چگونه کسرهای نامناسب را ترجمه کنیم. اعداد مختلط، تبدیل عدد مختلط به کسر نامناسب و بالعکس

در این مقاله در مورد صحبت خواهیم کرد اعداد مختلط. ابتدا بیایید اعداد مختلط را تعریف کنیم و مثال بزنیم. بعد، بیایید به ارتباط بین اعداد مختلط و کسرهای نامناسب نگاه کنیم. پس از آن، نحوه تبدیل یک عدد مختلط را به شما نشان خواهیم داد کسر نامناسب. در نهایت بیایید مطالعه کنیم روند معکوسکه به آن جدا کردن کل جزء از کسر نامناسب می گویند.

پیمایش صفحه.

اعداد مختلط، تعریف، مثال

ریاضیدانان موافق بودند که مجموع n+a/b، که در آن n یک عدد طبیعی است، a/b یک کسر مناسب است، می‌توان بدون علامت جمع در شکل نوشت. به عنوان مثال، مجموع 28+5/7 را می توان به طور خلاصه به صورت . چنین رکوردی را مختلط می نامیدند و عددی که با این رکورد مختلط مطابقت دارد، عدد مختلط نامیده می شد.

اینگونه به تعریف عدد مختلط می رسیم.

تعریف.

شماره های درهم- این شماره است برابر با مجموععدد طبیعی n و کسر معمولی مناسب a/b و به شکل نوشته شده است. در این حالت عدد n فراخوانی می شود قسمت کامل عدد، و عدد a/b نامیده می شود جزء کسری یک عدد.

طبق تعریف، یک عدد مختلط برابر است با مجموع اجزای صحیح و کسری آن، یعنی تساوی معتبر است که می توان آن را اینگونه نوشت: .

بدهیم نمونه هایی از اعداد مختلط. عدد یک عدد مختلط است، عدد طبیعی 5 قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد است. نمونه های دیگری از اعداد مختلط هستند .

گاهی اوقات می توانید اعداد را با نماد ترکیبی پیدا کنید، اما مثلاً یک کسری نامناسب به عنوان کسری داشته باشید، یا. این اعداد به عنوان مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری آنها درک می شوند، برای مثال، و . اما چنین اعدادی با تعریف اعداد مختلط مطابقت ندارند، زیرا قسمت کسری اعداد مختلط باید کسر مناسب.

این عدد نیز یک عدد مختلط نیست، زیرا 0 یک عدد طبیعی نیست.

رابطه بین اعداد مختلط و کسرهای نامناسب

دنبال کردن ارتباط بین اعداد مختلط و کسرهای نامناسببهترین با مثال

بگذارید یک کیک و 3/4 دیگر از همان کیک روی سینی باشد. یعنی با توجه به معنی اضافه در سینی کیک 1+3/4 هست. بعد از اینکه آخرین مقدار را به صورت عدد مخلوط می نویسیم، بیان می کنیم که یک کیک در سینی وجود دارد. حالا کل کیک را به 4 قسمت مساوی برش دهید. در نتیجه 7/4 کیک روی سینی خواهد بود. واضح است که "مقدار" کیک تغییر نکرده است، بنابراین .

از مثال در نظر گرفته شده، اتصال زیر به وضوح قابل مشاهده است: هر عدد مختلط را می توان به عنوان یک کسر نامناسب نشان داد.

حالا بگذارید 7/4 کیک روی سینی باشد. با تا زدن یک کیک کامل از چهار قسمت، 1 + 3/4 روی سینی وجود دارد، یعنی یک کیک. از اینجا مشخص می شود که .

از این مثال مشخص است که یک کسر نامناسب را می توان به عنوان یک عدد مختلط نشان داد. (در حالت خاص، هنگامی که صورت کسر نامناسب به طور مساوی بر مخرج تقسیم می شود، کسر نامناسب را می توان به عنوان یک عدد طبیعی نشان داد، به عنوان مثال، از 8:4 = 2).

تبدیل عدد مختلط به کسر نامناسب

برای اعدام اقدامات مختلفبا اعداد مختلط، مهارت نمایش اعداد مختلط به عنوان کسرهای نامناسب مفید است. در پاراگراف قبل متوجه شدیم که هر عدد مختلط را می توان به کسر نامناسب تبدیل کرد. وقت آن است که بفهمیم چنین ترجمه ای چگونه انجام می شود.

اجازه دهید الگوریتمی بنویسیم که نشان می دهد نحوه تبدیل یک عدد مختلط به کسر نامناسب:

بیایید به مثالی از تبدیل یک عدد مختلط به کسر نامناسب نگاه کنیم.

مثال.

عدد مختلط را به صورت کسر نامناسب بیان کنید.

راه حل.

بیایید تمام مراحل لازم الگوریتم را انجام دهیم.

یک عدد مختلط برابر است با مجموع اجزای صحیح و کسری آن: .

با نوشتن عدد 5 به صورت 5/1، جمع آخر به صورت .

برای تکمیل تبدیل عدد مختلط اصلی به کسر نامناسب، تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که کسرهایی با مخرج‌های مختلف اضافه کنیم: .

خلاصه ای از کل راه حل به شرح زیر است: .

پاسخ:

بنابراین، برای تبدیل یک عدد مختلط به کسر نامناسب، باید زنجیره اقدامات زیر را انجام دهید: . بالاخره دریافت شد ، که در ادامه از آن استفاده خواهیم کرد.

مثال.

عدد مختلط را به صورت کسر نامناسب بنویسید.

راه حل.

