Математик хүлээлтийг хэрхэн тооцоолох вэ. Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм

Магадлалын онол бол зөвхөн дээд боловсролын сургуулийн оюутнууд судалдаг математикийн тусгай салбар юм. Та тооцоолол, томъёонд дуртай юу? Та ердийн тархалт, ансамблийн энтропи, математикийн хүлээлт, салангид тархалттай танилцах хэтийн төлөвөөс айдаггүй. санамсаргүй хувьсагч? Тэгвэл энэ сэдэв танд маш сонирхолтой байх болно. Хамгийн чухал хэд хэдэн зүйлийг авч үзье үндсэн ойлголтуудшинжлэх ухааны энэ салбар.

Үндсэн зүйлийг санацгаая

Хэдийгээр та хамгийн их санаж байгаа ч гэсэн энгийн ойлголтуудмагадлалын онол, нийтлэлийн эхний догол мөрийг үл тоомсорлож болохгүй. Гол нь та үндсэн ойлголтуудыг тодорхой ойлгохгүй бол доор авч үзсэн томьёотой ажиллах боломжгүй болно.

Тэгэхээр зарим нэг зүйл болж байна санамсаргүй үйл явдал, зарим төрлийн туршилт. Бидний хийсэн үйлдлүүдийн үр дүнд бид хэд хэдэн үр дүнд хүрч чадна - тэдгээрийн зарим нь илүү олон удаа тохиолддог, зарим нь бага тохиолддог. Үйл явдлын магадлал гэдэг нь нэг төрлийн бодит үр дүнгийн тооны харьцаа юм нийт тооболомжтой. Зөвхөн энэ ойлголтын сонгодог тодорхойлолтыг мэдсэнээр л та судалж эхлэх боломжтой математикийн хүлээлттасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсүүд.

Дундаж

Сургуульд байхдаа математикийн хичээл дээр та арифметик дундажтай ажиллаж эхэлсэн. Энэ ойлголт магадлалын онолд өргөн хэрэглэгддэг тул үүнийг үл тоомсорлож болохгүй. Одоогийн байдлаар бидний хувьд хамгийн гол зүйл бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба тархалтын томъёонд бид үүнийг тааралдах явдал юм.

Бидэнд тоонуудын дараалал байгаа бөгөөд арифметик дундажийг олохыг хүсч байна. Биднээс шаардагдах бүх зүйл бол боломжтой бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваах явдал юм. 1-ээс 9 хүртэлх тоонуудыг оруулъя. Элементүүдийн нийлбэр нь 45-тай тэнцүү байх ба бид энэ утгыг 9-д хуваана. Хариулт: - 5.

Тархалт

Шинжлэх ухааны үүднээс авч үзвэл тархалт нь арифметик дунджаас олж авсан шинж чанарын утгын хазайлтын дундаж квадрат юм. Үүнийг нэг том латин үсгээр тэмдэглэсэн D. Үүнийг тооцоолоход юу хэрэгтэй вэ? Дарааллын элемент бүрийн хувьд бид одоо байгаа тоо болон арифметик дундаж хоёрын зөрүүг тооцоод квадрат болгоно. Бидний авч үзэж буй үйл явдлын үр дүн байж болохуйц олон үнэт зүйлс байх болно. Дараа нь бид хүлээн авсан бүх зүйлийг нэгтгэж, дарааллын элементүүдийн тоогоор хуваана. Хэрэв бидэнд таван боломжит үр дүн байгаа бол таваар хуваа.

Тархалт нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахын тулд санаж байх ёстой шинж чанаруудтай. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X дахин нэмэгдүүлэхэд дисперс нь X квадрат дахин нэмэгддэг (өөрөөр хэлбэл X*X). Энэ нь хэзээ ч тэгээс багагүй бөгөөд өөрчилсөн утгуудаас хамаардаггүй тэнцүү үнэ цэнэдээш эсвэл доош. Үүнээс гадна, төлөө бие даасан туршилтууднийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Одоо бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс болон математикийн хүлээлтийн жишээг авч үзэх нь гарцаагүй.

Бид 21 туршилт хийж, 7 өөр үр дүнд хүрсэн гэж бодъё. Бид тус бүрийг 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 удаа ажигласан. Зөрчил нь ямар тэнцүү байх вэ?

