1 සහ 2 අපූරු විසඳුම් සීමාවන් වේ. කැපී පෙනෙන සීමාවන්. විසඳුම් උදාහරණ

දැන්, මනසේ සාමය ඇතිව, අපි සලකා බැලීම වෙත හැරෙමු පුදුම සීමාවන්.
වගේ පේනවා.

x විචල්‍යය වෙනුවට විවිධ ශ්‍රිත පැවතිය හැක, ප්‍රධාන දෙය නම් ඒවා 0 වෙත නැඹුරු වීමයි.

අපි සීමාව ගණනය කළ යුතුයි

පෙනෙන පරිදි, ලබා දී ඇති සීමාවපළමු පුදුමයට බෙහෙවින් සමාන ය, නමුත් එය එසේ නොවේ. පොදුවේ ගත් කල, ඔබ සීමාව තුළ පාපය දුටුවහොත්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කළ හැකිද යන්න ගැන ඔබ වහාම සිතා බැලිය යුතුය.

අපගේ රීති අංක 1 අනුව, අපි x සඳහා ශුන්‍ය ආදේශ කරමු:

අපට අවිනිශ්චිත බවක් ඇති වේ.

දැන් අපි පළමු එක සංවිධානය කිරීමට උත්සාහ කරමු පුදුම සීමාව. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සරල සංයෝජනයක් සිදු කරන්නෙමු:

එබැවින් අපි 7x කැපී පෙනෙන ලෙස අංකනය සහ හරය සකස් කරමු. හුරුපුරුදු කැපී පෙනෙන සීමාව දැනටමත් දර්ශනය වී ඇත. තීරණය කිරීමේදී එය ඉස්මතු කිරීම සුදුසුය:

පළමු විසඳුම ආදේශ කරන්න විශිෂ්ට උදාහරණයක්සහ අපට ලැබෙන්නේ:

කොටස සරල කරන්න:

පිළිතුර: 7/3.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය.

පෝරමය ඇත , මෙහි e = 2.718281828… යනු අතාර්කික අංකයකි.

x විචල්‍යය වෙනුවට විවිධ ශ්‍රිත තිබිය හැක, ප්‍රධාන දෙය නම් ඒවා නැඹුරු වීමයි.

අපි සීමාව ගණනය කළ යුතුයි

මෙහි සීමාව ලකුණ යටතේ උපාධියක් තිබීම අපට පෙනේ, එයින් අදහස් කරන්නේ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදිය හැකි බවයි.

සෑම විටම, අපි රීති අංක 1 භාවිතා කරන්නෙමු - x වෙනුවට ආදේශක:

x සඳහා උපාධියේ පාදය වන අතර ඝාතකය 4x > , i.e. අපි පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලබා ගනිමු:

අපගේ අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට දෙවන අපූරු සීමාව භාවිතා කරමු, නමුත් පළමුව අපි එය සංවිධානය කළ යුතුය. ඔබට පෙනෙන පරිදි, දර්ශකයේ පැවැත්ම සාක්ෂාත් කර ගැනීම අවශ්‍ය වේ, ඒ සඳහා අපි පාදම 3x බලයට සහ ඒ සමඟම 1/3x බලයට ඔසවන්නෙමු, එවිට ප්‍රකාශනය වෙනස් නොවේ:

අපගේ අපූරු සීමාව ඉස්මතු කිරීමට අමතක නොකරන්න:

මේවා ඇත්තටම පුදුම සීමාවන්!
ඔබට කිසියම් ප්රශ්නයක් ඇත්නම් පළමු හා දෙවන පුදුම සීමාවන්අදහස් දැක්වීමේදී ඔවුන්ගෙන් විමසීමට නිදහස් වන්න.
අපි හැකි ඉක්මනින් සෑම කෙනෙකුටම පිළිතුරු දෙන්නෙමු.

