ضرب یک عدد منظم در کسری. کسری. ضرب و تقسیم کسرها

در قرن پنجم پیش از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که مشهورترین آنها آپوریا «آخیل و لاک پشت» است. در اینجا چگونه به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها در حال حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ... تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشد ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از دیدگاه ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای اعمال واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. بیانیه انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازنگری و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت خودرو، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا به طور همزمان نیاز دارید، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (به طور طبیعی، شما هنوز هم به داده های اضافی برای محاسبات نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند). روی چه چیزی می خواهم تمرکز کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای کاوش فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

به خوبی تفاوت بین مجموعه و چند مجموعه در ویکی پدیا توضیح داده شده است. ما نگاه می کنیم.

همانطور که می بینید، "مجموعه نمی تواند دو عنصر یکسان داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در مجموعه وجود داشته باشد، چنین مجموعه ای "مولتی مجموعه" نامیده می شود. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچی را درک نمی کنند. این همان سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که در آن ذهن از کلمه "به طور کامل" غایب است. ریاضیدانان مانند مربیان عادی عمل می کنند و عقاید پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساختند، در هنگام آزمایشات پل در قایق زیر پل بودند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "به من فکر کن، من در خانه هستم" یا بهتر است بگوییم "ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می کند" پنهان می شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. مناسب نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.

ما ریاضیات را خیلی خوب خواندیم و حالا پشت میز پول نشسته ایم و حقوق می دهیم. اینجا یک ریاضی دان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می چینیم که در آن اسکناس هایی با همان فرقه می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و «مجموعه حقوق ریاضی» را به ریاضیدان می دهیم. ما ریاضیات را توضیح می دهیم که او بقیه صورت حساب ها را فقط زمانی دریافت می کند که ثابت کند مجموعه بدون عناصر یکسان با مجموعه با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اولاً منطق نمایندگان جواب می دهد: "شما می توانید آن را برای دیگران اعمال کنید، اما برای من نه!" علاوه بر این، اطمینان حاصل می شود که شماره اسکناس های متفاوتی در اسکناس های یک اسم وجود دارد، به این معنی که نمی توان آنها را عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، ما حقوق را در سکه حساب می کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار فیزیک را به یاد می آورد: سکه های مختلف دارای مقادیر مختلف کثیفی هستند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است ...

و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: مرزی که در آن سوی عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شود کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم در اینجا حتی نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مساحت فیلدها یکسان است، یعنی ما یک مولتی مجموعه داریم. اما اگر نام همان ورزشگاه ها را در نظر بگیریم، خیلی به دست می آید، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، مجموعه یکسانی از عناصر به طور همزمان هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. چقدر درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شولر یک آستین ترامپ را از آستین خود بیرون می آورد و شروع می کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ «متصور به عنوان یک کل واحد» یا «معمولا به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما آنها برای این کار شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که با آن بتوان مجموع ارقام هر عددی را پیدا کرد. از این گذشته، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم، و در زبان ریاضیات، کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را که نشان دهنده هر عددی است را بیابید." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به طور ابتدایی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، فرض کنید که عدد 12345 را داریم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد گرافیکی عدد تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک عکس دریافتی را به چند عکس حاوی اعداد جداگانه برش دادیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. شخصیت های گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را جمع کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که عدد را در کدام سیستم عددی بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفبا محاسبه، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با تعداد زیاد 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، عدد 26 را از مقاله درباره در نظر بگیرید. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ در نظر نخواهیم گرفت، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل اینکه مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر پیدا کنید، نتایج کاملاً متفاوتی به شما می دهد.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این هم دلیل دیگری بر این واقعیت است که . یک سوال برای ریاضیدانان: چگونه در ریاضیات به چیزی که عدد نیست نشان داده می شود؟ چه چیزی برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ برای شمن ها، من می توانم این اجازه را بدهم، اما برای دانشمندان، نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به‌عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر همان اقدامات با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت منجر شود نتایج متفاوتبعد از مقایسه آنها، دیگر ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه عمل ریاضیبه مقدار عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد، بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

آخ! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این یک آزمایشگاه برای مطالعه تقدس نامحدود ارواح در هنگام عروج به بهشت ​​است! نیمبوس در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... یک هاله در بالا و یک فلش به پایین نر است.

اگر چنین اثری از هنر طراحی دارید که چندین بار در روز از جلوی چشمانتان چشمک می زند،

پس جای تعجب نیست که شما ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیب چند تصویر: علامت منفی ، شماره چهار ، تعیین درجه). و من این دختر را احمقی نمی دانم که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوسی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. به عنوان مثال.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در سیستم اعداد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار عدد و حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

برای ضرب صحیح کسری در کسری یا کسری در عددی باید بدانید قوانین ساده. اکنون این قوانین را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ضرب کسری در کسری.

برای ضرب کسری در کسری باید حاصل ضرب اعداد و حاصل مخرج این کسرها را محاسبه کنید.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

به یک مثال توجه کنید:
صورت کسر اول را در کسر دوم ضرب می کنیم و همچنین مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می کنیم.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ بار 3) (7 \ بار 3) = \frac(4) (7)\\\)

کسر \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) به 3 کاهش یافته است.

ضرب کسری در عدد.

بیایید با قانون شروع کنیم هر عددی را می توان به صورت کسری \(\bf n = \frac(n)(1)\) نشان داد.

بیایید از این قانون برای ضرب استفاده کنیم.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

کسر نامناسب \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) به تبدیل شد کسر مختلط.

به عبارت دیگر، هنگام ضرب یک عدد در کسری، عدد را در صورت ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر بگذارید.مثال:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

ضرب کسرهای مختلط

برای ضرب کسرهای مختلط، ابتدا باید هر کسر مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید و سپس از قانون ضرب استفاده کنید. صورت با صورت ضرب می شود، مخرج با مخرج ضرب می شود.

مثال:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ بار 6) = \frac(3 \times \color(قرمز) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(قرمز) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

ضرب کسرها و اعداد متقابل.

کسر \(\bf \frac(a)(b)\) معکوس کسری \(\bf \frac(b)(a)\ است، به شرط اینکه a≠0,b≠0 باشد.
کسرهای \(\bf \frac(a)(b)\) و \(\bf \frac(b)(a)\) را متقابل می‌گویند. حاصل ضرب کسرهای متقابل 1 است.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

مثال:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

پرسش های مرتبط:
چگونه کسری را در کسری ضرب کنیم؟
جواب : حاصل ضرب کسرهای معمولی ضرب صورت با صورت، مخرج با مخرج است. برای بدست آوردن حاصل ضرب کسرهای مختلط باید آنها را به کسر نامناسب تبدیل کنید و طبق قوانین ضرب کنید.