بیایید از فرمول برای تبدیل یک عدد مختلط به کسر نامناسب استفاده کنیم. در این مثال n=15، a=2، b=5. بدین ترتیب، .

پاسخ:

جدا کردن کل قسمت از کسری نامناسب

نوشتن کسری نامناسب در جواب مرسوم نیست. کسر نامناسب ابتدا با یکی برابر با آن جایگزین می شود عدد طبیعی(زمانی که صورت بر مخرج بخش پذیر باشد)، یا به اصطلاح جداسازی کل جزء از کسر نامناسب انجام می شود (زمانی که صورت بر مخرج تقسیم نمی شود).

تعریف.

جدا کردن کل قسمت از کسری نامناسب- این جایگزینی کسری با عدد مخلوط مساوی است.

باقی مانده است که بفهمیم چگونه می توانید کل قسمت را از یک کسری نامناسب جدا کنید.

خیلی ساده است: کسر نامناسب a/b برابر است با عدد مخلوطی از شکل، که در آن q ضریب جزئی است و r باقیمانده یک تقسیم بر b است. یعنی عدد صحیح برابر است با نصاب ناقص تقسیم a بر b و باقیمانده برابر با عدد جزء کسری است.

بیایید این گفته را ثابت کنیم.

برای انجام این کار کافی است نشان دهید که . بیایید مخلوط را به کسر نامناسب تبدیل کنیم همانطور که در پاراگراف قبل انجام دادیم: . از آنجایی که q یک ضریب ناقص است و r باقیمانده تقسیم a بر b است، پس برابری a=b·q+r صادق است (در صورت لزوم، نگاه کنید به

شما می توانید یک کسر نامناسب را با تقسیم صورت کسری بر مخرج به کسری مناسب تبدیل کنید - به این ترتیب ما یک کسری مناسب به دست می آوریم. از طرف دیگر، یک کسر نامناسب را می توان به عنوان عدد اول نوشت عدد اعشاری.

کسری نامناسب کسری است که صورت آن بزرگتر از مخرج باشد. کسری مناسب کسری است که صورت آن کوچکتر از مخرج آن باشد. هیچ راهی برای تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب وجود ندارد، اما می توان آن را به صورت یک عدد مختلط متشکل از دو قسمت نشان داد (یک قسمت یک عدد صحیح و دیگری یک کسری مناسب خواهد بود).

برای مثال 5/2=2+1/2 (فقط کسری معمولاً بلافاصله بعد از عدد کامل بدون علامت مثبت نوشته می شود)

در اینجا باید صورت کسر نامناسب را بر مخرج تقسیم کنید. قسمت صحیح تقسیم را می نویسیم (در مورد ما 2). سپس باقیمانده تقسیم (یعنی 1) را به عنوان صورت کسر می نویسیم که در کنار آن دو می نویسیم.

ما از درس ریاضی مدرسه می دانیم. کسر نامناسب کسری است که صورت آن بزرگتر از مخرج آن باشد. برای تبدیل آن به کسری مناسب، باید صورت چنین کسری را بر مخرج آن تقسیم کنید. همه چیز بسیار ساده است، بنابراین به یک کسر صحیح یا اعشاری تبدیل می شود.

یک کسر نامناسب، به عنوان مثال: 9/5، بیایید کل قسمت آن را انتخاب کنیم، این خواهد شد: 1 4/5 اکنون کمی شبیه به صحیح به نظر می رسد فقط با اینکه کل قسمت یکی است.

شما می توانید آن را به کسر اعشاری تبدیل کنید در مورد ما 1.8 خواهد بود

برای حل مشکل، ابتدا باید خودتان به وضوح درک کنید که کسر مناسب چیست و کسر نامناسب چیست.

بیایید با این واقعیت شروع کنیم که بیانیه

این برای همه اعداد روی خط اعداد صادق نیست.

صورت (-10)، مخرج (4-) است.

بیانیه مشابه

همیشه هم درست نیست

صورت 2 و مخرج (3-) است.

یک کسر نامناسب را می توان با استفاده از مجموع یک عدد کامل و یک کسر مناسب (کسری مختلط) نوشت و برای این کار شما نیاز دارید:

صورت را بر مخرج تقسیم کنید، عدد صحیح حاصل را در قسمت صحیح بنویسید، باقیمانده را در صورت، مخرج را بدون تغییر رها کنید.

در صورت (-15)، در مخرج 2، منهای را خارج از کسر بگیرید - (15/2)، 15 را بر 2 تقسیم کنید، عدد صحیح 7 را در کل قسمت کسر قرار دهید، باقیمانده تقسیم 1 را بنویسید. در صورتگر، و مخرج 2 را بدون تغییر رها کنید.

برای تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب ابتدا باید بگویید:

کسر نامناسب دارای یک صورت (عدد بالای کسر) بزرگتر یا مساوی با مخرج است.

برای کسری مناسب عکس این قضیه صادق است.

بیایید فرآیند تبدیل را با استفاده از مثال کسری 260/7 تجزیه و تحلیل کنیم:

1) ابتدا 260 را بر 7 تقسیم می کنیم، عدد 37.14 به دست می آید.

2) عدد 37 در جلوی کسر به عنوان یک عدد کامل ظاهر می شود

3) اکنون 37 * 7 = 259

4) عدد حاصل را از عدد 260 کم می کنیم - 259 = 1 - این عدد در کسر مناسب ما خواهد بود.

