Рівняння з косинус. Розв'язання тригонометричних рівнянь. Як вирішити тригонометричне рівняння

Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь будь-якого рівня складності зрештою зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. І в цьому найкращим помічником знову виявляється тригонометричне коло.

Згадаймо визначення косинуса та синуса.

Косинусом кута називається абсциса (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Синусом кута називається ордината (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Позитивним напрямом руху по тригонометричному колу вважається рух проти годинникової стрілки. Повороту на 0 градусів (або 0 радіан) відповідає точка з координатами (1; 0)

Використовуємо ці визначення для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Розв'яжемо рівняння

Цьому рівнянню задовольняють такі значення кута повороту , які відповідають точкам кола, ордината яких дорівнює .

Відзначимо на осі ординат точку з ординатою:

Проведемо горизонтальну лініюпаралельно осі абсцис до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають ординату. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан:

Якщо ми, вийшовши з точки, що відповідає куту повороту на радіан, обійдемо повне коло, то ми прийдемо в точку, яка відповідає куту повороту на радіан і має ту ж ординату. Тобто, цей кут повороту також задовольняє нашому рівнянню. Ми можемо робити скільки завгодно "холостих" оборотів, повертаючись у ту саму точку, і всі ці значення кутів задовольнятимуть нашому рівнянню. Число "холостих" оборотів позначимо буквою (або ). Оскільки ми можемо здійснювати ці обороти як і позитивному, і у негативному напрямі, (або ) можуть набувати будь-які цілі значення.

Тобто перша серія рішень вихідного рівняння має вигляд:

, , - безліч цілих чисел (1)

Аналогічно, друга серія рішень має вигляд:

де , . (2)

Як ви здогадалися, в основі цієї серії рішень лежить точка кола, що відповідає куту повороту на .

Ці дві серії рішень можна поєднати в один запис:

Якщо ми цього запису візьмемо (тобто парне ), ми отримаємо першу серію рішень.

Якщо ми в цьому записі візьмемо (тобто непарне), ми отримаємо другу серію рішень.

2. Тепер давайте вирішимо рівняння

Так як - це абсциса точки одиничного кола, отриманого поворотом на кут, відзначимо на осі крапку з абсцисою:

Проведемо вертикальну лінію паралельно осі до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають абсцис. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан. Згадаймо, що при русі за годинниковою стрілкою ми отримуємо негативний кут повороту:

Запишемо дві серії рішень:

(Ми потрапляємо в потрібну точку, пройшовши з основної повний круг, тобто .

Об'єднаємо ці дві серії в один запис:

3. Розв'яжемо рівняння

Лінія тангенсів проходить через точку з координатами (1,0) одиничного кола паралельно осі OY

Зазначимо на ній точку, з ординатою, що дорівнює 1 (ми шукаємо, тангенс яких кутів дорівнює 1):

З'єднаємо цю точку з початком координат прямою лінією і відзначимо точки перетину прямої з одиничним колом. Точки перетину прямої та кола відповідають кутам повороту на і :

Так як точки, що відповідають кутам повороту, які задовольняють нашому рівнянню, лежать на відстані радіан одна від одної, то ми можемо записати рішення таким чином:

4. Розв'яжемо рівняння

Лінія котангенсів проходить через точку з координатами одиничного кола паралельно осі.

Зазначимо на лінії котангенсів крапку з абсцисою -1:

З'єднаємо цю точку з початком координат прямої і продовжимо її до перетину з колом. Ця пряма перетне коло в точках, що відповідають кутам повороту на і радіан:

Оскільки ці точки відстоять одна від одної на відстань, рівну , то загальне рішенняцього рівняння ми можемо записати так:

У наведених прикладах, що ілюструють рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, були використані табличні значення тригонометричних функцій.

