පේළි දෙකක පොදු ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න. අවකාශයේ රේඛා අන්යෝන්ය සැකැස්ම. අභ්යවකාශයේ සරල රේඛාවක් සමඟ ගැටළු

ඛණ්ඩාංක ක්රමය භාවිතා කරමින් සමහර ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳන විට, රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. බොහෝ විට, කෙනෙකුට තලයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සෙවිය යුතුය, නමුත් සමහර විට අභ්‍යවකාශයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි රේඛා දෙකක් ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට කටයුතු කරමු.

පිටු සංචලනය.

පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය අර්ථ දැක්වීමකි.

අපි මුලින්ම රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය නිර්වචනය කරමු.

මේ අනුව, සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් තලයේ අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා, දී ඇති රේඛා සමීකරණ වලින් සමන්විත පද්ධතියක් විසඳීම අවශ්‍ය වේ.

උදාහරණයක් ලෙස විසඳුමක් සලකා බලමු.

උදාහරණයක්.

අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයන්න සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතිය x-9y+14=0 සහ 5x-2y-16=0 සමීකරණ මගින් තලය මත සම්බන්ධීකරණය කරයි.

විසඳුමක්.

අපට රේඛා වල සාමාන්‍ය සමීකරණ දෙකක් ලබා දී ඇත, අපි ඒවායින් පද්ධතියක් සම්පාදනය කරන්නෙමු: . එහි පළමු සමීකරණය x විචල්‍යයට අදාළව විසඳා මෙම ප්‍රකාශනය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කළහොත් ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම් පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය:

සමීකරණ පද්ධතියේ සොයාගත් විසඳුම අපට රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක ලබා දෙයි.

පිළිතුර:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 සහ 5x-2y-16=0 .

එබැවින්, තලයේ සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම, දෙකක පද්ධතියක් විසඳීම දක්වා අඩු වේ. රේඛීය සමීකරණනොදන්නා විචල්‍ය දෙකක් සමඟ. නමුත් තලයේ සරල රේඛා ලබා දෙන්නේ සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් නොව, වෙනත් වර්ගයක සමීකරණ මගින් නම් (තලයේ සරල රේඛාවක සමීකරණයේ වර්ග බලන්න)? මෙම අවස්ථා වලදී, ඔබට පළමුව රේඛා සමීකරණ සාමාන්‍ය ස්වරූපයකට ගෙන යා හැකි අතර ඉන් පසුව පමණක් ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

උදාහරණයක්.

හා .

විසඳුමක්.

ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට පෙර, අපි ඒවායේ සමීකරණ අඩු කරමු සාමාන්ය දැක්ම. පරාමිතික සමීකරණ සිට සරල රේඛාවකට මාරු වීම වෙත සාමාන්ය සමීකරණයමෙම රේඛාව මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

දැන් අපි වියදම් කරමු අවශ්ය ක්රියාරේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය සමඟ:

මේ අනුව, රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක යනු පෝරමයේ සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුමයි. . එය විසඳීමට අපි භාවිතා කරමු:

පිළිතුර:

M 0 (-5, 1)

ගුවන් යානයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. පෝරමයේ පරාමිතික සමීකරණ මගින් එක් පේළියක් ලබා දී ඇති විට එය භාවිතා කිරීම පහසුය , සහ අනෙක - වෙනස් ස්වරූපයක සරල රේඛාවක සමීකරණය. මෙම අවස්ථාවේදී, වෙනත් සමීකරණයකදී, x සහ y විචල්‍යයන් වෙනුවට, ඔබට ප්‍රකාශන ආදේශ කළ හැකිය. හා , ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වන ස්ථානයට අනුරූප වන අගය ලබා ගැනීමට හැකි වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය ඛණ්ඩාංක ඇත .

මේ ආකාරයට පෙර උදාහරණයෙන් රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු.

උදාහරණයක්.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න හා .

විසඳුමක්.

සෘජු ප්‍රකාශනයේ සමීකරණයේ ආදේශ කරන්න:

ප්රතිඵලය සමීකරණය විසඳීම, අපි ලබා ගනිමු. මෙම අගය රේඛාවල පොදු ලක්ෂ්යයට අනුරූප වේ හා . සරල රේඛාව පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කිරීමෙන් අපි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු:
.

පිළිතුර:

M 0 (-5, 1) .

පින්තූරය සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා, තවත් එක් කරුණක් සාකච්ඡා කළ යුතුය.

තලයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට පෙර, ලබා දී ඇති රේඛා සැබවින්ම ඡේදනය වන බවට වග බලා ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. මුල් රේඛා සමපාත හෝ සමාන්තර වන බව පෙනේ නම්, එවැනි රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් තිබිය නොහැක.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට එවැනි චෙක්පතකින් තොරව කළ හැකි අතර, වහාම පෝරමයේ සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරන්න සහ එය විසඳන්න. සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, එය මුල් රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙයි. සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති නම්, මුල් රේඛා සමාන්තර බව අපට නිගමනය කළ හැකිය (දී ඇති රේඛාවල සමීකරණ දෙකම එකවර තෘප්තිමත් කළ හැකි තාත්වික සංඛ්‍යා x සහ y යුගලයක් නොමැති බැවින්). සමීකරණ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් සමූහයක් තිබීමෙන්, එය අනුගමනය කරන්නේ මුල් රේඛාවලට අනන්තවත් පොදු කරුණු ඇති බවයි, එනම් ඒවා සමපාත වේ.

මෙම තත්වයන්ට ගැලපෙන උදාහරණ දෙස බලමු.

උදාහරණයක්.

රේඛා සහ ඡේදනය වේද යන්න සොයා බලන්න, ඒවා ඡේදනය වන්නේ නම්, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.

ලබා දී ඇති රේඛා සමීකරණ සමීකරණවලට අනුරූප වේ හා . මෙම සමීකරණ වලින් සමන්විත පද්ධතිය විසඳා ගනිමු .

පද්ධතියේ සමීකරණ එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වන බව පැහැදිලිය (පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය එහි කොටස් දෙකම 4 න් ගුණ කිරීමෙන් පළමුවැන්නෙන් ලබා ගනී), එබැවින් සමීකරණ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ. මේ අනුව, සමීකරණ සහ එකම රේඛාව නිර්වචනය කරන අතර, මෙම රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ගැන කතා කළ නොහැක.

පිළිතුර:

සමීකරණ සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ Oxy හි එකම සරල රේඛාව තීරණය කරයි, එබැවින් අපට ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ගැන කතා කළ නොහැක.

උදාහරණයක්.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න හා , හැකි නම්.

විසඳුමක්.