5) هنگام نوشتن یک کسر جدید، مخرج بدون تغییر باقی می ماند. که در در این مورداین 7 است. کسر مناسب به شکل زیر است:



بررسی کسر تبدیل شده:

عدد صحیح را در مخرج ضرب می کنیم و عدد 37 * 7 + 1 = 260 را اضافه می کنیم.

کسری مناسب کسری است که مخرج آن بزرگتر از صورت باشد. این نشان می دهد که این کسر بخشی از کل را نشان می دهد. مثلا کسره 1/2 یعنی مثلا نصف هندوانه داریم و کسره 7/9 یعنی هفت تیکه هندوانه باقی مونده که 9 قسمت شده. یکی دو قسمت خورد.

اگر کسر نامناسب باشد، یعنی صورت از مخرج بزرگتر باشد، کاملاً مشخص نیست که چه قسمتی از کل، اما هندوانه بریده داریم و چند هندوانه کامل دیگر در دسترس است. بنابراین، ما باید یک کسر نامناسب را به یک کسر مناسب تبدیل کنیم. در این مورد ما نوعی عدد صحیح و باقیمانده - دقیقاً یک کسری مناسب را دریافت خواهیم کرد.

برای تبدیل، صورت را بر مخرج یک ستون تقسیم کنید. مثال: 7/4. هفت ضربدر چهار یک می دهد و باقیمانده 3/4 است. بنابراین ما کسری را به درست تبدیل کردیم - پاسخ 1 و 3/4 است.

کسر نامناسبکسری را طوری صدا کنید که صورت بزرگتر از مخرج. این بدان معناست که کسر مناسب کسری است که صورت آن کوچکتر از مخرج آن باشد. برای تبدیل کسر نامناسب به کسری مناسب، می توانید آن را به صورت یک عدد اعشاری نشان دهید. به عنوان مثال، 17/8 را می توان اینگونه نوشت: 2.125. یا اینطور بنویسید: 2 1/8.

کسری مناسب کسری است که مخرج آن بالاتر از صورت باشد. برای تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب، باید صورت کسر نامناسب را بر مخرج آن تقسیم کنید، نتیجه عددی با باقیمانده خواهد بود.

مثلاً 4 کامل و سه یازدهم، 4 را در 11 ضرب می کنیم و 3+، سپس بر 11 تقسیم می کنیم، 44+3 به دست می آوریم و بر 11 تقسیم می کنیم و کسری 47/11 به دست می آید. کسر نامناسب زمانی است که یک عدد صحیح مثلا 5.10 وجود داشته باشد، یعنی پنج عدد صحیح و 10/100، پنج عدد 100 و +10 را ضرب کنیم، 10/500 می شود. همچنین، اگر مثلاً 6.6، اینجا راحت تر است، 6 را در 6 ضرب می کنیم و +6 می شود 12/6، دو کاهش می دهیم، شش سوم می گیریم، شش سوم را به سه کاهش می دهیم، دوتای اول را می گیریم، دو بر یک تقسیم می کنیم، دو به دست می آوریم. یعنی 6.6 = 2.

خود کلمه - کسری به این معنی است که عدد کسری است، از یک کل (حداقل یک) کمتر است.

بنابراین لازم است عدد صحیح را از صورتگر استخراج کنیم. به عنوان مثال، عدد 30/4 یک کسری نامنظم است، زیرا 30 بزرگتر از 4 است. این بدان معنی است که شما فقط باید 30 را بر 4 تقسیم کنید و عدد قبل از نقطه اعشار - 7 را می گیریم و آن را در مقابل آن قرار می دهیم. کسر 7 را در 4 ضرب کنید و این عدد را از 30 کم کنید - 2 بدست می آید - در صورت کسر خواهد بود. مجموع - 7 2/4، کاهش - 7 1/2. در مثال شما، پاسخ 2 3/4 است.

برای این کار به یک خواننده نیاز دارید: مخرج.

کل بیرون آمده را در صورتگر بنویسید. مخرج آن چیزی است که بود. وقتی تقسیم می کنید، آن را به عنوان یک قسمت کامل یادداشت کنید.

11:4=2 (3 باقیمانده).

کسر صحیح را بدست می آوریم: 2 - 34 کامل

برای تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب، باید کل اجزا را شناسایی کرده و از کسر نامناسب کم کنید. در مورد ما، کسر نامناسب 11/4 است. دو (2) بخش کامل وجود خواهد داشت. آنها را کم می کنیم و کسر مناسب را بدست می آوریم: دو نقطه سه (2 امتیاز 3/4).



یک کسر نامناسب، در مورد ما 11/4، باید به کسری مناسب تبدیل شود، یعنی. در این مورد کسر مختلط. به بیان ساده، کسر نامناسب است زیرا علاوه بر کسری یک عدد صحیح نیز دارد. مانند کیکی است که در یخچال نشسته است، ناتمام، هرچند بریده شده، و روی میز چند تکه از کیک دوم باقی مانده است. وقتی از 4/11 صحبت می کنیم، دیگر درباره دو کیک کامل نمی دانیم، فقط یازده قطعه بزرگ می بینیم. 11 تقسیم بر 4 می شود 2 و باقیمانده 11-8 = 3 است. بنابراین، 2 کامل 3/4، اکنون کسر مناسب است، دارای صورت است مخرج کوچکتروجود خواهد داشت، اما مختلط، زیرا محاسبه بدون واحدهای کامل انجام نمی شد.

برای تبدیل کسر نامناسب به کسر مناسب، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. عدد صحیح به دست آمده را جلوی کسر قرار دهید و باقیمانده را در صورت حساب وارد کنید. مخرج تغییر نمی کند.

