سیستم معادلات اعداد مختلط حل مسائل با اعداد مختلط
آژانس فدرال برای آموزش
مؤسسه آموزشی دولتی
آموزش عالی حرفه ای
"دانشگاه دولتی آموزش و پرورش ورونژ"
دپارتمان AGLEBRA و هندسه
اعداد مختلط
(کارهای انتخاب شده)
کار واجد شرایط فارغ التحصیل
تخصص 050201.65 ریاضی
(با تخصص اضافی 050202.65 علوم کامپیوتر)
تکمیل شده توسط: دانشجوی سال پنجم
فیزیکی و ریاضی
دانشکده
مشاور علمی:
ورونژ - 2008
1. معرفی……………………………………………………...…………..…
2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)
2.1. اعداد مختلط به صورت جبری…………………………….
2.2. تفسیر هندسی اعداد مختلط……………..
2.3. شکل مثلثاتی اعداد مختلط
2.4. کاربرد نظریه اعداد مختلط در حل معادلات درجه 3 و 4…………………………………………………………………………………
2.5. اعداد مختلط و پارامترها……………………………………………
3. نتیجه گیری…………………………………………………………………………………
4. فهرست منابع………………………………………………………
1. معرفی
در برنامه درسی ریاضیات مدرسه، نظریه اعداد با استفاده از نمونه هایی از مجموعه اعداد طبیعی، اعداد صحیح، گویا، غیر منطقی، به عنوان مثال معرفی می شود. روی مجموعه اعداد واقعی که تصاویر آن تمام خط اعداد را پر می کند. اما در حال حاضر در کلاس هشتم عرضه کافی اعداد واقعی وجود ندارد و معادلات درجه دوم را با یک ممیز منفی حل می کنند. بنابراین، لازم بود که موجودی اعداد واقعی را با کمک اعداد مختلط دوباره پر کنیم، که برای این کار ریشه دوماز جانب عدد منفیمعنی دارد.
انتخاب موضوع "اعداد مختلط" به عنوان موضوع فارغ التحصیلی من کار واجد شرایط، این است که مفهوم عدد مختلط دانش دانش آموزان را در مورد آن گسترش می دهد سیستم های اعداد، در مورد حل یک کلاس گسترده از مسائل از هر دو محتوای جبری و هندسی، در مورد حل معادلات جبریهر درجه و در مورد حل مسائل با پارامترها.
این پایان نامه به بررسی راه حل 82 مسئله می پردازد.
بخش اول بخش اصلی "اعداد مختلط" راه حل هایی برای مسائل مربوط به اعداد مختلط به شکل جبری ارائه می دهد، عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، عملیات صرف برای اعداد مختلط به شکل جبری، قدرت یک واحد خیالی را تعریف می کند. ، مدول یک عدد مختلط، و همچنین قانون استخراج جذر یک عدد مختلط را تعیین می کند.
در بخش دوم، مسائل مربوط به تفسیر هندسی اعداد مختلط به صورت نقاط یا بردارهای صفحه مختلط حل شده است.
بخش سوم به بررسی عملیات روی اعداد مختلط به صورت مثلثاتی می پردازد. فرمول های مورد استفاده عبارتند از: Moivre و استخراج ریشه یک عدد مختلط.
بخش چهارم به حل معادلات درجه 3 و 4 اختصاص دارد.
هنگام حل مسائل در بخش آخر، «اعداد مختلط و پارامترها»، از اطلاعات داده شده در قسمت‌های قبلی استفاده شده و ادغام می‌شود. یک سری مسائل در این فصل به تعریف خانواده‌های خطوط در صفحه مختلط اختصاص دارد. توسط معادلات داده شده است(نابرابری ها) با یک پارامتر. در بخشی از تمرینات باید معادلات را با یک پارامتر (در قسمت C) حل کنید. وظایفی وجود دارد که در آن یک متغیر پیچیده به طور همزمان تعدادی از شرایط را برآورده می کند. ویژگی خاص حل مسائل در این بخش، تقلیل بسیاری از آنها به حل معادلات (نابرابری ها، سیستم ها) درجه دو، غیر منطقی، مثلثاتی با یک پارامتر است.
