Однорідні рівняння другого порядку. Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку

У деяких завданнях фізики безпосередній зв'язок між величинами, що описують процес, встановити не вдається. Але є можливість здобути рівність, що містить похідні досліджуваних функцій. Так виникають диференційне рівняннята потреба їх вирішення для знаходження невідомої функції.

Ця стаття призначена тим, хто зіштовхнувся із завданням розв'язання диференціального рівняння, у якому невідома функція є однією змінною. Теорія побудована так, що з нульовим уявленням про диференціальні рівняння ви зможете впоратися зі своїм завданням.

Кожному виду диференціальних рівнянь поставлений у відповідність метод рішення з докладними поясненнями та рішеннями характерних прикладів та завдань. Вам залишається лише визначити вид диференціального рівняння Вашого завдання, знайти подібний приклад і провести аналогічні дії.

Для успішного вирішення диференціальних рівнянь з Вашого боку також знадобиться вміння знаходити безліч первісних ( невизначені інтеграли) різних функцій. При необхідності рекомендуємо звертатися до розділу.

Спочатку розглянемо види звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна дозволено щодо похідної, далі перейдемо до ОДУ другого порядку, потім зупинимося на рівняннях вищих порядків і закінчимо системами диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що якщо y є функцією аргументу x .

Диференціальні рівняння першого ладу.

Найпростіші диференціальні рівняння першого порядку виду.

Запишемо кілька прикладів таких ДК .

Диференційне рівняння можна дозволити щодо похідної, зробивши розподіл обох частин рівності f(x) . У цьому випадку приходимо до рівняння, яке буде еквівалентно вихідному при f(x) ≠0. Прикладами таких ОДУ є.

Якщо є значення аргументу x , у яких функції f(x) і g(x) одночасно перетворюються на нуль, з'являються додаткові рішення. Додатковими рішеннямирівняння за даних x є будь-які функції, визначені цих значень аргументу. Як приклади таких диференціальних рівнянь можна навести.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку постійними коефіцієнтами.

ЛОДУ з постійними коефіцієнтами є дуже поширеним видом диференціальних рівнянь. Їхнє рішення не становить особливої ​​складності. Спочатку відшукуються коріння характеристичного рівняння . При різних p і q можливі три випадки: коріння характеристичного рівняння можуть бути дійсними і різними, дійсними і збігаються або комплексно пов'язаними. Залежно від значень коренів характеристичного рівняння записується загальне рішення диференціального рівняння як , або , чи відповідно.

Наприклад розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Коріння його характеристичного рівняння є k 1 = -3 і k 2 = 0 . Коріння дійсне і різне, отже, загальне рішення ЛОДУ з постійними коефіцієнтами має вигляд


Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛНДУ другого порядку із постійними коефіцієнтами y шукається у вигляді суми загального рішеннявідповідного ЛОДУ та приватного рішення вихідного однорідного рівняння, тобто, . Знаходження загального рішення однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами присвячений попередній пункт. А окреме рішення визначається або методом невизначених коефіцієнтів при певному вигляді функції f(x) , що стоїть у правій частині вихідного рівняння, або методом варіації довільних постійних.

Як приклади ЛНДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами наведемо


Розібратися в теорії та ознайомитися з докладними рішеннямиПрикладів ми Вам пропонуємо на сторінці лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДУ) та лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДУ) другого порядку.

Окремим випадком диференціальних рівнянь цього виду є ЛОДУ та ЛНДУ з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення ЛОД на деякому відрізку представляється лінійною комбінацією двох лінійно незалежних приватних рішень y 1 і y 2 цього рівняння, тобто, .

Головна складність полягає саме у знаходженні лінійно-незалежних приватних рішень диференціального рівняння цього типу. Зазвичай приватні рішення вибираються з наступних систем лінійно незалежних функцій:


Проте, які завжди приватні рішення представляються у такому вигляді.

Прикладом ЛОДУ є .

Загальне рішення ЛНДУ шукається як , де - загальне рішення відповідного ЛОДУ, а - приватне рішення вихідного диференціального рівняння. Про перебування ми щойно говорили, а можна визначити, користуючись методом варіації довільних постійних.