به عنوان مثال: کسری 11/4 کسر نامناسبی است که صورت آن 11 و مخرج آن 4 است.

ابتدا 11 را بر 4 تقسیم می کنیم، 2 عدد صحیح و 3 باقیمانده بدست می آوریم. 2 را جلوی کسر قرار می دهیم و 3 باقی مانده را در صورت 3/4 می نویسیم. بنابراین، کسر صحیح می شود - 2 کامل و 3/4.

کسر نامناسب دارای مخرج کوچکتر از صورت است که نشان می دهد این کسر دارای قسمت های صحیحی است که می توان آنها را از هم جدا کرد تا یک کسری مناسب با یک عدد صحیح تشکیل دهد.

ساده ترین راه برای تقسیم صورت بر مخرج. عدد صحیح حاصل را در سمت چپ کسر قرار می دهیم و باقیمانده را در صورت می نویسیم، مخرج ثابت می ماند.

به عنوان مثال 11/4. 11 را بر 4 تقسیم کنید و 2 و باقیمانده 3 را بدست آورید. دو عددی است که در کنار کسر قرار می دهیم و سه را در صورت کسر می نویسیم. 2 و 3/4 معلوم می شود.

برای پاسخ به این سوال ساده، می توانید همان مشکل ساده را حل کنید:

پتیا و والیا به جمع همسالان خود آمدند. همه آنها 11 نفر بودند (اما نه تعدادشان) و برای درمان همه، پتیا هر کدام را به چهار قسمت تقسیم کرد. برای همه کافی بود و حتی پنج قطعه باقی مانده بود.

پتیا چند سیب هدیه داد و چند سیب باقی مانده است؟ در کل چند نفر بودند؟

آیا می توانیم این را به صورت ریاضی بنویسیم؟

11 تکه سیب در مورد ما 11/4 است - کسری نامناسب به دست آوردیم، زیرا صورت از مخرج بزرگتر است.

برای انتخاب یک قسمت کامل (تبدیلکسر نامناسب به کسر مناسب)، شما نیاز دارید صورت تقسیم بر مخرجضریب ناقص (در مورد ما 2) را در سمت چپ بنویسید، باقی مانده (3) را در صورت رها کنید و مخرج را لمس نکنید.

در نتیجه بدست می آوریم 11/4 = 11:4 = 2 3/4 پتیا سیب ها را داد.

به همین ترتیب، 5/4 = 1 1/4 سیب باقی مانده است.

(11+5)/4 = 16/4 = ولیا 4 سیب آورد

در این مطلب به بررسی مفهوم اعداد مختلط می پردازیم. بیایید مثل همیشه با یک تعریف و مثال های کوچک شروع کنیم سپس ارتباط بین اعداد مختلط و کسرهای نامناسب را توضیح می دهیم. پس از آن، ما یاد خواهیم گرفت که چگونه به درستی جزء صحیح را از کسری جدا کنیم و در نتیجه یک عدد کامل بدست آوریم.

مفهوم اعداد مختلط

اگر مجموع n + a b را در نظر بگیریم، که در آن مقدار n می تواند هر عدد طبیعی باشد، و a b یک کسر معمولی مناسب است، می توانیم همان چیزی را بدون استفاده از یک مثبت بنویسیم: n a b. بیایید اعداد خاصی را برای وضوح در نظر بگیریم: به عنوان مثال، 28 + 5 7 همان 28 5 7 است. نوشتن کسری در کنار یک عدد صحیح را عدد مختلط می گویند.

تعریف 1

شماره های درهمعددی را نشان می دهد که برابر با مجموع عدد طبیعی n با کسر معمولی a b است. در این حالت n قسمت صحیح عدد و a b جزء کسری آن است.

از تعریف چنین بر می آید که هر عدد مختلط برابر با چیزی است که با جمع کردن اجزای صحیح و کسری آن به دست می آید. بنابراین، برابری n a b = n + a b برآورده می شود.

همچنین می توان آن را به صورت n + a b = n a b نوشت.

چند نمونه از اعداد مختلط چیست؟ بنابراین، آنها شامل 5 1 8 می شوند، در حالی که پنج جزء صحیح آن است، و یک هشتم یک کسری است. نمونه های بیشتر: 1 1 2، 234 34 53، 34000 6 25.

در بالا نوشتیم که قسمت کسری یک عدد مختلط فقط باید یک کسر مناسب داشته باشد. گاهی اوقات می توانید ورودی هایی مانند 5 22 3، 75 7 2 را پیدا کنید. آنها اعداد مختلط نیستند زیرا قسمت کسری آنها نادرست است. آنها باید به عنوان مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری درک شوند. چنین اعدادی را می توان به کاهش داد نمای استانداردنوشتن اعداد مختلط با خارج کردن کل جزء از کسر نامناسب و جمع کردن آن به ترتیب به 5 و 75 در این مثال ها.

اعداد فرم 0 3 14 نیز مخلوط نیستند. بخش اول شرط در اینجا برآورده نمی شود: قسمت صحیح باید فقط با یک عدد طبیعی نشان داده شود و صفر یک نیست.

چگونه کسرهای نامناسب و اعداد مختلط با یکدیگر ارتباط دارند

این ارتباط با یک مثال خاص به راحتی قابل مشاهده است.

