Онлайнаар шугамаар хязгаарлагдсан зургийн эзлэхүүнийг тооцоол. Үйлдлийн интеграл

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Жишээ 3

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг тодорхойлж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талд нь хэвтэж буй" өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр ​​будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг "ердийн" аргаар олж болно. Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.

- сегмент дээр ;

- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь шилжихээс бүрддэг урвуу функцуудболон тэнхлэгийн дагуух интеграци.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Ойролцоогоор "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Түүнээс гадна сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу : Тэнхлэгийг нэгтгэх хязгаар зохион байгуулах ёстойхатуу доороос дээш !

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцчлалыг хэрхэн гүйцэтгэсэнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох, эргэлтээр бий болсонтэнхлэгийн эргэн тойронд энэ зургийн.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Тиймээс цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "давган эрвээхэй" гарч ирнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Дугуйлсан хэлбэрийг эргүүл ногоон өнгөтэй, тэнхлэгийн эргэн тойронд, эргэлтийн авсан биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьсан интеграцийн давуу тал, үүнийг олоход хамаагүй хялбар юм Интегралыг 4-р зэрэглэлд урьдчилж өсгөхөөс илүү.

Хариулт:

Хэрэв адилхан бол гэдгийг анхаарна уу хавтгай дүрстэнхлэгийг тойрон эргэвэл та огт өөр эргэлтийн биетэй, байгалийн жамаар өөр эзэлхүүнтэй болно.

Жишээ 7

ба муруйгаар хязгаарлагдсан зургийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Замдаа бид бусад функцүүдийн графиктай танилцаж байна. Ийм сонирхолтой график байна. жигд ажиллагаатай ….

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд цэнхэр өнгөөр ​​будсан зургийн баруун талыг ашиглахад хангалттай. Хоёр функц хоёулаа тэгш, графикууд нь тэнхлэгийнхээ дагуу тэгш хэмтэй, бидний дүрс ч бас тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сүүдэртэй баруун хэсэг, тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлдэж , зүүн гараагүй хэсэгтэй давхцах нь гарцаагүй.

T нь x тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн эргэлтийн бие гэж үзье муруй шугаман трапец, дээд хагас хавтгайд байрлаж, x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан, x=a ба x=b шулуун ба график тасралтгүй функц y=f(x) .

Үүнийг баталъя Хувьсгалын бие нь куб бөгөөд түүний эзэлхүүнийг томъёогоор илэрхийлнэ

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Нэгдүгээрт, бид хувьсгалын тэнхлэгт перпендикуляр Oyz хавтгайг \Pi гэж авбал энэ хувьсгалын бие тогтмол болохыг баталж байна. Ойз хавтгайгаас x зайд байрлах хэсэг нь f(x) радиустай тойрог бөгөөд түүний S(x) талбай нь \pi f^2(x) болохыг анхаарна уу (Зураг 46). Иймд f(x) -ийн тасралтгүй байдлаас шалтгаалан S(x) функц тасралтгүй байна. Дараа нь, хэрэв S(x_1)\leqslant S(x_2), тэгвэл энэ нь гэсэн үг. Харин Oyz хавтгай дээрх хэсгүүдийн проекцууд нь O төвтэй f(x_1) ба f(x_2) радиустай тойрог бөгөөд f(x_1)\leqslant f(x_2) f(x_1) радиустай тойрог f(x_2) радиустай тойрогт агуулагдаж байна гэсэн үг.

Тиймээс эргэлтийн бие нь тогтмол байдаг. Тиймээс энэ нь куб бөгөөд түүний эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Хэрэв муруй шугаман трапецийг доороос болон дээрээс y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) муруйгаар хязгаарласан бол

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Эргэдэг дүрсийн хил хязгаарыг өгсөн тохиолдолд эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолоход (3) томъёог ашиглаж болно. параметрийн тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд хувьсагчийн өөрчлөлтийг тодорхой интеграл тэмдгийн дор ашиглах шаардлагатай.

Зарим тохиолдолд эргэлтийн биеийг шулуун дугуй цилиндрт биш, харин өөр төрлийн дүрс болгон задлах нь тохиромжтой байдаг.

