Розв'язання квадратних рівнянь d0. Коріння квадратного рівняння

Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третій (і більшій) мірі.

Рішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.

приклад 1.

Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частинуі розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса

Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!

приклад 2.

Домножимо ліву та праву частинуна:

Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!

приклад 3.

Домножимо все на:

Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:

Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:

Приклади:

Відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. не квадратне;
4. не квадратне;
5. не квадратне;
6. квадратне;
7. не квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:

• Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

  Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

1. в. Оскільки ми знаємо, як видобувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.

А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння!

Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:

Відповідь:

Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два корені.

Відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Розв'язання повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.

1. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.

Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.

Якщо, то рівняння має корінняПотрібно особливу увагузвернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

А отже рівняння має два корені.

Крок 3

Відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже, рівняння має один корінь.

Відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.

Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

Відповідь:Коренів немає

2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Наведене рівняння, а значить:

Відповідь:

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.

При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулче рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.

Розв'язання різних типів квадратних рівнянь

Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.

Можна виділити тип таких рівнянь:

I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

ІІІ. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння немає рішень;

якщо, маємо навчаємо два корені

Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння.

Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.

Відповідь:

Отже, це рівняння має два корені: і.

Відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Відповідь:

Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.

Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має коріння:
• Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:

  Таке коріння називається дворазовим.

• Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Чому можлива різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Відповідь: .

Відповідь:

Отже, рішень немає.

Відповідь: .

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і – коріння нашого рівняння.

Відповідь: ; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:

та: у сумі дають.

та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.

Відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їхня різниця дорівнює - не підходить;

та: - не підходить;

та: - не підходить;

та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:

Відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:

Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:

Відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:

Очевидно, що корінням є числа в.

Відповідь:

Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Розв'язання завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0

За теоремою Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, оскільки сума;

: сума - те що треба

Відповідь: ; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.

Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).

Відповідь: ; .

Завдання 3.

Хм… А де тут що?

Потрібно перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:

Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь: ; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.

Відповідь: ; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь: ; .

Підіб'ю підсумок:

1. Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться чи не знайшлося жодної придатної паримножників вільного члена, отже, цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

Наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

У загальному виглядіперетворення виглядатиме так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.

Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:
• якщо і, рівняння має вигляд: .

1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Виразимо невідоме: ,

2) Перевіряємо знак виразу:

• якщо, то рівняння немає рішень,
• якщо, то рівняння має два корені.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Винесемо загальним множник за дужки: ,

2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння має тільки один корінь: .

2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанта

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,

2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коріння.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

За допомогою цієї математичної програми ви можете розв'язати квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь задачі, а й відображає процес вирішення двома способами:
- за допомогою дискримінанта
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому відповідь виводиться точна, а не наближена.
Наприклад, для рівняння \(81x^2-16x-1=0\) відповідь виводиться у такій формі:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ а не такою: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05 \)

Ця програмаможе бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробитидомашнє завдання

з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного багаточлена, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення квадратного багаточлена
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числаможна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дробитак: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і ціла частина дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

При введенні виразу можна використовувати дужки. У цьому випадку при розв'язанні квадратного рівняння введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Вирішити

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння та його коріння. Неповні квадратні рівняння

Кожне із рівнянь
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
має вигляд
\(ax^2+bx+c=0, \)
де x – змінна, a, b та c – числа.
У першому рівнянні a = -1, b = 6 та c = 1,4, у другому a = 8, b = -7 та c = 0, у третьому a = 1, b = 0 та c = 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
Квадратним рівняннямназивається рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому (a \neq 0 \).

Числа a, b та c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b – другим коефіцієнтом та число c – вільним членом.

У кожному із рівнянь виду ax 2 +bx+c=0, де (a \neq 0 \), найбільший ступінь змінної x - квадрат. Звідси й назва квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, оскільки його ліва частина є багаточленом другого ступеня.

Квадратне рівняння, у якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Якщо у квадратному рівнянні ax 2 +bx+c=0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неповні квадратні рівняння. У першому їх b=0, у другому c=0, у третьому b=0 і c=0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 +c=0, де (c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, де (b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного із цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 +c=0 при (c \neq 0 \) переносять його вільний член у праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Оскільки \(c \neq 0 \), то \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Якщо \(-\frac(c)(a)>0 \), то рівняння має два корені.

Якщо \(-\frac(c)(a) Для розв'язання неповного квадратного рівняння виду ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) розкладають його ліву частину на множники і одержують рівняння
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Отже, неповне квадратне рівняння виду ax 2 +bx=0 при (b \neq 0 \) завжди має два корені.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 = 0 рівносильне рівнянню x 2 = 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнти за невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати під час вирішення будь-якого квадратного рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння ax 2 +bx+c=0

Розділивши обидві його частини на a, отримаємо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Підкорене вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0 («дискримінант» латиною - розрізняльник). Його позначають буквою D, тобто.
\(D = b^2-4ac \)

Тепер, використовуючи позначення дискримінанта, перепишемо формулу для коріння квадратного рівняння:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), де \(D= b^2-4ac \)

Очевидно, що:
1) Якщо D>0, то квадратне рівняння має два корені.
2) Якщо D=0, то квадратне рівняння має один корінь \(x=-\frac(b)(2a) \).
3) Якщо D Таким чином, залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння може мати два корені (при D > 0), один корінь (при D = 0) або не мати коріння (при D При вирішенні квадратного рівняння за даною формулою доцільно чинити наступним чином:
1) обчислити дискримінант та порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант негативний, то записати, що коріння немає.

Теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x+10=0 має коріння 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Такою властивістю має будь-яке наведене квадратне рівняння, що має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Тобто. теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0 мають властивість:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

• у рішенні буде два корені;
• відповіддю буде одне число;
• коріння рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формулаквадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різні корені. При негативному числікоріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня- Це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спочатку розглянемо неповне рівнянняпід номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

• Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

• Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.

• Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другим корисною порадоюта помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.

5х (х – 4) = 0

5 х = 0 або х - 4 = 0

х = ± √ 25/4

Навчившись вирішувати рівняння першого ступеня, безумовно, хочеться працювати з іншими, зокрема з рівняннями другого ступеня, які по-іншому називаються квадратними.

Квадратні рівняння - це рівняння типу ах ² + bx + c = 0, де змінною є х, числами будуть - а, b, с де а не дорівнює нулю.

Якщо у квадратному рівнянні один чи інший коефіцієнт (с або b) дорівнюватиме нулю, то це рівняння буде відноситися до неповного квадратного рівняння.

Як вирішити неповне квадратне рівняння, якщо учні досі вміли розв'язувати лише рівняння першого ступеня? Розглянемо неповні квадратні рівняння різних видіві нескладні способиїх вирішення.

а) Якщо коефіцієнт с дорівнюватиме 0, а коефіцієнт b не дорівнюватиме нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + bх = 0.

Щоб розв'язати таке рівняння, потрібно знати формулу розв'язання неповного квадратного рівняння, яка полягає в тому, щоб ліву частину розкласти на множники і пізніше використовувати умову рівності твору нулю.

Наприклад, 5х ² - 20х = 0. Розкладаємо ліву частину рівняння на множники, при цьому здійснюючи звичайну математичну операцію: винесення загального множника за дужки

5х (х – 4) = 0

Використовуємо умову, яка каже, що твори дорівнюють нулю.

5 х = 0 або х - 4 = 0

Відповіддю буде: перший корінь – 0; другий корінь – 4.

б) Якщо b = 0, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння ах ² + 0х + с = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + с = 0. Розв'язують рівняння двома способами: а) розкладаючи багаточлен рівняння в лівій частині на множники ; б) використовуючи властивості арифметичного квадратного кореня. Таке рівняння вирішується одним із методів, наприклад:

х = ± √ 25/4

х = ±5/2. Відповіддю буде: перший корінь дорівнює 5/2; другий корінь дорівнює – 5/2.

в) Якщо b дорівнюватиме 0 і с дорівнюватиме 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² = 0. У такому рівнянні x дорівнюватиме 0.

Як бачите, неповні квадратні рівняння можуть мати не більше двох коренів.

Завдання на квадратне рівняння вивчаються і в шкільній програміта у ВНЗ. Під ними розуміють рівняння виду a * x ^ 2 + b * x + c = 0 де x -змінна, a, b, c – константи; a<>0 . Завдання полягає у відшуканні коренів рівняння.

Геометричний зміст квадратного рівняння

Графіком функції, представленої квадратним рівнянням є парабола. Рішення (коріння) квадратного рівняння - це точки перетину параболи з віссю абсцис (х). З цього випливає, що є три можливі випадки:
1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться у верхній площині з гілками вгору або нижній з гілками вниз. У таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).

2) парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимальне значення. У цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакові корені).

3) Останній випадок на практиці цікавий більше – існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння.

На основі аналізу коефіцієнтів при ступенях змінних можна зробити цікаві висновки щодо розміщення параболи.

1) Якщо коефіцієнт а більший за нуль то парабола спрямована гілками вгору, якщо негативний - гілки параболи спрямовані вниз.

2) Якщо коефіцієнт b більший за нуль то вершина параболи лежить у лівій напівплощині, якщо приймає від'ємне значення- то у правій.

Висновок формули для розв'язання квадратного рівняння

Перенесемо константу із квадратного рівняння

за знак рівності, отримаємо вираз

Помножимо обидві частини на 4а

Щоб отримати ліворуч повний квадрат додамо в обох частинах b^2 і здійснимо перетворення

Звідси знаходимо

Формула дискримінанта та коріння квадратного рівняння

Дискримінантом називають значення підкореного виразу. Якщо він позитивний, то рівняння має два дійсні корені, що обчислюються за формулою. При нульовому дискримінанті квадратне рівняння має одне рішення (два збігаються корені), які легко отримати з наведеної вище формули при D=0 При негативному дискримінанті рівняння дійсних коренів немає. Проте ісують розв'язки квадратного рівняння у комплексній площині, та їх значення обчислюють за формулою

Теорема Вієта

Розглянемо два корені квадратного рівняння і побудуємо на їх основі квадратне рівняння. З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння виду то сума його коренів дорівнює коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння дорівнює вільному доданку q. Формульний запис вищесказаного буде мати вигляд Якщо в класичному рівнянні константа а відмінна від нуля, то потрібно розділити на неї все рівняння, а потім застосовувати теорему Вієта.

Розклад квадратного рівняння на множники

Нехай поставлене завдання: розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв'язуємо рівняння (знаходимо коріння). Далі, знайдене коріння підставляємо у формулу розкладання квадратного рівняння. На цьому завдання буде вирішено.

Завдання на квадратне рівняння

Завдання 1. Знайти коріння квадратного рівняння

x^2-26x+120=0.

Рішення: Запишемо коефіцієнти та підставимо у формулу дискримінанта

Корінь з даного значення дорівнює 14 , його легко знайти з калькулятором, або запам'ятати при частому використанні, однак для зручності, наприкінці статті я дам Вам список квадратів чисел, які часто можуть зустрічатися при подібних завданнях.
Знайдене значення підставляємо у формулу коріння

і отримуємо

Завдання 2. Вирішити рівняння

2x2+x-3=0.

Рішення: Маємо повне квадратне рівняння, виписуємо коефіцієнти та знаходимо дискримінант


за відомим формуламзнаходимо коріння квадратного рівняння

Завдання 3. Вирішити рівняння

9x2-12x+4=0.

Рішення: Маємо повне квадратне рівняння. Визначаємо дискримінант

Отримали випадок коли коріння збігається. Знаходимо значення коренів за формулою

Завдання 4. Вирішити рівняння

x^2+x-6=0.

Рішення: У випадках коли є малі коефіцієнти при їх доцільно застосовувати теорему Вієта. За її умовою одержуємо два рівняння

З другої умови отримуємо, що твір має дорівнювати -6 . Це означає, що один з коренів негативний. Маємо наступну можливу пару рішень (-3; 2), (3; -2). З урахуванням першої умови другу пару рішень відкидаємо.
Коріння рівняння дорівнює

Завдання 5. Знайти довжини сторін прямокутника, якщо його периметр 18 см, а площа 77 см 2 .

Рішення: Половина периметра прямокутника дорівнює сумі сусідніх сторін. Позначимо х – більшу сторону, тоді 18-x менша його сторона. Площа прямокутника дорівнює добутку цих довжин:
х (18-х) = 77;
або
х 2 -18х +77 = 0.
Знайдемо дискримінант рівняння

Обчислюємо коріння рівняння

Якщо х = 11,то 18-х = 7,навпаки теж справедливо (якщо х=7, то 21-х=9).

Завдання 6. Розкласти квадратне 10x2-11x+3=0 рівняння на множники.

Рішення: Обчислимо коріння рівняння, для цього знаходимо дискримінант

Підставляємо знайдене значення у формулу коренів та обчислюємо

Застосовуємо формулу розкладання квадратного рівняння за корінням

Розкривши дужки отримаємо тотожність.

Квадратне рівняння з параметром

Приклад 1. При яких значеннях параметра а ,рівняння (а-3) х 2 + (3-а) х-1/4 = 0 має один корінь?

Рішення: Прямою підстановкою значення а=3 бачимо, що вона не має рішення. Далі скористаємося тим, що з нульовому дискримінанті рівняння має один корінь кратності 2 . Випишемо дискримінант

спростимо його і прирівняємо до нуля

Отримали квадратне рівняння щодо параметра а рішення якого легко отримати за теоремою Вієта. Сума коренів дорівнює 7 , а їх добуток 12 . Простим перебором встановлюємо, що числа 3,4 будуть корінням рівняння. Оскільки рішення а=3 ми вже відкинули на початку обчислень, єдиним правильним буде - а=4.Таким чином, при а=4 рівняння має один корінь.

Приклад 2. При яких значеннях параметра а ,рівняння а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0має більше одного кореня?

Рішення: Розглянемо спочатку особливі точкиними будуть значення а = 0 і а = -3 . При а = 0 рівняння спроститься до виду 6х-9 = 0; х = 3/2 і буде один корінь. При а=-3 отримаємо тотожність 0=0.
Обчислимо дискримінант

і знайдемо значення а при якому воно позитивне

З першої умови отримаємо а>3. Для другого знаходимо дискримінант та коріння рівняння


Визначимо проміжки де функція набуває позитивних значень. Підстановкою точки а = 0 отримаємо 3>0 . Отже, поза проміжку (-3;1/3) функція негативна. Не варто забувати про точку а = 0,яку слід виключити, оскільки в ній вихідне рівняння має один корінь.
В результаті отримаємо два інтервали, які задовольняють умову задачі

Подібних завдань на практиці буде багато, постарайтеся розібратися із завданнями самостійно та не забувайте враховувати умови, які взаємовиключають один одного. Добре вивчіть формули для вирішення квадратних рівнянь, вони досить часто потрібні при обчисленнях в різних завданнях і науках.