Хоёр шулууны нийтлэг цэгийн координатыг ол. Орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлал. Орон зайн шугамтай холбоотой асуудлууд

Координатын аргаар зарим геометрийн асуудлыг шийдэхдээ шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох хэрэгтэй. Ихэнхдээ та хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг хайх хэрэгтэй болдог ч заримдаа огторгуй дахь хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Энэ нийтлэлд бид хоёр шулуун огтлолцох цэгийн координатыг олох болно.

Хуудасны навигаци.

Хоёр шугамын огтлолцох цэг нь тодорхойлолт юм.

Эхлээд хоёр шулууны огтлолцох цэгийг тодорхойлъё.

Иймд хавтгай дээр тодорхойлсон хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг ерөнхий тэгшитгэлээр олохын тулд өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг шийдэх хэрэгтэй.

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

-д тодорхойлсон хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг ол тэгш өнцөгт системхавтгай дээрх координатуудыг x-9y+14=0 ба 5x-2y-16=0 тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Шийдэл.

Бидэнд хоёр ерөнхий шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрээс системийг хийцгээе. . Үүссэн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг х хувьсагчтай холбоотой эхний тэгшитгэлийг шийдэж, энэ илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах замаар амархан олно.

Тэгшитгэлийн системийн олсон шийдэл нь хоёр шугамын огтлолцох цэгийн хүссэн координатыг өгдөг.

Хариулт:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ба 5x-2y-16=0 .

Тиймээс, хавтгай дээрх ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох нь хоёр системийг шийдэхэд хүргэдэг. шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх хувьсагчтай. Гэхдээ хавтгай дээрх шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр биш, харин өөр төрлийн тэгшитгэлээр өгвөл яах вэ (хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн төрлийг үзнэ үү)? Эдгээр тохиолдолд та эхлээд шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэр болгон бууруулж, зөвхөн үүний дараа огтлолцлын цэгийн координатыг олох боломжтой.

Жишээ.

Мөн .

Шийдэл.

Өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олохын өмнө бид тэдгээрийн тэгшитгэлийг багасгадаг ерөнхий дүр төрх. Параметрийн шулуун шугамын тэгшитгэлээс шилжих руу ерөнхий тэгшитгэлэнэ мөр дараах байдлаар харагдаж байна.

Одоо хэрэгжүүлье шаардлагатай арга хэмжээмөрийн каноник тэгшитгэлээр:

Тиймээс шугамын огтлолцох цэгийн хүссэн координатууд нь хэлбэрийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. . Үүнийг шийдэхийн тулд бид дараахь зүйлийг ашигладаг.

Хариулт:

М 0 (-5, 1)

Хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох өөр нэг арга бий. Маягтын параметрийн тэгшитгэлээр аль нэг мөрийг өгөгдсөн тохиолдолд ашиглахад тохиромжтой , нөгөө нь өөр төрлийн шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Энэ тохиолдолд өөр тэгшитгэлд x ба y хувьсагчийн оронд та илэрхийллийг орлуулж болно. Тэгээд , өгөгдсөн шугамын огтлолцлын цэгт тохирох утгыг хаанаас авах боломжтой болно. Энэ тохиолдолд шугамын огтлолцох цэг нь координаттай байна.

Өмнөх жишээн дээрх шугамуудын огтлолцох цэгийн координатыг энэ аргыг ашиглан олъё.

Жишээ.

Шугамануудын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлно Мөн .

Шийдэл.

Шулуун шугамын илэрхийлэлийг тэгшитгэлд орлъё.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид . Энэ утга нь шугамын нийтлэг цэгтэй тохирч байна Мөн . Параметрийн тэгшитгэлд шулуун шугамыг орлуулах замаар бид огтлолцлын цэгийн координатыг тооцоолно.
.

Хариулт:

M 0 (-5, 1) .

Зургийг дуусгахын тулд өөр нэг зүйлийг хэлэлцэх хэрэгтэй.

Хавтгай дээрх хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олохын өмнө өгөгдсөн шулуунууд үнэхээр огтлолцож байгаа эсэхийг шалгах нь зүйтэй. Хэрэв анхны шугамууд давхцаж байгаа эсвэл параллель байвал ийм шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох асуудал байхгүй болно.

Мэдээжийн хэрэг та ийм шалгалтгүйгээр хийж, нэн даруй хэлбэрийн тэгшитгэлийн системийг үүсгэж болно тэгээд шийднэ. Хэрэв тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол анхны шугамуудын огтлолцох цэгийн координатыг өгнө. Хэрэв тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол бид анхны шугамууд зэрэгцээ байна гэж дүгнэж болно (учир нь өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангахуйц x ба y хос бодит тоо байхгүй). Тэгшитгэлийн системд хязгааргүй олон тооны шийд байдгаас үзэхэд анхны шулуун шугамууд нь хязгааргүй олон нийтлэг цэгүүдтэй, өөрөөр хэлбэл давхцдаг.

Эдгээр нөхцөл байдалд тохирсон жишээг авч үзье.

Жишээ.

Шулуунууд огтлолцож байгаа эсэхийг олж, хэрвээ огтлолцсон бол огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тохирч байна Тэгээд . Эдгээр тэгшитгэлээс бүтсэн системийг шийдье .

Системийн тэгшитгэлүүд бие биенээсээ шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг (системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийхээс түүний хоёр хэсгийг 4-өөр үржүүлснээр олж авдаг), тиймээс тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байдаг. Тиймээс тэгшитгэлүүд нь ижил шугамыг тодорхойлдог бөгөөд бид эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярих боломжгүй юм.

Хариулт:

Тэгшитгэлүүд нь тэгш өнцөгтийн координатын Oxy систем дэх ижил шулуун шугамыг тодорхойлдог тул огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярих боломжгүй юм.

Жишээ.

Шугамануудын огтлолцох цэгийн координатыг ол Тэгээд , Хэрвээ боломжтой бол.

Шийдэл.

Асуудлын нөхцөл нь шугамууд огтлолцохгүй байхыг зөвшөөрдөг. Эдгээр тэгшитгэлээс систем байгуулъя. Энэ нь тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсвэл үл нийцэх байдлыг тогтоох боломжийг олгодог тул үүнийг шийдвэрлэхийн тулд өргөдөл гаргацгаая, хэрэв нийцэж байгаа бол шийдлийг олоорой.

Гауссын аргыг шууд дамжуулсны дараа системийн сүүлчийн тэгшитгэл нь буруу тэгшитгэл болж хувирсан тул тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй байна. Эндээс бид анхны шугамууд зэрэгцээ байна гэж дүгнэж болох бөгөөд эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг олох талаар ярих боломжгүй юм.

Хоёр дахь шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд огтлолцож байгаа эсэхийг олж мэдье.

- хэвийн шугамын вектор , ба вектор нь ердийн шугамын вектор юм . Гүйцэтгэлийг шалгая Тэгээд : тэгш байдал Энэ нь үнэн, учир нь өгөгдсөн шулуунуудын хэвийн векторууд нь коллинеар байдаг. Дараа нь эдгээр шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна. Тиймээс бид анхны шугамуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олж чадахгүй.

Хариулт:

Өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцлын цэгийн координатыг олох боломжгүй, учир нь эдгээр шугамууд параллель байна.

Жишээ.

2x-1=0 шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг, хэрвээ огтлолцсон бол ол.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл болох тэгшитгэлийн системийг зохиоё. . Энэ тэгшитгэлийн системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна , тиймээс тэгшитгэлийн систем нь өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлыг заадаг өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шугамануудын огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд бид дараахь системийг шийдэх хэрэгтэй.

Үүссэн шийдэл нь шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл, 2x-1=0 ба .

Хариулт:

Орон зайн хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох.

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатууд ижил төстэй олддог.

Жишээнүүдийн шийдлүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Тэгшитгэлээр орон зайд өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн координатыг ол Тэгээд .

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлээс тэгшитгэлийн системийг зохиоё. . Энэ системийн шийдэл нь бидэнд огторгуй дахь шугамуудын огтлолцох цэгийн хүссэн координатыг өгөх болно. Бичсэн тэгшитгэлийн системийн шийдийг олцгооё.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна , мөн өргөтгөсөн - .

Тодорхойлъё A ба матрицын зэрэглэл T. Бидний хэрэглэдэг

Перпендикуляр шугам

Энэ даалгавар нь сургуулийн сурах бичгүүдэд хамгийн алдартай бөгөөд эрэлт хэрэгцээтэй байж магадгүй юм. Энэ сэдэв дээр үндэслэсэн даалгавар нь олон янз байдаг. Энэ бол хоёр шулууны огтлолцлын цэгийн тодорхойлолт, энэ нь мөн анхны шугамын аль ч өнцгөөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийн тодорхойлолт юм.

Бид тооцоололдоо ашиглан олж авсан өгөгдлийг ашиглан энэ сэдвийг авч үзэх болно

Тэнд шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициенттэй тэгшитгэл болгон хувиргах ба эсрэгээр нь өгөгдсөн нөхцлийн дагуу шулуун шугамын үлдсэн параметрүүдийг тодорхойлох асуудлыг авч үзсэн.

Энэ хуудсанд зориулагдсан асуудлуудыг шийдвэрлэхэд бидэнд юу дутагдаж байна вэ?

1. Хоёр огтлолцох шулууны хоорондох өнцгийн аль нэгийг тооцоолох томьёо.

Хэрэв бид тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шугамтай бол:

Дараа нь өнцгүүдийн аль нэгийг дараах байдлаар тооцоолно.

2. Өнгөрч буй өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл энэ цэг

Томъёо 1-ээс бид хоёр хилийн мужийг харж болно

a) энэ хоёр өгөгдсөн шугам зэрэгцээ (эсвэл давхцах) үед

б) үед , тэгвэл , тиймээс эдгээр шулуунууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл зөв өнцгөөр огтлолцоно.

Өгөгдсөн шулуун шугамаас өөр ийм асуудлыг шийдвэрлэх анхны өгөгдөл юу байж болох вэ?

Шулуун шугамын цэг ба хоёр дахь шулуун шугамын огтлолцох өнцөг

Шугамын хоёр дахь тэгшитгэл

Бот ямар асуудлыг шийдэж чадах вэ?