یکی از ویژگی های ارائه مطالب در هر قسمت ورودی اولیه است مبانی نظریو متعاقباً کاربرد عملی آنها در حل مسائل.
در پایان پایان نامهفهرستی از ادبیات مورد استفاده ارائه شده است. اکثر آنها ارائه می کنند مطالب نظری، راه حل هایی برای برخی از مشکلات در نظر گرفته شده و برای آن وظایف عملی داده شده است تصمیم مستقل. توجه ویژهمن می خواهم به منابعی مانند:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. اعداد مختلط و کاربردهای آنها: کتاب درسی. . مواد کمک آموزشیدر قالب سخنرانی و تمرینات عملی ارائه می شود.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. منتخب مسائل و قضایای ریاضیات ابتدایی. حساب و جبر. این کتاب شامل 320 مسئله مربوط به جبر، حساب و نظریه اعداد است. این وظایف از نظر ماهیت به طور قابل توجهی با وظایف استاندارد مدرسه متفاوت است.
2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)
2.1. اعداد مختلط به شکل جبری
حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و فیزیک به حل معادلات جبری خلاصه می شود. معادلات فرم
,که در آن a0، a1، …، an اعداد واقعی هستند. بنابراین مطالعه معادلات جبری یکی از مسائل بحرانیدر ریاضیات برای مثال، یک معادله درجه دوم با ممیز منفی، ریشه واقعی ندارد. ساده ترین چنین معادله ای معادله است
.برای اینکه این معادله جواب داشته باشد، باید مجموعه اعداد حقیقی را با اضافه کردن ریشه معادله به آن گسترش داد.
.اجازه دهید این ریشه را با نشان دهیم
. بنابراین، طبق تعریف، یا،از این رو،
. واحد خیالی نامیده می شود. با کمک آن و با کمک یک جفت اعداد واقعی، یک عبارت از فرم کامپایل می شود.عبارت به دست آمده را اعداد مختلط می نامیدند زیرا شامل هر دو بخش واقعی و خیالی بودند.
بنابراین، اعداد مختلط عبارتی از فرم هستند
، و اعداد واقعی هستند و نماد خاصی است که شرط را برآورده می کند. عدد را جزء واقعی یک عدد مختلط می گویند و عدد قسمت خیالی آن است. از نمادها برای نشان دادن آنها استفاده می شود.اعداد مختلط فرم
اعداد حقیقی هستند و بنابراین مجموعه اعداد مختلط شامل مجموعه اعداد حقیقی است. اعداد مختلط فرم
صرفاً خیالی نامیده می شوند. دو عدد مختلط شکل و در صورتی مساوی می گویند که اجزای واقعی و خیالی آنها مساوی باشند، یعنی. اگر برابری ها، .نماد جبری اعداد مختلط به شما این امکان را می دهد که بر اساس آنها عملیات انجام دهید قوانین عادیجبر
استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. برای وضوح، بیایید مشکل زیر را حل کنیم:
\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] را محاسبه کنید اگر \
اول از همه به این نکته توجه کنیم که یک عدد به صورت جبری و دیگری به صورت مثلثاتی ارائه می شود. باید ساده سازی شود و به آن برسد نمای بعدی
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
عبارت \ می گوید که اول از همه با استفاده از فرمول Moivre ضرب و افزایش را تا توان 10 انجام می دهیم. این فرمول برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. ما گرفتیم:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
با پیروی از قوانین ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، موارد زیر را انجام می دهیم:
در مورد ما:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ پی) (3).\]
با درست کردن کسر \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\]، به این نتیجه می‌رسیم که می‌توانیم 4 چرخش \[(8\pi rad.) "پیچانیم". \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
پاسخ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
این معادله را می توان به روش دیگری حل کرد، که به این خلاصه می شود که عدد 2 را به شکل جبری در آوریم، سپس ضرب را به صورت جبری انجام دهیم، نتیجه را به شکل مثلثاتی تبدیل کنیم و فرمول Moivre را اعمال کنیم:
کجا می توانم یک سیستم معادلات با اعداد مختلط را به صورت آنلاین حل کنم؟
شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما https://site حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید دستورالعمل های ویدیویی را تماشا کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.
