Хэсгийн тойрог. Тойргийн диаметр, радиусыг заагаагүй бол тойргийн тойргийг хэрхэн тооцоолох вэ

Эхлээд тойрог ба тойрог хоёрын ялгааг ойлгоцгооё. Энэ ялгааг харахын тулд хоёр тоо юу болохыг анхаарч үзэхэд хангалттай. Эдгээр нь дээр байрлах хавтгай дээрх хязгааргүй тооны цэгүүд юм тэнцүү зайнэг төв цэгээс. Гэхдээ, хэрэв тойрог нь бүрдэнэ дотоод орон зай, тэгвэл энэ нь тойрогт хамаарахгүй. Эндээс харахад тойрог нь түүнийг хязгаарлаж буй тойрог (тойрог(r)), тойрог дотор байгаа тоо томшгүй олон тооны цэгүүд юм.

Тойрог дээр байрлах дурын L цэгийн хувьд OL=R тэгш байдал үйлчилнэ. (OL сегментийн урт нь тойргийн радиустай тэнцүү).

Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент нь түүнийх юм хөвч.

Тойргийн төвөөр шууд дамждаг хөвч нь диаметрэнэ тойрог (D). Диаметрийг D=2R томъёогоор тооцоолж болно

Тойрогтомъёогоор тооцоолно: C=2\pi R

Тойргийн талбай: S=\pi R^(2)

Тойргийн нумтүүний хоёр цэгийн хооронд байрлах хэсгийг гэнэ. Эдгээр хоёр цэг нь тойргийн хоёр нумыг тодорхойлдог. CD хөвч нь CMD ба CLD гэсэн хоёр нумыг агуулдаг. Ижил хөвчүүд нь тэнцүү нумуудыг агуулна.

Төв өнцөгХоёр радиусын хооронд байрлах өнцгийг гэнэ.

Нуман урттомъёог ашиглан олж болно:

1. Зэрэглэлийн хэмжүүр ашиглах: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Радиан хэмжигдэхүүнийг ашиглан: CD = \alpha R

Хөвчний перпендикуляр голч нь хөвч болон түүгээр татагдсан нумуудыг хагасаар хуваадаг.

Хэрэв тойргийн AB ба CD хөвчүүд N цэгт огтлолцвол N цэгээр тусгаарлагдсан хөвчүүдийн сегментүүдийн үржвэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Тойрогтой шүргэгч

Тойрогтой шүргэгчТойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэх нь заншилтай байдаг.

Хэрэв шулуун шугам нь хоёртой бол нийтлэг цэгүүд, тэд түүнийг дууддаг секант.

Хэрэв та радиусыг шүргэгч цэг рүү зурвал энэ нь тойрогтой шүргэгчтэй перпендикуляр байх болно.

Энэ цэгээс тойрог руугаа хоёр шүргэгч зуръя. Шүргэгч хэрчмүүд хоорондоо тэнцүү байх бөгөөд тойргийн төв нь энэ цэгийн оройтой өнцгийн биссектрист дээр байрлана.

AC = CB

Одоо цэгээсээ тойрог руу шүргэгч ба секант зуръя. Шүргэдэг сегментийн уртын квадрат нь бүхэл сегмент ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байх болно.

AC^(2) = CD \cdot BC

Бид дүгнэж болно: эхний секантын бүхэл бүтэн сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүн нь хоёр дахь секантын бүх сегмент ба түүний гадаад хэсгийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Тойрог дахь өнцөг

Төвийн өнцөг ба түүний тулгуурласан нумын градусын хэмжүүрүүд тэнцүү байна.

\angle COD = \аяга CD = \alpha ^(\circ)

Бичсэн өнцөгорой нь тойрог дээр байрлах ба талууд нь хөвч агуулсан өнцөг юм.

Энэ нумын хагастай тэнцэх тул та нумын хэмжээг мэдэж байж тооцоолж болно.

\angle AOB = 2 \angle АХБ

Диаметр, бичээстэй өнцөг, зөв ​​өнцгийг үндэслэнэ.

\ өнцөг CBD = \ өнцөг CED = \ өнцөг CAD = 90 ^ (\ тойргоор)

Нэг нумыг хамарсан бичээстэй өнцөг нь ижил байна.

Нэг хөвч дээр тулгуурласан бичээстэй өнцгүүд нь ижил буюу нийлбэр нь 180^ (\circ)-тэй тэнцүү байна.

\өнцөг АХБ + \өнцөг AKB = 180^ (\ тойрог)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Нэг тойрог дээр ижил өнцөгтэй, өгөгдсөн суурьтай гурвалжны оройнууд байрладаг.

Тойрог дотор оройтой, хоёр хөвчний хооронд байрлах өнцөг нь нийлбэрийн хагастай ижил байна өнцгийн утгуудӨгөгдсөн болон босоо өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумууд.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC + \аяга AlB \баруун)

Тойргийн гадна талын оройтой, хоёр секантын хооронд байрлах өнцөг нь өнцгийн дотор байрлах тойргийн нумын өнцгийн утгын хагасын зөрүүтэй ижил байна.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\аяга DmC - \аяга AlB \баруун)

Бичсэн тойрог

Бичсэн тойрогнь олон өнцөгтийн талуудтай шүргэгч тойрог юм.