1. Хоёр мөр өгөгдсөн (тодорхой эсвэл шууд бусаар, жишээлбэл, хоёр цэгээр). Уулзалтын цэг болон тэдгээрийн огтлолцох өнцгийг тооцоол.

2. Нэг шулуун, шулуун дээрх цэг, нэг өнцөг өгөгдсөн. Өгөгдсөн шугамыг тодорхой өнцгөөр огтолж буй шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойл

Жишээ

Хоёр мөрийг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Эдгээр шулуунуудын огтлолцох цэг болон тэдгээрийн огтлолцох өнцгийг ол

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Бид дараах үр дүнг авна

Эхний шугамын тэгшитгэл

y = 2.2 x + (1.2)

Хоёр дахь шугамын тэгшитгэл

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Хоёр шулуун шугамын огтлолцлын өнцөг (градусаар)

-42.357454705937

Хоёр шугамын огтлолцох цэг

x = -3.5

y = -6.5

Хоёр мөрийн параметрүүдийг таслалаар, мөр бүрийн параметрүүдийг цэг таслалаар тусгаарладаг гэдгийг бүү мартаарай.

Шулуун шугам нь (1:-4) ба (5:2) хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг. (-2:-8) цэгийг дайран өнгөрч, анхны шулууныг 30 градусын өнцгөөр огтолж байгаа шулууны тэгшитгэлийг ол.

Бид нэг шулуун шугамыг дайран өнгөрөх хоёр цэгийг мэддэг учраас мэддэг.

Хоёр дахь шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлоход л үлддэг. Бид нэг цэгийг мэддэг боловч хоёр дахь цэгийн оронд эхний шугам хоёр дахь мөртэй огтлолцох өнцгийг зааж өгсөн болно.

Бүх зүйл мэдэгдэж байгаа юм шиг санагддаг, гэхдээ энд гол зүйл бол алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Бид x тэнхлэг ба шугамын хоорондох өнцгийн (30 градус) тухай биш, харин эхний ба хоёр дахь шугамын хоорондох өнцгийн тухай ярьж байна.

Ийм учраас бид ингэж нийтэлдэг. Эхний шугамын параметрүүдийг тодорхойлж, х тэнхлэгийг ямар өнцгөөр огтолж байгааг олж мэдье.

мөр xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Ерөнхий тэгшитгэл Ax+By+C = 0

Коэффицент А = -6

Б хүчин зүйл = 4

C хүчин зүйл = 22

Коэффицент a= 3.666666666667

Коэффицент b = -5.5

коэффициент k = 1.5

Тэнхлэг рүү хазайх өнцөг (градусаар) f = 56.309932474019

Коэффицент p = 3.0508510792386

Коэффицент q = 2.5535900500422

Цэг хоорондын зай=7.211102550928

Эхний шугам нь тэнхлэгийг өнцгөөр огтолж байгааг бид харж байна 56.309932474019 градус.

Эх сурвалжийн өгөгдөл нь хоёр дахь шугам нь эхнийхтэй хэрхэн огтлолцохыг нарийн заагаагүй байна. Эцсийн эцэст та нөхцөлийг хангасан хоёр шугамыг барьж болно, эхнийх нь цагийн зүүний дагуу 30 градус, хоёр дахь нь цагийн зүүний эсрэг 30 градус.

Тэднийг тоолъё

Хэрэв хоёр дахь мөрийг цагийн зүүний эсрэг 30 градус эргүүлбэл хоёр дахь мөр нь x тэнхлэгтэй огтлолцох зэрэгтэй байна. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градус

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Заасан параметрийн дагуу шулуун шугамын параметрүүд

Ерөнхий тэгшитгэл Ax+By+C = 0

А коэффициент = 23.011106998916

Б коэффициент = -1.4840558255286

Коэффицент С = 34.149767393603

x/a+y/b сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл = 1

Коэффицент a= -1.4840558255286

Коэффицент b = 23.011106998916

y = kx + b өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамын тэгшитгэл

коэффициент k = 15.505553499458

Тэнхлэг рүү хазайх өнцөг (градусаар) f = 86.309932474019

Хэвийн тэгшитгэлшулуун шугам x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффицент p = -1.4809790664999

Коэффицент q = 3.0771888256405

Цэг хоорондын зай=23.058912962428

Нэг цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай li =

өөрөөр хэлбэл, бидний хоёр дахь шугамын тэгшитгэл y= байна 15.505553499458x+ 23.011106998916

Би шинэ Верд файл үүсгэж, ийм сонирхолтой сэдвийг үргэлжлүүлэхээс өмнө нэг минут ч өнгөрөөгүй. Та ажлын сэтгэлийн агшинг авах хэрэгтэй, тиймээс уянгын танилцуулга байхгүй болно. Зохиолын шинжтэй алгадах болно =)

Хоёр шулуун зай нь:

1) эрлийз;

2) цэг дээр огтлолцох;

3) зэрэгцээ байх;

4) таарах.

1-р хэрэг бусад хэргүүдээс үндсэндээ ялгаатай. Хоёр шулуун шугам нэг хавтгайд хэвтэхгүй бол огтлолцоно. Нэг гараа дээшээ өргөж, нөгөө гараа урагш сунгана - энд шугам хөндлөн гарах жишээ байна. 2-4-р цэгүүдэд шулуун шугамууд хэвтэх ёстой нэг хавтгайд.

Орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлалыг хэрхэн олж мэдэх вэ?

Хоёр шууд зайг авч үзье:

- Чигээрээ, цэгээр өгөгдсөнба чиглэлийн вектор;
– цэг ба чиглэлийн вектороор тодорхойлогдсон шулуун шугам.

Илүү сайн ойлгохын тулд бүдүүвч зураг зурцгаая.

Зураг дээр жишээ болгон огтлолцсон шулуун шугамуудыг харуулав.

Эдгээр шулуун шугамуудтай хэрхэн харьцах вэ?

Цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа тул векторыг олоход хялбар байдаг.

Хэрэв шулуун бол эрлийз, дараа нь векторууд хавтгай биш(хичээлийг үзнэ үү Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс), тиймээс тэдгээрийн координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэг биш байна. Эсвэл яг ижил зүйл бол тэг биш байх болно: .

2-4-р тохиолдолд бидний бүтэц нэг хавтгайд "унадаг" бөгөөд векторууд хавтгай, холимог бүтээгдэхүүн нь шугаман байна хамааралтай векторуудтэгтэй тэнцүү: .

Алгоритмыг цааш нь өргөжүүлье. Ингэж жүжиглэе Тиймээс шугамууд огтлолцдог, параллель эсвэл давхцдаг.

Хэрэв чиглэл нь вектор байвал collinear, дараа нь шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна. Эцсийн хадаасны хувьд би дараах техникийг санал болгож байна: нэг шулуун дээрх дурын цэгийг авч, түүний координатыг хоёр дахь шугамын тэгшитгэлд орлуулах; Хэрэв координатууд "тохирох" бол шугамууд давхцаж байгаа бол "тохирохгүй" бол шугамууд зэрэгцээ байна.

Алгоритм нь энгийн, гэхдээ практик жишээнүүдодоо ч өвдөхгүй:

Жишээ 11

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг олоорой

Шийдэл: геометрийн олон асуудлын нэгэн адил шийдлийг цэг болгон томъёолох нь тохиромжтой.

1) Бид тэгшитгэлээс цэг ба чиглэлийн векторуудыг гаргаж авдаг.

2) векторыг ол:

Тиймээс векторууд нь хоорондоо уялдаатай байдаг бөгөөд энэ нь шугамууд нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд огтлолцох, параллель эсвэл давхцах боломжтой гэсэн үг юм.

4) Чиглэлийн векторуудын коллинеар байдлыг шалгая.

Эдгээр векторуудын харгалзах координатуудаас систем үүсгэцгээе.

-аас хүн бүрТэгшитгэлээс харахад систем нь тууштай, векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ, векторууд нь коллинеар байдаг.

Дүгнэлт: шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

5) Шулуунууд нийтлэг цэгтэй эсэхийг олж мэд. Эхний мөрөнд хамаарах цэгийг авч, координатыг нь шулууны тэгшитгэлд орлуулъя.

Тиймээс шугамууд нь нийтлэг цэггүй бөгөөд тэдгээр нь зэрэгцээ байхаас өөр аргагүй юм.

Хариулах:

Сонирхолтой жишээУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 12

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хоёр дахь мөрөнд параметрийн хувьд үсэг байгааг анхаарна уу. Логик. IN ерөнхий тохиолдол– эдгээр нь хоёр өөр мөр тул мөр бүр өөрийн гэсэн параметртэй байдаг.

Би дахин жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг уриалж байна, миний санал болгож буй ажлууд санамсаргүй биш юм ;-)

Орон зайн шугамтай холбоотой асуудлууд

Хичээлийн эцсийн хэсэгт би авч үзэхийг хичээх болно дээд хэмжээорон зайн шугамтай холбоотой янз бүрийн асуудал. Энэ тохиолдолд түүхийн анхны дараалал ажиглагдах болно: эхлээд бид огтлолцох шугам, дараа нь огтлолцох шугамтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх бөгөөд төгсгөлд нь орон зайд параллель шугамын тухай ярих болно. Гэсэн хэдий ч энэ хичээлийн зарим даалгаврыг шугамын байршлын хэд хэдэн тохиолдлуудад нэг дор томъёолж болох бөгөөд үүнтэй холбогдуулан хэсгийг догол мөрөнд хуваах нь зарим талаараа дур зоргоороо байдаг гэдгийг би хэлэх ёстой. Илүү олон бий энгийн жишээнүүд, илүү олон байна нарийн төвөгтэй жишээнүүд, мөн хүн бүр өөрт хэрэгтэй зүйлээ олно гэж найдаж байна.

Хөндлөнгийн шугамууд

Шулуун шугамууд хоёулаа орших хавтгай байхгүй бол огтлолцдог гэдгийг сануулъя. Дасгал хийж байхдаа нэг мангасын асуудал санаанд орж ирсэн бөгөөд одоо би дөрвөн толгойтой лууг та бүхэнд толилуулж байгаадаа баяртай байна.

Жишээ 13

Шулуун шугамууд өгөгдсөн. Шаардлагатай:

a) шугамууд огтлолцож байгааг батлах;

б) өгөгдсөн шулуунуудад перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олох;

в) агуулсан шулуун шугамын тэгшитгэл зохиох нийтлэг перпендикулярогтлолцох шугам;

г) шугам хоорондын зайг ол.

Шийдэл: Алхаж байгаа хүн замыг эзэмшинэ:

a) Шугаманууд огтлолцож байгааг баталцгаая. Эдгээр шулуунуудын цэг ба чиглэлийн векторуудыг олцгооё.

Векторыг олъё:

Тооцоолъё векторуудын холимог бүтээгдэхүүн:

Тиймээс векторууд хавтгай биш, энэ нь шугамууд огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Шугам дамжихын тулд баталгаажуулах алгоритм нь хамгийн богино байдаг гэдгийг хүн бүр эртнээс анзаарсан байх.

б) Цэгээр дамжин өнгөрч буй шулууны перпендикуляр шулууны тэгшитгэлийг ол. Схемийн зургийг хийцгээе:

Өөрчлөлт хийхийн тулд би шууд нийтэлсэн АРДшулуун, уулзвар дээр бага зэрэг арчигдаж байгааг хараарай. Эрлийзжүүлэх үү? Тиймээ, ерөнхийдөө "de" шулуун шугам нь анхны шулуун шугамтай гатлах болно. Хэдийгээр бид энэ мөчийг сонирхохгүй байгаа ч бид зүгээр л перпендикуляр шугам барих хэрэгтэй, тэгээд л болоо.

Шууд "de"-ийн талаар юу мэддэг вэ? Түүнд хамаарах цэг нь мэдэгдэж байна. Хөтөч вектор хангалтгүй байна.

Нөхцөлийн дагуу шулуун шугам нь шулуун шугамуудад перпендикуляр байх ёстой бөгөөд энэ нь түүний чиглэлийн вектор нь чиглэлийн векторуудад ортогональ байна гэсэн үг юм. Жишээ №9-ийг аль хэдийн мэддэг болсон тул вектор үржвэрийг олцгооё.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан "de" шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя.

Бэлэн. Зарчмын хувьд та хуваагч дахь тэмдгүүдийг өөрчилж, хариултыг маягтаар бичиж болно , гэхдээ ингэх шаардлагагүй.

Шалгахын тулд та цэгийн координатыг шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь дараахыг ашиглана уу. векторуудын скаляр үржвэрвектор нь “pe one” болон “pe two” чиглэлийн векторуудад үнэхээр ортогональ байгаа эсэхийг шалгаарай.

Нийтлэг перпендикуляр агуулсан шулууны тэгшитгэлийг хэрхэн олох вэ?

в) Энэ асуудал илүү хэцүү байх болно. Би дамми хүмүүст энэ цэгийг алгасахыг зөвлөж байна, аналитик геометрийг чин сэтгэлээсээ өрөвдөхийг би хүсмээргүй байна =) Дашрамд хэлэхэд илүү бэлтгэгдсэн уншигчид ч бас саатсан нь дээр байж болох юм, үнэндээ жишээ нь нарийн төвөгтэй байдлын хувьд жишээ юм. Өгүүллийн хамгийн сүүлд байрлуулах ёстой, гэхдээ танилцуулгын логикийн дагуу энд байрлах ёстой.

Тиймээс та хазайсан шугамын нийтлэг перпендикулярыг агуулсан шулууны тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй.

- энэ нь эдгээр шугамуудыг холбосон сегмент бөгөөд эдгээр шугамтай перпендикуляр:

Энд манай царайлаг залуу байна: - огтлолцсон шугамын нийтлэг перпендикуляр. Тэр цорын ганц. Өөр ийм зүйл байхгүй. Бид энэ сегментийг агуулсан шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх хэрэгтэй.

Шууд "ам"-ын талаар юу мэддэг вэ? Түүний чиглэлийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд өмнөх догол мөрөнд байдаг. Гэвч харамсалтай нь бид "em" шулуун шугамд хамаарах ганц цэгийг мэдэхгүй, перпендикулярын төгсгөлүүд болох цэгүүдийг ч мэдэхгүй. Энэ перпендикуляр шугам нь анхны хоёр шулууныг хаана огтлох вэ? Африкт уу, Антарктидад уу? Нөхцөл байдлын анхны хяналт, шинжилгээнээс харахад асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх нь огтхон ч тодорхойгүй байна... Гэхдээ шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг ашиглахтай холбоотой нэг заль мэх бий.

Бид шийдвэрээ цэг болгон томъёолно.

1) Эхний мөрийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье.

Гол санааг авч үзье. Бид координатыг мэдэхгүй. ГЭХДЭЭ. Хэрэв цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол түүний координатууд нь -тэй тохирч байвал түүнийг -ээр тэмдэглэе. Дараа нь цэгийн координатыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Амьдрал сайжирч байна, нэг үл мэдэгдэх нь гурван үл мэдэгдэх зүйл биш хэвээр байна.

2) Хоёр дахь цэг дээр ижил уур хилэнг хийх ёстой. Хоёр дахь мөрийн тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье.

Хэрэв цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол маш тодорхой утгатайТүүний координатууд нь параметрийн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой.

Эсвэл:

3) Өмнө нь олдсон вектор шиг вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор байх болно. Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн яаж байгуулах талаар эрт дээр үеэс ангид ярилцдаг байсан Дамми нарт зориулсан векторууд. Одоо ялгаа нь векторуудын координатууд нь үл мэдэгдэх параметрийн утгуудаар бичигдсэн байдаг. Тэгээд юу гэж? Векторын төгсгөлийн координатаас векторын эхлэлийн харгалзах координатыг хасахыг хэн ч хориглодоггүй.

Хоёр цэг байна: .

Векторыг олох нь:

4) Чиглэлийн векторууд нь коллинеар байдаг тул нэг векторыг нөгөөгөөр дамжуулан тодорхой пропорциональ коэффициент "lambda"-аар шугаман байдлаар илэрхийлнэ.

Эсвэл координатаар нь:

Энэ нь хамгийн энгийн зүйл болж хувирав шугаман тэгшитгэлийн системжишээлбэл, гурван үл мэдэгдэх зүйлтэй, энэ нь стандартаар шийдэгддэг. Крамерын арга. Гэхдээ энд бага зэргийн алдагдалтай гарах боломжтой; гурав дахь тэгшитгэлээс бид "ламбда" -ыг илэрхийлж, эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Тиймээс: , мөн бидэнд "ламбда" хэрэггүй. Параметрийн утга ижил болсон нь зүгээр л осол юм.

5) Тэнгэр бүрэн цэлмэг байна, олсон утгыг орлуулъя бидний оноо:

Чиглэлийн вектор нь тийм ч шаардлагагүй, учир нь түүний эсрэг тал нь аль хэдийн олдсон байдаг.

Урт удаан аялсны дараа шалгах нь үргэлж сонирхолтой байдаг.

:

Зөв тэгш байдлыг олж авна.

Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулъя :

Зөв тэгш байдлыг олж авна.

6) Эцсийн хөвч: цэг (та үүнийг авч болно) болон чиглэлийн вектор ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэцгээе:

Зарчмын хувьд та бүрэн координат бүхий "сайн" цэгийг сонгож болно, гэхдээ энэ нь гоо сайхны бүтээгдэхүүн юм.

Хэрхэн огтлолцох шугам хоорондын зайг олох вэ?

г) Бид луугийн дөрөв дэх толгойг таслав.

Нэгдүгээр арга. Арга ч биш, жижигхэн ч гэсэн онцгой тохиолдол. Хөндлөн шугам хоорондын зай нь тэдгээрийн нийтлэг перпендикулярын урттай тэнцүү байна. .

Нийтлэг перпендикулярын туйлын цэгүүд Өмнөх догол мөрөнд байгаа бөгөөд даалгавар нь энгийн зүйл юм:

Хоёр дахь арга. Практикт нийтлэг перпендикулярын төгсгөл нь ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг тул өөр аргыг ашигладаг. Зэрэгцээ хавтгайг огтлолцсон хоёр шулуун шугамаар зурж болох ба эдгээр хавтгайн хоорондох зай нь эдгээр шулуун шугамын хоорондох зайтай тэнцүү байна. Ялангуяа эдгээр хавтгайн хооронд нийтлэг перпендикуляр гарч ирдэг.

Аналитик геометрийн явцад дээр дурдсан зүйлсээс огтлолцсон шулуун шугамын хоорондох зайг олох томъёог гаргаж авсан болно.
(бидний "нэг, хоёр" гэсэн цэгүүдийн оронд та дурын шугамын цэгүүдийг авч болно).

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн"a" цэг дээр аль хэдийн олдсон: .

Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн"be" гэсэн догол мөрөнд: , түүний уртыг тооцоолъё:

Тиймээс:

Цомуудыг нэг эгнээнд бахархалтайгаар үзүүлцгээе:

Хариулах:
A) , энэ нь шулуун шугамууд огтлолцдог гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байсан;
б) ;
V) ;
G)

Та шугам дамжих талаар өөр юу хэлэх вэ? Тэдний хооронд тодорхой өнцөг бий. Гэхдээ бид бүх нийтийн өнцгийн томъёог дараагийн догол мөрөнд авч үзэх болно.

Огтлолцсон шулуун зай нь нэг хавтгайд байх ёстой.

Эхний бодол бол уулзвар дээр бүх хүчээ дайчлан түших явдал юм. Тэгээд би тэр даруй бодлоо, яагаад өөрийгөө зөв хүслийг үгүйсгэнэ гэж?! Яг одоо түүний дээр гарцгаая!

Орон зайн шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 14

Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл: Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье:

Энэ даалгаврыг энэ хичээлийн 7-р жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн (харна уу. Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл). Дашрамд хэлэхэд би 12-р жишээнээс шулуун шугамуудыг авсан. Би худлаа хэлэхгүй, шинэ зураас гаргахаас залхуу байна.

Шийдэл нь стандарт бөгөөд бид огтлолцсон шугамуудын нийтлэг перпендикулярын тэгшитгэлийг олох гэж оролдох үед аль хэдийн тааралдсан.

Шугамануудын огтлолцох цэг нь шугаманд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хангаж, тэдгээрт тохирно. маш тодорхой параметрийн утга:

Гэхдээ энэ ижил цэг нь хоёр дахь мөрөнд хамаарах тул:

Бид харгалзах тэгшитгэлүүдийг тэгшитгэж, хялбаршуулж байна:

Хоёр үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна. Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол (энэ нь жишээ №12-т батлагдсан) систем нь заавал тууштай, өвөрмөц шийдэлтэй байх ёстой. Үүнийг шийдэж болно Гауссын арга, гэхдээ бид ийм цэцэрлэгийн фетишизмд гэм нүгэл үйлдэхгүй, бид үүнийг илүү хялбар болгох болно: эхний тэгшитгэлээс бид "te тэг" -ийг илэрхийлж, хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Сүүлийн хоёр тэгшитгэл нь үндсэндээ ижил байсан бөгөөд тэдгээрээс харахад . Дараа нь:

Параметрийн олсон утгыг тэгшитгэлд орлъё.

Хариулах:

Шалгахын тулд бид параметрийн олсон утгыг тэгшитгэлд орлуулна.
Шалгах шаардлагатай ижил координатуудыг олж авсан. Нарийвчлалтай уншигчид цэгийн координатыг шугамын анхны каноник тэгшитгэл болгон сольж болно.

Дашрамд хэлэхэд, эсрэгээр нь хийх боломжтой байсан: "es zero" -оор дамжуулан цэгийг олж, "te zero" -оор шалгана уу.

Математикийн алдартай мухар сүсэгт: Шугамын огтлолцлын талаар ярилцаж байгаа газар үргэлж перпендикуляр үнэртэй байдаг.

Өгөгдсөн орон зайд перпендикуляр шугамыг хэрхэн барих вэ?

(шугам огтлолцдог)

Жишээ 15

a) Шугамантай перпендикуляр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич (шугам огтлолцдог).

б) Цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол.

Анхаарна уу : "шугам огтлолцох" заалт - чухал ач холбогдолтой. Цэгээр дамжуулан
Та "el" шулуун шугамтай огтлолцох хязгааргүй тооны перпендикуляр шугам зурж болно. Өгөгдсөн цэгт перпендикуляр шулуун шугам татах тохиолдолд цорын ганц шийдэл гардаг хоёршулуун шугамаар өгөгдсөн (Жишээ No13, “b” цэгийг үз).

A) Шийдэл: Бид үл мэдэгдэх мөрийг -ээр тэмдэглэнэ. Схемийн зургийг хийцгээе:

Шулуун шугамын талаар юу мэддэг вэ? Нөхцөлийн дагуу оноо өгдөг. Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд чиглэлийн векторыг олох шаардлагатай. Вектор нь ийм векторын хувьд нэлээд тохиромжтой тул бид үүнийг шийдвэрлэх болно. Илүү нарийн, векторын үл мэдэгдэх төгсгөлийг хүзүүгээр нь авъя.

1) "el" шулуун шугамын тэгшитгэлээс түүний чиглэлийн векторыг гаргаж аваад, тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр дахин бичье.

Хичээлийн үеэр ид шидтэн гурав дахь удаагаа малгайнаасаа цагаан хун гаргаж ирнэ гэж олон хүн таамаглаж байсан. Үл мэдэгдэх координаттай цэгийг авч үзье. Цэг нь бол түүний координатууд нь "el" шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг хангадаг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой параметрийн утгатай тохирч байна.

Эсвэл нэг мөрөнд:

2) Нөхцөлийн дагуу шугамууд перпендикуляр байх ёстой тул тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ортогональ байна. Хэрэв векторууд нь ортогональ бол тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүнтэгтэй тэнцүү:

Юу болсон бэ? Нэг үл мэдэгдэх хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл:

3) Параметрийн утга мэдэгдэж байгаа тул цэгийг олъё:

Мөн чиглэлийн вектор:
.

4) Бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиох болно :

Пропорцын хуваагч нь бутархай болж хувирсан бөгөөд энэ нь бутархайгаас салах нь зөв үед яг ийм тохиолдол юм. Би зүгээр л -2-оор үржүүлнэ:

Хариулах:

Анхаарна уу : шийдлийн илүү нарийн төгсгөлийг дараах байдлаар албан ёсоор гаргасан: цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. . Үнэн хэрэгтээ, хэрэв вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор бол коллинеар вектор нь уг шулууны чиглүүлэгч вектор болно.

Баталгаажуулалт нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

1) шулууны чиглэлийн векторуудын ортогональ байдлыг шалгах;

2) бид цэгийн координатыг шугам бүрийн тэгшитгэлд орлуулж, тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь "тохирох" ёстой.

ТУХАЙ ердийн үйлдлүүдХэлсэн үг их байсан болохоор төслийг нь шалгасан.

Дашрамд хэлэхэд би өөр нэг цэгийг мартсан - "el" шулуун шугамтай харьцуулахад "en" цэгтэй тэгш хэмтэй "zyu" цэгийг барих. Гэсэн хэдий ч нийтлэлээс олж болох сайн "хавтгай аналог" байдаг Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Энд цорын ганц ялгаа нь нэмэлт "Z" координатад байх болно.

Орон зайн цэгээс шулуун хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ?

б) Шийдэл: Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг олъё.

Нэгдүгээр арга. Энэ зай нь перпендикулярын урттай яг тэнцүү байна: . Шийдэл нь ойлгомжтой: хэрэв цэгүүд нь мэдэгдэж байгаа бол , Тэр нь:

Хоёр дахь арга. Практик асуудлуудад перпендикулярын суурь нь ихэвчлэн битүүмжилсэн нууц байдаг тул бэлэн томъёог ашиглах нь илүү оновчтой байдаг.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
, “el” шулуун шугамын чиглүүлэх вектор хаана байна, ба – үнэгүйөгөгдсөн шулуунд хамаарах цэг.

1) Шугамын тэгшитгэлээс Бид чиглэлийн вектор ба хамгийн хүртээмжтэй цэгийг гаргаж авдаг.

2) Цэг нь нөхцөлөөс мэдэгдэж байгаа тул векторыг хурцална уу:

3) Олъё вектор бүтээгдэхүүнба түүний уртыг тооцоолох:

4) Чиглүүлэгч векторын уртыг тооцоол.

5) Тиймээс цэгээс шулуун хүртэлх зай:

Хэрэв шугамууд нэг цэг дээр огтлолцсон бол түүний координат нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд байна хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн геометрийн утга- эдгээр нь хавтгай дээрх хоёр огтлолцсон (ихэнхдээ) шугам юм.

Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хуваахад тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Нэг шулуун шугамын тэгшитгэл хий.
2) Хоёр дахь мөрөнд тэгшитгэл бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Жишээ 13.

Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл: Аналитик аргаар огтлолцох цэгийг хайх нь зүйтэй. Системийг шийдье:

Хариулах:

P.6.4. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад бэрхшээл байхгүй, хамгийн их оновчтой замперпендикуляр хөдөлгөөн байх болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлалт ёсоор Грекийн "rho" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Цэгээс хол зай шулуун шугам руу томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 14.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: таны хийх ёстой зүйл бол тоонуудыг томъёонд анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм.

Хариулах:

P.6.5. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг.

Жишээ 15.

Шугамын хоорондох өнцгийг ол.

1. Шулуунууд перпендикуляр байгаа эсэхийг шалгана уу:

Тооцоолъё скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглүүлэх векторууд:
, энэ нь шугамууд перпендикуляр биш гэсэн үг юм.
2. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор ол.

Тиймээс:

Хариулах:

Хоёр дахь эрэмбийн муруй. Тойрог

Тэгш өнцөгт координатын системийг 0xy хавтгай дээр зааж өгье.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнь M(x, y, z) цэгийн одоогийн координаттай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгай дээрх шулуун юм. Ерөнхийдөө энэ тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Энд A, B, C, D, E, L коэффициентүүд нь аливаа бодит тоо бөгөөд A, B, C тоонуудын ядаж нэг нь тэг биш байна.

1. Тойрогнь хавтгай дээрх цэгүүдийн олонлог бөгөөд түүнээс тогтмол M 0 (x 0, y 0) цэг хүртэлх зай нь тогтмол бөгөөд R-тэй тэнцүү. M 0 цэгийг тойргийн төв гэж нэрлэдэг ба R тоо нь түүний радиус

– төв нь M 0 (x 0, y 0) ба R радиустай тойргийн тэгшитгэл.

Хэрэв тойргийн төв нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал бид дараах байдалтай байна.

– тойргийн каноник тэгшитгэл.

Зууван.

Зууваннь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тус бүрийн хувьд өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол утга (мөн энэ утга нь эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайнаас их байна). Эдгээр цэгүүдийг нэрлэдэг эллипсийн голомт.

нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм.

харилцаа гэж нэрлэдэг хазгай байдалэллипс ба үүнийг: , . Түүнээс хойш< 1.

Үүний үр дүнд, харьцаа буурах тусам 1 болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл. b нь а-аас бага зэрэг ялгаатай бөгөөд эллипсийн хэлбэр нь тойрог хэлбэртэй ойртох болно. Хязгаарлагдмал тохиолдолд хэзээ , бид тэгшитгэл нь байх тойрог авна

x 2 + y 2 = a 2.

Гипербола

Гиперболнь хавтгай дээрх цэг бүрийн багц юм үнэмлэхүй үнэ цэнэөгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүү гэж нэрлэдэг заль мэх, нь тогтмол хэмжигдэхүүн (энэ хэмжигдэхүүн нь фокус хоорондын зайнаас бага бөгөөд 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд).

F 1, F 2 фокусууд байг, тэдгээрийн хоорондох зайг 2c, параболын параметрээр тэмдэглэнэ).

– параболын каноник тэгшитгэл.

Сөрөг p-ийн тэгшитгэл нь 0y тэнхлэгийн зүүн талд байрлах параболыг мөн тодорхойлдог болохыг анхаарна уу. Тэгшитгэл нь 0y тэнхлэгийн ойролцоо тэгш хэмтэй, p > 0 үед 0x тэнхлэгээс дээш, р-ийн хувьд 0x тэнхлэгийн доор байрлах параболыг дүрсэлдэг.< 0.