Як приклад ЛНДУ можна навести .

Диференціальні рівняння найвищих порядків.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Порядок диференціального рівняння , яке не містить шуканої функції та її похідних до k-1 порядку, може бути знижено до n-k заміною .

І тут , і вихідне диференціальне рівняння зведеться до . Після знаходження рішення p(x) залишиться повернутися до заміни і визначити невідому функцію y .

Наприклад, диференціальне рівняння після заміни стане рівнянням з змінними, що розділяються, і його порядок з третього знизиться до першого.

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння виду

y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x) ,

де y- функція, яку потрібно знайти, а p(x) , q(x) та f(x) - безперервні функції на деякому інтервалі ( a, b) .

Якщо права частина рівняння дорівнює нулю ( f(x) = 0 ), то рівняння називається лінійним однорідним рівнянням . Таким рівнянням і буде переважно присвячена практична частина цього уроку. Якщо ж права частина рівняння не дорівнює нулю ( f(x) ≠ 0), то рівняння називається .

У завданнях від нас потрібно вирішити рівняння щодо y"" :

y"" = −p(x)y" − q(x)y + f(x) .

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку мають єдине рішення завдання Коші .

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та його вирішення

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

y"" + p(x)y" + q(x)y = 0 .

Якщо y1 (x) і y2 (x) - Приватні рішення цього рівняння, то вірні такі висловлювання:

1) y1 (x) + y 2 (x) - також є розв'язком цього рівняння;

2) Cy1 (x) , де C- довільна стала (константа), також є рішенням цього рівняння.

З цих двох висловлювань випливає, що функція

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

також є розв'язком цього рівняння.

Виникає справедливе питання: чи це рішення не є загальним рішенням лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку тобто таким рішенням, в якому при різних значеннях C1 і C2 Чи можна отримати всі можливі рішення рівняння?

Відповідь на це запитання наступна: може, але за певної умови. Це умова про те, якими властивостями повинні мати приватні рішення y1 (x) і y2 (x) .

І ця умова називається умовою лінійної незалежностіприватних рішень.

Теорема. Функція C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) є загальним рішенням лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку, якщо функції y1 (x) і y2 (x) лінійно незалежні.

Визначення. Функції y1 (x) і y2 (x) називаються лінійно незалежними, якщо їхнє ставлення є константою, відмінною від нуля:

y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Однак встановити за визначенням, чи ці функції є лінійно незалежними, часто дуже трудомістко. Існує спосіб встановлення лінійної незалежності за допомогою визначника Вронського W(x) :

Якщо визначник Вронського не дорівнює нулю, то рішення – лінійно незалежні . Якщо визначник Вронського дорівнює нулю, то рішення – лінійно залежні.

приклад 1.Знайти загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння.

Рішення. Інтегруємо двічі і, як легко помітити, щоб різниця другої похідної функції і самої функції дорівнювала нулю, рішення повинні бути пов'язані з експонентою, похідна якої дорівнює їй самій. Тобто приватними рішеннями є і .

Бо визначник Вронського

не дорівнює нулю, ці рішення лінійно незалежні. Отже, загальне рішення даного рівняння можна записати як

.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами: теорія та практика

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду

y"" + py" + qy = 0 ,

де pі q- Постійні величини.

На те, що це рівняння другого порядку, вказує на наявність другої похідної від шуканої функції, а на його однорідність - нуль у правій частині. Постійними коефіцієнтами називаються згадані вище величини.

Щоб розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами , потрібно спочатку вирішити так зване характеристичне рівняння виду

k² + pq + q = 0 ,

яке, очевидно, є звичайним квадратним рівнянням .

Залежно від вирішення характеристичного рівняння можливі три різні варіанти розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами , які зараз розберемо. Для повної визначеності вважатимемо, що всі приватні рішення пройшли перевірку визначником Вронського і він у всіх випадках не дорівнює нулю. Втім, які сумніваються, можуть перевірити це самостійно.

