Похідна функції декількох змінних за прикладами. Похідна за напрямком

Похідна за напрямком.

Нехай у площині XOYрозташована точка M 0 (x 0 ,y 0 ). Задамо довільний кут aі розглянемо безліч точок тієї ж площині, координати яких визначаються з формул

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + t sin a. (1)

Тут t‑ параметр, який може дорівнювати будь-якому числу. З формул (1) випливає:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

Це означає, що всі точки M(x,y), координати яких задовольняють рівностям (1), лежать на прямій, що проходить через точку M 0 (x 0 ,y 0) та складової кут aз віссю OX. Кожному значенню tвідповідає єдина точка M(x,y), що лежить на цій прямій, причому згідно з формулою (1) з відстань між точками M 0 (x 0 ,y 0) та M(x,y) одно t. Можна вважати цю пряму числову віссю з позитивним напрямом, що визначається зростанням параметра t. Позначимо позитивний напрямок цієї осі символом l.

l.Похідної функції z = f(x,y) у точці M 0 (x 0 ,y 0)за напрямом l називається число

Похідної функції за напрямом можна дати геометричну інтерпретацію. Якщо через пряму l, що визначається формулами (1), провести вертикальну площину P(насправді в тривимірному просторі рівняння (1) визначають цю саму площину), то ця площина перетне поверхню-графік функції z = f(x,y) вздовж

деякою просторовою кривою L. Тангенс кута між горизонтальною площиною та дотичною до цієї кривої в точці M 0 (x 0 ,y 0) дорівнює похідної функції у цій точці за напрямом l.

У будь-якому курсі математичного аналізудоводиться, що похідна за напрямом, яка визначається формулою (2), може бути подана у вигляді

Зауважимо, що приватна похідна по xтеж є похідною за напрямом. Цей напрямок визначається рівностями: cos a = 1; sin a = 0. Аналогічно приватна похідна за y- це похідна за напрямком, який можна задати умовами cos a = 0; sin a = 1.

Перш ніж аналізувати формулу (3), наведемо деякі поняття та факти з курсу векторної алгебри. Нехай у площині із системою координат XOYзаданий спрямований відрізок або (що те саме) вектор, причому точка M 0 (x 0 ,y 0) є його початковою точкою, а M 1 (x 1 ,y 1) - кінцевою точкою. Визначимо координату вектора по осі OXяк число, що дорівнює x 1 ‑ x 0 , а координату по осі , як число, що дорівнює y 1 ‑ y 0 . Якщо задати впорядковану пару будь-яких чисел aі bці цифри можна розглядати як координати деякого вектора в площині XOY, причому довжина цього вектора визначена формулою

,

а тангенс кута нахилу gвектор до осі OXвизначається з формули tg g = b/a(зазначимо, що знаючи величину tg g, а також знак будь-якого з чисел aі b, ми можемо визначити кут gз точністю до 2 p).

Подання вектора як пари його координат будемо записувати як . Таке уявлення має одну характерну особливість: воно не визначає розташування вектора на площині XOY. Щоб його визначити, потрібно поряд з координатами вектора задавати, наприклад, координати його початкової точки або, як її можна назвати, точки програми вектора.

Якщо задані два вектори: і , то скалярним творомцих векторів називається число ( j- Кут між векторами).

У будь-якому курсі векторної алгебри доводиться, що скалярний твірвекторів і дорівнює сумі творів однойменних координат цих векторів:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Нехай у деякій області Gплощині XOYзадана функція z = f(x,y) , що має безперервні приватні похідні з обох аргументів.

Градієнтомабо вектором-градієнтом функції f(x, y)у точці (x,y) Î G називається вектор, який задається формулою

.

Функція fвизначає для кожної точки області Gвектор-градієнт, що виходить із цієї точки.

Повернемося тепер до формули (3). Її праву частину ми можемо розглядати як скалярне твір векторів. Перший з них – вектор-градієнт функції z = f(x,y) у точці M 0 (x 0 ,y 0):

.

Другий – вектор . Це вектор, що має довжину 1 та кут нахилу до осі Ox, рівний a.

Тепер можна дійти невтішного висновку, що похідна функції z = f(x,y) за напрямом, що визначається кутом aнахилу до осі OX, у точці M 0 (x 0 ,y 0) може бути обчислена за формулою

. (5)

Тут b‑ кут між вектором і вектором , що задає напрямок, яким береться похідна. Тут також враховано, що

Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М(x, y, z) та точці М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведемо через точки М і М1 вектор. Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, у, z позначимо відповідно a, b, g. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусамивектора.