عبارات، معادلات و سیستم های معادلات
با اعداد مختلط
امروز سر کلاس کار خواهیم کرد اقدامات معمولیبا اعداد مختلط و همچنین تسلط بر تکنیک حل عبارات، معادلات و سیستم های معادلات موجود در این اعداد. این کارگاه در ادامه ی درس می باشد و لذا در صورتی که به موضوع آشنایی کافی ندارید از لینک بالا استفاده نمایید. خوب، برای خوانندگان آماده تر، پیشنهاد می کنم فوراً خود را گرم کنید:
مثال 1
یک عبارت را ساده کنید 
، اگر . نتیجه را به صورت مثلثاتی نشان دهید و آن را بر روی صفحه مختلط رسم کنید.
راه حل: بنابراین، شما باید کسر "وحشتناک" را جایگزین کنید، ساده سازی ها را انجام دهید و نتیجه را تبدیل کنید. عدد مختلط V فرم مثلثاتی. به علاوه یک نقاشی
بهترین راه برای رسمی کردن تصمیم چیست؟ پرداختن به یک عبارت جبری "پیچیده" گام به گام سودآورتر است. اولاً توجه کمتر پرت می شود و ثانیاً اگر کار مورد قبول واقع نشود، یافتن خطا بسیار آسان تر خواهد بود.
1) ابتدا بیایید صورت حساب را ساده کنیم. بیایید مقدار را در آن جایگزین کنیم، براکت ها را باز کنیم و مدل مو را درست کنیم:
... بله، چنین Quasimodo از اعداد مختلط آمده است ...
اجازه دهید یادآوری کنم که در طول تبدیل ها، چیزهای کاملاً ساده ای استفاده می شود - قانون ضرب چند جمله ای ها و برابری که قبلاً پیش پا افتاده شده است. نکته اصلی این است که مراقب باشید و با علائم گیج نشوید.
2) اکنون مخرج می آید. اگر پس از آن:
توجه کنید که در چه تعبیر غیرعادی استفاده می شود فرمول مجموع مربع. از طرف دیگر، می توانید در اینجا یک تنظیم مجدد انجام دهید 
زیر فرمول نتایج به طور طبیعی یکسان خواهد بود.
3) و در نهایت، کل عبارت. اگر پس از آن:
برای خلاص شدن از شر کسری، صورت و مخرج را در عبارت مزدوج مخرج ضرب کنید. در عین حال، برای اهداف کاربردی فرمول های اختلاف مربعابتدا باید (و در حال حاضر ضروری است!)قسمت واقعی منفی را در جایگاه دوم قرار دهید:
و حالا قانون کلیدی:
ما عجله نداریم! بهتر است با خیال راحت بازی کنید و یک قدم اضافی بردارید.
در عبارات، معادلات و سیستم های با اعداد مختلط، محاسبات کلامی متکبرانه غمگین تر از همیشه!
کاهش خوبی در مرحله پایانی وجود داشت و این فقط یک نشانه عالی است.
توجه داشته باشید : به طور دقیق، در اینجا تقسیم یک عدد مختلط بر عدد مختلط 50 اتفاق افتاد (به یاد داشته باشید). من تا به حال در مورد این تفاوت ظریف سکوت کرده ام و کمی بعد در مورد آن صحبت خواهیم کرد.
بیایید دستاورد خود را با حرف نشان دهیم
اجازه دهید نتیجه به دست آمده را به صورت مثلثاتی ارائه کنیم. به طور کلی، در اینجا می توانید بدون نقاشی انجام دهید، اما از آنجایی که لازم است، انجام آن در حال حاضر تا حدودی منطقی تر است: 
بیایید مدول یک عدد مختلط را محاسبه کنیم:
اگر در مقیاس 1 واحد ترسیم کنید. = 1 سانتی متر (2 سلول نوت بوک)، سپس مقدار به دست آمده را می توان به راحتی با استفاده از یک خط کش معمولی بررسی کرد.