Жишээлбэл, олъё у тэнхлэгийн эргэн тойронд муруй трапецийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүн. Эхлээд y# өндөртэй тэгш өнцөгтийг эргүүлснээр олж авсан эзэлхүүнийг олъё, түүний суурь дээр хэрчим байрладаг. Энэ хэмжээ нь хоёр шулуун дугуй цилиндрийн эзэлхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Гэхдээ одоо хүссэн эзлэхүүнийг дээрээс болон доороос дараах байдлаар тооцоолж байгаа нь тодорхой байна.

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Үүнээс харахад амархан у тэнхлэгийг тойрон эргэх биеийн эзэлхүүний томъёо:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Жишээ 4 R радиустай бөмбөгний эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл.Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид эх цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойргийг авч үзэх болно. Үхрийн тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг энэ тойрог нь бөмбөг үүсгэдэг. Тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=R^2 тул y^2=R^2-x^2 болно. У тэнхлэгийн тойргийн тэгш хэмийг харгалзан бид эхлээд хүссэн эзлэхүүний хагасыг олно.

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\баруун))\баруун|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Тиймээс бүхэл бүтэн бөмбөрцгийн эзэлхүүн байна \frac(4)(3)\pi R^3.

Жишээ 5Өндөр нь h, суурийн радиус нь r бол конусын эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл.Бид координатын системийг сонгож, Үхрийн тэнхлэг нь h өндөртэй давхцдаг (Зураг 47), бид конусын оройг гарал үүсэл болгон авдаг. Тэгвэл OA шулууны тэгшитгэлийг y=\frac(r)(h)\,x гэж бичиж болно.

Томъёо (3) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\баруун|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Жишээ 6Астроидын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол \эхлэх(тохиолдол)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\төгсгөл(тохиолдол)(Зураг 48).

Шийдэл.Асроид бүтээцгээе. У тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлалтай астроидийн дээд хэсгийн хагасыг авч үзье. Томьёог (3) ашиглан тодорхой интеграл тэмдгийн дор хувьсагчийг өөрчилснөөр бид шинэ t хувьсагчийн интеграцийн хязгаарыг олно.

Хэрэв x=a\cos^3t=0 бол t=\frac(\pi)(2) , хэрэв x=a\cos^3t=a бол t=0 болно. y^2=a^2\sin^6t гэж өгөгдсөн ба dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, бид авах:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Астроидын эргэлтээс үүссэн бүх биеийн эзэлхүүн байх болно \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Жишээ 7Абсцисса тэнхлэг ба циклоидын эхний нумаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын у тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. \эхлэх(тохиолдлууд)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\төгсгөл(тохиолдлууд).

Шийдэл.Бид томъёо (4) ашигладаг: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, t хувьсагч 0-ээс 2\pi хүртэл өөрчлөгдөхөд циклоидын эхний нум үүсдэгийг харгалзан хувьсагчийг интеграл тэмдгийн дор орлуул. Энэ замаар,

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\баруун))\баруун|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\баруун)= 6\pi^3a^3. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!

Үүнээс бусад нь Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох (7.2.3-ыг үзнэ үү)сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ нь Хувьсгалын биеийн эзлэхүүний тооцоо. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: үүнийг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай тодорхойгүй интегралууддунд зэргийн төвөгтэй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл, nМөн ноорог зурах хүчтэй ур чадвар шаардагдана. Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд олон сонирхолтой програмууд байдаг; тодорхой интеграл ашиглан та дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. бие болон бусад олон зүйл. Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. төлөөлсөн үү? ... Одоо энэ тооТа мөн хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно:

- x тэнхлэгийн эргэн тойронд ;

- y тэнхлэгийн эргэн тойронд .

Хоёр тохиолдлыг хоёуланг нь авч үзье. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо ҮХЭР

Жишээ 1

Зургийг эргүүлэх замаар олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. шугамаар хязгаарлагдсан, тэнхлэгийн эргэн тойронд .