ඔබට මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගුරුවරයෙකු සමඟ වැඩ කළ හැකිය.
ඔබගේ නගරයේ සුදුසුකම් ලත් උපදේශකයෙකු තෝරා ගැනීමේ සේවාවන් ඔබට පිරිනැමීමට අපි සතුටු වෙමු. අපගේ හවුල්කරුවන් ඔබට හිතකර කොන්දේසි මත ඔබ වෙනුවෙන් හොඳ ගුරුවරයෙකු ඉක්මනින් තෝරා ගනු ඇත.

ප්‍රමාණවත් තොරතුරු නොමැතිද? - ඔයාට පුළුවන් !

ඔබට නෝට්පෑඩ් වල ගණිතමය ගණනය කිරීම් ලිවිය හැකිය. ලාංඡනයක් (http://www.blocnot.ru) සමඟ තනි සටහන් පොත්වල ලිවීම වඩාත් ප්රසන්න වේ.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව පහත සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ:

\begin(සමීකරණය)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය)

$\alpha\to(0)$ සඳහා අපට $\sin\alpha\to(0)$ ඇති බැවින්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් හෙළි කරන බව අපි කියමු. සාමාන්‍යයෙන් කථා කරන විට, සූත්‍රයේ (1), $\alpha$ විචල්‍යය වෙනුවට, සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ, කොන්දේසි දෙකක් සපුරා ඇති තාක් ඕනෑම ප්‍රකාශනයක් ස්ථානගත කළ හැක:

1. සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ ඇති ප්‍රකාශන එකවර ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, i.e. $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත.
2. සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ ඇති ප්‍රකාශන සමාන වේ.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ අනුප්‍රාප්තිකයන් ද බොහෝ විට භාවිතා වේ:

\begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(සමීකරණය) \begin(සමීකරණය) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \අවසන්(සමීකරණය)

මෙම පිටුවේ උදාහරණ එකොළහක් විසඳා ඇත. උදාහරණ අංක 1 සූත්‍ර (2)-(4) සාධනය සඳහා කැප කර ඇත. උදාහරණ #2, #3, #4 සහ #5 සවිස්තරාත්මක අදහස් සහිත විසඳුම් අඩංගු වේ. පෙර උදාහරණවල සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් ලබා දී ඇති බැවින් උදාහරණ 6-10 හි සුළු හෝ අදහස් දැක්වීමක් නොමැති විසඳුම් අඩංගු වේ. විසඳුම සමහරක් භාවිතා කරයි ත්රිකෝණමිතික සූත්රසොයා ගත හැකි බව.

සිටීම බව සලකන්න ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත$\frac (0) (0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවය සමඟින් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදිය යුතු බව ඉන් අදහස් නොවේ. සමහර විට සරල ත්රිකෝණමිතික පරිවර්තනයන් ප්රමාණවත් වේ - උදාහරණයක් ලෙස, බලන්න.

උදාහරණ #1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) බව ඔප්පු කරන්න (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

අ) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ සිට, එවිට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ සහ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , එවිට:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ආ) අපි $\alpha=\sin(y)$ ආදේශනය කරමු. $\sin(0)=0$ නිසා, $\alpha\to(0)$ කොන්දේසියෙන් අපට $y\to(0)$ ලැබේ. ඊට අමතරව, $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, එසේ නම් ශුන්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

සමානාත්මතාවය $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ඔප්පු කර ඇත.

c) අපි $\alpha=\tg(y)$ ආදේශනය කරමු. $\tg(0)=0$ නිසා, $\alpha\to(0)$ සහ $y\to(0)$ යන කොන්දේසි සමාන වේ. ඊට අමතරව, $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ වන ශුන්‍යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත, එබැවින්, a ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිඵල මත පදනම්ව, අපට ලැබෙනු ඇත:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ සමානාත්මතාවය ඔප්පු කර ඇත.

සමානතා a), b), c) බොහෝ විට පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සමඟ භාවිතා වේ.