بیایید یک استدلال پیدا کنیم. از آنجایی که عدد در ربع مختصات 2 قرار دارد، پس:
زاویه را می توان به راحتی با نقاله بررسی کرد. این مزیت بدون شک نقاشی است.
بدین ترتیب: – عدد مورد نیاز به صورت مثلثاتی.
بیایید بررسی کنیم:
، چیزی بود که باید تأیید می شد.
یافتن مقادیر ناآشنا از سینوس و کسینوس با استفاده از آن راحت است جدول مثلثاتی.
پاسخ: 
یک مثال مشابه برای یک راه حل مستقل:
مثال 2
یک عبارت را ساده کنید 
، جایی که . عدد حاصل را روی صفحه مختلط رسم کرده و به صورت نمایی بنویسید.
سعی کنید از نمونه های آموزشی غافل نشوید. آنها ممکن است ساده به نظر برسند، اما بدون آموزش، "ورود به گودال" نه تنها آسان، بلکه بسیار آسان است. بنابراین، ما "آن را در دست می گیریم."
اغلب کار اجازه نمی دهد تنها راهراه حل ها:
مثال 3
محاسبه کنید اگر، 
راه حل: اول از همه به شرط اصلی توجه کنیم - یک عدد به صورت جبری و دیگری به صورت مثلثاتی و حتی با درجه ارائه می شود. بیایید بلافاصله آن را به شکلی آشناتر بازنویسی کنیم: 
.
محاسبات به چه صورت باید انجام شود؟ این عبارت به وضوح شامل ضرب اول و افزایش بیشتر به توان 10 می شود فرمول مویور، که برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. بنابراین تبدیل عدد اول منطقی تر به نظر می رسد. بیایید ماژول و آرگومان آن را پیدا کنیم: 
برای ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی از قانون استفاده می کنیم:
اگر پس از آن
با درست کردن کسر، به این نتیجه می رسیم که می توانیم 4 چرخش را "پیچان" کنیم (خوشحالم.):
راه حل دومتبدیل عدد 2 به شکل جبری است 
، ضرب را به صورت جبری انجام دهید، نتیجه را به صورت مثلثاتی تبدیل کنید و از فرمول Moivre استفاده کنید.
همانطور که می بینید، یک اقدام "اضافی" وجود دارد. کسانی که مایل هستند می توانند تصمیم خود را پیگیری کنند و مطمئن شوند که نتایج یکسان است.
شرط چیزی در مورد شکل عدد مختلط نهایی نمی گوید، بنابراین:
پاسخ: 
اما "برای زیبایی" یا در صورت تقاضا، نتیجه به راحتی به شکل جبری قابل تصور است:
بدون کمک دیگری:
مثال 4
یک عبارت را ساده کنید
در اینجا باید به یاد داشته باشیم اقدامات با درجه، اگرچه یکی قانون مفیددر دفترچه راهنما نیست، اینجاست: .
و یک نکته مهم دیگر: مثال را می توان در دو سبک حل کرد. اولین گزینه کار با آن است دواعداد و درست بودن با کسرها گزینه دوم این است که هر عدد را به عنوان نشان دهیم ضریب دو عدد: 
و از شر ساختار چهار طبقه خلاص شوید. از نقطه نظر رسمی، مهم نیست که چگونه تصمیم می گیرید، اما یک تفاوت اساسی وجود دارد! لطفا با دقت فکر کنید:
یک عدد مختلط است؛
ضریب دو عدد مختلط (و) است، اما بسته به زمینه، می توانید این را نیز بگویید: عددی که به عنوان ضریب دو عدد مختلط نشان داده می شود.
راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.
عبارات خوب هستند، اما معادلات بهتر هستند:
معادلات با ضرایب مختلط
تفاوت آنها با معادلات "معمولی" چیست؟ شانس =)
با توجه به نظر بالا، اجازه دهید با این مثال شروع کنیم:
مثال 5
معادله را حل کنید 
و یک مقدمه بی درنگ «در پاشنه‌ها داغ»: در ابتدا قسمت راستمعادله به عنوان ضریب دو عدد مختلط (و 13) قرار می گیرد، بنابراین بازنویسی شرط با عدد بد است. (اگرچه این باعث خطا نمی شود). واضح تر این تفاوت، به هر حال، در کسری قابل مشاهده است - اگر، به طور نسبی، , پس این مقدار در درجه اول به عنوان درک می شود ریشه پیچیده "کامل" معادله، و نه به عنوان مقسوم علیه یک عدد و به خصوص نه به عنوان جزء یک عدد!
