Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба дисперсийн томъёо. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ түгээлтийн хууль нь тодорхойгүй байдаг тул хүн өөрийгөө бага мэдээллээр хязгаарлах шаардлагатай болдог. Заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нийтлэх тоог ашиглах нь бүр илүү ашигтай байдаг; ийм тоонуудыг дууддаг тоон шинж чанар санамсаргүй хувьсагч. Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм.

Доор үзүүлсэн шиг математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгатай тэнцүү байна. Олон асуудлыг шийдэхийн тулд математикийн хүлээлтийг мэдэхэд хангалттай. Жишээлбэл, хэрэв эхний шидэгчийн авсан онооны математикийн хүлээлт хоёр дахь онооноос их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол эхний шидэгч дунджаар хоёр дахьоос илүү оноо авсан тул илүү сайн харвадаг. хоёрдохоосоо. Хэдийгээр математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай түүний тархалтын хуулиас хамаагүй бага мэдээлэл өгдөг ч математик хүлээлтийн талаарх мэдлэг нь дээрх болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.

§ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт

Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье X зөвхөн утгыг авч болно X 1 , X 2 , ..., X П , магадлал нь тус тус тэнцүү байна Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . Дараа нь математикийн хүлээлт М(X) санамсаргүй хувьсагч X тэгш эрхээр тодорхойлогддог

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x n х n .

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг, тэгвэл

М(X)=

Түүгээр ч барахгүй тэгш байдлын баруун талд байгаа цувралууд туйлын нийлбэл математикийн хүлээлт бий болно.

Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтоос харахад салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй (тогтмол) хэмжигдэхүүн юм. Дараа нь олон удаа хэрэглэгдэх тул энэ мэдэгдлийг санаж байхыг зөвлөж байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь мөн тогтмол утга гэдгийг дараа харуулах болно.

Жишээ 1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X, түүний тархалтын хуулийг мэдэх нь:

Шийдэл. Шаардлагатай математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Жишээ 2.Үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг ол Аүйл явдлын магадлал бол нэг шүүх хуралдаанд Атэнцүү Р.

Шийдэл. Санамсаргүй утга X - үйл явдлын тохиолдлын тоо Анэг туршилтанд - зөвхөн хоёр утгыг авч болно: X 1 = 1 (үйл явдал Атохиолдсон) магадлалаар РТэгээд X 2 = 0 (үйл явдал Атохиолдоогүй) магадлалаар q= 1 -Р.Шаардлагатай математикийн хүлээлт

М(X)= 1* х+ 0* q= х

Тэгэхээр, Нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын тооны математик хүлээлт нь энэ үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна.Энэ үр дүнг доор ашиглах болно.

§ 3. Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга

Үүнийг үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүхий тестүүд X хүлээн зөвшөөрсөн Т 1 дахин үнэ цэнэ X 1 , Т 2 дахин үнэ цэнэ X 2 ,...,м к дахин үнэ цэнэ x к , болон Т 1 + Т 2 + …+т руу = х.Дараа нь авсан бүх утгуудын нийлбэр X, тэнцүү

X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу .

Арифметик дундажийг олъё санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бүх утгыг бид олсон нийлбэрийг хуваана нийт тоотуршилтууд:

= (X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу)/П,

= X 1 (м 1 / n) + X 2 (м 2 / n) + ... + X руу (Т руу /П). (*)

хандлага байгааг анзаарсан м 1 / n- харьцангуй давтамж В 1 үнэт зүйлс X 1 , м 2 / n - харьцангуй давтамж В 2 үнэт зүйлс X 2 гэх мэт харьцааг (*) дараах байдлаар бичнэ.

=X 1 В 1 + x 2 В 2 + .. . + X руу В к . (**)

Туршилтын тоо нэлээд их байна гэж бодъё. Дараа нь харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна (үүнийг IX бүлгийн § 6-д нотлох болно):

В 1 х 1 , В 2 х 2 , …, В к х к .

Харьцангуй давтамжийг (**) хамааралтай магадлалаар сольж бид олж авна

x 1 х 1 + X 2 Р 2 + … + X руу Р руу .

Баруун хэсэгэнэ ойролцоо тэгш байдал юм М(X). Тэгэхээр,

М(X).

Хүлээн авсан үр дүнгийн магадлалын утга нь дараах байдалтай байна. математикийн хүлээлт ойролцоогоор тэнцүү байна(илүү нарийвчлалтай байх тусам шинжилгээний тоо их болно) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж.

Тайлбар 1. Математикийн хүлээлт нь хамгийн багаас их, боломжит хамгийн том утгаас бага гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоон мөрөнд боломжит утгууд нь математикийн хүлээлтийн зүүн ба баруун талд байрлана. Энэ утгаараа математикийн хүлээлт нь тархалтын байршлыг тодорхойлдог тул ихэвчлэн нэрлэдэг түгээлтийн төв.

Энэ нэр томъёо нь механикаас зээлсэн: хэрэв масс Р 1 , Р 2 , ..., Р Пабсцисса цэгүүдэд байрладаг x 1 , X 2 , ..., X n, ба
дараа нь хүндийн төвийн абсцисса

x в =
.

Үүнийг харгалзан үзвэл
= М (X) Тэгээд
бид авдаг М(X)= x -тай .

Тиймээс, математикийн хүлээлт нь материаллаг цэгүүдийн системийн хүндийн төвийн абсцисса бөгөөд тэдгээрийн абсцисса нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгатай тэнцүү, масс нь тэдний магадлалтай тэнцүү байна.

Тайлбар 2. "Математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёоны гарал үүсэл нь магадлалын онол үүссэн эхний үетэй (XVI - XVII зуун) холбоотой бөгөөд түүний хэрэглээний хамрах хүрээ нь мөрийтэй тоглоомоор хязгаарлагддаг. Тоглогч нь хүлээгдэж буй ялалтын дундаж утгыг, эсвэл өөрөөр хэлбэл хожих математикийн хүлээлтийг сонирхож байв.

Хувь хүний ​​​​үнэг бүр нь түүний хуваарилалтын функцээр бүрэн тодорхойлогддог. Мөн практик асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд хэд хэдэн тоон шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай бөгөөд үүний ачаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарыг богино хэлбэрээр танилцуулах боломжтой болно.

Эдгээр тоо хэмжээ нь үндсэндээ орно хүлээгдэж буй үнэ цэнэТэгээд тархалт .

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ - магадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга. гэж тэмдэглэсэн.

Хамгийн энгийн аргаарсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w), яаж олох интегралЛебесгмагадлалын хэмжүүртэй холбоотой Р эх магадлалын орон зай

Та мөн утгын математик хүлээлтийг олж болно Лебегийн интеграл-аас Xмагадлалын тархалтаар R Xтоо хэмжээ X:

бүх боломжит утгуудын багц хаана байна X.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс функцүүдийн математик хүлээлт Xтүгээх замаар олж болно R X. Жишээлбэл, Хэрэв X- болон доторх утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн f(x)- хоёрдмол утгагүй Борелфункц X , Тэр нь:

Хэрэв F(x)- түгээлтийн функц X, дараа нь математикийн хүлээлтийг илэрхийлж болно интегралLebesgue - Stieltjes (эсвэл Riemann - Stieltjes):

энэ тохиолдолд интегралчлал XХамааран ( * ) интегралын төгсгөлтэй тохирч байна

Тодорхой тохиолдолд, хэрэв XБайгаа салангид хуваарилалтмагадлалтай утгуудтай х к, k=1, 2, . , ба магадлал, дараа нь

Хэрэв Xтуйлын байна тасралтгүй хуваарилалтмагадлалын нягтралтай p(x), Тэр

Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлт байгаа нь харгалзах цуврал буюу интегралын үнэмлэхүй нийлэлтэй тэнцүү байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд.

• Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна:

C- тогтмол;

• M=C.M[X]

• Санамсаргүй байдлаар авсан утгуудын нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

• Бие даасан санамсаргүй байдлаар авсан хувьсагчдын үржвэрийн математик хүлээлт = тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэр:

M=M[X]+M[Y]

Хэрэв XТэгээд Юбие даасан.

хэрэв цуврал нийлбэл:

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; утга тус бүрийг тэгээс өөр магадлалаар онооно.

1. Хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүл: x iдээр p i.

2. Хос бүрийн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ x i p i.

Жишээлбэл, Учир нь n = 4 :

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцалхам алхмаар, магадлал нь эерэг тэмдэгтэй цэгүүдэд огцом нэмэгддэг.

Жишээ:Томьёог ашиглан математикийн хүлээлтийг ол.

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд: математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлт. Тэдний шинж чанар, жишээ.

Тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд тавьсан асуултанд хариулахын тулд судалж буй утгын зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхойлолт 7.1.Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p p p.(7.1)

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй бол үр дүнгийн цуваа туйлын нийлдэг.

Тайлбар 1.Математикийн хүлээлтийг заримдаа гэж нэрлэдэг жигнэсэн дундаж, учир нь энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна их тоотуршилтууд.

Тайлбар 2.Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос харахад түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна.

Тайлбар 3.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус(тогтмол. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ч мөн адил гэдгийг бид дараа нь харах болно.

Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X- 2 гэмтэлтэй 10 хэсгээс бүрдсэн багцаас сонгогдсон гурвын стандарт хэсгүүдийн тоо. -д зориулж түгээлтийн цуврал үүсгэцгээе X. Асуудлын нөхцлөөс харахад ийм байна X 1, 2, 3 утгыг авч болно. Дараа нь

Жишээ 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тодорхойл X- Төрийн сүлд анх гарч ирэхээс өмнөх зоос шидсэн тоо. Энэ хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй тооны утгыг авч болно (боломжтой утгуудын багц нь олонлог юм натурал тоонууд). Түүний түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

X			…	П	…
Р	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)П	…

+ (тооцоолохдоо хязгааргүй буурах нийлбэрийн томъёо геометрийн прогресс: , хаана ).

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд.

1) Тогтмолын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:

М(ХАМТ) = ХАМТ.(7.2)

Баталгаа. Хэрэв бид авч үзвэл ХАМТзөвхөн нэг утгыг авах дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ХАМТмагадлалаар Р= 1, тэгвэл М(ХАМТ) = ХАМТ?1 = ХАМТ.

2) Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж болно.

М(CX) = CM(X). (7.3)

Баталгаа. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтүгээлтийн цувралаар өгөгдсөн

Дараа нь М(CX) = Cx 1 Р 1 + Cx 2 Р 2 + … + Cx p p p = ХАМТ(X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p r p) = CM(X).

Тодорхойлолт 7.2.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь хуваарилалтын хууль нь нөгөө нь ямар утгыг авсанаас хамаарахгүй бол. Үгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай.

Тодорхойлолт 7.3.За дуудъя бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр XТэгээд Ю санамсаргүй хувьсагч XY, боломжит утгууд нь бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна Xбүх боломжит утгуудын хувьд Ю, харгалзах магадлал нь хүчин зүйлсийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

М(XY) = М(X)М(Ю). (7.4)

Баталгаа. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид зөвхөн тухайн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг XТэгээд Юзөвхөн хоёр боломжит утгыг авна:

Тиймээс, М(XY) = x 1 y 1 ?х 1 g 1 + x 2 y 1 ?х 2 g 1 + x 1 y 2 ?х 1 g 2 + x 2 y 2 ?х 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 х 1 + x 2 х 2) + + y 2 g 2 (x 1 х 1 + x 2 х 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 х 1 + x 2 х 2) = М(X)?М(Ю).

