Systèmes numériques de l'Antiquité à nos jours. Systèmes de numérotation anciens
Depuis l'Antiquité, les gens sont confrontés au problème de la désignation (codage) des informations numériques.
Les petits enfants montrent leur âge sur leurs doigts. Un pilote a abattu un avion, il reçoit un astérisque, Robinson Crusoé comptait les jours avec des encoches.
Le numéro désignait des objets réels dont les propriétés étaient les mêmes. Lorsque nous comptons ou racontons quelque chose, nous semblons dépersonnaliser les objets, c'est-à-dire nous sous-entendons que leurs propriétés sont les mêmes. Mais la propriété la plus importante d’un nombre est la présence d’un objet, c’est-à-dire unité et son absence, c'est-à-dire zéro.
Qu'est-ce qu'un nombre ?
Les nombres et les nombres sont deux choses différentes ! Considérons deux nombres 5 2 et 2 5. Les nombres sont les mêmes - 5 et 2.
En quoi ces chiffres sont-ils différents ?
Par ordre de chiffres ? - Oui! Mais il vaut mieux dire - la position du chiffre dans le nombre.
Pensons à ce qu'est un système numérique ?
Est-ce que c'est écrire des chiffres ? Oui! Mais nous ne pouvons pas écrire à notre guise : les autres doivent nous comprendre. Il faut donc également utiliser Certaines règles leurs dossiers.
Le concept d'un système de numérotation
Pour enregistrer des informations sur le nombre d'objets, utilisezil y a des chiffres. Les nombres sont écrits à l’aide de systèmes de signes spéciaux appelés systèmes numériques. L'alphabet des systèmes numériques se compose de symboles appelés chiffres. Par exemple, dans le système de nombres décimaux, les nombres sont écrits à l'aide de dix chiffres bien connus : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Tous les systèmes numériques sont divisés en deux grands groupes : positionnel Et non positionnel systèmes de numérotation. Dans les systèmes de numérotation positionnelle la signification d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre, mais dans les nombres non positionnels, cela ne dépend pas.
Systèmes non positionnels Les nombres sont apparus plus tôt que les nombres positionnels, considérons donc d'abord divers systèmes de numérotation non positionnels .
Systèmes de numérotation non positionnels
Les systèmes non positionnels comprennent : le système de numérotation romaine, les systèmes de numérotation alphabétique et autres.
Au début, les gens distinguaient simplement UN objet devant eux ou non. S’il y avait plus d’un élément, ils répondaient « BEAUCOUP ».
Les premiers concepts mathématiques furent« moins », « plus », « pareil ».
Si une tribu échangeait du poisson pêché contre des couteaux en pierre fabriqués par les membres d'une autre tribu, je n'avais pas besoin de compter , combien de poissons ils ont apportés et combien de couteaux. Il suffisait de placer un couteau à côté de chaque poisson pour que l'échange entre les tribus ait lieu.
Le récit est apparu lorsqu'une personne avait besoin d'informer ses compatriotes du nombre d'objets qu'il avait trouvés.
Il Étant donné que de nombreux peuples dans les temps anciens ne communiquaient pas entre eux, différents peuples sont apparus. différents systèmes calcul et représentation des nombres et des chiffres.
| Fingers s’est avéré être une excellente machine informatique. Avec leur aide, il était possible de compter jusqu'à 5, et si vous preniez deux mains, jusqu'à 10. Dans les temps anciens, les gens marchaient pieds nus. Ils pouvaient donc utiliser leurs doigts et leurs orteils pour compter. Des tribus existent encore en Polynésie, utilisant tion avec le 20ème système numérique. Cependant Il existe des peuples connus dont les unités de comptage n'étaient pas les doigts, mais leurs articulations. Le système de nombres duodécimaux était assez répandu. Son origine est liée au comptage sur les doigts. Ils ont compté les phalanges des quatre autres doigts avec le pouce : il y en a 12 au total. Des éléments du système de nombres duodécimaux ont été conservés en Angleterre dans le système de mesures (1 pied = 12 pouces) et dans le système monétaire (1 shilling = 12 pence). Souvent, dans la vie de tous les jours, nous rencontrons le système de nombres duodécimaux : des sets de thé et de table pour 12 personnes, un ensemble de mouchoirs - 12 pièces. Chiffres dans langue anglaise de un à douze ont leur propre nom, les nombres suivants sont composés : Pour les nombres de 13 à 19, la fin des mots est teen. Par exemple, 15 à quinze. |
Le comptage des doigts a été conservé dans certains endroits jusqu'à ce jour. N Par exemple, à la plus grande bourse de céréales du monde, à Chicago, les offres et les demandes, ainsi que les prix, sont annoncés par les courtiers sur leurs doigts, sans un seul mot.
Il était difficile de mémoriser de grands nombres, c'est pourquoi divers appareils ont été ajoutés à la « machine à compter » les bras et les jambes. Il fallait écrire des chiffres.
Le nombre d'objets était représenté en dessinant des tirets ou des empattements sur n'importe quelle surface dure : pierre, argile...
