Trouvez les limites des fonctionnalités suivantes en ligne. Limites remarquables. Exemples de solutions

La première limite remarquable est appelée l'égalité suivante :

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Puisque pour $\alpha\to(0)$ on a $\sin\alpha\to(0)$, on dit que le premier merveilleuse limite révèle l'incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. De manière générale, dans la formule (1), au lieu de la variable $\alpha$, sous le signe du sinus et au dénominateur, n'importe quelle expression peut être localisée, pourvu que deux conditions soient remplies :

Les expressions sous le signe du sinus et au dénominateur tendent simultanément vers zéro, c'est-à-dire il existe une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$.
Les expressions sous le signe sinus et au dénominateur sont les mêmes.

Les corollaires de la première limite remarquable sont aussi souvent utilisés :

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(équation)

Onze exemples sont résolus sur cette page. L'exemple n°1 est consacré à la preuve des formules (2)-(4). Les exemples #2, #3, #4 et #5 contiennent des solutions avec des commentaires détaillés. Les exemples 6 à 10 contiennent des solutions avec peu ou pas de commentaires, car des explications détaillées ont été données dans les exemples précédents. La solution utilise quelques formules trigonométriques qui peut être trouvé.

A noter que la présence fonctions trigonométriques couplé à l'incertitude de $\frac (0) (0)$ ne signifie pas que la première limite remarquable doit être appliquée. Parfois, de simples transformations trigonométriques suffisent - par exemple, voir.

Exemple 1

Prouver que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Puisque $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, alors :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Puisque $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ et $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , alors:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Faisons le remplacement $\alpha=\sin(y)$. Puisque $\sin(0)=0$, alors à partir de la condition $\alpha\to(0)$ nous avons $y\to(0)$. De plus, il existe un voisinage de zéro où $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, donc :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'égalité $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ est démontrée.

c) Faisons le remplacement $\alpha=\tg(y)$. Puisque $\tg(0)=0$, les conditions $\alpha\to(0)$ et $y\to(0)$ sont équivalentes. De plus, il existe un voisinage de zéro où $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, donc, en s'appuyant sur les résultats du point a), on aura :

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

L'égalité $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ est démontrée.

Les égalités a), b), c) sont souvent utilisées avec la première limite remarquable.

Exemple #2

Limite de calcul $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Puisque $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ et $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, c'est-à-dire et le numérateur et le dénominateur de la fraction tendent simultanément vers zéro, alors on a affaire ici à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$, c'est-à-dire effectué. De plus, on peut voir que les expressions sous le signe sinus et dans le dénominateur sont les mêmes (c'est-à-dire et est satisfait):

Ainsi, les deux conditions énumérées au début de la page sont remplies. Il s'ensuit que la formule est applicable, c'est-à-dire $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Réponse: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemple #3

Trouvez $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Comme $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ et $\lim_(x\to(0))x=0$, on a affaire à une incertitude de la forme $\frac( 0 )(0)$, c'est-à-dire effectué. Cependant, les expressions sous le signe sinus et dans le dénominateur ne correspondent pas. Ici, il est nécessaire d'ajuster l'expression du dénominateur à la forme souhaitée. Nous avons besoin que l'expression $9x$ soit dans le dénominateur - alors elle deviendra vraie. Fondamentalement, il nous manque le facteur $9$ dans le dénominateur, ce qui n'est pas si difficile à saisir, multipliez simplement l'expression dans le dénominateur par $9$. Naturellement, pour compenser la multiplication par 9$, vous devrez immédiatement diviser par 9$ et diviser :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Maintenant, les expressions au dénominateur et sous le signe sinus sont les mêmes. Les deux conditions pour la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sont satisfaites. Donc $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Et cela signifie que :

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Réponse: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemple #4