ගැටලුවේ තත්වය රේඛා ඡේදනය නොවිය හැකි බව පිළිගනී. අපි මෙම සමීකරණ පද්ධතියක් සකස් කරමු. එහි විසඳුම සඳහා අදාළ වේ, එය ඔබට සමීකරණ පද්ධතියේ ගැළපුම හෝ නොගැලපීම තහවුරු කිරීමට ඉඩ සලසයි, සහ එය අනුකූල නම්, විසඳුමක් සොයා ගන්න:

ගවුස් ක්‍රමයේ සෘජු ගමන් මාර්ගයෙන් පසු පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණය වැරදි සමානාත්මතාවයක් බවට පත් විය, එබැවින් සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැත. මෙයින් අපට මුල් රේඛා සමාන්තර බව නිගමනය කළ හැකි අතර, මෙම රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ගැන කතා කළ නොහැක.

දෙවන විසඳුම.

ලබා දී ඇති රේඛා ඡේදනය වේද යන්න සොයා බලමු.

- සාමාන්ය රේඛා දෛශිකය , සහ දෛශිකය රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයකි . අපි ක්රියාත්මක කිරීම පරීක්ෂා කරමු හා : සමානාත්මතාවය එය සත්‍ය වේ, මක්නිසාද යත්, ලබා දී ඇති රේඛාවල සාමාන්‍ය දෛශික කෝලිනියර් වේ. එවිට, මෙම රේඛා සමාන්තර හෝ සමපාත වේ. මේ අනුව, මුල් රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත නොහැක.

පිළිතුර:

මෙම රේඛා සමාන්තර බැවින් දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත නොහැක.

උදාහරණයක්.

2x-1=0 රේඛාවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සහ ඒවා ඡේදනය වන්නේ නම් සොයන්න.

විසඳුමක්.

දී ඇති රේඛාවල පොදු සමීකරණ වන සමීකරණ පද්ධතියක් අපි සම්පාදනය කරමු: . මෙම සමීකරණ පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ , එබැවින් සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත, එය ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය පෙන්නුම් කරයි.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, අපි පද්ධතිය විසඳිය යුතුය:

ප්රතිඵලය වන විසඳුම අපට රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙයි, එනම්, 2x-1=0 සහ .

පිළිතුර:

අවකාශයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම.

ත්‍රිමාන අවකාශයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමාන ලෙස දක්නට ලැබේ.

අපි උදාහරණ සලකා බලමු.

උදාහරණයක්.

සමීකරණ මගින් අවකාශයේ දී ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න හා .

විසඳුමක්.

දී ඇති රේඛාවල සමීකරණ වලින් අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු: . මෙම පද්ධතියේ විසඳුම අභ්‍යවකාශයේ රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක අපට ලබා දෙනු ඇත. ලිඛිත සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම අපි සොයා ගනිමු.

පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ආකෘතිය ඇත , සහ දීර්ඝ .

අපි නිර්වචනය කරමු A සහ අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය T . අපි පාවිච්චි කරන්නේ

ලම්බක රේඛාව

මෙම කාර්යය බොහෝ විට පාසල් පෙළපොත්වල වඩාත් ජනප්රිය හා ඉල්ලුමේ එකක් විය හැකිය. මෙම තේමාව මත පදනම් වූ කාර්යයන් විවිධාකාර වේ. රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ නිර්වචනය මෙයයි, ඕනෑම කෝණයකින් මුල් රේඛාවේ ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයේ නිර්වචනය මෙයයි.

අපගේ ගණනය කිරීම් භාවිතා කරමින් ලබාගත් දත්ත භාවිතා කරමින් අපි මෙම මාතෘකාව ආවරණය කරන්නෙමු

සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය, බෑවුමක් සහිත සමීකරණයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම සහ අනෙක් අතට, සහ දී ඇති කොන්දේසි අනුව සරල රේඛාවක ඉතිරි පරාමිතීන් තීරණය කිරීම සලකා බලන ලද්දේ එහිදීය.

මෙම පිටුව වෙන් කර ඇති ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට නොමැති මොනවාද?

1. ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් අතර කෝණ වලින් එකක් ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර.

අපට සමීකරණ මගින් ලබා දෙන සරල රේඛා දෙකක් තිබේ නම්:

එවිට එක් කෝණයක් පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

2. හරහා ගමන් කරන බෑවුමක් සහිත සරල රේඛාවක සමීකරණය ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය

1 සූත්‍රයෙන් අපට මායිම් ප්‍රාන්ත දෙකක් දැකිය හැක

අ) එවිට සහ එබැවින් මෙම රේඛා දෙක සමාන්තර වන විට (හෝ සමපාත වේ)

b) විට , එවිට , සහ එබැවින් මෙම රේඛා ලම්බක වේ, එනම් ඒවා සෘජු කෝණයකින් ඡේදනය වේ.

ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක් හැර එවැනි ගැටළු විසඳීම සඳහා මූලික දත්ත කුමක් විය හැකිද?

රේඛාවක ලක්ෂ්‍යයක් සහ දෙවන පේළිය එය ඡේදනය කරන කෝණය

රේඛාවේ දෙවන සමීකරණය

බොට් එකකට විසඳිය හැකි කාර්යයන් මොනවාද?

1. සරල රේඛා දෙකක් ලබා දී ඇත (පැහැදිලිව හෝ ව්‍යංගයෙන්, උදාහරණයක් ලෙස, ලකුණු දෙකකින්). ඡේදනය වන ස්ථානය සහ ඒවා ඡේදනය වන කෝණ ගණනය කරන්න.

2. එක් සරල රේඛාවක්, සරල රේඛාවක් මත ලක්ෂ්‍යයක් සහ එක් කෝණයක් ලබා දී ඇත. නිශ්චිත කෝණයකින් දී ඇති එකක් ඡේදනය වන සරල රේඛාවක සමීකරණය නිර්ණය කරන්න

උදාහරණ

සමීකරණ මගින් සරල රේඛා දෙකක් ලබා දී ඇත. මෙම රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සහ ඒවා ඡේදනය වන කෝණ සොයන්න

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

අපි පහත ප්රතිඵලය ලබා ගනිමු

පළමු පේළියේ සමීකරණය

y = 2.2 x + (1.2)

දෙවන පේළියේ සමීකරණය

y = 0.4285714285714 x + (-5)

රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ කෝණය (අංශක වලින්)

-42.357454705937

පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය

x=-3.5

y=-6.5

පේළි දෙකේ පරාමිති කොමාවකින් ද, එක් එක් පේළියේ පරාමිති අර්ධ කොමාවකින් ද වෙන් කර ඇති බව අමතක නොකරන්න.

රේඛාව ලකුණු දෙකක් (1:-4) සහ (5:2) හරහා ගමන් කරයි. ලක්ෂ්‍යය (-2:-8) හරහා ගමන් කරන සහ මුල් රේඛාව අංශක 30 ක කෝණයකින් ඡේදනය වන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න.