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, онгоцонд XOYтэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай. Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Эргэлтийн үр дүнд тэнхлэг дээр хоёр хурц оргилтой ийм бага зэрэг өндөг хэлбэртэй нисдэг таваг олж авдаг. ҮХЭР, тэнхлэгийн тэгш хэмтэй ҮХЭР. Үнэн хэрэгтээ бие нь математикийн нэртэй байдаг, лавлах номноос хараарай.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Хэрэв бие нь тэнхлэгийг тойрон эргэхийн үр дүнд үүссэн болҮХЭР, энэ нь оюун санааны хувьд жижиг зузаантай зэрэгцээ давхаргад хуваагддаг dxтэнхлэгт перпендикуляр байдаг ҮХЭР. Бүх биеийн эзэлхүүн нь ийм энгийн давхаргын эзэлхүүний нийлбэртэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Нимбэгний дугуй зүсмэл шиг давхарга бүр нь бага цилиндр өндөртэй байдаг dxба үндсэн радиустай е(x). Дараа нь нэг давхаргын эзэлхүүн нь суурийн талбайн π-ийн үржвэр юм е 2 цилиндрийн өндөр хүртэл ( dx), эсвэл π∙ е 2 (x)∙dx. Хувьсгалын бүх биеийн талбай нь үндсэн эзэлхүүнүүдийн нийлбэр буюу харгалзах тодорхой интеграл юм. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

.

"a" ба "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тохируулахыг зурсан зургаас таахад хялбар байдаг. Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээрээс параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм. Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно ҮХЭР. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: е 2 (x), иймээс, Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм. Хувьсгалын биеийн эзлэхүүнийг ашиглан тооцоол энэ томъёо:

.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь энэ нь хамгийн түгээмэл жор юм. Куб сантиметр байж болно, байж болно Куб метр, магадгүй шоо километр гэх мэт, таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

Тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол ҮХЭРзураасаар хязгаарлагдсан зураг , , .

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдэл. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Жишээ 3

, , ба шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр , , , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийг дүрсэлж, тэгшитгэлийг мартаж болохгүй. x= 0 нь тэнхлэгийг заана Өө:

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед ҮХЭРЭнэ нь хавтгай өнцөгт багел (хоёр конус гадаргуутай угаагч) болж хувирдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү. Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед ҮХЭРүр дүнд нь таслагдсан конус үүсдэг. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг гэж тэмдэглэе В 1 .

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв бид энэ зургийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл ҮХЭР, дараа нь та бас тайрсан конус авах болно, зөвхөн бага зэрэг жижиг. Түүний эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе В 2 .

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний зөрүү В = В 1 - В 2 нь манай "пончик"-ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ нь сонин байна Энэ тохиолдолдТаслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан уусмалыг шалгаж болно.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байх болно). Та чадварлаг, хурдан график зурах аргыг эзэмшиж чадна сургалтын материалба геометрийн графикийн хувиргалт. Гэхдээ үнэндээ би хичээл дээр зургийн ач холбогдлын талаар олон удаа ярьсан.

Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг бөгөөд тодорхой интегралын тусламжтайгаар та зургийн талбай, эргэлтийн биеийн хэмжээ, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. эргэлт болон бусад олон. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. төлөөлсөн үү? ... Хэн юу бэлэглэв гэж гайхаж байна ... =))) Бид түүний талбайг аль хэдийн олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ зургийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно.

- абсцисса тэнхлэгийн эргэн тойронд;
- y тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёуланг нь хоёуланг нь авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж ирнэ дүрсийн талбайг олох асуудал, мөн хоёр дахь аргаар - тэнхлэгийн дагуу талбайг хэрхэн олохыг танд хэлээрэй. Материал нь сэдэвт сайн нийцдэг тул тийм ч их урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Жишээ 1

Тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Бүс нутгийн асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай. Зургийг хэрхэн илүү оновчтой, хурдан болгох талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанаруудболон Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Энэ бол Хятадын сануулга бөгөөд би энд зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр ​​будаж, тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг энэ дүрс нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй, ийм бага зэрэг өндөг хэлбэртэй нисдэг таваг олж авдаг. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номонд ямар нэг зүйлийг зааж өгөх нь хэтэрхий залхуу тул бид цааш явна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Томъёонд интегралын өмнө заавал тоо байх ёстой. Ийм зүйл болсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

"А" ба "байх" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоох вэ гэдгийг би зурсан зургаас таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээрээс параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат: , тэгэхээр интеграл нь үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр байж болно, шоо метр байж болно, шоо километр ч байж болно, энэ бол таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Өөр хоёрыг авч үзье сорилттой даалгаваруудпрактикт ихэвчлэн тулгардаг.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг марталгүй , , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс зур.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед дөрвөн булантай ийм сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн олж авдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авдаг. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг гэж тэмдэглэе.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Одоо завсарлага аваад геометрийн хуурмаг байдлын талаар ярилцъя.