Эхлээд арифметик дундажийг тооцоод үзье: элементүүдийн нийлбэр нь мэдээж 21. Үүнийг 7-д хувааж 3-ыг авна. Одоо анхны дарааллын тоо бүрээс 3-ыг хасч, утга тус бүрийг квадрат болгож, үр дүнг нэгтгэнэ. Үр дүн нь 12. Одоо бидний хийх ёстой зүйл бол тоог элементийн тоонд хуваах явдал юм, тэгээд л болоо. Гэхдээ барьж авах зүйл байна! Үүнийг хэлэлцье.

Туршилтын тооноос хамаарна

Эндээс харахад дисперсийг тооцоолохдоо хуваагч нь N эсвэл N-1 гэсэн хоёр тооны аль нэгийг агуулж болно. Энд N нь гүйцэтгэсэн туршилтын тоо эсвэл дарааллын элементийн тоо (энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм). Энэ юунаас хамаардаг вэ?

Хэрэв тестийн тоог хэдэн зуугаар хэмжсэн бол хуваагчдаа N-г оруулах ёстой. Эрдэмтэд хил хязгаарыг нэлээд бэлгэдлээр зурахаар шийдсэн: өнөөдөр энэ нь 30-ын тоогоор дамждаг. Хэрэв бид 30-аас бага туршилт хийсэн бол N-1, түүнээс дээш бол N-ээр хуваана.

Даалгавар

Дисперс ба математикийн хүлээлтийн асуудлыг шийдэх жишээндээ эргэн оръё. Бид завсрын дугаар 12-ыг авсан бөгөөд үүнийг N эсвэл N-1-д хуваах шаардлагатай байв. Бид 21 туршилт хийсэн бөгөөд энэ нь 30 хүрэхгүй байгаа тул бид хоёр дахь хувилбарыг сонгох болно. Тиймээс хариулт нь: дисперс нь 12/2 = 2 байна.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ

Энэ нийтлэлд авч үзэх ёстой хоёр дахь үзэл баримтлал руу шилжье. Математикийн хүлээлт нь боломжит бүх үр дүнг харгалзах магадлалаар үржүүлсний үр дүн юм. Хүлээн авсан утга, түүнчлэн хэлбэлзлийг тооцоолох үр дүнг зөвхөн нэг удаа олж авдаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм. бүхэл бүтэн даалгавар, хэчнээн үр дүнг авч үзсэн ч хамаагүй.

Математикийн хүлээлтийн томъёо нь маш энгийн: бид үр дүнг авч, магадлалаар нь үржүүлж, хоёр дахь, гурав дахь үр дүнгийн хувьд адилхан нэмдэг гэх мэт. Энэ үзэл баримтлалтай холбоотой бүх зүйлийг тооцоолоход хэцүү биш юм. Жишээлбэл, хүлээгдэж буй утгуудын нийлбэр нь нийлбэрийн хүлээгдэж буй утгатай тэнцүү байна. Ажлын хувьд ч мөн адил. Магадлалын онолын хэмжигдэхүүн бүр ийм энгийн үйлдлүүдийг хийх боломжийг олгодоггүй. Асуудлыг авч үзээд нэгэн зэрэг судалсан хоёр ойлголтын утгыг тооцоод үзье. Нэмж дурдахад бид онолд сатаарсан - дадлага хийх цаг болжээ.

Бас нэг жишээ

Бид 50 туршилт явуулж, 0-ээс 9 хүртэлх 10 төрлийн үр дүнг өөр өөр хувиар авсан. Үүнд: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Магадлалыг олж авахын тулд та хувийн утгыг 100-д ​​хуваах хэрэгтэй гэдгийг санаарай. Тиймээс бид 0.02 болно; 0.1 гэх мэт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба математикийн хүлээлтийн дисперсийн асуудлыг шийдэх жишээг үзүүлье.

Бид санаж байгаа томъёогоор арифметик дундажийг тооцдог бага сургууль: 50/10 = 5.