Відстань між точками М та М 1 на векторі позначимо DS.

де величини e 1 , e 2 , e 3 - нескінченно малі при .

З геометричних міркувань очевидно:

Таким чином, наведені вище рівності можуть бути подані наступним чином:

Зауважимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрямок вектора.

З цього рівняння випливає таке визначення:

Межа називається похідної функції u(x, y, z) у напрямку векторау точці з координатами (x, y, z).

Пояснимо значення викладених вище рівностей з прикладу.

Приклад 9.1. Обчислити похідну функції z = x 2 + y 2 x у точці А(1, 2) у напрямку вектора. У (3, 0).

Рішення.Насамперед необхідно визначити координати вектора.

Знаходимо приватні похідні функції z в загальному вигляді:

Значення цих величин у точці А:

Для знаходження напрямних косінусів вектора виконуємо такі перетворення:

=

За величину приймається довільний вектор, спрямований вздовж заданого вектора, тобто. визначального напрям диференціювання.

Звідси отримуємо значення напрямних косінусів вектора:

cosa =; cosb = -

Остаточно отримуємо: - значення похідної заданої функціїза напрямом вектора.

Якщо в деякій ділянці D задана функція u = u(x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі рівні значенням функції u у відповідній точці

,

то цей вектор називається градієнтомфункції u.

При цьому говорять, що в області D встановлено поле градієнтів.

Теорема: Нехай задана функція u = u(x, y, z) та поле градієнтів

.

Тоді похідна у напрямку деякого вектора дорівнює проекції вектора gradu на вектор.

Доказ: Розглянемо одиничний вектор і деяку функцію u = u(x, y, z) і знайдемо скалярний добуток векторів gradu.

Вираз, що стоїть у правій частині цієї рівності є похідною функції u за напрямком s.

Тобто. . Якщо кут між векторами graduі позначити через j, то скалярний добуток можна записати у вигляді добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. З огляду на те, що вектор одиничний, тобто. його модуль дорівнює одиниці, можна записати:

Вираз, який стоїть у правій частині цієї рівності і є проекцією вектора grad uна вектор.

Теорему доведено.

Для ілюстрації геометричного та фізичного сенсу градієнта скажемо, що градієнт – вектор, що показує напрямок якнайшвидшої зміни деякого скалярного поля u в якій-небудь точці. У фізиці є такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску тощо. Тобто. Напрямок градієнта є напрямок найбільш швидкого зростання функції.

З погляду геометричного уявлення градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.

Скалярним полемназивається частина простору (або весь простір), кожній точці якої відповідає чисельне значення деякої скалярної величини.

Приклади

Тіло, що має у кожній точці певне значення температури – скалярне поле.

Неоднорідне тіло, кожній точці якої відповідає певна густина – скалярне поле густини.

У всіх цих випадках скалярна величина U не залежить від часу, а залежить від положення (координат) точки М у просторі, тобто – це функція трьох змінних, вона називається функцією поля. І назад, будь-яка функція трьох змінних u=f(x, y, z)задає деяке скалярне поле.

Функція плоского скалярного поля залежить від двох змінних z = f (x, y).

Розглянемо скалярне поле u = f (x, y, z).

Вектор, координатами якого є приватні похідні функції, обчислені в заданій точці, називається градієнтомфункції у цій точці чи градієнтом скалярного поля.

Розглянемо деякий вектор і на ньому дві точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0)та . Знайдемо збільшення функції у напрямку:

Похідний за напрямкомназивається наступна межаякщо він існує:

де - напрямні косинуси вектора; α, β, γ - кути, які утворює вектор з осями координат, якщо .

Для функції двох змінних ці формули набувають вигляду:

або ,

оскільки .

Між градієнтом і похідною за напрямом в одній точці існує зв'язок.

Теорема.Скалярний добуток градієнта функції на вектор деякого напрямку і похідної даної функції в напрямку цього вектора:

.

Слідство.Похідна за напрямком найбільше значення, якщо цей напрямок збігається з напрямком градієнта (обґрунтувати самостійно, використовуючи визначення скалярного твору та вважаючи, що ).

Висновки:

1. Градієнт – це вектор, що показує напрям найбільшого зростання функції у цій точці і має модуль, чисельно рівний швидкості цього зростання:

.

