Розрахунок коефіцієнта рангової кореляції спірмена приклад. Коефіцієнт рангової кореляції спірмена
За наявності двох рядів значень, що піддаються ранжируванню, раціонально розраховувати рангову кореляцію Спірмена.
Такі ряди можуть бути:
- парою ознак, що визначаються в одній і тій же групі об'єктів, що досліджуються;
- парою індивідуальних супідрядних ознак, що визначаються у 2 досліджуваних об'єктів за однаковим набором ознак;
- парою групових підпорядкованих ознак;
- індивідуальною та груповою супідрядністю ознак.
Метод передбачає проведення ранжування показників окремо кожному за ознак.
Найменше значення має найменший ранг.
Цей метод відноситься до непараметричного статистичним методом, призначеному для встановлення існування зв'язку явищ, що вивчаються:
- визначення фактичного ступеня паралелізму між двома рядами кількісних даних;
- оцінка тісноти виявленого зв'язку, що виражається кількісно.
Кореляційний аналіз
Статистичний метод, призначений виявлення існування залежності між 2 і більше випадковими величинами(Змінними), а також її сили, отримав назву кореляційного аналізу.
Отримав назву від correlatio (лат.) – співвідношення.
За його використання можливі варіанти розвитку подій:
- наявність кореляції (позитивна чи негативна);
- відсутність кореляції (нульова).
У разі встановлення залежності між змінними йдеться про їхнє корелювання. Іншими словами, можна сказати, що при зміні значення Х обов'язково буде спостерігатися пропорційна зміна значення У.
Як інструменти використовуються різні заходи зв'язку (коефіцієнти).
На їх вибір впливає:
- спосіб виміру випадкових чисел;
- характер зв'язку між випадковими числами.
Існування кореляційного зв'язку може відображатися графічно (графіки) та за допомогою коефіцієнта (числове відображення).
Кореляційний зв'язок характеризується такими ознаками:
- сила зв'язку (при коефіцієнті кореляції від ±0,7 до ±1 – сильна; від ±0,3 до ±0,699 – середня; від 0 до ±0,299 – слабка);
- напрямок зв'язку (прямий або зворотний).
Цілі кореляційного аналізу
Кореляційний аналізне дозволяє встановити причинну залежність між досліджуваними змінними.
Він проводиться з метою:
- встановлення залежності між змінними;
- отримання певної інформації про змінну на основі іншої змінної;
- визначення тісноти (зв'язку) цієї залежності;
- визначення напряму встановленого зв'язку.
Методи кореляційного аналізу
Даний аналізможе виконуватися з використанням:
- методу квадратів чи Пірсона;
- рангового методу чи Спірмена.
Метод Пірсона застосовний для розрахунків вимагають точного визначеннясили, що існує між змінними. Досліджувані за його допомогою ознаки мають виражатися лише кількісно.
Для застосування методу Спірмена або рангової кореляціїнемає жорстких вимог у вираженні ознак – воно може бути як кількісним, так і атрибутивним. Завдяки цьому методу виходить інформація про точному встановленні сили зв'язку, а має орієнтовний характер.
У рядах змінних можуть бути відкриті варіанти. Наприклад, коли стаж роботи виражається такими значеннями як до 1 року, більше 5 років і т.д.
Коефіцієнт кореляції
Статистична величина, що характеризує характер зміни двох змінних, отримала назву коефіцієнта кореляції або парного коефіцієнтакореляції. У кількісному вираженні він коливається не більше від -1 до +1.
Найбільш поширені коефіцієнти:
- Пірсона– застосовний для змінних належать до інтервальної шкали;
- Спірмена- Для змінних порядкової шкали.
Обмеження використання коефіцієнта кореляції
Отримання недостовірних даних при розрахунку коефіцієнта кореляції можливе у випадках, коли:
- у розпорядженні є достатня кількість значень змінної (25-100 пар спостережень);
- між змінними, що вивчаються, встановлено, наприклад, квадратичне співвідношення, а не лінійне;
- у кожному випадку дані містять більше одного спостереження;
- наявність аномальних значень (викидів) змінних;
- досліджувані дані складаються з підгруп спостережень, що чітко виділяються;
- наявність кореляційного зв'язку не дозволяє встановити яка зі змінних може розглядатися як причина, а яка – як слідство.
Перевірка значущості кореляції
Для оцінки статистичних величин використовується поняття їх значущості або достовірності, що характеризує ймовірність випадкового виникнення величини або крайніх її значень.
Найбільш поширеним методом визначення значущості кореляції є визначення критерію Стьюдента.
Його значення порівнюється з табличним, кількість ступенів свободи приймається як 2. При отриманні розрахункового значення критерію більше табличного свідчить про значущість коефіцієнта кореляції.
Під час проведення економічних розрахунків достатнім вважається довірчий рівень 0,05 (95%) чи 0,01 (99%).
Ранги Спірмена
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена дозволяє статистично встановити зв'язок між явищами. Його розрахунок передбачає встановлення кожної ознаки порядкового номера – рангу. Ранг може бути зростаючим чи спадним.
Кількість ознак, що піддаються ранжируванню, може бути будь-якою. Це досить трудомісткий процес, який обмежує їх кількість. Труднощі починаються при досягненні 20 ознак.
Для розрахунку коефіцієнта Спірмена користуються формулою:
в якій:
n – відображає кількість ранжованих ознак;
d – не що інше як різницю між рангами по двох змінних;
а ∑(d2) – сума квадратів різниці рангів.
Застосування кореляційного аналізу у психології
Статистичне супроводження психологічних дослідженьдозволяє зробити їх більш об'єктивними та високо репрезентативними. Статистична обробка даних, отриманих у ході психологічних експериментівсприяє вилученню максимуму корисної інформації.
Найбільш широке застосуванняу обробці їх результатів отримав кореляційний аналіз.