Système de numérotation des unités (« bâton »)
Plus les gens récoltaient de céréales dans leurs champs, plus leurs troupeaux devenaient nombreux et plus ils en avaient besoin.
La notation unitaire de ces nombres était lourde et peu pratique, c'est pourquoi les gens ont commencé à chercher des moyens plus compacts pour représenter les grands nombres.
Système de nombres décimaux de l'Égypte ancienne
(2,5 mille ans avant JC)
Exemple 1. Notez le numéro 1 245 386 dans l'écriture égyptienne ancienne
Les gens s'occupaient des opérations d'addition et de soustraction bien avant que les nombres ne reçoivent des noms.
Lorsque plusieurs groupes de cueilleurs de racines ou de pêcheurs mettaient leurs prises au même endroit, ils effectuaient l'opération ajout .
Avec chirurgie multiplication les gens se sont rencontrés lorsqu'ils ont commencé à semer des céréales et ont vu que la récolte était plusieurs fois supérieure au nombre de graines semées.
Lorsque la viande animale récoltée ou les noix collectées étaient réparties également entre toutes les « bouches », l'opération était effectuée division
Comment les Égyptiens comptaient-ils ?
Multiplication et division les Égyptiens produisaient en doublant successivement leurs nombres.
Exemple. 19*31
Les Égyptiens doublaient systématiquement le nombre 31. Les résultats du doublement étaient enregistrés dans la colonne de droite et la puissance de deux correspondante était enregistrée dans la colonne de gauche.
Système de nombre décimal romain
(2 mille ans avant JC et À nos jours)
Le plus courant des systèmes de numérotation sans position est le système romain.
le problème principal avec les chiffres romains, c'est qu'il est difficile de faire des multiplications et des divisions. Un autre inconvénient du système romain est le suivant : l’écriture de grands nombres nécessite l’introduction de nouveaux symboles. Les nombres fractionnaires ne peuvent être écrits que comme un rapport de deux nombres. Ils furent pourtant fondamentaux jusqu’à la fin du Moyen Âge. Mais à notre époque, ils sont encore utilisés.
Tu te souviens où ?
La signification d'un chiffre ne dépend pas de sa position dans le nombre.
Par exemple, dans le nombre XXX (30), le nombre X apparaît trois fois et désigne dans chaque cas la même valeur - le nombre 10, trois nombres de 10 totalisent 30.
La taille d'un nombre dans le système de chiffres romains est définie comme la somme ou la différence des chiffres du nombre. Si le plus petit nombre est à gauche du plus grand, alors il est soustrait, s'il est à droite, il est ajouté.
N'oubliez pas : 5, 50, 500 ne se répètent pas !
Lesquels peuvent être répétés ?
E S’il y a un chiffre mineur à gauche du chiffre majeur, il est soustrait. Si le chiffre le plus bas se trouve à droite du chiffre le plus élevé, alors il est ajouté - I, X, C, M peuvent être répétés jusqu'à 3 fois.
Par exemple:
1)MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004
2)149 = (Cent est C, quarante est XL et neuf est IX) = CXLIX
Par exemple, enregistrez nombre décimal 1998 dans le système de chiffres romains ressemblera à ceci : MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.
Systèmes de numérotation alphabétique
Systèmes de numérotation alphabétique non positionnelle étaient courants parmi les anciens Arméniens, Géorgiens, Grecs (alpha, bêta, gamma), Arabes, Juifs et autres peuples Moyen-Orient, ainsi que chez les Slaves (az, hêtres, plomb).
Exemple. Écrivons le nombre 444 dans le système slave.
Nous voyons que l'entrée n'est pas plus longue que notre décimale. En effet, les systèmes alphabétiques utilisaient au moins 27 « chiffres ».
Les systèmes alphabétiques sont-ils pratiques ?
Inconvénients des systèmes de numérotation non positionnels :
1. Il existe un besoin constant d’introduire de nouveaux symboles pour enregistrer de grands nombres.
2. Il est impossible de représenter des nombres fractionnaires et négatifs.
3. Il est difficile d'effectuer des opérations arithmétiques, car il n'existe aucun algorithme pour les effectuer. En particulier, toutes les nations, ainsi que les systèmes numériques, avaient des méthodes de comptage avec les doigts, et les Grecs avaient un tableau de comptage avec boulier - quelque chose comme notre boulier.
Jusqu’à la fin du Moyen Âge, il n’existait pas de système universel d’enregistrement des numéros. Ce n’est qu’avec le développement des mathématiques, de la physique, de la technologie, du commerce et du système financier qu’est apparu le besoin d’un système numérique universel unique, même si, même aujourd’hui, de nombreuses tribus, nations et nationalités utilisent d’autres systèmes numériques.
Mais nous utilisons toujours des éléments du système de nombres non positionnels dans le langage courant, en particulier, nous disons cent, pas dix dizaines, mille, un million, un milliard, un billion.
Tout système de numérotation positionnelle est caractérisé par sa base.
