Математикийн хүлээлт ба түүний үнэлгээ. Хүлээлт ба зөрүүний тооцоо

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг Xматематикийн хүлээлттэй мболон хэлбэлзэл Д, гэхдээ эдгээр хоёр параметр нь тодорхойгүй байна. Үнэ цэнээс дээш Xүйлдвэрлэсэн Нбие даасан туршилтууд, үүний үр дүнд багц Нтоон үр дүн x 1 , x 2 , …, x N. Үнэлгээний хувьд математикийн хүлээлтажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг санал болгох нь зүйн хэрэг

(1)

Энд гэж x iҮүний үр дүнд олж авсан тодорхой утгыг (тоо) авч үзнэ Нтуршилтууд. Хэрэв бид бусдыг авбал (өмнөхөөс үл хамааран) Нтуршилт, дараа нь бид өөр үнэ цэнийг авах нь ойлгомжтой. Хэрэв та илүү ихийг авбал Нтуршилт, дараа нь бид өөр шинэ үнэ цэнийг авах болно. -ээр тэмдэглэе X i-аас үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн битуршилт, дараа нь хэрэгжилт X iэдгээр туршилтуудаас олж авсан тоонууд байх болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ойлгомжтой X iанхны санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил магадлалын нягтын функцтэй байх болно X. Бид бас санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдэгт итгэдэг X iТэгээд Xjхэзээ бие даасан байдаг би, тэнцүү биш j(бие биенээсээ хамааралгүй янз бүрийн туршилтууд). Тиймээс бид (1) томъёог өөр (статистик) хэлбэрээр дахин бичнэ.

(2)

Тооцоолол нь шударга бус гэдгийг харуулъя:

Тиймээс түүврийн дундаж математикийн хүлээлт нь жинхэнэ математикийн хүлээлттэй тэнцүү байна санамсаргүй хувьсагч м. Энэ бол нэлээд таамаглаж болохуйц, ойлгомжтой баримт юм. Иймээс түүврийн дундаж утгыг (2) санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоолол болгон авч болно. Одоо асуулт гарч ирж байна: туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр математикийн хүлээлтийн тооцооны хэлбэлзэл юу болох вэ? Үүнийг аналитик тооцоо харуулж байна

Математикийн хүлээлтийн тооцооны хэлбэлзэл хаана байна (2), ба Д- санамсаргүй хэмжигдэхүүний үнэн дисперс X.

Дээр дурдсанаас харахад нэмэгдэж байгаа нь харагдаж байна Н(туршилтын тоо) тооцооллын зөрүү багасна, i.e. Бид бие даасан хэрэгжилтийг дүгнэх тусам математикийн хүлээлтэд ойртох тусам бид тооцооллыг олж авдаг.

Математик дисперсийн тооцоо

Өнгөц харахад хамгийн жам ёсны үнэлгээ юм шиг санагддаг

(3)

Энд (2) томъёог ашиглан тооцоолно. Тооцоолол нь шударга бус эсэхийг шалгая. Формула (3)-ыг дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ томъёонд (2) илэрхийллийг орлъё:

Вариацын үнэлгээний математик хүлээлтийг олцгооё.

(4)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс хамаарахгүй тул математикийн хүлээлтийг 0-тэй тэнцүү авч үзье, өөрөөр хэлбэл. м = 0.

	(5)
цагт.	(6)

Туршилтын үр дүнг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхойлж, энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг судалж буй объектын чанарын үзүүлэлт болгон авах үед туршилтын үр дүнд үндэслэн математикийн хүлээлтийг тооцоолох хэрэгцээ гарч ирдэг. Жишээлбэл, найдвартай байдлын үзүүлэлтийн хувьд системийн эвдрэлгүй ажиллах хугацааны математик хүлээлт, бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийн үр ашгийг үнэлэхдээ ашиглах боломжтой бүтээгдэхүүний тооны математик хүлээлт гэх мэтийг авч болно.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлохын тулд n хэмжилтийг бие даасан, системчилсэн алдаанаас ангид хийх ёстой гэж үзье. X v X 2 ,..., X х.Та математикийн хүлээлтийн хамгийн сайн тооцоог сонгох хэрэгтэй.

Практикт математик хүлээлтийн хамгийн сайн бөгөөд хамгийн түгээмэл тооцоо бол туршилтын үр дүнгийн арифметик дундаж юм.

бас дууддаг статистикэсвэл жишээ дундаж.