Доречним є проведення кореляційного аналізу результатів, отриманих під час проведення досліджень:
- тривожності (за тестами R. Temml, M. Dorca, V. Amen);
- сімейних взаємин («Аналіз сімейних взаємин» (АСВ) опитувальник Е.Г. Ейдеміллера, В.В. Юстіцкіса);
- рівня інтернальності-екстернальності (опитувальник Е.Ф. Бажина, Є.А. Голинкіної та А.М. Еткінда);
- рівня емоційного вигоряння у педагогів (опитувальник В.В. Бойко);
- зв'язки елементів вербального інтелекту учнів при різному профільному навчанні (методика К.М. Гуревича та ін.);
- зв'язку рівня емпатії (методика В.В. Бойка) та задоволеністю шлюбом (опитувальник В.В. Століна, Т.Л. Романової, Г.П. Бутенко);
- зв'язки між соціометричним статусом підлітків (тест Jacob L. Moreno) та особливостями стилю сімейного виховання (опитувальник Е.Г. Ейдеміллера, В.В. Юстіцкіса);
- структури життєвих цілей підлітків, вихованих у повних та неповних сім'ях (опитувальник Edward L. Deci, Richard M. Ryan Ryan).
Коротка інструкція щодо проведення кореляційного аналізу за критерієм Спірмена
Проведення кореляційного аналізу з використанням методу Спірмена виконується за наступним алгоритмом:
- парні зіставні ознаки розташовуються в 2 ряди, один з яких позначається за допомогою Х, а інший;
- значення низки Х розташовуються у порядку зростання чи спадання;
- послідовність розташування значень ряду визначається їх відповідністю значень ряду Х;
- для кожного значення в ряді Х визначити ранг - присвоїти порядковий номервід мінімального значення до максимального;
- для кожного із значень у ряду У також визначити ранг (від мінімального до максимального);
- обчислити різницю (D) між рангами Х і У, вдавшись до формули D=Х-У;
- отримані значення різниці зводяться у квадрат;
- виконати підсумовування квадратів різниць рангів;
- виконати розрахунки за такою формулою:
Приклад кореляції Спірмена
Необхідно встановити наявність кореляційного зв'язку між робочим стажем та показником травматизму за наявності наступних даних:
Найбільш підходящим методом аналізу є ранговий метод, т.к. одна з ознак представлена у вигляді відкритих варіантів: робочий стаж до 1 року та робочий стаж 7 і більше років.
Рішення завдання починається з ранжирування даних, які зводяться до робочої таблиці і може бути виконані вручну, т.к. їх обсяг невеликий:
| Робочий стаж | Число травм | Порядкові номери | (Ранги) | Різниця рангів | Квадрат різниці рангів |
| d(х-у) | |||||
| до 1 року | 24 | 1 | 5 | -4 | 16 |
| 1-2 | 16 | 2 | 4 | -2 | 4 |
| 3-4 | 12 | 3 | 2,5 | +0,5 | 0,25 |
| 5-6 | 12 | 4 | 2,5 | +1,5 | 2,5 |
| 7 і більше | 6 | 5 | 1 | +4 | 16 |
| Σ d2 = 38,5 |
Поява дробових рангів у колонці пов'язана з тим, що у разі появи варіант однакових за величиною перебуває середня арифметичне значеннярангу. У даному прикладіпоказник травматизму 12 зустрічається двічі і йому присвоюються ранги 2 і 3, знаходимо середнє арифметичне цих рангів (2+3)/2= 2,5 і поміщаємо це значення робочу таблицю для 2 показників.
Виконавши підстановку отриманих значень робочу формулуі зробивши нескладні розрахунки отримуємо коефіцієнт Спірмена рівний -0,92
Негативне значення коефіцієнта свідчить про наявність зворотнього зв'язкуміж ознаками і дозволяє стверджувати, що невеликий стаж роботи супроводжується великою кількістю травм. Причому сила зв'язку цих показників досить велика.
Наступним етапом розрахунків є визначення достовірності отриманого коефіцієнта:
розраховується його помилка та критерій Стьюдента
Студента-психолога (соціолога, менеджера, управлінця та інших.) нерідко цікавить, як пов'язані між собою дві чи більше змінних у однієї чи кількох досліджуваних групах.
У математиці для опису зв'язків між змінними величинами використовують поняття функції F, яка ставить у відповідність кожному певному значенню незалежної змінної X певне значення залежної змінної Y. Отримана залежність позначається як Y=F(X).
При цьому види кореляційних зв'язків між виміряними ознаками можуть бути різні: так, кореляція буває лінійною та нелінійною, позитивною та негативною. Вона лінійна - якщо зі збільшенням або зменшенням однієї змінної X, друга змінна Y в середньому або також зростає, або зменшується. Вона нелінійна, якщо зі збільшенням однієї величини характер зміни другий не лінійний, а описується іншими законами.
Кореляція буде позитивною, якщо зі збільшенням змінної X змінна Y в середньому також збільшується, а якщо зі збільшенням X змінна Y має середньому тенденцію до зменшення, то говорять про наявність негативної кореляції. Можлива ситуація, коли між змінними неможливо встановити будь-яку залежність. І тут говорять про відсутність кореляційного зв'язку.
Завдання кореляційного аналізу зводиться до встановлення напряму (позитивне або негативне) і форми (лінійний, нелінійний) зв'язок між варіюючими ознаками, вимірювання її тісноти, і, нарешті, до перевірки рівня значущості отриманих коефіцієнтів кореляції.
Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральної сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин.
Ранговий коефіцієнт лінійної кореляціїСпірмена підраховується за такою формулою:
де n - кількість ранжованих ознак (показників, випробуваних);
D - різниця між рангами по двох змінних для кожного випробуваного;
D2 – сума квадратів різниць рангів.
Критичні значення коефіцієнта кореляції рангів Спірмена представлені нижче:
Розмір коефіцієнта лінійної кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 і -1. Коефіцієнт лінійної кореляції Спірмена може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними в ранговій шкалі.
