Зургаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг олохын тулд 3 шаардлагатай. Онлайн тооцоолуур Тодорхой интегралыг тооцоолох (муруй шугаман трапецын талбай)

Тодорхой интегралын геометрийн утгыг шинжлэхэд зориулагдсан өмнөх хэсэгт бид талбайг тооцоолох хэд хэдэн томъёог хүлээн авсан. муруй шугаман трапец:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x тасралтгүй ба эерэг бус функцийн хувьд y = f (x) [ a ; б] .

Эдгээр томъёог харьцангуй шийдвэрлэхэд хэрэглэнэ энгийн даалгаварууд. Үнэндээ бид ихэвчлэн илүү төвөгтэй дүрстэй ажиллах шаардлагатай болдог. Үүнтэй холбогдуулан бид энэ хэсгийг тодорхой хэлбэрээр функцээр хязгаарласан дүрсийн талбайг тооцоолох алгоритмын шинжилгээнд зориулах болно. y = f(x) эсвэл x = g(y) гэх мэт.

Теорем

y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) функцууд тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн [ a ; b ] , ба f 1 (x) ≤ f 2 (x) нь [ a -аас ямар ч х утгын хувьд; б] . Дараа нь G зургийн талбайг тооцоолох томъёо, шугамаар хязгаарлагдсан x = a , x = b , y = f 1 (x) and y = f 2 (x) нь S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x шиг харагдах болно.

Үүнтэй төстэй томъёог y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ба x \u003d g 2 (y) шугамаар хязгаарласан зургийн талбайд хэрэглэнэ: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Баталгаа

Томъёо хүчинтэй байх гурван тохиолдолд бид дүн шинжилгээ хийх болно.

Эхний тохиолдолд тухайн талбайн нэмэлт шинж чанарыг харгалзан үзэхэд анхны зураг G ба муруйн шугаман трапецын G 1 талбайн нийлбэр нь G 2 зургийн талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь тийм гэсэн үг

Тиймээс S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Бид тодорхой интегралын гурав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

Хоёр дахь тохиолдолд тэгш байдал нь үнэн: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

График дүрслэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хэрэв функц хоёулаа эерэг биш бол бид дараахийг авна: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . График дүрслэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

Харгалзах зүйл рүү шилжье ерөнхий тохиолдол y = f 1 (x) ба y = f 2 (x) нь O x тэнхлэгтэй огтлолцох үед.

Бид огтлолцох цэгүүдийг x i , i = 1 , 2 , гэж тэмдэглэнэ. . . , n - 1. Эдгээр цэгүүд сегментийг эвддэг [ a ; b ] n хэсэгт x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , энд α = x 0 байна< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Үүний үр дүнд,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Бид тодорхой интегралын тав дахь шинж чанарыг ашиглан сүүлчийн шилжилтийг хийж болно.

График дээрх ерөнхий тохиолдлыг харуулъя.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x томьёог батлагдсан гэж үзэж болно.

Одоо y \u003d f (x) ба x \u003d g (y) шугамаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолох жишээнүүдийн дүн шинжилгээ рүү шилжье.

Жишээнүүдийн аль нэгийг авч үзвэл бид график байгуулахаас эхэлнэ. Энэ зураг нь нарийн төвөгтэй хэлбэрийг олон зүйлийн нэгдэл болгон харуулах боломжийг бидэнд олгоно энгийн тоонууд. Хэрэв график, тэдгээрийн дээр дүрс зурах нь танд хэцүү бол та үндсэн үндсэн функцууд, функцийн графикийн геометрийн хувиргалт, түүнчлэн функцийг судлах явцад график зурах хэсгийг судалж болно.

Жишээ 1

y \u003d - x 2 + 6 x - 5 парабол ба y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай. 1, x \u003d 4.

Шийдэл

График дээрх шугамуудыг декартын координатын системээр зуръя.

Интервал дээр [ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 параболын график нь y = - 1 3 x - 1 2 шулуунаас дээш байрлана. Үүнтэй холбогдуулан хариулт авахын тулд бид өмнө нь олж авсан томъёо, түүнчлэн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох аргыг ашигладаг.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Хариулт: S (G) = 13

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

AT Энэ тохиолдолдбидэнд x тэнхлэгтэй параллель ганц шулуун шугам байна. Энэ нь x = 7 юм. Энэ нь бид хоёр дахь интеграцийн хязгаарыг өөрсдөө олохыг шаарддаг.

График байгуулж, түүн дээр бодлогын нөхцөлөөр өгөгдсөн шугамуудыг тавья.