Олон өнцөгтийн булангийн биссектрис огтлолцох цэг дээр түүний төв байрлана.

Олон өнцөгт бүрт тойрог бичээгүй байж болно.

Бичсэн тойрог бүхий олон өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор олно.

S = pr,

p нь олон өнцөгтийн хагас периметр,

r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.

Үүнээс үзэхэд бичээстэй тойргийн радиус нь дараахтай тэнцүү байна.

r = \frac(S)(p)

Хэрэв тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байвал эсрэг талын уртын нийлбэр ижил байх болно. Мөн эсрэгээр: эсрэг талын уртын нийлбэр нь ижил байвал тойрог нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй тохирно.

AB + DC = AD + BC

Аль ч гурвалжинд тойрог бичих боломжтой. Ганцхан л. Бисектрисс огтлолцох цэг дээр дотоод булангуудзураг, энэ бичээстэй тойргийн төв нь хэвтэж байх болно.

Бичсэн тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно.

r = \frac(S)(p) ,

Энд p = \frac(a + b + c)(2)

Тойрог

Хэрэв тойрог нь олон өнцөгтийн орой бүрийг дайран өнгөрвөл ийм тойргийг ихэвчлэн нэрлэдэг олон өнцөгтийн тухай тайлбарласан.

Энэ зургийн талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр тойргийн төв байх болно.

Радиусыг олон өнцөгтийн дурын 3 оройгоор тодорхойлсон гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусаар тооцож олно.

Дараах нөхцөл бий: зөвхөн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180^( \circ) -тэй тэнцүү байвал дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно.

\ өнцөг A + \ өнцөг C = \ өнцөг B + \ өнцөг D = 180 ^ (\ тойрог)

Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно. Ийм тойргийн төв нь гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэг дээр байрлана.

Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c нь гурвалжны талуудын урт,

S нь гурвалжны талбай юм.

Птолемейгийн теорем

Эцэст нь Птолемейгийн теоремыг авч үзье.

Птолемейгийн теорем нь диагональуудын үржвэр нь мөчлөгт дөрвөлжингийн эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэртэй ижил байна гэж заасан.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Тойрог тооцоолуур нь дүрсийн геометрийн хэмжээг онлайнаар тооцоолоход зориулагдсан үйлчилгээ юм. Энэхүү үйлчилгээний ачаар та тойрог дээр тулгуурлан зургийн дурын параметрийг хялбархан тодорхойлж чадна. Жишээ нь: Та бөмбөгний эзлэхүүнийг мэддэг, гэхдээ та түүний талбайг авах хэрэгтэй. Юу ч илүү хялбар байж чадахгүй! Тохирох сонголтыг сонгоод тоон утгыг оруулаад Тооцоолох товчийг дарна уу. Үйлчилгээ нь зөвхөн тооцооллын үр дүнг харуулахаас гадна тэдгээрийг хийсэн томъёог өгдөг. Манай үйлчилгээг ашигласнаар та радиус, диаметр, тойрог (тойргийн периметр), тойрог ба бөмбөгний талбай, бөмбөгний эзэлхүүнийг хялбархан тооцоолох боломжтой.

Радиусыг тооцоол

Радиусын утгыг тооцоолох ажил бол хамгийн түгээмэл ажлуудын нэг юм. Үүний шалтгаан нь маш энгийн, учир нь энэ параметрийг мэдэж байгаа тул та чадна тусгай хөдөлмөрта тойрог эсвэл бөмбөгний бусад параметрийн утгыг тодорхойлж болно. Манай сайт яг энэ схем дээр баригдсан. Таны сонгосон анхны параметрээс үл хамааран радиусын утгыг эхлээд тооцоолж, дараагийн бүх тооцоог түүн дээр үндэслэн хийнэ. Тооцооллыг илүү нарийвчлалтай болгохын тулд сайт нь аравтын 10-р орон хүртэл дугуйрсан Pi-г ашигладаг.

Диаметрийг тооцоолох

Диаметрийг тооцоолох нь манай тооцоолуурын хийж чадах хамгийн энгийн тооцоолол юм. Диаметрийн утгыг гараар олж авах нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд үүний тулд та интернетэд хандах шаардлагагүй болно. Диаметр утгатай тэнцүү байнарадиусыг 2-оор үржүүлсэн. Диаметр – хамгийн чухал параметртойрог, энэ нь маш их хэрэглэгддэг Өдөр тутмын амьдрал. Хүн бүр үүнийг зөв тооцоолж, зөв ​​ашиглаж чаддаг байх ёстой. Манай вэбсайтын боломжуудыг ашигласнаар та диаметрийг секундын хэдхэн минутын дотор маш нарийвчлалтай тооцоолох болно.

Тойрог олоорой

Бидний эргэн тойронд хэчнээн дугуй объект байгаа, юу байгааг та төсөөлж ч чадахгүй чухал үүрэгТэд бидний амьдралд тоглодог. Тойрог тооцоолох чадвар нь энгийн жолоочоос эхлээд тэргүүлэх дизайнер инженер хүртэл хүн бүрт хэрэгтэй. Тойрог тооцоолох томъёо нь маш энгийн: D=2Pr. Тооцооллыг цаасан дээр эсвэл ашиглан хялбархан хийж болно энэ интернеттуслах Сүүлчийн давуу тал нь бүх тооцооллыг зургаар харуулсан явдал юм. Мөн бусад бүх зүйл дээр хоёр дахь арга нь илүү хурдан юм.