Коріння характеристичного рівняння - дійсні та різні

Іншими словами, . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

.

Приклад 2. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Приклад 3. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Рішення. Характеристичне рівняння має вигляд , його коріння і - речові та різні. Відповідні окремі рішення рівняння: і . Загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд

.

Коріння характеристичного рівняння - речові та рівні

Тобто, . У цьому випадку рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

.

Приклад 4. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Рішення. Характеристичне рівняння має рівні коріння. Відповідні окремі рішення рівняння: і . Загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд

Приклад 5. Розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння

.

Рішення. Характеристичне рівняння має рівне коріння. Відповідні окремі рішення рівняння: і . Загальне рішення даного диференціального рівняння має вигляд

Тут ми застосуємо метод варіації постійних Лагранж для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Докладний описцього методу для вирішення рівнянь довільного порядкувикладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>.

Приклад 1

Вирішити диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа:
(1)

Рішення

Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)

Це рівняння другого порядку.

Вирішуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: . Фундаментальна система розв'язків рівняння (2) має вигляд:
(3) .
Звідси одержуємо загальне рішення однорідного рівняння (2):
(4) .

Варіювати постійні C 1 та C 2 . Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(5) .

Знаходимо похідну:
.
Зв'яжемо функції та рівнянням:
(6) .
Тоді
.

Знаходимо другу похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;



.
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:
(7) .
Тут.

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :
(6) :
(7) .

Розв'язання системи рівнянь

Вирішуємо систему рівнянь (6-7). Випишемо вирази для функцій і:
.
Знаходимо їх похідні:
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

Отже, ми знайшли похідні функції:
;
.
Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку
; ; ; .

.
.

;
.

Відповідь

Приклад 2

Вирішити диференціальне рівняння методом варіації постійних Лагранжа:
(8)

Рішення

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:

(9)
Шукаємо рішення у вигляді. Складаємо характеристичне рівняння:

Це рівняння має комплексне коріння:
.
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(10) .
Загальне рішення однорідного рівняння (9):
(11) .

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

Тепер варіюємо постійні C 1 та C 2 . Тобто замінимо на (11) постійні на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді:
(12) .

Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо до наступної системи рівнянь для визначення функцій і :
(13) :
(14) .
Тут.

Розв'язання системи рівнянь

Вирішуємо цю систему. Випишемо вирази функцій і:
.
З таблиці похідних знаходимо:
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

.
Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на :
.
Тоді
.

Загальне рішення вихідного рівняння:


.

Основи вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку (ЛНДУ-2) із постійними коефіцієнтами (ПК)

ЛНДУ 2-го порядку з постійними коефіцієнтами $p$ і $q$ має вигляд $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, де $f\left(x \right)$ - безперервна функція.

Щодо ЛНДУ 2-го з ПК справедливі два наступні твердження.

Припустимо, деяка функція $U$ є довільним приватним рішенням неоднорідного диференціального рівняння. Припустимо також, що деяка функція $Y$ є загальним рішенням (ОР) відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тоді ОР ЛНДУ-2 дорівнює сумі зазначених приватного та загального рішень, тобто $ y = U + Y $.

Якщо права частина ЛНДУ 2-го порядку є сумою функцій, тобто $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, то спочатку можна знайти ЧР $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, які відповідають кожній з функцій $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, а вже після цього записати ЧР ЛНДУ-2 у вигляді $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Рішення ЛНДУ 2-го порядку з ПК

Очевидно, що вид того чи іншого ЧР $U$ даного ЛНДУ-2 залежить від конкретного виду його правої частини $f \ left (x \ right) $. Найпростіші випадки пошуку ЧР ЛНДУ-2 сформульовані у вигляді наступних чотирьох правил.

Правило №1.

Права частинаЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тобто називається многочленом ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, де $Q_(n) \left(x\right)$ - інший багаточлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних нулю. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом невизначених коефіцієнтів (НК).