La base du système de numérotation positionnelle- le nombre de chiffres différents utilisés pour représenter les nombres dans un système numérique donné.
Tout nombre naturel peut être pris comme base - deux, trois, quatre, ..., formant un nouveau système positionnel : binaire, ternaire, quaternaire et .. .
Décimal n système de numérotation positionnelle
Les scientifiques indiens ont fait l'une des découvertes les plus importantes en mathématiques : ils ont inventé le système de numérotation positionnelle, qui est maintenant utilisé dans le monde entier. Al-Khwarizmi a décrit l'arithmétique indienne en détail dans son livre.
Trois cents ans plus tard (en 1120), ce livre fut traduit en langue latine, et il devint le premier manuel d’arithmétique « indienne » pour toutes les villes européennes.
Bases utilisées aujourd'hui :
10 le système de nombres décimaux habituel (dix doigts sur les mains). Alphabet : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
60 inventé dans l'ancienne Babylone : diviser une heure en 60 minutes, des minutes en 60 secondes et un angle en 360 degrés.
12 répandu par les Anglo-Saxons : il y a 12 mois dans une année, deux périodes de 12 heures dans une journée, 12 pouces dans un pied
7 utilisé pour compter les jours de la semaine
Devoirs: - apprendre la définition du « système numérique » et la classification SS
1. Quels nombres sont écrits en chiffres romains : MS I X, L X V ?
2. Notez votre année de naissance :
A) dans l'ancien système numérique égyptien ;
b) dans le système de chiffres romains ;
B) dans l'ancien système numérique slave.
Aux premiers stades du développement de la société, les gens ne savaient presque pas compter. Ils faisaient la distinction entre des ensembles de deux et trois objets ; toute collection contenant un plus grand nombre d'objets était réunie dans le concept « beaucoup ». Les premiers enregistrements de nombres peuvent être considérés comme des encoches sur des étiquettes en bois ou des os, et plus tard, des tirets. Mais il n'était pas pratique de représenter de grands nombres de cette manière, c'est pourquoi ils ont commencé à utiliser des signes spéciaux (chiffres) pour certains ensembles de traits.
Lors du comptage, les objets étaient généralement comparés aux doigts et aux orteils. À mesure que la civilisation se développait, le besoin humain de compter est devenu nécessaire. Initialement, les nombres naturels étaient représentés à l'aide d'un certain nombre de tirets ou de bâtons, puis des lettres ou des signes spéciaux ont commencé à être utilisés pour les représenter. Dans l'ancienne Novgorod, le système slave était utilisé, où les lettres de l'alphabet slave étaient utilisées ; Lors de la représentation des nombres, le signe ~ (titre) était placé au-dessus d'eux.
Les Slaves écrivaient de grands nombres avec les mêmes lettres, mais pour désigner des milliers, ils mettaient le signe T à côté de la lettre de gauche^ en bas, par exemple : 10OO-*A ; 3000-*G. Le nombre 10000 était désigné par le même lettre que 1, mais sans le titre, et ils l'ont encerclé. Ce nombre était appelé "ténèbres". D'où l'expression "ténèbres pour le peuple". Le nombre de la catégorie suivante - 100 000 - était appelé "légion". ce nombre, ils ont écrit la lettre A et ont mis un cercle de points autour d'elle ; 10 légions constituaient une nouvelle unité-leodr. Leodr était désigné par la lettre A, entourée d'un cercle de tirets. L'obscurité des sujets (c'est-à-dire 1012) était appelé "légion", légion des légions (soit 1024) - "leodr", leodr de leodrs (soit 1048) - "corbeau", et enfin, le nombre 1049 était appelé "deck". Pour désigner les corbeaux, la lettre était placée dans un cercle de croix. Pour les grands nombres, il n'y avait plus de noms.
Dans notre passé lointain en Russie, les nombres étaient désignés par des lettres de l'alphabet slave de l'Église :
« az » « conduire » « verbe », etc.
Pour qu'une lettre devienne un chiffre, un signe spécial « titre » ([-") a été placé en haut. Par exemple, le chiffre onze était représenté comme ceci : 5), vingt-deux - comme ceci : 1^ 6. Et seulement dans début XVIII des siècles en Russie, ils ont commencé à utiliser des « chiffres arabes », que les Arabes ont empruntés aux Indiens. dans leur style moderne : O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ces notations ont été incluses dans le premier cours imprimé d'arithmétique en russe, compilé par L. F. Magnitsky et publié en 1703.
De plus, en Russie, ils utilisaient la numérotation romaine. D'après cette numérotation :
"i" "ve" "ix" "el" "tse" "de" "em"
151050100 500 1000
Il a survécu jusqu'à ce jour. Par exemple, il est désormais utilisé pour désigner des chiffres sur un cadran de montre, pour désigner des chapitres et certaines pages de livres, etc.
Dans le système de numérotation slave, toutes les lettres de l'alphabet étaient utilisées pour enregistrer des nombres, bien qu'avec une certaine violation de l'ordre alphabétique. Différentes lettres signifiaient différents nombres d'unités, des dizaines et des centaines. Par exemple, le nombre 231 s'écrivait ~ SLA (C - 200, L - 30, A - 1).
Les anciens Romains utilisaient la numérotation, qui reste encore aujourd'hui sous le nom de « numérotation romaine », dans laquelle les nombres sont représentés par des lettres de l'alphabet latin. Désormais, il est utilisé pour indiquer les anniversaires, en numérotant certaines pages d'un livre (par exemple, les pages de la préface), des chapitres de livres, des strophes de poèmes, etc. Dans sa forme ultérieure, les chiffres romains ressemblent à ceci :
je = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = 1000.
Il n'existe aucune information fiable sur l'origine des chiffres romains. Le chiffre V pourrait à l’origine servir d’image d’une main, et le chiffre X pourrait être composé de deux cinq. Les traces du système quintuple sont clairement visibles dans la numérotation romaine. Compte. Tous les nombres entiers (jusqu'à 5 000) sont écrits en répétant les nombres ci-dessus. En même temps, si le plus grand chiffre est devant le plus petit, alors ils sont ajoutés, mais si le plus petit est devant le plus grand (dans ce cas, il ne peut pas être répété), alors le plus petit est soustrait du plus grand nombre). Par exemple, VI = 6, soit 5 + 1, IV = 4, soit 5 - 1, XL = 40, soit 50 - 10, LX = 60, soit 50 + 10. Dans une rangée, le même numéro n'est pas placé plus de trois fois : LXX = 70 ; LXXX = 80 ; le nombre 90 s'écrit XC (et non LXXXX).
Les 12 premiers nombres sont écrits en chiffres romains comme ceci :
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
D'autres nombres s'écrivent, par exemple :
XXVIII = 28 ; ХХХIX = 39 ; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres à plusieurs chiffres dans cette notation est très difficile. Cependant, la numérotation romaine prévalait en Italie jusqu'au XIIIe siècle. , et dans d'autres pays d'Europe occidentale - jusqu'au 16ème siècle.
Ces systèmes se caractérisent par deux inconvénients qui ont conduit à leur remplacement par d'autres : la nécessité d'un grand nombre de signes différents, notamment pour représenter de grands nombres, et, surtout, l'inconvénient d'effectuer des opérations arithmétiques.
Le système de nombres décimaux, le plus pratique, le plus généralement accepté et le plus répandu, a été inventé en Inde, emprunté là-bas par les Arabes et ensuite arrivé en Europe après un certain temps. Dans le système décimal, la base est le nombre 10.
Il convient également de noter que les mathématiciens indiens ont introduit pour la première fois dans l'histoire le zéro comme signe indiquant l'absence d'unités d'un chiffre particulier - un nombre écrit dans le système de numérotation décimal. Le nom indien du zéro est sunya, qui signifie littéralement vide.
La découverte des Indiens a été acceptée par les scientifiques arabes, qui l'ont introduite en Europe au VIIIe siècle. La « numérotation arabe », empruntée aux Indiens parce qu’elle était plus simple et plus pratique que tous les autres systèmes de numérotation, s’est progressivement répandue dans toute l’Europe et a remplacé totalement ou partiellement tous les autres systèmes de numérotation.
Il y avait des systèmes numériques avec d'autres bases. Dans l’ancienne Babylone, par exemple, le système numérique sexagésimal était utilisé. Nous en trouvons des vestiges dans la division d'une heure ou d'un degré en 60 minutes et des minutes en 60 secondes, qui a été conservée jusqu'à ce jour.
Les anciens Égyptiens utilisaient le système numérique décimal, tandis que les anciens Babyloniens utilisaient le système numérique sexagésimal. Par exemple, le nombre 2-60+13
MM A MMM dans la désignation des Babyloniens ressemblait à ceci : -y y\ y y
Ni les Égyptiens ni les Babyloniens ne connaissaient pas encore la signification géographique (positionnelle) des nombres. Le secret de la signification géographique des nombres a été découvert par des mathématiciens indiens il y a environ mille cinq cents ans. Ils ont été les premiers dans la science mondiale à utiliser la numérotation décimale positionnelle.
DANS L'Egypte ancienne il y a environ 5 000 ans, ils ont commencé à désigner le nombre 10 avec le hiéroglyphe P (c'est peut-être le symbole d'un arc placé au-dessus d'une douzaine de lignes), le nombre 100 avec un signe in (c'est le symbole d'un instrument de mesure corde), etc. Ces nombres servaient à faire une notation décimale de n'importe quel nombre, par exemple le nombre 124 était désigné comme suit : "К©
Les peuples (Babyloniens, Assyriens, Sumériens) qui vivaient dans la zone située entre le Tigre et l'Euphrate à partir du IIe millénaire avant JC. e. avant le début de notre ère, les nombres étaient d'abord désignés à l'aide de cercles et de demi-cercles différentes tailles, mais ensuite ils ont commencé à utiliser seulement deux signes cunéiformes - un coin droit y (1) et un coin couché * (10). Ces peuples utilisaient un système numérique sexagésimal, par exemple le nombre 23 était représenté ainsi : *h -4 U T V Le nombre 60 était encore désigné par le signe y, par exemple le nombre 92 s'écrivait ainsi : T^-h^TT
Par la suite, les Babyloniens introduisirent un caractère spécial 4 pour indiquer la place sexagésimale manquante.
Le système duodécimal était également répandu dans l'Antiquité, dont l'origine est probablement liée, comme le système décimal, au comptage sur les doigts : les phalanges (articulations individuelles) des quatre doigts d'une main, qui étaient doigtées avec le pouce du même main, ont été prises comme unité de comptage. Les vestiges de ce système numérique ont survécu jusqu'à ce jour et jusqu'à discours oral, et en douane. Par exemple, le nom de l'unité de la deuxième catégorie est bien connu - le nombre 12 - "douzaine". La coutume de compter de nombreux objets non pas par dizaines, mais par dizaines a été conservée, par exemple les couverts d'un service ou les chaises d'un ensemble de meubles. Le nom de l'unité à troisième chiffre du système duodécimal - brut - est aujourd'hui rarement trouvé, mais dans la pratique commerciale du début du siècle, il existait encore. Par exemple, dans un poème écrit en 1928 par Plyushkin V.V. Mayakovsky, ridiculisant les gens qui achètent tout à la suite, a écrit : « J'ai acheté douze grosses baguettes de chef d'orchestre. Un certain nombre de tribus africaines et La Chine ancienne Le système de numérotation quintuple a été utilisé. En Amérique centrale (chez les anciens Aztèques et Mayas) et parmi ceux qui habitaient Europe de l'Ouest Les anciens Celtes utilisaient le système à 20 chiffres. Tous sont également associés au comptage sur les doigts. Au début de notre ère, les Indiens Mayas, qui vivaient dans la péninsule du Yucotan en Amérique centrale, utilisaient un système numérique différent : vingt. Ils indiquaient 1 avec un point et 5 avec une ligne horizontale, par exemple, l'entrée « » « » signifiait 14. Le système numérique maya avait également un signe pour zéro. Sa forme ressemblait à un œil à moitié fermé.
DANS La Grèce ancienne Au début, les nombres 5, 10, 100, 1000, 10000 étaient désignés par les lettres G, A, N, X, M, et le chiffre 1 par un tiret /. Ces signes ont servi à composer les désignations p (50) ddd~(35), etc. Plus tard les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 1 0000, 2 0000 a commencé à être désigné par des lettres grecques de l'alphabet, auxquelles il a fallu ajouter trois autres lettres obsolètes. Pour distinguer les chiffres des lettres, un tiret a été placé au-dessus des lettres.
Il est intéressant de noter que les Arabes traduisaient le mot « sunya » dans leur langue par le terme « chiffre » (az z1!g). Ainsi, auparavant, seul zéro était appelé nombre. C'est dans ce sens que le mot nombre a été utilisé par le mathématicien italien du début du XIIIe siècle, Fibonacci, qui a publié en 1202 un livre d'arithmétique intitulé « Le Livre du Boulier » (le boulier est un tableau de comptage, le prédécesseur de nos comptes de bureau). ). Dans le même sens, ce mot a été utilisé au début du XVIIIe siècle par le premier compilateur d'arithmétique imprimée, L. F. Magnitsky. Cependant, au fil du temps, les Européens ont commencé à comprendre les nombres comme les signes suivants : 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et le premier d'entre eux s'appelait zéro.
En Chine et au Japon, les hiéroglyphes étaient utilisés pour écrire des nombres.
Moderne notation décimale nombres naturels est apparu pour la première fois en Inde au 6ème siècle. Grâce aux Arabes qui ont conquis au cours des siècles UI-USH. Dans de vastes zones de la Méditerranée et de l'Asie, la numérotation indienne s'est généralisée. D'où le nom - chiffres arabes.
La nouvelle numérotation indienne a également été introduite dans les pays européens par les Arabes aux Xe-XIIe siècles. , cependant, jusqu'au XVIIIe siècle. Seuls les chiffres romains étaient autorisés sur les papiers officiels. Seulement pour début XIX V. La numérotation indienne a commencé à être utilisée partout.
En Russie déjà au 17ème siècle. dans tous les manuscrits mathématiques, sans exception, on ne trouve que le système de nombres décimaux positionnels.
Le système numérique le plus récent peut à juste titre être considéré comme binaire. Ce système possède un certain nombre de qualités qui le rendent très avantageux pour une utilisation dans les machines informatiques et les ordinateurs modernes.
Cependant, le système décimal indo-arabe s’est avéré être le plus couramment utilisé. Les Indiens ont été les premiers à utiliser le zéro pour indiquer la signification positionnelle d'une quantité dans une chaîne de nombres. Ce système est appelé décimal car il comporte dix chiffres.
DANS monde moderne Il existe de nombreuses façons de représenter les nombres. Un nombre peut être représenté par un groupe de caractères d'un alphabet.
Un système numérique est un ensemble de règles permettant de désigner et de nommer des nombres.
Le plus système le plus simple Les nombres sont unaires, dans lesquels un seul symbole est utilisé (bâton, nœud, encoche, caillou, etc.
Le principe le plus parfait pour représenter les nombres est le principe de position (lieu), selon lequel le même signe numérique (chiffre) a différentes significations selon l'endroit où il se trouve.
Malgré l'apparent naturel d'un tel système, il est le résultat d'un long travail développement historique. L'émergence du système de nombres décimaux est associée au comptage sur les doigts. Il existait des systèmes de numération avec d'autres bases : 5, 12 (compter par dizaines), 20 (des traces d'un tel système sont conservées dans la langue française, par exemple quatre - vingts, c'est-à-dire littéralement quatre - vingt, signifie 80), 40, 60. , etc. Lors de l'informatique sur un ordinateur, le système numérique de base 2 est souvent utilisé.
Les peuples primitifs n'avaient pas de système numérique développé. Au 19ème siècle, de nombreuses tribus d'Australie et de Polynésie n'avaient que deux chiffres : un et deux ; leurs combinaisons formaient les nombres : 3 - deux - un, 4 - deux - deux, 5 - deux - deux - un et 6 - deux - deux - deux. Tous les nombres supérieurs à 6 étaient évoqués « beaucoup » sans les individualiser. Avec le développement du social la vie économique Il fallait créer des systèmes de numérotation qui permettraient de désigner des collections d'objets toujours plus grandes. L'un des systèmes de numérotation les plus anciens est la numérotation hiéroglyphique égyptienne, apparue entre 2 500 et 3 000 avant JC. e. Il s'agissait d'un système numérique décimal non positionnel, dans lequel seul le principe de l'addition était utilisé pour enregistrer les nombres (les nombres exprimés par des chiffres adjacents s'additionnent).
Des systèmes numériques similaires étaient grecs hérodiens, romains, syriaques, etc.
Les chiffres romains sont le nom traditionnel d'un système de signes pour désigner des nombres, basé sur l'utilisation de symboles spéciaux pour les décimales :
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Plus des systèmes parfaits Les chiffres sont alphabétiques : ionien, slave, hébreu, arabe, ainsi que géorgien et arménien.
Dans les systèmes de numérotation alphabétique, les nombres sont écrits beaucoup plus courts que dans les systèmes précédents ; de plus, il est beaucoup plus facile d'effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres écrits en numération alphabétique. Cependant, dans les systèmes de numérotation alphabétique, vous ne pouvez pas écrire des nombres arbitrairement grands.
Dans le système numérique des anciens Babyloniens, apparu vers 2000 avant JC. e. tous les nombres étaient écrits en utilisant deux signes : (pour un) et (pour dix). Les nombres jusqu'à 60 étaient écrits comme des combinaisons de ces deux signes en utilisant le principe de l'addition. Le nombre 60 était à nouveau désigné par un signe, étant une unité de la catégorie la plus élevée. Pour enregistrer les nombres de 60 à 3600, le principe de l'addition était à nouveau utilisé, et le nombre 36 000 était désigné par le même signe qu'un, etc. Le nombre 343 = 5*60+4*10+3 dans ce système s'écrivait ainsi suit :
Cependant, en raison de l'absence de signe zéro, qui pourrait être utilisé pour marquer les chiffres manquants, l'enregistrement des nombres dans ce système numérique n'était pas sans ambiguïté. La particularité du système numérique babylonien était que la valeur absolue des nombres restait incertaine.
Un autre système numérique basé sur le principe de position est apparu chez les Indiens Mayas, habitants de la péninsule du Yucatan ( Amérique centrale) au milieu du 1er millénaire après JC. e. Les Mayas avaient deux systèmes numériques : l'un, qui rappelle celui égyptien, était utilisé dans Vie courante, l'autre est positionnel, avec une base de 20 et un signe spécial pour zéro, utilisé dans les calculs du calendrier. L'enregistrement dans ce système, comme dans notre système moderne, était absolu.
Le système de numérotation décimal positionnel moderne est né de la numérotation, apparue au plus tard au 5ème siècle. en Inde. Avant cela, l'Inde avait des systèmes numériques qui utilisaient non seulement le principe de l'addition, mais également le principe de la multiplication (l'unité d'un chiffre est multipliée par le nombre de gauche). L’ancien système numérique chinois et quelques autres ont été construits de la même manière. Si, par exemple, on désigne classiquement le chiffre 3 comme le symbole III, et le chiffre 10 comme le symbole X, alors le nombre 30 s'écrira IIIX (trois dizaines). De tels systèmes de numérotation pourraient servir d’approche pour créer une numérotation positionnelle décimale.
Le système positionnel décimal permet en principe d'écrire des nombres arbitrairement grands. L'écriture de nombres y est compacte et pratique pour effectuer des opérations arithmétiques. Par conséquent, peu de temps après sa création, le système de numération positionnelle décimale commence à se propager de l’Inde vers l’Ouest et l’Est. Au IXe siècle, des manuscrits apparaissent sur arabe, qui a établi ce système de numérotation, au Xe siècle, la numérotation positionnelle décimale a atteint l'Espagne et au début du XIIe siècle, elle est apparue dans d'autres pays européens. Le nouveau système de numérotation s'appelle arabe parce qu'en Europe, il y a été introduit pour la première fois par le biais de traductions latines de l'arabe. Ce n'est qu'au XVIe siècle que la nouvelle numérotation s'est répandue dans la science et dans la vie quotidienne. En Russie, sa propagation commence au XVIIe siècle et au tout début du XVIIIe siècle. déplace l'alphabet. Avec introduction décimales le système de numérotation positionnelle décimale est devenu remède universelécrire tous les nombres réels.
L'homme primitif n'avait presque pas besoin de compter. "Un", "deux" et "plusieurs" - ce sont tous ses chiffres. Les gens modernes vous devez gérer littéralement les chiffres à chaque étape. Vous devez être capable de nommer et d'écrire correctement n'importe quel nombre, quelle que soit sa taille. Si chaque numéro était appelé par un nom spécial et indiqué par écrit par un signe spécial, personne ne pourrait se souvenir de tous ces mots et signes. Comment faire face à cette tâche ? Nous aide bon système notation.
Un ensemble de quelques noms et signes qui vous permettent d'écrire n'importe quel nombre et de lui donner un nom est appelé système numérique ou numérotation.
Sur presque tout globe L'alphabet dans le langage des nombres est composé de 10 chiffres, de 0 à 9. Neuf d'entre eux sont utilisés pour désigner les neuf premiers nombres naturels, et le dixième - zéro - ne désigne aucun nombre, c'est ce qu'on appelle un « nombre positionnel ». Confiture". Ce langage est appelé système de nombres décimaux.
Cependant, ni à tout moment ni partout, les gens n’utilisaient le système décimal. D'un point de vue purement mathématique, il ne présente pas d'avantages particuliers par rapport aux autres systèmes numériques, et ce système doit sa large diffusion non pas aux lois générales des mathématiques, mais à des raisons d'une nature complètement différente.
DANS Dernièrement Le système décimal est sérieusement concurrencé par les systèmes binaires et, en partie, ternaires, que les ordinateurs modernes « préfèrent » utiliser.
Comment les gens comptaient et comment ils appelaient les nombres avant l'invention de l'écriture, personne ne le sait avec certitude. On ne peut que deviner cela. Une chose est sûre : l’humanité a appris à compter très lentement. Cependant, au moment où l’écriture a été inventée, les gens savaient déjà bien compter.
Il y a quatre mille ans, les peuples les plus développés (Égyptiens, Chaldéens) étaient capables d'écrire et d'utiliser non seulement l'ensemble, mais aussi le plus simple nombres fractionnaires. De plus, à cette époque, il existait déjà des écoles qui enseignaient l’art de compter.
Il n’y avait pas de lettres dans l’écriture primitive. Chaque chose, chaque action était représentée par une image. Petit à petit, les images sont devenues plus simples. Parallèlement à la représentation d'objets et d'actions, des figures spéciales sont apparues, indiquant diverses propriétés choses, ainsi que des icônes pour les mots correspondant à nos prépositions et conjonctions.
C'est ainsi qu'est née l'écriture appelée hiéroglyphes ; en notation hiéroglyphique, chaque symbole correspond non pas à un son, comme chez nous, mais à un mot entier.
À l’époque, il n’existait pas de signes spéciaux (chiffres) pour écrire des nombres. Mais les mots « un », « deux »,… « dix-sept » et ainsi de suite correspondaient à certains hiéroglyphes. Il n'y en avait pas beaucoup, car à l'époque les gens ne connaissaient pas un grand nombre.
Dans certains pays (par exemple la Chine et le Japon), l'écriture hiéroglyphique a survécu jusqu'à nos jours. Voici, par exemple (voir Fig. 2), plusieurs hiéroglyphes :
Riz. 2
Chez les Slaves, l'ordre des chiffres lors de l'écriture d'un nombre était le même que dans son nom parlé. Ils disent, par exemple, "quinze" (en slave - "cinq sur dix"), en appelant d'abord le nombre d'unités, puis dix. Les Slaves écrivaient de cette façon, c'est-à-dire qu'ils en écrivaient cinq devant et dix derrière. Au contraire, dans le nombre « vingt-trois », ils nomment d'abord des dizaines, puis des uns ; chez les Slaves, d'abord trois puis vingt, cela se reflétait dans la lettre.
Pour distinguer les chiffres des lettres, une icône spéciale a été placée au-dessus d'eux - un titre. Il n'était placé qu'au-dessus d'un des chiffres. La place du chiffre, sa position dans l'enregistrement du numéro, n'avait pas d'importance.
Les grands nombres étaient facilement écrits à l’aide de ces signes. Le signe du titre signifiait des milliers. En répétant ce signe, il était possible d'écrire de très grands nombres
Nombres jusqu'à mille Rus antique s'appelaient presque de la même manière qu'aujourd'hui. Il y avait une légère différence dans la prononciation (par exemple, « un » était appelé « un » et ainsi de suite). Dix mille étaient appelés « ténèbres », et ce nombre était considéré comme si énorme que le même mot était utilisé pour désigner toute multitude qui ne pouvait être comptée.
Plus tard (XVIe - XVIIe siècles), un système particulier de dénomination des nombres est apparu, appelé « grand nombre slave » ; dans ce système, les nombres jusqu'à 999999 étaient appelés presque de la même manière qu'aujourd'hui. Le mot « obscurité » signifie déjà un million. De plus, les noms suivants apparaissent : « obscurité des sujets » ou « légion » (c'est-à-dire qu'un million de millions, ou un billion, est égal à 10) ; « légion de légions », ou « modr » (septillion, 1024) ; enfin, « modr modrov », ou « corbeau » (c'est-à-dire 1048).
La numérotation positionnelle semble provenir de l’ancienne Babylone (il y a environ quatre mille ans). Nous en reparlerons un peu plus tard. En Inde, cela prenait la forme d’une numérotation décimale positionnelle utilisant zéro. Ce système numérique a été emprunté aux hindous par les Arabes, devenus aux VIIIe et IXe siècles. l'un des peuples les plus cultivés du monde. Les Européens l’ont adopté des Arabes (d’où le nom « chiffres arabes »).
Les mathématiques babyloniennes sont particulièrement intéressantes. La numérotation babylonienne a existé pendant mille cinq cents ans (du XVIIIe au IIIe siècle avant JC) et a été utilisée répandu dans tout le Moyen-Orient. Elle a influencé les mathématiques chinoises, indiennes et grecques.
Les Babyloniens écrivaient avec des bâtons sur des plaques d’argile molle, puis brûlaient leurs « manuscrits ». Le résultat fut des « documents » en briques durables, qui ont partiellement survécu jusqu'à nos jours ; ils sont souvent trouvés lors de fouilles en Mésopotamie (aujourd'hui l'Irak). Il était donc possible d’étudier assez bien l’histoire babylonienne et les mathématiques en particulier.
Au tournant des XIX-XVIII siècles. Avant JC, il y a eu une fusion de deux peuples : les Sumériens et les Akkadiens. Chacun de ces peuples avait un commerce, des poids et des unités monétaires assez développés, mais aucun de ces peuples n'avait développé la numérotation.
Chez les Akkadiens, l'unité de base - "mekel" - était environ 60 fois plus petite que l'unité chez les Sumériens - "mina" (environ un demi-kilogramme). L'unité monétaire était une mine d'argent.
Après la fusion de ces peuples, les deux systèmes d'unités étaient « en circulation » : les mines et les mekels étaient utilisés de la même manière que l'on utilise aujourd'hui les kilogrammes et les grammes (roubles et kopecks), à la seule différence que la plus grande unité n'était pas égale. à 100, mais à 60 petites unités. Au fil du temps, une unité plus grande est apparue - le « talent » : 1 talent = 60 min, 1 min = 60 mekels.
Comment les Babyloniens écrivaient-ils les nombres ? Ils écrivaient avec des bâtons, les pressant dans l'argile, leurs principaux éléments graphiques étaient donc des coins. Le premier désignait les unités, le second les dizaines, voir fig. 3.
Riz. 3
Ces signes sont très clairs, le nombre de coins est frappant, il n'est donc pas nécessaire de les compter. Mais l'écriture cunéiforme est très peu pratique pour estimer la taille des écarts entre les nombres, et la nécessité de tout copier à la main a conduit à de fréquentes fautes de frappe. Il fallait un signe de division, et il est apparu. Depuis quelques temps, le symbole ^ apparaît sur les briques babyloniennes, correspondant à notre zéro.
Cependant, ayant introduit un « bouchon de position » au milieu des chiffres, les Babyloniens n’ont jamais pensé à le mettre à la fin. Et jusqu’à la chute de la culture babylonienne, les nombres 1, 60, 3000 s’écrivaient de la même manière.
Seuls les Hindous, qui leur ont emprunté la numérotation positionnelle, ont appris à utiliser correctement le signe zéro, et en introduisant la base 10 au lieu de 60, ils ont donné à la notation sa forme moderne.
Il y a trois mille ans, les hindous utilisaient déjà la numérotation moderne, bien que les monuments de cette époque ne mentionnent pas de nombres supérieurs à 100 000. Dans des sources ultérieures, on trouve des nombres beaucoup plus importants - jusqu'à cent quadrillions (1017). L'une des légendes relativement jeunes sur Bouddha dit qu'il connaissait les noms des nombres jusqu'à 1054. Cependant, les hindous n'imaginaient apparemment pas l'infinité de la série naturelle, ils croyaient qu'il existait une sorte de le plus grand nombre, connu uniquement des dieux.
La preuve de l'infinité des séries de nombres est le mérite des scientifiques grecs anciens.
