.