حجم یک بدنه چرخش یک شکل محدود شده با خطوط آنلاین. محاسبه حجم اجسام چرخشی با استفاده از انتگرال معین

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

در فرمول، عدد باید قبل از انتگرال باشد. بنابراین این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم حدس زدن نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" از نقشه تکمیل شده آسان است.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است: بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است ، که بسیار منطقی است.

بیایید حجم یک بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ خود باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کنید. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. می تواند سانتی متر مکعب باشد، می تواند باشد متر مکعب، شاید کیلومتر مکعب و غیره، این همان تعداد مرد سبز کوچک است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده قرار دهد.

مثال 2

حجم بدن را پیدا کنید، با چرخش تشکیل شده استحول محور شکل، محدود به خطوط,,

این یک مثال برای تصمیم مستقل. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مورد دیگر را در نظر بگیریم وظایف پیچیده، که اغلب در عمل نیز با آن مواجه می شوند.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده با خطوط، و

راه حل: اجازه دهید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط،،، محدود شده است، بدون اینکه فراموش کنیم که این معادله محور را مشخص می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور خود می چرخد، معلوم می شود که یک دونات سورئال با چهار گوشه است.

اجازه دهید حجم بدنه چرخش را به صورت محاسبه کنیم تفاوت در حجم اجسام.

ابتدا به شکل دایره شده با رنگ قرمز نگاه می کنیم. هنگامی که حول یک محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. اجازه دهید حجم این مخروط کوتاه شده را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره شده را در نظر بگیرید سبز. اگر بچرخانید این رقمدر اطراف محور، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه چرخش مورد نظر:

پاسخ:

جالب است که در در این موردراه حل را می توان با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر نوشته می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی به شما بگوییم.

مردم اغلب توهمات مربوط به حجم ها را دارند که توسط پرلمن (یکی دیگر) در کتاب مورد توجه قرار گرفت هندسه سرگرم کننده. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در کل زندگی خود معادل یک اتاق با مساحت 18 می نوشد. متر مربع، که برعکس حجم آن خیلی کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی تفکر را توسعه می دهد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های اصلی و غیر استاندارد برای مشکلات باشید. من اخیراً برخی از فصل ها را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان گرایان نیز قابل دسترسی است. نه، نیازی به لبخند زدن ندارید که من وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و افق های گسترده در ارتباطات چیز بزرگی است.

بعد از انحراف غزلیتصمیم گیری مناسب است کار خلاقانه:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. لطفا توجه داشته باشید که همه موارد در باند رخ می دهد، به عبارت دیگر، محدودیت های آماده ادغام در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، بگذارید مطالب درسی در مورد آن را به شما یادآوری کنم تبدیل هندسی نمودارها : اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. توصیه می شود حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتی تا ترسیم با دقت بیشتری تکمیل شود. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با استفاده از تکنیک های رسم نمودار ماهر و سریع تسلط پیدا کنید مواد آموزشیو تبدیل هندسی نمودارها. اما، در واقع، من قبلاً چندین بار در کلاس در مورد اهمیت نقاشی صحبت کرده ام.

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال با استفاده از آن وجود دارد انتگرال معینمی توانید مساحت یک شکل، حجم یک بدنه چرخش، طول قوس، مساحت سطح چرخش و موارد دیگر را محاسبه کنید. بنابراین سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوش بین باشید!

یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. معرفی کرد؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

- حول محور آبسیسا؛
- حول محور ارتین.

این مقاله هر دو مورد را بررسی خواهد کرد. روش دوم چرخش به خصوص جالب است؛ این روش بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان یک جایزه به آن باز خواهم گشت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل، و من به شما خواهم گفت که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. این خیلی مزیت نیست زیرا مطالب به خوبی با موضوع مطابقت دارد.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

شکل صاف حول یک محور

مثال 1

حجم جسمی را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل: همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با یک نقاشی شروع می شود شکل تخت . یعنی در صفحه لازم است یک شکل محدود شده با خطوط ساخته شود و فراموش نکنید که معادله محور را مشخص می کند. چگونه می توان یک طراحی را با کارآمدتر و سریع تر کامل کرد را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتداییو انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. این یک یادآوری چینی است و در این مرحله من بیشتر از این صحبت نمی کنم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است؛ این شکلی است که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، نتیجه یک بشقاب پرنده کمی بیضی شکل است که به صورت متقارن حول محور است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما من خیلی تنبل هستم که چیزی را در کتاب مرجع توضیح دهم، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم حدس زدن نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" از نقشه تکمیل شده آسان است.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل صفحه با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است:، بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است، که بسیار منطقی است.

بیایید حجم یک بدنه چرخشی را با استفاده از آن محاسبه کنیم این فرمول:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ خود باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کنید. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، متر مکعب باشد، کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این همان تعداد مرد سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده قرار دهد.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکلی که با خطوط محدود شده است را بیابید،

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل: بیایید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط , , , , , , , , , , محصور شده است، بدون اینکه فراموش کنیم که معادله محور را مشخص می کند:

بیایید حجم بدنه انقلاب را به صورت محاسبه کنیم تفاوت در حجم اجسام.

ابتدا به شکل دایره شده با رنگ قرمز نگاه می کنیم. هنگامی که حول یک محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. بیایید حجم این مخروط کوتاه شده را با .

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه چرخش مورد نظر:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر نوشته می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی به شما بگوییم.

مردم اغلب توهمات مربوط به حجم ها را دارند که توسط پرلمن (یکی دیگر) در کتاب مورد توجه قرار گرفت هندسه سرگرم کننده. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد به طور متوسط در تمام زندگی خود معادل یک اتاق 18 متر مربعی مایع می نوشد که برعکس حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی درک را توسعه می دهد و به شما می آموزد که به دنبال اصلی باشید. راه حل های غیر استانداردچالش ها و مسائل. من اخیراً برخی از فصل ها را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان گرایان نیز قابل دسترسی است. نه، نیازی به لبخند زدن ندارید که من وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و افق های گسترده در ارتباطات چیز بزرگی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. لطفا توجه داشته باشید که همه موارد در باند رخ می دهد، به عبارت دیگر، محدودیت های آماده ادغام در واقع داده شده است. نمودارها را به درستی رسم کنید توابع مثلثاتی، بگذارید مطالب درسی در مورد را به شما یادآوری کنم تبدیل هندسی نمودارها: اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. توصیه می شود حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتیتا ترسیم با دقت بیشتری تکمیل شود. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور ارتین نیز مهمان نسبتاً مکرر در تست ها. در طول مسیر مورد توجه قرار خواهد گرفت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلروش دوم ادغام در امتداد محور است، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که سودآورترین مسیر راه حل را پیدا کنید. معنای زندگی عملی نیز در این وجود دارد! همانطور که معلم من در مورد روش های تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

من آن را به همه توصیه می کنم، حتی آدمک های کامل. علاوه بر این، مطالب آموخته شده در پاراگراف دوم کمک ارزنده ای در محاسبه انتگرال های دوگانه می کند..

مثال 5

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط , , .

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط نکته دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید یک نقاشی بکشیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را مشخص می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را مشخص می کند. در مقابل ما سهمی کوچکی وجود دارد که "روی آن قرار دارد."

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول"، که در کلاس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کرد انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. علاوه بر این، مساحت شکل به صورت مجموع مساحت ها به دست می آید:
- در بخش ;
- در بخش

از همین رو:

چرا راه حل معمول در این مورد بد است؟ ابتدا دو انتگرال گرفتیم. ثانیاً انتگرال ها ریشه هستند و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند و علاوه بر این می توانید در جایگزینی حدود یکپارچگی دچار سردرگمی شوید. در واقع، انتگرال ها، البته، قاتل نیستند، اما در عمل همه چیز می تواند بسیار غم انگیزتر باشد، من فقط توابع "بهتر" را برای مشکل انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: حرکت به سمت توابع معکوسو ادغام در امتداد محور.

چگونه به توابع معکوس برسیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی نگاه می کنیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم راحت تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در این مورد، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و دیگر هیچ.