Тойргийн талбайг тооцоол

Тойргийн талбай нь энэ нийтлэлд дурдсан бүх параметрүүдийн нэгэн адил орчин үеийн соёл иргэншлийн үндэс суурь юм. Тойргийн талбайг тооцоолох, мэдэх чадвартай байх нь хүн амын бүх давхаргад ашигтай байдаг. Тойргийн талбайг мэдэх шаардлагагүй шинжлэх ухаан, технологийн салбарыг төсөөлөхөд хэцүү байдаг. Тооцооллын томъёо нь дахин хэцүү биш юм: S = PR 2. Энэхүү томьёо болон манай онлайн тооцоолуур нь нэмэлт хүчин чармайлтгүйгээр аливаа тойргийн талбайг олоход тусална. Манай сайт баталгаатай өндөр нарийвчлалтооцоо, тэдгээрийн аянгын хурдан гүйцэтгэл.

Бөмбөрцгийн талбайг тооцоол

Бөмбөгний талбайг тооцоолох томъёо нь огтхон ч биш юм илүү төвөгтэй томъёоөмнөх догол мөрөнд тайлбарласан. S=4Pr 2 . Энэхүү энгийн үсэг, тоонуудын багц нь олон жилийн турш хүмүүст бөмбөгний талбайг маш нарийн тооцоолох боломжийг олгодог. Үүнийг хаана хэрэглэж болох вэ? Тийм ээ, хаа сайгүй! Жишээлбэл, та энэ бүсийг мэднэ бөмбөрцөг 510,100,000 хавтгай дөрвөлжин километртэй тэнцэнэ. Энэ томъёоны мэдлэгийг хаана хэрэглэж болохыг жагсаах нь утгагүй юм. Бөмбөрцгийн талбайг тооцоолох томъёоны хамрах хүрээ хэтэрхий өргөн байна.

Бөмбөгний эзлэхүүнийг тооцоол

Бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд V = 4/3 (Pr 3) томъёог ашиглана. Үүнийг манайхыг бий болгоход ашигласан онлайн үйлчилгээ. Хэрэв та радиус, диаметр, тойрог, тойргийн талбай эсвэл бөмбөгний талбай гэсэн параметрүүдийн аль нэгийг мэддэг бол энэ вэбсайт нь бөмбөгний эзлэхүүнийг хэдхэн секундын дотор тооцоолох боломжтой болгодог. Та үүнийг бас ашиглаж болно урвуу тооцоожишээлбэл, бөмбөгний эзэлхүүнийг мэдэж, түүний радиус эсвэл диаметрийн утгыг олж авах. Манай тойргийн тооцоолуурын чадавхийг хурдан харж байгаад баярлалаа. Танд манай сайт таалагдсан бөгөөд сайтыг аль хэдийн тэмдэглэсэн байх гэж найдаж байна.

Тойрог гэдэг нь нэг цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн цуваа бөгөөд энэ нь эргээд энэ тойргийн төв юм. Тойрог бас өөрийн гэсэн радиустай, зайтай тэнцүүтөвөөс эдгээр цэгүүд.

Тойргийн уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь бүх тойрогт ижил байна. Энэ харьцаа нь математикийн тогтмол тоо бөгөөд Грек үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг π .

Тойрог тодорхойлох

Та дараах томъёог ашиглан тойргийг тооцоолж болно.

L= π D=2 π r

r- тойргийн радиус

Д- тойргийн диаметр

Л- тойрог

π - 3.14

Даалгавар:

Тойрог тооцоол, 10 сантиметр радиустай.

Шийдэл:

Тойргийн тойргийг тооцоолох томъёохэлбэртэй байна:

L= π D=2 π r

Энд L нь тойрог, π нь 3.14, r нь тойргийн радиус, D нь тойргийн диаметр юм.

Тиймээс 10 см радиустай тойргийн урт нь:

L = 2 × 3.14 × 10 = 62.8 сантиметр

Тойрогнь геометрийн дүрс бөгөөд энэ нь хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн цуглуулга юм өгсөн оноо, түүний төв гэж нэрлэгддэг, тэгтэй тэнцүү биш тодорхой зайд радиус гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэд эртний үед түүний уртыг янз бүрийн нарийвчлалтайгаар тодорхойлж чаддаг байсан: шинжлэх ухааны түүхчид тойргийг тооцоолох анхны томъёог МЭӨ 1900 онд эртний Вавилонд эмхэтгэсэн гэж үздэг.

Бид өдөр бүр, хаа сайгүй тойрог гэх мэт геометрийн дүрстэй тааралддаг. Энэ нь янз бүрийн тээврийн хэрэгслээр тоноглогдсон дугуйны гаднах гадаргуутай түүний хэлбэр юм. Энэхүү нарийн ширийн зүйлийг гаднах энгийн, мадаггүй зөв байдлаас үл хамааран нэг гэж үздэг хамгийн агуу нээлтүүдхүн төрөлхтөн, мөн сонирхолтой нь Австралийн уугуул иргэд болон Америкийн индианчуудЕвропчууд ирэх хүртэл тэд юу болохыг огт мэдэхгүй байв.