එක් සරල රේඛාවක් අප දන්නා බැවින් එය ගමන් කරන ස්ථාන දෙකක් දන්නා බැවිනි.

දෙවන සරල රේඛාවේ සමීකරණය තීරණය කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත. එක් කරුණක් අප දන්නා අතර, දෙවැන්න වෙනුවට, පළමු පේළිය දෙවැන්න ඡේදනය වන කෝණය පෙන්නුම් කරයි.

සෑම දෙයක්ම දන්නා බව පෙනේ, නමුත් මෙහි ප්රධාන දෙය වරදවා වටහා නොගත යුතුය. අපි කෝණය (අංශක 30) ගැන කතා කරන්නේ x-අක්ෂය සහ රේඛාව අතර නොව, පළමු සහ දෙවන පේළි අතරය.

මේ සඳහා අපි මේ ආකාරයට පෝස්ට් කරන්නෙමු. අපි පළමු පේළියේ පරාමිතීන් තීරණය කරමු, සහ එය x-අක්ෂය ඡේදනය කරන්නේ කුමන කෝණයකින්දැයි සොයා බලමු.

රේඛාව xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

සාමාන්‍ය සමීකරණය Ax+By+C = 0

සංගුණකය A = -6

සාධකය B = 4

සංගුණකය C = 22

සංගුණකය a= 3.6666666666667

සංගුණකය b = -5.5

සංගුණකය k = 1.5

අක්ෂයට නැඹුරු කෝණය (අංශක වලින්) f = 56.309932474019

සංගුණකය p = 3.0508510792386

සංගුණකය q = 2.5535900500422

ලකුණු අතර දුර=7.211102550928

පළමු පේළිය කෝණයකින් අක්ෂය හරහා ගමන් කරන බව අපට පෙනේ අංශක 56.309932474019.

දෙවන පේළිය පළමු පේළිය ඡේදනය වන්නේ කෙසේදැයි මූලාශ්‍ර දත්ත හරියටම නොකියයි. සියල්ලට පසු, කොන්දේසි සපුරාලන රේඛා දෙකක් අඳින්න පුළුවන්, පළමු අංශක 30 දක්ෂිණාවර්තව, සහ දෙවන අංශක 30 වාමාවර්තව.

අපි ඒවා ගණන් කරමු

දෙවන පේළිය COUNTER-CLOCKWISE අංශක 30ක් කරකවන්නේ නම්, දෙවන පේළියට x-අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වීමේ උපාධියක් ඇත. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 උපාධි

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

ලබා දී ඇති පරාමිතීන් අනුව සරල රේඛා පරාමිතීන්

සාමාන්‍ය සමීකරණය Ax+By+C = 0

සංගුණකය A = 23.011106998916

සාධකය B = -1.4840558255286

සංගුණකය C = 34.149767393603

x/a+y/b = 1 ඛණ්ඩවල සරල රේඛාවක සමීකරණය

සංගුණකය a= -1.4840558255286

සංගුණකය b = 23.011106998916

කෝණික සංගුණකය y = kx + b සමඟ සරල රේඛාවක සමීකරණය

සංගුණකය k = 15.505553499458

අක්ෂයට නැඹුරු කෝණය (අංශක වලින්) f = 86.309932474019

සාමාන්ය සමීකරණයසෘජු x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

සංගුණකය p = -1.4809790664999

සංගුණකය q = 3.0771888256405

ලකුණු අතර දුර=23.058912962428

ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාවට ඇති දුර li =

එනම් අපගේ දෙවන රේඛා සමීකරණය y= වේ 15.505553499458x+ 23.011106998916

මිනිත්තුවකට අඩු කාලයකදී, මම නව Verdov ගොනුවක් නිර්මාණය කර එවැනි උද්යෝගිමත් මාතෘකාවක් දිගටම කරගෙන ගියෙමි. ඔබ වැඩ කරන මනෝභාවයේ අවස්ථා අල්ලා ගත යුතුය, එබැවින් ගීතමය හැඳින්වීමක් සිදු නොවනු ඇත. ප්‍රොසයික් පහරවල් ඇත =)

සෘජු අවකාශ දෙකට පුළුවන්:

1) අන්තර් අභිජනනය;

2) ලක්ෂ්යයේදී ඡේදනය වීම;

3) සමාන්තරව;

4) ගැලපීම.

අංක 1 අනෙක් අවස්ථා වලට වඩා මූලික වශයෙන් වෙනස් වේ. එකම තලයක වැතිර නොසිටින්නේ නම් රේඛා දෙකක් ඡේදනය වේ.. එක් අතක් ඉහළට ඔසවන්න සහ අනෙක් අත ඉදිරියට දිගු කරන්න - මෙන්න රේඛා ඡේදනය වීමේ උදාහරණයක්. ලකුණු 2-4 තුළ, රේඛා අනිවාර්යයෙන්ම බොරු වේ එක් ගුවන් යානයක.

අභ්‍යවකාශයේ රේඛා වල සාපේක්ෂ පිහිටීම සොයා ගන්නේ කෙසේද?

සෘජු අවකාශයන් දෙකක් සලකා බලන්න:

- කෙලින්ම, ලක්ෂ්යයසහ දිශා දෛශිකය;
ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සරල රේඛාවකි.

වඩා හොඳ අවබෝධයක් සඳහා, අපි ක්රමානුරූප ඇඳීමක් කරමු:

චිත්‍රය උදාහරණයක් ලෙස වක්‍ර රේඛා පෙන්වයි.

මෙම රේඛා සමඟ කටයුතු කරන්නේ කෙසේද?

ලකුණු දන්නා බැවින් දෛශිකය සොයා ගැනීම පහසුය.

කෙළින් නම් අන්තර් අභිජනනය, පසුව දෛශික coplanar නොවේ(පාඩම බලන්න දෛශිකවල රේඛීය (නොවන) යැපීම. දෛශික පදනම), එයින් අදහස් වන්නේ ඒවායේ ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවන බවයි. නැතහොත්, ඇත්ත වශයෙන්ම සමාන වන, ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වනු ඇත: .

අංක 2-4 අවස්ථා වලදී, අපගේ ඉදිකිරීම් එක් තලයකට "වැටේ", දෛශික අතර coplanar, සහ මිශ්ර නිෂ්පාදන රේඛීය වේ යැපෙන දෛශිකශුන්‍යයට සමාන වේ: .

අපි ඇල්ගොරිතම තවදුරටත් පුළුල් කරමු. අපි එහෙම මවාපාමු , එබැවින්, රේඛා ඡේදනය වේ, නැතහොත් සමාන්තරව හෝ සමපාත වේ.