Тооцооллыг харуулъя t xаливаа параметрийг үнэлэх бүх шаардлагыг хангасан.

1. (5.10) илэрхийллээс ийм байна

өөрөөр хэлбэл үнэлгээ t" x- шударга бус тооцоо.

2. Чебышевын теоремын дагуу туршилтын үр дүнгийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтэд магадлалаар нийлдэг, өөрөөр хэлбэл.

Иймд тооцоолол (5.10) нь математикийн хүлээлтийн тогтмол тооцоо юм.

3. Үнэлгээний хэлбэлзэл t x,тэнцүү

Түүврийн хэмжээ ихсэх тусам n нь хязгааргүй буурна. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг бол аль нь ч байдаг нь батлагдсан Птархалт (5.11) хамгийн бага байх ба тооцоолол t x- математикийн хүлээлтийг үр дүнтэй тооцоолох. Тооцооллын зөрүүг мэдэх нь энэ тооцоог ашиглан математикийн хүлээлтийн үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлох үнэн зөв байдлын талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог.

Хэрэв хэмжилтийн үр дүн ижил нарийвчлалтай байвал арифметик дундажийг математикийн хүлээлтийг тооцоолоход ашиглана (D, хэлбэлзэл). би = 1, 2, ..., Пхэмжээс бүрт ижил). Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр хэмжилтийн үр дүн тэгш бус байдаг (жишээлбэл, туршилтын явцад хэмжилт хийдэг) асуудлуудтай тулгардаг. янз бүрийн төхөөрөмж). Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлтийн тооцоо нь хэлбэртэй байна

Хаана - z-р хэмжээсийн жин.

Томъёо (5.12)-д хэмжилт бүрийн үр дүнг өөрийн жингийн хамт оруулсан болно ХАМТ.. Иймд хэмжилтийн үр дүнгийн үнэлгээ t xдуудсан жигнэсэн дундаж.

Үнэлгээ (5.12) нь математикийн хүлээлтийг бодитой бус, тууштай, үр ашигтай тооцоолол гэдгийг харуулж болно. Тооцооллын хамгийн бага зөрүүг өгөгдсөн

Компьютер дээр загвартай туршилт хийхдээ хэд хэдэн цуврал туршилтын үр дүнгээс тооцоолол олдох бөгөөд цуврал бүрийн туршилтын тоо өөр байх үед ижил төстэй асуудал үүсдэг. Жишээлбэл, хоёр цуврал туршилтыг эзлэхүүнтэй хийсэн n 1Тооцооллыг олж авсан үр дүнд үндэслэн p 2 Т xi ба t x_.Математикийн хүлээлтийг тодорхойлох нарийвчлал, найдвартай байдлыг нэмэгдүүлэхийн тулд эдгээр цуврал туршилтуудын үр дүнг нэгтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд (5.12) илэрхийллийг ашиглана уу.

C коэффициентийг тооцоолохдоо D вариацын оронд цуврал тус бүрийн туршилтын үр дүнгээс олж авсан тооцооллыг орлуулна.

Ижил төстэй аргыг тохиолдох магадлалыг тодорхойлоход ашигладаг санамсаргүй үйл явдалцуврал туршилтын үр дүнд үндэслэн.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолохын тулд түүврийн дундажаас гадна бусад статистикийг ашиглаж болно. Эдгээр зорилгоор гишүүдийг ихэвчлэн ашигладаг. вариацын цуврал, өөрөөр хэлбэл, тооцоололд үндэслэсэн дараалсан статистик,

үндсэн шаардлагыг хангах, тухайлбал тууштай байдал, шударга байдал.

Вариацын цувралыг агуулсан гэж үзье n = 2кгишүүд. Дараа нь дундаж утгуудын аль нэгийг математикийн хүлээлтийн тооцоо болгон авч болно.

Хаана к-эдундаж

Энэ нь Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын статистик медианаас өөр зүйл биш, учир нь илэрхий тэгш байдал байдаг.

Статистик медианы давуу тал нь ажиглалтын хэвийн бус үр дүнгийн нөлөөллөөс ангид байдаг бөгөөд энэ нь эхний дундаж буюу хамгийн бага, хамгийн олон тооны вариацын цувралын дундажийг ашиглахад зайлшгүй юм.

Хачирхалтай түүврийн хэмжээтэй П = 2к- 1 статистик медиан нь түүний дунд элемент, өөрөөр хэлбэл. руувариацын цувралын th гишүүн Би = x k.

Арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтийн үр дүнтэй тооцоолол биш тархалтууд байдаг, жишээлбэл, Лапласын тархалт. Лапласын тархалтын хувьд математикийн хүлээлтийн үр дүнтэй тооцоолол нь түүврийн медиан болохыг харуулж байна.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь хэвийн тархалттай бол хангалттай том түүврийн хэмжээтэй бол статистик медианы тархалтын хууль тоон шинж чанартай хэвийн хэмжээтэй ойролцоо байдаг нь батлагдсан.

(5.11) ба (5.14) томъёог харьцуулж үзэхэд статистикийн дундажийн тархалт нь арифметик дундажийн тархалтаас 1.57 дахин их байна. Тиймээс математикийн хүлээлтийг тооцоолох арифметик дундаж нь статистик медианаас хэд дахин илүү үр дүнтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тооцооллын энгийн байдал, хэмжилтийн хэвийн бус үр дүнд үл мэдрэмтгий байдаг тул практикт статистик медианыг математикийн хүлээлтийг тооцоолоход ашигладаг.

Үргэлжилсэн тэгш хэмтэй тархалтын хувьд математикийн хүлээлт ба медиан ижил байна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Иймд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт тэгш хэмтэй байх тохиолдолд л статистик медиан нь математикийн хүлээлтийн сайн тооцоолол болж чадна.

Тэгш бус тархалтын хувьд статистик медиан Биматематикийн хүлээлттэй харьцуулахад ихээхэн хазайлттай тул түүнийг үнэлэхэд тохиромжгүй.

Математикийн хүлээлт ба дисперсийн тооцоо.

Бид магадлалын онол дахь тархалтын параметрийн тухай ойлголттой танилцсан. Жишээлбэл, магадлалын нягтын функцээр тодорхойлогдсон хэвийн тархалтын хуульд

параметр болж үйлчилнэ А– математикийн хүлээлт ба А- дундаж стандарт хэлбэлзэл. Пуассоны тархалтад параметр нь тоо юм a = жишээ нь.

Тодорхойлолт. Онолын тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик тооцоо нь түүврийн өгөгдлөөс хамааран түүний ойролцоо утга юм.(x 1, x 2, x 3,..., xk; n 1, n 2, n 3,..., н к), өөрөөр хэлбэл эдгээр хэмжигдэхүүний зарим функц.

Энд x 1, x 2, x 3,..., х к- онцлог шинж чанар, n 1, n 2, n 3,..., н к- харгалзах давтамжууд. Статистикийн тооцоолол нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

-ээр тэмдэглэе θ нь тооцоолсон параметр бөгөөд дамжуулан θ * – түүний статистик үнэлгээ. Хэмжээ | θ *–θ | дуудсан үнэлгээний нарийвчлал.Бага байх тусам | θ *–θ |, илүү сайн, үл мэдэгдэх параметрийг илүү нарийн тодорхойлсон.

Гоол θ * байсан практик ач холбогдол, энэ нь системчилсэн алдаа агуулаагүй байх ёстой бөгөөд үүний зэрэгцээ аль болох бага тархалттай байх ёстой. Түүнчлэн түүврийн хэмжээ ихсэх тусам дур зоргоороо жижиг хазайлт үүсэх магадлал | θ *–θ | 1-тэй ойролцоо байх ёстой.

Дараахь тодорхойлолтуудыг томъёолъё.

1. Математикийн хүлээлт нь M бол параметрийн тооцооллыг шударга бус гэж нэрлэдэг(θ *) тооцоолсон θ параметртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

М(θ *) = θ, (1)

болон нүүлгэн шилжүүлсэн бол

М(θ *) ≠ θ, (2)

2. Хэрэв ямар нэг δ > 0 байвал θ* үнэлгээг тогтвортой гэж хэлнэ

(3)

Тэгш байдал (3) ингэж уншина: тооцоол θ * магадлалаар нийлдэг θ .

3. Өгөгдсөн n-ийн хувьд хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байвал θ* үнэлгээг үр дүнтэй гэж нэрлэдэг.

Теорем 1.Түүврийн дундаж X B нь математикийн хүлээлтийг шударга, тууштай үнэлдэг.

Баталгаа. Дээжийг төлөөлсөн, өөрөөр хэлбэл бүх элемент байг хүн амтүүвэрт хамрагдах боломж ижил байна. Онцлог үнэт зүйлс x 1, x 2, x 3,..., x nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон авч болно X 1, X 2, X 3, ..., X nижил тархалт, тоон шинж чанар, түүний дотор тэнцүү математик хүлээлттэй, тэнцүү А,

Тоо хэмжээ тус бүрээс хойш X 1, X 2, X 3, ..., X pхүн амын тархалтад тохирсон тархалттай, тэгвэл М(X)= a.Тийм ч учраас

Үүнээс үзэхэд энэ нь тогтвортой тооцоо юм М(X).

Экстремумыг судлах дүрмийг ашиглан энэ нь бас үр дүнтэй тооцоолол гэдгийг батлах боломжтой М(X).

Түгээлтийн параметр ба статистик

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын аливаа параметрүүд, тухайлбал, математикийн хүлээлт, дисперс зэрэг нь онолын хэмжигдэхүүн бөгөөд тэдгээрийг шууд хэмжих боломжгүй боловч тэдгээрийг тооцоолох боломжтой. Тэд төлөөлдөг тоон шинж чанар хүн ам ерөнхий популяцид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын онцлогийг тодорхойлдог тул зөвхөн онолын загварчлалын явцад таамаглалын утгыг тодорхойлох боломжтой. Тэдгээрийг практикт тодорхойлохын тулд туршилт хийж буй судлаач тэдгээрт сонгомол үнэлгээ хийдэг. Энэхүү үнэлгээ нь статистикийн тооцоолол юм.

Статистик нь түүврийн утгыг судалсны үндсэн дээр олж авсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг тодорхойлдог судлагдсан параметрүүдийн тоон шинж чанар юм. Статистикийг түүврийг өөрөө тодорхойлоход ашигладаг, эсвэл үндсэндээ хамгийн чухал ач холбогдолтой туршилтын судалгаа, судалж буй популяци дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын параметрүүдийг тооцоолох.

Үзэл баримтлалыг салгах "параметр" Тэгээд "статистик" Энэ нь туршилтаар олж авсан өгөгдлийг буруу тайлбарлахтай холбоотой хэд хэдэн алдаанаас зайлсхийх боломжийг олгодог тул маш чухал юм. Баримт нь бид статистик мэдээллийг ашиглан тархалтын параметрүүдийг тооцоолохдоо тооцоолсон параметрүүдтэй тодорхой хэмжээгээр ойролцоо утгыг олж авдаг. Параметр болон статистикийн хооронд бараг үргэлж зарим нэг ялгаа байдаг бөгөөд энэ ялгаа хэр их байгааг бид хэлж чадахгүй. Онолын хувьд түүврийн хэмжээ их байх тусам тооцоолсон параметрүүд нь тэдгээрийн түүврийн шинж чанарт ойртдог. Гэхдээ энэ нь түүврийн хэмжээг нэмэгдүүлснээр бид тооцоолсон параметрт зайлшгүй ойртож, түүний болон тооцоолсон статистикийн хоорондын зөрүүг бууруулна гэсэн үг биш юм. Практикт бүх зүйл илүү төвөгтэй болж хувирдаг.

Хэрэв онолын хувьд статистикийн хүлээгдэж буй утга нь тооцоолсон параметртэй давхцаж байвал ийм тооцоог гэнэ. нүүлгэн шилжүүлээгүй. Тооцоолсон параметрийн хүлээгдэж буй утга нь тухайн параметрээс тодорхой хэмжээгээр ялгаатай байх тооцоог гэнэ. нүүлгэн шилжүүлсэн.

Мөн тархалтын параметрүүдийн цэг ба интервалын тооцоог ялгах шаардлагатай. Толбо тоо ашиглан үнэлгээ гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, өгөгдсөн нөхцөлд болон арьсны тодорхой хэсэгт тухайн субьектийн мэдрэхүйн мэдрэхүйн орон зайн босго утга нь 21.8 мм байна гэж хэлбэл, ийм тооцоолол нь цэг байх болно. Үүнтэй төстэй цэгийн тооцооЦаг агаарын мэдээ цонхны гадна 25°C байна гэж хэлэх үед тохиолддог. Интервалын тооцоо үнэлгээнд тоонуудын багц буюу мужийг ашиглахыг хэлнэ. Мэдрэмжийн мэдрэмжийн орон зайн босгыг үнэлэхэд энэ нь 20-25 мм-ийн хооронд байсан гэж хэлж болно. Үүний нэгэн адил цаг уурчид ойрын 24 цагийн дотор агаарын температур 22-24 хэм хүрнэ гэж цаг уурчид мэдээлж магадгүй байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний интервалын үнэлгээ нь зөвхөн энэ хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг тодорхойлохоос гадна ийм тооцооллын боломжит нарийвчлалыг тогтоох боломжийг олгодог.

Математикийн хүлээлт ба түүний үнэлгээ

Зоос шидэх туршилтдаа эргэн орцгооё.

Асуултанд хариулахыг хичээцгээе: Хэрэв бид зоосыг арван удаа эргүүлбэл "толгой" хэдэн удаа гарч ирэх ёстой вэ? Хариулт нь ойлгомжтой юм шиг байна. Хэрэв хоёр үр дүн тус бүрийн магадлал тэнцүү бол үр дүн нь өөрөө тэнцүү хуваарилагдах ёстой. Өөрөөр хэлбэл, энгийн зоосыг арван удаа шидэх үед түүний аль нэг тал нь, жишээлбэл, "толгой" нь яг таван удаа газардах болно гэж найдаж болно. Үүний нэгэн адил зоосыг 100 удаа шидэх үед “толгой” яг 50 удаа гарч ирэх ба зоосыг 4236 удаа шидсэн тохиолдолд бидний сонирхож буй тал нь 2118 удаа илүү, дутуугүй гарч ирнэ.

Тиймээс санамсаргүй үйл явдлын онолын утгыг ихэвчлэн нэрлэдэг математикийн хүлээлт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний онолын магадлалыг туршилтын тоогоор үржүүлэх замаар хүлээгдэж буй утгыг олж болно. Гэхдээ илүү албан ёсоор үүнийг нэгдүгээр зэрэглэлийн төв мөч гэж тодорхойлдог. Иймд математикийн хүлээлт нь давтан туршилтын явцад онолын хувьд хандлагатай, эргэн тойронд нь өөрчлөгддөг санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга юм.

Тархалтын параметр болох математикийн хүлээлтийн онолын утга нь статистикт илэрхийлэгдсэн бидний сонирхсон санамсаргүй хэмжигдэхүүний эмпирик утгатай үргэлж тэнцүү байдаггүй нь тодорхой байна. Хэрэв бид зоос шидэх туршилт хийвэл арван үр дүнгээс "толгой" дөрөв, гуравхан удаа гарч ирэх магадлалтай, эсвэл эсрэгээрээ найман удаа гарч ирэх магадлалтай. хэзээ ч гарч ирэхгүй. Эдгээр үр дүнгийн зарим нь илүү, зарим нь бага байх нь тодорхой байна. Хэрэв бид хэвийн тархалтын хуулийг ашиглавал үр дүн нь онолын хувьд хүлээгдэж буй хэмжээнээс их хэмжээгээр хазайх болно гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно. өгөгдсөн үнэ цэнэматематикийн хүлээлт нь практикт төдий чинээ бага байдаг.

Цаашид бид ижил төстэй процедурыг хэд хэдэн удаа хийсэн бөгөөд онолын хувьд хүлээгдэж буй утгыг хэзээ ч ажиглаагүй гэж үзье. Дараа нь бид зоосны жинхэнэ эсэхэд эргэлзэж магадгүй юм. Манай зоосны хувьд толгой авах магадлал үнэндээ 50% биш гэж бид үзэж болно. Энэ тохиолдолд энэ үйл явдлын магадлал, үүний дагуу математикийн хүлээлтийн утгыг тооцоолох шаардлагатай байж магадгүй юм. Туршилтын явцад ямар нэгэн урьдчилсан мэдлэггүйгээр урвалын хугацаа гэх мэт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг судлах үед ийм хэрэгцээ үүсдэг. онолын загвар. Дүрмээр бол энэ нь туршилтын үр дүнгийн тоон боловсруулалтын эхний зайлшгүй алхам юм.

Математикийн хүлээлтийг гурван аргаар тооцоолж болох бөгөөд энэ нь практик дээр арай өөр үр дүнг өгч болох боловч онолын хувьд энэ нь биднийг математикийн хүлээлтийн үнэ цэнэд хүргэх нь гарцаагүй.

Ийм үнэлгээний логикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.2. Хүлээгдэж буй утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төв хандлага гэж үзэж болно X, хамгийн их магадлалтай, тиймээс хамгийн их тохиолддог утга, хуваарилалтыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах цэг болгон.

Цагаан будаа. 1.2.

Зоосоор төсөөлж буй туршилтуудаа үргэлжлүүлж, арван удаа шидэх гурван туршилт хийцгээе. Эхний туршилтанд "толгой" дөрөв дахин, хоёр дахь туршилтад ижил зүйл тохиолдсон, гурав дахь туршилтад "толгой" нэгээс хагас дахин их буюу долоон удаа гарч ирэв гэж бодъё. Бидний сонирхож буй үйл явдлын математикийн хүлээлт нь эдгээр утгуудын хооронд хаа нэгтээ оршдог гэж үзэх нь логик юм.

Эхлээд, хамгийн энгийн үнэлгээний арга олох нь математикийн хүлээлт байх болно Арифметик дундаж. Дараа нь дээрх гурван хэмжилт дээр үндэслэн хүлээгдэж буй утгын тооцоо нь (4 + 4 + 7)/3 = 5 болно. Үүний нэгэн адил урвалын хугацааны туршилтанд бүх олж авсан утгуудын арифметик дундажийг авч хүлээгдэж буй утгыг тооцоолж болно. X. Тэгэхээр, хэрэв бид зарцуулсан бол П урвалын хугацааны хэмжилт X, Дараа нь бид дундажийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглаж болно арифметик утга X Эмпирик байдлаар олж авсан бүх утгыг нэмж, ажиглалтын тоогоор хуваах шаардлагатай.

Томъёонд (1.2) математикийн хүлээлтийн хэмжүүрийг ихэвчлэн ̅ гэж тэмдэглэдэг X ("Х нь баар" гэж уншина), хэдийгээр заримдаа үүнийг бичиж болно М (Англи хэлнээс гэсэн үг - дундаж).

Арифметик дундаж нь математик хүлээлтийн хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тооцоолол юм. Ийм тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмждэг гэж үздэг хэмжүүр масштаб. Хүлээн авсан үр дүн нь бидний хэзээ ч мэдэхгүй математикийн хүлээлтийн жинхэнэ утгатай давхцаж магадгүй эсвэл давхцахгүй байх нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь чухал юм шударга бус математикийн хүлээлтийг тооцоолох. Энэ нь тооцоолсон утгын хүлээгдэж буй утга нь түүний математик хүлээлттэй тэнцүү байна гэсэн үг: .

Хоёрдахь үнэлгээний арга Математикийн хүлээлт нь бидний сонирхож буй хувьсагчийн хамгийн их тохиолддог утгыг өөрийн үнэ цэнэ болгон авах явдал юм. Энэ утгыг гэж нэрлэдэг түгээлтийн горим. Жишээлбэл, зүгээр л авч үзсэн зоос шидэх тохиолдолд математикийн хүлээлтийн утгыг "дөрөв" гэж авч болно, учир нь явуулсан гурван туршилтанд энэ утга хоёр удаа гарч ирсэн; Тийм ч учраас энэ тохиолдолд түгээлтийн горим дөрөвтэй тэнцүү болсон. Горимын тооцооллыг туршилт хийгч нь заасан дискрет утгыг авдаг хувьсагчтай харьцах үед голчлон ашигладаг. хэмжүүрийн бус масштаб.

Жишээ нь, шалгалтын оюутны дүнгийн хуваарилалтыг тайлбарлахдаа нэг нь барьж болно давтамжийн хуваарилалтоюутнуудын авсан үнэлгээ. Үүнийг давтамжийн хуваарилалт гэж нэрлэдэг гистограм. Энэ тохиолдолд хамгийн түгээмэл тооцооллыг төв хандлагын үнэ цэнэ (математикийн хүлээлт) гэж авч болно. Хувьсагчдыг судлахдаа тодорхойлогддог тасралтгүй утгууд, энэ арга хэмжээг бараг ашигладаггүй эсвэл ховор хэрэглэдэг. Хэрэв олж авсан үр дүнгийн давтамжийн хуваарилалт хийгдсэн бол дүрмээр бол энэ нь судалж буй шинж чанарын туршилтаар олж авсан утгуудад хамаарахгүй, харин түүний илрэлийн зарим интервалд хамаарна. Жишээлбэл, хүмүүсийн өндрийг судалснаар хэдэн хүн 150 см хүртэл, хэд нь 150-155 см өндөрт унаж байгааг харж болно. Энэ тохиолдолд горим нь судалж буй шинж чанарын интервалын утгуудтай холбоотой байх болно энэ тохиолдолд- өсөлт.