Тайлбар 1.Энэ өмчийг хүчин зүйлийн олон тооны боломжит утгуудын хувьд ижил төстэй байдлаар нотолж болно.

Тайлбар 2. 3-р шинж чанар нь математикийн индукцээр батлагдсан дурын тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн хувьд үнэн юм.

Тодорхойлолт 7.4.Тодорхойлъё санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр XТэгээд Ю санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон X+Y, боломжит утгууд нь боломжит утга бүрийн нийлбэртэй тэнцүү байна Xболомжтой бүх үнэ цэнээр Ю; Ийм нийлбэрийн магадлал нь нэр томъёоны магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна (хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд - нэг гишүүний магадлалын хоёр дахь нөхцөлт магадлалын үржвэрүүд).

4) Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний (хамааралтай эсвэл бие даасан) нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

М (X+Y) = М (X) + М (Ю). (7.5)

Баталгаа.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаанд өгөгдсөн тархалтын цуваагаар тодорхойлогдсон санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг дахин авч үзье 3. Дараа нь боломжит утгууд X+Yбайна X 1 + цагт 1 , X 1 + цагт 2 , X 2 + цагт 1 , X 2 + цагт 2. Тэдний магадлалыг тус тус гэж тэмдэглэе Р 11 , Р 12 , Р 21 ба Р 22. Бид олох болно М(X+Ю) = (x 1 + y 1)х 11 + (x 1 + y 2)х 12 + (x 2 + y 1)х 21 + (x 2 + y 2)х 22 =

= x 1 (х 11 + х 12) + x 2 (х 21 + х 22) + y 1 (х 11 + х 21) + y 2 (х 12 + х 22).

Үүнийг баталцгаая Р 11 + Р 22 = Р 1 . Үнэхээр үйл явдал X+Yүнэт зүйлсийг авах болно X 1 + цагт 1 эсвэл X 1 + цагт 2 ба магадлал нь Р 11 + Ргэсэн үйл явдалтай 22 давхцаж байна X = X 1 (түүний магадлал нь Р 1). Энэ нь ижил төстэй байдлаар нотлогдсон х 21 + х 22 = Р 2 , х 11 + х 21 = g 1 , х 12 + х 22 = g 2. гэсэн үг,

М(X+Y) = x 1 х 1 + x 2 х 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = М (X) + М (Ю).

Сэтгэгдэл. 4-р шинж чанараас харахад дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ. Тав шидэх үед өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол шоо.

Нэг шоо шидэх үед хэдэн оноо авах тухай математикийн хүлээлтийг олцгооё.

М(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ижил тоо нь ямар ч шоо дээр өнхрүүлсэн онооны тооны математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна. Иймд өмч хөрөнгөөр ​​4 М(X)=

Тархалт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан байдлын талаархи ойлголттой байхын тулд зөвхөн түүний математик хүлээлтийг мэдэх нь хангалтгүй юм. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье: XТэгээд Ю, маягтын тархалтын цувралаар тодорхойлогдсон

X
Р	0,1	0,8	0,1

Ю
х	0,5	0,5

Бид олох болно М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Ю) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Таны харж байгаагаар хоёр хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт тэнцүү боловч хэрэв ХМ(X) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг маш сайн дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь түүний хамгийн боломжит утга (мөн үлдсэн утга нь 50-аас тийм ч их ялгаатай биш), дараа нь утгууд Ю-аас ихээхэн хасагдсан М(Ю). Тиймээс, математикийн хүлээлттэй зэрэгцээд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга түүнээс хэр их хазайж байгааг мэдэх нь зүйтэй юм. Энэ үзүүлэлтийг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг.

Тодорхойлолт 7.5.Тархалт (тархалт)Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний математик хүлээлтээс хазайх квадратын математик хүлээлт юм.

Д(X) = М (X-M(X))². (7.6)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг олъё X(сонгосон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоо) энэ лекцийн 1-р жишээнд. Математикийн хүлээлтээс боломжит утга бүрийн квадрат хазайлтыг тооцоолъё.

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Тиймээс,

Тайлбар 1.Тархалтыг тодорхойлохдоо дундаж утгаас хазайлтыг бус харин түүний квадратыг үнэлдэг. Энэ нь янз бүрийн шинж тэмдгүүдийн хазайлт нь бие биенээ цуцлахгүйн тулд хийгддэг.

Тайлбар 2.Тархалтын тодорхойлолтоос харахад энэ хэмжигдэхүүн нь зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг.

Тайлбар 3.Тооцоолоход илүү тохиромжтой дисперсийг тооцоолох томъёо байдаг бөгөөд түүний хүчинтэй байдал нь дараах теоремоор нотлогддог.

Теорем 7.1.Д(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)

Баталгаа.

Юу ашиглаж байна М(X) нь тогтмол утга бөгөөд математикийн хүлээлтийн шинж чанаруудыг бид (7.6) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Д(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =

= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

Жишээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дисперсийг тооцоолъё XТэгээд ЮЭнэ хэсгийн эхэнд хэлэлцсэн. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М(Ю) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Тэгэхээр хоёр дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь эхнийхээс хэдэн мянга дахин их байна. Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулийг мэдэхгүй ч гэсэн мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэялгаа нь бид үүнийг хэлж чадна Xматематикийн хүлээлтээс бага зэрэг хазайдаг, харин for ЮЭнэ хазайлт нь нэлээд ач холбогдолтой юм.

Тархалтын шинж чанарууд.

1) Тогтмол утгын хэлбэлзэл ХАМТтэгтэй тэнцүү:

Д (C) = 0. (7.8)

Баталгаа. Д(C) = М((С-М(C))²) = М((С-С)²) = М(0) = 0.

2) Тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар тараах тэмдгээс гаргаж болно.

Д(CX) = C² Д(X). (7.9)

Баталгаа. Д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(C²( X-M(X))²) =

= C² Д(X).

3) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X+Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.10)

Баталгаа. Д(X+Y) = М(X² + 2 XY + Ю²) - ( М(X) + М(Ю))² = М(X²) + 2 М(X)М(Ю) +

+ М(Ю²) - М²( X) - 2М(X)М(Ю) - М²( Ю) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Ю²) - М²( Ю)) = Д(X) + Д(Ю).

Дүгнэлт 1.Хэд хэдэн харилцан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 2.Тогтмол болон санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперстэй тэнцүү байна.

4) Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөрүүний дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X-Y) = Д(X) + Д(Ю). (7.11)

Баталгаа. Д(X-Y) = Д(X) + Д(-Ю) = Д(X) + (-1)² Д(Ю) = Д(X) + Д(X).

Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажаас квадрат хазайлтын дундаж утгыг өгдөг; Хазайлтыг өөрөө үнэлэхийн тулд стандарт хазайлт гэж нэрлэгддэг утгыг ашигладаг.

Тодорхойлолт 7.6.Стандарт хэлбэлзэлσ санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xдуудсан Квадрат язгууртархалтаас:

Жишээ. Өмнөх жишээнд дундаж үзүүлэлтүүд стандарт хазайлт XТэгээд Ютус тус тэнцүү байна

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Жишээ.

X -4 6 10
р 0.2 0.3 0.5

Шийдэл: Математикийн хүлээлт нь X-ийн бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолохын тулд Excel дээр тооцоолол хийх нь тохиромжтой (ялангуяа маш их өгөгдөл байгаа тохиолдолд) ашиглахыг зөвлөж байна. бэлэн загвар ().

Жишээ нь бие даасан шийдвэр(та тооцоолуур ашиглаж болно).
Тархалтын хуулиар тодорхойлсон дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол:

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

Математикийн хүлээлт нь дараах шинж чанартай байдаг.

Өмч чанар 1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна: M(C)=C.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно: M(CX)=CM(X).

Өмч чанар 3. Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Өмч 4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Бодлого 189. X ба Y-ийн математик хүлээлт мэдэгдэж байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн Z-ийн математик хүлээлтийг ол: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Шийдэл: Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан (нийлбэрийн математик хүлээлт нь нөхцлийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү; тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн тэмдгээс хасаж болно) бид M(Z)-ийг олж авна. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглан: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); б) X-M(X) хазайлтын математик хүлээлт тэгтэй тэнцүү байна.

191. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь гурван боломжит утгыг авна: x1= 4 p1 = 0.5 магадлалтай; xЗ = 6 магадлал P2 = 0.3, x3 магадлал p3. M(X)=8 гэдгийг мэдвэл: x3 ба p3-ийг ол.

192. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн боломжит утгуудын жагсаалтыг өгсөн болно: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1, энэ утгын математик хүлээлт ба түүний квадрат нь мөн мэдэгдэж байна: M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. xi-ийн боломжит утгуудад харгалзах p1, p2, p3 магадлалыг ол

194. 10 хэсгээс бүрдэх багц нь стандартын бус гурван хэсгийг агуулна. Хоёр хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олоорой - сонгосон хоёрын дундах стандарт бус хэсгүүдийн тоог.

196. Хэрэв нийт шидэлтийн тоо хорь байвал хоёр шоо тус бүрд нэг цэг гарч ирэх таван шоо шидэлтийн тоог X дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ бином тархалттуршилтын тоо ба нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна:

Математикийн хүлээлт бол тодорхойлолт юм

Checkmate хүлээж байнадахь хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм математик статистикба магадлалын онол нь утгын хуваарилалтыг тодорхойлдог эсвэл магадлалсанамсаргүй хувьсагч. Ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит параметрүүдийн жигнэсэн дундажаар илэрхийлэгддэг. Техникийн шинжилгээ, тооны цувааг судлах, тасралтгүй, цаг хугацаа шаардсан үйл явцыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь санхүүгийн зах зээл дээр арилжаа хийх үед эрсдэлийг үнэлэх, үнийн үзүүлэлтийг урьдчилан таамаглахад чухал ач холбогдолтой бөгөөд тоглоомын тактикийн стратеги, аргыг боловсруулахад ашиглагддаг. мөрийтэй тоглоомын онолууд.

Шак мат хүлээж байна- Энэсанамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга, тархалт магадлалмагадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үздэг.

Checkmate хүлээж байнамагадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын хэмжүүр. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлтийг шалгах xгэж тэмдэглэсэн М(х).

Математикийн хүлээлт (Хүн амын дундаж) нь

Checkmate хүлээж байна

Checkmate хүлээж байнамагадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн авч болох бүх боломжит утгуудын жигнэсэн дундаж.

Checkmate хүлээж байнасанамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүний нийлбэр ба эдгээр утгын магадлал.

Математикийн хүлээлт (Хүн амын дундаж) нь

Checkmate хүлээж байнаИйм шийдвэрийг олон тоо ба хол зайн онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг.

Checkmate хүлээж байнамөрийтэй тоглоомын онолын хувьд дамын наймаачин бооцоо тус бүрээс дунджаар олох эсвэл алдах хожлын хэмжээг илэрхийлдэг. Мөрийтэй тоглоомын хэлээр дамын наймаачидҮүнийг заримдаа "давуу тал" гэж нэрлэдэг. дамын наймаачин" (хэрэв энэ нь дамын наймаачинд эерэг байвал) эсвэл "байшингийн зах" (хэрэв энэ нь дамын хувьд сөрөг байвал).

Математикийн хүлээлт (Хүн амын дундаж) нь

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese вэб сайт weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. БОЛЖ БАЙНА УУ