Однак, якщо у правій частині рівняння стоїть не табличне значення, то ми у загальне рішення рівняння підставляємо значення :

ОСОБЛИВІ РІШЕННЯ:

Зазначимо на колі точки, ордината яких дорівнює 0:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, ордината якої дорівнює -1:

Оскільки прийнято вказувати значення, найближчі до нуля, рішення запишемо так:

Зазначимо на колі точки, абсцис яких дорівнює 0:

5.
Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює 1:

Зазначимо на колі єдину точку, абсцис якої дорівнює -1:

І трохи складніші приклади:

Синус дорівнює одиниці, якщо аргумент дорівнює

Аргумент у нашого синуса дорівнює, тому отримаємо:

Розділимо обидві частини рівності на 3:

Відповідь:

Косинус дорівнює нулю, якщо аргумент косинуса дорівнює

Аргумент у нашого косинуса дорівнює, тому отримаємо:

Висловимо, для цього спочатку перенесемо вправо з протилежним знаком:

Спростимо праву частину:

Розділимо обидві частини на -2:

Зауважимо, що перед доданком знак не змінюється, оскільки k може приймати будь-які цілі значення.

Відповідь:

І насамкінець подивіться відеоурок "Відбір коренів у тригонометричному рівнянні за допомогою тригонометричного кола"

На цьому розмову про вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь ми закінчимо. Наступного разу ми з вами поговоримо про те, як вирішувати.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Вступ 2

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь 5

Алгебраїчний 5

Розв'язання рівнянь за допомогою умови рівності однойменних тригонометричних функцій 7

Розкладання на множники 8

Приведення до однорідного рівняння 10

Введення допоміжного кута 11

Перетворення твору на суму 14

Універсальна підстановка 14

Висновок 17

Вступ

До десятого класу порядок дій багатьох вправ, що веде до мети, зазвичай однозначно визначений. Наприклад, лінійні та квадратні рівняння та нерівності, дробові рівняння та рівняння, що приводяться до квадратних, тощо. Не розбираючи докладно принципу вирішення кожного зі згаданих прикладів, відзначимо те загальне, що необхідне їх успішного рішення.

Найчастіше треба встановити, якого типу належить завдання, згадати послідовність дій, які ведуть мети, і здійснити ці действия. Очевидно, що успіх чи неуспіх учня в оволодінні прийомами розв'язання рівнянь залежить головним чином від того, наскільки він зуміє правильно визначити тип рівняння та згадати послідовність усіх етапів його розв'язання. Вочевидь, у своїй передбачається, що учень має навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Зовсім інша ситуація виходить, коли школяр зустрічається із тригонометричними рівняннями. При цьому встановити факт, що рівняння є тригонометричним, неважко. Складнощі виникають при знаходженні порядку дій, які б призвели до позитивного результату. І тут перед учнем постають дві проблеми. за зовнішньому виглядурівняння важко визначити тип. А не знаючи типу, майже неможливо вибрати потрібну формулу з кількох десятків, що є у розпорядженні.

Щоб допомогти учням знайти вірну дорогуу складному лабіринті тригонометричних рівнянь їх спочатку знайомлять з рівняннями, які після введення нової змінної приводяться до квадратних. Потім вирішують однорідні рівняння та приведені до них. Все закінчується, зазвичай, рівняннями, на вирішення яких треба розкласти на множники ліву частину, Прирівнявши потім кожен з множників до нуля.

Розуміючи, що розібраних на уроках півтора десятка рівнянь явно недостатньо, щоб пустити учня в самостійне плавання тригонометричним "морем", вчитель додає від себе ще кілька рекомендацій.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

Привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;

Привести рівняння до "однакових функцій";

Розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Але, незважаючи на знання основних типів тригонометричних рівнянь і кількох принципів пошуку їх вирішення, багато учнів, як і раніше, опиняються в глухому куті перед кожним рівнянням, що незначно відрізняється від тих, що вирішувалися раніше. Залишається незрозумілим, чого слід прагнути, маючи те чи інше рівняння, чому в одному випадку треба застосовувати формули подвійного кута, в іншому - половинного, а в третьому - формули додавання і т.д.

Визначення 1.Тригонометричним називається рівняння, в якому невідоме міститься під знаком тригонометричних функцій.

Визначення 2.Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові кути, якщо всі тригонометричні функції, що входять до нього, мають рівні аргументи. Говорять, що в тригонометричному рівнянні однакові функції, якщо воно містить лише одну з тригонометричних функцій.