Trouvez $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Puisque $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ et $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, on a affaire ici à une indétermination du forme $\frac(0)(0)$. Cependant, la forme de la première limite remarquable est brisée. Un numérateur contenant $\sin(5x)$ nécessite $5x$ au dénominateur. Dans cette situation, le moyen le plus simple est de diviser le numérateur par $5x$ et de multiplier immédiatement par $5x$. De plus, nous allons effectuer une opération similaire avec le dénominateur, en multipliant et en divisant $\tg(8x)$ par $8x$ :

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

En réduisant de $x$ et en retirant la constante $\frac(5)(8)$ du signe limite, on obtient :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Notez que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisfait pleinement aux exigences de la première limite remarquable. Pour trouver $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ la formule suivante est applicable :

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Réponse: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemple #5

Trouvez $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (rappelons que $\cos(0)=1$) et $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, alors on a affaire à une indétermination de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, pour appliquer la première limite merveilleuse, vous devez vous débarrasser du cosinus au numérateur en passant aux sinus (afin d'appliquer ensuite la formule) ou aux tangentes (afin d'appliquer ensuite la formule). Vous pouvez le faire avec la transformation suivante :

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Revenons à la limite :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

La fraction $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ est déjà proche de la forme requise pour la première limite remarquable. Travaillons un peu avec la fraction $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, en l'ajustant à la première limite merveilleuse (notez que les expressions dans le numérateur et sous le sinus doivent correspondre) :

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Revenons à la limite considérée :

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Réponse: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemple #6

Trouvez la limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ et $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, alors nous avons affaire à l'incertitude de $\frac(0)(0)$. Ouvrons-le à l'aide de la première limite remarquable. Pour ce faire, passons de cosinus à sinus. Puisque $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, alors :

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

En passant dans la limite donnée aux sinus, on aura :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Réponse: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemple #7

Calculer la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ étant donné $\alpha\neq\ beta $.

Des explications détaillées ont été données précédemment, mais ici nous remarquons simplement qu'il y a à nouveau une indétermination de $\frac(0)(0)$. Passons des cosinus aux sinus en utilisant la formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

En utilisant la formule ci-dessus, on obtient :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\droite| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Réponse: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Exemple #8

Trouvez la limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Puisque $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (rappelons que $\sin(0)=\tg(0)=0$) et $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, alors on a affaire ici à une indétermination de la forme $\frac(0)(0)$. Décomposons-le comme ceci :

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Réponse: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemple #9

Trouvez la limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Puisque $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ et $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, alors il y a une indétermination de la forme $\frac(0)(0)$. Avant de procéder à son expansion, il convient de changer la variable de manière à ce que la nouvelle variable tende vers zéro (notez que la variable $\alpha \vers 0$ dans les formules). Le plus simple est d'introduire la variable $t=x-3$. Cependant, pour faciliter les transformations ultérieures (cet avantage peut être vu au cours de la solution ci-dessous), il vaut la peine de faire le remplacement suivant : $t=\frac(x-3)(2)$. Notez que les deux substitutions sont applicables dans ce cas, seul le deuxième remplacement vous permettra de travailler moins avec des fractions. Depuis $x\to(3)$, alors $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\droite| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Réponse: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemple #10

Trouver la limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Encore une fois, nous avons affaire à l'incertitude de $\frac(0)(0)$. Avant de procéder à son expansion, il convient de changer la variable de manière à ce que la nouvelle variable tende vers zéro (notez que la variable est $\alpha\to(0)$ dans les formules). Le plus simple est d'introduire la variable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Puisque $x\to\frac(\pi)(2)$, alors $t\to(0)$ :

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Réponse: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemple #11

Trouver les limites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Dans ce cas, nous n'avons pas à utiliser la première limite merveilleuse. Attention : dans la première comme dans la deuxième limite, il n'y a que des fonctions trigonométriques et des nombres. Souvent, dans des exemples de ce genre, il est possible de simplifier l'expression située sous le signe limite. Dans ce cas, après la simplification mentionnée et la réduction de certains facteurs, l'incertitude disparaît. J'ai donné cet exemple dans un seul but : montrer que la présence de fonctions trigonométriques sous le signe limite ne signifie pas nécessairement l'application de la première limite remarquable.