Энэ горим нь арифметик дундаж шиг математикийн хүлээлтийн бодит утгатай давхцах эсвэл давхцахгүй байх нь ойлгомжтой. Гэхдээ арифметик дундажтай адил горим нь математикийн хүлээлтийг шударга үнэлдэг.

Хэрэв түүврийн хоёр утга ижил давтамжтай тохиолдвол ийм тархалтыг дуудна гэдгийг нэмж хэлье хоёр модаль. Хэрэв түүвэрт гурав ба түүнээс дээш утга ижил давтамжтай тохиолдвол ийм дээжийг горимгүй гэж үзнэ. Ийм тохиолдлууд хангалттай их тооАжиглалт нь дүрмээр бол тархалт нь ердийнхөөс ялгаатай популяциас өгөгдлийг гаргаж авсан болохыг харуулж байна.

Эцэст нь, Гурав дахь үнэлгээний арга Математикийн хүлээлт нь бидний сонирхож буй параметрийн дагуу сэдвүүдийн түүврийг яг хагасаар хуваах явдал юм. Энэ хил хязгаарыг тодорхойлсон хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг дундаж хуваарилалт.

Бид цанын тэмцээнд оролцож, дууссаны дараа тамирчдын аль нь дунджаас дээгүүр, аль нь доогуур үр дүн үзүүлснийг үнэлэхийг хүсч байна гэж бодъё. Хэрэв оролцогчдын бүрдэл илүү эсвэл бага байвал дундаж үр дүнг үнэлэхдээ арифметик дундажийг тооцоолох нь логик юм. Гэхдээ мэргэжлийн оролцогчдын дунд хэд хэдэн сонирхогчид байдаг гэж бодъё. Тэдгээрийн цөөхөн нь байдаг, гэхдээ тэдгээр нь бусдаас хамаагүй доогуур үр дүнг харуулдаг. Энэ тохиолдолд 100 оролцогчдын 87 нь дунджаас дээгүүр үр дүн үзүүлсэн нь тодорхой болж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд дундаж үр дүнг 50 эсвэл 51-р байранд орсон оролцогчид үзүүлсэн гэж үзэх нь логик юм. Энэ нь түгээлтийн медиан байх болно. 50 дахь финалд өрсөлдөхөөс өмнө 49 оролцогч, 51 дэх оролцогчийн дараа мөн 49 оролцогч шалгарсан. Гэхдээ тэдний дунд хэнийх нь үр дүнг дундажлах нь тодорхойгүй байна. Мэдээжийн хэрэг, тэд ижил хугацаанд дуусгасан байж магадгүй юм. Тэгвэл ямар ч асуудал байхгүй. Ажиглалтын тоо сондгой байхад асуудал үүсдэггүй. Бусад тохиолдолд та хоёр оролцогчийн үр дүнгийн дундажийг ашиглаж болно.

Медиан нь илэрхийлнэ онцгой тохиолдолтархалтын тоо хэмжээ. Тоо хэмжээ түгээлтийн нэг хэсэг юм. Албан ёсоор үүнийг хувьсагчийн хоёр утгын хоорондох тархалтын салшгүй утга гэж тодорхойлж болно X. Тиймээс үнэ цэнэ X Хэрэв тархалтын интеграл утга (магадлалын нягт) нь -∞-аас байвал тархалтын медиан болно. X -аас тархалтын интеграл утгатай тэнцүү X +∞ руу. Үүний нэгэн адил хуваарилалтыг дөрөв, арав, 100 хэсэгт хувааж болно. Ийм квантилуудыг зохих ёсоор нь нэрлэдэг квартил, дециль Тэгээд хувь хэмжээ. Бусад төрлийн квантилууд байдаг.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох өмнөх хоёр аргын нэгэн адил медиан нь математик хүлээлтийг бодитойгоор үнэлдэг.

Онолын хувьд, хэрэв бид үнэхээр харьцаж байгаа бол гэж үздэг хэвийн тархалтсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байвал математикийн хүлээлтийн гурван тооцоолол бүгд ижил үр дүнг өгөх ёстой, учир нь тэдгээр нь бүгд хувилбарыг төлөөлдөг. шударга бус тооцоолсон санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ижил параметрийн тооцоо (1.2-р зургийг үз). Гэвч практик дээр энэ нь ховор тохиолддог. Энэ нь ялангуяа дүн шинжилгээ хийсэн тархалт хэвийн хэмжээнээс ялгаатай байгаатай холбоотой байж болох юм. Гэхдээ ийм зөрүүтэй байх гол шалтгаан нь дүрмээр бол математикийн хүлээлтийн утгыг тооцоолсноор түүний жинхэнэ утгаас маш их ялгаатай утгыг олж авах боломжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч, дээр дурдсанчлан, in математик статистикилүү болох нь батлагдсан бие даасан туршилтуудавч үзэж буй хувьсагчийн үнэлгээ хийгдсэн бол тооцоолсон утга нь үнэнтэй ойр байх ёстой.

Тиймээс практик дээр математикийн хүлээлтийг тооцоолох аргыг сонгох нь энэ параметрийн илүү үнэн зөв, найдвартай үнэлгээг авах хүсэл эрмэлзэлээр бус, харин зөвхөн тав тухтай байдлын үүднээс тодорхойлогддог. Мөн математикийн хүлээлтийг тооцоолох аргыг сонгоход үнэлж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглалтыг тусгасан хэмжилтийн масштаб тодорхой үүрэг гүйцэтгэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг Xматематикийн хүлээлттэй мболон хэлбэлзэл Д, гэхдээ эдгээр хоёр параметр нь тодорхойгүй байна. Үнэ цэнээс дээш Xүйлдвэрлэсэн Нбие даасан туршилтууд, үүний үр дүнд багц Нтоон үр дүн x 1 , x 2 , …, x N. Математикийн хүлээлтийг тооцоолохын тулд ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг санал болгох нь зүйн хэрэг юм.

(1)

Энд гэж x iҮүний үр дүнд олж авсан тодорхой утгыг (тоо) авч үзнэ Нтуршилтууд. Хэрэв бид бусдыг авбал (өмнөхөөс үл хамааран) Нтуршилт, дараа нь бид өөр үнэ цэнийг авах нь ойлгомжтой. Хэрэв та илүү ихийг авбал Нтуршилт, дараа нь бид өөр шинэ үнэ цэнийг авах болно. -ээр тэмдэглэе X i-аас үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн битуршилт, дараа нь хэрэгжилт X iэдгээр туршилтуудаас олж авсан тоонууд байх болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ойлгомжтой X iанхны санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил магадлалын нягтын функцтэй байх болно X. Бид бас санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдэгт итгэдэг X iТэгээд Xjхэзээ бие даасан байдаг би, тэнцүү биш j(бие биенээсээ хамааралгүй янз бүрийн туршилтууд). Тиймээс бид (1) томъёог өөр (статистик) хэлбэрээр дахин бичнэ.

(2)

Тооцоолол нь шударга бус гэдгийг харуулъя:

Тиймээс түүврийн дундажийн математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бодит математик хүлээлттэй тэнцүү байна. м. Энэ бол нэлээд таамаглаж болохуйц, ойлгомжтой баримт юм. Иймээс түүврийн дундаж утгыг (2) санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоолол болгон авч болно. Одоо асуулт гарч ирж байна: туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр математикийн хүлээлтийн тооцооны хэлбэлзэл юу болох вэ? Үүнийг аналитик тооцоо харуулж байна

Математикийн хүлээлтийн тооцооны хэлбэлзэл хаана байна (2), ба Д- санамсаргүй хэмжигдэхүүний үнэн дисперс X.

Дээр дурдсанаас харахад нэмэгдэж байгаа нь харагдаж байна Н(туршилтын тоо) тооцооллын зөрүү багасна, i.e. Бид бие даасан хэрэгжилтийг дүгнэх тусам математикийн хүлээлтэд ойртох тусам бид тооцооллыг олж авдаг.

Математик дисперсийн тооцоо

Өнгөц харахад хамгийн жам ёсны үнэлгээ юм шиг санагддаг

(3)

Энд (2) томъёог ашиглан тооцоолно. Тооцоолол нь шударга бус эсэхийг шалгая. Формула (3)-ыг дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ томъёонд (2) илэрхийллийг орлъё:

Вариацын үнэлгээний математик хүлээлтийг олцгооё.

(4)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс хамаарахгүй тул математикийн хүлээлтийг 0-тэй тэнцүү авч үзье, өөрөөр хэлбэл. м = 0.

	(5)
цагт.	(6)