උදාහරණ #2

සීමාව ගණනය කරන්න $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ සහ $\lim_(x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. සහ භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය එකවර ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, එවිට අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරමු, i.e. ඉටු කළා. ඊට අමතරව, සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරය තුළ ඇති ප්‍රකාශන සමාන බව දැකිය හැකිය (එනම්, සහ තෘප්තිමත්):

එබැවින්, පිටුවේ ආරම්භයේ ලැයිස්තුගත කර ඇති කොන්දේසි දෙකම සපුරා ඇත. සූත්රය අදාළ වන බව මෙයින් පහත දැක්වේ, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\වම(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)(x+7 ))=1$.

පිළිතුර: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\වම(\frac(x^2-4)(x+7)\දකුණ))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

උදාහරණ #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ සහ $\lim_(x\to(0))x=0$ නිසා, අපි $\frac(ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. 0 )(0)$, එනම්, ඉටු කළා. කෙසේ වෙතත්, සයින් ලකුණ යටතේ සහ හරයේ ඇති ප්‍රකාශන නොගැලපේ. මෙහිදී හරයේ ඇති ප්‍රකාශනය අවශ්‍ය ආකෘතියට සකස් කිරීම අවශ්‍ය වේ. හරය තුළ අපට $9x$ ප්‍රකාශනය අවශ්‍ය වේ - එවිට එය සත්‍ය වනු ඇත. මූලික වශයෙන්, අපට හරයේ $9$ සාධකය මග හැරී ඇත, එය ඇතුළු කිරීමට එතරම් අපහසු නොවේ, හරයේ ප්‍රකාශනය $9$ න් ගුණ කරන්න. ස්වාභාවිකවම, $9$ කින් ගුණ කිරීම සඳහා වන්දි ගෙවීමට, ඔබට වහාම $9$ කින් බෙදීමට සහ බෙදීමට සිදුවේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

දැන් හරයේ සහ සයින් ලකුණට යටින් ඇති ප්‍රකාශන සමාන වේ. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ සීමාව සඳහා කොන්දේසි දෙකම තෘප්තිමත් වේ. එබැවින් $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. සහ මෙයින් අදහස් කරන්නේ:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

උදාහරණ #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ සහ $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ නිසා, මෙහි අප කටයුතු කරන්නේ අවිනිශ්චිතතාවයකින් පෝරමය $\frac(0)(0)$. කෙසේ වෙතත්, පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවෙහි ස්වරූපය කැඩී ඇත. $\sin(5x)$ අඩංගු සංඛ්‍යාවක් සඳහා හරයේ $5x$ අවශ්‍ය වේ. මෙම තත්වය තුළ, පහසුම ක්රමය වන්නේ සංඛ්යාංකය $5x$ කින් බෙදීම සහ වහාම $5x$ කින් ගුණ කිරීමයි. ඊට අමතරව, අපි හරය සමඟ සමාන මෙහෙයුමක් සිදු කරන්නෙමු, $\tg(8x)$ $8x$ න් ගුණ කිරීම සහ බෙදීම:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ කින් අඩු කිරීම සහ සීමාව ලකුණෙන් නියත $\frac(5)(8)$ ගැනීම, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා අවශ්‍යතා සම්පුර්ණයෙන්ම තෘප්තිමත් කරන බව සලකන්න. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ සොයා ගැනීමට පහත සූත්‍රය අදාළ වේ:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

උදාහරණ #5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ සොයන්න.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) සහ $\ සිට lim_(x\to(0))x^2=0$, එවිට අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. කෙසේ වෙතත්, පළමු අපූරු සීමාව යෙදීම සඳහා, ඔබ සයිනස් (ඉන්පසු සූත්‍රය යෙදීම සඳහා) හෝ ස්පර්ශක (ඉන්පසු සූත්‍රය යෙදීම සඳහා) වෙත ගොස් සංඛ්‍යාවේ ඇති කෝසයින් ඉවත් කළ යුතුය. පහත දැක්වෙන පරිවර්තනය සමඟ ඔබට මෙය කළ හැකිය:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\දකුණ)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