Визначення 3.Ступенем одночлена, що містить тригонометричні функції, називається сума показників ступенів тригонометричних функцій, що входять до нього.

Визначення 4.Рівняння називається однорідним, якщо всі одночлени, що входять до нього, мають один і той самий ступінь. Цей ступінь називається порядком рівняння.

Визначення 5.Тригонометричне рівняння, що містить лише функції sinі cos, називається однорідним, якщо всі одночлени щодо тригонометричних функцій мають однаковий ступінь, а самі тригонометричні функції мають рівні кутиі число одночленів на 1 більше за порядок рівняння.

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь складається з двох етапів: перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду та рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує сім основних методів розв'язання тригонометричних рівнянь.

I. Алгебраїчний метод.Цей метод добре відомий із алгебри. (Метод заміни змінний та підстановки).

Розв'язати рівняння.

Введемо позначення x=2 sin3 t, отримаємо

Вирішуючи це рівняння, отримуємо:
або

тобто. можна записати

При записі отриманого рішення через наявність знаків ступінь
записувати немає сенсу.

Відповідь:

Позначимо

Отримуємо квадратне рівняння
. Його корінням є числа
і
. Тому дане рівняння зводиться до найпростіших тригонометричних рівнянь.
і
. Вирішуючи їх, знаходимо, що
або
.

Відповідь:
;
.

Позначимо

не задовольняє умову

Значить

Відповідь:

Перетворимо ліву частину рівняння:

Таким чином, це вихідне рівняння можна записати у вигляді:

, тобто.

Позначивши
, отримаємо
Вирішивши дане квадратне рівняння маємо:

не задовольняє умову

Записуємо рішення вихідного рівняння:

Відповідь:

Підстановка
зводить дане рівняння до квадратного рівняння
. Його корінням є числа
і
. Оскільки
, то задане рівняннякоріння немає.

Відповідь: коріння немає.

II. Розв'язання рівнянь за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій.

а)
, якщо

б)
, якщо

в)
, якщо

Використовуючи ці умови, розглянемо рішення наступних рівнянь:

Користуючись сказаним у п. а) отримуємо, що рівняння має рішення в тому і лише в тому випадку, коли
.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо
.

Маємо дві групи рішень:

.

7) Розв'язати рівняння:
.

Користуючись умовою п. б) виводимо, що
.

Вирішуючи ці квадратні рівняння, отримуємо:

8) Розв'язати рівняння
.

З цього рівняння виводимо, що . Вирішуючи це квадратне рівняння, знаходимо, що

.

III. Розкладання на множники.

Цей метод розглядаємо на прикладах.

9) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Перенесемо всі члени рівняння вліво: .

Перетворимо і розкладемо на множники вираз у лівій частині рівняння:
.

1)
2)

Т.к.
і
не приймають значення нуль

одночасно, то розділимо обидві частини

рівняння на
,

Відповідь:

10) Розв'язати рівняння:

Рішення.

або

Відповідь:

11) Розв'язати рівняння

Рішення:

1)
2)
3)

Відповідь:

IV. Приведення до однорідного рівняння.

Щоб вирішити однорідне рівняннятреба:

Перенести всі його члени до лівої частини;

Винести всі спільні множники за дужки;

Прирівняти всі множники та дужки до нуля;

Дужки, прирівняні до нуля, дають однорідне рівняння меншою мірою, яке слід розділити на
(або
) у старшому ступені;

Вирішити отримане алгебраїчне рівняннящодо
.

Розглянемо приклади:

12) Розв'язати рівняння:

Рішення.

Розділимо обидві частини рівняння на
,

Вводячи позначення
, ім'ям

коріння цього рівняння:

звідси 1)
2)

Відповідь:

13) Розв'язати рівняння:

Рішення. Використовуючи формули подвійного кута та основне тригонометричне тотожність, наводимо дане рівняння до половинного аргументу:

Після приведення подібних доданків маємо:

Розділивши однорідне останнє рівняння на
, отримаємо

Позначу
, отримаємо квадратне рівняння
, корінням якого є числа

Таким чином

Вираз
звертається в нуль при
, тобто. при
,
.

Отримане нами рішення рівняння не включає дані числа.