Перелман (өөр нэг) номонд анзаарсан хүмүүс ботьтай холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг Сонирхолтой геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 талбайтай өрөөний эзэлхүүнтэй шингэн уудаг. метр квадрат, энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд хэвлэгдсэн тэр ном нь хошин шогийн зохиолчийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, эхийг хайж олохыг заадаг. стандарт бус шийдлүүдасуудлууд. Саяхан би зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, үүнийг зөвлөж байна, хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй байна. Үгүй ээ, миний санал болгож буй хөгжилтэй зугаа цэнгэл, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээтэй байдал нь гайхалтай зүйл гэж та инээмсэглэх хэрэггүй.

Дараа нь хазайлтшийдвэрлэхэд тохиромжтой бүтээлч даалгавар:

Жишээ 4

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл бэлэн интеграцийн хязгаарыг үнэндээ өгсөн. Тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зур, би танд хичээлийн материалыг сануулах болно графикийн геометрийн хувиргалт: хэрэв аргумент нь хоёрт хуваагддаг бол: , тэгвэл графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олох нь зүйтэй тригонометрийн хүснэгтийн дагуузургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. У тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь бас нэлээд байнгын зочин юм. хяналтын ажил. Цаашид авч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалхоёр дахь арга зам - тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх, энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийг хэрхэн олохыг танд заах болно. Энэ нь бас практик утгатай! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд болсон, ажилтнуудаа оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Би үүнийг хүн бүр, бүр бүрэн дамми хүртэл уншихыг зөвлөж байна. Түүнчлэн, хоёр дахь догол мөрний шингэсэн материал нь давхар интегралыг тооцоолоход үнэлж баршгүй туслах болно..

Жишээ 5

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг тодорхойлж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талд нь хэвтэж буй" өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр ​​будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хичээл дээр авч үзсэн "ердийн" аргаар олж болно. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэлд юу буруу байна вэ? Нэгдүгээрт, хоёр интеграл байдаг. Хоёрдугаарт, интеграл дахь язгуур, интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш, үүнээс гадна интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг үхэлд хүргэдэггүй, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байдаг тул би даалгаврын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгов.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Ойролцоогоор "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Түүнээс гадна сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу: Тэнхлэгийн дагуух интеграцийн хязгаарыг тогтоох хэрэгтэй хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцчлалыг хэрхэн гүйцэтгэсэнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Тиймээс цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "давган эрвээхэй" гарч ирнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, эргэлтийн биетийн эзлэхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьсан интеграцийн давуу тал, үүнийг олоход хамаагүй хялбар юм интегралыг 4-р зэрэглэлд хүргэхээс илүү.

Хариулт:

Гэсэн хэдий ч өвчтэй эрвээхэй.

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл огт өөр эргэлтийн бие, байгалийн жамаар өөр эзэлхүүнтэй болохыг анхаарна уу.

Жишээ 6

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс , тэнхлэг өгөгдсөн .

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагч дээр нэгтгэн эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хүссэн хүмүүс мөн зургийн талбайг "ердийн" аргаар олох боломжтой бөгөөд ингэснээр 1-р цэгийн тестийг бөглөж болно). Гэхдээ би давтан хэлэхэд, хэрэв та тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтгай дүрсийг эргүүлбэл, та өөр эзэлхүүнтэй огт өөр эргэлтийн биеийг авах болно, дашрамд хэлэхэд, зөв ​​хариулт (мөн шийдвэрлэх дуртай хүмүүст).

Хичээлийн төгсгөлд санал болгож буй хоёр даалгаврын бүрэн шийдэл.

Өө, эргэлтийн бие болон интеграцийн хүрээнд ойлгохын тулд толгойгоо баруун тийш хазайхаа бүү мартаарай!