අපි නැවත සීමාවට යමු:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\දකුණ) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ කොටස දැනටමත් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා අවශ්‍ය පෝරමයට ආසන්නය. අපි $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ කොටස සමඟ ටිකක් වැඩ කරමු, එය පළමු අපූරු සීමාවට සකසන්න (සංඛ්‍යාංකයේ සහ සයින් යටතේ ඇති ප්‍රකාශන ගැළපිය යුතු බව සලකන්න):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2$$

සලකා බැලූ සීමාව වෙත ආපසු යමු:

$$ \lim_(x\to(0))\වම(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\දකුණ) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\දකුණ)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

උදාහරණ #6

සීමාව සොයන්න $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ සහ $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ සිට, පසුව අපි $\frac(0)(0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාවේ ආධාරයෙන් එය විවෘත කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි කොසයින සිට සයින් වෙත යමු. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ සිට, එවිට:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

සයින් සඳහා ලබා දී ඇති සීමාව පසුකරමින්, අපට ඇත්තේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\\ frac(\sin(3x))(3x)\දකුණ)^2\cdot(9x^2))(\වම(\frac(\sin(x))(x)\දකුණ)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\දකුණ)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

උදාහරණ #7

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x))(x^2)$ ලබා දී ඇති $\alpha\neq\ බීටා සීමාව ගණනය කරන්න $.

සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් කලින් ලබා දී ඇත, නමුත් මෙහිදී අපි සරලව සලකන්නේ නැවතත් $\frac(0)(0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති බවයි. අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමින් කෝසයිනවල සිට සයින් වෙත යමු

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\දකුණ)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\දකුණ))(x)\දකුණ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\වම(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\දකුණ)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\දකුණ))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ඇල්ෆා^2)(2)$.

උදාහරණ #8

සීමාව සොයන්න $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) සහ $\ නිසා lim_(x\to(0))x^3=0$, එවිට අපි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් සමඟ කටයුතු කරමු. අපි එය මෙසේ කඩා දමමු.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\දකුණ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\දකුණ))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\දකුණ)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

උදාහරණ #9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ සීමාව සොයන්න.

$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ සහ $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, එවිට $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. එහි ප්‍රසාරණයට යාමට පෙර, නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන ආකාරයට විචල්‍යය වෙනස් කිරීම පහසු වේ (සූත්‍රවල $\alpha \ to 0$ විචල්‍යය බව සලකන්න). පහසුම ක්‍රමය නම් $t=x-3$ යන විචල්‍යය හඳුන්වා දීමයි. කෙසේ වෙතත්, වැඩිදුර පරිවර්තනවල පහසුව සඳහා (මෙම ප්‍රතිලාභය පහත විසඳුමේ දී දැකිය හැක), පහත ආදේශනය කිරීම වටී: $t=\frac(x-3)(2)$. ආදේශන දෙකම අදාළ වන බව සලකන්න මෙම නඩුව, දෙවන ආදේශනය ඔබට භාග සමඟ අඩුවෙන් වැඩ කිරීමට ඉඩ සලසයි. $x\to(3)$ සිට, පසුව $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\වම|\frac (0)(0)\දකුණ| =\වම|\ආරම්භය(පෙළගැසී)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(පෙළගැසී)\දකුණ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

උදාහරණ #10

සීමාව සොයන්න $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^ 2)$.

නැවතත් අපි $\frac(0)(0)$ හි අවිනිශ්චිතතාවය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. එහි ප්‍රසාරණයට යාමට පෙර, නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන ආකාරයට විචල්‍ය වෙනසක් සිදු කිරීම පහසු වේ (සූත්‍රවල විචල්‍යය $\alpha\to(0)$ බව සලකන්න). පහසුම ක්‍රමය නම් $t=\frac(\pi)(2)-x$ යන විචල්‍යය හඳුන්වා දීමයි. $x\to\frac(\pi)(2)$ සිට, පසුව $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2) =\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\වම|\ආරම්භය(පෙළගැසී)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(පෙළගැසී)\දකුණ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\වම(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\දකුණ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\දකුණ)^2) =\frac(1)(2)$.