! توجه داشته باشید: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

لطفاً توجه داشته باشید که من چگونه ادغام را انجام دادم ، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی کار مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

تابع انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنیم.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم یک بدنه چرخش، در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس برویم. این کار قبلا انجام شده و در پاراگراف قبل به تفصیل توضیح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم یک بدنه چرخش را باید به عنوان اختلاف در حجم ها یافت.

شکل دایره شده به رنگ قرمز را حول محور می چرخانیم و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می کنیم. اجازه دهید این حجم را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را با حجم بدنه چرخش حاصل نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

تفاوت فرمول پاراگراف قبل چیست؟ فقط در نامه

اما مزیت یکپارچه سازی، که اخیراً در مورد آن صحبت کردم، بسیار ساده تر است ، به جای اینکه ابتدا انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

با این حال، نه یک پروانه بیمار.

توجه داشته باشید که اگر همان شکل صاف حول محور چرخانده شود، به طور طبیعی بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی با حجم متفاوت خواهید داشت.

مثال 6

یک شکل مسطح که با خطوط و یک محور محدود شده است.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام روی متغیر، مساحت شکل صفحه ای را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. علاقه مندان همچنین می توانند مساحت یک شکل را به روش "معمول" پیدا کنند و بدین ترتیب نقطه 1 را بررسی کنند). اما اگر، تکرار می کنم، یک شکل صاف را حول محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی با حجم متفاوت به دست خواهید آورد، اتفاقاً پاسخ صحیح (همچنین برای کسانی که دوست دارند مسائل را حل کنند).

راه حل کامل دو نکته پیشنهادی تکلیف در انتهای درس است.

بله، و فراموش نکنید که برای درک بدنه های چرخش و محدودیت های یکپارچه سازی، سر خود را به سمت راست خم کنید!

فرض کنید T یک جسم چرخشی باشد که از چرخش حول محور آبسیسا تشکیل شده است ذوزنقه منحنی، واقع در نیم صفحه بالایی و محدود به محور آبسیسا، خطوط مستقیم x=a و x=b و نمودار عملکرد پیوسته y=f(x).

بیایید ثابت کنیم که این است بدنه انقلاب مکعبی است و حجم آن با فرمول بیان می شود

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

ابتدا ثابت می کنیم که این بدنه چرخش منظم است اگر صفحه Oyz را عمود بر محور چرخش به عنوان \Pi انتخاب کنیم. توجه داشته باشید که مقطعی که در فاصله x از صفحه Oyz قرار دارد دایره ای به شعاع f(x) و مساحت آن S(x) برابر با \pi f^2(x) است (شکل 46). بنابراین تابع S(x) به دلیل پیوستگی f(x) پیوسته است. بعد، اگر S(x_1)\leqslant S(x_2)، پس این بدان معنی است که . اما پیش بینی مقاطع بر روی صفحه Oyz دایره هایی با شعاع f(x_1) و f(x_2) با مرکز O هستند و از f(x_1)\leqslant f(x_2)نتیجه این است که دایره ای به شعاع f(x_1) در دایره ای به شعاع f(x_2) قرار دارد.

پس بدنه انقلاب منظم است. بنابراین مکعب می شود و حجم آن با فرمول محاسبه می شود

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

اگر یک ذوزنقه منحنی هم در زیر و هم در بالا توسط منحنی های y_1=f_1(x)، y_2=f_2(x) محدود شده باشد، سپس

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

از فرمول (3) همچنین می توان برای محاسبه حجم یک بدنه چرخشی در مواردی که مرز یک شکل دوار داده شده است استفاده کرد. معادلات پارامتریک. در این حالت باید از تغییر متغیر زیر علامت انتگرال معین استفاده کنید.

در برخی موارد به نظر می رسد که تجزیه بدنه های چرخشی نه به استوانه های دایره ای مستقیم، بلکه به شکل هایی از نوع دیگر راحت است.