چگونه کسرها را با مخرج های مختلف?
پاسخ: فرقی نمی کند که مخرج کسرها یکسان باشد یا متفاوت، ضرب طبق قاعده برای یافتن حاصل ضرب صورت با صورت، مخرج با مخرج انجام می شود.

چگونه کسرهای مختلط را ضرب کنیم؟
پاسخ: ابتدا باید کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید و سپس حاصل ضرب را طبق قوانین ضرب پیدا کنید.

چگونه یک عدد را در کسری ضرب کنیم؟
جواب: عدد را در صورت ضرب می کنیم و مخرج را ثابت می گذاریم.

مثال شماره 1:
حاصل ضرب را محاسبه کنید: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

راه حل:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ب) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( قرمز) (5)) (3 \times \color(قرمز) (5) \times 13) = \frac(4) (39)\)

مثال شماره 2:
حاصل ضرب عدد و کسری را محاسبه کنید: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

راه حل:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ب) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

مثال شماره 3:
متقابل \(\frac(1)(3)\) را بنویسید؟
پاسخ: \(\frac(3)(1) = 3\)

مثال شماره 4:
حاصل ضرب دو کسر متقابل را محاسبه کنید: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

راه حل:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

مثال شماره 5:
کسرهای معکوس متقابل می توانند به صورت زیر باشند:
الف) هر دو کسر مناسب؛
ب) کسرهای نامناسب به طور همزمان.
ج) اعداد طبیعی همزمان؟

راه حل:
الف) برای پاسخ به سوال اول از یک مثال استفاده می کنیم. کسری \(\frac(2)(3)\) مناسب است، متقابل آن برابر با \(\frac(3)(2)\) خواهد بود - نه کسر مناسب. پاسخ: خیر

ب) تقریباً در تمام شمارش کسرها، این شرط برقرار نیست، اما اعدادی هستند که در عین حال شرط نامناسب بودن کسر را برآورده می کنند. به عنوان مثال، کسر نامناسب \(\frac(3)(3)\) است، متقابل آن \(\frac(3)(3)\) است. دو کسر نامناسب بدست می آوریم. پاسخ: همیشه در شرایط خاصی نیست که صورت و مخرج برابر باشند.

ج) اعداد طبیعی اعدادی هستند که هنگام شمارش از آنها استفاده می کنیم، مثلاً 1، 2، 3، .... اگر عدد \(3 = \frac(3)(1)\ را بگیریم، متقابل آن \(\frac(1)(3)\) خواهد بود. کسری \(\frac(1)(3)\) یک عدد طبیعی نیست. اگر همه اعداد را مرور کنیم، متقابل همیشه یک کسری است، به جز 1. اگر عدد 1 را بگیریم، آنگاه متقابل آن \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) خواهد بود. = 1\). شماره 1 عدد طبیعی. پاسخ: فقط در یک مورد می توانند همزمان اعداد طبیعی باشند، اگر این عدد 1 باشد.

مثال شماره 6:
حاصل ضرب کسرهای مختلط را انجام دهید: a) \(4 \ بار 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

راه حل:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
ب) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

مثال شماره 7:
آیا دو عدد متقابل می توانند به طور همزمان اعداد مخلوط شوند؟

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید یک کسر مختلط \(1\frac(1)(2)\ را بگیریم، متقابل آن را پیدا کنیم، برای این ما آن را به کسری نامناسب ترجمه می کنیم \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . متقابل آن برابر با \(\frac(2)(3)\) خواهد بود. کسری \(\frac(2)(3)\) یک کسر مناسب است. پاسخ: دو کسر معکوس را نمی توان همزمان با یکدیگر مخلوط کرد.

ضرب کسرهای معمولی را به چند روش ممکن در نظر خواهیم گرفت.

ضرب کسری در کسری

این ساده ترین حالت است که در آن باید از موارد زیر استفاده کنید قوانین ضرب کسری.

به کسری را در کسری ضرب کن، لازم:

• عدد کسر اول را در عدد کسر دوم ضرب کرده و حاصل ضرب آنها را در کسر کسر جدید بنویسید.
• مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید و حاصل ضرب آنها را در مخرج کسر جدید بنویسید.

قبل از ضرب اعداد و مخرج، بررسی کنید که آیا کسرها قابل کاهش هستند یا خیر. کاهش کسری در محاسبات، محاسبات شما را بسیار تسهیل می کند.



ضرب کسری در یک عدد طبیعی

به کسر کردن ضرب در یک عدد طبیعیشما باید صورت کسر را در این عدد ضرب کنید و مخرج کسر را بدون تغییر رها کنید.

اگر حاصل ضرب کسری نامناسب است، فراموش نکنید که آن را به عدد مختلط تبدیل کنید، یعنی کل قسمت را انتخاب کنید.



ضرب اعداد مختلط

برای ضرب اعداد مختلط ابتدا باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.



روش دیگری برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی

گاهی اوقات هنگام محاسبه استفاده از روش متفاوتی برای ضرب راحت تر است کسر مشترکبه شماره

برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسری را بر این عدد تقسیم کنید و صورت را ثابت نگه دارید.



همانطور که از مثال مشاهده می شود، اگر مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی بخش پذیر باشد، استفاده از این نسخه از قانون راحت تر است.

اعمال با کسر

جمع کسری با مخرج یکسان

جمع کردن کسرها دو نوع است:

• جمع کردن کسرها با مخرج های مشابه
• جمع کسری با مخرج های مختلف

بیایید با جمع کسری با مخرج یکسان شروع کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. به عنوان مثال، بیایید کسرها و . اعداد را جمع می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم:



این مثال را می توان به راحتی درک کرد اگر به پیتزایی فکر کنیم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2کسر و .

دوباره اعداد را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:



پاسخ کسری نامناسب است. اگر پایان کار فرا برسد، مرسوم است که از شر کسرهای نامناسب خلاص شوید. برای خلاص شدن از شر کسری نامناسب، باید کل قسمت را در آن انتخاب کنید. در مورد ما، قسمت صحیح به راحتی تخصیص داده می شود - دو تقسیم بر دو برابر با یک است:



اگر به یک پیتزا فکر کنیم که به دو قسمت تقسیم شده است، این مثال به راحتی قابل درک است. اگر پیتزاهای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3. کسر و .



اگر به یک پیتزا فکر کنیم که به سه قسمت تقسیم شده است، این مثال به راحتی قابل درک است. اگر پیتزاهای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 4مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند و مخرج بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک تصویر به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به یک پیتزا اضافه کنید و پیتزاهای بیشتری اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و پیتزا بیشتر خواهید داشت.

همانطور که می بینید، جمع کسری با مخرج یکسان کار دشواری نیست. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را یکسان بگذارید.
2. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت را در آن انتخاب کنید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

اکنون یاد می گیریم که چگونه کسری را با مخرج های مختلف جمع کنیم. هنگام جمع کردن کسرها، مخرج آن کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسرها را می توان اضافه کرد زیرا مخرج های یکسانی دارند.