Puisque $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (rappelons que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) et $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (rappelez-vous que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), alors nous avons affaire à l'incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Cependant, cela ne signifie pas du tout que nous devons utiliser la première limite remarquable. Pour révéler l'incertitude, il suffit de prendre en compte que $\cos^2x=1-\sin^2x$ :

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Il existe une solution similaire dans le livre de solutions de Demidovich (n ° 475). Quant à la deuxième limite, comme dans les exemples précédents de cette section, nous avons une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Pourquoi surgit-il ? Cela se produit parce que $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ et $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Nous utilisons ces valeurs pour transformer des expressions au numérateur et au dénominateur. Le but de nos actions : écrire la somme au numérateur et au dénominateur sous forme de produit. D'ailleurs, il est souvent commode de changer une variable à l'intérieur d'une forme similaire pour que la nouvelle variable tende vers zéro (voir par exemple les exemples n°9 ou n°10 sur cette page). Cependant, dans cet exemple il ne sert à rien de remplacer la variable, même si, si on le souhaite, le changement de la variable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ est facile à mettre en œuvre.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Comme vous pouvez le voir, nous n'avons pas eu à appliquer la première limite merveilleuse. Bien sûr, cela peut être fait si vous le souhaitez (voir note ci-dessous), mais ce n'est pas nécessaire.

Quelle serait la solution en utilisant la première limite remarquable ? afficher/masquer

En utilisant la première limite remarquable, on obtient :

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ droite))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Réponse: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

La théorie des limites est l'une des sections analyse mathematique. La question de la résolution des limites est assez vaste, car il existe des dizaines de méthodes pour résoudre les limites diverses sortes. Il existe des dizaines de nuances et d'astuces qui vous permettent de résoudre l'une ou l'autre limite. Néanmoins, nous essaierons tout de même de comprendre les principaux types de limites que l'on rencontre le plus souvent en pratique.

Commençons par le concept même de limite. Mais d'abord, un bref rappel historique. Il était une fois un Français, Augustin Louis Cauchy, au XIXe siècle, qui posa les bases de l'analyse mathématique et donna des définitions strictes, notamment la définition de la limite. Il faut dire que ce même Cauchy a rêvé, rêve et rêvera dans des cauchemars de tous les étudiants des facultés physiques et mathématiques, puisqu'il a prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et un théorème est plus dégoûtant que l'autre. À cet égard, nous n'envisagerons pas une définition stricte de la limite, mais essaierons de faire deux choses :

1. Comprendre ce qu'est une limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.

Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le matériel soit compréhensible même pour une théière, ce qui, en fait, est la tâche du projet.

Quelle est donc la limite ?

Et tout de suite un exemple de pourquoi baiser sa grand-mère....

Toute limite se compose de trois parties:

1) L'icône de limite bien connue.
2) Entrées sous l'icône de limite, dans ce cas . L'entrée se lit "x tend vers l'unité". Le plus souvent - exactement, bien qu'au lieu de "X" dans la pratique, il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, à la place d'une unité, absolument n'importe quel nombre peut être, ainsi que l'infini ().
3) Fonctionne sous le signe limite, dans ce cas .

Le dossier lui-même se lit comme suit : "la limite de la fonction lorsque x tend vers l'unité".

Analysons ce qui suit question importante Que signifie l'expression "X" ? chercheà l'unité ? Et qu'est-ce que "s'efforcer" de toute façon ?
Le concept de limite est un concept, pour ainsi dire, dynamique. Construisons une suite : d'abord , puis , , …, , ….
Autrement dit, l'expression "x chercheà un" doit être compris comme suit - "x" prend systématiquement les valeurs qui sont infiniment proches de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.

Comment résoudre l'exemple ci-dessus? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit de remplacer l'unité dans la fonction sous le signe limite :

Donc la première règle est : Lorsqu'une limite est donnée, essayez d'abord de brancher le nombre dans la fonction.

Nous avons considéré la limite la plus simple, mais on en rencontre aussi en pratique, et pas si rarement !

Exemple d'infini :

Comprendre ce que c'est ? C'est le cas lorsqu'il augmente indéfiniment, c'est-à-dire : d'abord, puis, puis, puis, et ainsi de suite à l'infini.

Et qu'advient-il de la fonction à ce moment?
, , , …

Donc : si , alors la fonction tend vers moins l'infini:

En gros, selon notre première règle, nous substituons l'infini dans la fonction au lieu de "x" et obtenons la réponse .

Autre exemple avec l'infini :

Encore une fois, nous commençons à augmenter jusqu'à l'infini et regardons le comportement de la fonction :

Conclusion : pour , la fonction croît indéfiniment:

Et une autre série d'exemples :

Veuillez essayer d'analyser mentalement ce qui suit par vous-même et rappelez-vous les types de limites les plus simples :

, , , , , , , , ,
En cas de doute quelque part, vous pouvez prendre une calculatrice et vous entraîner un peu.
Dans le cas où , essayez de construire la séquence , , . Si donc , , .

Remarque : à proprement parler, cette approche consistant à construire des séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais elle est tout à fait adaptée pour comprendre les exemples les plus simples.

Faites également attention à la chose suivante. Même si une limite est donnée avec un grand nombre en haut, ou au moins avec un million : , alors tout de même , car tôt ou tard "x" prendra des valeurs si gigantesques qu'un million par rapport à eux sera un véritable microbe.

Que faut-il retenir et comprendre de ce qui précède ?

1) Lorsqu'une limite est donnée, nous essayons d'abord simplement de substituer un nombre dans la fonction.

2) Vous devez comprendre et résoudre immédiatement les limites les plus simples, telles que , , etc.

Considérons maintenant le groupe de limites, quand , et la fonction est une fraction, dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes

Exemple:

Calculer la limite

Selon notre règle, nous allons essayer de substituer l'infini dans une fonction. Qu'obtenons-nous au sommet? Infini. Et que se passe-t-il en dessous ? L'infini aussi. Ainsi, nous avons ce qu'on appelle l'indétermination de la forme. On pourrait penser que , et la réponse est prête, mais dans cas général ce n'est pas du tout le cas, et une solution doit être appliquée, que nous allons maintenant examiner.

Comment résoudre les limites de ce type ?

Nous regardons d'abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée :

La puissance la plus élevée du numérateur est deux.

Maintenant, nous regardons le dénominateur et trouvons également le degré le plus élevé :

La plus grande puissance du dénominateur est deux.

Ensuite, nous choisissons la puissance la plus élevée du numérateur et du dénominateur : dans cet exemple, ils sont identiques et égaux à deux.

Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par au degré le plus élevé.

La voici, la réponse, et pas l'infini du tout.

Qu'est-ce qui est essentiel pour prendre une décision ?

Tout d'abord, nous indiquons l'incertitude, le cas échéant.

Deuxièmement, il est souhaitable d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe , il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.

Troisièmement, à la limite, il est souhaitable de marquer quoi et où il tend. Lorsque le travail est rédigé à la main, il est plus pratique de le faire comme ceci:

Pour les notes, il est préférable d'utiliser un simple crayon.

Bien sûr, vous ne pouvez rien faire de cela, mais alors, peut-être que l'enseignant notera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions supplémentaires sur le devoir. Et en avez-vous besoin ?

Exemple 2

Trouver la limite
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré :

Degré maximum au numérateur : 3
Degré maximum au dénominateur : 4
Choisir le plus grand valeur, dans ce cas quatre.
Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par .
Conception complète les emplois pourraient ressembler à ceci :

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Exemple 3

Trouver la limite
Le degré maximum de "x" au numérateur : 2
La puissance maximale de "x" au dénominateur : 1 (peut s'écrire)
Pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par . Une solution propre pourrait ressembler à ceci :

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Le record ne signifie pas division par zéro (il est impossible de diviser par zéro), mais division par un nombre infiniment petit.

Ainsi, en révélant l'indétermination de la forme, on peut obtenir nombre fini, zéro ou infini.

Limites avec incertitude de type et une méthode pour leur solution

Le groupe de limites suivant est quelque peu similaire aux limites que nous venons de considérer : il y a des polynômes au numérateur et au dénominateur, mais "x" ne tend plus vers l'infini, mais vers nombre final.

Exemple 4

Résoudre la limite
Essayons d'abord de substituer -1 dans une fraction :

Dans ce cas, la soi-disant incertitude est obtenue.

Règle générale : s'il y a des polynômes dans le numérateur et le dénominateur, et il y a une incertitude de la forme , alors pour sa divulgation factoriser le numérateur et le dénominateur.

Pour ce faire, il faut souvent décider équation quadratique et/ou utiliser des formules de multiplication abrégées. Si ces choses sont oubliées, alors visitez la page Formules et tableaux mathématiques et vérifier matériel méthodologique Formules mathématiques de l'école chaude. Soit dit en passant, il est préférable de l'imprimer, il est nécessaire très souvent et les informations sur papier sont mieux absorbées.

Alors résolvons notre limite

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Pour factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation quadratique :

On trouve d'abord le discriminant :

Et sa racine carrée : .

Si le discriminant est grand, par exemple 361, on utilise une calculatrice, la fonction d'extraction racine carrée est sur la calculatrice la plus simple.

! Si la racine n'est pas complètement extraite (il s'avère nombre fractionnaire avec un point-virgule), il est fort probable que le discriminant soit mal calculé ou qu'il y ait une faute de frappe dans la tâche.

Ensuite, nous trouvons les racines:

De cette façon:

Tout. Le numérateur est factorisé.

Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple, et il n'y a aucun moyen de le simplifier.

Évidemment, il peut être raccourci en :

Maintenant, nous substituons -1 dans l'expression qui reste sous le signe limite :

Naturellement, dans un test, sur un test, un examen, la solution n'est jamais peinte avec autant de détails. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci :

Factorisons le numérateur.

Exemple 5

Calculer la limite

D'abord une solution "propre"

Factorisons le numérateur et le dénominateur.

Numérateur:
Dénominateur:

,

Qu'est-ce qui est important dans cet exemple ?
Tout d'abord, vous devez bien comprendre comment le numérateur est révélé, d'abord nous avons mis 2 entre parenthèses, puis nous avons utilisé la formule de la différence des carrés. C'est la formule que vous devez connaître et voir.

Notions de limites de séquences et de fonctions. Lorsqu'il s'agit de trouver la limite d'une suite, elle s'écrit : lim xn=a. Dans une telle suite de suites, xn tend vers a, et n tend vers l'infini. Une séquence est généralement représentée comme une série, par exemple :
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Les séquences sont divisées en ascendantes et descendantes. Par exemple:
xn=n^2 - séquence croissante
yn=1/n - séquence
Ainsi, par exemple, la limite de la suite xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Cette limite est nulle car n→∞ et la suite 1/n^2 tend vers zéro.

Habituellement, la variable x tend vers une limite finie a, de plus, x se rapproche constamment de a, et la valeur de a est constante. Cela s'écrit : limx = a, tandis que n peut aussi tendre à la fois vers zéro et vers l'infini. Il y a des fonctions infinies, pour elles la limite tend vers l'infini. Dans d'autres cas, lorsque, par exemple, la fonction de ralentissement du train, il est possible d'avoir une limite tendant vers zéro.
Les limites ont plusieurs propriétés. En règle générale, toute fonction n'a qu'une seule limite. C'est la propriété principale de la limite. D'autres sont listés ci-dessous :
* Limite de montant est égal à la somme limites:
lim(x+y)=limx+calcaire
* La limite du produit est égale au produit des limites :
lim(xy)=limx*limy
* La limite du quotient est égale au quotient des bornes :
lim(x/y)=lim x/lim y
* Le facteur constant est extrait du signe limite :
lim(Cx)=C lim x
Étant donné une fonction 1 /x où x →∞, sa limite est nulle. Si x→0, alors la limite d'une telle fonction est égale à ∞.
Pour les fonctions trigonométriques il existe de ces règles. Puisque la fonction sin x tend toujours vers un lorsqu'elle s'approche de zéro, l'identité vaut pour elle :
lim sin x/x=1

Dans un certain nombre de fonctions, lors du calcul des limites dont l'incertitude se pose - une situation dans laquelle la limite ne peut pas être calculée. la seule issue de cette situation devient L'Hopital. Il existe deux types d'incertitudes :
* incertitude de la forme 0/0
* incertitude de la forme ∞/∞
Par exemple, compte tenu de la limite le genre suivant: lim f(x)/l(x), de plus, f(x0)=l(x0)=0. Dans ce cas, il existe une incertitude de la forme 0/0. Pour résoudre un tel problème, les deux fonctions sont différenciées, après quoi la limite du résultat est trouvée. Pour les incertitudes de la forme 0/0, la limite est :
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pour x→0)
La même règle est vraie pour les incertitudes de type ∞/∞. Mais dans ce cas, l'égalité suivante est vraie : f(x)=l(x)=∞
En utilisant la règle de L'Hospital, vous pouvez trouver les valeurs de toutes les limites dans lesquelles des incertitudes apparaissent. État requisà

volume - l'absence d'erreurs dans la recherche de dérivés. Ainsi, par exemple, la dérivée de la fonction (x^2)" est égale à 2x. Nous pouvons en conclure que :
f"(x)=nx^(n-1)

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Un peu de théorie.

La limite de la fonction à x-> x 0

Soit la fonction f(x) définie sur un ensemble X et soit le point $x_0 \in X $ ou $x_0 \notin X $

Prendre de X une suite de points autres que x 0 :
X 1 , X 2 , X 3 , ..., X n , ... (1)
convergeant vers x*. Les valeurs de fonction aux points de cette séquence forment également une séquence numérique
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
et on peut se poser la question de l'existence de sa limite.

Définition. Le nombre A est appelé la limite de la fonction f (x) au point x \u003d x 0 (ou à x -> x 0), si pour toute séquence (1) de valeurs de l'argument x qui converge vers x 0, différent de x 0, la suite correspondante (2) de fonction de valeurs converge vers le nombre A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

La fonction f(x) ne peut avoir qu'une seule limite au point x 0. Cela découle du fait que la séquence
(f(x n)) n'a qu'une seule limite.

Il existe une autre définition de la limite d'une fonction.

Définition Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) au point x = x 0 si pour tout nombre $\varepsilon > 0 $ il existe un nombre $\delta > 0 $ tel que pour tout \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) satisfaisant l'inégalité $|x-x_0| En utilisant des symboles logiques, cette définition peut être écrite comme
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Notez que les inégalités \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| La première définition est basée sur la notion de limite séquence de nombres, c'est pourquoi on l'appelle souvent la définition du "langage de séquence". La deuxième définition s'appelle la définition "langue \(\varepsilon - \delta $".
Ces deux définitions de la limite d'une fonction sont équivalentes et vous pouvez utiliser l'une ou l'autre, celle qui est la plus pratique pour résoudre un problème particulier.

A noter que la définition de la limite d'une fonction "dans le langage des suites" est aussi appelée la définition de la limite d'une fonction selon Heine, et la définition de la limite d'une fonction "dans le langage $\varepsilon - \delta $" est aussi appelé la définition de la limite d'une fonction selon Cauchy.

Limite de fonction à x->x 0 - et à x->x 0 +

Dans ce qui suit, nous utiliserons les notions de limites unilatérales d'une fonction, qui sont définies comme suit.