Якщо коефіцієнт кореляції за модулем виявляється близьким до 1, це відповідає високого рівнязв'язки між змінними. Так, зокрема, при кореляції змінної величини із самою собою величина коефіцієнта кореляції дорівнюватиме +1. Такий зв'язок характеризує прямо пропорційну залежність. Якщо значення змінної X будуть розташовані в порядку зростання, а ті ж значення (позначені тепер вже як змінна Y) будуть розташовуватися в порядку спадання, то в цьому випадку кореляція між змінними Х і Y дорівнюватиме точно -1. Така величина коефіцієнта кореляції характеризує обернено пропорційну залежність.
Знак коефіцієнта кореляції дуже важливий для інтерпретації отриманого зв'язку. Якщо знак коефіцієнта лінійної кореляції - плюс, то зв'язок між корелюючими ознаками така, що більшій величині однієї ознаки (змінної) відповідає велика величина іншої ознаки (іншої змінної). Іншими словами, якщо один показник (змінна) збільшується, то відповідно збільшується й інший показник (змінна). Така залежність зветься прямо пропорційної залежності.
Якщо ж отримано знак мінус, більшій величині однієї ознаки відповідає менша величина іншого. Інакше висловлюючись, за наявності знака мінус, збільшення однієї змінної (ознака, значення) відповідає зменшення інший змінної. Така залежність носить назву обернено пропорційної залежності. У цьому вибір змінної, якій приписується характер (тенденція) зростання - довільний. Це може бути як змінна X, так і змінна Y. Однак якщо вважається, що збільшується змінна X, то змінна Y відповідно зменшуватиметься, і навпаки.
Розглянемо приклад кореляції Спірмена.
Психолог з'ясовує, як пов'язані між собою індивідуальні показники готовності до школи, отримані до початку навчання у школі у 11 першокласників та їхня середня успішність наприкінці навчального року.
Для вирішення цього завдання було проранжовано, по-перше, значення показників шкільної готовності, Отримані при вступі до школи, і, по-друге, підсумкові показники успішності наприкінці року у цих учнів у середньому. Результати подаємо у таблиці:
Підставляємо отримані дані у наведену вище формулу, і проводимо розрахунок. Отримуємо:
Для знаходження рівня значущості звертаємося до таблиці "Критичні значення коефіцієнта кореляції рангів Спірмена", в якій наведено критичні значення для коефіцієнтів рангової кореляції.
Будуємо відповідну «вісь значущості»:
Отриманий коефіцієнт кореляції збігся з критичним значенням рівня значимості в 1%. Отже, можна стверджувати, що показники шкільної готовності та підсумкові оцінки першокласників пов'язані позитивною кореляційною залежністю - інакше кажучи, чим вищий показник шкільної готовності, тим краще навчається першокласник. У термінах статистичних гіпотез психолог повинен відхилити нульову (Н0) гіпотезу про подібність і прийняти альтернативну (Н1) про наявність відмінностей, яка говорить про те, що зв'язок між показниками шкільної готовності та середньою успішністю відрізняється від нуля.
Кореляція спірмена. Кореляційний аналіз методом спірмена. Ранги спірмена. Коефіцієнт кореляції Спірмена. Рангова кореляція Спірмена
Призначення рангового коефіцієнта кореляції
Метод рангової кореляції Спірмена дозволяє визначити тісноту (силу) та напрямок кореляційного зв'язку між двома ознакамиабо двома профілями (ієрархіями)ознак.
Опис методу
Для підрахунку рангової кореляції необхідно розташовувати двома рядами значень, які можна проранжированы. Такими рядами значень можуть бути:
1) дві ознаки,виміряні в одній і тій же групі випробуваних;
2) дві індивідуальні ієрархії ознак,виявлені у двох піддослідних за одним і тим же набором ознак (наприклад, особистісні профілі за 16-факторним опитувальником Р. Б. Кеттелла, ієрархії цінностей за методикою Р. Рокіча, послідовності переваг у виборі з кількох альтернатив та ін.);
3) дві групові ієрархії ознак;
4) індивідуальна та груповаієрархії ознак.
Спочатку показники ранжуються окремо за кожною ознакою. Як правило, меншим значенням ознаки нараховується менший ранг.
Розглянемо випадок 1 (дві ознаки).Тут ранжуються індивідуальні значення за першою ознакою, отримані різними випробуваними, а потім індивідуальні значення за другою ознакою.
Якщо дві ознаки пов'язані позитивно, то випробувані, що мають низькі ранги по одному з них, матимуть низькі ранги та по іншому, а випробувані, що мають високі ранги за однією з ознак, матимуть за іншою ознакою також високі ранги. Для підрахунку r s необхідно визначити різниці (d) між рангами, отриманими даним випробуваним за обома ознаками. Потім ці показники d певним чином перетворюються і віднімаються з 1. Чим менше різниці між рангами, тим більше буде r s тим ближче він буде до +1.
Якщо кореляція відсутня, то всі ранги будуть перемішані і між ними не буде відповідності. Формула складена так, що в цьому випадку r s, Виявиться близьким до 0.
У разі негативної кореляції низьким рангам випробуваних за однією ознакою відповідатимуть високі ранги за іншою ознакою, і навпаки.
Чим більший розбіжність між рангами випробуваних за двома змінними, тим ближче r s до -1.
Розглянемо випадок 2 (два індивідуальні профілі).Тут ранжуються індивідуальні значення, отримані кожним із 2-х випробуваним за певним (однаковим їм обох) набору ознак. Перший ранг отримає ознаку з найнижчим значенням; другий ранг - ознака з вищим значенням тощо. Очевидно, що всі ознаки повинні бути виміряні в тих самих одиницях, інакше ранжування неможливо. Наприклад, неможливо проранжувати показники по опитувальнику Кеттелла (16) PF), якщо вони виражені в "сирих" балах, оскільки за різними факторами діапазони значень різні: від 0 до 13, від 0 до 20 і від 0 до 26. Ми не можемо сказати, який з факторів займатиме перше місце за виразністю, поки не наведемо всі значення до єдиної шкали (найчастіше це шкала стін).