اما کسرها را نمی توان یکباره جمع کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

روش های مختلفی برای کاهش کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما تنها یکی از آنها را در نظر خواهیم گرفت، زیرا بقیه روش ها ممکن است برای یک مبتدی پیچیده به نظر برسند.

ماهیت این روش این است که ابتدا حداقل مضرب مشترک (LCM) مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند - NOC بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1. اضافه کردن کسر و

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین باید آنها را به یک مخرج (مشترک) بیاورید.

اول از همه، ما کمترین مضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 2 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 6 است.

LCM (2 و 3) = 6

اکنون به کسرها و . ابتدا LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم می کنیم و اولین عامل اضافی را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است.

عدد 2 حاصل اولین عامل اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، یک خط مورب کوچک در بالای کسر ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی پیدا شده را بالای آن می نویسیم:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و عامل اضافی دوم را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد 3 حاصل دومین عامل اضافی است. آن را به کسر دوم می نویسیم. مجدداً یک خط مایل کوچک بالای کسر دوم ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی یافت شده را بالای آن می نویسیم:

اکنون همه ما آماده ایم که اضافه کنیم. باقی مانده است که صورت و مخرج کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:



از نزدیک ببینید به چه چیزی رسیده ایم. ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا آخر کامل کنیم:



بنابراین مثال به پایان می رسد. برای اضافه کردن معلوم می شود.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک تصویر به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل و یک ششم دیگر پیتزا دریافت خواهید کرد:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. آوردن کسرها و مخرج مشترککسری گرفتیم و . این دو کسر با همان برش های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به همان مخرج تقلیل می یابد).



نقاشی اول یک کسر (چهار قطعه از شش) و تصویر دوم یک کسری (سه قطعه از شش) را نشان می دهد. از کنار هم قرار دادن این قطعات به دست می آید (هفت قطعه از شش). این کسر نادرست است، بنابراین قسمت صحیح را در آن برجسته کرده ایم. نتیجه این شد (یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا).

توجه داشته باشید که ما نقاشی کرده ایم مثال داده شدهخیلی مفصل AT موسسات آموزشیمرسوم نیست که به این صورت مفصل بنویسیم. شما باید بتوانید به سرعت LCM مخرج ها و فاکتورهای اضافی به آنها را بیابید، و همچنین به سرعت عوامل اضافی یافت شده توسط صورت و مخرج خود را ضرب کنید. وقتی در مدرسه بودیم، باید این مثال را به صورت زیر بنویسیم:



اما روی دیگر سکه نیز وجود دارد. اگر در مراحل اول مطالعه ریاضی یادداشت های دقیقی انجام نمی شود، سوالاتی از این دست «این عدد از کجا می آید؟»، «چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای آسان تر کردن جمع کردن کسر با مخرج های مختلف، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

3. LCM مخرج کسرها را بیابید.
4. LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید و برای هر کسر یک ضریب اضافی بدست آورید.
5. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
6. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند.
7. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از نمودار بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM را برای مخرج کسرها پیدا کنید

ما LCM را برای مخرج هر دو کسر پیدا می کنیم. مخرج کسرها اعداد 2، 3 و 4 هستند. شما باید LCM را برای این اعداد پیدا کنید:

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید و برای هر کسری یک ضریب اضافی بدست آورید.

LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم کنید، عدد 6 را بدست می آوریم. اولین عامل اضافی 6 را به دست آوردیم. آن را روی کسر اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 به دست می آید. دومین عامل اضافی 4 را به دست می آوریم. آن را روی کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 را بدست می آوریم. سومین عامل اضافی 3 را به دست می آوریم. آن را روی کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید

صورت‌ها و مخرج‌ها را در فاکتورهای اضافی ضرب می‌کنیم:

مرحله 4. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های (مشترک) یکسانی دارند. باقی مانده است که این کسرها را اضافه کنیم. جمع کردن:



اضافه در یک خط جا نمی شد، بنابراین ما عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل کردیم. این در ریاضیات مجاز است. وقتی یک عبارت در یک خط قرار نمی گیرد، به خط بعدی منتقل می شود و لازم است علامت مساوی (=) در انتهای سطر اول و در ابتدای یک سطر جدید قرار گیرد. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر جواب کسری نامناسب بود، قسمت صحیح آن را انتخاب کنید

پاسخ ما کسری نامناسب است. ما باید تمام قسمت آن را جدا کنیم. ما برجسته می کنیم:



جواب گرفت

تفریق کسری با مخرج یکسان

دو نوع تفریق کسری وجود دارد:

8. تفریق کسری با مخرج یکسان
9. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسری را با مخرج یکسان کم کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

برای مثال، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم. برای حل این مثال باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کرد و مخرج را ثابت گذاشت. بیا انجامش بدیم:

این مثال را می توان به راحتی درک کرد اگر به پیتزایی فکر کنیم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2مقدار عبارت را پیدا کنید.

مجدداً از صورت کسر اول، صورت کسر دوم را کم کنید و مخرج را ثابت کنید:

اگر به یک پیتزا فکر کنیم که به سه قسمت تقسیم شده است، این مثال به راحتی قابل درک است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 3مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. از شماره‌گذار کسر اول، باید شمارنده‌های کسرهای باقی‌مانده را کم کنید:

پاسخ کسری نامناسب است. اگر مثال کامل است، مرسوم است که از کسر نامناسب خلاص شوید. بیایید از کسر اشتباه در پاسخ خلاص شویم. برای انجام این کار، کل قسمت آن را انتخاب کنید:

همانطور که می بینید، تفریق کسری با مخرج یکسان هیچ چیز پیچیده ای ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را یکسان بگذارید.

اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را انتخاب کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال، یک کسر را می توان از یک کسر کم کرد، زیرا این کسرها مخرج های یکسانی دارند. اما کسری را نمی توان از کسری کم کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

مخرج مشترک مطابق همان اصل است که ما هنگام جمع کردن کسری با مخرج های مختلف استفاده کردیم. اول از همه، LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که روی کسر اول نوشته می شود. به همین ترتیب، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که روی کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها در عوامل اضافی خود ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسرهایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم.

مثال 1مقدار یک عبارت را پیدا کنید:

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

اکنون به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای این کار LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. چهار را روی کسر اول می نویسیم:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 را به دست می آوریم. سه برابر را روی کسر دوم می نویسیم:

اکنون همه ما آماده تفریق هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تا آخر کامل کنیم:

جواب گرفت

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک تصویر به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد.

این نسخه دقیق راه حل است. با حضور در مدرسه، باید این مثال را به روشی کوتاه‌تر حل کنیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسری و به مخرج مشترک نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با آوردن این کسرها به یک مخرج مشترک، کسر و . این کسرها با تکه های پیتزا یکسان نشان داده می شوند، اما این بار به کسرهای مشابه تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابد):

نقاشی اول یک کسری را نشان می دهد (هشت قطعه از دوازده)، و تصویر دوم یک کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده). با بریدن سه تکه از هشت تکه، از دوازده تکه پنج قطعه بدست می آید. کسری این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) بیاورید.