Бидний нүдний өмнө график байгаа тул интегралын доод хязгаар нь y \u003d x шулуун шугам ба хагас парабол y \u003d x + 2 бүхий графикийн огтлолцлын цэгийн абсцисса байх болно гэдгийг хялбархан тодорхойлж чадна. Абсциссыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг ашиглана:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Уулзалтын цэгийн абсцисса нь x = 2 байна.

Үүнд бид таны анхаарлыг хандуулж байна ерөнхий жишээзургийн y = x + 2 , y = x шугамууд (2 ; 2) цэг дээр огтлолцох тул эдгээр нь нарийвчилсан тооцоололилүүц мэт санагдаж магадгүй. Бид энд авчирсан нарийвчилсан шийдэлзүгээр л илүү учраас хүнд хэцүү тохиолдлуудшийдэл нь тийм ч тодорхой биш байж магадгүй. Энэ нь шугамын огтлолцлын координатыг аналитик байдлаар үргэлж тооцоолох нь дээр гэсэн үг юм.

Интервал дээр [ 2 ; 7 ] y = x функцийн график нь у = x + 2 функцийн график дээр байрлана. Талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Хариулт: S (G) = 59 6

Жишээ 3

y \u003d 1 x ба y \u003d - x 2 + 4 x - 2 функцуудын графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр шугам зурцгаая.

Интеграцийн хязгаарыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид 1 x ба - x 2 + 4 x - 2 илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх замаар шугамуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Хэрэв x нь тэгтэй тэнцүү биш бол 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 тэгшитгэл нь бүхэл тооны коэффициент бүхий гурав дахь зэрэгтэй - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. . Та ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмын санах ойг "Куб тэгшитгэлийн шийдэл" хэсгээс сэргээж болно.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 илэрхийлэлийг x - 1 хоёрт хуваавал: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x) болно. - 1) = 0

Бид x 2 - 3 x - 1 = 0 тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олж болно.

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Бид x ∈ 1 интервалыг олсон; 3 + 13 2 , энд G нь цэнхэр шугамаас дээш, улаан шугамын доор байна. Энэ нь бидэнд хэлбэрийн талбайг тодорхойлоход тусална:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Хариулт: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Жишээ 4

y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ба x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээрх бүх мөрүүдийг оруулъя. y = - log 2 x + 1 функцийн графикийг х тэнхлэгт тэгш хэмтэй байрлуулж, нэг нэгж дээш хөдөлгөвөл y = log 2 x графикаас авч болно. x тэнхлэгийн тэгшитгэл y \u003d 0.

Шугамануудын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэе.

Зурагнаас харахад y \u003d x 3 ба y \u003d 0 функцуудын графикууд (0; 0) цэг дээр огтлолцдог. Учир нь x \u003d 0 нь x 3 \u003d 0 тэгшитгэлийн цорын ганц жинхэнэ үндэс юм.

x = 2 нь тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс - log 2 x + 1 = 0 тул y = - log 2 x + 1 ба y = 0 функцуудын графикууд (2 ; 0) цэг дээр огтлолцоно.

x = 1 нь x 3 = - log 2 x + 1 тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Үүнтэй холбогдуулан y \u003d x 3 ба y \u003d - log 2 x + 1 функцуудын графикууд (1; 1) цэг дээр огтлолцдог. Сүүлийн мэдэгдэл нь тодорхой биш байж болох ч x 3 \u003d - log 2 x + 1 тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй байж болохгүй, учир нь y \u003d x 3 функц эрс нэмэгдэж, y \u003d - log 2 x функц нь нэмэгдэж байна. + 1 нь эрс буурч байна.

Дараагийн алхам нь хэд хэдэн сонголтыг багтаана.

Сонголт дугаар 1

Бид G дүрсийг абсцисса тэнхлэгээс дээгүүр байрлах хоёр муруй шугаман трапецын нийлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд эхнийх нь х ∈ 0 сегментийн дунд шугамын доор байрладаг; 1 , хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан шугамын доор байна; 2. Энэ нь талбай нь S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Сонголт дугаар 2

G дүрсийг хоёр зургийн зөрүүгээр дүрсэлж болох бөгөөд эхнийх нь x тэнхлэгээс дээш, x ∈ 0 сегмент дээрх цэнхэр шугамын доор байрладаг; 2 , хоёр дахь нь x ∈ 1 сегмент дээрх улаан ба цэнхэр шугамын хооронд байна; 2. Энэ нь бидэнд дараах талбайг олох боломжийг олгоно.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Энэ тохиолдолд талбайг олохын тулд та S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y хэлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй болно. Үнэн хэрэгтээ, дүрсийг холбосон шугамуудыг y аргументын функцээр илэрхийлж болно.

y = x 3 ба - log 2 x + 1 тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулан бодъё.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Бид шаардлагатай талбайг авдаг:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Хариулт: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Жишээ 5

y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

График дээр улаан шугамаар зураас зурах, функцээр өгөгдсөн y=x. y = - 1 2 x + 4 шугамыг цэнхэр өнгөөр ​​зурж, y = 2 3 x - 3 гэсэн шугамыг хараар тэмдэглэнэ.