Якщо індивідуальні ієрархії двох піддослідних пов'язані позитивно, то ознаки, що мають низькі ранги в одного з них, матимуть низькі ранги і в іншого, і навпаки. Наприклад, якщо в одного випробуваного фактор Е (домінантність) має найнижчий ранг, то в іншого випробуваного він повинен мати низький ранг, якщо в одного випробуваного фактор С (емоційна стійкість) має вищий ранг, то й інший випробуваний повинен мати за цим фактором високий ранг і т.д.
Розглянемо випадок 3 (два групові профілі).Тут ранжуються середньогрупові значення, отримані в 2-х групах випробуваних за певним, однаковим для двох груп, набором ознак. Надалі лінія міркувань така сама, як і в попередніх двох випадках.
Розглянемо випадок 4 (індивідуальний та груповий профілі).Тут ранжуються окремо індивідуальні значення випробуваного і среднегрупповые значення з тієї ж набору ознак, які отримані, зазвичай, крім цього окремого випробуваного - він бере участь у среднегрупповом профілі, з яким зіставлятиметься його індивідуальний профіль. Рангова кореляція дозволить перевірити, наскільки узгоджено індивідуальний та груповий профілі.
У всіх чотирьох випадках значимість отриманого коефіцієнта кореляції визначається за кількістю ранжованих значень N.У першому випадку ця кількість співпадатиме з обсягом вибірки п. У другому випадку кількістю спостережень буде кількість ознак, що становлять ієрархію. У третьому та четвертому випадку N -це також кількість зіставних ознак, а не кількість випробуваних у групах. Детальні пояснення наведено в прикладах.
Якщо абсолютна величина r s досягає критичного значення або перевищує його, кореляція є достовірною.
Гіпотези
Можливі два варіанти гіпотез. Перший відноситься до випадку 1, другий - до трьох інших випадків.
Перший варіант гіпотез
H 0: Кореляція між змінними А та Б не відрізняється від нуля.
H 1: Кореляція між змінними А та Б достовірно відрізняється від нуля.
Другий варіант гіпотез
H 0: Кореляція між ієрархіями А та Б не відрізняється від нуля.
H 1: Кореляція між ієрархіями А та Б достовірно відрізняється від нуля.
Графічне подання методу рангової кореляції
Найчастіше кореляційну зв'язок представляють графічно як хмари точок чи вигляді ліній, що відбивають загальну тенденцію розміщення точок у просторі двох осей: осі ознаки і ознаки Б (див. рис. 6.2).
Спробуємо зобразити рангову кореляцію як двох рядів ранжованих значень, які попарно з'єднані лініями (Рис. 6.3). Якщо ранги за ознакою А і за ознакою Б збігаються, між ними виявляється горизонтальна лінія, якщо ранги не збігаються, то лінія стає похилою. Чим більше розбіжність рангів, тим похилішою стає лінія. Ліворуч на Мал. 6.3 відображена максимально висока позитивна кореляція (r = +1,0) - практично це "сходи". У центрі відображено нульову кореляцію - плетінку з неправильними переплетеннями. Усі ранги тут переплутані. Праворуч відображено максимально високу негативну кореляцію (r s =-1,0) - павутина з правильним переплетенням ліній.
Мал. 6.3. Графічне подання рангової кореляції:
а) висока позитивна кореляція;
б) нульова кореляція;
в) висока негативна кореляція
Обмеженнякоефіцієнта ранговоїкореляції
1. По кожній змінній має бути представлено не менше 5 спостережень. Верхня межа вибірки визначається наявними таблицями критичних значень (табл. XVI додатка 1), а саме N≤40.
2. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена r s при великій кількості однакових рангів по одній або обох змінних, що зіставляються, дає огрублені значення. В ідеалі обидва корелювані ряди повинні являти собою дві послідовності значень, що не збігаються. У разі, якщо цієї умови не дотримується, необхідно вносити поправку на однакові ранги. Відповідна формула наведена в прикладі 4.
Приклад 1 – кореляціяміж двомаознаками
У дослідженні, що моделює діяльність авіадиспетчера (Одеришев Б.С., Шамова Є.П., Сидоренко Є.В., Ларченко Н.М., 1978), група піддослідних, студентів фізичного факультету ЛДУ проходила підготовку перед початком роботи на тренажері. Випробувані повинні були вирішувати завдання щодо вибору оптимального типу злітно-посадкової смуги для заданого типу літака. Чи пов'язана кількість помилок, допущених випробуваними у тренувальній сесії, з показниками вербального та невербального інтелекту, виміряними за методикою Д. Векслера?
Таблиця 6.1
Показники кількості помилок у тренувальній сесії та показники рівня вербального та невербального інтелекту у студентів-фізиків (N=10)
|
Випробуваний |
Кількість помилок |
Показник вербального інтелекту |
Показник невербального інтелекту |
|
Спочатку спробуємо відповісти на питання, чи пов'язані між собою показники кількості помилок та вербального інтелекту.
Сформулюємо гіпотези.
H 0: Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем вербального інтелекту не відрізняється від нуля.
H 1 : Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем вербального інтелекту статистично значуще відрізняється від нуля.
Далі нам необхідно проранжувати обидва показники, приписуючи меншому значенню менший ранг, потім підрахувати різниці між рангами, які отримав кожен випробуваний за двома змінними (ознаками), і звести ці різниці у квадрат. Зробимо всі необхідні розрахунки у таблиці.
У Табл. 6.2 у першій колонці зліва представлені значення за показником кількості помилок; у наступній колонці – їх ранги. У третій колонці зліва представлені значення за показником вербального інтелекту; у наступному стовпці – їх ранги. У п'ятому зліва представлені різниці d між рангом за змінною А (кількість помилок) та змінною Б (вербальний інтелект). В останньому стовпці представлені квадрати різниць d 2 .