مثلا بیایید پیدا کنیم حجم جسمی که با چرخش ذوزنقه منحنی حول محور ارتین به دست می آید. ابتدا بیایید حجم به دست آمده از چرخش مستطیلی با ارتفاع y# را پیدا کنیم که در قاعده آن قطعه قرار دارد. این حجم برابر است با اختلاف حجم دو استوانه دایره ای مستقیم

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

اما اکنون مشخص است که حجم مورد نیاز از بالا و پایین به صورت زیر برآورد می شود:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

از اینجا به راحتی دنبال می شود فرمول حجم چرخش حول محور ارتین:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

مثال 4.بیایید حجم یک توپ به شعاع R را پیدا کنیم.

راه حل.بدون از دست دادن کلیت، دایره ای به شعاع R با مرکز آن در مبدا در نظر می گیریم. این دایره که حول محور Ox می چرخد، یک توپ را تشکیل می دهد. معادله یک دایره x^2+y^2=R^2 است، بنابراین y^2=R^2-x^2 است. با در نظر گرفتن تقارن دایره نسبت به محور ترتیبی، ابتدا نیمی از حجم مورد نیاز را پیدا می کنیم.

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

بنابراین حجم کل توپ برابر است با \frac(4)(3)\pi R^3.

مثال 5.حجم مخروطی که ارتفاع آن h و شعاع قاعده r آن است را محاسبه کنید.

راه حل.اجازه دهید یک سیستم مختصات را انتخاب کنیم تا محور Ox با ارتفاع h منطبق شود (شکل 47) و راس مخروط را به عنوان مبدا مختصات در نظر بگیریم. سپس معادله خط مستقیم OA به شکل y=\frac(r)(h)\,x نوشته می شود.

با استفاده از فرمول (3) به دست می آوریم:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

مثال 6.بیایید حجم جسمی را که با چرخش حول محور x سیارک به دست می آید، پیدا کنیم \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end (موارد)(شکل 48).

راه حل.بیایید یک سیارک بسازیم. اجازه دهید نیمی از قسمت بالایی سیارک را در نظر بگیریم که به طور متقارن نسبت به محور ارتین قرار دارد. با استفاده از فرمول (3) و تغییر متغیر زیر علامت انتگرال معین، حدود انتگرال را برای متغیر جدید t پیدا می کنیم.

اگر x=a\cos^3t=0، t=\frac(\pi)(2) و اگر x=a\cos^3t=a، t=0. با توجه به اینکه y^2=a^2\sin^6t و dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt، ما گرفتیم:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

حجم کل بدنی که در اثر چرخش سیارک شکل می گیرد، خواهد بود \frac(32\pi)(105)\,a^3.

مثال 7.اجازه دهید حجم جسمی را که با چرخش حول محور منحنی ذوزنقه ای منحنی محدود به محور x و اولین قوس سیکلوئید به دست می آید، پیدا کنیم. \شروع(موارد)x=a(t-\sin(t))،\\ y=a(1-\cos(t)).\end(موارد).

راه حل.بیایید از فرمول (4) استفاده کنیم: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx، و متغیر را در زیر علامت انتگرال جایگزین کنید، با در نظر گرفتن اینکه اولین قوس سیکلوئید زمانی تشکیل می شود که متغیر t از 0 به 2\pi تغییر کند. بدین ترتیب،

\begin(تراز شده)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end (تراز شده)

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

شکل صاف حول یک محور

مثال 3

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط , , .

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط نکته دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید یک نقاشی بکشیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "عادی" یافت. علاوه بر این، مساحت شکل به صورت مجموع مساحت ها به دست می آید:

- در بخش ;

- در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: شامل تغییر به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس برسیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی نگاه می کنیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم راحت تر است:

! توجه داشته باشید : محدودیت های یکپارچه سازی محور باید قرار گیردبه شدت از پایین به بالا !

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

تابع انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنیم.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را با حجم بدنه چرخش حاصل نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

تفاوت فرمول پاراگراف قبل چیست؟ فقط در نامه

پاسخ:

مثال 7

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده با منحنی ها و .

راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم:

در طول مسیر با نمودارهای برخی توابع دیگر آشنا می شویم. این یک نمودار جالب است حتی عملکرد ….

برای یافتن حجم یک بدنه چرخش کافی است از نیمه سمت راست شکل که با رنگ آبی سایه زدم استفاده کنید. هر دو تابع زوج هستند، نمودارهای آنها در مورد محور متقارن است و شکل ما متقارن است. به این ترتیب سایه قسمت راست، چرخش حول محور، مطمئناً با قسمت هچ نشده سمت چپ منطبق خواهد شد.

چگونه با استفاده از یک انتگرال معین حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

بعلاوه پیدا کردن مساحت یک شکل صفحه با استفاده از یک انتگرال معین مهمترین کاربرد موضوع است محاسبه حجم یک بدنه انقلاب. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: شما باید بتوانید حل کنید انتگرال های نامعین پیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین . همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با کمک مواد روش شناختی بر تکنیک های رسم نمودار ماهر و سریع تسلط پیدا کنید . اما، در واقع، من قبلاً چندین بار در کلاس در مورد اهمیت نقاشی صحبت کرده ام. .

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد؛ با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت یک شکل، حجم بدنه چرخش، طول قوس، مساحت سطح را محاسبه کنید. یک بدن و خیلی بیشتر. بنابراین سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوش بین باشید!

– حول محور x؛ - حول محور ارتین.

این مقاله هر دو مورد را بررسی خواهد کرد. روش دوم چرخش به خصوص جالب است؛ این روش بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان یک جایزه به آن باز خواهم گشت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل ، و من به شما خواهم گفت که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. این خیلی مزیت نیست زیرا مطالب به خوبی با موضوع مطابقت دارد.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

مثال 1

حجم جسمی را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف آغاز می شود. یعنی در یک صفحه لازم است یک شکل محدود شده با خطوط ساخته شود و فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند. چگونه می توان یک طراحی را با کارآمدتر و سریع تر کامل کرد را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتدایی و انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . این یک یادآوری چینی است و در این مرحله من بیشتر از این صحبت نمی کنم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است؛ این شکلی است که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، نتیجه یک بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل است که حول محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما من خیلی تنبل هستم که در کتاب مرجع نگاه کنم، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم حدس زدن نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" از نقشه تکمیل شده آسان است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است: بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که بسیار منطقی است.

بیایید حجم یک بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنیم:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

مثال 2

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکلی که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده با خطوط، و

راه حل:اجازه دهید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط،،، محدود شده است، بدون اینکه فراموش کنیم که این معادله محور را مشخص می کند:

بیایید حجم بدنه انقلاب را به صورت محاسبه کنیم تفاوت در حجم اجسام.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز در بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه چرخش مورد نظر:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر نوشته می شود، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی به شما بگوییم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند که توسط پرلمن (نه آن یکی) در کتاب مورد توجه قرار گرفته است. هندسه سرگرم کننده. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد به طور متوسط در تمام زندگی خود معادل یک اتاق 18 متر مربعی مایع می نوشد که برعکس حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 توسط او نوشته شده است، همانطور که طنزپرداز گفت، به خوبی توسعه می یابد و به فرد می آموزد که به دنبال راه حل های اصلی و غیر استاندارد برای مشکلات باشد. من اخیراً برخی از فصل ها را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان گرایان نیز قابل دسترسی است. نه، نیازی به لبخند زدن ندارید که من وقت آزاد را ارائه دادم، علم و دانش و افق های گسترده در ارتباطات چیز بزرگی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های عملا آماده ادغام داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید؛ اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتی و با دقت بیشتری نقشه را کامل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور ارتین نیز یک مهمان نسبتاً رایج در کار آزمایشی است. در طول مسیر مورد توجه قرار خواهد گرفت مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل روش دوم ادغام در امتداد محور است، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که سودآورترین مسیر راه حل را پیدا کنید. معنای زندگی عملی نیز در این وجود دارد! همانطور که معلم من در مورد روش های تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل صاف محدود شده با خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید. 2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط نکته دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید یک نقاشی بکشیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول"، که در کلاس مورد بحث قرار گرفت، پیدا کرد انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . علاوه بر این، مساحت شکل به صورت مجموع مساحت ها به دست می آید: - در بخش ; - در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: شامل تغییر به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس برسیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی نگاه می کنیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم راحت تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. علاوه بر این، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشنا است پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و دیگر هیچ.