Уулзвар цэгүүдийг анхаарна уу.

y = x ба y = - 1 2 x + 4 функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийг ол.

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i тэгшитгэлийн шийдэл x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 тэгшитгэлийн шийдэл. ⇒ (4 ; 2) огтлолцох цэг i y = x ба y = - 1 2 x + 4

y = x ба y = 2 3 x - 3 функцуудын графикуудын огтлолцлын цэгийг ол.

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Шалгана уу: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 нь тэгшитгэлийн шийдэл ⇒ (9; 3) цэг ба огтлолцол y = x ба y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 нь тэгшитгэлийн шийдэл биш юм.

y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3 шулуунуудын огтлолцох цэгийг ол:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) огтлолцлын цэг y = - 1 2 x + 4 ба y = 2 3 x - 3

Аргын дугаар 1

Бид хүссэн зургийн талбайг бие даасан дүрсүүдийн талбайн нийлбэр болгон төлөөлдөг.

Дараа нь зургийн талбай нь:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Аргын дугаар 2

Анхны зургийн талбайг бусад хоёр зургийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Дараа нь бид x-ийн шугамын тэгшитгэлийг шийдэж, зөвхөн үүний дараа бид зургийн талбайг тооцоолох томъёог ашиглана.

y = x ⇒ x = y 2 улаан шугам y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 хар шугам y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Тэгэхээр талбай нь:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь таарч байна.

Хариулт: S (G) = 11 3

Үр дүн

Өгөгдсөн шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг олохын тулд бид хавтгай дээр шугам зурж, тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг олж, талбайг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй. Энэ хэсэгт бид даалгаврын хамгийн түгээмэл сонголтуудыг авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Бид давхар интегралыг тооцоолох бодит үйл явцыг авч үзэж, түүний геометрийн утгатай танилцаж эхэлдэг.

Тоогоор давхар интеграл талбайтай тэнцүүхавтгай зураг (интеграцийн бүсүүд). тэр хамгийн энгийн хэлбэрхоёр хувьсагчийн функц нэгтэй тэнцүү байх үед давхар интеграл: .

Эхлээд асуудлыг авч үзье ерөнхий үзэл. Энэ нь үнэхээр энгийн болохыг та одоо гайхах болно! Шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид интервал дээр гэж үздэг. Энэ зургийн талбай нь тоон хувьд тэнцүү байна:

Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Талбайг тойрч гарах эхний аргыг сонгоцгооё.

Энэ замаар:

Тэгээд тэр даруй чухал техникийн заль мэх: давтагдсан интегралуудыг тусад нь авч үзэж болно. Эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Энэ аргаЦайны сэдвийг эхлэгчдэд зөвлөж байна.

1) "y" хувьсагч дээр интеграл хийх үед дотоод интегралыг тооцоол.

Энд тодорхойгүй интеграл нь хамгийн энгийн бөгөөд дараа нь энгийн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг бөгөөд цорын ганц ялгаа нь: Интеграцийн хязгаар нь тоо биш, харин функцууд юм. Эхлээд бид дээд хязгаарыг "y" (эсрэг үүсмэл функц), дараа нь доод хязгаарыг орлуулсан.

2) Эхний догол мөрөнд олж авсан үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулах ёстой:

Бүх шийдлийн илүү нягт тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна.

Үр дүнгийн томъёо - яг тийм ажлын томъёо"ердийн" тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох! Хичээл үзнэ үү Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох, тэр эргэлт бүрт байдаг!

Тэр бол, давхар интеграл ашиглан талбайг тооцоолох бодлого арай өөртодорхой интеграл ашиглан талбайг олох бодлогоос!Үнэндээ тэд нэг бөгөөд адилхан!

Үүний дагуу ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй! Та энэ асуудалтай олон удаа тулгарч байсан тул би тийм ч олон жишээ авч үзэхгүй.

Жишээ 9

Шийдэл:Зурган дээрх талбайг дүрсэлцгээе.

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Эхний догол мөр нь маш нарийн байсан тул энд болон доор би талбайг хэрхэн туулах талаар ярихгүй.