Відповідь:
, .

V. Введення допоміжного кута.

Розглянемо рівняння виду

Де a, b, c- Коефіцієнти, x- Невідоме.

Розділимо обидві частини цього рівняння на

Тепер коефіцієнти рівняння мають властивості синуса і косинуса, саме: модуль кожного їх вбирається у одиниці, а сума їх квадратів дорівнює 1.

Тоді можна позначити їх відповідно
(тут - Допоміжний кут) і наше рівняння набуває вигляду: .

Тоді

І його рішення

Зауважимо, що введені позначення взаємозамінні.

14) Розв'язати рівняння:

Рішення. Тут
тому ділимо обидві частини рівняння на

Відповідь:

15) Розв'язати рівняння

Рішення. Оскільки
, то дане рівняння рівносильне рівнянню

Оскільки
, то існує такий кут, що
,
(Тобто.
).

Маємо

Оскільки
, то остаточно отримуємо:

Зауважимо, що рівняння виду мають рішення тоді і лише тоді, коли

16) Розв'язати рівняння:

Для розв'язання цього рівняння згрупуємо тригонометричні функції з однаковими аргументами

Розділимо обидві частини рівняння на два

Перетворимо суму тригонометричних функцій на твір:

Відповідь:

VI. Перетворення твору на суму.

Тут застосовуються відповідні формули.

17) Розв'язати рівняння:

Рішення. Перетворимо ліву частину на суму:

VII.Універсальна підстановка.

ці формули вірні всім

Підстановка
називається універсальною.

18) Розв'язати рівняння:

Рішення: Замінимо та
на їх вираз через
і позначимо
.

Отримуємо раціональне рівняння
, яке перетворюється на квадратне
.

Корінням цього рівняння є числа
.

Тому завдання звелося до розв'язання двох рівнянь
.

Знаходимо, що
.

Значення виду
вихідного рівняння не задовольняє, що перевіряється перевіркою - підстановкою даного значення tу вихідне рівняння.

Відповідь:
.

Зауваження. Рівняння можна було вирішити іншим способом.

Розділимо обидві частини цього рівняння на 5 (тобто на
):
.

Оскільки
, то існує таке число
, що
і
. Тому рівняння набуває вигляду:
або
. Звідси знаходимо, що
де
.

19) Розв'язати рівняння
.

Рішення. Оскільки функції
і
мають найбільше значення, що дорівнює 1, то їх сума дорівнює 2, якщо
і
одночасно, тобто
.

Відповідь:
.

При вирішенні цього рівняння застосовувалася обмеженість функцій та .

Висновок.

Працюючи над темою «Рішення тригонометричних рівнянь» кожному вчителю корисно виконувати такі рекомендації:

Систематизувати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Вибрати собі кроки з виконання аналізу рівняння та ознаки доцільності використання тієї чи іншої метод решения.

Продумати способи самоконтролю своєї діяльності щодо реалізації методу.

Навчитися складати «свої» рівняння на кожен із методів, що вивчаються.

Додаток №1

Розв'яжіть однорідні або приведені до однорідним рівняння.

1.	Відп.
	Відп.

	Відп.
5.	Відп.
	Відп.
7.	Відп.
	Відп.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Збір та використання персональної інформації

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Урок та презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Що таке тригонометричні рівняння?

3. Два основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
4. Однорідні тригонометричні рівняння.
5. Приклади.

Що таке тригонометричні рівняння?

Хлопці, ми з вами вже вивчили арксинуса, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Тепер давайте подивимося на тригонометричні рівняння загалом.

Тригонометричні рівняння – рівняння у якому змінна міститься під знаком тригонометричної функції.

Повторимо вид розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь:

1) Якщо |а|≤ 1, то рівняння cos(x) = a має розв'язок:

X = ± arccos(a) + 2πk

2) Якщо |а|≤ 1, то рівняння sin(x) = a має розв'язок:

3) Якщо |а| > 1, то рівняння sin(x) = a і cos(x) = a немає рішень 4) Рівняння tg(x)=a має розв'язання: x=arctg(a)+ πk

5) Рівняння ctg(x)=a має рішення: x=arcctg(a)+ πk

Для всіх формул k-ціле число

Найпростіші тригонометричні рівняння мають вигляд: Т(kx+m)=a, T-яка чи тригонометрична функція.