උදාහරණ #11

සීමාවන් සොයන්න $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි පළමු පුදුම සීමාව භාවිතා කිරීමට අවශ්ය නැත. කරුණාකර සටහන් කරන්න: පළමු සහ දෙවන සීමාවන් දෙකෙහිම ඇත්තේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සහ සංඛ්‍යා පමණි. බොහෝ විට, මේ ආකාරයේ උදාහරණ වලදී, සීමාව ලකුණ යටතේ පිහිටා ඇති ප්රකාශනය සරල කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවේ දී, සඳහන් කළ සරල කිරීම සහ සමහර සාධක අඩු කිරීමෙන් පසුව, අවිනිශ්චිතතාවය අතුරුදහන් වේ. මම මෙම උදාහරණය ලබා දුන්නේ එක් අරමුණක් ඇතිව පමණි: සීමාව ලකුණ යටතේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත තිබීමෙන් පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීම අවශ්‍යයෙන්ම අදහස් නොවන බව පෙන්වීමට.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) සහ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ බව මතක තබා ගන්න), එවිට අපට අවිනිශ්චිතතාවයෙන් යුතුව කටයුතු කරයි $\frac(0)(0)$ ආකෘතියෙන්. කෙසේ වෙතත්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ අප පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කළ යුතු බව නොවේ. අවිනිශ්චිතභාවය හෙළි කිරීමට, $\cos^2x=1-\sin^2x$: බව සැලකිල්ලට ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ.

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\වම|\frac(0)(0)\දකුණ| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

ඩෙමිඩොවිච්ගේ විසඳුම් පොතේ (අංක 475) සමාන විසඳුමක් තිබේ. දෙවන සීමාව සඳහා, මෙම කොටසෙහි පෙර උදාහරණවල මෙන්, අපට $\frac(0)(0)$ ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත. එය පැන නගින්නේ ඇයි? එය පැන නගින්නේ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ සහ $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ නිසාය. අපි මෙම අගයන් භාවිතා කරන්නේ numerator සහ denominator වල ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමටයි. අපගේ ක්‍රියාවන්හි අරමුණ: නිෂ්පාදනයක් ලෙස ඉලක්කම් සහ හරයෙහි එකතුව ලියන්න. මාර්ගය වන විට, නව විචල්‍යය ශුන්‍යයට නැඹුරු වන පරිදි සමාන ආකෘතියක් තුළ විචල්‍යයක් වෙනස් කිරීම බොහෝ විට පහසු වේ (උදාහරණයක් ලෙස, මෙම පිටුවේ අංක 9 හෝ අංක 10 බලන්න). කෙසේ වෙතත්, තුළ මෙම උදාහරණයඅවශ්‍ය නම් $t=x-\frac(2\pi)(3)$ යන විචල්‍යය වෙනස් කිරීම ක්‍රියාත්මක කිරීමට පහසු වුවද, විචල්‍යය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමේ තේරුමක් නැත.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\වම(\cos(x)+\frac(1)(2)\දකුණ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\දකුණ))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\වම( -\frac(1)(2)\දකුණ)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපට පළමු අපූරු සීමාව යෙදීමට සිදු නොවීය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අවශ්ය නම් මෙය සිදු කළ හැකිය (පහත සටහන බලන්න), නමුත් එය අවශ්ය නොවේ.

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරන විසඳුම කුමක්ද? පෙන්වන්න / සඟවන්න

පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\දකුණ))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ දකුණ)(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\දකුණ) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)\cdot\left(-\frac(1)(2)\දකුණ)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

පිළිතුර: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

මෙම ලිපිය: "දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව" විශේෂයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් තුළ හෙළිදරව් කිරීම සඳහා කැප කර ඇත:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ සහ $ ^\infty $.

එසේම, එවැනි අවිනිශ්චිතතාවයන් ඝාතීය-බල ශ්‍රිතයේ ලඝුගණකය භාවිතයෙන් හෙළිදරව් කළ හැකි නමුත් මෙය තවත් විසඳුම් ක්‍රමයක් වන අතර එය තවත් ලිපියකින් ආවරණය කෙරේ.