Энэ замаар:

Өмнө дурьдсанчлан, эхлэгчдэд давтагдсан интегралуудыг тусад нь тооцоолох нь дээр, би ижил аргыг баримтлах болно.

1) Нэгдүгээрт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид дотоод интегралыг авч үздэг.

2) Эхний алхамд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулна.

2-р цэг нь тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох явдал юм.

Хариулт:

Энд ийм тэнэг, гэнэн даалгавар байна.

Сонирхолтой жишээ бие даасан шийдэл:

Жишээ 10

Давхар интегралыг ашиглан , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн дүрсийн талбайг тооцоол.

Жишээ дээж дуусгахХичээлийн төгсгөлд шийдлүүд.

Жишээ 9-10-д талбайг тойрч гарах эхний аргыг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг тул сониуч уншигчид тойрч гарах дарааллыг өөрчилж, талбайг хоёр дахь аргаар тооцоолох боломжтой. Хэрэв та алдаа гаргахгүй бол мэдээжийн хэрэг ижил талбайн утгыг олж авах болно.

Гэхдээ зарим тохиолдолд энэ газрыг тойрч гарах хоёр дахь арга нь илүү үр дүнтэй байдаг бөгөөд залуу нердийн сургалтын төгсгөлд энэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 11

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл:Бид хажуу талд нь сэвшээ салхитай хоёр параболыг тэсэн ядан хүлээж байна. Инээмсэглэх шаардлагагүй, олон интеграл дахь ижил төстэй зүйлүүд ихэвчлэн тулгардаг.

Зураг зурах хамгийн хялбар арга юу вэ?

Параболыг хоёр функцээр илэрхийлье.
- дээд салбар ба - доод салбар.

Үүний нэгэн адил параболыг дээд ба доод гэж төсөөлөөд үз дээ салбарууд.

Дараа нь хөтчүүдийг цэг болгон зурж, ийм хачирхалтай дүрс гарч ирнэ:

Зургийн талбайг дараах томъёоны дагуу давхар интеграл ашиглан тооцоолно.

Хэрэв бид энэ газрыг тойрч гарах эхний аргыг сонговол юу болох вэ? Нэгдүгээрт, өгөгдсөн талбайхоёр хэсэгт хуваах шаардлагатай болно. Хоёрдугаарт, бид энэ гунигтай дүр зургийг ажиглах болно. . Мэдээжийн хэрэг интегралууд нь хэт нийлмэл төвшинд хамаарахгүй, гэхдээ ... эртний математикийн үг байдаг: үндэстэй нөхөрсөг хэнд ч гэсэн цэг тавих шаардлагагүй.

Тиймээс, нөхцөл байдалд өгөгдсөн буруу ойлголтоос бид урвуу функцийг илэрхийлнэ.

Урвуу функцууд in энэ жишээТэд параболыг бүхэлд нь ямар ч навч, царс, мөчир, үндэсгүйгээр шууд тогтоодог давуу талтай.

Хоёрдахь аргын дагуу талбайн шилжилт нь дараах байдалтай байна.

Энэ замаар:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр.

1) Бид дотоод интегралтай харьцдаг:

Бид үр дүнг гадаад интеграл болгон орлуулна.

"y" хувьсагч дээр интеграци хийх нь ичмээр зүйл биш байх ёстой, хэрэв "zyu" үсэг байсан бол үүн дээр интеграци хийх нь гайхалтай байх болно. Хичээлийн хоёр дахь догол мөрийг хэн уншсан ч гэсэн Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэрээр "y"-ээс илүү интеграцид өчүүхэн ч эвгүй байдалд орохоо больсон.

Мөн эхний алхамд анхаарлаа хандуулаарай: интеграл нь тэгш, интеграцийн сегмент нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сегментийг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой. Энэ техникийг хичээл дээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Үр дүнтэй аргуудтодорхой интегралын тооцоо.

Юу нэмэх вэ... Бүх зүйл!

Хариулт:

Интеграцийн техникээ шалгахын тулд та тооцоолж болно . Хариулт нь яг адилхан байх ёстой.

Жишээ 12

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хэрэв та талбайг тойрч гарах эхний аргыг ашиглахыг оролдвол зураг хоёр хуваагдахаа больсон, харин гурван хэсэгт хуваагдана гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм! Үүний дагуу бид гурван хос давтагдсан интеграл авдаг. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог.