راه حل، در اصل، همچنین می تواند گام به گام مرتب شود، اما در در این موردبازی ارزش شمع را ندارد. کار اولیه ساده کردن هر چیزی است که حاوی "z" مجهول نیست، در نتیجه معادله به شکل کاهش می یابد:
ما با اطمینان کسر میانی را ساده می کنیم: 
نتیجه را به سمت راست منتقل می کنیم و تفاوت را پیدا می کنیم: 
توجه داشته باشید
: و دوباره توجه شما را به نکته معنی دار جلب می کنم - در اینجا عدد را از عدد کم نکردیم بلکه کسرها را به مخرج مشترک! لازم به ذکر است که در حال حاضر در پیشرفت حل، کار با اعداد ممنوع نیست: 
، اما در مثال مورد بررسی این سبک بیشتر مضر است تا مفید =)
طبق قاعده تناسب، "zet" را بیان می کنیم:
اکنون می توانید دوباره با عبارت مزدوج تقسیم و ضرب کنید، اما اعداد مشکوک مشابه در صورت و مخرج نشان می دهد حرکت بعدی:
پاسخ:
برای بررسی، بیایید مقدار حاصل را جایگزین کنیم سمت چپمعادله اصلی و انجام ساده سازی:
– سمت راست معادله اصلی به دست می آید، بنابراین ریشه به درستی پیدا می شود.
... حالا، حالا... من چیز جالب تری برای شما پیدا خواهم کرد... اینجا بروید:
مثال 6
معادله را حل کنید 
این معادله به شکل کاهش می یابد، یعنی خطی است. من فکر می کنم اشاره واضح است - آن را دنبال کنید!
البته ... چگونه می توانید بدون او زندگی کنید:
معادله درجه دوم با ضرایب مختلط
در درس اعداد مختلط برای آدمک هاما آموختیم که یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی می تواند ریشه های پیچیده مزدوج داشته باشد، پس از آن یک سوال منطقی مطرح می شود: چرا در واقع، خود ضرایب نمی توانند پیچیده باشند؟ بگذار فرموله کنم مورد کلی:
معادله درجه دوم با دلخواه ضرایب مختلط (1 یا 2 مورد که یا هر سه ممکن است به طور خاص معتبر باشند)این دارد دو و فقط دوریشه پیچیده (احتمالاً یکی یا هر دو معتبر است). در عین حال ریشه ها (هم واقعی و هم با قسمت خیالی غیر صفر)ممکن است منطبق باشد (مضرب باشد).
یک معادله درجه دوم با ضرایب مختلط با استفاده از همان طرح حل می شود معادله "مدرسه".، با تفاوت هایی در تکنیک های محاسباتی:
مثال 7
ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید 
راه حل: واحد خیالی اول می آید و در اصل می توانید از شر آن خلاص شوید (ضرب هر دو طرف)اما نیاز خاصی به این کار وجود ندارد.