مثال 1

بیایید یک کیک کامل و سه چهارم دیگر از همان کیک را برداریم. طبق قوانین اضافه کردن، روی میز 1 + 3 4 کیک داریم. این مقدار را می توان به صورت یک عدد مخلوط به صورت کیک 1 3 4 بیان کرد. اگر یک کیک کامل را برداریم و همچنین آن را به چهار قسمت مساوی برش دهیم، 7 4 کیک روی میز خواهیم داشت. بدیهی است که مقدار از برش افزایش نیافته است و 1 3 4 = 7 4.

مثال ما ثابت می کند که هر کسری نامناسب را می توان به عنوان یک عدد مختلط نشان داد.

بیایید به 7 4 کیک باقیمانده روی میز برگردیم. بیایید یک کیک را از تکه هایش دوباره کنار هم قرار دهیم (1 + 3 4). دوباره 1 3 4 خواهیم داشت.

پاسخ: 7 4 = 1 3 4 .

ما درک می کنیم که چگونه یک کسر نامناسب را به یک عدد مختلط تبدیل کنیم. اگر صورت کسر نامناسب دارای عددی باشد که بتوان آن را بدون باقیمانده بر مخرج تقسیم کرد، می‌توانیم این کار را انجام دهیم و کسر نامناسب ما تبدیل به یک عدد طبیعی می‌شود.

مثال 2

مثلا،

8 4 = 2، از 8: 4 = 2.

نحوه تبدیل عدد مختلط به کسر نامناسب

برای حل موفقیت آمیز مشکلات، مفید است که بتوانیم تولید کنیم و عمل معکوسیعنی ساختن کسرهای نامناسب از اعداد مختلط. در این پاراگراف به نحوه انجام صحیح این کار خواهیم پرداخت.

برای انجام این کار، باید دنباله ای از اقدامات زیر را تکرار کنید:

1. برای شروع، عدد مختلط موجود n a b را مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری تصور کنید. معلوم می شود n + a b

3. پس از این، عمل آشنا را انجام می دهیم - دو اضافه کنید کسرهای رایج n 1 و a b . کسر نامناسب حاصل برابر با عدد مخلوط داده شده در شرط خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک مثال خاص به این عمل نگاه کنیم.

مثال 3

5 3 7 را به عنوان کسر نامناسب بیان کنید.

راه حل

مراحل الگوریتم فوق را به صورت متوالی انجام می دهیم. عدد 5 3 7 ما مجموع اعداد صحیح و کسری است، یعنی 5 + 3 7. حالا بیایید پنج را به شکل 5 1 بنویسیم. جمع 5 1 + 3 7 را به دست آوردیم.

آخرین مرحله- جمع کسری با مخرج های مختلف:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

همه راه حل برای شکل مختصررا می توان به صورت 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 نوشت.

پاسخ: 5 3 7 = 38 7 .

بنابراین، با استفاده از زنجیره اقدامات فوق، می توانیم هر عدد مخلوط n a b را به کسر نامناسب تبدیل کنیم. ما فرمول n a b = n b + a b را داریم که برای حل مسائل بعدی از آن استفاده خواهیم کرد.

مثال 4

15 2 5 را به عنوان کسر نامناسب بیان کنید.

راه حل

بیایید فرمول مشخص شده را بگیریم و مقادیر مورد نیاز را در آن جایگزین کنیم. ما n = 15، a = 2، b = 5 داریم، بنابراین، 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5.

پاسخ: 15 2 5 = 77 5 .

ما معمولاً کسری نامناسب را به عنوان پاسخ نهایی درج نمی کنیم. مرسوم است که محاسبه را کامل کرده و با یک عدد طبیعی (تقسیم صورت بر مخرج) یا یک عدد مختلط جایگزین کنید. به عنوان یک قاعده، روش اول زمانی استفاده می شود که تقسیم صورت بر مخرج بدون باقیمانده امکان پذیر باشد، و روش دوم زمانی استفاده می شود که چنین عملی غیرممکن باشد.

وقتی کل یک کسر نامناسب را جدا می کنیم، آن را با یک عدد مخلوط مساوی جایگزین می کنیم.

بیایید بفهمیم که دقیقاً چگونه این کار انجام می شود.

تعریف 2

اجازه دهید دلیلی بر این گفته بیاوریم.

باید توضیح دهیم که چرا q r b = a b . برای انجام این کار، عدد مختلط q r b باید به عنوان یک کسر نامناسب نشان داده شود، که تمام مراحل الگوریتم پاراگراف قبل را دنبال می کند. از آنجایی که یک ضریب ناقص است و r باقیمانده تقسیم a بر b است، تساوی a = b · q + r باید برقرار باشد.

بنابراین، q b + r b = a b بنابراین q r b = a b. این گواه حرف ماست. بیایید خلاصه کنیم:

تعریف 3

جداسازی قسمت صحیح از یک کسر نامناسب a b به این ترتیب انجام می شود:

1) a را با باقیمانده بر b تقسیم کنید و ضریب ناقص q و باقیمانده r را جداگانه بنویسید.

2) نتایج را به شکل q r b می نویسیم. این عدد مختلط ما، برابر با کسر نامناسب اصلی است.

مثال 5

107 4 را به عنوان یک عدد مختلط در نظر بگیرید.

راه حل

با استفاده از ستون 104 را بر 7 تقسیم کنید:

با تقسیم عدد a = 118 بر مخرج b = 7، نصف جزئی نهایی q = 16 و باقیمانده r = 6 به ما می رسد.

در نتیجه، دریافت می کنیم که کسر نامناسب 118 7 برابر است با عدد مخلوط q r b = 16 6 7.

پاسخ: 118 7 = 16 6 7 .

فقط باید ببینیم چگونه یک کسری نامناسب را با یک عدد طبیعی جایگزین کنیم (به شرطی که صورت آن بر مخرج بدون باقیمانده بخش پذیر باشد).

برای انجام این کار، به یاد بیاوریم که چه ارتباطی بین کسرهای معمولی و تقسیم وجود دارد. از این می توان برابری های زیر را استخراج کرد: a b = a: b = c. معلوم می شود که کسر نامناسب a b را می توان با یک عدد طبیعی c جایگزین کرد.

مثال 6

به عنوان مثال، اگر معلوم شد که پاسخ یک کسر نامناسب 27 3 است، می توانیم به جای آن 9 بنویسیم، زیرا 27 3 = 27: 3 = 9.

پاسخ: 27 3 = 9 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

کسری

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

کسری ها در دبیرستان خیلی آزاردهنده نیستند. در اين لحظه - فعلا. تا زمانی که با قدرت هایی با توان های منطقی و لگاریتمی مواجه شوید. و اینجا... شما ماشین حساب را فشار داده و فشار می دهید، و نمایش کامل برخی از اعداد را نشان می دهد. باید مثل کلاس سوم با سر فکر کنید.

بیایید در نهایت کسری را بفهمیم! خب چقدر میشه توشون گیج شد!؟ علاوه بر این، همه چیز ساده و منطقی است. بنابراین، انواع کسرها چیست؟

انواع کسر. تحولات.

کسری وجود دارد سه نوع.

1. کسرهای رایج ، مثلا:

گاهی اوقات به جای یک خط افقی، یک اسلش قرار می دهند: 1/2، 3/4، 19/5، خوب، و غیره. در اینجا ما اغلب از این املا استفاده خواهیم کرد. شماره بالا نامیده می شود صورت کسر، پایین تر - مخرج.اگر دائماً این نام ها را اشتباه می گیرید (این اتفاق می افتد ...) این عبارت را با خود بگویید: ززززیاد آوردن! ززززمخرج - نگاه کنید zzzzzاوه!" نگاه کن، همه چیز به خاطر سپرده خواهد شد.)

خط تیره یا افقی یا مایل به معنای تقسیمعدد بالا (حساب) به پایین (مخرج). همین! به جای خط تیره، می توان یک علامت تقسیم - دو نقطه قرار داد.

وقتی تقسیم کامل امکان پذیر باشد، باید این کار انجام شود. بنابراین، به جای کسری "32/8" نوشتن عدد "4" بسیار دلپذیرتر است. آن ها 32 به سادگی بر 8 تقسیم می شود.

32/8 = 32: 8 = 4

من حتی در مورد کسری "4/1" صحبت نمی کنم. که آن هم فقط "4" است. و اگر کاملاً قابل تقسیم نباشد آن را به صورت کسری رها می کنیم. گاهی اوقات باید عمل مخالف را انجام دهید. یک عدد کامل را به کسری تبدیل کنید. اما در ادامه بیشتر در مورد آن.

2. اعداد اعشاری ، مثلا:

در این فرم است که باید پاسخ های وظایف "B" را یادداشت کنید.

3. اعداد مختلط ، مثلا:

اعداد مختلط عملاً در دبیرستان استفاده نمی شوند. برای کار با آنها باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند. اما قطعا باید بتوانید این کار را انجام دهید! در غیر این صورت در یک مشکل به چنین عددی برخورد می کنید و منجمد می شوید ... فضای خالی. اما ما این روش را به یاد خواهیم آورد! کمی پایین تر.

همه کاره ترین کسرهای رایج. بیایید با آنها شروع کنیم. به هر حال، اگر کسری شامل انواع لگاریتم ها، سینوس ها و حروف دیگر باشد، این چیزی را تغییر نمی دهد. به این معنا که همه چیز اعمال با عبارات کسری هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند!

خاصیت اصلی کسری.

پس بزن بریم! برای شروع، من شما را شگفت زده خواهم کرد. کل تنوع تبدیل کسری توسط یک ویژگی واحد ارائه می شود! اسمش همینه ویژگی اصلی کسری. یاد آوردن: اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد ضرب (تقسیم) شود، کسر تغییر نمی کند.آنهایی که:

واضح است که می‌توانید تا زمانی که صورتتان کبود شود، به نوشتن ادامه دهید. اجازه ندهید سینوس ها و لگاریتم ها شما را گیج کنند، ما بیشتر با آنها برخورد خواهیم کرد. نکته اصلی این است که بفهمیم همه این عبارات مختلف هستند همان کسری . 2/3.

آیا ما به آن نیاز داریم، این همه دگرگونی؟ و چطور! حالا خودتان خواهید دید. برای شروع، اجازه دهید از ویژگی اصلی یک کسری برای استفاده کنیم کسر کسرها. به نظر یک چیز ابتدایی می رسد. صورت و مخرج را بر یک عدد تقسیم کنید و تمام! اشتباه کردن غیر ممکن است! اما... انسان موجودی خلاق است. در هر جایی ممکن است اشتباه کنید! به خصوص اگر مجبور باشید نه کسری مانند 5/10، بلکه یک عبارت کسری را با انواع حروف کاهش دهید.

نحوه کاهش صحیح و سریع کسرها بدون انجام کار اضافی را می توانید در بخش ویژه 555 بخوانید.

یک دانش آموز عادی به خود زحمت نمی دهد که صورت و مخرج را بر یک عدد (یا عبارت) تقسیم کند! او به سادگی هر چیزی را که در بالا و پایین یکسان است خط می کشد! اینجاست که در کمین است اشتباه معمولیاگر بخواهید، یک blooper است.