Мастер анги дуусч, их мастерын түвшинд шилжих цаг боллоо. Давхар интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдлийн жишээ. Хоёрдахь нийтлэлдээ тийм маник байхгvйг хичээх болноо =)

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл: Талбай зурах зураг дээр:

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Энэ замаар:
Урвуу функцууд руу шилжье:


Энэ замаар:
Хариулт:

Жишээ 4:Шийдэл: Шууд функцууд руу шилжье:


Зургийг гүйцэтгье:

Талбайг туулах дарааллыг өөрчилье:

Хариулт:

а)

Шийдэл.

Эхлээд ба шийдвэрлэх мөчшийдэл - зураг зурах.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0 x тэнхлэгийг тохируулах;

- x=-2 болон x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;

- y \u003d x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU мөн тохирохыг нь шийдэх квадрат тэгшитгэл, тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та шугам зурж, цэг болгон зурж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэг дээгүүр Үхэр , ийм учраас:

Хариулт: С \u003d 9 квадрат нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - за, 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 гэсэн хариулттай байсан нь тодорхой байна квадрат нэгж, дараа нь хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь ойлгомжтой - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь ойлгомжтой, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг гарсан бол даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Хэрэв муруйн трапец байгаа бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?

б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координат тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй шугаман трапец бүрэн тэнхлэгийн доор Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та энгийнээр шийдэхийг хүсч байвал тодорхой интегралямар ч геометрийн утгагүйгээр сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

хамт)Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Шийдэл.

Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг ол ба шууд Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Бид өгөгдсөн шугамуудыг байгуулна: 1. Парабола - (1;1) цэг дээрх орой; тэнхлэгийн уулзвар Өө -оноо(0;0) ба (0;2). 2. Шулуун шугам - 2 ба 4-р координатын өнцгийн биссектриса. Тэгээд одоо Анхаар! Хэрэв сегмент дээр бол [ а;б] зарим тасралтгүй функц f(x)заримаас их эсвэл тэнцүү тасралтгүй функц g(x), дараа нь харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно. . Зураг нь хаана байрлах нь хамаагүй - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгээс доогуур, гэхдээ аль диаграм нь ӨНДӨР (өөр графиктай харьцуулахад), аль нь ДООР байх нь чухал юм. Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Интеграцийн хил хязгаарыг "өөрсдөө" гэж тодорхойлдог бол цэг тус бүрээр шугам барих боломжтой. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.

Хүссэн дүрс нь дээрээс парабол, доороос шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: С \u003d 4.5 кв. нэгж

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхой бус, тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг шаардагддаггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурахтай холбоотой байдаг, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар илүү хамааралтай асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн графикийг сайжруулах нь ашигтай байдаг үндсэн функцууд, гэхдээ ядаж шулуун шугам барьж чаддаг байх, мөн гипербол.

Муруй шугаман трапецтэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс гэж нэрлэдэг. Болъё өгсөн тообайрладаг бага бишабсцисса:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.

Геометрийн хувьд тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол,тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) нь геометрийн хувьд зарим зургийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгээс дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зургийг дуусгах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол ердийн ажлын мэдэгдэл юм. Шийдвэр гаргах эхний бөгөөд хамгийн чухал мөч бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг төслийг бүтээхдээ би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна. эхлээдбүх мөрийг (хэрэв байгаа бол) зөвхөн барих нь дээр дараа- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгийн дагуу.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зураг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэг дээгүүр, ийм учраас:

Хариулт:

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - за, 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэж хариулсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй, хамгийн ихдээ хэдэн арван байна. Хариулт нь сөрөг гарсан бол даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруйн трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлуудаас бид илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгийг хамгийн их сонирхдог. Парабол ба шулууны огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Тиймээс интеграцийн доод хязгаар, интеграцийн дээд хязгаар.

Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Интеграцийн хил хязгаарыг "өөрөө" гэж тодорхойлж байхад шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан юм. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл урсгалтай бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Бид даалгавар руугаа буцаж байна: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв интервал дээр ямар нэгэн тасралтгүй функц байгаа бол түүнээс их буюу тэнцүүЗарим тасралтгүй функц, дараа нь эдгээр функцүүдийн график ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд зураг хаана байрлаж байгааг бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, ДЭЭШ аль график байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Шийдлийг дуусгах нь дараах байдалтай байж болно.

Хүссэн дүрс нь дээрээс парабол, доороос шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Сегмент дээр харгалзах томъёоны дагуу:

Хариулт:

Жишээ 4

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан байна.(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал вэ!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж "гадаа" ихэвчлэн гарч ирдэг бөгөөд та зургийн ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн хэсгийг олох хэрэгтэй болдог!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход тустай.

Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул: