کسری اعشاری را اضافه کنید. اعشار: تعاریف، ضبط، مثال ها، اقدامات با اعشار

از میان کسرهای فراوانی که در محاسبات یافت می شود، آنهایی که 10، 100، 1000 در مخرج دارند - به طور کلی، هر توان ده - سزاوار توجه ویژه هستند. این کسرها نام و نشان خاصی دارند.

اعشار هر کسری عددی است که مخرج آن توان ده باشد.

نمونه هایی از کسرهای اعشاری:

اصلاً چرا جدا کردن چنین کسرهایی ضروری بود؟ چرا آنها به فرم ضبط خود نیاز دارند؟ حداقل سه دلیل برای این امر وجود دارد:

1. مقایسه اعشار بسیار ساده تر است. به یاد داشته باشید: برای مقایسه کسرهای معمولیآنها باید از یکدیگر کم شوند و به ویژه کسرها را به کاهش دهند مخرج مشترک. در اعشار هیچ چیزی مانند این مورد نیاز نیست.
2. محاسبات را کاهش دهید. اعشار طبق قوانین خودشان جمع و ضرب می شوند و با کمی تمرین می توانید خیلی سریعتر از کسرهای معمولی با آنها کار کنید.
3. سهولت در ضبط. بر خلاف کسرهای معمولی، اعشار در یک خط بدون از دست دادن وضوح نوشته می شوند.

اکثر ماشین حساب ها نیز پاسخ ها را به صورت اعشاری می دهند. در برخی موارد، فرمت ضبط متفاوت ممکن است مشکلاتی ایجاد کند. به عنوان مثال، اگر در فروشگاه به مبلغ 2/3 روبل پول خرد بخواهید چه می شود :)

قوانین نوشتن کسرهای اعشاری

مزیت اصلی کسرهای اعشاری، نمادگذاری راحت و بصری است. برای مثال:

نماد اعشاری شکلی از نوشتن کسرهای اعشاری است که در آن قسمت صحیح با نقطه یا کاما از قسمت کسری جدا می شود. در این حالت خود جداکننده (نقطه یا کاما) نقطه اعشار نامیده می شود.

به عنوان مثال، 0.3 (بخوانید: "نشانگر صفر، 3 دهم")؛ 7.25 (7 کل، 25 صدم)؛ 3.049 (3 کل، 49 هزارم). تمام مثال ها از تعریف قبلی گرفته شده است.

در نوشتن معمولاً از کاما به عنوان نقطه اعشار استفاده می شود. در اینجا و بیشتر در سراسر سایت، کاما نیز استفاده خواهد شد.

برای نوشتن یک کسر اعشاری دلخواه به این شکل، باید سه مرحله ساده را دنبال کنید:

1. صورتگر را جداگانه بنویسید.
2. نقطه اعشار را به تعداد صفر در مخرج به چپ منتقل کنید. فرض کنید که در ابتدا نقطه اعشار در سمت راست همه ارقام است.
3. اگر نقطه اعشار جابجا شده باشد و بعد از آن صفر در انتهای ورودی وجود داشته باشد، باید آنها را خط بزنید.

این اتفاق می‌افتد که در مرحله دوم، شماره‌گذار ارقام کافی برای تکمیل شیفت را ندارد. در این حالت، موقعیت های از دست رفته با صفر پر می شوند. و به طور کلی، در سمت چپ هر عددی می توانید هر عدد صفر را بدون آسیب به سلامت خود اختصاص دهید. زشت است، اما گاهی اوقات مفید است.

در نگاه اول، این الگوریتم ممکن است بسیار پیچیده به نظر برسد. در واقع، همه چیز بسیار بسیار ساده است - فقط باید کمی تمرین کنید. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. برای هر کسری، نماد اعشاری آن را نشان دهید:

صورت کسر اول: 73. نقطه اعشار را یک مکان جابه جا می کنیم (زیرا مخرج 10 است) - 7.3 می گیریم.

عدد کسر دوم: 9. نقطه اعشار را دو مکان جابجا می کنیم (از آنجایی که مخرج 100 است) - 0.09 به دست می آید. من مجبور شدم یک صفر بعد از نقطه اعشار و یک صفر دیگر را قبل از آن اضافه کنم تا یک ورودی عجیب مانند ".09" باقی نماند.

صورت کسر سوم: 10029 است. نقطه اعشار را سه مکان جابجا می کنیم (از آنجایی که مخرج 1000 است) - 10.029 به دست می آید.

شمارنده کسر آخر: 10500. دوباره نقطه را با سه رقم جابه جا می کنیم - 10500 می گیریم. صفرهای اضافی در انتهای عدد وجود دارد. آنها را خط بزنید و 10.5 می گیریم.

به دو مثال آخر توجه کنید: اعداد 10.029 و 10.5. طبق قوانین، صفرهای سمت راست باید خط کشیده شوند، همانطور که در داخل انجام می شود آخرین نمونه. با این حال، هرگز نباید این کار را با صفرهای داخل یک عدد (که با اعداد دیگری احاطه شده اند) انجام دهید. به همین دلیل است که ما 10.029 و 10.5 گرفتیم و نه 1.29 و 1.5.

بنابراین، ما تعریف و شکل نوشتن کسرهای اعشاری را فهمیدیم. حالا بیایید دریابیم که چگونه کسرهای معمولی را به اعشار تبدیل کنیم - و بالعکس.

تبدیل کسری به اعشاری

یک کسری عددی ساده از شکل a /b را در نظر بگیرید. می توانید از خاصیت پایه کسری استفاده کنید و صورت و مخرج را در عددی ضرب کنید که پایین آن به توان ده تبدیل شود. اما قبل از انجام این کار، موارد زیر را بخوانید:

مخرج هایی وجود دارد که نمی توان آنها را به توان ده تقلیل داد. یاد بگیرید که چنین کسرهایی را بشناسید، زیرا با استفاده از الگوریتم توضیح داده شده در زیر نمی توان با آنها کار کرد.

خودشه. خوب، چگونه می توان فهمید که مخرج به توان ده تقلیل می یابد یا خیر؟

پاسخ ساده است: مخرج را به عوامل اول تبدیل کنید. اگر بسط فقط شامل فاکتورهای 2 و 5 باشد، این عدد را می توان به توان ده تقلیل داد. اگر اعداد دیگری وجود دارد (3، 7، 11 - هر چه باشد)، می توانید قدرت ده را فراموش کنید.

وظیفه. بررسی کنید که آیا کسرهای مشخص شده را می توان به صورت اعشاری نشان داد:

اجازه دهید مخرج این کسرها را بنویسیم و فاکتور بگیریم:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - فقط اعداد 2 و 5 وجود دارند بنابراین، کسری را می توان به صورت اعشاری نشان داد.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - یک عامل "ممنوع" 3 وجود دارد. کسر را نمی توان به صورت اعشاری نشان داد.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. همه چیز مرتب است: چیزی جز اعداد 2 و 5 وجود ندارد. کسری را می توان به صورت اعشاری نشان داد.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. ضریب 3 دوباره به صورت کسری اعشاری نمایش داده نمی شود.

بنابراین، ما مخرج را مرتب کرده‌ایم - حالا بیایید به کل الگوریتم انتقال به کسرهای اعشاری نگاه کنیم:

1. مخرج کسر اصلی را فاکتور بگیرید و مطمئن شوید که به طور کلی به صورت اعشاری قابل نمایش است. آن ها بررسی کنید که بسط فقط شامل فاکتورهای 2 و 5 باشد. در غیر این صورت، الگوریتم کار نمی کند.
2. شمارش کنید که در بسط چند عدد دو و پنج وجود دارد (یادتان هست که عدد دیگری در آنجا وجود نخواهد داشت؟). یک عامل اضافی را طوری انتخاب کنید که تعداد دو و پنج برابر باشد.
3. در واقع، صورت و مخرج کسر اصلی را در این عامل ضرب کنید - نمایش مورد نظر را به دست می آوریم، یعنی. مخرج توان ده خواهد بود.

البته فاکتور اضافی نیز تنها به دو و پنج تجزیه خواهد شد. در عین حال، برای اینکه زندگی خود را پیچیده نکنید، باید کوچکترین ضریب ممکن را انتخاب کنید.

و یک چیز دیگر: اگر کسر اصلی شامل یک قسمت صحیح است، مطمئن شوید که این کسر را به یک کسر نامناسب تبدیل کنید - و تنها پس از آن الگوریتم توصیف شده را اعمال کنید.

وظیفه. این کسرهای عددی را به اعشار تبدیل کنید:

بیایید مخرج کسر اول را فاکتور بگیریم: 4 = 2 · 2 = 2 2 . بنابراین، کسر را می توان به صورت اعشاری نشان داد. بسط شامل دو دو و نه یک پنج واحد است، بنابراین ضریب اضافی 5 2 = 25 است. با آن، تعداد دو و پنج برابر خواهد شد. ما داریم:

حالا بیایید به کسر دوم نگاه کنیم. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که 24 = 3 8 = 3 2 3 - یک سه گانه در بسط وجود دارد، بنابراین کسر را نمی توان به عنوان اعشار نشان داد.

دو کسر آخر به ترتیب دارای مخرج 5 (عدد اول) و 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 هستند - فقط دو و پنج در همه جا وجود دارند. علاوه بر این، در مورد اول، "برای خوشبختی کامل" ضریب 2 کافی نیست، و در مورد دوم - 5. دریافت می کنیم:

تبدیل از اعشار به کسری معمولی

تبدیل معکوس - از اعشار به نماد منظم - بسیار ساده تر است. در اینجا هیچ محدودیت یا بررسی خاصی وجود ندارد، بنابراین همیشه می توانید یک کسر اعشاری را به کسر کلاسیک "دو طبقه" تبدیل کنید.

الگوریتم ترجمه به شرح زیر است:

1. تمام صفرهای سمت چپ اعشار و همچنین نقطه اعشار را خط بزنید. این شماره کسری مورد نظر خواهد بود. نکته اصلی این است که زیاده روی نکنید و از صفرهای درونی احاطه شده توسط اعداد دیگر عبور نکنید.
2. شمارش کنید که در کسر اصلی بعد از اعشار چند رقم اعشار وجود دارد. عدد 1 را بردارید و به تعداد کاراکترهایی که می شمارید به سمت راست صفر اضافه کنید. این مخرج خواهد بود.
3. در واقع، کسری را بنویسید که صورت و مخرج آن را پیدا کردیم. در صورت امکان آن را کاهش دهید. اگر کسر اصلی شامل یک قسمت صحیح باشد، اکنون یک کسر نامناسب دریافت می کنیم که برای محاسبات بعدی بسیار راحت است.

وظیفه. تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

صفرهای سمت چپ و کاماها را خط بزنید - اعداد زیر را دریافت می کنیم (اینها اعداد خواهند بود): 8; 3107; 225; 72008.

در کسر اول و دوم 3 رقم اعشار وجود دارد، در دوم - 2، و در سوم - به اندازه 4 رقم اعشار. مخرج ها را می گیریم: 1000; 1000; 100; 10000.

در نهایت، بیایید صورت و مخرج را در کسرهای معمولی ترکیب کنیم:

همانطور که از مثال ها مشاهده می شود، کسر حاصل اغلب می تواند کاهش یابد. اجازه دهید یک بار دیگر یادآوری کنم که هر کسر اعشاری را می توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد. تبدیل معکوس ممکن است همیشه امکان پذیر نباشد.

هنگام جمع کردن کسرهای اعشاری، باید آنها را یکی زیر دیگری بنویسید تا ارقام مشابه زیر یکدیگر قرار گیرند و کاما زیر کاما باشد و کسرها را به همان ترتیبی که اعداد طبیعی را اضافه می کنید، اضافه کنید. برای مثال، کسرهای 12.7 و 3.442 را اضافه می کنیم. کسر اول شامل یک رقم اعشار و کسر دوم شامل سه رقم است. برای انجام جمع، کسر اول را طوری تبدیل می کنیم که سه رقم بعد از نقطه اعشار وجود داشته باشد: , سپس

تفریق کسرهای اعشاری نیز به همین ترتیب انجام می شود. بیایید تفاوت بین اعداد 13.1 و 0.37 را پیدا کنیم:

هنگام ضرب کسرهای اعشاری کافی است اعداد داده شده را ضرب کنید، بدون توجه به کاما (مثل اعداد طبیعی) و در نتیجه به تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار با کاما از سمت راست جدا کنید. هر دو عامل در مجموع

مثلا 2.7 را در 1.3 ضرب کنیم. ما داریم. برای جدا کردن دو رقم سمت راست از کاما استفاده می کنیم (مجموع ارقام فاکتورهای بعد از نقطه اعشار دو است). در نتیجه 2.7 1.3 = 3.51 می گیریم.

اگر رقم کمتر از رقمی باشد که باید با کاما از هم جدا شوند، صفرهای از دست رفته در جلو نوشته می شوند، به عنوان مثال:

بیایید ضرب یک کسر اعشاری را در 10، 100، 1000 و غیره در نظر بگیریم. فرض کنید باید کسری 12.733 را در 10 ضرب کنیم. داریم . با جدا کردن سه رقم در سمت راست با یک کاما، به But. به معنای،

12733 10=127.33. بنابراین، ضرب یک کسر اعشاری در 10 به جابجایی نقطه اعشار یک رقم به سمت راست کاهش می یابد.

به طور کلی، برای ضرب یک کسر اعشاری در 10، 100، 1000، باید نقطه اعشار در این کسر را 1، 2، 3 رقم به سمت راست حرکت دهید و در صورت لزوم، تعداد معینی از صفر را به کسری اضافه کنید. درست). مثلا،

تقسیم کسری اعشاری بر یک عدد طبیعی مانند تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی انجام می شود و کاما در ضریب بعد از اتمام تقسیم جزء صحیح قرار می گیرد. بیایید 22.1 را بر 13 تقسیم کنیم:

اگر قسمت صحیح سود سهام باشد کمتر از مقسوم علیه، سپس جواب صفر عدد صحیح می شود، به عنوان مثال:

اکنون تقسیم اعشار بر اعشار را در نظر می گیریم. فرض کنید باید 2.576 را بر 1.12 تقسیم کنیم. برای انجام این کار، هم در تقسیم کننده و هم در تقسیم کننده، کاما را با تعداد ارقامی که بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه وجود دارد به سمت راست ببرید. در این مثالتوسط دو). به عبارت دیگر، اگر تقسیم و مقسوم علیه را در 100 ضرب کنیم، ضریب تغییر نمی کند. سپس باید کسر 257.6 را بر عدد طبیعی 112 تقسیم کنید، یعنی مشکل به حالتی که قبلاً در نظر گرفته شده کاهش می یابد:

برای تقسیم یک کسر اعشاری بر، باید نقطه اعشار این کسری را به سمت چپ منتقل کنید (و در صورت لزوم، تعداد صفرهای لازم را به سمت چپ اضافه کنید). مثلا، .

با توجه به اعداد طبیعیتقسیم همیشه امکان پذیر نیست، و همیشه برای کسرهای اعشاری امکان پذیر نیست. به عنوان مثال، 2.8 را بر 0.09 تقسیم کنید:

نتیجه یک کسر اعشاری نامتناهی است. در چنین مواردی به سراغ کسرهای معمولی می رویم. مثلا:

ممکن است معلوم شود که برخی از اعداد به صورت کسر معمولی، برخی دیگر به صورت اعداد مختلط و برخی دیگر به صورت اعشاری نوشته می شوند. هنگام انجام عملیات بر روی چنین اعدادی، می توانید به روش های مختلف عمل کنید: یا کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید و قوانین را برای عملیات بر روی آن اعمال کنید. کسرهای معمولی، یا کسرها و اعداد مختلط را به اعشار تبدیل کنید (در صورت امکان) و قوانین عملکرد را اعمال کنید اعداد اعشاری.

کسرهای اعشاری همان کسرهای معمولی هستند، اما به اصطلاح به صورت اعشاری هستند. نماد اعشاری برای کسری با مخرج 10، 100، 1000 و غیره استفاده می شود. به جای کسر، 1/10; 1/100; 1/1000; ... نوشتن 0.1; 0.01; 0.001;... .

به عنوان مثال، 0.7 ( نقطه صفر هفت) کسری 7/10 است. 5.43 ( پنج امتیاز چهل و سه) یک کسر مختلط 5 43/100 (یا، که همان، کسری نادرست 543/100) است.

ممکن است بلافاصله پس از نقطه اعشار یک یا چند صفر وجود داشته باشد: 1.03 کسر 1 3/100 است. 17.0087 کسر 17 87/10000 است. قانون کلیاین است: مخرج کسری مشترک باید به تعداد اعداد بعد از اعشار در کسر اعشاری صفر داشته باشد..

کسر اعشاری ممکن است به یک یا چند صفر ختم شود. به نظر می رسد که این صفرها "اضافی" هستند - آنها را می توان به سادگی حذف کرد: 1.30 = 1.3. 5.4600 = 5.46; 3000 = 3. بفهمید چرا اینطور است؟

اعشار به طور طبیعی هنگام تقسیم بر اعداد "گرد" به وجود می آیند - 10، 100، 1000، ... حتماً مثال های زیر را درک کنید:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

آیا متوجه الگوی اینجا هستید؟ سعی کنید آن را فرموله کنید. اگر یک کسر اعشاری را در 10، 100، 1000 ضرب کنیم چه اتفاقی می افتد؟

برای تبدیل یک کسر معمولی به اعشار، باید آن را به مقداری مخرج "گرد" کاهش دهید:

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5 و غیره

اضافه کردن اعداد اعشاری بسیار ساده تر از جمع کردن کسری است. جمع به همان روشی که با اعداد معمولی انجام می شود - با توجه به ارقام مربوطه. هنگام اضافه کردن در یک ستون، عبارت ها باید طوری نوشته شوند که کاماهای آنها روی یک عمود باشد. ویرگول جمع نیز روی همان عمود خواهد بود. تفریق کسرهای اعشاری دقیقاً به همین ترتیب انجام می شود.

اگر هنگام جمع یا تفریق در یکی از کسرها، تعداد ارقام بعد از اعشار کمتر از دیگری باشد، باید تعداد صفرهای لازم را به انتهای این کسر اضافه کرد. شما نمی توانید این صفرها را اضافه کنید، بلکه به سادگی آنها را در ذهن خود تصور کنید.

هنگام ضرب کسرهای اعشاری، آنها باید دوباره به صورت اعداد معمولی ضرب شوند (دیگر لازم نیست کاما زیر نقطه اعشار بنویسید). در نتیجه، باید تعدادی از ارقام را با کاما از هم جدا کنید که مجموع رقم های اعشار در هر دو عامل است.

هنگام تقسیم کسرهای اعشاری، می توانید به طور همزمان نقطه اعشار در تقسیم و مقسوم علیه را به همان تعداد مکان به سمت راست حرکت دهید: این ضریب را تغییر نمی دهد:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

توضیح دهید که چرا این چنین است؟

1. یک مربع 10*10 بکشید. قسمتی از آن را به اندازه زیر رنگ کنید: الف) 0.02; ب) 0.7; ج) 0.57; د) 0.91; ه) 0.135 مساحت کل مربع.
2. مربع 2.43 چیست؟ آن را در یک تصویر بکشید.
3. عدد 37 را بر 10 تقسیم کنید. 795; 4 2.3; 65.27; 0.48 و نتیجه را به صورت کسری اعشاری بنویسید. همین اعداد را بر 100 و 1000 تقسیم کنید.
4. اعداد 4.6 را در 10 ضرب کنید. 6.52; 23.095; 0.01999. همین اعداد را در 100 و 1000 ضرب کنید.
5. اعشار را به صورت کسری نشان داده و آن را کاهش دهید:
   الف) 0.5؛ 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   ب) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   ج) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   د) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. ارائه به صورت کسر مختلط: 1.5; 3.2; 6.6; 2.25; 10.75; 4.125; 23.005; 7.0125.
7. کسری را به صورت اعشاری بیان کنید:
   الف) 1/2؛ 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   ب) 1/4؛ 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   ج) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   د) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. حاصل جمع را بیابید: الف) 7.3+12.8; ب) 65.14+49.76; ج) 3.762+12.85; د) 85.4+129.756; ه) 1.44+2.56.
9. یک را به عنوان مجموع دو اعشار در نظر بگیرید. بیست راه دیگر برای این نمایش پیدا کنید.
10. تفاوت را بیابید: الف) 13.4–8.7. ب) 74.52-27.04; ج) 49.736-43.45; د) 127.24-93.883; ه) 67-52.07; ه) 35.24-34.9975.
11. محصول را بیابید: a) 7.6·3.8; ب) 4.8·12.5; ج) 2.39·7.4; د) 3.74·9.65.

§ 31. مسائل و مثال برای تمام عملیات با کسر اعشاری.

این مراحل را دنبال کنید:

767. ضریب تقسیم را پیدا کنید:

772. محاسبه:

پیدا کردن ایکس ، اگر:

776. عدد مجهول در اختلاف اعداد 1 و 0.57 ضرب شد و حاصل ضرب 3.44 شد. شماره ناشناخته را پیدا کنید.

777. میزان تاریخ نامعلومو 0.9 در اختلاف بین 1 و 0.4 ضرب شد و حاصل ضرب 2.412 شد. شماره ناشناخته را پیدا کنید.

778. با استفاده از داده های نمودار مربوط به ذوب آهن در RSFSR (شکل 36)، مسئله ای ایجاد کنید که برای حل آن باید اعمال جمع، تفریق و تقسیم را اعمال کنید.

779. 1) طول کانال سوئز 165.8 کیلومتر طول کانال پاناما 84.7 کیلومتر کمتر از کانال سوئز است و طول کانال دریای سفید - بالتیک 145.9 کیلومتر است. طولانی ترپاناما طول کانال دریای سفید-بالتیک چقدر است؟

2) متروی مسکو (تا سال 1959) در 5 مرحله ساخته شد. طول مرحله اول مترو 11.6 کیلومتر، دوم -14.9 کیلومتر، طول مرحله سوم 1.1 کیلومتر کمتر از طول مرحله دوم، طول مرحله چهارم 9.6 کیلومتر بیشتر از مرحله سوم است. ، و طول مرحله پنجم 11.5 کیلومتر کمتر چهارم است. طول مترو مسکو در آغاز سال 1959 چقدر بود؟

780. 1) بیشترین عمق اقیانوس اطلس 8.5 کیلومتر، بیشترین عمق اقیانوس آرام 2.3 کیلومتر بیشتر از عمق اقیانوس اطلس و بزرگترین عمق اقیانوس منجمد شمالی 2 برابر کمتر از بزرگترین عمق است. اقیانوس آرام. بیشترین عمق اقیانوس منجمد شمالی چقدر است؟

2) ماشین Moskvich در هر 100 کیلومتر 9 لیتر بنزین مصرف می کند، ماشین Pobeda 4.5 لیتر بیشتر از Moskvich و Volga 1.1 برابر Pobeda مصرف می کند. یک ماشین ولگا در هر 1 کیلومتر چقدر بنزین مصرف می کند؟ (پاسخ را به نزدیکترین 0.01 لیتر گرد کنید.)

781. 1) شاگرد در تعطیلات نزد پدربزرگش رفت. او ۸.۵ ساعت با راه آهن و ۱.۵ ساعت از ایستگاه با اسب رفت. او در مجموع 440 کیلومتر را طی کرد. اگر دانش آموز با سرعت 10 کیلومتر در ساعت سوار اسب شود با چه سرعتی در راه آهن حرکت می کرد؟

2) کشاورز دسته جمعی باید در نقطه ای واقع در فاصله 134.7 کیلومتری خانه خود قرار می گرفت. او 2.4 ساعت با سرعت متوسط ​​55 کیلومتر در ساعت سوار اتوبوس شد و بقیه مسیر را با سرعت 4.5 کیلومتر در ساعت پیاده روی کرد. چقدر راه رفت؟

782. 1) در طول تابستان، یک گوفر حدود 0.12 سنت نان را از بین می برد. در بهار، پیشگامان 1250 سنجاب زمینی را در 37.5 هکتار از بین بردند. دانش آموزان مدرسه چقدر نان برای مزرعه جمعی پس انداز کردند؟ در هر هکتار چقدر نان ذخیره شده وجود دارد؟

2) مزرعه جمعی محاسبه کرد که با نابودی گوفرها در مساحت 15 هکتار زمین زراعی، دانش آموزان مدرسه 3.6 تن غله را ذخیره کردند. اگر یک گوفر در تابستان 0.012 تن غلات را از بین ببرد، به طور متوسط ​​در هر هکتار زمین چند گوفر از بین می رود؟

783. 1) هنگام آرد كردن گندم 1/0 وزن آن كم مي شود و هنگام پخت نان 4/0 وزن آرد حاصل مي شود. از 2.5 تن گندم چه مقدار نان پخته تولید می شود؟

2) مزرعه جمعی 560 تن تخمه آفتابگردان جمع آوری کرد. چند تا روغن آفتابگرداناگر وزن دانه 0.7 وزن دانه آفتابگردان و وزن روغن حاصل 0.25 وزن دانه باشد از دانه های برداشت شده تهیه می شود؟

784. 1) بازده خامه از شیر 0.16 وزن شیر و بازده کره از خامه 0.25 وزن خامه است. چه مقدار شیر (از نظر وزن) برای تولید 1 قنت کره لازم است؟

2) اگر در هنگام آماده سازی برای خشک کردن 0.5 وزن باقی می ماند و در هنگام خشک کردن 0.1 از وزن قارچ فرآوری شده باقی می ماند، برای بدست آوردن 1 کیلوگرم قارچ خشک چند کیلوگرم قارچ باید جمع آوری شود؟

785. 1) اراضی تخصیص یافته به مزرعه به شرح زیر مورد استفاده قرار می گیرد: 55 درصد آن را زمین زراعی، 35 درصد را مراتع و مابقی زمین را به میزان 330.2 هکتار به باغ و باغچه اختصاص داده شده است. املاک کشاورزان دسته جمعی چه مقدار زمین در مزرعه جمعی وجود دارد؟

2) مزرعه جمعی 75٪ از کل سطح زیر کشت را با محصولات غلات، 20٪ با سبزیجات و بقیه سطح را با علف های علوفه کاشت. اگر 60 هکتار علوفه بکارد چه مقدار سطح زیر کشت داشت؟

786. 1) اگر در هر هکتار 1.5 قبض بذر کاشته شود، برای کاشت مزرعه ای به شکل مستطیل به طول 875 متر و عرض 640 متر به چند قنت بذر نیاز است؟

2) اگر محیط آن 1.6 کیلومتر باشد، برای کاشت یک مزرعه مستطیلی به چند قنات بذر نیاز است؟ عرض مزرعه 300 متر برای کاشت 1 هکتار، 5/1 قین بذر مورد نیاز است.

787. چند تا رکورد شکل مربعبا ضلع 0.2 dm در یک مستطیل به اندازه 0.4 dm x 10 dm قرار می گیرد؟

788. سالن مطالعه دارای ابعاد 9.6 متر در 5 متر در 4.5 متر است اگر برای هر نفر 3 متر مکعب صندلی لازم است؟ متر هوا؟

789. 1) تراکتور با تریلر چهار چمن زنی در 8 ساعت چه منطقه ای از چمن زار را می کند اگر عرض کار هر چمن زنی 1.56 متر و سرعت تراکتور 4.5 کیلومتر در ساعت باشد؟ (زمان توقف در نظر گرفته نمی شود.) (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 هکتار گرد کنید.)

2) عرض کار سبزی کار تراکتوری 2.8 متر است که با این بذرکار در 8 ساعت چه مساحتی قابل کاشت است. با سرعت 5 کیلومتر در ساعت کار کنید؟

790. 1) خروجی یک گاوآهن تراکتور سه شیار را در 10 ساعت بیابید. کار، اگر سرعت تراکتور 5 کیلومتر در ساعت باشد، گرفتن یک بدنه 35 سانتی متر است و اتلاف وقت 0.1 از کل زمان صرف شده بود. (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 هکتار گرد کنید.)

2) خروجی یک گاوآهن تراکتور پنج شیار را در 6 ساعت بیابید. کار، اگر سرعت تراکتور 4.5 کیلومتر در ساعت باشد، گرفتن یک بدنه 30 سانتی متر است و اتلاف وقت 0.1 از کل زمان صرف شده بود. (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 هکتار گرد کنید.)

791. مصرف آب در هر 5 کیلومتر سفر برای یک لکوموتیو بخار یک قطار مسافربری 0.75 تن است که مخزن آب مناقصه 16.5 تن آب دارد. اگر باک تا 0.9 ظرفیت قطار پر شود چند کیلومتر آب کافی برای سفر خواهد داشت؟

792. سایدینگ می تواند تنها 120 واگن باری با طول متوسط ​​7.6 متر را در خود جای دهد اگر 24 واگن باری بیشتر در این مسیر قرار گیرد، چند واگن مسافری چهار محور هر کدام به طول 19.2 متر می توانند در این مسیر قرار گیرند؟

793. برای استحکام خاکریز راه آهن تقویت شیب ها با کاشت توصیه می شود گیاهان مزرعه. برای هر متر مربع خاکریز، 2.8 گرم بذر مورد نیاز است که هزینه آن 0.25 روبل است. برای 1 کیلوگرم اگر هزینه کار 0.4 هزینه بذر باشد، برای کاشت 1.02 هکتار شیب چقدر هزینه می شود؟ (پاسخ را به نزدیکترین 1 روبل گرد کنید.)

794. آجرکاریبه ایستگاه تحویل داده شد راه آهنآجر 25 اسب و 10 کامیون برای انتقال آجرها کار کردند. هر اسب در هر سفر 0.7 تن حمل می کرد و 4 سفر در روز انجام می داد. هر وسیله نقلیه 2.5 تن در هر سفر حمل می کرد و 15 سفر در روز انجام می داد. حمل و نقل 4 روز به طول انجامید. چند آجر به ایستگاه تحویل داده شد اگر وزن متوسطیک آجر 3.75 کیلوگرم؟ (پاسخ را به نزدیکترین 1000 واحد گرد کنید.)

795. ذخایر آرد بین سه نانوایی توزیع شد: نانوایی اول 0.4 از کل موجودی، دومی 0.4 از باقیمانده و نانوایی سوم 1.6 تن آرد کمتر از نانوایی اول دریافت کرد. در کل چقدر آرد توزیع شد؟

796. در سال دوم مؤسسه 176 نفر، در سال سوم 0.875 نفر از این تعداد و در سال اول یک و نیم برابر بیشتر از سال سوم تحصیل می کنند. تعداد دانشجویان سال اول، دوم و سوم 0.75 از کل دانشجویان این مؤسسه بوده است. چه تعداد دانشجو در مؤسسه حضور داشتند؟

___________

797. میانگین حسابی را پیدا کنید:

1) دو عدد: 56.8 و 53.4. 705.3 و 707.5;

2) سه عدد: 46.5; 37.8 و 36; 0.84; 0.69 و 0.81;

3) چهار عدد: 5.48; 1.36; 3.24 و 2.04.

798. 1) دما در صبح 13.6 درجه، ظهر 25.5 درجه و در عصر 15.2 درجه بود. میانگین دمای این روز را محاسبه کنید.

2) میانگین دمای هفته چقدر است، اگر در طول هفته دماسنج نشان داد: 21 درجه; 20.3 درجه؛ 22.2 درجه؛ 23.5 درجه؛ 21.1 درجه; 22.1 درجه; 20.8 درجه

799. 1) تیم مدرسه در روز اول 4.2 هکتار چغندر، روز دوم 3.9 هکتار و روز سوم 4.5 هکتار چغندر علف های هرز کردند. میانگین خروجی تیم در روز را تعیین کنید.

2) تعیین زمان استاندارد برای تولید قسمت جدید 3 ترنر عرضه شد. قسمت اول در 3.2 دقیقه، دومی در 3.8 دقیقه و سومی در 4.1 دقیقه تولید شد. استاندارد زمانی که برای ساخت قطعه تعیین شده است را محاسبه کنید.

800. 1) میانگین حسابی دو عدد 36.4 است. یکی از این اعداد 36.8 است. یه چیز دیگه پیدا کن

2) دمای هوا سه بار در روز صبح، ظهر و عصر اندازه گیری شد. دمای هوا را در صبح در صورتی که ظهر 28.4 درجه، عصر 18.2 درجه بوده و میانگین دمای روز 20.4 درجه باشد را بیابید.

801. 1) خودرو در دو ساعت اول 98.5 کیلومتر و در سه ساعت بعد 138 کیلومتر را طی کرد. میانگین خودرو در ساعت چند کیلومتر پیمود؟

2) صید آزمایشی و وزن ماهی کپور یک ساله نشان داد که از 10 ماهی کپور، 4 کپور 0.6 کیلوگرم، 3 کپور 0.65 کیلوگرم، 2 کپور 0.7 کیلوگرم و 1 کپور 0.8 کیلوگرم وزن داشتند. میانگین وزن ماهی کپور یک ساله چقدر است؟

802. 1) برای 2 لیتر شربت به قیمت 1.05 روبل. برای 1 لیتر 8 لیتر آب اضافه می شود. قیمت 1 لیتر آب حاصل با شربت چقدر است؟

2) مهماندار یک قوطی 0.5 لیتری کنسرو گاوزبان به قیمت 36 کوپک خرید. و با 1.5 لیتر آب می جوشانند. یک بشقاب گل گاوزبان اگر حجم آن 0.5 لیتر باشد چقدر قیمت دارد؟

803. کار آزمایشگاهی"اندازه گیری فاصله بین دو نقطه"

قرار 1. اندازه گیری با متر (نوار اندازه گیری). کلاس به واحدهای سه نفره تقسیم می شود. لوازم جانبی: 5-6 میله و 8-10 برچسب.

پیشرفت کار: 1) نقاط A و B مشخص شده و یک خط مستقیم بین آنها کشیده شده است (به کار 178 مراجعه کنید). 2) متر نوار را در امتداد خط مستقیم آویزان قرار دهید و هر بار انتهای متر را با یک برچسب علامت بزنید. قرار 2. اندازه گیری، مراحل کلاس به واحدهای سه نفره تقسیم می شود. هر دانش آموز با شمارش تعداد قدم های خود فاصله A تا B را طی می کند. با ضرب متوسط ​​طول گام خود در تعداد پله های حاصل، فاصله A تا B را پیدا می کنید.

قرار 3. اندازه گیری با چشم هر دانش آموز نقاشی می کشد دست چپبا شست برآمده (شکل 37) و هدایت می کند شستروی قطب به نقطه B (درخت در تصویر) به طوری که چشم چپ (نقطه A)، شست و نقطه B روی یک خط مستقیم قرار گیرند. بدون تغییر وضعیت، چشم چپ خود را ببندید و با انگشت راست به انگشت شست خود نگاه کنید. جابجایی حاصل را با چشم اندازه بگیرید و 10 برابر آن را افزایش دهید. این فاصله بین A تا B است.

_________________

804. 1) طبق سرشماری سال 1959، جمعیت اتحاد جماهیر شوروی 208.8 میلیون نفر و جمعیت روستایی 9.2 میلیون بیشتر از جمعیت شهری بود. در سال 1959 در اتحاد جماهیر شوروی چند شهر و چند جمعیت روستایی وجود داشت؟

2) طبق سرشماری سال 1913، جمعیت روسیه 159.2 میلیون نفر و جمعیت شهری 103.0 میلیون کمتر از جمعیت روستایی بوده است. جمعیت شهری و روستایی روسیه در سال 1913 چقدر بود؟

805. 1) طول سیم 24.5 متر است. طول هر قسمت چند متر است؟

2) مجموع دو عدد 100.05 است. یک عدد 97.06 بیشتر از دیگری است. این اعداد را پیدا کنید

806. 1) در سه انبار زغال سنگ 8656.2 تن زغال سنگ وجود دارد که در انبار دوم 247.3 تن زغال سنگ نسبت به انبار اول و در انبار سوم 50.8 تن بیشتر از انبار دوم وجود دارد. در هر انبار چند تن زغال سنگ وجود دارد؟

2) مجموع سه عدد 446.73 است. شماره اول کمتر از دوبا 73.17 و بیشتر از سوم با 32.22. این اعداد را پیدا کنید

807. 1) قایق با سرعت 14.5 کیلومتر در ساعت در امتداد رودخانه و با سرعت 9.5 کیلومتر در ساعت بر خلاف جریان حرکت می کرد. سرعت قایق در آب ساکن چقدر است و سرعت جریان رودخانه چقدر است؟

2) کشتی بخار 85.6 کیلومتر در امتداد رودخانه در 4 ساعت و 46.2 کیلومتر بر خلاف جریان را در 3 ساعت طی کرد. سرعت قایق بخار در آب ساکن چقدر است و سرعت جریان رودخانه چقدر است؟

_________

808. 1) دو کشتی بخار 3500 تن بار تحویل دادند و یک کشتی بخار 1.5 برابر بار دیگر را تحویل داد. هر کشتی چقدر بار حمل می کرد؟

2) مساحت دو اتاق 37.2 متر مربع است. متراژ یک اتاق 2 برابر بزرگتر از دیگری است. مساحت هر اتاق چقدر است؟

809. 1) از دو آبادی که فاصله آنها 32.4 کیلومتر است، یک موتورسوار و یک دوچرخه سوار به طور همزمان به سمت یکدیگر حرکت کردند. اگر سرعت موتورسوار 4 برابر سرعت دوچرخه سوار باشد هر کدام از آنها قبل از جلسه چند کیلومتر را طی خواهند کرد؟

2) دو عدد را پیدا کنید که مجموع آنها 26.35 و ضریب تقسیم یک عدد بر دیگری 7.5 باشد.

810. 1) این کارخانه سه نوع محموله با وزن 19.2 تن ارسال کرد که وزن محموله نوع اول سه برابر وزن محموله نوع دوم و وزن محموله نوع سوم نصف بود. به عنوان وزن نوع اول و دوم محموله ترکیبی. وزن هر نوع محموله چقدر است؟

2) طی سه ماه، تیمی از معدنچیان 52.5 هزار تن سنگ آهن استخراج کردند. در ماه مارس 1.3 برابر، در فوریه 1.2 برابر بیشتر از ژانویه تولید شد. خدمه ماهانه چقدر سنگ معدن استخراج می کردند؟

811. 1) خط لوله گاز ساراتوف - مسکو 672 کیلومتر طولانی تر از کانال مسکو است. اگر طول خط لوله گاز 6.25 برابر بیشتر از طول کانال مسکو باشد، طول هر دو سازه را بیابید.

2) طول رودخانه دون 3.934 برابر بیشتر از طول رودخانه مسکو است. اگر طول رودخانه دان 1467 کیلومتر بیشتر از طول رودخانه مسکو باشد، طول هر رودخانه را بیابید.

812. 1) اختلاف دو عدد 5.2 و ضریب تقسیم یک عدد بر عدد دیگر 5 است. این اعداد را پیدا کنید.

2) اختلاف بین دو عدد 0.96 و ضریب آنها 1.2 است. این اعداد را پیدا کنید

813. 1) یک عدد 0.3 کمتر از دیگری است و 0.75 آن است. این اعداد را پیدا کنید

2) یک عدد 3.9 بیشتر از عدد دیگر است. اگر عدد کوچکتر دو برابر شود 0.5 عدد بزرگتر می شود. این اعداد را پیدا کنید

814. 1) مزرعه جمعی 2600 هکتار زمین گندم و چاودار کاشت. چند هکتار از زمین گندم و چند هکتار چاودار کشت شده است، در صورتی که 8/0 سطح زیر کشت گندم معادل 5/0 سطح زیر کشت چاودار باشد؟

2) مجموعه دو پسر با هم بالغ بر 660 تمبر است. اگر 0.5 از تمبرهای پسر اول برابر با 0.6 از مجموعه پسر دوم باشد، مجموعه هر پسر از چند تمبر تشکیل شده است؟

815. دو دانش آموز با هم 5.4 روبل داشتند. بعد از اینکه اولی 0.75 از پول خود را خرج کرد و دومی 0.8 از پول خود را به همان میزان پول برای آنها باقی ماند. هر دانش آموز چقدر پول داشت؟

816. 1) دو کشتی بخار از دو بندر به سمت یکدیگر حرکت می کنند که فاصله آنها 501.9 کیلومتر است. اگر سرعت کشتی اول 25.5 کیلومتر در ساعت و سرعت کشتی دوم 22.3 کیلومتر در ساعت باشد چقدر طول می کشد تا به هم برسند؟

2) دو قطار از دو نقطه به سمت یکدیگر حرکت می کنند که فاصله آنها 382.2 کیلومتر است. اگر میانگین سرعت قطار اول 52.8 کیلومتر در ساعت و قطار دوم 56.4 کیلومتر در ساعت باشد چقدر طول می کشد تا به هم برسند؟

817. 1) دو خودرو همزمان از دو شهر در مسافت 462 کیلومتری خارج شدند و پس از 3.5 ساعت به هم رسیدند. اگر سرعت ماشین اول 12 کیلومتر در ساعت بیشتر از سرعت ماشین دوم بود، سرعت هر ماشین را پیدا کنید.

2) از دو شهرک ها، فاصله بین آنها 63 کیلومتر است، یک موتورسوار و یک دوچرخه سوار به طور همزمان به سمت یکدیگر حرکت کردند و پس از 1.2 ساعت به هم رسیدند. اگر دوچرخه سواری با سرعت 27.5 کیلومتر در ساعت کمتر از سرعت موتورسوار حرکت می کرد، سرعت موتورسوار را بیابید.

818. دانش آموز متوجه شد که قطاری متشکل از یک لوکوموتیو بخار و 40 واگن به مدت 35 ثانیه از کنار او عبور می کند. اگر طول لکوموتیو 18.5 متر و طول واگن 6.2 متر باشد سرعت قطار را در ساعت تعیین کنید (پاسخ را با دقت 1 کیلومتر در ساعت بدهید.)

819. 1) دوچرخه سواری با سرعت متوسط ​​12.4 کیلومتر در ساعت A را به مقصد B ترک کرد. بعد از 3 ساعت و 15 دقیقه. دوچرخه سوار دیگری با سرعت متوسط ​​10.8 کیلومتر در ساعت از B به سمت او حرکت کرد. اگر 0.32 فاصله A و B 76 کیلومتر باشد بعد از چند ساعت و در چه فاصله ای از A به هم می رسند؟

2) از شهرهای A و B که فاصله بین آنها 164.7 کیلومتر است، یک کامیون از شهر A و یک خودرو از شهر B به سمت یکدیگر حرکت کردند سرعت کامیون 36 کیلومتر و سرعت ماشین 1.25 برابر است بالاتر ماشین سواری 1.2 ساعت دیرتر از کامیون حرکت کرد. خودروی سواری پس از چه مدت و در چه فاصله ای از شهر B با کامیون برخورد می کند؟

820. دو کشتی همزمان از یک بندر خارج شده و در یک جهت حرکت می کنند. کشتی بخار اول در هر 1.5 ساعت 37.5 کیلومتر و کشتی بخار دوم هر 2 ساعت 45 کیلومتر را طی می کند. چقدر طول می کشد تا کشتی اول 10 کیلومتر از کشتی دوم فاصله داشته باشد؟

821. یک عابر پیاده ابتدا یک نقطه را ترک کرد و 1.5 ساعت پس از خروج یک دوچرخه سوار در همان جهت حرکت کرد. اگر عابر پیاده با سرعت 4.25 کیلومتر در ساعت و دوچرخه سوار با سرعت 17 کیلومتر در ساعت حرکت می کرد، دوچرخه سوار در چه فاصله ای از نقطه به عابر پیاده رسید؟

822. قطار ساعت 6 از مسکو به سمت لنینگراد حرکت کرد. 10 دقیقه. صبح و با سرعت متوسط ​​50 کیلومتر در ساعت راه رفت. بعداً یک هواپیمای مسافربری از مسکو به لنینگراد برخاست و همزمان با ورود قطار به لنینگراد رسید. میانگین سرعت هواپیما 325 کیلومتر در ساعت و فاصله مسکو تا لنینگراد 650 کیلومتر بود. چه زمانی هواپیما از مسکو بلند شد؟

823. این کشتی بخار در طول رودخانه 5 ساعت و بر خلاف جریان 3 ساعت حرکت کرد و تنها 165 کیلومتر را طی کرد. در صورتي كه سرعت جريان رودخانه 2.5 كيلومتر در ساعت باشد چند كيلومتر پايين دست و چند كيلومتر بر خلاف جريان پيموده است؟

824. قطار A را ترک کرده است و باید در ساعت معینی به B برسد. با گذراندن نیمی از راه و انجام 0.8 کیلومتر در 1 دقیقه، قطار به مدت 0.25 ساعت متوقف شد. با افزایش بیشتر سرعت 100 متر در هر 1 میلیون، قطار به موقع به B رسید. فاصله بین A و B را پیدا کنید.

825. از مزرعه جمعی تا شهر 23 کیلومتر. یک پستچی با دوچرخه از شهر تا مزرعه جمعی با سرعت 12.5 کیلومتر در ساعت حرکت کرد. 0.4 ساعت پس از این، مدیر مزرعه جمعی سوار بر اسبی با سرعتی معادل 0.6 سرعت پستچی وارد شهر شد. چه مدت بعد از رفتنش کشاورز دسته جمعی با پستچی ملاقات می کند؟

826. خودرویی با سرعت 32 کیلومتر در ساعت از شهر A به سمت شهر B در 234 کیلومتری A حرکت کرد. 1.75 ساعت پس از این، اتومبیل دوم از شهر B به سمت اولین حرکت کرد که سرعت آن 1.225 برابر بیشتر از سرعت اول بود. چند ساعت بعد از حرکت، ماشین دوم با ماشین اول روبرو می شود؟

827. 1) یک تایپیست می تواند یک دست نوشته را در 1.6 ساعت و دیگری در 2.5 ساعت دوباره تایپ کند. چه مدت طول می کشد تا هر دو تایپیست این دست نوشته را با هم تایپ کنند؟ (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 ساعت گرد کنید.)

2) استخر با دو پمپ با قدرت متفاوت پر شده است. پمپ اول که به تنهایی کار می کند، می تواند استخر را در 3.2 ساعت پر کند و دومی در 4 ساعت. اگر این پمپ ها به طور همزمان کار کنند چقدر طول می کشد تا استخر پر شود؟ (پاسخ به نزدیکترین 0.1 گرد کنید.)

828. 1) یک تیم می تواند یک سفارش را در 8 روز تکمیل کند. دیگری برای تکمیل این سفارش به 0.5 زمان نیاز دارد. تیم سوم می تواند این سفارش را در 5 روز تکمیل کند. در چند روز کل سفارش با مشترک تکمیل می شود کار سه نفرهتیپ ها؟ (جواب گرد به نزدیکترین 0.1 روز.)

2) کارگر اول می تواند سفارش را در 4 ساعت، دومی 1.25 برابر سریعتر و سومی در 5 ساعت تکمیل کند. چند ساعت طول می کشد تا سفارش تکمیل شود؟ همکاری با یکدیگرسه کارگر؟ (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 ساعت گرد کنید.)

829. دو ماشین در حال تمیز کردن خیابان هستند. اولین آنها می تواند کل خیابان را در 40 دقیقه تمیز کند، دومی به 75٪ از زمان اول نیاز دارد. هر دو دستگاه همزمان شروع به کار کردند. بعد از 0.25 ساعت کار با هم، دستگاه دوم از کار افتاد. چه مدت بعد از آن اولین ماشین تمیز کردن خیابان را به پایان رساند؟

830. 1) یکی از اضلاع مثلث 2.25 سانتی متر، دومی 3.5 سانتی متر از اولی و سومی 1.25 سانتی متر از دومی کوچکتر است. محیط مثلث را پیدا کنید.

2) یکی از ضلع های مثلث 4.5 سانتی متر، دومی 1.4 سانتی متر از اولی کمتر و ضلع سوم برابر با نصف مجموع دو ضلع اول است. محیط مثلث چقدر است؟

831 . 1) قاعده مثلث 4.5 سانتی متر و ارتفاع آن 1.5 سانتی متر کمتر است. مساحت مثلث را پیدا کنید.

2) ارتفاع مثلث 4.25 سانتی متر و پایه آن 3 برابر بزرگتر است. مساحت مثلث را پیدا کنید. (پاسخ به نزدیکترین 0.1 گرد کنید.)

832. مساحت شکل های سایه دار را پیدا کنید (شکل 38).

833. کدام ناحیه بزرگتر است: مستطیل با اضلاع 5 سانتی متر و 4 سانتی متر، مربع با اضلاع 5/4 سانتی متر یا مثلثی که قاعده و ارتفاع آن هر کدام 6 سانتی متر است؟

834. طول اتاق 8.5 متر، عرض 5.6 متر و ارتفاع 2.75 متر است. اگر یک تکه کاغذ دیواری 7 متر طول و 0.75 متر عرض داشته باشد، برای پوشاندن این اتاق چند تکه کاغذ دیواری لازم است؟ (پاسخ را به نزدیکترین 1 عدد گرد کنید.)

835. بیرون نیاز به گچ کاری و سفید کاری دارد. کلبهکه ابعاد آن عبارتند از: طول 12 متر، عرض 8 متر و ارتفاع 4.5 متر اگر سفید کاری و گچ کاری 1 متر مربع باشد کار کنید. متر هزینه 24 کوپک؟ (پاسخ را به نزدیکترین 1 روبل گرد کنید.)

836. سطح و حجم اتاق خود را محاسبه کنید. با اندازه گیری ابعاد اتاق را بیابید.

837. این باغ به شکل مستطیل است که طول آن 32 متر و عرض آن 10 متر است و 0.05 متر از کل مساحت باغ با هویج کاشته شده است و بقیه باغ با سیب زمینی کاشته شده است. و پیاز، و منطقه ای 7 برابر بیشتر از پیاز با سیب زمینی کاشته می شود. چه مقدار زمین به صورت جداگانه با سیب زمینی، پیاز و هویج کاشته می شود؟

838. باغ سبزی به شکل مستطیل است که طول آن 30 متر و عرض 0.65 متر از کل مساحت باغ سبزی با سیب زمینی و بقیه با هویج و چغندر کاشته شده است. و 84 متر مربع زیر کشت چغندر می باشد. متر بیشتر از هویج چه مقدار زمین جداگانه برای سیب زمینی، چغندر و هویج وجود دارد؟

839. 1) جعبه مکعبی شکل از هر طرف با تخته سه لا پوشیده شده بود. اگر لبه مکعب 8.2 dm باشد چقدر تخته سه لا استفاده شده است؟ (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 dm مربع گرد کنید.)

2) برای رنگ آمیزی یک مکعب با لبه 28 سانتی متر چقدر رنگ لازم است، اگر در هر 1 متر مربع. سانتی متر 0.4 گرم رنگ استفاده می شود؟ (پاسخ، به نزدیکترین 0.1 کیلوگرم گرد کنید.)

840. طول شمش چدنی به شکل متوازی الاضلاع 24.5 سانتی متر، عرض 4.2 سانتی متر و ارتفاع 200 شمش چدنی 1 مکعب چقدر است. dm چدن 7.8 کیلوگرم وزن دارد؟ (جواب گرد به نزدیکترین 1 کیلوگرم.)

841. 1) طول جعبه (با درب) به شکل موازی مستطیل شکل 62.4 سانتی متر عرض 40.5 سانتی متر ارتفاع 30 سانتی متر است متر مربعاز تخته هایی که برای ساخت جعبه استفاده می شود، اگر ضایعات تخته ها 0.2 سطحی است که باید با تخته پوشانده شود؟ (پاسخ را به نزدیکترین 0.1 متر مربع گرد کنید.)

2) دیواره های پایین و کناری گودال که به شکل متوازی الاضلاع مستطیل شکل است باید با تخته پوشانده شود. طول گودال 72.5 متر، عرض 4.6 متر و ارتفاع 2.2 متر است در صورتی که ضایعات تخته ها 0.2 سطحی را که باید با تخته پوشانده شود، تشکیل می دهد؟ (پاسخ را به نزدیکترین 1 متر مربع گرد کنید.)

842. 1) طول زیرزمین به شکل موازی مستطیلی 20.5 متر، عرض 0.6 متر و ارتفاع 3.2 متر است. اگر 1 متر مکعب سیب زمینی 1.5 تن وزن داشته باشد چند تن سیب زمینی در زیرزمین جا می شود؟ (جواب گرد به نزدیکترین 1000.)

2) طول مخزن به شکل موازی مستطیلی 2.5 متر، عرض آن 0.4 متر و ارتفاع آن 1.4 متر است. اگر وزن نفت سفید در یک حجم 1 متر مکعب باشد چند تن نفت سفید در مخزن ریخته می شود؟ متر برابر با 0.9 تن است؟ (جواب گرد به نزدیکترین 0.1 تن.)