به عنوان مثال، شما باید عبارت را ساده کنید:

در اینجا چیزی برای فکر کردن وجود ندارد، حرف "a" را در بالا و "2" را در پایین خط بزنید! ما گرفتیم:

همه چیز درست است. ولی واقعا تقسیم کردی همه شمارنده و همه مخرج "a" است. اگر عادت دارید که فقط خط بکشید، با عجله می توانید "a" را در عبارت خط بزنید.

و دوباره آن را دریافت کنید

که کاملاً نادرست خواهد بود. چون اینجا همهشمارنده روی "a" قبلاً وجود دارد به اشتراک نمی گذارد! این کسر قابل کاهش نیست. به هر حال، چنین کاهشی یک چالش جدی برای معلم است. این بخشیده نمی شود! یادت میاد؟ هنگام کاهش، باید تقسیم کنید همه شمارنده و همه مخرج!

کاهش کسری زندگی را بسیار آسان تر می کند. شما یک کسری در جایی به دست خواهید آورد، به عنوان مثال 375/1000. چگونه می توانم اکنون با او کار کنم؟ بدون ماشین حساب؟ ضرب، بگو، جمع، مربع!؟ و اگر خیلی تنبل نیستید، و به طور خلاصه آن را پنج، و پنج، و حتی... در حالی که در حال کوتاه شدن است، کاهش دهید. بیایید 3/8 بگیریم! خیلی زیباتر، درسته؟

ویژگی اصلی یک کسر به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را به اعشار و بالعکس تبدیل کنید بدون ماشین حساب! این برای آزمون یکپارچه دولتی مهم است، درست است؟

نحوه تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر

با کسرهای اعشاری همه چیز ساده است. همانطور که شنیده می شود، نوشته شده است! فرض کنید 0.25 است. این نقطه صفر بیست و پنج صدم است. بنابراین می نویسیم: 25/100. کاهش می دهیم (صورت و مخرج را بر 25 تقسیم می کنیم)، کسر معمولی را به دست می آوریم: 1/4. همه. این اتفاق می افتد و چیزی کاهش نمی یابد. مانند 0.3. این سه دهم است، یعنی. 3/10.

اگر اعداد صحیح صفر نباشند چه؟ خوبه. کل کسر را یادداشت می کنیم بدون هیچ کامادر صورت، و در مخرج - آنچه شنیده می شود. به عنوان مثال: 3.17. این سه امتیاز هفده صدم است. در صورت 317 و در مخرج 100 می نویسیم 317/100. هیچ چیز کاهش نمی یابد، این یعنی همه چیز. این پاسخ است. واتسون ابتدایی! از تمام آنچه گفته شد، یک نتیجه مفید: هر کسر اعشاری را می توان به کسری معمولی تبدیل کرد .

اما برخی افراد نمی توانند بدون ماشین حساب تبدیل معکوس از معمولی به اعشاری را انجام دهند. و لازم است! چگونه پاسخ را در آزمون یکپارچه دولتی یادداشت خواهید کرد!؟ با دقت بخوانید و به این روند مسلط شوید.

ویژگی کسر اعشاری چیست؟ مخرج او است همیشههزینه 10 یا 100 یا 1000 یا 10000 و غیره. اگر کسر مشترک شما مخرجی مانند این داشته باشد، مشکلی نیست. به عنوان مثال، 4/10 = 0.4. یا 7/100 = 0.07. یا 12/10 = 1.2. اگر جواب تکلیف در بخش "B" 1/2 بود چه؟ در پاسخ چه خواهیم نوشت؟ اعشار الزامی است ...

به یاد بیاوریم ویژگی اصلی کسری ! ریاضیات به شما امکان می دهد که صورت و مخرج را در همان عدد ضرب کنید. اتفاقاً هر چیزی! البته به جز صفر پس بیایید از این ویژگی به نفع خود استفاده کنیم! مخرج را در چه چیزی می توان ضرب کرد، i.e. 2 تا بشه 10 یا 100 یا 1000 (کوچکتر بهتره البته...)؟ در 5، بدیهی است. با خیال راحت مخرج را ضرب کنید (این است ماضروری) در 5. اما پس از آن صورت نیز باید در 5 ضرب شود ریاضیاتخواسته ها! ما 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 می گیریم. همین.

با این حال، انواع مخرج ها با هم روبرو می شوند. ممکن است به عنوان مثال با کسر 3/16 برخورد کنید. سعی کنید و بفهمید که 16 را در چه چیزی ضرب کنید تا به 100 یا 1000 تبدیل شود ... آیا کار نمی کند؟ سپس می توانید به سادگی 3 را بر 16 تقسیم کنید. در صورت عدم وجود ماشین حساب، باید با یک گوشه، روی یک تکه کاغذ تقسیم کنید، همانطور که در مدرسه ابتدایی تدریس می کردند. ما 0.1875 دریافت می کنیم.

و همچنین مخرج های بسیار بدی نیز وجود دارد. برای مثال، هیچ راهی برای تبدیل کسر 1/3 به اعشار خوب وجود ندارد. هم در ماشین حساب و هم روی یک تکه کاغذ 0.3333333 می گیریم... یعنی 1/3 کسر اعشاری دقیق است. ترجمه نمی کند. مانند 1/7، 5/6 و غیره. بسیاری از آنها وجود دارد، غیر قابل ترجمه. این ما را به یک نتیجه مفید دیگر می رساند. هر کسری را نمی توان به اعشار تبدیل کرد !