Хамгийн анхны дугуй нь тэнхлэг дээр суурилуулсан гуалин хэсгүүд байсан байх магадлалтай. Аажмаар дугуйны дизайн сайжирч, дизайн нь улам бүр төвөгтэй болж, тэдгээрийг үйлдвэрлэхэд маш их зүйлийг ашиглах шаардлагатай болсон. янз бүрийн хэрэгслүүд. Эхлээд модон хүрээ, хигээс бүрдсэн дугуйнууд гарч ирсэн бөгөөд дараа нь гаднах гадаргуугийн элэгдлийг багасгахын тулд тэдгээрийг металл туузаар бүрхэж эхлэв. Эдгээр элементүүдийн уртыг тодорхойлохын тулд тойргийг тооцоолох томъёог ашиглах шаардлагатай (хэдийгээр практик дээр гар урчууд үүнийг "нүдээр" хийсэн эсвэл дугуйг туузаар бүсэлж, огтолж авсан байх магадлалтай. шаардлагатай хэсэг).

Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй дугуйзөвхөн ашигладаггүй тээврийн хэрэгсэл. Жишээлбэл, түүний хэлбэр нь байна Поттерын дугуй, түүнчлэн технологид өргөн хэрэглэгддэг арааны арааны элементүүд. Дугуйг усан тээрэм барихад эрт дээр үеэс ашиглаж ирсэн (эрдэмтдийн мэддэг ийм төрлийн хамгийн эртний байгууламжийг Месопотамид барьсан), түүнчлэн малын ноос, ургамлын утаснаас утас хийхэд ашигладаг ээрэх дугуйнууд.

Тойрогбарилгын ажилд ихэвчлэн олж болно. Тэдний хэлбэр нь Романескийн онцлог шинж чанартай нэлээд өргөн дугуй цонхоор дүрслэгдсэн байдаг архитектурын хэв маяг. Эдгээр бүтцийг үйлдвэрлэх нь маш хэцүү ажил бөгөөд өндөр ур чадвар, түүнчлэн бэлэн байдал шаарддаг тусгай хэрэгсэл. Дугуй цонхны сортуудын нэг бол усан онгоц, нисэх онгоцонд суурилуулсан нүхнүүд юм.

Тиймээс янз бүрийн машин, механизм, нэгжийг боловсруулдаг дизайнер инженерүүд, архитекторууд, дизайнерууд тойргийн тойргийг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Тооноос хойш π , үүнд шаардлагатай, хязгааргүй, энэ параметрийг үнэмлэхүй нарийвчлалтайгаар тодорхойлох боломжгүй тул тооцоолол нь тодорхой тохиолдолд шаардлагатай бөгөөд хангалттай байх зэргийг харгалзан үздэг.

Тойрог нь тойрог доторх муруй шугам юм. Геометрийн хувьд хэлбэр нь хавтгай байдаг тул тодорхойлолт нь хоёр хэмжээст дүрсийг хэлнэ. Энэ муруйн бүх цэгүүд тойргийн төвөөс ижил зайд байрладаг гэж үздэг.

Тойрог нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг бөгөөд үүний үндсэн дээр энэхүү геометрийн дүрстэй холбоотой тооцооллыг хийдэг. Үүнд: диаметр, радиус, талбай, тойрог. Эдгээр шинж чанарууд нь хоорондоо холбоотой, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг тооцоолоход дор хаяж нэг бүрэлдэхүүн хэсгийн талаархи мэдээлэл хангалттай байдаг. Жишээлбэл, зөвхөн геометрийн дүрсийн радиусыг мэддэг тул тойрог, диаметр, талбайг олохын тулд томьёог ашиглаж болно.

• Тойргийн радиус нь түүний төвтэй холбогдсон тойрог доторх сегмент юм.
• Диаметр нь тойрог доторх хэсгүүдийг хооронд нь холбож, төвийг нь дайран өнгөрөх хэсэг юм. Үндсэндээ диаметр нь хоёр радиус юм. Үүнийг тооцоолох томъёо яг ийм байна: D=2r.
• Тойргийн өөр нэг бүрэлдэхүүн хэсэг байдаг - хөвч. Энэ бол тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шулуун шугам боловч голоор нь үргэлж дамждаггүй. Тиймээс түүгээр дамжин өнгөрөх хөвчийг мөн диаметр гэж нэрлэдэг.

Тойрог хэрхэн олж мэдэх вэ? Одоо олж мэдье.

Тойрог: томъёо

Энэ шинж чанарыг илэрхийлэхийн тулд латин p үсгийг сонгосон. Архимед мөн тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь бүх тойргийн хувьд ижил тоо болохыг нотолсон: энэ нь π тоо бөгөөд ойролцоогоор 3.14159-тэй тэнцүү байна. π-ийг тооцоолох томъёо нь: π = p/d. Энэ томьёоны дагуу p-ийн утга нь πd-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тойрог: p= πd. d (диаметр) нь хоёр радиустай тэнцүү тул тойргийн ижил томьёог p=2πr гэж бичиж болно.Томьёоны хэрэглээг энгийн бодлого ашиглан жишээ болгон авч үзье.

Асуудал 1

Цар хонхны ёроолд диаметр нь 6.6 метр юм. Хонхны суурийн тойрог хэд вэ?

1. Тэгэхээр тойргийг тооцоолох томъёо нь p= πd байна
2. Одоо байгаа утгыг томъёонд орлуулна уу: p=3.14*6.6= 20.724

Хариулт: Хонхны суурийн тойрог 20.7 метр.

Асуудал 2

Дэлхийн хиймэл дагуул гаригаас 320 км-ийн зайд эргэлддэг. Дэлхийн радиус нь 6370 км. Хиймэл дагуулын тойрог замын урт хэд вэ?

1. 1. Дэлхийн хиймэл дагуулын тойрог замын радиусыг тооцоол: 6370+320=6690 (км)
2. 2. Хиймэл дагуулын тойрог замын уртыг P=2πr томъёогоор тооцоол.
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Хариулт: Дэлхийн хиймэл дагуулын тойрог замын урт нь 42013.2 км.

Тойрог хэмжих арга

Тойргийн тойргийг тооцоолох нь практикт тийм ч их хэрэглэгддэггүй. Үүний шалтгаан нь π тооны ойролцоо утга юм. Өдөр тутмын амьдралдаа тойргийн уртыг олохын тулд ашигладаг тусгай төхөөрөмж- муруй хэмжигч. Тойрог дээр дурын эхлэлийн цэгийг тэмдэглэж, төхөөрөмжийг дахин энэ цэгт хүрэх хүртэл шугамын дагуу удирдана.

Тойргийн тойргийг хэрхэн олох вэ? Та энгийн тооцооллын томъёог толгойдоо хадгалах хэрэгтэй.

Зааварчилгаа

Архимед энэ хамаарлыг математикийн хувьд анхлан тооцоолсон гэдгийг санаарай. Энэ нь тойрог дотор болон эргэн тойронд 96 талтай ердийн гурвалжин юм. Бичсэн олон өнцөгтийн периметрийг хамгийн бага боломжит тойргоор авч, хүрээлэгдсэн зургийн периметрийг хамгийн их хэмжээ. Архимедийн хэлснээр тойрог ба диаметрийн харьцаа 3.1419 байна. Хэсэг хугацааны дараа энэ тоог Хятадын математикч Зу Чонжи найман тэмдэгт болгон "өргөтгөсөн". Түүний тооцоо 900 жилийн турш хамгийн үнэн зөв байсан. Зөвхөн 18-р зуунд аравтын бутархай зуун орон тоологдсон. 1706 оноос хойш энэ эцэс төгсгөлгүй аравтын бутархай Уильям Жонсын ачаар нэрээ олж авсан. Тэрээр үүнийг периметр (захын) грек үгийн эхний үсгээр тэмдэглэв. Өнөөдөр компьютер Pi-ийн цифрүүдийг хялбархан тооцоолж байна: 3.141592653589793238462643...

Тооцооллын хувьд Pi-г 3.14 болгож бууруул. Аливаа тойргийн хувьд түүний уртыг диаметрээр хуваасан нь энэ тоотой тэнцүү байна: L: d = 3.14.

Энэ мэдэгдлээс диаметрийг олох томъёог илэрхийл. Тойргийн диаметрийг олохын тулд тойргийг Пи тоогоор хуваах шаардлагатай болж байна. Энэ нь дараах байдалтай байна: d = L: 3.14. Энэ бол тойргийн тойрог мэдэгдэж байгаа үед диаметрийг олох бүх нийтийн арга юм.

Тиймээс тойрог нь мэдэгдэж байна, 15.7 см, энэ тоог 3.14-т хуваа. Диаметр нь 5 см байх болно Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: d = 15.7: 3.14 = 5 см.

Тойрог тооцоолох тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан тойргийн диаметрийг олоорой. Эдгээр хүснэгтүүдийг янз бүрийн лавлах номонд оруулсан болно. Жишээлбэл, тэд "Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд" -д В.М. Брэдис.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Шүлгийн тусламжтайгаар Пигийн эхний найман цифрийг санаарай.
Та зүгээр л хичээх хэрэгтэй
Мөн бүх зүйлийг байгаагаар нь санаарай:
Гурав, арван дөрөв, арван тав,
Ерэн хоёр, зургаа.

Эх сурвалжууд:

• "Pi" тоог рекорд нарийвчлалтайгаар тооцдог
• диаметр ба тойрог
• Тойргийн тойргийг хэрхэн олох вэ?

Тойрог хавтгай байна геометрийн дүрс, бүх цэгүүд нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг сонгосон цэгээс ижил бөгөөд тэг биш зайд байна. Тойргийн дурын хоёр цэгийг холбосон, төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг гэнэ диаметр. Хоёр хэмжээст дүрсийн бүх хилийн нийт уртыг ихэвчлэн периметр гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн тойргийн "тойрог" гэж нэрлэдэг. Тойргийн тойргийг мэдэхийн тулд та түүний диаметрийг тооцоолж болно.

Зааварчилгаа

Диаметрийг олохын тулд тойргийн гол шинж чанаруудын нэгийг ашиглана уу, энэ нь түүний периметрийн уртыг диаметртэй харьцуулсан харьцаа нь туйлын бүх тойрогт ижил байна. Мэдээжийн хэрэг, тогтмол байдал математикчдад анзаарагдахгүй байсан бөгөөд энэ хувь хэмжээ нь удаан хугацааны туршид өөрийн гэсэн ойлголттой болсон - энэ бол Pi тоо (π гэдэг нь Грекийн анхны үг юм " тойрог" ба "периметр"). Үүний тоон утгыг диаметр нь нэгтэй тэнцүү тойргийн уртаар тодорхойлно.

Тойргийн диаметрийг тооцоолохын тулд мэдэгдэж буй тойргийг Пи-д хуваана. Энэ тоо нь “ ” тул энэ нь хязгаарлагдмал утгатай биш - энэ нь бутархай юм. Хүлээн авах шаардлагатай үр дүнгийн нарийвчлалын дагуу Pi дугуй.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 4: Тойрог диаметртэй харьцуулсан харьцааг хэрхэн олох вэ

Гайхалтай өмч тойрогэртний Грекийн эрдэмтэн Архимед бидэнд нээсэн. Энэ нь үнэн хэрэгтээ оршдог хандлагатүүнийг уртдиаметртэй урт нь аль ч хувьд ижил байна тойрог. Тэрээр "Тойрог хэмжих тухай" бүтээлдээ үүнийг тооцоолж, "Pi" тоо гэж тодорхойлсон. Энэ нь үндэслэлгүй, өөрөөр хэлбэл түүний утгыг үнэн зөв илэрхийлэх боломжгүй юм. Энэ зорилгоор түүний утга 3.14-тэй тэнцүү байна. Архимедийн хэлсэн үгийг та энгийн тооцоолол хийснээр өөрөө шалгаж болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - луужин;
• - шугам;
• - харандаа;
• - утас.

Зааварчилгаа

Луужингаар цаасан дээр дурын диаметртэй тойрог зур. Захирагч ба харандаа ашиглан шугаман дээрх хоёр шугамыг холбосон хэсгийг төвөөр нь зур тойрог. Үүссэн сегментийн уртыг хэмжихийн тулд захирагч ашиглана уу. гэж хэлье тойрогВ энэ тохиолдолд 7 сантиметр.

Утсыг аваад уртын дагуу байрлуул тойрог. Үүссэн утасны уртыг хэмжинэ. Энэ нь 22 сантиметртэй тэнцүү байг. Хай хандлага урт тойрогтүүний диаметрийн уртад - 22 см: 7 см = 3.1428.... Үүссэн тоог дугуйлна (3.14). Үр дүн нь танил "Pi" тоо юм.

Энэ өмчийг нотлох тойрогТа аяга эсвэл шил хэрэглэж болно. Тэдний диаметрийг захирагчаар хэмжинэ. Хоолны дээд хэсэгт утас ороож, үүссэн уртыг хэмжинэ. Уртыг хуваах тойрогаяганы диаметрийн уртаар та мөн "Pi" тоог авах бөгөөд энэ шинж чанарыг баталгаажуулна тойрог, Архимед нээсэн.

Энэ шинж чанарыг ашиглан та ямар ч уртыг тооцоолж болно тойрогтүүний диаметрийн уртын дагуу эсвэл томъёоны дагуу: C = 2*p*R эсвэл C = D*p, энд C - тойрог, D нь диаметрийн урт, R нь радиусын урт.. олохын тулд (хавтгай, шугамаар хязгаарлагдана тойрог) радиус нь мэдэгдэж байгаа бол S = π*R², диаметр нь мэдэгдэж байгаа бол S = π*D²/4 томъёог ашиглана.

тэмдэглэл

Пи өдрийг 3-р сарын 14-нд хорь гаруй жил тэмдэглэж ирснийг та мэдэх үү? Энэ бол олон томьёо, математик, физикийн аксиомуудтай холбоотой энэхүү сонирхолтой тоонд зориулагдсан математикчдын албан бус баяр юм. Энэ баярыг Америкийн Ларри Шоу зохион бүтээсэн бөгөөд энэ өдөр (АНУ-ын огнооны бүртгэлийн системд 3.14) алдарт эрдэмтэн Эйнштейн мэндэлснийг анзаарчээ.

Эх сурвалжууд:

• Архимед

Заримдаа гүдгэр олон өнцөгтийн эргэн тойронд бүх булангийн оройнууд түүн дээр байхаар зурж болно. Олон өнцөгттэй холбоотой ийм тойргийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэх хэрэгтэй. Тэр төвбичээстэй зургийн периметрийн дотор байх албагүй, харин тайлбарласан шинж чанарыг ашиглана тойрог, энэ цэгийг олох нь ихэвчлэн тийм ч хэцүү биш юм.

Танд хэрэгтэй болно

• Захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин, луужин.

Зааварчилгаа

Хэрэв та тойргийг дүрслэх шаардлагатай олон өнцөгтийг цаасан дээр зурсан бол олох төвба тойрог нь захирагч, харандаа, протектор эсвэл дөрвөлжин хангалттай. Зургийн аль ч талын уртыг хэмжиж, дунд хэсгийг нь тодорхойлж, зургийн энэ хэсэгт туслах цэгийг байрлуул. Квадрат эсвэл протектор ашиглан энэ тал руу перпендикуляр олон өнцөгт доторх хэрчимийг эсрэг талтай огтлолцох хүртэл зур.

Олон өнцөгтийн өөр аль ч талтай ижил үйлдлийг хий. Баригдсан хоёр сегментийн огтлолцол нь хүссэн цэг болно. Энэ нь тайлбарласан үндсэн шинж чанараас үүдэлтэй тойрог- тэр төваль ч талтай гүдгэр олон өнцөгт нь тэдгээрт татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг дээр үргэлж оршдог.

Ердийн олон өнцөгтүүдийн хувьд төвмөн бичээстэй тойрогхамаагүй хялбар байж болох юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь дөрвөлжин бол хоёр диагональ зур - тэдгээрийн огтлолцол болно төвом гэж бичсэн байна тойрог. Аль ч тэгш тооны талтай олон өнцөгтийн хувьд эсрэг талын хоёр хос өнцгийг туслах өнцөгтэй холбоход хангалттай. төвтодорхойлсон тойрогтэдгээрийн огтлолцох цэгтэй давхцах ёстой. IN зөв гурвалжинАсуудлыг шийдэхийн тулд зургийн хамгийн урт талын дунд хэсэг болох гипотенузыг тодорхойлоход хангалттай.

Хэрэв хүлээгдэж буй цэгийг тодорхойлсны дараа зарчмын хувьд тухайн олон өнцөгтийг хязгаарласан тойрог хийх боломжтой эсэх нь нөхцөл байдлаас тодорхойгүй бол төвмөн тайлбарласан аргуудын аль нэгийг ашиглан та олж мэдэх боломжтой. Олдсон цэг болон луужин дээрх аль ч цэгийн хоорондох зайг хойш тавьж, хүлээгдэж буй хэмжээнд нь тохируулна уу төв тойрогба тойрог зур - орой бүр үүн дээр хэвтэж байх ёстой тойрог. Хэрэв тийм биш бол шинж чанаруудын аль нэг нь өгөгдсөн олон өнцөгтийг тойрсон тойргийг илэрхийлэхгүй.

Диаметрийг тодорхойлох нь зөвхөн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай төдийгүй практикт тусалдаг. Жишээлбэл, савны хүзүүний диаметрийг мэддэг тул та таг сонгохдоо алдаа гаргахгүй байх нь гарцаагүй. Үүнтэй ижил мэдэгдэл нь том хүрээний хувьд үнэн юм.

Зааварчилгаа

Тиймээс хэмжигдэхүүнүүдийн тэмдэглэгээг оруулна уу. d худгийн диаметр, L тойрог, n Pi тоо, утга нь ойролцоогоор 3.14, R тойргийн радиус гэж үзье. Тойрог (L) нь мэдэгдэж байна. 628 сантиметр гэж бодъё.

Дараа нь (d) диаметрийг олохын тулд тойргийн томъёог ашиглана уу: L = 2пR, R нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн, L = 628 см, n = 3.14. Одоо үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олох дүрмийг ашигла: "Хүчин зүйл олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлд хуваах хэрэгтэй." Эндээс харахад: R = L / 2p. Томъёонд утгыг орлуулна уу: R=628/2x3.14. Үүнээс харахад: R=628/6.28, R=100 см.

Тойргийн радиусыг олсны дараа (R=100 см) дараах томъёог ашиглана: тойргийн диаметр (d) нь тойргийн хоёр радиустай (2R) тэнцүү байна. Үүнээс харахад: d = 2R.

Одоо диаметрийг олохын тулд томьёонд d=2R утгыг орлуулж үр дүнг тооцно. Радиус (R) нь мэдэгдэж байгаа тул d=2x100, d=200 см болно.

Эх сурвалжууд:

• Тойргийн тойргийг ашиглан диаметрийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Тойрог ба диаметр нь харилцан хамааралтай геометрийн хэмжигдэхүүнүүд юм. Энэ нь тэдгээрийн эхнийх нь нэмэлт өгөгдөлгүйгээр хоёр дахь руу орчуулагдах боломжтой гэсэн үг юм. Тэдгээр нь хоорондоо холбоотой байх математикийн тогтмол нь π тоо юм.

Зааварчилгаа

Хэрэв тойрог нь цаасан дээрх дүрс хэлбэрээр дүрслэгдсэн бөгөөд түүний диаметрийг ойролцоогоор тодорхойлох шаардлагатай бол шууд хэмжинэ. Хэрэв түүний төвийг зураг дээр харуулсан бол дундуур нь зур. Хэрэв төвийг харуулаагүй бол луужин ашиглан олоорой. Үүнийг хийхийн тулд 90 ба өнцөгтэй квадратыг ашиглана. Үүнийг тойрог руу 90 градусын өнцгөөр холбож, хоёр хөл нь хүрч, мөрийг нь зур. Дараа нь үр дүнд нь хэрэглэнэ зөв өнцөг 45 градусын квадрат өнцгийг зур. Энэ нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх болно. Дараа нь ижил аргаар хоёр дахь тэгш өнцөгт болон түүний биссектрисийг тойргийн өөр газар зур. Тэд төв хэсэгт огтлолцоно. Энэ нь диаметрийг хэмжих боломжийг танд олгоно.

Диаметрийг хэмжихийн тулд аль болох нимгэн шугамаар хийсэн захирагчийг ашиглах нь зүйтэй хуудас материал, эсвэл оёдлын тоолуур. Хэрэв танд зөвхөн зузаан захирагч байгаа бол тойргийн диаметрийг луужин ашиглан хэмжиж, дараа нь түүний шийдлийг өөрчлөхгүйгээр график цаас руу шилжүүлээрэй.

Мөн асуудлын нөхцөлд тоон өгөгдөл байхгүй, зөвхөн зураг байгаа бол та дугуй хэмжигч ашиглан тойргийг хэмжиж, диаметрийг тооцоолж болно. Курвиметрийг ашиглахын тулд эхлээд дугуйг эргүүлж сумыг яг тэг хуваах хэрэгтэй. Дараа нь тойрог дээрх цэгийг тэмдэглээд, дугуйн дээрх цус харвалт нь энэ цэг рүү чиглэхийн тулд дугуй хэмжигчийг хуудсан дээр дарна. Цус харвалт дахин тэр цэгээс дээш гарах хүртэл дугуйг тойргийн шугамын дагуу хөдөлгөнө. Гэрчлэлийг уншина уу. Тэд тасархай шугамаар хязгаарлагдах болно. Хэрэв бид b талтай ердийн n өнцөгтийг тойрогт бичвэл ийм P дүрсийн периметр нь b талын n талуудын үржвэртэй тэнцүү байна: P=b*n. b талыг томьёогоор тодорхойлж болно: b=2R*Sin (π/n), энд R нь n өнцөгт сийлсэн тойргийн радиус юм.

Талуудын тоо ихсэх тусам бичээстэй олон өнцөгтийн периметр L-д улам ойртох болно.Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). L тойрог ба түүний D диаметр хоорондын хамаарал тогтмол байна. Бичсэн олон өнцөгтийн талуудын тоо хязгааргүйд чиглэдэг L/D=n*Sin (π/n) харьцаа нь π тоо руу чиглэдэг бөгөөд энэ тогтмол утга нь "pi" бөгөөд хязгааргүй гэж илэрхийлэгддэг. аравтын. Хэрэглээгүйгээр тооцоо хийхэд зориулагдсан компьютерийн технологиπ=3.14 утгыг хүлээн зөвшөөрнө. Тойргийн тойрог ба түүний диаметрийг дараах томъёогоор холбоно: L= πD. Диаметрийг тооцоолохын тулд

Тойрог хэмжих

Манай гараг бөмбөрцөг хэлбэртэй гэдгийг геологийн судалгаанд оролцсон эрдэмтэд эртнээс мэдэж байсан. Тийм ч учраас дэлхийн гадаргуугийн тойргийн анхны хэмжилтүүд нь дэлхийн хамгийн урт параллель болох экватортой холбоотой байв. Эрдэмтэд энэ утгыг хэмжилтийн бусад аргуудад зөв гэж үзэж болно. Жишээлбэл, хэрэв та гаригийн тойргийг хамгийн уртаар хэмждэг гэж үздэг байсан меридиан, үр дүн нь яг ижил байх болно.

Энэ үзэл бодол 18-р зууныг хүртэл оршин байсан. Гэсэн хэдий ч тухайн үеийн шинжлэх ухааны тэргүүлэх байгууллага болох Францын академийн эрдэмтэд энэ таамаглал буруу, гаригийн хэлбэр нь бүрэн зөв биш гэж үзэж байв. Тиймээс тэдний бодлоор хамгийн урт меридиан ба хамгийн урт параллелийн тойрог өөр байх болно.

Үүний нотолгоо болгон 1735, 1736 онд хоёр шинжлэх ухааны экспедиц хийсэн нь энэхүү таамаглал үнэн болохыг нотолсон юм. Дараа нь эдгээр хоёрын хоорондох зөрүүний хэмжээ тогтоогдсон бөгөөд энэ нь 21.4 километр байв.

Тойрог

Одоогоор дэлхийн гаригийн тойргийг урьд нь хийж байсан шиг дэлхийн гадаргуугийн тодорхой сегментийн уртыг бүрэн хэмжээгээр нь экстраполяци хийх замаар бус, харин орчин үеийн өндөр нарийвчлалтай технологи ашиглан дахин дахин хэмжиж байна. Үүний ачаар хамгийн урт меридиан ба хамгийн урт параллелын тойргийг нарийн тогтоох, мөн эдгээр параметрүүдийн хоорондын ялгааны хэмжээг тодруулах боломжтой болсон.

Тиймээс өнөөдөр шинжлэх ухааны нийгэмлэгт дэлхийн гаригийн экваторын дагуух тойргийн албан ёсны үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл хамгийн урт параллель нь 40075.70 километрийн тоог өгдөг заншилтай байдаг. Түүгээр ч барахгүй хамгийн урт меридианы дагуу хэмжсэн ижил төстэй параметр, өөрөөр хэлбэл дэлхийн туйлуудыг дайран өнгөрөх тойрог нь 40,008.55 километр юм.

Ийнхүү тойргийн хоорондох зөрүү 67.15 километр бөгөөд экватор нь манай гаригийн хамгийн урт тойрог юм. Үүнээс гадна ялгаа нь газарзүйн меридианы нэг градус нь газарзүйн параллелын нэг градусаас арай богино байна гэсэн үг юм.