Définition Le nombre A est appelé limite droite (gauche) de la fonction f (x) au point x 0 si pour toute suite (1) convergeant vers x 0, dont les éléments x n sont supérieurs (inférieurs) à x 0 , la suite correspondante (2) converge vers A.

Symboliquement, il s'écrit ainsi :
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

On peut donner une définition équivalente des limites unilatérales d'une fonction "dans le langage $\varepsilon - \delta $":

Définition le nombre A est appelé limite droite (gauche) de la fonction f(x) au point x 0 si pour tout $\varepsilon > 0 $ il existe $\delta > 0 $ tel que pour tout x satisfaisant les inégalités \(x_0 Entrées symboliques :

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Sujet 4.6 Calcul des limites

La limite d'une fonction ne dépend pas du fait qu'elle soit définie au point limite ou non. Mais dans la pratique du calcul des limites des fonctions élémentaires, cette circonstance est essentielle.

1. Si la fonction est élémentaire et si la valeur limite de l'argument appartient à son domaine de définition, alors le calcul de la limite de la fonction se réduit à une simple substitution de la valeur limite de l'argument, car limite fonction élémentaire f(x) x s'efforcer deun , qui est inclus dans le domaine de définition, est égal à la valeur privée de la fonction en x= un, c'est à dire. lim f(x)=f( un) .

2. Si x tend vers l'infini soit l'argument tend vers un nombre qui n'appartient pas au domaine de la fonction, alors dans chacun de ces cas, trouver la limite de la fonction nécessite une étude particulière.

Voici les limites les plus simples, basées sur les propriétés des limites, qui peuvent être utilisées comme formules :

Suite cas difficiles trouver la limite d'une fonction :

chacun est considéré séparément.

Cette section présentera les principaux moyens de divulguer les incertitudes.

1. Le cas où x s'efforcer deun la fonction f(x) représente le rapport de deux quantités infinitésimales

a) Vous devez d'abord vous assurer que la limite de la fonction ne peut pas être trouvée par substitution directe et, avec le changement indiqué dans l'argument, elle représente le rapport de deux quantités infinitésimales. Des transformations sont faites pour réduire la fraction d'un facteur tendant vers 0. Selon la définition de la limite d'une fonction, l'argument x tend vers sa valeur limite, sans jamais coïncider avec elle.

En général, si la limite d'une fonction est recherchée pour x s'efforcer deun , alors il faut se rappeler que x ne prend pas la valeur un, c'est à dire. x n'est pas égal à a.

b) Le théorème de Bézout est appliqué. Si vous recherchez la limite d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes qui se tournent vers 0 au point limite x \u003d un, alors d'après le théorème ci-dessus, les deux polynômes sont divisibles sans reste par x- un.

c) L'irrationalité au numérateur ou au dénominateur est détruite en multipliant le numérateur ou le dénominateur par l'expression conjuguée à l'irrationnel, puis après simplification la fraction est réduite.

d) La 1ère limite remarquable (4.1) est utilisée.

e) On utilise le théorème d'équivalence infinitésimal et le b.m. suivant :

2. Le cas où x s'efforcer deun la fonction f(x) représente le rapport de deux quantités infiniment grandes

a) Divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par la puissance la plus élevée de l'inconnue.

b) En général, vous pouvez utiliser la règle

3. Le cas où x s'efforcer deun la fonction f(x) représente le produit d'une valeur infinitésimale et d'une valeur infiniment grande

La fraction est convertie en une forme dont le numérateur et le dénominateur tendent simultanément vers 0 ou vers l'infini, c'est-à-dire le cas 3 se réduit au cas 1 ou au cas 2.

4. Le cas où x s'efforcer deun la fonction f(x) représente la différence de deux quantités positives infiniment grandes

Ce cas est ramené à l'espèce 1 ou 2 de l'une des manières suivantes :

a) réduire des fractions à un dénominateur commun ;

b) transformation de la fonction sous la forme d'une fraction ;

c) se débarrasser de l'irrationalité.