දිශාව දෛශික නම් collinear, එවිට රේඛා සමාන්තරව හෝ සමපාත වේ. අවසාන ඇණයක් ලෙස, මම පහත සඳහන් තාක්ෂණය යෝජනා කරමි: අපි එක් සරල රේඛාවක ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් ගෙන එහි ඛණ්ඩාංක දෙවන සරල රේඛාවේ සමීකරණයට ආදේශ කරමු; ඛණ්ඩාංක "ළං වී" නම්, රේඛා සමපාත වේ, ඒවා "ළඟා නොගත්තේ නම්", එවිට රේඛා සමාන්තර වේ.

ඇල්ගොරිතමයේ පාඨමාලාව සරලයි, නමුත් ප්රායෝගික උදාහරණතවමත් හානියක් නොවනු ඇත:

උදාහරණ 11

පේළි දෙකක සාපේක්ෂ පිහිටීම සොයා ගන්න

විසඳුමක්: ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ බොහෝ ගැටළු වලදී මෙන්, ලක්ෂ්‍යයෙන් විසඳුම් ස්ථානගත කිරීම පහසුය:

1) අපි සමීකරණ වලින් ලක්ෂ්‍ය සහ දිශා දෛශික උපුටා ගනිමු:

2) දෛශිකය සොයන්න:

මේ අනුව, දෛශික යනු coplanar වේ, එයින් අදහස් වන්නේ රේඛා එකම තලයක පිහිටා ඇති අතර ඡේදනය වීමට, සමාන්තර හෝ සමපාත විය හැකි බවයි.

4) සහසම්බන්ධතාවය සඳහා දිශා දෛශික පරීක්ෂා කරන්න.

මෙම දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක වලින් පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු:

සිට හැමෝමසමීකරණයෙන් ඇඟවෙන්නේ , එම නිසා, පද්ධතිය ස්ථාවර වන අතර, දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වන අතර, දෛශික ඛණ්ඩක වේ.

නිගමනය: රේඛා සමාන්තර හෝ සමපාත වේ.

5) රේඛාවල පොදු ලකුණු තිබේදැයි සොයා බලන්න. පළමු සරල රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්‍යයක් ගෙන එහි ඛණ්ඩාංක සරල රේඛාවේ සමීකරණවලට ආදේශ කරමු:

මේ අනුව, රේඛාවලට පොදු කරුණු නොමැති අතර, ඒවාට සමාන්තර වීම හැර වෙන කිසිවක් ඉතිරි නොවේ.

පිළිතුර:

සිත්ගන්නා උදාහරණයක්සදහා ස්වාධීන විසඳුම:

උදාහරණ 12

රේඛාවල සාපේක්ෂ පිහිටීම සොයා ගන්න

මෙය ඔබ විසින්ම කළ හැකි උදාහරණයකි. දෙවන පේළියේ පරාමිතියක් ලෙස අකුර ඇති බව සලකන්න. තර්කානුකූලව. හිදී සාමාන්ය නඩුව- මේවා විවිධ රේඛා දෙකකි, එබැවින් සෑම පේළියකටම තමන්ගේම පරාමිතිය ඇත.

නැවතත් මම ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ උදාහරණ මඟ නොහරින ලෙසයි, මම යෝජනා කරන කාර්යයන් අහඹු නොවන බව මම තරයේ තබමි ;-)

අභ්යවකාශයේ සරල රේඛාවක් සමඟ ගැටළු

පාඩමේ අවසාන කොටසේදී, මම සලකා බැලීමට උත්සාහ කරමි උපරිම මුදලඅවකාශීය රේඛා සමඟ විවිධ ගැටළු. මෙම අවස්ථාවේ දී, කතාවේ ආරම්භක අනුපිළිවෙලට ගරු කරනු ලැබේ: පළමුව අපි ඡේදනය වන රේඛා සමඟ ගැටළු සලකා බලමු, පසුව ඡේදනය වන රේඛා සමඟ, සහ අවසානයේ අපි අභ්යවකාශයේ සමාන්තර රේඛා ගැන කතා කරමු. කෙසේ වෙතත්, මෙම පාඩමේ සමහර කාර්යයන් එකවර සරල රේඛා කිහිපයක් සඳහා සකස් කළ හැකි බව පැවසිය යුතු අතර, මේ සම්බන්ධයෙන්, කොටස ඡේදවලට බෙදීම තරමක් අත්තනෝමතික ය. තව තියෙනවා සරල උදාහරණ, තව තියෙනවා සංකීර්ණ උදාහරණසහ සෑම කෙනෙකුම තමන්ට අවශ්‍ය දේ සොයා ගනු ඇතැයි බලාපොරොත්තු වෙමු.

හරස් රේඛා

ඔවුන් දෙදෙනාම වැතිර සිටින තලයක් නොමැති නම් රේඛා ඡේදනය වන බව මම ඔබට මතක් කරමි. මම පුහුණුවීම් ගැන සිතන විට, රාක්ෂ කාර්යයක් මතකයට නැඟී ඇති අතර, හිස් හතරක් සහිත මකරෙකු ඔබේ අවධානයට ඉදිරිපත් කිරීමට ලැබීම ගැන මම සතුටු වෙමි.

උදාහරණ 13

සරල රේඛා ලබා දී ඇත. අවශ්ය:

අ) රේඛා ඡේදනය වන බව ඔප්පු කරන්න;

b) ලබා දී ඇති රේඛාවලට ලම්බකව ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවේ සමීකරණ සොයා ගන්න;

ඇ) අඩංගු සරල රේඛාවක සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න පොදු ලම්බකඡේදනය වන රේඛා;

ඈ) රේඛා අතර දුර සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: ඇවිදින තැනැත්තා විසින් මාර්ගය ප්‍රගුණ කරනු ඇත:

අ) රේඛා ඡේදනය වන බව අපි ඔප්පු කරමු. මෙම සරල රේඛාවල ලක්ෂ්‍ය සහ දිශා දෛශික සොයා ගනිමු:

අපි දෛශිකය සොයා ගනිමු:

ගණනය කරන්න දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්:

එබැවින් දෛශික coplanar නොවේ, එනම් ඔප්පු කළ යුතු රේඛා ඡේදනය වන බවයි.

බොහෝ විට, සෑම කෙනෙකුම දිගු කලක් තිස්සේ දැක ඇති පරිදි, විකෘති රේඛා සඳහා, සත්‍යාපන ඇල්ගොරිතම කෙටිම වේ.

b) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සහ රේඛාවලට ලම්බක වන රේඛාවේ සමීකරණ සොයා ගනිමු. අපි ක්රමානුරූප ඇඳීමක් කරමු:

විවිධත්වය සඳහා, මම කෙලින්ම පළ කළෙමි එක්සරල රේඛා, හරස් ස්ථානවල එය තරමක් මකා දමා ඇති ආකාරය බලන්න. හරස් වර්ග? ඔව්, සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, "de" රේඛාව මුල් රේඛා සමඟ ඡේදනය වේ. අපි මේ මොහොත ගැන උනන්දුවක් නොදක්වන නමුත්, අපට අවශ්‍ය වන්නේ ලම්බක රේඛාවක් ගොඩනගා ගත යුතු අතර එයයි.