برای راحتی، ضرایب را می نویسیم:
بیایید "منهای" یک عضو رایگان را از دست ندهیم! ... ممکن است برای همه روشن نباشد - من معادله را در آن بازنویسی می کنم فرم استاندارد 
:
بیایید تفکیک کننده را محاسبه کنیم:
و مانع اصلی اینجاست: 
کاربرد فرمول کلیاستخراج ریشه (به پاراگراف آخر مقاله مراجعه کنید اعداد مختلط برای آدمک ها)
با مشکلات جدی مرتبط با استدلال عدد مختلط رادیکال پیچیده شده است (خودت ببین). اما یک راه دیگر، "جبری" وجود دارد! ما به دنبال ریشه در شکل زیر خواهیم بود: 
بیایید هر دو طرف را مربع کنیم: 
دو عدد مختلط در صورتی مساوی هستند که اجزای واقعی و فرضی آنها برابر باشند. بنابراین، سیستم زیر را دریافت می کنیم: 
حل سیستم با انتخاب آسانتر است (روش کاملتر این است که از معادله 2 بیان کنید - جایگزینی به 1 کنید، یک معادله دو درجه به دست آورید و حل کنید). با فرض اینکه نویسنده مسئله یک هیولا نیست، این فرضیه را مطرح می کنیم که و اعداد صحیح هستند. از معادله 1 نتیجه می شود که "x" مدولبیشتر از "Y". علاوه بر این، محصول مثبت به ما می گوید که مجهولات از یک علامت هستند. با توجه به موارد فوق و با تمرکز بر معادله 2، تمام جفت هایی که با آن مطابقت دارند را یادداشت می کنیم: 
بدیهی است که معادله 1 سیستم توسط دو جفت آخر برآورده می شود، بنابراین: 
یک بررسی میانی ضرری ندارد: 
که باید بررسی می شد.
شما می توانید به عنوان یک ریشه "کار" انتخاب کنید هرمعنی واضح است که بهتر است نسخه را بدون "معایب" بگیرید:
ما ریشه ها را می یابیم، ضمناً فراموش نمی کنیم که: 
پاسخ:
بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های یافت شده معادله را برآورده می کنند یا خیر 
:
1) بیایید جایگزین کنیم: 
برابری واقعی
2) بیایید جایگزین کنیم: 
برابری واقعی
بنابراین راه حل به درستی پیدا شد.
بر اساس مشکلی که در مورد آن بحث کردیم:
مثال 8
ریشه های معادله را بیابید
لازم به ذکر است که جذر از کاملا پیچیدهاعداد را می توان به راحتی با استفاده از فرمول کلی استخراج کرد 
، جایی که 
، بنابراین هر دو روش در نمونه نشان داده شده است. دومین نکته مفید مربوط به این واقعیت است که استخراج اولیه ریشه یک ثابت به هیچ وجه راه حل را ساده نمی کند.
اکنون می توانید استراحت کنید - در این مثال با یک ترس جزئی از خود دور خواهید شد :)
مثال 9
معادله را حل کنید و بررسی کنید
راه حل و پاسخ در پایان درس.
پاراگراف پایانی مقاله به این موضوع اختصاص دارد
سیستم معادلات با اعداد مختلط
آرام و... تنش نکن =) بیایید در نظر بگیریم ساده ترین مورد- سیستم دو نفره معادلات خطیبا دو مجهول:
مثال 10
حل یک سیستم معادلات. پاسخ را به صورت جبری و نمایی ارائه دهید، ریشه ها را در نقاشی به تصویر بکشید. 
راه حل: خود شرط نشان می دهد که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد، یعنی باید دو عدد را پیدا کنیم که برآورده شوند. به هرمعادله سیستم
این سیستم را واقعاً می توان به روشی "کودکانه" حل کرد (یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید)
، با این حال استفاده از آن بسیار راحت تر است فرمول های کرامر. بیایید محاسبه کنیم تعیین کننده اصلیسیستم های:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.
باز هم می گویم که بهتر است وقت بگذارید و مراحل را تا حد امکان با جزئیات بنویسید:
صورت و مخرج را در یک واحد فرضی ضرب می کنیم و ریشه اول را بدست می آوریم:
به همین ترتیب: 
سمت راست مربوطه به دست می آید و غیره.
بیایید نقاشی را انجام دهیم: 
بیایید ریشه ها را به صورت نمایی نمایش دهیم. برای انجام این کار، باید ماژول ها و آرگومان های آنها را پیدا کنید:
1) - مقطع "دو" "ضعیف" محاسبه می شود، بنابراین آن را به این صورت رها می کنیم: 
برای حل مسائل با اعداد مختلط، باید تعاریف اولیه را درک کنید. هدف اصلی این مقاله مروری، تبیین چیستی اعداد مختلط و ارائه روش‌هایی برای حل مسائل اساسی با اعداد مختلط است. بنابراین، یک عدد مختلط، یک عدد از فرم نامیده می شود z = a + bi، جایی که الف، ب- اعداد حقیقی که به ترتیب اجزای واقعی و خیالی یک عدد مختلط نامیده می شوند و نشان می دهند. a = Re(z)، b=Im(z).