LCM مخرج این کسرها را بیابید.

مخرج کسرها اعداد 10، 3 و 5 هستند که کمترین مضرب مشترک این اعداد 30 است.

LCM(10، 3، 5) = 30

اکنون برای هر کسری فاکتورهای اضافی پیدا می کنیم. برای این کار LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم می کنیم.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10 است. 30 را بر 10 تقسیم کنید، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را روی کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را روی کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید، سومین عامل اضافی 6 را به دست می آوریم. آن را روی کسر سوم می نویسیم:

اکنون همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های (مشترک) یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تمام کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در خط جدید فراموش نکنید:

جواب کسر درستی بود و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است، اما خیلی دست و پا گیر و زشت است. ما باید آن را ساده تر و زیباتر کنیم. چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کاهش دهید. به یاد بیاورید که تقلیل کسری تقسیم صورت و مخرج بر بزرگترین است. مقسوم علیه مشترکصورت و مخرج.

برای کاهش صحیح یک کسری، باید صورت و مخرج آن را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 20 و 30 تقسیم کنید.

GCD را با NOC اشتباه نگیرید. رایج ترین اشتباه بسیاری از مبتدیان. GCD بزرگترین مقسوم علیه مشترک است. ما آن را برای کاهش کسر پیدا می کنیم.

و LCM کمترین مضرب مشترک است. ما آن را به منظور آوردن کسرها به مخرج یکسان (مشترک) پیدا می کنیم.

اکنون بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) اعداد 20 و 30 را پیدا خواهیم کرد.

بنابراین، GCD را برای اعداد 20 و 30 پیدا می کنیم:

GCD (20 و 30) = 10

اکنون به مثال خود باز می گردیم و صورت و مخرج کسر را بر 10 تقسیم می کنیم:

جواب خوبی گرفتم

ضرب کسری در عدد

برای ضرب یک کسری در یک عدد، باید صورت کسری را در این عدد ضرب کنید و مخرج را ثابت بگذارید.

مثال 1. کسر را در عدد 1 ضرب کنید.

عدد کسری را در عدد 1 ضرب کنید

ورودی را می توان به صورت نیم 1 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب می دانیم که اگر ضرب و ضریب مبادله شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند. اگر عبارت به صورت نوشته شود، محصول همچنان برابر خواهد بود. باز هم قانون ضرب یک عدد صحیح و یک کسری کار می کند:

این ورودی را می توان به عنوان گرفتن نیمی از واحد درک کرد. به عنوان مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد کسر را در 4 ضرب کنید

این عبارت را می توان به صورت دو چهارم 4 بار در نظر گرفت. مثلا اگر 4 بار پیتزا بخورید، دو پیتزا کامل دریافت می کنید.

و اگر ضرب و ضریب را در جای خود عوض کنیم، عبارت را به دست می آوریم. همچنین برابر با 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزا کامل فهمید:

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر پاسخ کسری نامناسب است، باید کل قسمت را در آن انتخاب کنید.

مثال 1مقدار عبارت را پیدا کنید.

جواب گرفت کاهش این کسر مطلوب است. کسر را می توان با 2 کاهش داد. سپس تصمیم نهاییبه شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نصف پیتزا فهمید. فرض کنید نصف پیتزا داریم:

چگونه از این نیمه دو سوم بگیریم؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و از این سه قطعه دو عدد بردارید:

پیتزا میگیریم به یاد داشته باشید که یک پیتزا به سه قسمت تقسیم شده است:

یک برش از این پیتزا و دو برشی که ما برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، ما در مورد همان اندازه پیتزا صحبت می کنیم. بنابراین، ارزش عبارت است

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

پاسخ کسری نامناسب است. بیایید یک قسمت کامل از آن را در نظر بگیریم:

مثال 3مقدار یک عبارت را پیدا کنید

جواب کسر صحیح بود اما اگر کم شود خوب می شود. برای کاهش این کسر باید آن را بر gcd صورت و مخرج تقسیم کرد. بنابراین، بیایید GCD اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

GCD برای (105 و 150) 15 است

اکنون صورت و مخرج پاسخ خود را به GCD تقسیم می کنیم:

نمایش یک عدد صحیح به صورت کسری

هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نشان داد. به عنوان مثال، عدد 5 را می توان به صورت . از این رو، پنج معنی خود را تغییر نمی دهد، زیرا این عبارت به معنای "عدد پنج تقسیم بر یک" است، و این، همانطور که می دانید، برابر با پنج است:

اعداد معکوس

اکنون با آن آشنا می شویم موضوع جالبدر ریاضیات به آن "اعداد معکوس" می گویند.

تعریف. معکوس به عدد آ عددی است که وقتی در آن ضرب می شود آ یک واحد می دهد.

بیایید در این تعریف به جای یک متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس به عدد 5 عددی است که وقتی در آن ضرب می شود 5 یک واحد می دهد.

آیا می توان عددی را پیدا کرد که با ضرب در 5 یک عدد بدست آورد؟ معلوم می شود می توانید. بیایید پنج را به صورت کسری نشان دهیم:

سپس این کسر را در خودش ضرب کنید، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر، کسر را در خودش ضرب کنید، فقط معکوس:

نتیجه این کار چه خواهد شد؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم، یکی به دست می آید:

این بدان معنی است که معکوس عدد 5 عدد است، زیرا وقتی 5 در یک ضرب شود، یک به دست می آید.

متقابل را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

• متقابل 3 یک کسری است
• متقابل 4 کسری است

شما همچنین می توانید متقابل را برای هر کسری دیگر پیدا کنید. برای این کار کافی است آن را برگردانید.

اعداد کسری معمولی ابتدا با دانش‌آموزان کلاس پنجم ملاقات می‌کنند و در طول زندگی آنها را همراهی می‌کنند، زیرا در زندگی روزمره اغلب لازم است برخی از شی‌ها را نه به طور کامل، بلکه در قطعات جداگانه در نظر بگیریم یا از آنها استفاده کنیم. شروع مطالعه این موضوع - به اشتراک بگذارید. سهام قسمت های مساوی هستندکه یک شی به آن تقسیم می شود. به هر حال، همیشه نمی توان مثلاً طول یا قیمت یک محصول را به صورت یک عدد صحیح بیان کرد؛ باید بخش ها یا سهم های هر معیاری را در نظر گرفت. در قرن هشتم خود کلمه "کسری" در روسی ظاهر شد که از فعل "در هم شکستن" - تقسیم کردن به قطعات و با ریشه عربی تشکیل شده است.