843. 1) چه مدت طول می کشد تا هوای اتاقی به طول 8.5 متر، عرض 6 متر و ارتفاع 3.2 متر از طریق پنجره در 1 ثانیه باشد. 0.1 متر مکعب عبور می کند. متر هوا؟

2) زمان لازم برای تازه کردن هوای اتاق خود را محاسبه کنید.

844. ابعاد بلوک بتنیبرای دیوارهای ساختمان به شرح زیر است: 2.7 متر x 1.4 متر x 0.5 متر فضای خالی 30 درصد از حجم بلوک را تشکیل می دهد. برای ساخت 100 بلوک از این دست چند متر مکعب بتن لازم است؟

845. آسانسور گریدر (ماشین حفر خندق) در 8 ساعت. این کار خندقی به عرض 30 سانتی متر، عمق 34 سانتی متر و طول 15 کیلومتر می سازد. اگر یک حفار بتواند 0.8 متر مکعب را حذف کند، چنین ماشینی جایگزین چند حفار می شود؟ متر در ساعت؟ (نتیجه را گرد کنید.)

846. این سطل به شکل یک متوازی الاضلاع مستطیلی به طول 12 متر و عرض 8 متر است. در این سطل، دانه را به ارتفاع 1.5 متر می ریزند تا بفهمند همه دانه ها چقدر وزن دارند، جعبه ای به طول 0.5 متر، عرض 0.5 متر و ارتفاع 0.4 متر برداشتند و آن را پر از دانه کردند. وزن دانه درون سطل چقدر بود اگر دانه درون جعبه 80 کیلوگرم وزن داشت؟

849. یک نمودار خطی از رشد جمعیت شهری در اتحاد جماهیر شوروی بسازید، اگر در سال 1913 جمعیت شهری 28.1 میلیون نفر بود، در سال 1926 - 24.7 میلیون نفر، در سال 1939 - 56.1 میلیون و در سال 1959 - 99، 8 میلیون نفر.

850. 1) در صورت نیاز به سفید کاری دیوارها و سقف و رنگ آمیزی کف کلاس خود را برای بازسازی کلاس خود تخمین بزنید. اطلاعات مربوط به تهیه تخمین (اندازه کلاس، هزینه سفیدکاری 1 متر مربع، هزینه رنگ آمیزی کف 1 متر مربع) را از سرایدار مدرسه بیابید.

2) برای کاشت در باغ، مدرسه نهال خرید: 30 درخت سیب به قیمت 0.65 روبل. در هر قطعه، 50 گیلاس برای 0.4 روبل. در هر قطعه، 40 بوته انگور فرنگی برای 0.2 روبل. و 100 بوته تمشک برای 0.03 روبل. پشت بوته با استفاده از مثال زیر یک فاکتور برای این خرید بنویسید:

پاسخ ها

این مقاله در مورد اعداد اعشاری. در اینجا به نماد اعشاری می پردازیم اعداد کسری، مفهوم کسر اعشاری را معرفی می کنیم و نمونه هایی از کسرهای اعشاری را بیان می کنیم. بعد در مورد ارقام کسرهای اعشاری صحبت می کنیم و نام ارقام را می گوییم. پس از این، ما بر روی کسرهای اعشاری بی نهایت تمرکز خواهیم کرد، اجازه دهید در مورد کسرهای تناوبی و غیر تناوبی صحبت کنیم. در مرحله بعد عملیات اصلی را با کسرهای اعشاری فهرست می کنیم. در پایان، اجازه دهید موقعیت کسرهای اعشاری را روی پرتو مختصات تعیین کنیم.

پیمایش صفحه.

نماد اعشاری یک عدد کسری

خواندن اعشار

بیایید چند کلمه در مورد قوانین خواندن کسرهای اعشاری بگوییم.

کسرهای اعشاری، که مربوط به کسرهای معمولی مناسب هستند، به همان روشی خوانده می شوند که این کسرهای معمولی، ابتدا فقط «عدد صحیح صفر» اضافه می شود. به عنوان مثال، کسر اعشاری 0.12 مربوط به کسری مشترک 12/100 است (بخوانید "دوازده صدم")، بنابراین، 0.12 به عنوان "نقطه صفر دوازدهم" خوانده می شود.

کسرهای اعشاری که با اعداد مختلط مطابقت دارند دقیقاً مشابه این اعداد مختلط خوانده می شوند. به عنوان مثال، کسر اعشاری 56.002 مطابق است شماره های درهمبنابراین، کسر اعشاری 56.002 به عنوان "پنجاه و شش نقطه دو هزارم" خوانده می شود.

مکان ها در اعشار

در نوشتن کسرهای اعشاری و همچنین در نوشتن اعداد طبیعی، معنای هر رقم به موقعیت آن بستگی دارد. در واقع، عدد 3 در کسر اعشاری 0.3 به معنای سه دهم، در کسری اعشاری 0.0003 - سه ده هزارم و در کسری اعشاری 30000.152 - سه ده هزارم است. بنابراین می توانیم در مورد آن صحبت کنیم ارقام اعشاریو همچنین در مورد ارقام در اعداد طبیعی.

نام ارقام در کسر اعشاری تا اعشار کاملاً با نام ارقام در اعداد طبیعی منطبق است. و نام اعشار بعد از اعشار از جدول زیر قابل مشاهده است.

به عنوان مثال، در کسر اعشاری 37.051، رقم 3 در محل ده ها، 7 در محل واحد، 0 در مکان دهم، 5 در مکان صدم، و 1 در مکان هزارم قرار دارد.

مکان ها در کسرهای اعشاری نیز از نظر تقدم متفاوت هستند. اگر در نوشتن کسری اعشاری از یک رقم به رقم دیگر از چپ به راست حرکت کنیم، از حرکت خواهیم کرد ارشدبه رتبه های پایین تر. به عنوان مثال، مکان صدها از مکان دهم قدیمی تر است و مکان میلیون ها از مکان صدم پایین تر است. در یک کسر اعشاری نهایی، می توانیم در مورد ارقام اصلی و کوچک صحبت کنیم. به عنوان مثال، در کسر اعشاری 604.9387 ارشد (بالاترین)مکان صدها مکان است و جوان (پایین ترین)- رقم ده هزارم.

برای کسرهای اعشاری، بسط به ارقام صورت می گیرد. شبیه به بسط با ارقام اعداد طبیعی است. برای مثال، بسط به ارقام اعشاری 45.6072 به صورت زیر است: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. و ویژگی های جمع از تجزیه یک کسر اعشاری به ارقام به شما امکان می دهد تا به سایر نمایش های این کسر اعشاری بروید، برای مثال 45.6072=45+0.6072، یا 45.6072=40.6+5.007+0.0002، یا 45.6072+0.0002، یا 45.6072+. 0.6.

اعشار پایانی

تا اینجا ما فقط در مورد کسرهای اعشاری صحبت کرده ایم که در نمادگذاری آنها تعداد محدودی از ارقام بعد از نقطه اعشار وجود دارد. چنین کسرهایی را اعشار محدود می نامند.

تعریف.

اعشار پایانی- اینها کسرهای اعشاری هستند که رکوردهای آنها شامل تعداد محدودی کاراکتر (رقم) است.

در اینجا چند نمونه از کسرهای اعشاری نهایی آورده شده است: 0.317، 3.5، 51.1020304958، 230،032.45.

با این حال، هر کسری را نمی توان به عنوان اعشار نهایی نشان داد. به عنوان مثال، کسر 5/13 را نمی توان با کسری مساوی با یکی از مخرج های 10، 100، ... جایگزین کرد، بنابراین نمی توان آن را به کسر اعشاری نهایی تبدیل کرد. در بخش تئوری، تبدیل کسرهای معمولی به اعشار بیشتر در این مورد صحبت خواهیم کرد.

اعشار نامتناهی: کسرهای تناوبی و کسرهای غیر تناوبی

در نوشتن کسر اعشاری بعد از نقطه اعشار، می توانید احتمال بی نهایت رقم را فرض کنید. در این صورت، به اصطلاح کسرهای اعشاری نامتناهی را در نظر خواهیم گرفت.

تعریف.

اعشار بی نهایت- این کسرهای اعشاری هستند که شامل بی نهایت رقم هستند.

واضح است که ما نمی‌توانیم کسرهای اعشاری نامتناهی را به صورت کامل بنویسیم، بنابراین در ضبط آنها فقط به تعداد محدود معینی از ارقام بعد از نقطه اعشار محدود می‌شویم و بیضی می‌گذاریم که نشان‌دهنده دنباله‌ای بی‌پایان از ارقام است. در اینجا چند نمونه از کسرهای اعشاری نامتناهی آورده شده است: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

اگر به دو کسر اعشاری نامتناهی آخر دقت کنید، در کسری 2.111111111... عدد 1 که بی انتها تکرار می شود به وضوح قابل مشاهده است و در کسری 69.74152152152...، با شروع از رقم سوم اعشار، یک گروه تکرار شونده از اعداد. 1، 5 و 2 به وضوح قابل مشاهده است. چنین کسرهای اعشاری نامتناهی دوره ای نامیده می شوند.

تعریف.

اعشار دوره ای(یا به سادگی کسرهای تناوبی) کسرهای اعشاری بی پایانی هستند که در ثبت آنها با شروع از یک رقم اعشاری معین، تعدادی یا گروهی از اعداد بی پایان تکرار می شوند که به آن می گویند. دوره کسری.

برای مثال دوره کسری تناوبی 2.111111111... رقم 1 است و دوره کسری 69.74152152152... گروهی از ارقام به شکل 152 است.

برای کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی، شکل خاصی از علامت گذاری اتخاذ می شود. برای اختصار، توافق کردیم که دوره را یک بار بنویسیم و آن را داخل پرانتز قرار دهیم. برای مثال، کسر تناوبی 2.111111111... به صورت 2،(1) و کسر تناوبی 69.74152152152... به صورت 69.74(152) نوشته می شود.

شایان ذکر است که برای یک کسر اعشاری تناوبی می توانید دوره های مختلفی را مشخص کنید. به عنوان مثال، کسر اعشاری تناوبی 0.73333... را می توان به عنوان کسری 0.7(3) با دوره 3، و همچنین به عنوان کسری 0.7(33) با دوره 33، و به همین ترتیب 0.7(333) در نظر گرفت. 0.7 (3333)، ... همچنین می توانید به کسر تناوبی 0.73333 ... مانند این نگاه کنید: 0.733(3) یا مانند این 0.73(333) و غیره. در اینجا، برای جلوگیری از ابهام و مغایرت، موافقت می کنیم که کوتاه ترین را دوره کسری اعشاری در نظر بگیریم. توالی های ممکنتکرار ارقام و شروع از نزدیکترین موقعیت به نقطه اعشار. یعنی دوره کسری اعشاری 0.73333... دنباله ای یک رقمی 3 در نظر گرفته خواهد شد و تناوب از موقعیت دوم بعد از نقطه اعشار شروع می شود، یعنی 0.73333...=0.7(3). مثال دیگر: کسر تناوبی 4.7412121212... دارای دوره 12 است، تناوب از رقم سوم بعد از نقطه اعشار شروع می شود، یعنی 4.7412121212...=4.74(12).

کسرهای تناوبی اعشاری نامتناهی با تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای اعشاری به دست می آیند که مخرج آنها شامل ضرایب اول غیر از 2 و 5 است.

در اینجا قابل ذکر است کسرهای تناوبی با دوره 9. اجازه دهید نمونه هایی از این کسرها را مثال بزنیم: 6.43(9) , 27، (9). این کسرها نماد دیگری برای کسرهای تناوبی با دوره 0 هستند و معمولاً با کسرهای تناوبی با دوره 0 جایگزین می شوند. برای انجام این کار، دوره 9 با دوره 0 جایگزین می شود و مقدار بالاترین رقم بعدی یک افزایش می یابد. به عنوان مثال، کسری با نقطه 9 از شکل 7.24(9) با کسری تناوبی با دوره 0 از شکل 7.25(0) یا کسری اعشاری نهایی برابر با 7.25 جایگزین می شود. مثال دیگر: 4,(9)=5,(0)=5. تساوی یک کسری با دوره 9 و کسر متناظر آن با دوره 0 به راحتی پس از جایگزینی این کسرهای اعشاری با کسرهای معمولی مساوی ایجاد می شود.

در نهایت، بیایید نگاهی دقیق‌تر به کسرهای اعشاری بینهایت بیندازیم، که شامل یک دنباله اعداد بی‌پایان تکرار شونده نیستند. به آنها غیر دوره ای می گویند.

تعریف.

اعشار غیر تکراری(یا به سادگی کسرهای غیر تناوبی) کسرهای اعشاری نامتناهی هستند که نقطه ندارند.

گاهی اوقات کسرهای غیر تناوبی شکلی شبیه کسرهای تناوبی دارند، مثلاً 8.02002000200002... یک کسر غیر تناوبی است. در این موارد، باید به ویژه مراقب باشید که تفاوت را متوجه شوید.

توجه داشته باشید که کسرهای غیر تناوبی به کسرهای معمولی تبدیل نمی شوند.

عملیات با اعشار

یکی از عملیات با کسرهای اعشاری مقایسه است و چهار تابع اصلی حسابی نیز تعریف شده است. عملیات با اعشار: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. بیایید هر یک از اعمال با کسرهای اعشاری را جداگانه در نظر بگیریم.

مقایسه اعداد اعشاریاساساً بر اساس مقایسه کسرهای معمولی مربوط به کسرهای اعشاری مورد مقایسه است. با این حال، تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی یک فرآیند نسبتاً کار فشرده است، و کسرهای غیر تناوبی نامتناهی را نمی توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد، بنابراین استفاده از مقایسه مکانی کسری اعشاری راحت است. مقایسه مکان کسری اعشاری مشابه مقایسه اعداد طبیعی است. برای اطلاعات دقیق تر، مطالعه مقاله را توصیه می کنیم: مقایسه کسری اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

بیایید به مرحله بعدی برویم - ضرب اعشار. ضرب کسرهای اعشاری محدود به طور مشابه با تفریق کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل های ضرب در ستونی از اعداد طبیعی انجام می شود. در مورد کسرهای تناوبی، ضرب را می توان به ضرب کسرهای معمولی تقلیل داد. به نوبه خود، ضرب کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی پس از گرد شدن آنها به ضرب کسرهای اعشاری محدود کاهش می یابد. ما برای مطالعه بیشتر مطالب در مقاله توصیه می کنیم: ضرب کسرهای اعشاری، قوانین، مثال ها، راه حل ها.

اعداد بر روی یک پرتو مختصات

بین نقاط و اعشار مطابقت یک به یک وجود دارد.

بیایید بفهمیم که چگونه نقاطی در پرتو مختصات ساخته می شوند که با کسر اعشاری داده شده مطابقت دارند.

می‌توانیم کسرهای اعشاری متناهی و کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی را با کسرهای معمولی مساوی جایگزین کنیم و سپس کسرهای معمولی مربوطه را روی پرتو مختصات بسازیم. به عنوان مثال، کسر اعشاری 1.4 مطابق با کسری مشترک 14/10 است، بنابراین نقطه با مختصات 1.4 از مبدأ در جهت مثبت توسط 14 بخش برابر با یک دهم قطعه واحد حذف می شود.

کسرهای اعشاری را می توان بر روی یک پرتو مختصات علامت گذاری کرد که از تجزیه یک کسر اعشاری معین به ارقام شروع می شود. برای مثال، اجازه دهید یک نقطه با مختصات 16.3007 بسازیم، زیرا 16.3007=16+0.3+0.0007، سپس در این نقطهمی توانید با کنار گذاشتن متوالی 16 قطعه واحد از مبدا، 3 قطعه که طول آنها برابر با یک دهم قطعه واحد است و 7 قطعه که طول آنها برابر با ده هزارم قطعه واحد است، به آنجا برسید.

این شیوه ساخت اعداد اعشاریدر پرتو مختصات به شما این امکان را می دهد که تا جایی که دوست دارید به نقطه مربوط به کسر اعشاری بی نهایت نزدیک شوید.

گاهی اوقات می توان نقطه مربوط به کسر اعشاری نامتناهی را به دقت رسم کرد. مثلا، ، سپس این کسر اعشاری نامتناهی 1.41421... مربوط به نقطه ای در پرتو مختصات است که از مبدأ مختصات به اندازه طول قطر مربع با ضلع 1 واحد پاره فاصله دارد.

فرآیند معکوس بدست آوردن کسر اعشاری مربوط به یک نقطه معین در یک پرتو مختصات به اصطلاح اندازه گیری اعشاری یک بخش. بیایید بفهمیم که چگونه انجام می شود.

بگذارید وظیفه ما این باشد که از مبدأ به نقطه معینی در خط مختصات برسیم (یا اگر نتوانیم به آن برسیم، بی نهایت به آن نزدیک شویم). با اندازه‌گیری اعشاری یک پاره، می‌توانیم هر تعداد قطعه واحد را به ترتیب از مبدأ حذف کنیم، سپس بخش‌هایی که طول آن‌ها برابر با یک دهم واحد است، سپس قطعاتی که طول آن‌ها برابر با یک صدم واحد است و غیره. با ثبت تعداد پاره های هر طول کنار گذاشته شده، کسر اعشاری مربوط به یک نقطه داده شده در پرتو مختصات را به دست می آوریم.

برای مثال برای رسیدن به نقطه M در شکل بالا باید 1 واحد و 4 پاره که طول آنها برابر با یک دهم واحد است را کنار بگذارید. بنابراین، نقطه M با کسر اعشاری 1.4 مطابقت دارد.

واضح است که نقاط پرتو مختصاتی که در فرآیند اندازه گیری اعشاری نمی توان به آنها رسید، با کسرهای اعشاری بی نهایت مطابقت دارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• ریاضیات.پایه ششم: آموزشی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. ویلنکین و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، برگردان. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.