Одоо тоолоход хялбар болгохын тулд магадлалыг үр дүнгийн тоо болгон "хэсэг болгон" хөрвүүлцгээе. Бид 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 9-ийг авдаг. Олж авсан утга бүрээс бид арифметик дундажийг хасч, дараа нь олж авсан үр дүнгийн квадратыг авна. Жишээ болгон эхний элементийг ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харна уу: 1 - 5 = (-4). Дараа нь: (-4) * (-4) = 16. Бусад утгуудын хувьд эдгээр үйлдлийг өөрөө хий. Хэрэв та бүгдийг зөв хийсэн бол бүгдийг нь нэмсний дараа та 90 авах болно.

90-ийг N-д хувааж дисперс болон хүлээгдэж буй утгыг үргэлжлүүлэн тооцоолъё. Яагаад бид N-1-ээс илүү N-г сонгосон бэ? Зөв, учир нь хийсэн туршилтын тоо 30-аас хэтэрсэн. Тэгэхээр: 90/10 = 9. Бид дисперсийг авсан. Хэрэв та өөр дугаар авсан бол цөхрөл бүү зов. Та тооцоололд энгийн алдаа гаргасан байх магадлалтай. Бичсэн зүйлээ дахин шалгаарай, магадгүй бүх зүйл байрандаа орох болно.

Эцэст нь, математикийн хүлээлтийн томъёог санаарай. Бид бүх тооцоог өгөхгүй, зөвхөн шаардлагатай бүх процедурыг дуусгасны дараа шалгах боломжтой хариултыг бичих болно. Хүлээгдэж буй утга нь 5.48 байх болно. Эхний элементүүдийг жишээ болгон ашиглан үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг л эргэн санацгаая: 0*0.02 + 1*0.1... гэх мэт. Таны харж байгаагаар бид үр дүнгийн утгыг магадлалаар нь үржүүлдэг.

Хазайлт

Тархалт ба математикийн хүлээлттэй нягт холбоотой өөр нэг ойлголт бол стандарт хазайлт юм. Үүнийг Латин үсгээр sd эсвэл Грекийн жижиг үсгээр "сигма" гэж тэмдэглэдэг. Энэ үзэл баримтлалутгууд нь төв шинж чанараас дунджаар хэр их хазайж байгааг харуулдаг. Үүний утгыг олохын тулд та тооцоолох хэрэгтэй Квадрат язгууртархалтаас.

Хэрэв та хуйвалдаан хийвэл хэвийн тархалтмөн үүнийг шууд харахыг хүсч байна квадрат хазайлт, үүнийг хэд хэдэн үе шаттайгаар хийж болно. Зургийн хагасыг горимын зүүн эсвэл баруун талд (төв утга) авч, хэвтээ тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үүссэн зургуудын талбайнууд тэнцүү байна. Тархалтын дунд хэсэг ба хэвтээ тэнхлэгт гарах проекцын хоорондох сегментийн хэмжээ нь стандарт хазайлтыг илэрхийлнэ.

Програм хангамж

Томьёоны тайлбар болон танилцуулсан жишээнүүдээс харахад дисперс болон математикийн хүлээлтийг тооцоолох нь арифметикийн үүднээс авч үзвэл хамгийн энгийн журам биш юм. Цагийг дэмий үрэхгүйн тулд дээд боловсролд ашигладаг программыг ашиглах нь зүйтэй боловсролын байгууллагууд- үүнийг "R" гэж нэрлэдэг. Энэ нь статистик болон магадлалын онолоос олон ойлголтын утгыг тооцоолох боломжийг олгодог функцуудтай.

Жишээлбэл, та утгын векторыг зааж өгнө. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Эцэст нь

Тархалт ба математикийн хүлээлт нь үүнгүйгээр ирээдүйд юу ч тооцоолоход хэцүү байдаг. Их дээд сургуулиудын лекцийн үндсэн хичээл дээр энэ сэдвийг судалж эхэлсэн эхний саруудад аль хэдийн хэлэлцдэг. Чухамдаа эдгээр энгийн ойлголтуудын талаар ойлголт дутмаг, тэдгээрийг тооцоолох чадваргүйгээс болж олон оюутнууд хөтөлбөрөөс шууд хоцорч, дараа нь хичээлийн төгсгөлд муу дүн авдаг бөгөөд энэ нь тэднийг тэтгэлэггүй болгодог.

Доод тал нь нэг долоо хоног, өдөрт хагас цаг дадлага хийж, энэ өгүүлэлд дурдсантай төстэй ажлуудыг шийдвэрлэх. Дараа нь магадлалын онолын аливаа тест дээр та гадны зөвлөмж, хуурамч хуудасгүйгээр жишээнүүдийг даван туулах боломжтой болно.

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд: математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлт. Тэдний шинж чанар, жишээ.

Тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд тавьсан асуултанд хариулахын тулд судалж буй утгын зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхойлолт 7.1.Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p p p.(7.1)

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй бол үр дүнгийн цуваа туйлын нийлдэг.

Тайлбар 1.Математикийн хүлээлтийг заримдаа гэж нэрлэдэг жигнэсэн дундаж, учир нь энэ нь олон тооны туршилтанд санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна.

Тайлбар 2.Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос харахад түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна.

Тайлбар 3.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус(тогтмол. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ч мөн адил гэдгийг бид дараа нь харах болно.

Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X- 10 хэсгээс сонгогдсон гурваас стандарт эд ангиудын тоо, түүний дотор 2 гэмтэлтэй. -д зориулж түгээлтийн цуврал үүсгэцгээе X. Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна X 1, 2, 3 утгыг авч болно. Дараа нь

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл X- Төрийн сүлд анх гарч ирэхээс өмнөх зоос шидсэн тоо. Энэ хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй тооны утгыг авч болно (боломжтой утгуудын багц нь натурал тоонуудын багц юм). Түүний түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

X			…	П	…
Р	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)П	…

+ (тооцоолохдоо хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог хоёр удаа ашигласан: , хаанаас ).

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд.

1) Тогтмолын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:

М(ХАМТ) = ХАМТ.(7.2)

Баталгаа. Хэрэв бид авч үзвэл ХАМТзөвхөн нэг утгыг авах дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ХАМТмагадлалаар Р= 1, тэгвэл М(ХАМТ) = ХАМТ?1 = ХАМТ.

2) Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.

М(CX) = CM(X). (7.3)

Баталгаа. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтүгээлтийн цувралаар өгөгдсөн

Дараа нь М(CX) = Cx 1 Р 1 + Cx 2 Р 2 + … + Cx p p p = ХАМТ(X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p r p) = CM(X).

Тодорхойлолт 7.2.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь хуваарилалтын хууль нь нөгөө нь ямар үнэ цэнийг авсанаас хамаарахгүй бол. Үгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай.

Тодорхойлолт 7.3.За дуудъя бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр XТэгээд Ю санамсаргүй хувьсагч XY, боломжит утгууд нь бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна Xбүх боломжит утгуудын хувьд Ю, харгалзах магадлал нь хүчин зүйлсийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

М(XY) = М(X)М(Ю). (7.4)

Баталгаа. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид зөвхөн тухайн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг XТэгээд Юзөвхөн хоёр боломжит утгыг авна:

Тиймээс, М(XY) = x 1 y 1 ?х 1 g 1 + x 2 y 1 ?х 2 g 1 + x 1 y 2 ?х 1 g 2 + x 2 y 2 ?х 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 х 1 + x 2 х 2) + + y 2 g 2 (x 1 х 1 + x 2 х 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 х 1 + x 2 х 2) = М(X)?М(Ю).

Тайлбар 1.Үүнтэй адилаар та хүчин зүйлийн олон тооны боломжит утгуудын хувьд энэ өмчийг баталж чадна.

Тайлбар 2. 3-р шинж чанар нь математикийн индукцээр батлагдсан дурын тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн хувьд үнэн юм.

Тодорхойлолт 7.4.Тодорхойлъё санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр XТэгээд Ю санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X+Y, боломжит утгууд нь боломжит утга бүрийн нийлбэртэй тэнцүү байна Xболомжтой бүх үнэ цэнээр Ю; Ийм нийлбэрийн магадлал нь нэр томъёоны магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна (хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд - нэг гишүүний магадлалын хоёр дахь нөхцөлт магадлалын үржвэрүүд).

4) Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (хамааралтай эсвэл бие даасан) нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

М (X+Y) = М (X) + М (Ю). (7.5)

Баталгаа.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаанд өгөгдсөн тархалтын цуваагаар тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг дахин авч үзье 3. Дараа нь боломжит утгууд X+Yбайна X 1 + цагт 1 , X 1 + цагт 2 , X 2 + цагт 1 , X 2 + цагт 2. Тэдний магадлалыг тус тус гэж тэмдэглэе Р 11 , Р 12 , Р 21 ба Р 22. Бид олох болно М(X+Ю) = (x 1 + y 1)х 11 + (x 1 + y 2)х 12 + (x 2 + y 1)х 21 + (x 2 + y 2)х 22 =

= x 1 (х 11 + х 12) + x 2 (х 21 + х 22) + y 1 (х 11 + х 21) + y 2 (х 12 + х 22).

Үүнийг баталцгаая Р 11 + Р 22 = Р 1 . Үнэхээр үйл явдал X+Yүнэт зүйлсийг авах болно X 1 + цагт 1 эсвэл X 1 + цагт 2 ба магадлал нь Р 11 + Ргэсэн үйл явдалтай 22 давхцаж байна X = X 1 (түүний магадлал нь Р 1). Энэ нь ижил төстэй байдлаар нотлогдсон х 21 + х 22 = Р 2 , х 11 + х 21 = g 1 , х 12 + х 22 = g 2. гэсэн үг,

М(X+Y) = x 1 х 1 + x 2 х 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = М (X) + М (Ю).

Сэтгэгдэл. 4-р шинж чанараас харахад дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ. Таван шоо шидэх үед авсан онооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.

Нэг шоо шидэх үед хэдэн оноо авах тухай математикийн хүлээлтийг олцгооё.

М(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ижил тоо нь ямар ч шоо дээр өнхрүүлсэн онооны тооны математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Иймд өмч хөрөнгөөр ​​4 М(X)=

Тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан байдлын талаархи ойлголттой байхын тулд зөвхөн түүний математик хүлээлтийг мэдэх нь хангалтгүй юм. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье: XТэгээд Ю, маягтын тархалтын цувралаар тодорхойлогдсон

X
Р	0,1	0,8	0,1

Ю
х	0,5	0,5

Бид олох болно М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Ю) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Таны харж байгаагаар хоёр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт тэнцүү боловч хэрэв ХМ(X) санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг маш сайн дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь түүний боломжит хамгийн их магадлалтай утга юм (мөн үлдсэн утга нь 50-аас тийм ч их ялгаатай биш), дараа нь утгууд Ю-аас ихээхэн хасагдсан М(Ю). Тиймээс, математикийн хүлээлттэй зэрэгцээд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга түүнээс хэр их хазайж байгааг мэдэх нь зүйтэй юм. Энэ үзүүлэлтийг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг.

Тодорхойлолт 7.5.Тархалт (тархалт)Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний математик хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт юм.

Д(X) = М (X-M(X))². (7.6)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олъё X(сонгосон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоо) энэ лекцийн 1-р жишээнд. Математикийн хүлээлтээс боломжит утга бүрийн квадрат хазайлтыг тооцоолъё.

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Тиймээс,

Тайлбар 1.Тархалтыг тодорхойлохдоо дундаж утгаас хазайлтыг бус харин түүний квадратыг үнэлдэг. Энэ нь янз бүрийн шинж тэмдгүүдийн хазайлт нь бие биенээ цуцлахгүйн тулд хийгддэг.

Тайлбар 2.Тархалтын тодорхойлолтоос харахад энэ хэмжигдэхүүн нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг.

Тайлбар 3.Тооцоолоход илүү тохиромжтой дисперсийг тооцоолох томъёо байдаг бөгөөд түүний хүчинтэй байдал нь дараах теоремоор нотлогддог.

Теорем 7.1.Д(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)

Баталгаа.

Юу ашиглаж байна М(X) нь тогтмол утга бөгөөд математикийн хүлээлтийн шинж чанаруудыг бид (7.6) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Д(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =

= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

Жишээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийг тооцоолъё XТэгээд ЮЭнэ хэсгийн эхэнд хэлэлцсэн. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М(Ю) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Тэгэхээр хоёр дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь эхнийхээс хэдэн мянга дахин их байна. Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулийг мэдэхгүй байсан ч мэдэгдэж буй тархалтын утгууд дээр үндэслэн бид үүнийг хэлж чадна. Xматематикийн хүлээлтээс бага зэрэг хазайдаг, харин for ЮЭнэ хазайлт нь нэлээд ач холбогдолтой юм.

Тархалтын шинж чанарууд.

1) Тогтмол утгын хэлбэлзэл ХАМТтэгтэй тэнцүү:

Д (C) = 0. (7.8)

Баталгаа. Д(C) = М((С-М(C))²) = М((С-С)²) = М(0) = 0.

2) Тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар тараах тэмдгээс гаргаж болно.

Д(CX) = C² Д(X). (7.9)

Баталгаа. Д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(C²( X-M(X))²) =

= C² Д(X).

3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X+Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.10)

Баталгаа. Д(X+Y) = М(X² + 2 XY + Ю²) - ( М(X) + М(Ю))² = М(X²) + 2 М(X)М(Ю) +

+ М(Ю²) - М²( X) - 2М(X)М(Ю) - М²( Ю) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Ю²) - М²( Ю)) = Д(X) + Д(Ю).

Дүгнэлт 1.Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 2.Тогтмол болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй тэнцүү байна.

4) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөрүүний дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X-Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.11)

Баталгаа. Д(X-Y) = Д(X) + Д(-Ю) = Д(X) + (-1)² Д(Ю) = Д(X) + Д(X).

Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажаас квадрат хазайлтын дундаж утгыг өгдөг; хазайлтыг өөрөө үнэлэхийн тулд стандарт хазайлт гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглана.

Тодорхойлолт 7.6.Стандарт хэлбэлзэлσ санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xдисперсийн квадрат язгуур гэж нэрлэдэг:

Жишээ. Өмнөх жишээнд стандарт хазайлтууд XТэгээд Ютус тус тэнцүү байна

Хувь хүний ​​​​үнэг бүр нь түүний хуваарилалтын функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Мөн практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд үүний ачаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарыг богино хэлбэрээр танилцуулах боломжтой болно.

Эдгээр тоо хэмжээ нь үндсэндээ орно хүлээгдэж буй үнэ цэнэТэгээд тархалт .

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ- магадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга. гэж тэмдэглэсэн.

Хамгийн энгийнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w), яаж олох интегралЛебесгмагадлалын хэмжүүртэй холбоотой Р эх магадлалын орон зай

Та мөн утгын математик хүлээлтийг олж болно Лебегийн интеграл-аас Xмагадлалын тархалтаар R Xтоо хэмжээ X:

бүх боломжит утгуудын багц хаана байна X.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс функцүүдийн математик хүлээлт Xтүгээх замаар олж болно R X. Жишээлбэл, Хэрэв X- болон доторх утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн f(x)- хоёрдмол утгагүй Борелфункц X , Тэр нь:

Хэрэв F(x)- түгээлтийн функц X, дараа нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлж болно интегралLebesgue - Stieltjes (эсвэл Riemann - Stieltjes):

энэ тохиолдолд интегралчлал XХамааран ( * ) интегралын төгсгөлтэй тохирч байна

Тодорхой тохиолдолд, хэрэв Xмагадлал бүхий салангид тархалттай байна х к, k=1, 2, . , ба магадлал, дараа нь

Хэрэв Xмагадлалын нягтаршил бүхий үнэмлэхүй тасралтгүй тархалттай p(x), Тэр

Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлт байгаа нь харгалзах цуврал буюу интегралын үнэмлэхүй нийлэлтэй тэнцүү байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд.

• Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна:

C- тогтмол;

• M=C.M[X]

• Санамсаргүй байдлаар авсан утгуудын нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

• Бие даасан санамсаргүй байдлаар авсан хувьсагчдын үржвэрийн математик хүлээлт = тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр:

M=M[X]+M[Y]

Хэрэв XТэгээд Юбие даасан.

хэрэв цуврал нийлбэл:

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; утга тус бүрийг тэгээс өөр магадлалаар онооно.

1. Хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүл: x iдээр p i.

2. Хос бүрийн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ x i p i.

Жишээлбэл, Учир нь n = 4 :

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар, магадлал нь эерэг тэмдэгтэй цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.

Жишээ:Томъёог ашиглан математикийн хүлээлтийг ол.

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Жишээ.

X -4 6 10
р 0.2 0.3 0.5

Шийдэл: Математикийн хүлээлт нь X-ийн бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолохын тулд Excel дээр тооцоолол хийх нь тохиромжтой (ялангуяа маш их өгөгдөл байгаа тохиолдолд) бид бэлэн загвар () ашиглахыг санал болгож байна.

Үүнийг өөрөө шийдэх жишээ (та тооцоолуур ашиглаж болно).
Тархалтын хуулиар өгөгдсөн дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол:

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

Математикийн хүлээлт нь дараах шинж чанартай байдаг.

Өмч 1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна: M(C)=C.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно: M(CX)=CM(X).

Өмч чанар 3. Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Өмч 4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Бодлого 189. X ба Y-ийн математик хүлээлт мэдэгдэж байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн Z-ийн математик хүлээлтийг ол: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Шийдэл: Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан (нийлбэрийн математик хүлээлт нь нөхцлийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү; тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс хасаж болно) бид M(Z)-г олж авна. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); б) X-M(X) хазайлтын математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байна.

191. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь гурван боломжит утгыг авна: x1= 4 p1 = 0.5 магадлалтай; xЗ = 6 магадлал P2 = 0.3, x3 магадлал p3. M(X)=8 гэдгийг мэдвэл: x3 ба p3-ийг ол.

192. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн боломжит утгуудын жагсаалтыг өгсөн болно: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1, энэ утгын математик хүлээлт ба түүний квадрат нь мөн мэдэгдэж байна: M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. xi-ийн боломжит утгуудад харгалзах p1, p2, p3 магадлалыг ол

194. 10 хэсгээс бүрдэх багц нь стандартын бус гурван хэсгийг агуулна. Хоёр хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол - сонгосон хоёрын дундах стандарт бус хэсгүүдийн тоог ол.

196. Хэрэв нийт шидэлтийн тоо хорь байвал хоёр шоо тус бүрд нэг цэг гарч ирэх таван шоо шидэлтийн тоог X дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дуран тархалтын математикийн хүлээлт нь туршилтын тоог нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ түгээлтийн хууль тодорхойгүй байдаг тул хүн өөрийгөө бага мэдээллээр хязгаарлах шаардлагатай болдог. Заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүхэлд нь дүрсэлсэн тоонуудыг ашиглах нь бүр илүү ашигтай байдаг; ийм тоонуудыг дууддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм.

Доор үзүүлсэн шиг математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгатай тэнцүү байна. Олон асуудлыг шийдэхийн тулд математикийн хүлээлтийг мэдэхэд хангалттай. Жишээлбэл, хэрэв эхний шидэгчийн авсан онооны тооны математикийн хүлээлт хоёр дахь онооноос их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол эхний шидэгч дунджаар хоёр дахь буудлаас илүү оноо авсан тул илүү сайн харвадаг. хоёрдохоосоо. Хэдийгээр математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай тархалтын хуулиас хамаагүй бага мэдээлэл өгдөг ч математик хүлээлтийн талаарх мэдлэг нь дээрх болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.

§ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт

Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье X зөвхөн утгыг авч болно X 1 , X 2 , ..., X П , магадлал нь тус тус тэнцүү байна Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . Дараа нь математикийн хүлээлт М(X) санамсаргүй хувьсагч X тэгш эрхээр тодорхойлогддог

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x n х n .

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг, тэгвэл

М(X)=

Түүгээр ч барахгүй тэгш байдлын баруун талд байгаа цувралууд туйлын нийлбэл математикийн хүлээлт бий болно.

Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтоос харахад салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй (тогтмол) хэмжигдэхүүн юм. Дараа нь олон удаа хэрэглэгдэх тул энэ мэдэгдлийг санаж байхыг зөвлөж байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь мөн тогтмол утга гэдгийг дараа харуулах болно.

Жишээ 1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X, түүний тархалтын хуулийг мэдэх нь:

Шийдэл. Шаардлагатай математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Жишээ 2.Үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг ол Аүйл явдлын магадлал бол нэг шүүх хуралдаанд Атэнцүү Р.

Шийдэл. Санамсаргүй утга X - үйл явдлын тохиолдлын тоо Анэг туршилтанд - зөвхөн хоёр утгыг авч болно: X 1 = 1 (үйл явдал Атохиолдсон) магадлалаар РТэгээд X 2 = 0 (үйл явдал Атохиолдоогүй) магадлалаар q= 1 -Р.Шаардлагатай математикийн хүлээлт

М(X)= 1* х+ 0* q= х

Тэгэхээр, Нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын тооны математик хүлээлт нь энэ үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна.Энэ үр дүнг доор ашиглах болно.

§ 3. Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга

Үүнийг үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүхий тестүүд X хүлээн зөвшөөрсөн Т 1 дахин үнэ цэнэ X 1 , Т 2 дахин үнэ цэнэ X 2 ,...,м к дахин үнэ цэнэ x к , болон Т 1 + Т 2 + …+т руу = х.Дараа нь авсан бүх утгуудын нийлбэр X, тэнцүү

X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу .

Арифметик дундажийг олъё Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бүх утгыг бид олсон нийлбэрийг тестийн нийт тоонд хуваана.

= (X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу)/П,

= X 1 (м 1 / n) + X 2 (м 2 / n) + ... + X руу (Т руу /П). (*)

хандлага байгааг анзаарсан м 1 / n- харьцангуй давтамж В 1 үнэт зүйлс X 1 , м 2 / n - харьцангуй давтамж В 2 үнэт зүйлс X 2 гэх мэт харьцааг (*) дараах байдлаар бичнэ.

=X 1 В 1 + x 2 В 2 + .. . + X руу В к . (**)

Туршилтын тоо хангалттай их байна гэж бодъё. Дараа нь харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна (үүнийг IX бүлгийн § 6-д нотлох болно):

В 1 х 1 , В 2 х 2 , …, В к х к .

Харьцангуй давтамжийг (**) хамааралтай магадлалаар сольж бид олж авна

x 1 х 1 + X 2 Р 2 + … + X руу Р руу .

Энэ ойролцоо тэгш байдлын баруун гар тал нь М(X). Тэгэхээр,

М(X).

Хүлээн авсан үр дүнгийн магадлалын утга нь дараах байдалтай байна. математикийн хүлээлт ойролцоогоор тэнцүү байна(илүү нарийвчлалтай байх тусам шинжилгээний тоо их болно) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж.

Тайлбар 1. Математикийн хүлээлт нь хамгийн багаас их, боломжит хамгийн том утгаас бага гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоон мөрөнд боломжит утгууд нь математикийн хүлээлтийн зүүн ба баруун талд байрлана. Энэ утгаараа математикийн хүлээлт нь тархалтын байршлыг тодорхойлдог тул ихэвчлэн нэрлэдэг түгээлтийн төв.

Энэ нэр томъёо нь механикаас зээлсэн: хэрэв масс Р 1 , Р 2 , ..., Р Пабсцисса цэгүүдэд байрладаг x 1 , X 2 , ..., X n, ба
дараа нь хүндийн төвийн абсцисса

x в =
.

Үүнийг харгалзан үзвэл
= М (X) Тэгээд
бид авдаг М(X)= x -тай .

Тиймээс, математикийн хүлээлт нь материаллаг цэгүүдийн системийн хүндийн төвийн абсцисса бөгөөд тэдгээрийн абсцисса нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгатай, масс нь тэдний магадлалтай тэнцүү байна.

Тайлбар 2. "Математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёоны гарал үүсэл нь магадлалын онол үүссэн эхний үетэй (XVI - XVII зуун) холбоотой бөгөөд түүний хэрэглээний хамрах хүрээ нь мөрийтэй тоглоомоор хязгаарлагддаг. Тоглогч нь хүлээгдэж буй ялалтын дундаж утгыг, эсвэл өөрөөр хэлбэл хожих математикийн хүлээлтийг сонирхож байв.