Правило №2.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, де $P_(n) \left( x\right)$ є багаточлен ступеня $n$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, де $Q_(n) \ left(x\right)$ - інший многочлен тієї ж ступеня, як і $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $\alpha$. Коефіцієнти многочлена $Q_(n) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Правило №3.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) $, де $a$, $b$ та $\beta$ - відомі числа. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right )\cdot x^(r) $, де $A$ і $B$ - невідомі коефіцієнти, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $i\cdot \beta$. Коефіцієнти $A$ та $B$ знаходять методом ПК.

Правило №4.

Права частина ЛНДУ-2 має вигляд $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, де $P_(n) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $ n$, а $P_(m) \left(x\right)$ - багаточлен ступеня $m$. Тоді його ЧР $U$ шукають у вигляді $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, де $Q_(s) \left(x\right)$ і $ R_(s) \left(x\right)$ - багаточлени ступеня $s$, число $s$ - максимальне з двох чисел $n$ і $m$, а $r$ - кількість коренів характеристичного рівняння відповідного ЛОДУ-2, рівних $ \ alpha + i \ cdot \ beta $. Коефіцієнти багаточленів $Q_(s) \left(x\right)$ і $R_(s) \left(x\right)$ знаходять методом ПК.

Метод ПК полягає у застосуванні наступного правила. Для того, щоб знайти невідомі коефіцієнти багаточлена, які входять до складу приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння ЛНДУ-2, необхідно:

• підставити ЧР $U$, записане в загальному вигляді, в ліву частинуЛНДУ-2;
• у лівій частині ЛНДУ-2 виконати спрощення та згрупувати члени з однаковими ступенями $x$;
• в отриманому тотожності прирівняти коефіцієнти при членах з однаковими ступенями $x$ лівої та правої частин;
• вирішити одержану систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів.

Приклад 1

Завдання: знайти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Знайти також ЧР , задовольняє початковим умовам $y=6$ при $x=0$ і $y"=1$ при $x=0$.

Записуємо відповідне ЛОДУ-2: $y""-3cdot y"-18cdot y=0$.

Характеристичне рівняння: $ k ^ (2) -3 cdot k-18 = 0 $. Коріння характеристичного рівняння: $ k_(1) = -3 $, $ k_ (2) = 6 $. Це коріння дійсне і різне. Таким чином, ОР відповідного ЛОДУ-2 має вигляд: $ Y = C_ (1) \ cdot e ^ (-3 \ cdot x) + C_ (2) \ cdot e ^ (6 \ cdot x) $.

Права частина даного ЛНДУ-2 має вигляд $ \ left (36 \ cdot x + 12 \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $. У ній необхідно розглядати коефіцієнт показника ступеня експоненти $ alpha = 3 $. Цей коефіцієнт не збігається з жодним з коренів характеристичного рівняння. Тому ЧР даного ЛНДУ-2 має вигляд $ U = \ left (A \ cdot x + B \ right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

Шукатимемо коефіцієнти $A$, $B$ методом ПК.

Знаходимо першу похідну ЧР:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Знаходимо другу похідну ЧР:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot Acdot e^(3cdot x) + left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)cdot 3cdot e^(3cdot x) =\left(6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot Bright)cdot e^(3cdot x) .$

Підставляємо функції $U""$, $U"$ і $U$ замість $y""$, $y"$ і $y$ в дане ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ При цьому, оскільки експонента $e^(3\cdot x) $ входить як множник у всі складові, то її можна опустити.

$6cdot A+9cdot Acdot x+9cdot B-3cdot \left(A+3cdot Acdot x+3cdot Bright)-18cdot \left(A\) cdot x+Bright)=36cdot x+12.$

Виконуємо дії у лівій частині отриманої рівності:

$-18cdot Acdot x+3cdot A-18cdot B=36cdot x+12.$

Застосовуємо метод ПК. Отримуємо систему лінійних рівнянь із двома невідомими:

$-18 \ cdot A = 36; $

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Рішення цієї системи таке: $A=-2$, $B=-1$.

ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ для нашої задачі виглядає наступним чином: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

ОР $y=Y+U$ для нашого завдання виглядає наступним чином: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) +\ left(-2cdot x-1right)cdot e^(3cdot x) $.