2. Похідна за напрямом – це швидкість зміни функції у напрямі : якщо , то функція у цьому напрямі зростає, якщо , то функція зменшується.

3. Якщо вектор збігається з одним із векторів , то похідна за цим вектором збігається з відповідною приватною похідною.

Наприклад, якщо , тоді .

приклад

Дано функцію , точка А(1, 2)і вектор.

Знайти: 1);

Рішення

1) Знайдемо приватні похідні функції та обчислимо їх у точці А.

, .

Тоді .

2) Знайдемо напрямні косинуси вектора:

Відповідь: ; .

Література [ 1,2]

Запитання для самоперевірки:

1.Что називається функцією двох змінних, її областю визначення?

2. Як визначаються похідні?

3. У чому полягає геометричний зміст приватних похідних?

4. Що називається градієнтом скалярного поля у цій точці?

5. Що називається похідною за напрямком?

6. Сформулюйте правила знаходження екстремумів функції двох змінних.

Варіант 1

Завдання №1

а) ; б) ;

в); г) .

Завдання №2Дослідити функцію на безперервність: знайти точки розриву функції та визначити їх тип. Побудувати схематичний графік функції.

Завдання №Дано комплексне число Z. Потрібно: записати число Z в алгебраїчної та тригонометричної формах. .

Завдання №4.

1) у = 3х 5 - sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4).

Завдання №5.Дослідити методами диференціального обчисленняфункцію та, використовуючи результати дослідження, побудувати графік. .

Завдання №6.Дана функція z = f (x, y). Перевірити чи виконується тотожність F≡0?

Завдання №7Дана функція Z=x 2 +xy+y 2, точка та вектор . Знайти:

1) grad zу точці А;

2) похідну у точці Аза напрямом вектора .

Варіант 2

Завдання №1Обчислити межі функцій, не користуючись правилом Лопіталю.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Завдання №2Дослідити функцію на безперервність: знайти точки розриву функції та визначити їх тип. Побудувати схематичний графік функції.

Завдання №3Дано комплексне число Z. Потрібно: записати число Z в алгебраїчної та тригонометричної формах.

Завдання №4.Знайти похідні першого порядку даних функцій.

Нехай функція u = f(x, y, z)безперервна в деякій галузі Dі має у цій галузі безперервні приватні похідні. Виберемо в області, що розглядається, точку M(x,y,z)і проведемо з неї вектор S, напрямні косинуси якого cosα, cosβ, cosγ. На векторі S на відстані Δ sвід його початку знайдемо крапку М 1 (х+Δ х, у+Δ у, z+Δ z), де

Представимо повне збільшення функції fу вигляді:

Де

Після поділу на Δ sотримуємо:

Оскільки попередню рівність можна переписати у вигляді:

Градієнт.

ВизначенняМежа відносини при називається похідною від функції u = f(x, y, z)за напрямом вектора S і позначається.

При цьому із (1) отримуємо:

(2)

Примітка 1. Приватні похідні є окремим випадком похідної за напрямом. Наприклад, при отримуємо:

Зауваження 2. Вище визначався геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних як кутових коефіцієнтів, що стосуються ліній перетину поверхні, що є графіком функції, з площинами. х = х 0і у = у 0. Аналогічним чином можна розглядати похідну цієї функції за напрямом lу точці М (х 0, у 0)як кутовий коефіцієнт лінії перетину даної поверхні та площини, що проходить через точку Мпаралельно осі O zі прямий l.

ВизначенняВектор, координатами якого у кожній точці певної області є приватні похідні функції u = f(x, y, z)у цій точці, називається градієнтомфункції u = f(x, y, z).

Позначення: grad u = .

Характеристики градієнта.

1. Похідна у напрямку деякого вектора S дорівнює проекції вектора grad uна вектор S . Доказ. Одиничний вектор напряму S має вигляд e S =(cosα, cosβ, cosγ), тому права частинаформули (4.7) являє собою скалярний добуток векторів grad uі e s , тобто вказану проекцію.

2. Похідна в даній точці за напрямом вектора S має найбільше значення, що дорівнює |grad u|, якщо цей напрямок збігається із напрямком градієнта. Доказ. Позначимо кут між векторами S та grad uчерез φ. Тоді з якості 1 випливає, що | u|∙cosφ, (4.8) отже, її найбільше значення досягається при φ=0 і дорівнює |grad u|.

3. Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного вектору grad u, що дорівнює нулю.

Доказ. В цьому випадку у формулі (4.8)

4. Якщо z = f(x, y)– функція двох змінних, то grad f= спрямований перпендикулярно лінії рівня f(x, y) = c,проходить через цю точку.

Екстремуми функцій кількох змінних. Необхідна умова екстремуму. Достатня умова екстремуму. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Знаходження найбільших та найменших значень.

Визначення 1.Крапка М 0 (х 0, у 0)називається точкою максимумуфункції z = f(x, y),якщо f (x o , y o) > f(x, y)для всіх точок (х, у) М 0.

Визначення 2. Крапка М 0 (х 0, у 0)називається точкою мінімумуфункції z = f(x, y),якщо f (x o , y o) < f(x, y)для всіх точок (х, у)з деякої околиці точки М 0.

Зауваження 1. Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремумуфункції кількох змінних.

Зауваження 2. Аналогічно визначається точка екстремуму для функції від будь-якої кількості змінних.

Теорема 1 (необхідні умовиекстремуму). Якщо М 0 (х 0, у 0)– точка екстремуму функції z = f(x, y),то в цій точці приватні похідні першого порядку даної функції дорівнюють нулю або існують.

Доказ.

Зафіксуємо значення змінної у, вважаючи у = у 0. Тоді функція f (x, y 0)буде функцією однієї змінної хдля якої х = х 0є точкою екстремуму. Отже, за теоремою Ферма чи не існує. Аналогічно доводиться таке саме твердження для .

Визначення 3.Точки, що належать області визначення функції кількох змінних, у яких приватні похідні функції дорівнюють нулю або не існують, називаються стаціонарними точкамицієї функції.

Зауваження. Таким чином, екстремум може досягатися тільки в стаціонарних точках, але не обов'язково він спостерігається у кожній із них.

Теорема 2(Достатні умови екстремуму). Нехай в деякій околиці точки М 0 (х 0, у 0), що є стаціонарною точкою функції z = f(x, y),ця функція має безперервні приватні похідні до 3-го порядку включно. Позначимо:

1) f(x, y)має в точці М 0максимум, якщо AC – B² > 0, A < 0;

2) f(x, y)має в точці М 0мінімум, якщо AC – B² > 0, A > 0;

3) екстремум у критичній точцівідсутня, якщо AC – B² < 0;

4) якщо AC – B² = 0, необхідне додаткове дослідження.

приклад. Знайдемо точки екстремуму функції z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Для пошуку стаціонарних точок вирішимо систему . Отже, стаціонарна точка (-2,-1). При цьому А = 2, У = -2, З= 4. Тоді AC – B² = 4 > 0, отже, у стаціонарній точці досягається екстремум, а саме мінімум (бо A > 0).

Умовний екстремум.

Визначення 4.Якщо аргументи функції f (x 1, x 2, ..., x n)пов'язані додатковими умовамиу вигляді mрівнянь ( m< n) :

φ 1 ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, φ 2 ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, …, φ m ( х 1, х 2, ..., х n) = 0, (1)

де функції і мають безперервні приватні похідні, то рівняння (1) називаються рівняннями зв'язку.

Визначення 5.Екстремум функції f (x 1, x 2, ..., x n)при виконанні умов (1) називається умовним екстремумом.

Зауваження. Можна запропонувати таке геометричне тлумачення умовного екстремуму функції двох змінних: нехай аргументи функції f(x, y)пов'язані рівнянням φ (х,у)= 0, що задає деяку криву в площині ху. Відновивши з кожної точки цієї кривої перпендикуляри до площини худо перетину з поверхнею z = f(x, y),отримаємо просторову криву, що лежить на поверхні над кривою φ (х,у)= 0. Завдання полягає у пошуку точок екстремуму отриманої кривої, які, зрозуміло, загальному випадкуне збігаються з точками безумовного екстремуму функції f(x, y).

Визначимо необхідні умови умовного екстремуму для функції двох змінних, запровадивши попередньо таке визначення:

Визначення 6.Функція L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

де λ i –деякі постійні, називається функцією Лагранжа, а числа λ i– невизначеними множниками Лагранжа.

Теорема(Необхідні умови умовного екстремуму). Умовний екстремум функції z = f(x, y)за наявності рівняння зв'язку φ ( х, у)= 0 може досягатися лише у стаціонарних точках функції Лагранжа L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y).