عبارات کسری مدتهاست که سخت ترین بخش ریاضیات در نظر گرفته شده است. در قرن هفدهم، هنگامی که اولین کتاب های درسی ریاضیات ظاهر شد، آنها را "اعداد شکسته" می نامیدند که نمایش آن در درک مردم بسیار دشوار بود.

ظاهر مدرنباقی مانده های کسری ساده، که قسمت هایی از آنها دقیقاً با یک خط افقی از هم جدا شده اند، برای اولین بار به فیبوناچی - لئوناردو از پیزا کمک کردند. نوشته های او به سال 1202 می رسد. اما هدف این مقاله این است که به سادگی و به وضوح برای خواننده توضیح دهد که چگونه ضرب کسرهای مختلط با مخرج های مختلف اتفاق می افتد.

ضرب کسری با مخرج های مختلف

در ابتدا لازم است مشخص شود انواع کسری:

• درست؛
• اشتباه؛
• مختلط

در مرحله بعد، باید به یاد داشته باشید که چگونه اعداد کسری با مخرج یکسان ضرب می شوند. قاعده این فرآیند به راحتی قابل فرمول بندی مستقل است: نتیجه ضرب کسرهای ساده با مخرج های یکسان یک عبارت کسری است که صورت آن حاصل ضرب اعداد و مخرج حاصل ضرب مخرج این کسرها است. . یعنی در واقع مخرج جدید مربع یکی از مخرج های موجود در ابتدا است.

هنگام ضرب کسرهای ساده با مخرج های مختلفبرای دو یا چند عامل، قانون تغییر نمی کند:

آ/ب * ج/د = a*c / ب*د.

تنها تفاوت این است که عدد تشکیل شده در زیر میله کسری حاصل ضرب اعداد مختلف خواهد بود و البته نمی توان آن را مربع یک عبارت عددی نامید.

شایان ذکر است که ضرب کسری با مخرج های مختلف را با استفاده از مثال ها در نظر بگیرید:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

مثال ها از روش هایی برای کاهش عبارات کسری استفاده می کنند. شما می توانید فقط اعداد صورت را با اعداد مخرج کاهش دهید؛ عوامل مجاور بالا یا پایین نوار کسری را نمی توان کاهش داد.

در کنار ساده اعداد کسری، مفهوم کسرهای مختلط وجود دارد. یک عدد مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است، یعنی مجموع این اعداد است:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

ضرب چگونه کار می کند؟

چندین مثال برای بررسی ارائه شده است.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

مثال از ضرب یک عدد در استفاده می کند بخش کسری معمولی، می توانید قانون این عمل را با فرمول یادداشت کنید:

آ* ب/ج = a*b /ج

در واقع چنین حاصل ضربی مجموع باقی مانده های کسری یکسان است و تعداد عبارت ها نشان دهنده این عدد طبیعی است. مورد خاص:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

گزینه دیگری برای حل ضرب یک عدد در باقیمانده کسری وجود دارد. فقط باید مخرج را بر این عدد تقسیم کنید:

د* e/f = e/f: د.

استفاده از این تکنیک زمانی مفید است که مخرج بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده یا به قول آنها کاملاً تقسیم شود.

اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و حاصل ضرب را به روشی که قبلا توضیح داده شد بدست آورید:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

این مثال شامل راهی برای نشان دادن یک کسر مختلط به عنوان یک کسر نامناسب است، همچنین می‌تواند به صورت نمایش داده شود. فرمول کلی:

آ بج = a*b+ c / c ، که در آن مخرج کسر جدید با ضرب جزء صحیح در مخرج و اضافه کردن آن به صورت باقی مانده کسری اصلی تشکیل می شود و مخرج ثابت می ماند.

این فرآیند نیز در آن کار می کند سمت معکوس. برای انتخاب قسمت صحیح و باقیمانده کسری، باید عدد کسر نامناسب را بر مخرج آن با یک "گوشه" تقسیم کنید.

ضرب کسرهای نامناسببه روش معمول تولید می شود. وقتی ورودی زیر یک خط کسری قرار می‌گیرد، در صورت لزوم، باید کسرها را کاهش دهید تا با استفاده از این روش، اعداد را کاهش دهید و محاسبه نتیجه آسان‌تر است.

در اینترنت کمک های زیادی برای حل مشکلات حتی پیچیده وجود دارد. مشکلات ریاضیکه در تغییرات مختلفبرنامه ها. تعداد کافی از این خدمات کمک خود را در شمارش ضرب کسری با اعداد مختلفدر مخرج - به اصطلاح ماشین حساب آنلاین برای محاسبه کسر. آنها نه تنها می توانند ضرب کنند، بلکه می توانند سایر عملیات های ساده حسابی را با کسرهای معمولی و اعداد مختلط انجام دهند. کار با آن دشوار نیست، فیلدهای مربوطه در صفحه سایت پر می شود، علامت عمل ریاضی انتخاب شده و "محاسبه" فشار داده می شود. برنامه به طور خودکار شمارش می شود.

موضوع عملیات حسابی با اعداد کسری در سراسر آموزش دانش آموزان راهنمایی و ارشد مرتبط است. در دبیرستان، آنها دیگر ساده ترین گونه ها را در نظر نمی گیرند، اما عبارات کسری عدد صحیح، اما دانش قوانین تبدیل و محاسبات، که قبلاً به دست آمده است، به شکل اصلی خود اعمال می شود. خوب هضم شده دانش عمومیاعتماد کامل به تصمیم خوباکثر کارهای چالش برانگیز.

در پایان، منطقی است که به سخنان لئو تولستوی استناد کنیم که نوشت: "انسان یک کسری است. این در اختیار انسان نیست که صورت خود را - شایستگی های خود - را زیاد کند، اما هرکس می تواند مخرج خود را - نظرش را نسبت به خودش کم کند و با این کاهش به کمال خود نزدیک شود.

دور زدن این RAKE در حال حاضر! 🙂

ضرب و تقسیم کسرها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که قوی هستند «نه خیلی. »
و برای کسانی که «بسیار یکنواخت. "")

این عمل بسیار زیباتر از جمع و تفریق است! چون راحت تره به شما یادآوری می کنم: برای ضرب کسری در کسری، باید اعداد را ضرب کنید (این صورت نتیجه خواهد بود) و مخرج ها (این مخرج خواهد بود). به این معنا که:

همه چیز فوق العاده ساده است. و لطفا به دنبال مخرج مشترک نباشید! اینجا لازم نیست...

برای تقسیم کسری بر کسری باید ورق بزنید دومین(این مهم است!) کسر کنید و آنها را ضرب کنید، یعنی:

اگر ضرب یا تقسیم با اعداد صحیح و کسری گرفته شود، اشکالی ندارد. مانند جمع، کسری از یک عدد کامل با یک واحد در مخرج درست می کنیم - و می رویم! مثلا:

در دبیرستان اغلب باید با کسری های سه طبقه (یا حتی چهار طبقه!) سر و کار داشته باشید. مثلا:

چگونه این کسری را به شکل مناسبی برسانیم؟ بله، خیلی راحت! از تقسیم در دو نقطه استفاده کنید:

اما دستور تقسیم را فراموش نکنید! برخلاف ضرب، اینجا خیلی مهم است! البته 4:2 یا 2:4 را اشتباه نخواهیم گرفت. اما در کسری سه طبقه اشتباه کردن آسان است. لطفاً به عنوان مثال توجه داشته باشید:

در حالت اول (عبارت سمت چپ):

در دوم (عبارت سمت راست):

تفاوت را احساس کنید؟ 4 و 1/9!

ترتیب تقسیم به چه صورت است؟ یا براکت ها، یا (مانند اینجا) طول خط تیره های افقی. یک چشم را توسعه دهید. و اگر براکت یا خط تیره وجود ندارد، مانند:

سپس تقسیم ضرب کنید به ترتیب از چپ به راست!

و یک ترفند بسیار ساده و مهم دیگر. در اقدامات با درجه، برای شما مفید خواهد بود! بیایید واحد را بر هر کسری تقسیم کنیم، به عنوان مثال، بر 13/15:

شات برگشت! و همیشه اتفاق می افتد. وقتی 1 را بر هر کسری تقسیم می کنیم، نتیجه همان کسری است که فقط معکوس می شود.

این همه اعمال با کسر است. چیز بسیار ساده است، اما بیش از حد کافی خطا می دهد. به توصیه های عملی توجه داشته باشید، و تعداد آنها (اشتباهات) کمتر خواهد بود!

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است! اینها کلمات رایج نیستند، آرزوهای خوب نیستند! این یک نیاز شدید است! تمام محاسبات در امتحان را به عنوان یک کار تمام عیار، با تمرکز و وضوح انجام دهید. بهتر است دو خط اضافی در یک پیش نویس بنویسید تا اینکه هنگام محاسبه در ذهن خود به هم بریزید.

2. در مثال های با انواع متفاوتکسری - به کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسری ها را تا حد توقف کاهش می دهیم.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق دو نقطه به عبارات عادی کاهش می دهیم (به ترتیب تقسیم را دنبال می کنیم!).

در اینجا وظایفی وجود دارد که باید انجام دهید. پاسخ ها بعد از تمام وظایف داده می شود. از مطالب این موضوع و توصیه های کاربردی استفاده کنید. تخمین بزنید که چند مثال را می توانید به درستی حل کنید. اولین بار! بدون ماشین حساب! و نتیجه گیری درستی بگیرید.

پاسخ صحیح را به خاطر بسپارید به دست آمده از بار دوم (مخصوصاً سوم) - حساب نمی شود!زندگی سخت چنین است.

بنابراین، در حالت امتحانی حل کنید ! اتفاقاً این آمادگی برای امتحان است. یک مثال را حل می کنیم، بررسی می کنیم، موارد زیر را حل می کنیم. ما همه چیز را تصمیم گرفتیم - دوباره از اول تا آخر بررسی کردیم. اما تنها بعد ازبه پاسخ ها نگاه کنید

به دنبال پاسخ هایی که مطابق با شما هستند. من عمداً آنها را به دور از وسوسه، به اصطلاح، در بهم ریختگی یادداشت کردم. در اینجا آنها هستند، پاسخ ها، با یک نقطه ویرگول از هم جدا شده اند.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

و اکنون نتیجه گیری می کنیم. اگر همه چیز درست شد - برای شما خوشحالم! محاسبات ابتدایی با کسری مشکل شما نیست! می توانید کارهای جدی تری انجام دهید. اگر نه.

بنابراین شما یکی از دو مشکل را دارید. یا هر دو در یک زمان.) عدم آگاهی و (یا) بی توجهی. ولی. آی تی قابل حل چالش ها و مسائل.

در بخش ویژه 555 "کسری" همه این نمونه ها (و نه تنها!) تحلیل می شوند. با توضیحات مفصل در مورد چیستی، چرایی و چگونه. چنین تحلیلی به کمبود دانش و مهارت کمک زیادی می کند!

بله، و در مورد مشکل دوم چیزی وجود دارد.) کاملا توصیه عملی, چگونه توجه بیشتری کنیم. بله بله! توصیه هایی که می تواند اعمال شود هر یک.

علاوه بر دانش و توجه، خودکارسازی خاصی برای موفقیت مورد نیاز است. از کجا باید تهیه کرد؟ آهی سنگین می شنوم... بله فقط در عمل، هیچ جای دیگر.

برای آموزش می توانید به سایت 321start.ru مراجعه کنید. در آنجا، در گزینه "امتحان"، 10 مثال برای استفاده همه وجود دارد. با تایید فوری برای کاربران ثبت نام شده - 34 نمونه از ساده تا شدید. این فقط برای کسری است.

اگر این سایت را دوست دارید.

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

در اینجا می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و از سطح خود مطلع شوید. تست با تایید فوری با علاقه یاد بگیرید!

و در اینجا می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

قانون 1

برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید صورت آن را در این عدد ضرب کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید.

قانون 2

برای ضرب کسری در کسری:

1. حاصل ضرب اعداد و حاصل مخرج این کسرها را بیابید

2. حاصل ضرب اول را به عنوان صورت و دومی را به عنوان مخرج بنویسید.

قانون 3

برای ضرب اعداد مختلط باید آنها را به صورت کسرهای نامناسب بنویسید و سپس از قانون ضرب کسرها استفاده کنید.

قانون 4

برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

مثال 1

محاسبه

مثال 2

محاسبه

مثال 3

محاسبه

مثال 4

محاسبه

ریاضی. مواد دیگر

افزایش یک عدد به قدرت عقلانی. (

بالا بردن عدد به توان طبیعی (

روش بازه تعمیم یافته برای حل نابرابری های جبری (نویسنده Kolchanov A.V.)

روش جایگزینی عوامل در حل نابرابری های جبری (نویسنده Kolchanov A.V.)

علائم تقسیم پذیری (Lungu Alena)

خود را در موضوع "ضرب و تقسیم کسرهای معمولی" آزمایش کنید

ضرب کسرها

ضرب کسرهای معمولی را به چند روش ممکن در نظر خواهیم گرفت.

ضرب کسری در کسری

این ساده ترین حالت است که در آن باید از موارد زیر استفاده کنید قوانین ضرب کسری.

به کسری را در کسری ضرب کن، لازم:

عدد کسر اول را در عدد کسر دوم ضرب کرده و حاصل ضرب آنها را در کسر کسر جدید بنویسید.

مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید و حاصل ضرب آنها را در مخرج کسر جدید بنویسید.

قبل از ضرب اعداد و مخرج، بررسی کنید که آیا کسرها قابل کاهش هستند یا خیر. کاهش کسری در محاسبات، محاسبات شما را بسیار تسهیل می کند.

ضرب کسری در یک عدد طبیعی

به کسر کردن ضرب در یک عدد طبیعیشما باید صورت کسر را در این عدد ضرب کنید و مخرج کسر را بدون تغییر رها کنید.