اتفاقا این اطلاعات مفیدبرای خودآزمایی در بخش "ب" باید یک کسر اعشاری را در پاسخ خود بنویسید. و شما مثلاً 4/3 گرفتید. این کسر به اعشار تبدیل نمی شود. این به این معنی است که شما در طول مسیر اشتباه کرده اید! برگردید و راه حل را بررسی کنید.

بنابراین، ما کسرهای معمولی و اعشاری را کشف کردیم. باقی مانده است که به اعداد مختلط بپردازیم. برای کار با آنها، آنها باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند. چگونه انجامش بدهیم؟ می توانید یک دانش آموز کلاس ششم را بگیرید و از او بپرسید. اما یک دانش آموز کلاس ششمی همیشه در دسترس نخواهد بود... شما باید خودتان این کار را انجام دهید. سخت نیست. باید مخرج قسمت کسری را در کل قسمت ضرب کنید و صورت جزء کسری را اضافه کنید. این رقم خواهد بود کسر مشترک. در مورد مخرج چطور؟ مخرج ثابت خواهد ماند. پیچیده به نظر می رسد، اما در واقعیت همه چیز ساده است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

فرض کنید از دیدن شماره موجود در مشکل وحشت کرده اید:

آرام و بدون وحشت فکر می کنیم. کل قسمت 1. واحد است. قسمت کسری 3/7 است. بنابراین، مخرج جزء کسری 7 است. این مخرج، مخرج کسر معمولی خواهد بود. شمارنده را می شماریم. 7 را در 1 (قسمت صحیح) ضرب می کنیم و 3 (شمار ​​بخش کسری) را اضافه می کنیم. ما 10 می گیریم. این عدد کسر مشترک خواهد بود. همین. در نمادهای ریاضی ساده تر به نظر می رسد:

آیا واضح است؟ سپس موفقیت خود را تضمین کنید! تبدیل به کسر معمولی. شما باید 10/7، 7/2، 23/10 و 21/4 را دریافت کنید.

عمل معکوس - تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط - به ندرت در دبیرستان مورد نیاز است. خوب، اگر چنین است... و اگر دبیرستانی نیستید، می توانید به بخش ویژه 555 نگاه کنید. به هر حال، در آنجا با کسرهای نامناسب نیز آشنا خواهید شد.

خب، این عملاً تمام است. انواع کسرها را به خاطر آوردی و فهمیدی چگونه آنها را از نوعی به نوع دیگر منتقل کنید. سوال باقی می ماند: برای چی انجام دهید؟ کجا و چه زمانی این دانش عمیق را به کار ببریم؟

من جواب میدم. هر مثالی به شما خواهد گفت اقدامات لازم. اگر در مثال کسرهای معمولی، اعشاری و حتی اعداد مختلط با هم مخلوط شوند، همه چیز را به کسرهای معمولی تبدیل می کنیم. همیشه می توان آن را انجام داد. خوب، اگر چیزی شبیه 0.8 + 0.3 می گوید، آن را بدون هیچ ترجمه ای به این صورت حساب می کنیم. چرا به کار اضافی نیاز داریم؟ ما راه حلی را انتخاب می کنیم که راحت باشد ما !

اگر تکلیف کاملاً باشد اعداد اعشاری، اما امم... چند تا بد، برو سراغ معمولی ها، امتحانشان کن! ببین همه چی درست میشه به عنوان مثال، شما باید عدد 0.125 را مربع کنید. اگر به استفاده از ماشین حساب عادت نکرده باشید، چندان آسان نیست! نه تنها باید اعداد را در یک ستون ضرب کنید، بلکه باید به این فکر کنید که کجا کاما را وارد کنید! قطعا در ذهن شما کار نخواهد کرد! اگر به کسری معمولی برویم چه؟

0.125 = 125/1000. ما آن را 5 کاهش می دهیم (این برای شروع است). ما 25/200 می گیریم. یک بار دیگر با 5. ما 5/40 می گیریم. اوه، هنوز در حال کوچک شدن است! بازگشت به 5! ما 1/8 می گیریم. ما به راحتی آن را مربع می کنیم (در ذهنمان!) و 1/64 را می گیریم. همه!

بیایید این درس را خلاصه کنیم.

1. سه نوع کسر وجود دارد. اعداد مشترک، اعشاری و مختلط.

2. اعداد اعشاری و مختلط همیشهرا می توان به کسر معمولی تبدیل کرد. انتقال معکوس نه همیشهدر دسترس.

3. انتخاب نوع کسری برای کار با یک کار بستگی به خود کار دارد. در حضور انواع متفاوتکسری در یک کار، قابل اعتمادترین چیز این است که به کسرهای معمولی بروید.

حالا می توانید تمرین کنید. ابتدا این کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

شما باید چنین پاسخ هایی دریافت کنید (در یک آشفتگی!):

بیایید این را جمع بندی کنیم. در این درس ما حافظه خود را تازه کردیم امتیاز کلیدیتوسط کسری با این حال، این اتفاق می افتد که چیز خاصی برای تازه کردن وجود ندارد...) اگر کسی کاملاً آن را فراموش کرده یا هنوز به آن مسلط نشده است ... سپس می توانید به بخش ویژه 555 بروید. تمام اصول اولیه در آنجا به تفصیل پوشش داده شده است. خیلی ها ناگهان همه چیز را بفهمدشروع می شوند. و کسری را در پرواز حل می کنند).

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.