منواحد خیالی نامیده می شود. i 2 = -1. به طور خاص، هر عدد واقعی را می توان پیچیده در نظر گرفت: a = a + 0i، جایی که a واقعی است. اگر a = 0و b ≠ 0، سپس عدد را معمولاً کاملاً خیالی می نامند.
حالا بیایید عملیات اعداد مختلط را معرفی کنیم.
دو عدد مختلط را در نظر بگیرید z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 i.
در نظر بگیریم z = a + bi.
مجموعه اعداد مختلط مجموعه اعداد حقیقی را گسترش می دهد که به نوبه خود مجموعه اعداد گویا و غیره را گسترش می دهد. این زنجیره از سرمایه گذاری ها را می توان در شکل مشاهده کرد: N – اعداد صحیح، Z - اعداد صحیح، Q - گویا، R - واقعی، C - پیچیده. 
نمایش اعداد مختلط
نماد جبری.
یک عدد مختلط را در نظر بگیرید z = a + bi، این شکل از نوشتن یک عدد مختلط نامیده می شود جبری. قبلاً در بخش قبل به تفصیل درباره این شکل ضبط صحبت کرده ایم. نقاشی بصری زیر اغلب استفاده می شود 
فرم مثلثاتی.
از شکل می توان دریافت که عدد z = a + biرا می توان متفاوت نوشت بدیهی است که a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|، از این رو z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
آرگومان یک عدد مختلط نامیده می شود. این نمایش یک عدد مختلط نامیده می شود فرم مثلثاتی. شکل مثلثاتی نماد گاهی اوقات بسیار راحت است. به عنوان مثال، استفاده از آن برای افزایش یک عدد مختلط به یک توان صحیح، یعنی if، راحت است z = rcos(φ) + rsin(φ)i، آن z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i، این فرمول نامیده می شود فرمول مویور.
فرم نمایشی
در نظر بگیریم z = rcos(φ) + rsin(φ)i- یک عدد مختلط به شکل مثلثاتی، آن را به شکل دیگری بنویسید z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ، آخرین برابری از فرمول اویلر به دست می آید، بنابراین به دست می آوریم یونیفرم جدیدنماد اعداد مختلط: z = reiφ، که نامیده می شود نشان دهنده. این شکل از نماد برای افزایش یک عدد مختلط به توان بسیار مناسب است: z n = r n e inφ، اینجا nلزوما یک عدد صحیح نیست، اما می تواند یک عدد واقعی دلخواه باشد. این شکل از نماد اغلب برای حل مسائل استفاده می شود.
قضیه اساسی جبر عالی
بیایید تصور کنیم که یک معادله درجه دوم x 2 + x + 1 = 0 داریم. بدیهی است که ممیز این معادله منفی است و ریشه واقعی ندارد، اما معلوم می شود که این معادله دارای دو ریشه پیچیده متفاوت است. بنابراین، قضیه اساسی جبر عالی بیان می کند که هر چند جمله ای درجه n حداقل یک ریشه مختلط دارد. از این نتیجه می شود که هر چند جمله ای درجه n با در نظر گرفتن تعدد آنها دقیقاً n ریشه پیچیده دارد. این قضیه نتیجه بسیار مهمی در ریاضیات است و کاربرد وسیعی دارد. نتیجه ساده این قضیه این است که دقیقاً n ریشه مختلف درجه n وحدت وجود دارد.
انواع اصلی وظایف
این بخش به انواع اصلی می پردازد کارهای سادهبه اعداد مختلط به طور معمول، مسائل مربوط به اعداد مختلط را می توان به دسته های زیر تقسیم کرد.
- انجام عملیات ساده حسابی روی اعداد مختلط.
- یافتن ریشه چند جمله ای ها در اعداد مختلط.
- افزایش اعداد مختلط به توان.