اگر حاصل ضرب کسری نامناسب است، فراموش نکنید که آن را به عدد مختلط تبدیل کنید، یعنی کل قسمت را انتخاب کنید.

ضرب اعداد مختلط

برای ضرب اعداد مختلط ابتدا باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.

روش دیگری برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی

گاهی اوقات در محاسبات استفاده از روش متفاوتی برای ضرب یک کسری معمولی در یک عدد راحت تر است.

برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسری را بر این عدد تقسیم کنید و صورت را ثابت نگه دارید.

همانطور که از مثال مشاهده می شود، اگر مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی بخش پذیر باشد، استفاده از این نسخه از قانون راحت تر است.

تقسیم کسری بر عدد

سریع ترین روش برای تقسیم کسری بر عدد چیست؟ بیایید تئوری را تجزیه و تحلیل کنیم، نتیجه گیری کنیم و از مثال هایی استفاده کنیم تا ببینیم چگونه تقسیم یک کسری بر یک عدد طبق یک قانون کوتاه جدید انجام می شود.

معمولاً تقسیم کسر بر عدد بر اساس قانون تقسیم کسر انجام می شود. عدد اول (کسری) در متقابل دوم ضرب می شود. از آنجایی که عدد دوم یک عدد صحیح است، متقابل آن کسری است که صورت آن برابر با یک و مخرج آن عدد داده شده است. از نظر شماتیک، تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی به صورت زیر است:

از این نتیجه می گیریم:

برای تقسیم یک کسری بر یک عدد، مخرج را در آن عدد ضرب کنید و صورت را ثابت بگذارید. این قانون را می توان حتی به طور خلاصه تر فرموله کرد:

وقتی کسری را بر عددی تقسیم می کنید، عدد به مخرج می رود.

کسری را بر عدد تقسیم کنید:

برای تقسیم کسری بر یک عدد، صورت را بدون تغییر بازنویسی می کنیم و مخرج را در این عدد ضرب می کنیم. 6 و 3 را 3 کاهش می دهیم.

وقتی کسری را بر یک عدد تقسیم می کنیم، صورت را دوباره می نویسیم و مخرج را در آن عدد ضرب می کنیم. 16 و 24 را به 8 کاهش می دهیم.

وقتی کسری را بر یک عدد تقسیم می کنیم، عدد به مخرج می رود، پس صورت را ثابت می گذاریم و مخرج را در مخرج ضرب می کنیم. ۲۱ و ۳۵ را ۷ کاهش می دهیم.

ضرب و تقسیم کسرها

آخرین بار یاد گرفتیم که چگونه کسرها را جمع و تفریق کنیم (به درس "جمع و تفریق کسرها" مراجعه کنید). سخت ترین لحظه در آن اقدامات، آوردن کسری به یک مخرج مشترک بود.

حالا وقت آن است که به ضرب و تقسیم بپردازیم. خبر خوب این است که این عملیات حتی ساده تر از جمع و تفریق است. برای شروع، در نظر بگیرید ساده ترین مورد، زمانی که دو کسر مثبت بدون یک قسمت صحیح متمایز وجود دارد.

برای ضرب دو کسر، باید صورت و مخرج آنها را جداگانه ضرب کنید. عدد اول صورت کسر جدید و عدد دوم مخرج خواهد بود.

برای تقسیم دو کسر، باید کسر اول را در ثانیه "معکوس" ضرب کنید.

از تعریف به دست می آید که تقسیم کسرها به ضرب کاهش می یابد. برای برگرداندن کسری، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. بنابراین، کل درس را عمدتاً ضرب در نظر خواهیم گرفت.

در نتیجه ضرب، یک کسر کاهش یافته می تواند ایجاد شود (و اغلب هم ایجاد می شود) - البته، باید کاهش یابد. اگر پس از همه کاهش ها، کسری نادرست است، کل قسمت باید در آن متمایز شود. اما چیزی که دقیقاً با ضرب اتفاق نمی افتد، کاهش به یک مخرج مشترک است: بدون روش متقاطع، حداکثر فاکتورها و حداقل مضرب های مشترک.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

طبق تعریف داریم:

ضرب کسرها با جزء صحیح و کسرهای منفی

اگر یک قسمت صحیح در کسرها وجود داشته باشد، آنها باید به موارد نامناسب تبدیل شوند - و تنها پس از آن طبق طرح های ذکر شده در بالا ضرب شوند.

اگر در صورت کسری، در مخرج یا جلوی آن، منهای وجود داشته باشد، طبق قوانین زیر می توان آن را از حدود ضرب خارج کرد یا به طور کلی حذف کرد:

1. به علاوه بار منهای منفی می دهد.
2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

تا به حال، این قوانین فقط هنگام جمع و تفریق کسرهای منفی، زمانی که برای خلاص شدن از شر کل قسمت لازم بود، مواجه می شدند. برای یک محصول، می توان آنها را تعمیم داد تا چندین منفی را به طور همزمان "سوزانند":

3. منفی ها را دو به دو خط می زنیم تا کاملا ناپدید شوند. در یک حالت شدید، یک منهای می تواند زنده بماند - کسی که مطابقت پیدا نکرده است.
4. اگر هیچ منفی باقی نمانده باشد، عملیات تکمیل شده است - می توانید ضرب را شروع کنید. اگر منهای آخر خط نخورد، چون جفتی پیدا نکرد، آن را از حدود ضرب خارج می کنیم. کسری منفی دریافت می کنید.

همه کسرها را به کسرهای نامناسب ترجمه می کنیم و سپس منهای را خارج از محدوده ضرب خارج می کنیم. آنچه باقی می ماند در ضرب می شود قوانین معمول. ما گرفتیم:

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که منهای قبل از کسری با یک قسمت صحیح برجسته به طور خاص به کل کسری اشاره دارد و نه فقط به قسمت صحیح آن (این در مورد دو مثال آخر صدق می کند).

همچنین توجه کنید اعداد منفی: وقتی ضرب می شوند داخل پرانتز قرار می گیرند. این کار به منظور جداسازی منهای از علائم ضرب و دقیق تر کردن کل نماد انجام می شود.

کاهش کسری در پرواز

ضرب یک عملیات بسیار پر زحمت است. اعداد در اینجا بسیار بزرگ هستند و برای ساده کردن کار، می توانید سعی کنید کسر را حتی بیشتر کاهش دهید قبل از ضرب. در واقع، در اصل، صورت‌ها و مخرج‌های کسرها عوامل معمولی هستند، و بنابراین، می‌توان آنها را با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر کاهش داد. به نمونه ها دقت کنید:

در همه مثال ها، اعدادی که کاهش یافته اند و آنچه از آنها باقی مانده است با رنگ قرمز مشخص شده اند.