З метою пошуку ЧР, що задовольняє заданим початковим умовам, знаходимо похідну $y"$ ОР:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Підставляємо в $y$ і $y"$ початкові умови $y=6$ за $x=0$ і $y"=1$ за $x=0$:

$ 6 = C_ (1) + C_ (2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Отримали систему рівнянь:

$ C_ (1) + C_ (2) = 7;

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Вирішуємо її. Знаходимо $C_(1) $ за формулою Крамера, а $C_(2) $ визначаємо з першого рівняння:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Таким чином, ЧР даного диференціального рівняння має вигляд: $y=4cdot e^(-3cdot x) +3cdot e^(6cdot x) +left(-2cdot x-1right ) \ cdot e ^ (3 \ cdot x) $.

У цьому параграфі буде розглянуто окремий випадоклінійних рівнянь другого порядку, коли коефіцієнти рівняння постійні, тобто є числами. Такі рівняння називаються рівняннями із постійними коефіцієнтами. Цей вид рівнянь знаходить широке застосування.

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо рівняння

у якому коефіцієнти постійні. Вважаючи, що ділячи всі члени рівняння і позначаючи

запишемо дане рівняння у вигляді

Як відомо, для знаходження загального рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку достатньо його знати фундаментальну системуприватних рішень. Покажемо, як є фундаментальна система приватних рішень для однорідного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами. Шукатимемо приватне рішення цього рівняння у вигляді

Диференціюючи цю функцію двічі і підставляючи вирази для рівняння (59), отримаємо

Так як , то, скорочуючи на отримаємо рівняння

На цьому рівняння визначаються ті значення k, у яких функція буде рішенням рівняння (59).

Алгебраїчне рівняння (61) визначення коефіцієнта до називається характеристичним рівнянням даного диференціального рівняння (59).

Характеристичне рівняння є рівнянням другого ступеня і має, отже, два корені. Це коріння може бути або дійсним різним, або дійсним і рівним, або комплексним сполученим.

Розглянемо, який вид має фундаментальна система приватних рішень у кожному з цих випадків.

1. Коріння характеристичного рівняння дійсні та різні: . У цьому випадку за формулою (60) знаходимо два окремі рішення:

Ці два окремі рішення утворюють фундаментальну систему рішень на всій числовій осі, оскільки визначник Вронського ніде не звертається в нуль:

Отже, загальне рішення рівняння згідно з формулою (48) має вигляд

2. Коріння характеристичного рівняння рівні: . В цьому випадку обидва корені будуть дійсними. За формулою (60) отримуємо лише одне приватне рішення

Покажемо, що друге приватне рішення, що утворює разом з першою фундаментальну систему, має вигляд

Насамперед перевіримо, що функція є рішенням рівняння (59). Справді,

Але , оскільки є корінь характеристичного рівняння (61). Крім того, за теоремою Вієта Тому . Отже, , т. Е. Функція дійсно є рішенням рівняння (59).

Покажемо тепер, що знайдені рішення утворюють фундаментальну систему рішень. Справді,

Таким чином, у цьому випадку загальне рішення однорідного лінійного рівняннямає вигляд

3. Коріння характеристичного рівняння комплексне. Як відомо, комплексне коріння квадратного рівнянняз дійсними коефіцієнтами є сполученими комплексними числами, Т. е. мають вигляд: . У цьому випадку приватні рішення рівняння (59), згідно з формулою (60), матимуть вигляд:

Застосовуючи формули Ейлера (див. гл. XI, § 5 п. 3), вирази можна записати у вигляді:

Ці рішення є комплексними. Щоб отримати дійсні рішення, розглянемо нові функції

Вони є лінійними комбінаціями рішень і, отже, є рішеннями рівняння (59) (див. § 3, п. 2, теорему 1).

Легко показати, що визначник Вронського цих рішень відмінний від нуля і, отже, рішення утворюють фундаментальну систему рішень.

Таким чином, загальне рішення однорідного лінійного диференціального рівняння у разі комплексного коріння характеристичного рівняння має вигляд

Наведемо на закінчення таблицю формул загального рішення рівняння (59) залежно від виду коренів характеристичного рівняння.