Таблиця 6.2
Розрахунок d 2 для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена r s при зіставленні показників кількості помилок та вербального інтелекту у студентів-фізиків (N=10)
|
Випробуваний |
Змінна А кількість помилок |
Змінна Б вербальний інтелект. |
d (ранг А - |
J 2 |
|||||||
|
Індивідуальні значення |
Індивідуальні значення | ||||||||||
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:
де d - різницю між рангами за двома змінними для кожного випробуваного;
N -кількість ранжованих значень, ст. даному випадку кількість випробуваних.
Розрахуємо емпіричне значення r s:
Отримане емпіричне значення г s близько до 0. І все ж визначимо критичні значення r s при N = 10 Табл. XVI Додатки 1:
Відповідь: H0 приймається. Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем вербального інтелекту не відрізняється від нуля.
Тепер спробуємо відповісти на питання, чи пов'язані між собою показники кількості помилок та невербального інтелекту.
Сформулюємо гіпотези.
H 0: Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем невербального інтелекту не відрізняється від 0.
H 1: Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем невербального інтелекту статистично значуще відрізняється від 0.
Результати ранжування та зіставлення рангів представлені в Табл. 6.3.
Таблиця 6.3
Розрахунок d 2 для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена r s при зіставленні показників кількості помилок та невербального інтелекту у студентів-фізиків (N=10)
|
Випробуваний |
Змінна А кількість помилок |
Змінна Е невербальний інтелект |
d (ранг А - |
d 2 |
|||
|
Індивідуальні |
Індивідуальні | ||||||
|
значення |
значення | ||||||
Ми пам'ятаємо, що для визначення значущості r s не має значення, чи є він позитивним чи негативним, важлива лише його абсолютна величина. В даному випадку:
r s емп Відповідь: H0 приймається. Кореляція між показником кількості помилок у тренувальній сесії та рівнем невербального інтелекту випадкова, r s не відрізняється від 0. Водночас ми можемо звернути увагу на певну тенденцію негативноюзв'язки між цими двома змінними. Можливо, ми змогли б підтвердити її на статистично значущому рівні, якби збільшили обсяг вибірки. Приклад 2 – кореляція між індивідуальними профілями У дослідженні, присвяченому проблемам ціннісної реорієнтації, виявлялися ієрархії термінальних цінностей за методикою М. Рокіча у батьків та їх дорослих дітей (Сидоренко Є.В., 1996). Ранги термінальних цінностей, отримані під час обстеження пари мати-дочка (матері – 66 років, дочки – 42 роки) представлені в Табл. 6.4. Спробуємо визначити, як ці ціннісні ієрархії корелюють одна з одною. Таблиця 6.4 Ранги термінальних цінностей за списком М.Рокича в індивідуальних ієрархіях матері та дочки Термінальні цінності Ранг цінностей у Ранг цінностей у d 2
ієрархії матері ієрархії дочки 1 Активне діяльне життя 2 Життєва мудрість 3 Здоров'я 4 Цікава робота 5 Краса природи та мистецтво 7 Матеріально забезпечене життя 8 Наявність добрих і вірних друзів 9 Суспільне визнання 10 Пізнання 11 Продуктивна життя 12 Розвиток 13 Розваги 14 Свобода 15 Щасливе сімейне життя 16 Щастя інших 17 Творчість 18 Впевненість у собі Сформулюємо гіпотези. H 0: Кореляція між ієрархіями термінальних цінностей матері та дочки не відрізняється від нуля. H 1: Кореляція між ієрархіями термінальних цінностей матері та дочки статистично значно відрізняється від нуля. Оскільки ранжування цінностей передбачається процедурою дослідження, нам залишається лише підрахувати різниці між рангами 18 цінностей у двох ієрархіях. У 3-му та 4-му стовпцях Табл. 6.4 представлені різниці d
і квадрати цих різниць d 2
.
Визначаємо емпіричне значення r s за такою формулою: де d
- різниці між рангами по кожній із змінних, у даному випадку щодо кожної з термінальних цінностей; N- кількість змінних, які утворюють ієрархію, у разі кількість цінностей. Для цього прикладу: По Табл. XVI Додатки 1 визначаємо критичні значення: Відповідь: H0 відкидається. Приймається H1. Кореляція між ієрархіями термінальних цінностей матері та дочки статистично значуща (р<0,01) и является положительной. За даними Табл. 6.4 ми можемо визначити, що основні розбіжності припадають на цінності "Щасливе сімейне життя", "Громадське визнання" та "Здоров'я", ранги інших цінностей досить близькі. Приклад 3 – кореляція між двома груповими ієрархіями Джозеф Вольпе в книзі, написаній спільно з сином (Wolpe J., Wolpe D., 1981) наводить впорядкований перелік з найбільш часто зустрічаються у сучасної людини "некорисних", за його позначенням, страхів, які не несуть сигнального значення і лише заважають повноцінно жити та діяти. У вітчизняному дослідженні, проведеному М.Е. Раховий (1994) 32 піддослідних мали за 10-бальною шкалою оцінити, наскільки актуальним їм є той чи інший вид страху з переліку Вольпе 3 . Обстежена вибірка складалася зі студентів Гідрометеорологічного та Педагогічного інститутів Санкт-Петербурга: 15 юнаків та 17 дівчат віком від 17 до 28 років, середній вік 23 роки. Дані, отримані за 10-бальною шкалою, були усереднені за 32 випробуваними, і середні проранжовані. У Табл. 6.5 представлені рангові показники, отримані Дж. Вольпе та М. Е. Рахової. Чи збігаються рангові послідовності 20 видів страху? Сформулюємо гіпотези. H 0: Кореляція між упорядкованими переліками видів страху в американській та вітчизняних вибірках не відрізняється від нуля. H 1: Кореляція між упорядкованими переліками видів страху в американській та вітчизняній вибірках статистично значно відрізняється від нуля. Всі розрахунки, пов'язані з обчисленням та зведенням у квадрат різниць між рангами різних видів страху у двох вибірках, представлені в Табл. 6.5. Таблиця 6.5 Розрахунок d
для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена при зіставленні впорядкованих переліків видів страху в американській та вітчизняній вибірках Види страху Ранг в американській вибірці Ранг у російській Страх публічного виступу Страх польоту Страх зробити помилку Страх невдачі Страх несхвалення Страх відкидання Страх злих людей Страх самотності Страх крові Страх відкритих ран Страх дантиста Страх уколів Страх проходження тестів Страх поліції міліції) Страх висоти Страх собак Страх павуків Страх скалічених людей Страх лікарень Страх темряви Визначаємо емпіричне значення r s: По Табл. XVI Додатка 1 визначаємо критичні значення г s при N=20: Відповідь: H0 приймається. Кореляція між упорядкованими переліками видів страху в американській та вітчизняній вибірках не досягає рівня статистичної значущості, тобто значуще не відрізняється від нуля. Приклад 4 - кореляція між індивідуальним та середньогруповим профілями Вибірці петербуржців віком від 20 до 78 років (31 чоловік, 46 жінок), врівноваженою за віком таким чином, що особи віком від 55 років становили в ній 50% 4 , пропонувалося відповісти на запитання: "Який рівень розвитку кожного з наведених нижче якостей необхідний для депутата Міських зборів Санкт-Петербурга? (Сидоренко Є.В., Дерманова І.Б., Анісімова О.М., Вітенберг Є.В., Шульга А.П., 1994). Оцінка проводилася за 10-бальною шкалою. Паралельно з цим обстежувалася вибірка з депутатів та кандидатів у депутати до Міських зборів Санкт-Петербурга (n=14). Індивідуальна діагностика політичних діячів і претендентів проводилася за допомогою Оксфордської системи експрес-відеодіагностики за тим же набором особистісних якостей, які вибирали виборці. У Табл. 6.6 представлені середні значення, отримані для кожного з якостей ввибірці виборців ("еталонний ряд") та індивідуальні значення одного з депутатів Міських зборів. Спробуємо визначити, наскільки індивідуальний профіль депутата К-ва корелює з еталонним профілем. Таблиця 6.6 Усереднені еталонні оцінки виборців (п=77) та індивідуальні показники депутата К-ва за 18 особистісними якостями експрес-відеодіагностики Найменування якості Усереднені еталонні оцінки виборців Індивідуальні показники депутата К-ва 1. Загальний рівень культури 2. Навчання 4. Здатність до творчості нового 5.. Самокритичність 6. Відповідальність 7. Самостійність 8. Енергія, активність 9. Цілеспрямованість 10. Витримка, самовладання І. Стійкість 12. Особистісна зрілість 13. Порядність 14. Гуманізм 15. Вміння спілкуватися з людьми 16. Терпимість до чужої думки 17. Гнучкість поведінки 18. Здатність справляти сприятливе враження Таблиця 6.7 Розрахунок d 2
для рангового коефіцієнта кореляції Спірмена між еталонним та індивідуальним профілями особистісних якостей депутата Найменування якості ранг якості в еталонному профілі Ряд 2: ранг якості в індивідуальному профілі d 2
1 Відповідальність 2 Порядність 3 Вміння спілкуватися з людьми 4 Витримка, самовладання 5 Загальний рівень культури 6 Енергія, активність 8 Самокритичність 9 Самостійність 10 Особистісна зрілість І цілеспрямованість 12 Навчання 13 Гуманізм 14 Терпимість до чужої думки 15 Стійкість 16 Гнучкість поведінки 17 Здатність справляти сприятливе враження 18 Здатність до творчості нового Як видно з табл. 6.6, оцінки виборців та індивідуальні показники депутата варіюють у різних діапазонах. Дійсно оцінки виборців були отримані за 10-бальною шкалою, а індивідуальні показники з експрес-відеодіагностики вимірюються за 20-бальною шкалою. Ранжування дозволяє нам перевести обидві шкали виміру в єдину шкалу, де одиницею виміру буде 1 ранг, а максимальне значення становитиме 18 рангів. Ранжування, як ми пам'ятаємо, необхідно зробити окремо по кожному ряду значень. В даному випадку доцільно нараховувати більшому значенню менший ранг, щоб одразу можна було побачити, на якому місці за значимістю (для виборців) або за виразністю (у депутата) є та чи інша якість. Результати ранжирування представлені в Табл. 6.7. Якості перераховані у послідовності, що відображає еталонний профіль. Сформулюємо гіпотези. H 0: Кореляція між індивідуальним профілем депутата К-ва та еталонним профілем, побудованим за оцінками виборців, не відрізняється від нуля. H 1: Кореляція між індивідуальним профілем депутата К-ва та еталонним профілем, побудованим за оцінками виборців, статистично значно відрізняється від нуля. Оскільки в обох порівнюваних рангових рядах присутні групи однакових рангів, перед підрахунком коефіцієнта рангової кореляції необхідно внести поправки на однакові ранги Та і Т b : де а -обсяг кожної групи однакових рангів у ранговому ряду А,
b
-
обсяг кожної групи однакових рангів у ранговому ряду Ст. В даному випадку, в ряду А (еталонний профіль) присутня одна група однакових рангів - якості "навчування" і "гуманізм" мають один і той же ранг 12,5; отже, а=2. T а = (23-2) / 12 = 0,50. У ряду В (індивідуальний профіль) є дві групи однакових рангів, при цьому b 1
=2
і b 2
=2.
Ta =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1,00 Для підрахунку емпіричного значення rs використовуємо формулу В даному випадку: Зауважимо, що якби поправка на однакові ранги нами не вносилася, то величина r s була б лише (на 0,0002) вище: При великих кількостях однакових рангів зміни г 5 можуть виявитися значно суттєвішими. Наявність однакових рангів означає менший ступінь диференційованого упорядкованих змінних і, отже, меншу можливість оцінити ступінь зв'язку між ними (Суходольський Г.В., 1972, с.76). По Табл. XVI Додатки 1 визначаємо критичні значення г, при N=18: Відповідь: Hq відкидається. Кореляція між індивідуальним профілем депутата К-ва та еталонним профілем, що відповідає вимогам виборців, статистично значуща (р<0,05) и является
положительной. З Табл. 6.7 видно, що депутат К-в має нижчий ранг за шкалами Вміння спілкуватися з людьми і більш високі ранги за шкалами Цілеспрямованості та Стійкості, ніж це передбачається виборним зразком. Цими розбіжностями, головним чином, пояснюється деяке зниження отриманого r s . Сформулюємо загальний алгоритм підрахунку rs. У випадках, якщо вимірювання досліджуваних ознак проводяться в шкалі порядку, або форма взаємозв'язку відрізняється від лінійної, дослідження взаємозв'язку між двома випадковими величинами здійснюється за допомогою рангових коефіцієнтів кореляції. Розглянемо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена. За його обчисленні необхідно ранжувати (упорядкувати) варіанти вибірки. Ранжуванням називається угруповання експериментальних даних у певному порядку, або за зростанням, або за зменшенням. Проведення операції ранжирування здійснюється за таким алгоритмом: 1. Найменшому значенню нараховується менший ранг. Найбільшому значенню нараховується ранг, відповідний кількості значень, що ранжуються. Найменшому значенню нараховується ранг рівний 1. Наприклад, якщо n=7, найбільше значення отримає ранг під номером 7, крім випадків, передбачених другим правилом. 2. Якщо кілька значень рівні, то їм нараховується ранг, що є середнім значенням з тих рангів, які вони отримали б, якби не були рівні. Як приклад розглянемо впорядковану за зростанням вибірку, що складається з 7 елементів: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Значення 22 і 23 зустрічаються по одному разу, тому їх ранги відповідно дорівнюють R22=1, а R23=2 . Значення 25 трапляється 3 рази. Якби ці значення не повторювалися, їх ранги були б рівними 3, 4, 5. Тому їх ранг R25 дорівнює середньому арифметичному 3, 4 і 5: . Значення 28 та 30 не повторюються, тому їх ранги відповідно дорівнюють R28=6, а R30=7. Остаточно маємо таку відповідність: 3. Загальна сума рангів повинна співпадати з розрахунковою, яка визначається за такою формулою: де n - загальна кількість значень, що ранжуються. Розбіжність реальної та розрахункової сум рангів свідчить про помилку, допущену при нарахуванні рангів або їх підсумовування. У цьому випадку необхідно знайти та виправити помилку. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена є методом, що дозволяє визначити силу та спрямованість взаємозв'язку між двома ознаками або двома ієрархіями ознак. Застосування коефіцієнта рангової кореляції має низку обмежень: Для проведення кореляційного аналізу дослідник повинен мати дві вибірки, які можуть бути ранжовані, наприклад: Розрахунок починаємо з ранжування показників, що вивчаються окремо за кожною з ознак. Проведемо аналіз випадку з двома ознаками, виміряними в одній і тій же групі випробуваних. Спочатку ранжують індивідуальні значення за першою ознакою, отримані різними випробуваними, а потім індивідуальні значення за другою ознакою. Якщо меншим рангам одного показника відповідають менші ранги іншого показника, а більшим рангам одного показника відповідають більші ранги іншого показника, дві ознаки пов'язані позитивно. Якщо ж більшим рангам одного показника відповідають менші ранги іншого показника, дві ознаки пов'язані негативно. Для знаходження rs визначаємо різниці між рангами (d) по кожному випробуваному. Що менше різниці між рангами, то ближче коефіцієнт рангової кореляції rs буде до «+1». Якщо взаємозв'язок відсутня, то між ними не буде жодної відповідності, отже, rs виявиться близьким до нуля. Чим більше різниці між рангами випробуваних за двома змінними, тим ближче до «-1» буде значення коефіцієнта rs. Таким чином, коефіцієнт рангової кореляції Спірмена є мірою будь-якої монотонної залежності між двома ознаками, що досліджуються. Розглянемо випадок з двома індивідуальними ієрархіями ознак, виявленими у двох піддослідних по одному й тому набору ознак. У цій ситуації ранжують індивідуальні значення, отримані кожним із двох випробуваних за певною сукупністю ознак. Ознаку з найнижчим значенням необхідно надати перший ранг; ознакою з вищим значенням - другий ранг тощо. Слід звернути особливу увагу на те, щоб усі ознаки були виміряні в тих самих одиницях. Наприклад, неможливо ранжувати показники, якщо вони виражені в різних за «ціною» балах, оскільки неможливо визначити, який із факторів займатиме перше місце за виразністю, доки всі значення не будуть приведені до єдиної шкали. Якщо ознаки, мають низькі ранги в однієї з піддослідних як і мають низькі ранги в іншого, і навпаки, то індивідуальні ієрархії пов'язані позитивно. У випадку з двома груповими ієрархіями ознак ранжують середньо-групові значення, отримані в двох групах випробуваних за однаковим для досліджуваних груп, набору ознак. Далі слід дотримуватись алгоритму, наведеного у попередніх випадках. Проведемо аналіз випадку з індивідуальною та груповою ієрархією ознак. Починають з того, що ранжують окремо індивідуальні значення випробуваного та середньо-групові значення за тим же набором ознак, які отримані, за винятком того випробуваного, який не бере участі в середньо-груповій ієрархії, оскільки з нею буде зіставлятися його індивідуальна ієрархія. Рангова кореляція дозволяє оцінити ступінь узгодженості індивідуальної та групової ієрархії ознак. Розглянемо, як визначається значимість коефіцієнта кореляції у випадках. У разі двох ознак вона визначатиметься обсягом вибірки. Що стосується двома індивідуальними ієрархіями ознак значимість залежить кількості ознак, які входять у ієрархію. У двох останніх випадках значимість обумовлюється числом ознак, що вивчаються, а не чисельністю груп. Таким чином, значимість rs у всіх випадках визначається числом ранжованих значень n. При перевірці статистичної значущості rs користуються таблицями критичних значень коефіцієнта рангової кореляції, складених різних кількостей ранжируемых значень і різних рівнів значимості. Якщо абсолютна величина rs досягає критичного значення або перевищує його, то кореляція достовірна. При розгляді першого варіанта (випадок із двома ознаками, виміряними в одній і тій же групі піддослідних) можливі наступні гіпотези. Н0: Кореляція між змінними x та y не відрізняється від нуля. Н1: Кореляція між змінними x та y достовірно відрізняється від нуля. Якщо ми працюємо з будь-яким із трьох випадків, то необхідно висунути іншу пару гіпотез: Н0: Кореляція між ієрархіями x та y не відрізняється від нуля. Н1: Кореляція між ієрархіями x та y достовірно відрізняється від нуля. Послідовність дій під час обчислення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена rs така. де tx – обсяг кожної групи однакових рангів у вибірці x; ty - обсяг кожної групи однакових рангів у вибірці y. Обчислити коефіцієнт рангової кореляції залежно від наявності чи відсутності однакових рангів. За відсутності однакових рангів коефіцієнт рангової кореляції rs розрахувати за такою формулою: За наявності однакових рангів коефіцієнт рангової кореляції rs розрахувати за такою формулою: де? d2 – сума квадратів різниць між рангами; Tx і Ty – поправки на однакові ранги; n - кількість випробуваних чи ознак, що брали участь у ранжируванні. Визначити за таблицею 3 Додатки критичні значення rs для даної кількості піддослідних n. Достовірна відмінність від нуля коефіцієнта кореляції спостерігатиметься за умови, якщо rs не менше критичного значення. Коротка теорія Рангова кореляція – це метод кореляційного аналізу, що відбиває відносини змінних, упорядкованих зростання їх значення. Ранги - це порядкові номери одиниць сукупності ранжированном ряду. Якщо проранжувати сукупність за двома ознаками, зв'язок між якими вивчається, повний збіг рангів означає максимально тісний прямий зв'язок, а повна протилежність рангів - максимально тісний зворотний зв'язок. Ранжувати обидві ознаки необхідно в тому самому порядку: або від менших значень ознаки до великих, або навпаки. Для практичних цілей використання рангової кореляції дуже корисне. Наприклад, якщо встановлена висока рангова кореляція між двома якісними ознаками виробів, достатньо контролювати вироби тільки за однією з ознак, що здешевлює і прискорює контроль. Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральній сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин. Розмір коефіцієнта кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 і -1. Він може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними в ранговій шкалі. Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена підраховується за такою формулою: Різниця між рангами за двома змінними –
число зіставлюваних пар Першим етапом розрахунку коефіцієнта рангової кореляції є ранжування рядів змінних. Процедура ранжирування починається з розташування змінних за зростанням їх значень. Різним значенням надаються ранги, що позначаються натуральними числами. Якщо трапляється кілька рівних за значенням змінних, їм присвоюється усереднений ранг. Перевага коефіцієнта кореляції рангів Спірмена полягає в тому, що ранжувати можна і за такими ознаками, які не можна виразити чисельно: можна проранжувати кандидатів на зайняття певної посади за професійним рівнем, за вмінням керувати колективом, за особистою чарівністю тощо. При експертних оцінках можна ранжувати оцінки різних експертів і знайти їх кореляції один з одним, щоб потім виключити з розгляду оцінки експерта, які слабо корелювалися з оцінками інших експертів. Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена застосовується з метою оцінки стійкості тенденції динаміки. Недоліком коефіцієнта кореляції рангів і те, що однаковим різницям рангів можуть відповідати цілком відмінні різниці значень ознак (у разі кількісних ознак). Тому для останніх слід вважати кореляцію рангів наближеною мірою тісноти зв'язку, що має меншу інформативність, ніж коефіцієнт кореляції числових значень ознак. Приклад розв'язання задачі Опитування випадково обраних 10 студентів, які проживають у гуртожитку університету, дозволяє виявити залежність між середнім балом за результатами попередньої сесії та кількістю годин на тиждень, витрачених студентом на самостійну підготовку. Визначте тісноту зв'язку за допомогою коефіцієнта рангової кореляції Спірмена. Якщо виникли труднощі з вирішенням завдань, сайт сайт надає онлайн допомогу студентам зі статистики з домашніми контрольними або іспитами. Розрахуємо коефіцієнт кореляції рангів. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена: Підставляючи числові значення, отримуємо: Зв'язок між середнім балом за результатами попередньої сесії та кількістю годин на тиждень, витрачених студентом на самостійну підготовку, помірної тісноти. Якщо терміни зі здаванням контрольної роботи підтискають, на сайті завжди можна замовити термінове вирішення завдань зі статистики. Середнявартість рішення контрольної роботи 700 – 1200 рублів (але не менше 300 руб. за все замовлення). На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Вартість онлайн-допомоги на іспиті/заліку – від 1000 руб. за рішення квитка. Всі питання щодо вартості можете задати прямо в чат, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин. Приклади близьких на тему завдань Коефіцієнт Фехнера Коефіцієнти взаємної сполученості Чупрова та Пірсона
Умова задачі
Рішення завдання
№
Ранжування
Порівняння рангів
Різниця рангів
1
26
4.7
8
1
3.1
1
8
10
-2
4
2
22
4.4
10
2
3.6
2
7
9
-2
4
3
8
3.8
12
3
3.7
3
1
4
-3
9
4
12
3.7
15
4
3.8
4
3
3
0
0
5
15
4.2
17
5
3.9
5
4
7
-3
9
6
30
4.3
20
6
4
6
9
8
1
1
7
20
3.6
22
7
4.2
7
6
2
4
16
8
31
4
26
8
4.3
8
10
6
4
16
9
10
3.1
30
9
4.4
9
2
1
1
1
10
17
3.9
31
10
4.7
10
5
5
0
0
Сума
60
Висновок до завдання
Наведено коротку теорію та розглянуто приклад розв'язання задачі на розрахунок коефіцієнта кореляції знаків Фехнера.
Сторінка містить відомості щодо методів вивчення взаємозв'язків між якісними ознаками за допомогою коефіцієнтів взаємної сполученості Чупрова та Пірсона.