لطفاً توجه داشته باشید: در مورد اول، ضریب ها به طور کامل کاهش یافت. واحدها در جای خود باقی ماندند که به طور کلی می توان آنها را حذف کرد. در مثال دوم، امکان کاهش کامل وجود نداشت، اما مقدار کل محاسبات همچنان کاهش یافت.

با این حال، به هیچ وجه از این تکنیک هنگام جمع و تفریق کسرها استفاده نکنید! بله، گاهی اوقات اعداد مشابهی وجود دارد که شما فقط می خواهید آنها را کاهش دهید. اینجا، نگاه کنید:

شما نمی توانید این کار را انجام دهید!

این خطا به این دلیل رخ می دهد که هنگام جمع کردن یک کسری، مجموع در صورت حساب کسری ظاهر می شود و نه حاصل ضرب اعداد. بنابراین، اعمال ویژگی اصلی یک کسر غیرممکن است، زیرا این ویژگی به طور خاص با ضرب اعداد سروکار دارد.

دلیل دیگری برای کاهش کسرها وجود ندارد، بنابراین تصمیم درستکار قبلی به این صورت است:

همانطور که می بینید، پاسخ صحیح چندان زیبا نبود. در کل مراقب باشید.

تقسیم کسرها.

تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی

نمونه هایی از تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری.

نمونه هایی از تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری

تقسیم کسرهای معمولی

نمونه هایی از تقسیم کسرهای معمولی

تقسیم اعداد مختلط

برای تقسیم یک عدد مختلط بر دیگری، شما نیاز دارید:
• تبدیل کسرهای مخلوط به نامناسب.
• کسر اول را در متقابل کسر دوم ضرب کنید.
• کسر حاصل را کاهش دهید.
• اگر کسری نامناسب به دست آوردید، کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل کنید.

نمونه هایی از تقسیم اعداد مختلط

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

هر گونه کامنت زشت حذف می شود و نویسندگان آنها در لیست سیاه قرار می گیرند!

به OnlineMSchool خوش آمدید.
نام من دوژیک میخائیل ویکتورویچ است. من صاحب و نویسنده این سایت هستم، من تمام آن را نوشتم مطالب نظری، و همچنین توسعه یافته است تمرینات آنلاینو ماشین حساب هایی که می توانید برای مطالعه ریاضی از آنها استفاده کنید.

کسری. ضرب و تقسیم کسرها.

ضرب کسری در کسری.

برای ضرب کسرهای معمولی لازم است که صورت را در صورت ضرب کنیم (عدد حاصلضرب را بدست می آوریم) و مخرج را در مخرج (مخرج حاصل را بدست می آوریم).

فرمول ضرب کسری:





قبل از شروع ضرب در صورت و مخرج، لازم است احتمال کاهش کسر را بررسی کنید. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید، ادامه محاسبات برای شما آسان تر خواهد بود.

توجه داشته باشید! نیازی به جستجوی مخرج مشترک نیست!!

تقسیم کسری معمولی بر کسری.

تقسیم کسر معمولی بر کسری به این صورت است: کسر دوم را برگردانید (یعنی صورت و مخرج را در جاها تغییر دهید) و پس از آن کسرها ضرب می شوند.

فرمول تقسیم کسرهای معمولی:





ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

توجه داشته باشید!وقتی کسری را در یک عدد طبیعی ضرب می کنیم، صورت کسری در عدد طبیعی ما ضرب می شود و مخرج کسری ثابت می ماند. اگر نتیجه محصول یک کسر نامناسب است، حتماً کل قسمت را با تبدیل کسر نامناسب به یک مخلوط انتخاب کنید.



تقسیم کسری که شامل یک عدد طبیعی است.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. همانطور که در مورد جمع، یک عدد صحیح را به کسری با یک واحد در مخرج تبدیل می کنیم. مثلا:



ضرب کسرهای مختلط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مخلوط به نامناسب.
• ضرب در صورت و مخرج کسرها؛
• ما کسر را کاهش می دهیم.
• اگر کسری نامناسب بدست آوریم، کسر نامناسب را به کسری مختلط تبدیل می کنیم.

توجه داشته باشید!برای ضرب یک کسر مختلط در کسر مختلط دیگر، ابتدا باید آنها را به شکل کسرهای نامناسب درآورید و سپس طبق قانون ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.



روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

استفاده از روش دوم ضرب کسر معمولی در یک عدد راحت تر است.

توجه داشته باشید!برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی، باید مخرج کسری را بر این عدد تقسیم کرد و صورت را بدون تغییر گذاشت.



از مثال بالا، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند سطحی

در دبیرستان، کسرهای سه طبقه (یا بیشتر) اغلب یافت می شوند. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده می شود:



توجه داشته باشید!هنگام تقسیم کسرها، ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

توجه داشته باشید، مثلا:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسر:

1. مهمترین چیز در کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقیق، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی را در پیش نویس بنویسید تا اینکه در محاسبات در ذهن خود گیج شوید.

2. در کارهای با انواع کسرها به سراغ نوع کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کم می کنیم تا زمانی که دیگر امکان کاهش وجود نداشته باشد.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق 2 نقطه به عبارات معمولی می آوریم.

• آهنگ بازنگری شده "Spring Tango" (زمان می رسد - پرندگان از جنوب می رسند) - موسیقی. والری میلیایف من اشتباه شنیدم، اشتباه متوجه شدم، به این معنا که حدس نمی زدم، همه افعال را با not جداگانه نوشتم، از پیشوند nedo- اطلاعی نداشتم. اتفاق می افتد، […]
• صفحه یافت نشد در سومین قرائت نهایی، بسته ای از اسناد دولتی که برای ایجاد مناطق اداری ویژه (SAR) ارائه می شود، به تصویب رسید. با توجه به خروج از اتحادیه اروپا، بریتانیا شامل منطقه مالیات بر ارزش افزوده اروپا نخواهد شد و […]
• کمیته تحقیقات مشترک در پاییز ظاهر می شود
• یک پتنت الگوریتمی چگونه یک پتنت الگوریتمی به نظر می رسد چگونه یک پتنت الگوریتم آماده می شود توضیحات فنیروش‌های ذخیره‌سازی، پردازش و انتقال سیگنال‌ها و/یا داده‌ها به‌طور خاص برای اهداف ثبت اختراع معمولاً هیچ مشکل خاصی ایجاد نمی‌کند و […]
• دانستن در مورد پیش نویس جدید بازنشستگی 12 دسامبر 1993 مهم است. FKZ، مورخ 30 دسامبر 2008 N 7-FKZ، […]
• چاستوشکاها در مورد بازنشستگی برای یک زن برای یک قهرمان روز باحال مردان برای قهرمان روز برای یک مرد - در کر برای قهرمان روز برای یک زن - شروع به بازنشستگان زنان کمیک هستند مسابقات برای بازنشستگان جالب میزبان خواهد شد : دوستان عزیز! یک لحظه توجه! حس! فقط […]