සෘජු "de" ගැන දන්නේ කුමක්ද? එයට අයත් කරුණ දනී. දිශා දෛශිකය අතුරුදහන්.

කොන්දේසිය අනුව, රේඛාව රේඛාවලට ලම්බක විය යුතුය, එයින් අදහස් වන්නේ එහි දිශා දෛශිකය දිශා දෛශිකවලට විකලාංග වනු ඇති බවයි. උදාහරණ අංක 9 වෙතින් දැනටමත් හුරුපුරුදු මෝස්තරය, අපි දෛශික නිෂ්පාදනය සොයා ගනිමු:

ලක්ෂ්‍යය සහ දිශානති දෛශිකය මගින් "de" සරල රේඛාවේ සමීකරණ සම්පාදනය කරමු:

සූදානම්. ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, කෙනෙකුට හරයන්හි සලකුණු වෙනස් කර පෝරමයේ පිළිතුර ලිවිය හැකිය , නමුත් මෙය අවශ්ය නොවේ.

පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සරල රේඛාවේ ලබාගත් සමීකරණවලට ආදේශ කිරීම අවශ්‍ය වේ, පසුව භාවිතා කරන්න දෛශික වල dot නිෂ්පාදනයදෛශිකය ඇත්ත වශයෙන්ම "pe one" සහ "pe two" යන දිශා දෛශික වලට විකලාංග බවට වග බලා ගන්න.

පොදු ලම්බකයක් අඩංගු රේඛාවක සමීකරණ සොයා ගන්නේ කෙසේද?

ඇ) මෙම ගැටළුව වඩාත් දුෂ්කර ය. ඩමීස් මෙම ඡේදය මඟ හරින ලෙස මම නිර්දේශ කරමි, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය සඳහා ඔබේ අවංක අනුකම්පාව සිසිල් කිරීමට මට අවශ්‍ය නැත =) මාර්ගය වන විට, වඩාත් සූදානම් වූ පාඨකයන්ට ද බලා සිටීම වඩා හොඳ විය හැකිය, කාරණය වන්නේ සංකීර්ණත්වය අනුව උදාහරණය විය යුතු බවයි. ලිපියේ අවසාන වශයෙන් තැබිය යුතුය, නමුත් ඉදිරිපත් කිරීමේ තර්කයට අනුව එය මෙහි පිහිටා තිබිය යුතුය.

එබැවින්, වක්ර රේඛාවල පොදු ලම්බක අඩංගු සරල රේඛාවේ සමීකරණ සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.

ලබා දී ඇති රේඛා සම්බන්ධ කරන සහ ලබා දී ඇති රේඛාවලට ලම්බක වන රේඛා ඛණ්ඩයකි:

මෙන්න අපේ කඩවසම් මිනිසා: - ඡේදනය වන රේඛා වල පොදු ලම්බක. ඔහු පමණයි. එවැන්නක් තවත් නැත. දී ඇති කොටස අඩංගු සරල රේඛාවක සමීකරණ ද අපි සකස් කළ යුතුය.

සෘජු "අහ්" ගැන දන්නේ කුමක්ද? එහි දිශා දෛශිකය පෙර ඡේදයේ දක්නට ලැබේ. එහෙත්, අවාසනාවකට මෙන්, අපි "em" සරල රේඛාවට අයත් එක ලක්ෂයක්වත් නොදනිමු, ලම්බක - ලක්ෂ්යවල කෙළවර අපි නොදනිමු. මෙම ලම්බක රේඛාව මුල් රේඛා දෙක ඡේදනය කරන්නේ කොහේද? අප්රිකාව, ඇන්ටාක්ටිකාව? තත්වය පිළිබඳ මූලික සමාලෝචනයෙන් සහ විශ්ලේෂණයෙන්, ගැටළුව විසඳන්නේ කෙසේද යන්න කිසිසේත්ම පැහැදිලි නැත. නමුත් සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ භාවිතය හා සම්බන්ධ උපක්‍රමශීලී පියවරක් ඇත.

ලක්ෂ්‍යයෙන් තීරණයක් ගනිමු:

1) පළමු සරල රේඛාවේ සමීකරණ පරාමිතික ආකාරයෙන් නැවත ලියමු:

අපි කරුණක් සලකා බලමු. අපි ඛණ්ඩාංක දන්නේ නැහැ. නමුත්. ලක්ෂ්‍යයක් ලබා දී ඇති රේඛාවකට අයත් වන්නේ නම්, එහි ඛණ්ඩාංක වලට අනුරූප වේ, එය දක්වන්න. එවිට ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මෙසේ ලියා ඇත:

ජීවිතය යහපත් වෙමින් පවතී, එකක් නොදන්නා - සියල්ලට පසු, නොදන්නා තුනක් නොවේ.

2) දෙවන කරුණ සම්බන්ධයෙන් ද එම කෝපයම සිදු කළ යුතුය. දෙවන සරල රේඛාවේ සමීකරණ පරාමිතික ආකාරයෙන් නැවත ලියමු:

දී ඇති රේඛාවකට ලක්ෂ්‍යයක් අයත් වන්නේ නම්, එසේ නම් ඉතා නිශ්චිත අර්ථයක් සමඟඑහි ඛණ්ඩාංක පරාමිතික සමීකරණ තෘප්තිමත් කළ යුතුය:

හෝ:

3) දෛශිකය, කලින් සොයාගත් දෛශිකය මෙන්, රේඛාවේ දිශානත දෛශිකය වනු ඇත. කරුණු දෙකකින් දෛශිකයක් රචනා කරන්නේ කෙසේද යන්න අනාදිමත් කාලයක පාඩමේදී සලකා බලන ලදී ඩමි සඳහා දෛශික. දැන් වෙනස වන්නේ දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක නොදන්නා පරාමිති අගයන් සමඟ ලියා තිබීමයි. ඉතින් කුමක් ද? දෛශිකයේ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් දෛශිකයේ ආරම්භයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක අඩු කිරීම කිසිවෙකු තහනම් නොකරයි.

කරුණු දෙකක් තිබේ: .

දෛශිකයක් සොයා ගැනීම:

4) දිශා දෛශික ඛණ්ඩක බැවින්, එක් දෛශිකයක් රේඛීයව අනෙක හරහා යම් සමානුපාතිකතා සංගුණකය "ලැම්ඩා" සමඟින් ප්‍රකාශ වේ:

හෝ සම්බන්ධීකරණ ලෙස:

එය වඩාත් සාමාන්ය දෙයක් බවට පත් විය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියනොදන්නා කරුණු තුනක් සමඟ, සම්මත විසඳිය හැකි, උදාහරණයක් ලෙස, ක්රේමර්ගේ ක්රමය. නමුත් මෙහිදී කුඩා රුධිරයෙන් බැසීමට අවස්ථාවක් තිබේ, තුන්වන සමීකරණයෙන් අපි "ලැම්ඩා" ප්රකාශ කර එය පළමු හා දෙවන සමීකරණවලට ආදේශ කරමු:

මේ ක්රමයෙන්: , සහ "ලැම්ඩා" අපට අවශ්ය නොවේ. පරාමිතිවල අගයන් සමාන වීම පිරිසිදු අවස්ථාවක්.

5) අහස සම්පූර්ණයෙන්ම පිරිසිදු වේ, සොයාගත් අගයන් ආදේශ කරන්න අපගේ ස්ථාන වෙත:

දිශා දෛශිකය විශේෂයෙන් අවශ්‍ය නොවේ, මන්ද එහි සහකරු දැනටමත් සොයාගෙන ඇත.

දිගු ගමනකින් පසු, චෙක්පතක් සිදු කිරීම සැමවිටම සිත්ගන්නා සුළුය.

:

නිවැරදි සමානාත්මතාවයන් ලබා ගනී.

ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමීකරණවලට ආදේශ කරන්න :

නිවැරදි සමානාත්මතාවයන් ලබා ගනී.

6) අවසාන ස්වරය: අපි ලක්ෂ්‍යයක් (ඔබට ගත හැකි) සහ දිශානති දෛශිකයක් සඳහා සරල රේඛාවක සමීකරණ සම්පාදනය කරන්නෙමු:

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, ඔබට පූර්ණ සංඛ්‍යා ඛණ්ඩාංක සමඟ “හොඳ” ලක්ෂ්‍යයක් ලබා ගත හැකිය, නමුත් මෙය රූපලාවන්‍ය ය.

ඡේදනය වන රේඛා අතර දුර සොයා ගන්නේ කෙසේද?

d) අපි මකරාගේ සිව්වන හිස කපා දමමු.

ක්රමය එක. මාර්ගයක්වත් නොවේ, නමුත් කුඩා එකක් විශේෂ අවස්ථාවක්. ඡේදනය වන රේඛා අතර දුර ඒවායේ පොදු ලම්බක දිගට සමාන වේ: .

පොදු ලම්බකයේ අන්ත ලක්ෂ්‍ය පෙර ඡේදයේ සොයාගත් අතර, කාර්යය මූලික වේ:

දෙවන ක්රමය. ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට පොදු ලම්බකයේ කෙළවර නොදන්නා බැවින් වෙනස් ප්රවේශයක් භාවිතා වේ. ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් හරහා සමාන්තර තලයන් ඇඳිය ​​​​හැකි අතර, ලබා දී ඇති ගුවන් යානා අතර ඇති දුර ලබා දී ඇති රේඛා අතර ඇති දුරට සමාන වේ. විශේෂයෙන්, මෙම ගුවන් යානා අතර පොදු ලම්බක ඇලවීම.

විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය අතරතුර, ඉහත සලකා බැලීම් වලින්, වක්‍ර රේඛා අතර දුර සෙවීම සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගන්නා ලදී:
(අපේ ලකුණු "එම එක, දෙක" වෙනුවට අපට අත්තනෝමතික රේඛා ලකුණු ගත හැක).

දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක්"a" ඡේදයේ දැනටමත් සොයාගෙන ඇත: .

දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය"be" ඡේදයේ දක්නට ලැබේ: , එහි දිග ගණනය කරන්න:

මේ ක්රමයෙන්:

ආඩම්බරයෙන් කුසලාන එක පේළියකට දමන්න:

පිළිතුර:
ඒ) , එබැවින්, ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වූ රේඛා ඡේදනය වේ;
බී) ;
තුල) ;
G)

ඡේදනය වන රේඛා ගැන තවත් කුමක් කිව හැකිද? ඔවුන් අතර කෝණයක් අර්ථ දක්වා ඇත. නමුත් ඊළඟ ඡේදයේ විශ්ව කෝණ සූත්‍රය සලකා බලන්න:

ඡේදනය වන සරල රේඛා අනිවාර්යයෙන්ම එකම තලයක පිහිටා ඇත:

පළමු සිතුවිල්ල වන්නේ ඔබේ මුළු ශක්තියෙන් ඡේදනය වන ස්ථානයට හේත්තු වීමයි. වහාම මම සිතුවෙමි, නිවැරදි ආශාවන් ඔබම ප්‍රතික්ෂේප කරන්නේ ඇයි?! අපි දැන් එය මත පනිමු!

අවකාශීය රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

උදාහරණ 14

රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්න

විසඳුමක්: පරාමිතික ආකාරයෙන් රේඛාවල සමීකරණ නැවත ලියමු:

මෙම කාර්යය මෙම පාඩමේ උදාහරණ අංක 7 හි විස්තරාත්මකව සලකා බලන ලදී (බලන්න. අවකාශයේ සරල රේඛාවක සමීකරණ) සහ සරල රේඛා, මාර්ගය වන විට, මම උදාහරණ අංක 12 වෙතින් ලබා ගත්තෙමි. මම බොරු නොකියමි, නව ඒවා නිර්මාණය කිරීමට මම කම්මැලි වෙමි.

විසඳුම සම්මත වන අතර, අපි වක්ර රේඛාවල පොදු ලම්බක සමීකරණ සකස් කරන විට දැනටමත් හමු වී ඇත.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය රේඛාවට අයත් වේ, එබැවින් එහි ඛණ්ඩාංක මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ තෘප්තිමත් කරන අතර ඒවා අනුරූප වේ ඉතා නිශ්චිත පරාමිති අගයක්:

නමුත් එම කරුණම දෙවන පේළියට අයත් වේ, එබැවින්:

අපි අනුරූප සමීකරණ සමීකරණය කර සරල කිරීම සිදු කරමු:

නොදන්නා දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් ලබා ගනී. රේඛා ඡේදනය වන්නේ නම් (උදාහරණ 12 හි ඔප්පු කර ඇති පරිදි), එවිට පද්ධතිය අනිවාර්යයෙන්ම අනුකූල වන අතර අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. එය විසඳිය හැකිය Gauss ක්රමය, නමුත් අපි එවැනි බාලාංශ ෆෙටිෂිස්වාදයෙන් පව් නොකරමු, අපි එය පහසු කරමු: පළමු සමීකරණයෙන් අපි “ටී ශුන්‍ය” ප්‍රකාශ කර එය දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණවලට ආදේශ කරමු:

අවසාන සමීකරණ දෙක අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම එක හා සමාන වූ අතර ඒවායින් එය අනුගමනය කරයි. ඉන්පසු:

පරාමිතියේ සොයාගත් අගය සමීකරණවලට ආදේශ කරමු:

පිළිතුර:

පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි පරාමිතියේ සොයාගත් අගය සමීකරණවලට ආදේශ කරමු:
පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය පරිදි එම ඛණ්ඩාංක ලබා ගන්නා ලදී. සූක්ෂම පාඨකයන්ට රේඛාවල මුල් කැනොනිකල් සමීකරණවල ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කළ හැක.

මාර්ගය වන විට, ප්රතිවිරුද්ධ දෙය කිරීමට හැකි විය: "es zero" හරහා ලක්ෂ්යය සොයා, "te zero" හරහා එය පරීක්ෂා කරන්න.

සුප්‍රසිද්ධ ගණිතමය ලකුණක් මෙසේ කියයි: සරල රේඛා ඡේදනය සාකච්ඡා කරන විට, සෑම විටම ලම්බක සුවඳක් ඇත.

දී ඇති එකකට ලම්බකව අවකාශයේ රේඛාවක් සාදා ගන්නේ කෙසේද?

(රේඛා ඡේදනය වේ)

උදාහරණ 15

a) රේඛාවට ලම්බක ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න (රේඛා ඡේදනය වේ).

b) ලක්ෂ්‍යයේ සිට රේඛාව දක්වා ඇති දුර සොයන්න.

සටහන : වගන්තිය "රේඛා ඡේදනය" - සැලකිය යුතු. තිත හරහා
"el" රේඛාව සමඟ ඡේදනය වන ලම්බක රේඛා අනන්ත සංඛ්යාවක් අඳින්න පුළුවන්. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ලම්බකව රේඛාවක් අඳින විට එකම විසඳුම සිදු වේ දෙකසරල රේඛා ලබා දී ඇත (උදාහරණ අංක 13, "b" ඡේදය බලන්න).

ඒ) විසඳුමක්: විසින් නොදන්නා රේඛාව දක්වන්න. අපි ක්රමානුරූප ඇඳීමක් කරමු:

රේඛාව ගැන දන්නේ කුමක්ද? කොන්දේසිය අනුව, ලක්ෂ්යයක් ලබා දී ඇත. සරල රේඛාවක සමීකරණ සකස් කිරීම සඳහා, දිශාව දෛශිකය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. එවැනි දෛශිකයක් ලෙස, දෛශිකය බෙහෙවින් සුදුසු ය, අපි එය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. වඩාත් නිවැරදිව, අපි දෛශිකයේ නොදන්නා අන්තය ස්ක්‍රෆ් මගින් ගනිමු.

1) අපි එහි අධ්‍යක්ෂක දෛශිකය "el" සරල රේඛාවේ සමීකරණ වලින් උපුටා ගන්නා අතර, අපි පරාමිතික ආකාරයෙන් සමීකරණ නැවත ලියන්නෙමු:

බොහෝ අය අනුමාන කළේ දැන් තුන්වන වතාවටත් පාඩමකදී ඉන්ද්‍රජාලිකයාට ඔහුගේ තොප්පියෙන් සුදු හංසයෙකු ලැබෙනු ඇති බවයි. නොදන්නා ඛණ්ඩාංක සහිත කරුණක් සලකා බලන්න. ලක්ෂ්‍යයේ සිට, එහි ඛණ්ඩාංක "el" සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ තෘප්තිමත් කරන අතර ඒවා නිශ්චිත පරාමිති අගයකට අනුරූප වේ:

හෝ එක් පේළියකින්:

2) කොන්දේසිය අනුව, රේඛා ලම්බක විය යුතුය, එබැවින් ඒවායේ දිශා වාහක විකලාංග වේ. තවද දෛශික විකලාංග නම්, ඔවුන්ගේ පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්ශුන්‍යයට සමාන වේ:

සිදුවුයේ කුමක් ද? නොදන්නා එකක් සහිත සරලම රේඛීය සමීකරණය:

3) පරාමිතියේ අගය දන්නා අතර, අපි ලක්ෂ්යය සොයා ගනිමු:

සහ දිශා දෛශිකය:
.

4) අපි ලක්ෂ්‍යය සහ දිශා දෛශිකය මගින් සරල රේඛාවේ සමීකරණ සම්පාදනය කරන්නෙමු :

සමානුපාතිකයේ හරයන් භාගික බවට පත් වූ අතර, භාග ඉවත් කිරීම සුදුසු විට මෙය හරියටම වේ. මම ඒවා -2 න් ගුණ කරන්නම්:

පිළිතුර:

සටහන : විසඳුමේ වඩාත් දැඩි අවසානයක් පහත පරිදි සකස් කර ඇත: අපි ලක්ෂ්‍යයකින් සහ දිශා දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක සමීකරණ සම්පාදනය කරමු. . ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකයක් සරල රේඛාවක දිශානති දෛශිකයක් නම්, එයට සම්බන්ධ වන දෛශිකය ස්වභාවිකවම මෙම සරල රේඛාවේ දිශානති දෛශිකයක් වනු ඇත.

සත්යාපනය අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ:

1) විකලාංග සඳහා රේඛාවල දිශා වාහකයන් පරීක්ෂා කරන්න;

2) අපි ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක එක් එක් සරල රේඛාවේ සමීකරණවලට ආදේශ කරමු, ඒවා මෙහි සහ එහි යන දෙකටම "ගැලපෙන" විය යුතුය.

ඕ සාමාන්ය ක්රියාවන්ගොඩක් කතා ඇති නිසා මම කෙටුම්පතක් පරීක්ෂා කළා.

මාර්ගය වන විට, මට තවත් විලාසිතාවක් අමතක විය - "el" සරල රේඛාවට සාපේක්ෂව "en" ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික "sue" ලක්ෂ්‍යයක් ගොඩනැගීමට. කෙසේ වෙතත්, හොඳ "පැතලි ඇනලොග්" ඇත, එය ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක් සහිත සරලම ගැටළු. මෙන්න, සියලු වෙනස අතිරේක "Z" ඛණ්ඩාංකය තුළ වනු ඇත.

අවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර සොයා ගන්නේ කෙසේද?

බී) විසඳුමක්: ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර සොයන්න.

ක්රමය එක. මෙම දුර හරියටම ලම්බක දිගට සමාන වේ: . විසඳුම පැහැදිලිය: ලකුණු දන්නේ නම් , එවිට:

දෙවන ක්රමය. ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී, ලම්බකයේ පාදය බොහෝ විට අභිරහසක් වේ, එබැවින් සූදානම් කළ සූත්‍රයක් භාවිතා කිරීම වඩාත් තාර්කික ය.

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ:
, "el" සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය කොහෙද, සහ - හිතුවක්කාරදී ඇති රේඛාවක ලක්ෂ්‍යයක්.

1) සරල රේඛාවේ සමීකරණ වලින් අපි දිශා දෛශිකය සහ වඩාත්ම ප්රවේශ විය හැකි ලක්ෂ්යය ලබා ගනිමු.

2) ලක්ෂ්‍යය තත්ත්වයෙන් දනියි, දෛශිකය මුවහත් කරන්න:

3) අපි සොයා ගනිමු දෛශික නිෂ්පාදනයසහ එහි දිග ගණනය කරන්න:

4) දිශා දෛශිකයේ දිග ගණනය කරන්න:

5) මේ අනුව, ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර:

රේඛා ලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වන්නේ නම්, එහි ඛණ්ඩාංක විසඳුම වේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධති

රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්නේ කෙසේද? පද්ධතිය විසඳන්න.

මෙන්න ඔබට නොදන්නා දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක ජ්‍යාමිතික අර්ථයගුවන් යානයක ඡේදනය වන (බොහෝ විට) සරල රේඛා දෙකකි.

ගැටළුව අදියර කිහිපයකට බෙදීම පහසුය. තත්ත්වය විශ්ලේෂණය කිරීම අවශ්ය බව යෝජනා කරයි:
1) එක් සරල රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න.
2) දෙවන සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලියන්න.
3) රේඛාවල සාපේක්ෂ පිහිටීම සොයා ගන්න.
4) රේඛා ඡේදනය වන්නේ නම්, ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්න.

උදාහරණ 13

රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්න

විසඳුමක්: විශ්ලේෂණාත්මක ක්රමය මගින් ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සෙවීමට යෝග්ය වේ. අපි පද්ධතිය විසඳමු:

පිළිතුර:

6.4 වගන්තිය. ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාවට දුර

අපට ඉදිරියෙන් ගඟේ සෘජු තීරුවක් ඇති අතර අපගේ කාර්යය වන්නේ කෙටිම මාර්ගයෙන් එය වෙත ළඟා වීමයි. කිසිදු බාධාවක් නැත, සහ බොහෝ ප්රශස්ත මාර්ගයචලනය ලම්බක වනු ඇත. එනම් ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර ලම්බක කොටසේ දිග වේ.

ජ්‍යාමිතියෙහි දුර සම්ප්‍රදායිකව ග්‍රීක අකුර "ro" මගින් දැක්වේ, උදාහරණයක් ලෙස: - "em" ලක්ෂ්‍යයේ සිට සරල රේඛාව "de" දක්වා ඇති දුර.

ලක්ෂ්යයේ සිට දුර කෙළින්ම කිරීමට සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වේ

උදාහරණ 14

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර සොයන්න

විසඳුමක්: ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ සූත්‍රයට සංඛ්‍යා ප්‍රවේශමෙන් ආදේශ කර ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමයි:

පිළිතුර:

6.5 වගන්තිය. රේඛා අතර කෝණය.

උදාහරණ 15

රේඛා අතර කෝණය සොයා ගන්න.

1. රේඛා ලම්බක දැයි පරීක්ෂා කරන්න:

ගණනය කරන්න පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්සරල රේඛාවල දිශා දෛශික:
එබැවින් රේඛා ලම්බක නොවේ.
2. අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමින් රේඛා අතර කෝණය සොයා ගනිමු:

මේ ක්රමයෙන්:

පිළිතුර:

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වක්‍ර. කවය

තලය මත සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් 0xy ලබා දෙන්න.

දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වක්රයතලයක රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ, M (x, y, z) ලක්ෂ්‍යයේ වත්මන් ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධයෙන් දෙවන උපාධියේ සමීකරණයක් මගින් තීරණය වේ. පොදුවේ ගත් කල, මෙම සමීකරණයට ආකෘතියක් ඇත:

මෙහි A, B, C, D, E, L යන සංගුණක ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යා වන අතර අවම වශයෙන් A, B, C සංඛ්‍යා වලින් එකක් වත් ශුන්‍ය නොවන වේ.

1.වට ප්‍රමාණයතලයේ ඇති ලක්ෂ්‍ය කුලකයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, එහි සිට ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් දක්වා ඇති දුර M 0 (x 0, y 0) නියත වන අතර R ට සමාන වේ. M 0 ලක්ෂ්‍යය රවුමේ කේන්ද්‍රය ලෙසත්, අංකය R ලෙසත් හැඳින්වේ. එහි අරය වේ

- M 0 (x 0, y 0) ලක්ෂ්‍යය සහ R අරය කේන්ද්‍ර කරගත් වෘත්තයක සමීකරණය.

රවුමේ කේන්ද්‍රය සම්භවය සමඟ සමපාත වන්නේ නම්, අපට ඇත්තේ:

රවුමේ කැනොනිකල් සමීකරණය වේ.

ඉලිප්සය.

ඉලිප්සයතලයක ඇති ලක්ෂ්‍ය සමූහයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, ඒ සෑම එකක් සඳහාම දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකකට ඇති දුරවල එකතුව නියත අගයකි (එපමනක් නොව, මෙම අගය ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය අතර දුරවලට වඩා වැඩි වේ). මෙම කරුණු හැඳින්වේ ඉලිප්සාකාර උපක්රම.

ඉලිප්සියක කැනොනිකල් සමීකරණය වේ.

සම්බන්ධතාවය ලෙස හැඳින්වේ විකේන්ද්රිකත්වයඉලිප්සය සහ දැක්වෙන්නේ: , . එදින සිට< 1.

එබැවින්, අනුපාතය අඩු වන විට, එය 1 ට නැඹුරු වේ, i.e. b a ට වඩා සුළු වශයෙන් වෙනස් වන අතර ඉලිප්සයේ හැඩය රවුමක හැඩයට සමීප වේ. සීමාකාරී අවස්ථාවෙහිදී , කවයක් ලබා ගනී, එහි සමීකරණය වේ

x 2 + y 2 \u003d a 2.

හයිපර්බෝලා

හයිපර්බෝල්එක් එක් සඳහා තලයේ ඇති ලක්ෂ්ය සමූහය වේ නිරපේක්ෂ වටිනාකමදී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකකට ඇති දුරවල වෙනස ලෙස හැඳින්වේ උපක්රම, යනු නියත අගයකි (මෙම අගය foci අතර දුරට වඩා අඩු වන අතර 0 ට සමාන නොවේ නම්).

F 1 , F 2 foci වීමට ඉඩ දෙන්න, ඒවා අතර දුර 2с මගින් දක්වනු ලැබේ, පරාලයේ පරාමිතිය).

පැරබෝලාවක කැනොනිකල් සමීකරණය වේ.

සෘණ p සඳහා සමීකරණය 0y අක්ෂයේ වම් පසින් පිහිටා ඇති පරාවලයක් ද අර්ථ දක්වන බව සලකන්න. සමීකරණය 0y අක්ෂය ගැන සමමිතික වන පරාවලයක් විස්තර කරයි, p > 0 සඳහා 0x අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති අතර p සඳහා 0x අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත.< 0.