- استخراج ریشه از اعداد مختلط
- استفاده از اعداد مختلط برای حل مسائل دیگر
حال بیایید روش های کلی برای حل این مشکلات را بررسی کنیم.
ساده ترین عملیات حسابی با اعداد مختلط طبق قوانینی که در قسمت اول توضیح داده شد انجام می شود، اما اگر اعداد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی ارائه شوند، در این صورت می توانید آنها را به شکل جبری تبدیل کنید و عملیات را طبق قوانین شناخته شده انجام دهید.
یافتن ریشه های چند جمله ای ها معمولاً به یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم ختم می شود. فرض کنید یک معادله درجه دوم داشته باشیم، اگر ممیز آن غیر منفی باشد، ریشه های آن واقعی خواهد بود و طبق یک فرمول شناخته شده می توان آن را پیدا کرد. اگر ممیز منفی باشد، یعنی D = -1∙a 2، جایی که آعدد معینی است، سپس ممیز را می توان به عنوان نشان داد D = (ia) 2، از این رو √D = i|a|، و سپس می توانید استفاده کنید فرمول شناخته شدهبرای ریشه های یک معادله درجه دوم
مثال. بیایید به آنچه در بالا ذکر شد برگردیم. معادله درجه دوم x 2 + x + 1 = 0 .
ممیز - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
اکنون به راحتی می توانیم ریشه ها را پیدا کنیم: 
افزایش اعداد مختلط به توان را می توان به روش های مختلفی انجام داد. اگر باید یک عدد مختلط را به صورت جبری به توان کوچک (2 یا 3) برسانید، می توانید این کار را با ضرب مستقیم انجام دهید، اما اگر توان بزرگتر است (در مسائل اغلب بسیار بزرگتر است)، پس باید این عدد را به صورت مثلثاتی یا نمایی بنویسید و از روش های شناخته شده استفاده کنید.
مثال. z = 1 + i را در نظر بگیرید و آن را به توان دهم ببرید.
بیایید z را به صورت نمایی بنویسیم: z = √2 e iπ/4.
سپس z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
بیایید به شکل جبری برگردیم: z 10 = -32i.
استخراج ریشه از اعداد مختلط عمل معکوس توان است و بنابراین به روشی مشابه انجام می شود. برای استخراج ریشه، اغلب از شکل نمایی نوشتن یک عدد استفاده می شود.
مثال. بیایید همه ریشه های درجه 3 وحدت را پیدا کنیم. برای انجام این کار، تمام ریشه های معادله z 3 = 1 را پیدا می کنیم، ریشه ها را به صورت نمایی جستجو می کنیم.
اجازه دهید معادله را جایگزین کنیم: r 3 e 3iφ = 1 یا r 3 e 3iφ = e 0 .
از این رو: r = 1، 3φ = 0 + 2πk، بنابراین φ = 2πk/3.
ریشه های مختلف در φ = 0، 2π/3، 4π/3 به دست می آیند.
بنابراین 1، e i2π/3، e i4π/3 ریشه هستند.
یا به شکل جبری: 
آخرین نوع مسائل شامل طیف عظیمی از مسائل است و هیچ روش کلی برای حل آنها وجود ندارد. در اینجا یک مثال ساده از چنین کاری آورده شده است:
مقدار را پیدا کنید sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
اگرچه فرمول بندی این مسئله شامل اعداد مختلط نمی شود، اما با کمک آنها به راحتی قابل حل است. برای حل آن، از نمایش های زیر استفاده می شود: 
اگر اکنون این نمایش را با مجموع جایگزین کنیم، مشکل به جمع کردن پیشرفت هندسی معمول کاهش می یابد.
نتیجه
اعداد مختلط به طور گسترده ای در ریاضیات استفاده می شوند، این مقاله مروری به بررسی عملیات اساسی روی اعداد مختلط پرداخته، انواع مختلفی از مسائل استاندارد را تشریح کرده و به طور خلاصه شرح داده است. روش های عمومیراه حل های آنها، برای مطالعه دقیق تر قابلیت های اعداد مختلط، توصیه می شود از ادبیات تخصصی استفاده کنید.