приклад.

Розв'язати рівняння: а) sin(3x)= √3/2

Рішення:

А) Позначимо 3x=t, тоді наше рівняння перепишемо як:

Розв'язання цього рівняння буде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

З таблиці значень отримуємо: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Повернімося до нашої змінної: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тоді x=((-1)^n)×π/9+ πn/3

Відповідь: x=((-1)^n)×π/9+ πn/3, де n-ціле число. (-1) ^ n – мінус один у ступені n.

Ще приклади тригонометричних рівнянь.

Розв'язати рівняння: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Рішення:

А) На цей раз перейдемо безпосередньо до обчислення коренів рівняння відразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тоді x/5= πk => x=5πk

Відповідь: x=5πk, де k – ціле число.

Б) Запишемо як: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ми знаємо що: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Відповідь: x=2π/9 + πk/3, де k – ціле число.

Розв'язати рівняння: cos(4x)= √2/2. І знайти все коріння на відрізку.

Рішення:

Вирішимо в загальному виглядінаше рівняння: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Тепер давайте подивимося яке коріння потраплять на наш відрізок. При k При k=0, x= π/16 ми потрапили в заданий відрізок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, знову потрапили.
При k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, а тут ось вже не потрапили, а значить при великих k теж свідомо не потраплятимемо.

Відповідь: x= π/16, x= 9π/16

Два основні методи вирішення.

Ми розглянули найпростіші тригонометричні рівняння, але є й складніші. Для їх вирішення застосовують метод введення нової змінної та метод розкладання на множники. Давайте розглянемо приклади.

Розв'яжемо рівняння:

Рішення:
Для вирішення нашого рівняння скористаємося методом уведення нової змінної, позначимо: t=tg(x).

В результаті заміни отримаємо: t 2 + 2t -1 = 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t=-1 та t=1/3

Тоді tg(x)=-1 і tg(x)=1/3, отримали найпростіше тригонометричне рівняння, знайдемо його коріння.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Відповідь: x=-π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Приклад вирішення рівняння

Розв'язати рівнянь: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0

Рішення:

Скористаємося тотожністю: sin 2(x) + cos 2(x)=1

Наше рівняння набуде вигляду:2-2cos 2(x) + 3 cos(x) = 0

2 cos 2(x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введемо заміну t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Рішенням нашого квадратного рівняння є коріння: t=2 та t=-1/2

Тоді cos(x)=2 та cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не може набувати значення більше одиниці, то cos(x)=2 не має коріння.

Для cos(x)=-1/2: x=± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Відповідь: x= ±2π/3 + 2πk

Однорідні тригонометричні рівняння.

Визначення: Рівняння виду a sin(x)+b cos(x) називаються однорідними тригонометричними рівняннями першого ступеня.

Рівняння виду

однорідними тригонометричними рівняннями другого ступеня.

Для вирішення однорідного тригонометричного рівняння першого ступеня розділимо його на cos(x): Ділити на косинус не можна, якщо він дорівнює нулю, давайте переконаємося, що це не так:
Нехай cos(x)=0, тоді asin(x)+0=0 => sin(x)=0, але синус і косинус одночасно не дорівнюють нулю, отримали протиріччя, тому можна сміливо ділити на нуль.

Розв'язати рівняння:
Приклад: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Рішення:

Винесемо загальний множник: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

Тоді нам треба вирішити два рівняння:

Cos(x)=0 та cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Розглянемо рівняння cos(x)+sin(x)=0 Розділимо наше рівняння cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Відповідь: x= π/2 + πk і x=-π/4+πk

Як розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння другого ступеня?
Діти, дотримуйтесь цих правил завжди!

1. Подивитися чому дорівнює коефіцієнт а, якщо а=0 то тоді наше рівняння набуде вигляду cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), приклад розв'язання якого на попередньому слайді

2. Якщо a≠0, то потрібно поділити обидві частини рівняння на косинус у квадраті, отримаємо:

Робимо заміну змінної t=tg(x) отримуємо рівняння: