Үхрийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг онлайнаар олоорой. Хичээл "Тодорхой интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолох

I. Хувьсгалын биетүүдийн хэмжээ. Г.М. Фихтэнголын сурах бичгийн дагуу XII, p°p° 197, 198-ыг урьдчилан судал.

508. Эллипсийг х тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ замаар,

530. Синусоидын y \u003d sin x нумын Ox тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн гадаргуугийн талбайг X \u003d 0 цэгээс X \u003d цэг хүртэл ол.

531. Өндөр h ба радиус r конусын гадаргуугийн талбайг тооцоол.

532. үүсгэсэн гадаргуугийн талбайг тооцоол

astroid-ийн эргэлт x3 -) - y* - a3 х тэнхлэгийн эргэн тойронд.

533. 18 y-x(6-x)r муруйн гогцоог х тэнхлэгийн эргэн тойронд урвуулахад үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

534. Х тэнхлэгийг тойруулан X2 - j - (y-3)2 = 4 тойргийг эргүүлэхэд үүссэн торусын гадаргууг ол.

535. Ox тэнхлэгийг тойрсон X = a зардал, y = asint тойргийн эргэлтээс үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

536. Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд x = 9t2, y = St - 9t3 муруйн гогцоог эргүүлснээр үүссэн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

537. Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд x = e * sint, y = el зардал муруйн нумын эргэлтээс үүссэн гадаргуугийн талбайг ол.

t = 0-ээс t = - хүртэл.

538. Циклоид нумыг x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) Oy тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн гадаргуу нь 16 u2 o2-тэй тэнцүү болохыг харуул.

539. Кардиоидыг туйлын тэнхлэгт эргүүлснээр олж авсан гадаргууг ол.

540. Лемнискатыг эргүүлэхэд үүссэн гадаргуугийн талбайг ол туйлын тэнхлэгийн эргэн тойронд.

IV бүлгийн нэмэлт даалгавар

Онгоцны дүрсүүдийн талбайнууд

541. Муруйгаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг бүхэлд нь ол Мөн тэнхлэг Өө.

542. Муруйгаар хязгаарлагдсан мужийн талбайг ол

Мөн тэнхлэг Өө.

543. Нэгдүгээр квадратад байрлах мужын талбайн муруйгаар хязгаарлагдсан хэсгийг ол.

l координатын тэнхлэгүүд.

544. Дотор нь байгаа талбайн талбайг ол

гогцоо:

545. Муруйн нэг гогцоонд хүрээлэгдсэн бүсийн талбайг ол.

546. Гогцоонд байгаа талбайн талбайг ол.

547. Муруйгаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол

Мөн тэнхлэг Өө.

548. Муруйгаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол

Мөн тэнхлэг Өө.

549. Oxr тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол

шулуун ба муруй

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Томъёонд интегралын өмнө заавал тоо байх ёстой. Ийм зүйл болсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

"А" ба "байх" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоох вэ гэдгийг би зурсан зургаас таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээд талын параболик графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат:, иймээс интеграл нь үргэлж сөрөг биш байдаг , энэ нь нэлээд логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр байж болно, шоо метр байж болно, шоо километр ч байж болно, энэ бол таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

Биеийн эзэлхүүнийг ол эргэлтээр бий болсонзургийн тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан,,

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Өөр хоёрыг авч үзье сорилттой даалгаваруудпрактикт ихэвчлэн тулгардаг.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тогтоодог гэдгийг мартахгүйгээр ,,, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс зуръя:

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед дөрвөн булантай ийм сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн олж авдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авдаг. Энэ тайрсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэ.

Дугуйлсан зургийг анхаарч үзээрэй ногоон өнгөтэй. Хэрэв эргүүл энэ тоотэнхлэгийн эргэн тойронд та бас тайрсан конус авах болно, зөвхөн арай жижиг. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ нь сонин байна Энэ тохиолдолдТаслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан уусмалыг шалгаж болно.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Одоо завсарлага аваад геометрийн хуурмаг байдлын талаар ярилцъя.