සූත්රය සහ ප්රතිවිපාක

සූත්රයදෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව පහත පරිදි ලියා ඇත: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( කොහෙද ) e \ආසන්න වශයෙන් 2.718 $ $

අනුගමනය කරන සූත්‍රයෙන් ප්රතිවිපාක, සීමාවන් සහිත උදාහරණ විසඳීම සඳහා ඉතා පහසු වේ: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( කොහෙද ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව සෑම විටම ඝාතීය-බල ශ්‍රිතයකට යෙදිය නොහැකි නමුත් පදනම එකමුතු වීමට නැඹුරු වන අවස්ථාවන්හිදී පමණක් බව සඳහන් කළ යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, මුලින්ම මනසෙහි පදනමේ සීමාව ගණනය කරන්න, පසුව නිගමන උකහා ගන්න. මේ සියල්ල උදාහරණ විසඳුම් තුළ සාකච්ඡා කරනු ඇත.

විසඳුම් උදාහරණ

සෘජු සූත්රය සහ එහි ප්රතිවිපාක භාවිතා කරන විසඳුම් පිළිබඳ උදාහරණ සලකා බලන්න. සූත්‍රය අවශ්‍ය නොවන අවස්ථා ද අපි විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. සූදානම් පිළිතුර පමණක් ලියා තැබීම ප්රමාණවත්ය.

උදාහරණ 1

සීමාව සොයන්න $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

විසඳුමක්

අනන්තය සීමාවට ආදේශ කිරීම සහ අවිනිශ්චිතභාවය දෙස බැලීම: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ පාදයේ සීමාව සොයන්න: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ අපට එකකට සමාන පදනමක් ලැබුණි, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට දැනටමත් දෙවන අපූරු සීමාව යෙදිය හැකි බවයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එකක් අඩු කර එකතු කිරීමෙන් ශ්‍රිතයේ පදනම සූත්‍රයට ගැලපේ: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ අපි දෙවන ප්රතිවිපාකය දෙස බලා පිළිතුර ලියන්නෙමු: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ ඔබට ඔබේ ගැටලුව විසඳා ගත නොහැකි නම්, එසේ නම් යවන්නඇය අපට. අපි ලබා දෙන්නෙමු සවිස්තරාත්මක විසඳුම. ගණනය කිරීමේ ප්‍රගතිය පිළිබඳව ඔබව හුරු කරවීමට සහ තොරතුරු රැස් කිරීමට ඔබට හැකි වනු ඇත. කාලෝචිත ආකාරයකින් ගුරුවරයාගෙන් ණයක් ලබා ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාරී වනු ඇත!

පිළිතුර

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

උදාහරණය 4

සීමාව විසඳන්න $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

විසඳුමක්

අපි පදනමේ සීමාව සොයාගෙන $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ බව දකිමු, එවිට අපට දෙවන අපූරු සීමාව යෙදිය හැක. සම්මතයක් ලෙස, සැලැස්මට අනුව, අපි උපාධියේ පදනමෙන් එකක් එකතු කර අඩු කරන්නෙමු: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ අපි 2 වන සටහනේ සූත්රය යටතේ කොටස සකස් කරමු. සීමාව: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ දැන් උපාධිය සකස් කරන්න. ඝාතකයේ $ \frac(3x^2-2)(6) $ යන පාදයේ හරයට සමාන භාගයක් අඩංගු විය යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, උපාධිය ගුණ කර බෙදන්න, සහ දිගටම විසඳන්න: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ හි බලයේ ඇති සීමාව වන්නේ: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. එබැවින්, විසඳුම දිගටම කරගෙන යාම අපට ඇත:

පිළිතුර

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

ගැටළුව දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවට සමාන වන නමුත් එය නොමැතිව විසඳන අවස්ථා අපි විශ්ලේෂණය කරමු.

ලිපියෙහි: "දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව: විසඳුම් සඳහා උදාහරණ", සූත්රය විශ්ලේෂණය කර, එහි ප්රතිවිපාක සහ මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ නිරන්තර ගැටළු ලබා දී ඇත.