Вектор дахь шулуун шугамын тэгшитгэл. Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Өнөөдөр бид геометртэй холбоотой алгоритмуудыг сурч эхэлнэ. Тооцооллын геометртэй холбоотой компьютерийн шинжлэх ухаанд олон тооны олимпиадын асуудал байдаг бөгөөд ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.

Хэд хэдэн хичээлээр бид тооцооллын геометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн дэд бодлогыг авч үзэх болно.

Энэ хичээлээр бид програм бичих болно шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохөгөгдсөнөөр дамжин өнгөрөх хоёр цэг. Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тооцооллын геометрийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Бид хичээлийнхээ нэг хэсгийг тэдэнтэй танилцахад зориулах болно.

Тооцооллын геометрийн мэдээлэл

Тооцооллын геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалдаг компьютерийн шинжлэх ухааны салбар юм.

Ийм асуудлын анхны өгөгдөл нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц, сегментийн багц, олон өнцөгт (жишээлбэл, оройнуудын жагсаалтыг цагийн зүүний дагуу жагсаасан) гэх мэт байж болно.

Үр дүн нь аль нэг асуултын хариулт (жишээ нь, нэг цэг нь сегментэд хамаарах уу, хоёр сегмент огтлолцдог уу, ... гэх мэт) эсвэл геометрийн объект (жишээлбэл, өгөгдсөн цэгүүдийг холбосон хамгийн жижиг гүдгэр олон өнцөгт, талбайн хэмжээ) байж болно. олон өнцөгт гэх мэт).

Тооцооллын геометрийн асуудлуудыг бид зөвхөн хавтгайд, зөвхөн декартын координатын системд авч үзэх болно.

Вектор ба координат

Тооцооллын геометрийн аргыг хэрэглэхийн тулд геометрийн дүрсийг тооны хэл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай. Хавтгай дээр цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг декартын координатын систем өгөгдсөн гэж бид таамаглах болно.

Одоо геометрийн объектууд аналитик илэрхийлэлийг хүлээн авдаг. Тиймээс цэгийг тогтоохын тулд түүний координатыг зааж өгөхөд хангалттай: хос тоо (x; y). Сегментийг түүний төгсгөлийн координатыг зааж өгч болно, шулуун шугамыг хос цэгийн координатыг зааж өгч болно.

Гэхдээ асуудлыг шийдэх гол хэрэгсэл нь векторууд байх болно. Тиймээс тэдний талаарх зарим мэдээллийг танд сануулъя.

Шугамын сегмент AB, ямар нэг санаа байна ГЭХДЭЭэхлэл (хэрэглэх цэг), цэгийг авч үзсэн AT- төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг ABболон аль нэгийг нь, эсвэл тодоор тэмдэглэнэ жижиг үсэг, Жишээлбэл а .

Векторын уртыг (өөрөөр хэлбэл харгалзах сегментийн урт) тэмдэглэхийн тулд бид модулийн тэмдгийг ашиглана (жишээлбэл, ).

Дурын вектор нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү координаттай байна.

,

энд цэгүүд Аболон Б координаттай байна тус тус.

Тооцооллын хувьд бид ойлголтыг ашиглах болно чиглэсэн өнцөг, өөрөөр хэлбэл векторуудын харьцангуй байрлалыг харгалзан үзсэн өнцөг.

Векторуудын хооронд чиглэсэн өнцөг а болон б эргэлт нь вектороос хол байвал эерэг а вектор руу б эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг) хийгддэг ба нөгөө тохиолдолд сөрөг байна. Зураг 1а, зураг 1б-г үзнэ үү. Мөн хос вектор гэж хэлдэг а болон б эерэг (сөрөг) чиглэсэн.

Тиймээс чиглүүлсэн өнцгийн утга нь векторуудыг тоолох дарааллаас хамаардаг бөгөөд интервал дахь утгыг авч болно.

Тооцооллын геометрийн олон асуудалд векторуудын вектор (хашуу эсвэл псевдоскаляр) бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашигладаг.

a ба b векторуудын вектор үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр юм.

.

Координат дахь векторуудын вектор үржвэр:

Баруун талын илэрхийлэл нь хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч юм:

Аналитик геометрийн тодорхойлолтоос ялгаатай нь энэ нь скаляр юм.

Гарын үсэг зурах вектор бүтээгдэхүүнбие биентэйгээ харьцуулахад векторуудын байрлалыг тодорхойлно.

а болон б эерэг хандлагатай.

Хэрэв утга нь бол векторын хос болно а болон б сөрөг хандлагатай.

Тэг биш векторуудын хөндлөн үржвэр нь зөвхөн, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал тэг болно ( ). Энэ нь тэдгээр нь нэг шугам дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим энгийн даалгавруудыг авч үзье.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр цэгийн координатаар тодорхойлъё.

Хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын координатаар өгөгдсөн тэгшитгэл.

Шулуун дээр координаттай (x1;y1) ба координаттай (x2; y2) хоёр давхцахгүй цэг өгье. Үүний дагуу эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байгаа вектор нь координаттай (x2-x1, y2-y1) байна. Хэрэв P(x, y) нь манай шулуун дээрх дурын цэг бол векторын координат нь (x-x1, y - y1) болно.

Хөндлөн үржвэрийн тусламжтайгаар векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тэдгээр. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгч болно.

Даалгавар 1. Хоёр цэгийн координатыг өгөв. Түүний дүрслэлийг ax + by + c = 0 хэлбэрээр ол.

Энэ хичээлээр бид тооцооллын геометрийн зарим мэдээлэлтэй танилцсан. Бид хоёр цэгийн координатаар шулууны тэгшитгэлийг олох асуудлыг шийдсэн.

Дараагийн хичээлээр бид тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох програм бичнэ.

Шулуун шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдийг дайруул. M 1 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y- y 1 \u003d хэлбэртэй байна. к (x - x 1), (10.6)

хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгээр дамждаг тул энэ цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (10.6) хангасан байх ёстой: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 \u003d x 2 бол M 1 (x 1, y I) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 \u003d y I бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг y \u003d y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг Ox тэнхлэгийг M 1 (a; 0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0; b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг шулуун шугамаар таслахыг заадаг.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Дамжуулж буй шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол өгсөн оноо Mo (x O; y o) нь өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр байна.

Шулуун шугамын дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: өөрөөр хэлбэл,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг дуудна дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл өгсөн онооөгөгдсөн вектортой перпендикуляр .

Шугаманд перпендикуляр n = (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

Тэгшитгэлийг (10.8) гэж дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C \u003d -Ax o - Vu o - чөлөөт гишүүн. Тэгшитгэл (10.9) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
шулуун өнгөрөх цэгийн координат ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. болон фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол утга юм
, голомтын хоорондох зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр байрладаг, гарал үүсэл нь голомтуудын дунд байдаг эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа гол хагас тэнхлэгийн урт;б нь бага хагас тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Энэ өгүүлэл нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн гарал үүслийг харуулж байна тэгш өнцөгт системхавтгай дээр байрлах координатууд. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргаж авдаг. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг нүдээр үзүүлж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгайн давхцаагүй хоёр цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар онгоцны өгөгдсөн хоёр цэгийг тодорхойлно.

Хэрэв хавтгайг тэгш өнцөгт координатын Oxy системээр өгсөн бол түүн дээр дүрслэгдсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэх вектортой мөн холболт бий.Эдгээр өгөгдөл нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиоход хангалттай.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр тохирохгүй цэгийг дайран өнгөрөх a шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай.

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y хэлбэртэй хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлд тэгш өнцөгт координатын системийг M координаттай цэг дээр түүнтэй огтлолцох шулуун шугамаар зааж өгсөн болно. 1 (x 1, y 1) чиглүүлэгч вектор бүхий a → = (a x , a y) .

Үүнийг зурах шаардлагатай байна каноник тэгшитгэл M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх a шулуун шугам.

Шулуун шугам нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглүүлэх вектортой. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дагуу бид бичнэ параметрийн тэгшитгэл M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай дээрх шулуун шугам. Бид x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ эсвэл x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авдаг. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Хэд хэдэн жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5 , 2 3 , М 2 1 , - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1 , y 1 ба x 2 , y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцсон шулуун шугамын каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Асуудлын нөхцлийн дагуу бид x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 байна. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд тоон утгыг орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болно.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Хэрэв өөр төрлийн тэгшитгэлээр асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр зүйлд хүрэх нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Бид каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт оруулаад дараах зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм даалгаврын жишээг сургуулийн сурах бичигт алгебрийн хичээл дээр авч үзсэн. Сургуулийн даалгавар нь y \u003d k x + b хэлбэртэй налуугийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг байснаараа ялгаатай байв. Хэрэв та y \u003d k x + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M цэгүүдийг дайран өнгөрөх O x y систем дэх шугамыг тодорхойлдог k налуу ба b тоог олох шаардлагатай бол. 2 (x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 үед , дараа нь налуу нь хязгааргүй байдлын утгыг авах ба M 1 M 2 шугамыг ерөнхийд нь тодорхойлно. бүрэн бус тэгшитгэл x - x 1 = 0 хэлбэрийн .

Учир нь цэгүүд М 1болон М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг k ба b-тэй харьцуулан шийдвэрлэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x-ийг олно. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм k ба b утгуудтай бол өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авна дараагийн харах y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм олон тооны томьёог нэг дор цээжлэх нь үр дүнд хүрэхгүй. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

M 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх налуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y \u003d k x + b хэлбэртэй налуутай томьёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд нь энэ тэгшитгэл нь M 1 (- 7 , - 5) ба M 2 (2, 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байх ёстой.

оноо М 1болон М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг зөв тэгшитгэлийг эргүүлэх ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хүссэн тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэртэй тэгшитгэл болно гэдгийг бид олж мэднэ.

Шийдвэрлэх ийм арга нь зарцуулалтыг урьдчилан тодорхойлдог их тооцаг. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) хэлбэртэй бичнэ. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координатуудтай давхцахгүй өгөгдсөн хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O x y z байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2-ээр дамжуулж, энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. a z λ нь a → = (a x, a y, a z) чиглүүлэх вектортой (x 1, y 1, z 1) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамыг O x y z координатын системд тогтоох боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шугам нь M 1 (x 1 , y 1 , z ) цэгийг дайран өнгөрдөг. 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z хэлбэртэй байж болно. 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

М 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын O x y z системд тодорхойлсон шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. ).

Шийдэл

Бид каноник тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. Гурван хэмжээст орон зайн тухай ярьж байгаа тул өгөгдсөн цэгүүдийг шулуун шугам өнгөрөхөд хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. z - z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд:

Хэрвээ C= 0, тэгшитгэл (2) нь хэлбэртэй байна

Сүх + By = 0,

ба энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь эхийн координатаас хойш эхийг дайран өнгөрдөг x = 0, y= 0 нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

b) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) Б= 0 бол тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Сүх + FROM= 0, эсвэл .

Тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй y, мөн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө.

c) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) А= 0 бол энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна

By + FROM= 0, эсвэл ;

тэгшитгэл нь хувьсагч агуулаагүй x, түүгээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Үхэр.

Үүнийг санаж байх хэрэгтэй: хэрэв шулуун шугам нь ямар ч координатын тэнхлэгтэй параллель байвал түүний тэгшитгэл нь энэ тэнхлэгтэй ижил нэртэй координат агуулсан нэр томъёог агуулаагүй болно.

г) Хэзээ C= 0 ба А= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна By= 0, эсвэл y = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Үхэр.

д) Хэзээ C= 0 ба Б= 0 тэгшитгэлийг (2) хэлбэрээр бичиж болно Сүх= 0 эсвэл x = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Өө.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт. Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл. Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ба S 2 векторуудыг шугамын чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

l 1 ба l 2 шугамуудын хоорондох өнцгийг чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.
Теорем 1: cos өнцөг l 1 ба l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Теорем 2: 2 мөр тэнцүү байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Теорем 3:Ингэснээр 2 шугам перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл ба түүний онцгой тохиолдлууд. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэл:

Ax + By + Cz + D = 0

Онцгой тохиолдлууд:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - онгоц эхийг дайран өнгөрнө

2. С=0 Ax+By+D = 0 – хавтгай || унц

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – хавтгай || Өө

4. A=0 By+Cz+D = 0 – хавтгай || ҮХЭР

5. A=0 ба D=0 By+Cz = 0 - онгоц OX-ээр дамжин өнгөрнө

6. B=0 ба D=0 Ax+Cz = 0 - онгоц OY-ээр дамжин өнгөрнө

7. C=0 ба D=0 Ax+By = 0 - онгоц OZ-ээр дамжин өнгөрдөг

Орон зайд хавтгай ба шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт:

1. Орон зайн шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Шугамын чиглэлийн вектор ба хавтгайн хэвийн векторын хоорондох өнцгийн нүгэлээр дамжуулан шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн косинусыг олж болно.

4. 2 мөр || сансарт тэдний || вектор хөтөч

5. 2 онгоц || хэзээ || хэвийн векторууд

6. Шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар оруулсан болно.

Асуулт №14

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн янз бүрийн хэлбэрүүд (хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл, налуу гэх мэт)

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - шулуун шугам нь гарал үүслээр дамждаг.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. дотор \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Сүх \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл:

Ямар ч шулуун шугам биш тэнхлэгтэй тэнцүү байна OU (Үгүй \u003d 0), дараагийн хэсэгт бичиж болно. хэлбэр:

k = tgα α нь шулуун ба эерэг чиглэсэн ОХ шугамын хоорондох өнцөг юм

b - OS тэнхлэгтэй шулуун шугамын огтлолцлын цэг

Баримт бичиг:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: Б

Хоёр цэг дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Асуулт №16

Цэг дэх функцийн төгсгөлийн хязгаар ба x→∞

x 0 цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

A тоог x → x 0-ийн хувьд y \u003d f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв ямар ч E > 0-ийн хувьд b > 0 байвал x ≠ x 0-ийн хувьд |x - x 0 тэгш бус байдлыг хангана. |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

+∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог х-ийн y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ → + ∞ , хэрэв ямар нэг E > 0-ийн хувьд C > 0 байгаа бол x > C-ийн хувьд |f(x) - A|< Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

-∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ x→-∞,хэрэв ямар нэг E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

3D орон зайд гурван сонголт байдаг. харьцангуй байрлалхоёр шулуун шугам:

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, Бболон FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрүүдямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

шугаманд перпендикуляр тэгшитгэлээр өгөгдсөн

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Тиймээс: 3 - 2 + С = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)болон M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2болон x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. А(1, 2) ба В(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,а б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

хэвийн тэгшитгэлЧигээрээ.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхлэлээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

а φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Бичих шаардлагатай янз бүрийн төрөлтэгшитгэл

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0болон A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай Мболон М 1:

(1)

Координатууд x 1болон 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.