Перелман (өөр нэг) номонд анзаарсан хүмүүс ботьтай холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг Сонирхолтой геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 хавтгай дөрвөлжин метр талбайтай шингэнийг уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд хэвлэгдсэн ижил ном нь хошин шогийн ярьснаар маш сайн хөгжиж, асуудлын анхны стандарт бус шийдлүүдийг хайж олохыг зааж өгдөг. Саяхан би зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, үүнийг зөвлөж байна, хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй байна. Үгүй ээ, миний санал болгож буй хөгжилтэй зугаа цэнгэл, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээтэй байдал нь гайхалтай зүйл гэж та инээмсэглэх хэрэггүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол,,.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл бэлэн интеграцийн хязгаарыг үнэндээ өгсөн. Тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зур, би танд хичээлийн материалыг сануулах болно графикийн геометрийн хувиргалт : хэрэв аргумент нь хоёрт хуваагддаг бол: , тэгвэл графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олох нь зүйтэй тригонометрийн хүснэгтийн дагуу зургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Хичээлийн төрөл: хосолсон.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

• хэд хэдэн геометрийн хэлбэрээс муруйн трапецийг сонгох чадварыг нэгтгэх, муруйн трапецын талбайг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;
• гурван хэмжээст дүрсийн тухай ойлголттой танилцах;
• хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах;
• хөгжилд хувь нэмрээ оруулна логик сэтгэлгээ, чадварлаг математикийн яриа, зураг зурах нарийвчлал;
• тухайн сэдвийн сонирхлыг төлөвшүүлэх, математикийн үзэл баримтлал, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Бүлгийн мэндчилгээ. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Тусгал. Тайван аялгуу.

Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн байжээ. Мэргэн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг нэг хүн батлахыг хүссэн. Тэр эрвээхэйг гартаа атган: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр өөрөө: "Амьд нь хэлвэл би түүнийг ална, үхсэн нь хэлвэл би түүнийг гаргана" гэж боддог. Мэргэн бодон хариулав: "Бүх зүйл таны гарт". (Танилцуулга.Слайд)

- Иймд өнөөдөр үр бүтээлтэй ажиллаж, шинэ мэдлэг хуримтлуулж, олж авсан ур чадвар, чадвараа хожим амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа хэрэгжүүлцгээе. "Бүх зүйл таны гарт".

II. Өмнө нь сурсан материалыг давтах.

Өмнө нь судалсан материалын гол санааг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд даалгавраа хийцгээе "Илүүдэл үгийг хас."(Слайд.)

(Оюутан ID дээр очно, баллуурын тусламжтайгаар нэмэлт үгийг арилгана.)

- Зөв "Диференциал". Үлдсэн үгсийг нэг нийтлэг үгээр нэрлэхийг хичээ. (Интеграл тооцоо.)

- Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая ..

"Математикийн багц".

Дасгал хийх. Тасалбарыг сэргээх. (Оюутан гарч ирээд шаардлагатай үгсийг үзэгээр бичдэг.)

- Бид дараа нь интегралын хэрэглээний талаарх тайланг сонсох болно.

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

– Ньютон-Лейбницийн томьёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643–1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646–1716) нар боловсруулсан. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь математик бол байгаль өөрөө ярьдаг хэл юм.

– Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд энэ томъёог хэрхэн ашиглаж байгааг авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя . Олдох зургийн талбайг сонгоно уу.

III. Шинэ материал сурах.

- Дэлгэцэнд анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зураг дээр юу харагдаж байна вэ? (Слайд) (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

Хоёр дахь зураг дээр юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг хавтгай байна уу? (Слайд) (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

сансарт, дэлхий дээр болон дотор Өдөр тутмын амьдралБид зөвхөн хавтгай дүрсүүдтэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрсүүдтэй уулздаг, гэхдээ ийм биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээлбэл, гариг, сүүлт од, солирын хэмжээ гэх мэт.

– Эзлэхүүн, байшин барих, нэг савнаас нөгөө сав руу ус асгах талаар бод. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, арга бий болох ёстой байсан бол өөр нэг зүйл бол тэдгээр нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан юм.

Оюутны мессеж. (Тюрина Вера.)

1612 он тухайн үеийн алдарт одон орон судлаач Иоганнес Кеплерийн амьдарч байсан Австрийн Линц хотын оршин суугчдын хувьд, ялангуяа усан үзмийн хувьд маш их үр өгөөжтэй жил байв. Хүмүүс дарсны торх бэлтгэж, түүний хэмжээг хэрхэн бодитоор тодорхойлохыг мэдэхийг хүсч байв. (Слайд 2)

- Тиймээс Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь 17-р зууны сүүлийн улиралд оргилдоо хүрсэн бүхэл бүтэн судалгааны урсгалын эхлэлийг тавьсан юм. I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбницийн дифференциал ба интегралын тооцоо. Тэр цагаас хойш хэмжигдэхүүн хувьсагчийн математик нь математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлсээр ирсэн.

- Тиймээс бид өнөөдөр ийм практик үйл ажиллагаа явуулах болно, тиймээс,

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолох." (Слайд)

- Та дараах даалгаврыг гүйцэтгэснээр хувьсгалын биетийн тодорхойлолтыг сурах болно.

"Лабиринт".

Лабиринт (грек үг) нь шорон руу орох гэсэн утгатай. Лабиринт бол бие биетэйгээ харилцдаг зам, гарц, өрөөнүүдийн нарийн төвөгтэй сүлжээ юм.

Гэхдээ "газарсан" гэсэн тодорхойлолт нь сум хэлбэртэй байсан.

Дасгал хийх. Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

Слайд. “Зааварчилгаа карт” Эзлэхүүнийг тооцоолох.

Тусламжаар тодорхой интегралнэг буюу өөр биеийн эзлэхүүн, тухайлбал, хувьсгалын биеийг тооцоолох боломжтой.

Хувьсгалын бие нь эргэлтээр олж авсан бие юм муруй шугаман трапецтүүний суурийн эргэн тойронд (Зураг 1, 2)

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах томъёоны аль нэгээр тооцоолно.

1. x тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруйн трапецын эргэлт y тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Оюутан бүр зааварчилгааны карт авдаг. Багш гол санааг онцлон тэмдэглэв.

Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлийг тайлбарлана.

А.С.Пушкиний "Цар Салтан, түүний алдар суут, хүчирхэг хүү хунтайж Гвидон Салтанович ба үзэсгэлэнт гүнж Лебед нарын тухай үлгэр" хэмээх алдарт үлгэрийн хэсгээс авч үзье. (Слайд 4):

…..
Тэгээд согтуу элч авчирсан
Тухайн өдөр захиалга нь:
"Хаан боярууддаа тушаажээ.
Цаг хугацаа алдахгүй,
Мөн хатан ба үр удам
Усны ангал руу нууцаар хаясан."
Хийх зүйл алга: боярууд,
Тусгаар тогтнолын төлөө гашуудаж байна
Мөн залуу хатан хаан
Түүний унтлагын өрөөнд олон хүн ирэв.
Хааны гэрээслэлийг тунхаглав -
Тэр болон түүний хүү муу хувь тавилантай,
Тогтоолыг чангаар уншина уу
Мөн нэгэн зэрэг хатан хаан
Тэд намайг хүүтэйгээ хамт торхонд хийж,
Залбирсан, эргэлдсэн
Тэд намайг Окианд оруулав -
Иймээс де Цар Салтан тушаав.

Торхны эзэлхүүн ямар байх ёстой вэ гэвэл хатан хүү хоёр түүнд багтах уу?

- Дараах ажлуудыг анхаарч үзээрэй

1. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын у тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Хариулт: 1163 см 3 .

Парабол трапецийг абсциссыг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол y = , x = 4, y = 0.

IV. Шинэ материалыг засах

Жишээ 2. Дэлбээ нь х тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Функцийн графикуудыг зуръя. y=x2, y2=x. Хуваарь y 2 = xхэлбэрт шилжүүлэх y= .

Бидэнд байгаа V \u003d V 1 - V 2Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё

-Одоо Оросын гайхамшигт инженер, гавьяат академич В.Г.Шуховын төслийн дагуу Москвагийн Шаболовка дахь радио станцын цамхагийг харцгаая. Энэ нь хувьсгалын гиперболоид хэсгүүдээс бүрдэнэ. Түүнээс гадна тэдгээр нь тус бүр нь зэргэлдээ тойргийг холбосон шулуун төмөр бариулаар хийгдсэн байдаг (Зураг 8, 9).

- Асуудлыг авч үзье.

Гиперболын нумуудыг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол Зурагт үзүүлсэн шиг түүний төсөөллийн тэнхлэгийн эргэн тойронд. 8, хаана

шоо нэгж

Бүлгийн даалгавар. Оюутнууд даалгавраар сугалаа зурж, ватман цаасан дээр зураг зурж, бүлгийн төлөөлөгчдийн нэг нь ажлыг хамгаалдаг.

1-р бүлэг.

Цохих! Цохих! Өөр нэг цохилт!
Бөмбөг хаалга руу нисч байна - БӨМБӨГ!
Мөн энэ бол тарвасны бөмбөг юм
Ногоон, дугуй, амттай.
Илүү сайн хараарай - ямар бөмбөг вэ!
Энэ нь дугуйлангаас бүрдэнэ.
Тарвасыг тойрог болгон хайчилж ав
Мөн тэдгээрийг амтлаарай.

-ээр хязгаарлагдсан функцийн OX тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Алдаа! Хавчуурга тодорхойлогдоогүй байна.

- Надад хэлээч, бид энэ дүртэй хаана уулздаг вэ?

Байшин. 1-р бүлгийн даалгавар. ЦИЛИНДР (слайд) .

"Цилиндр - энэ юу вэ?" Би ааваасаа асуув.
Аав инээгээд: Дээд талын малгай бол малгай.
Зөв санаатай байхын тулд
Цилиндр бол цагаан тугалга лааз гэж хэлье.
Уурын зуухны хоолой нь цилиндр,
Манай дээвэр дээрх хоолой бас

Бүх хоолой нь цилиндртэй төстэй.
Би ийм жишээ өгсөн -
Калейдоскоп Миний хайр,
Чи түүнээс нүдээ салгаж чадахгүй.
Энэ нь бас цилиндр шиг харагдаж байна.

- Дасгал хийх. Гэрийн даалгаварфункцийг зурж, эзлэхүүнийг тооцоол.

2-р бүлэг. КОНУСАН (слайд).

Ээж: Тэгээд одоо
Конусын тухай миний түүх байх болно.
Өндөр малгай өмссөн оддыг харагч
Жилийн турш оддыг тоолдог.
CONE - оддыг ажиглагчийн малгай.
Тэр ийм л хүн. Ойлгосон уу? Ингээд л болоо.
Ээж ширээн дээр байсан
Тэр лонхонд тос асгав.
- Юүлүүр хаана байна? Юүлүүр байхгүй.
Хараач. Хажуу талд бүү зогс.
- Ээж ээ, би байрнаасаа хөдлөхгүй,
Конусын талаар илүү ихийг хэлээрэй.
- Юүлүүр нь услах савны конус хэлбэртэй байдаг.
Алив, намайг хурдан олоорой.
Би юүлүүр олдсонгүй
Гэхдээ ээж цүнх хийсэн,
Хурууныхаа эргэн тойронд картоныг боож өг
Мөн цаасны хавчаараар чадварлаг бэхэлсэн.
Газрын тос асгарч байна, ээж баяртай байна
Конус яг л гарч ирэв.

Дасгал хийх. X тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол

Байшин. 2-р бүлгийн даалгавар. ПИРАМИД(слайд).

Би зургийг харсан. Энэ зурган дээр
Элсэн цөлд ПИРАМИД байдаг.
Пирамид дахь бүх зүйл ер бусын,
Үүнд ямар нэгэн нууцлаг, нууцлаг зүйл бий.
Улаан талбай дээрх Спасская цамхаг
Хүүхэд, насанд хүрэгчид хоёулаа сайн мэддэг.
Цамхагийг хараарай - энгийн дүр төрхтэй,
Түүний дээр юу байгаа вэ? Пирамид!

Дасгал хийх.Гэрийн даалгавар функцийг зурж, пирамидын эзлэхүүнийг тооцоол

- Бид интеграл ашиглан биеийн эзэлхүүний үндсэн томъёонд үндэслэн янз бүрийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолсон.

Энэ нь тодорхой интеграл нь математикийн судалгаанд үндэс суурь болж байгаагийн бас нэг баталгаа юм.

"Одоо жаахан амарцгаая."

Хос олоорой.

Математик домино аялгуу тоглодог.

"Түүний хайж байсан зам хэзээ ч мартагдахгүй ..."

Судалгааны ажил. Интегралыг эдийн засаг, технологид ашиглах.

Хүчтэй суралцагчдад зориулсан тест, математикийн хөлбөмбөг.

Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

A) тодорхойгүй интеграл

B) функц,

B) ялгах.

7. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Д/З. Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоол.

Тусгал.

Маягт дахь тусгалыг хүлээн зөвшөөрөх cinquain(таван мөр).

1-р мөрөнд - сэдвийн нэр (нэг нэр үг).

2-р мөрөнд - сэдвийн товч тайлбар, хоёр нэр томъёо.

3-р мөр - энэ сэдвийн хүрээнд хийсэн үйлдлийг гурван үгээр тайлбарлана.

4-р мөр - дөрвөн үгийн хэллэг, сэдэвт хандах хандлагыг харуулдаг (бүхэл бүтэн өгүүлбэр).

5-р мөр нь сэдвийн мөн чанарыг давтдаг ижил утгатай үг юм.

1. Эзлэхүүн.
2. Тодорхой интеграл, интегралдах функц.
3. Бид бүтээх, эргүүлэх, тооцоолох.
4. Муруй шугаман трапецийг эргүүлэх замаар олж авсан бие (түүний суурийн эргэн тойронд).
5. Хувьсгалын бие (3D геометрийн бие).

Дүгнэлт (слайд).

• Тодорхой интеграл нь практик агуулгын асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй хувь нэмэр оруулдаг математикийн судалгааны нэг төрлийн суурь юм.
• "Интеграл" сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.
• Хөгжил орчин үеийн шинжлэх ухаанинтегралыг ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй. Үүнтэй холбогдуулан дунд мэргэжлийн боловсролын хүрээнд үүнийг судалж эхлэх шаардлагатай байна!

Дүгнэлт. (Тайлбарын хамт.)

Агуу Омар Хайям бол математикч, яруу найрагч, гүн ухаантан юм. Тэрээр хувь заяаныхаа эзэн байхыг уриалдаг. Түүний уран бүтээлийн хэсгээс сонсоно уу:

Чи энэ амьдралыг хоромхон зуур гэж хэлдэг.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.

Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Үүнээс гадна талбайг олох хавтгай дүрстодорхой интеграл ашиглан сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ нь Хувьсгалын биеийн эзлэхүүний тооцоо. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: үүнийг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай тодорхойгүй интегралууд дунд зэргийн төвөгтэй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл . Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байх болно). Та арга зүйн материалын тусламжтайгаар график зурах чадварлаг, хурдан техникийг эзэмших боломжтой . Гэхдээ үнэндээ би хичээл дээр зургийн ач холбогдлын талаар олон удаа ярьсан. .

Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг бөгөөд тодорхой интеграл ашиглан та зургийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. биеийн болон бусад олон зүйл. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. төлөөлсөн үү? ... Хэн юу бэлэглэв гэж гайхаж байна ... =))) Бид түүний талбайг аль хэдийн олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ зургийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно.

– x тэнхлэгийн эргэн тойронд; - y тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёуланг нь хоёуланг нь авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж ирнэ дүрсийн талбайг олох асуудал , мөн хоёр дахь аргаар - тэнхлэгийн дагуу талбайг хэрхэн олохыг танд хэлээрэй. Материал нь сэдэвт сайн нийцдэг тул тийм ч их урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тогтоодог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай. Зургийг хэрхэн илүү оновчтой, хурдан болгох талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанарууд болон Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Энэ бол Хятадын сануулга бөгөөд би энд зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Эргэлтийн үр дүнд тэнхлэгт тэгш хэмтэй, бага зэрэг өндөг хэлбэртэй нисдэг таваг олж авдаг. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номноос ямар нэг зүйлийг харах нь хэтэрхий залхуу байдаг тул бид цаашаа явна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Томъёонд интегралын өмнө заавал тоо байх ёстой. Ийм зүйл болсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

"А" ба "байх" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоох вэ гэдгийг би зурсан зургаас таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээд талын параболик графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат:, иймээс Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр байж болно, шоо метр байж болно, шоо километр ч байж болно, энэ бол таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

Шулуунаар хүрээлэгдсэн зургийн тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол,,

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тогтоодог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед дөрвөн булантай ийм сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн олж авдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авдаг. Энэ тайрсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэ.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Одоо завсарлага аваад геометрийн хуурмаг байдлын талаар ярилцъя.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг төсөөлөлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (ижил биш) номонд анзаарчээ Сонирхолтой геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 хавтгай дөрвөлжин метр талбайтай шингэнийг уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд бичсэн тэр ном нь хошин шогийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, асуудлын анхны стандарт бус шийдлүүдийг хайж олохыг зааж өгдөг. Саяхан би зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, үүнийг зөвлөж байна, хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй байна. Үгүй ээ, миний санал болгож буй хөгжилтэй зугаа цэнгэл, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээтэй байдал нь гайхалтай зүйл гэж та инээмсэглэх хэрэггүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол,,.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бараг бэлэн интеграцийн хязгаарыг өгсөн гэдгийг анхаарна уу. Мөн тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурахыг хичээ, хэрэв аргументыг хоёр хуваасан бол:, дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Дор хаяж 3-4 оноо олохыг хичээ тригонометрийн хүснэгтийн дагуу мөн зургийг илүү нарийвчлалтай болгоно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. У тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь туршилтанд нэлээд олон удаа ирдэг. Цаашид авч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудал хоёр дахь арга зам - тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх, энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийг хэрхэн олохыг танд заах болно. Энэ нь бас практик утгатай! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд болсон, ажилтнуудаа оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Жишээ 5

,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол. 2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл:Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг тодорхойлж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талд нь хэвтэж буй" өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр ​​будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хичээл дээр авч үзсэн "ердийн" аргаар олж болно. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно: - сегмент дээр ; - сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэлд юу буруу байна вэ? Нэгдүгээрт, хоёр интеграл байдаг. Хоёрдугаарт, интеграл дахь язгуур, интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш, үүнээс гадна интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг үхэлд хүргэдэггүй, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байдаг тул би даалгаврын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгов.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь шилжихээс бүрддэг урвуу функцуудболон тэнхлэгийн дагуух интеграци.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Ойролцоогоор "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Үүний зэрэгцээ, сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Тайлбар: Тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх хязгаарыг тогтоох хэрэгтэйхатуу доороос дээш !

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцчлалыг хэрхэн гүйцэтгэсэнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Тиймээс цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "давган эрвээхэй" гарч ирнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлно.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьсан интеграцийн давуу тал, үүнийг олоход хамаагүй хялбар юм Интегралыг 4-р зэрэглэлд урьдчилж өсгөхөөс илүү.