5. Le cas où x s'efforcer deun la fonction f(x) représente une puissance dont la base tend vers 1 et dont l'exposant tend vers l'infini.

La fonction est transformée de manière à utiliser la 2ème limite remarquable (4.2).

Exemple. Trouver .

Car x tend vers 3, alors le numérateur de la fraction tend vers le nombre 3 2 +3 *3+4=22, et le dénominateur vers le nombre 3+8=11. Par conséquent,

Exemple

Ici le numérateur et le dénominateur de la fraction à x tendant vers 2 tendent vers 0 (incertitude de la forme), on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs, on obtient lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Exemple

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée au numérateur, on a

En ouvrant les parenthèses au numérateur, on obtient

Exemple

Niveau 2 Exemple. Donnons un exemple d'application du concept de limite d'une fonction dans les calculs économiques. Considérons une transaction financière ordinaire : prêter un montant S 0 à condition qu'après un certain temps J le montant sera remboursé ST. Définissons la valeur r croissance relative formule

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

La croissance relative peut être exprimée en pourcentage en multipliant la valeur résultante r par 100.

A partir de la formule (1), il est facile de déterminer la valeur ST:

ST= S 0 (1 + r)

Lors de la mise en place de prêts à long terme portant sur plusieurs années complètes utiliser les intérêts composés. Elle consiste dans le fait que si pour la 1ère année le montant S 0 augmente dans (1 + r) fois, puis pour la deuxième année en (1 + r) fois la somme augmente S 1 = S 0 (1 + r), C'est S 2 = S 0 (1 + r) 2 . De même, il s'avère S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Des exemples ci-dessus, on peut déduire formule générale pour calculer la croissance du montant pour n ans lors du calcul selon le régime des intérêts composés :

S n= S 0 (1 + r) n.

Dans les calculs financiers, des schémas sont utilisés où les intérêts composés sont calculés plusieurs fois par an. En même temps, il stipule taux annuel r et nombre de versements par an k. En règle générale, les régularisations sont effectuées à intervalles réguliers, c'est-à-dire la durée de chaque intervalle T k fait partie de l'année. Puis pendant une période de J ans (ici J pas nécessairement un entier) ST calculé par la formule

(2)

où est la partie entière du nombre, qui est identique au nombre lui-même, si, par exemple, J? entier.

Soit le taux annuel r et produit n régularisations par an à intervalles réguliers. Ensuite, pour l'année, le montant S 0 est augmenté à la valeur déterminée par la formule

(3)

À analyse théorique et dans la pratique de l'activité financière, la notion d'« intérêts courus en continu » est souvent rencontrée. Pour passer aux intérêts courus en continu, il est nécessaire dans les formules (2) et (3) d'augmenter indéfiniment, respectivement, les nombres k et n(c'est-à-dire viser k et nà l'infini) et calculez jusqu'à quelle limite tendront les fonctions ST et S une . Appliquons cette procédure à la formule (3):

Notez que la limite des accolades est la même que la deuxième limite remarquable. Il en résulte qu'au taux annuel rà un intérêt couru en continu, le montant S 0 pour 1 an est augmenté à la valeur S 1 * , qui est déterminé à partir de la formule

S 1 * = S 0 euh (4)

Laissons maintenant la somme S 0 est prêté avec intérêt n une fois par an à intervalles réguliers. Dénoter concernant taux annuel auquel, à la fin de l'année, le montant S 0 est incrémenté à une valeur S 1 * de la formule (4). Dans ce cas, nous dirons que concernant- c'est taux d'intérêt annuel n une fois par an, équivalent à un pourcentage annuel r avec une régularisation continue. De la formule (3) on obtient

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

En assimilant les parties droites de la dernière formule et de la formule (4), en supposant dans la dernière J= 1, on peut déduire des relations entre les quantités r et concernant:

Ces formules sont largement utilisées dans les calculs financiers.