විචලනය ගණනය කිරීම. කණ්ඩායම්, අන්තර් කණ්ඩායම් සහ සම්පූර්ණ විචලනය ගණනය කිරීම (විචල්‍යතා එකතු කිරීමේ රීතියට අනුව)
සංඛ්යා ලේඛනවල විසුරුමයන වර්ගීකරණයේ ලක්ෂණයේ තනි අගයන් ලෙස දක්නට ලැබේ. ආරම්භක දත්ත මත පදනම්ව, එය සරල සහ බර සහිත විචල්ය සූත්‍ර මගින් තීරණය වේ:
1. (සමූහගත නොකළ දත්ත සඳහා) සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
2. බර කළ විචලනය (විචල්ය මාලාවක් සඳහා):
මෙහි n යනු සංඛ්‍යාතය (පුනරාවර්තන සාධකය X)
විචලනය සොයා ගැනීමට උදාහරණයක්
මෙම පිටුව විස්තර කරයි සම්මත උදාහරණයක්විචලනය සොයා ගැනීම, ඔබට එය සොයා ගැනීම සඳහා වෙනත් කාර්යයන් දෙස බැලිය හැකිය
උදාහරණ 1. සිසුන් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක් සඳහා පහත දත්ත අප සතුව ඇත ලිපි හුවමාරු දෙපාර්තමේන්තුව. ගොඩනැගීමට අවශ්යයි විරාම මාලාවවිශේෂාංගය බෙදා හැරීම, විශේෂාංගයේ මධ්‍යන්‍ය අගය ගණනය කිරීම සහ එහි විචලනය අධ්‍යයනය කිරීම
අපි interval grouping එකක් හදමු. සූත්රය මගින් පරතරයේ පරාසය තීරණය කරමු:
එහිදී X උපරිම - උපරිම අගයකණ්ඩායම් ලකුණ;
X min යනු සමූහකරණ විශේෂාංගයේ අවම අගයයි;
n යනු විරාම ගණනයි:
අපි n=5 පිළිගන්නවා. පියවර වන්නේ: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6
අපි interval grouping කරමු
වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා, අපි සහායක වගුවක් සාදන්නෙමු:
X'i යනු අන්තරයේ මැද ය. (උදාහරණයක් ලෙස, 159 - 165.6 = 162.3 අන්තරයේ මැද)
සිසුන්ගේ සාමාන්ය වර්ධනය තීරණය වන්නේ අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්‍යයේ සූත්රය මගිනි:
අපි සූත්රය මගින් විසර්ජනය තීරණය කරමු:
විචල්ය සූත්රය පහත පරිදි පරිවර්තනය කළ හැක.
මෙම සූත්‍රයෙන් එය පහත දැක්වේ විචලනය වේ විකල්පවල වර්ගවල මධ්යන්යය සහ වර්ග සහ මධ්‍යන්‍ය අතර වෙනස.
තුළ විසුරුවා හැරීම විචලනය මාලාවක් අවස්ථා ක්‍රමයට අනුව සමාන කාල පරතරයන් සමඟ දෙවන විසරණ ගුණය භාවිතා කරමින් පහත ආකාරයට ගණනය කළ හැකිය (සියලු විකල්පයන් පරතරයේ අගයෙන් බෙදීම). විචලනය අර්ථ දැක්වීම, පහත දැක්වෙන සූත්‍රයට අනුව මොහොතක ක්රමය මගින් ගණනය කරනු ලබන්නේ අඩු කාලයක් ගතවේ.
i යනු විරාමයේ අගය;
A - කොන්දේසි සහිත ශුන්‍යය, ඉහළම සංඛ්‍යාතය සහිත පරතරය මැද භාවිතා කිරීමට පහසු වේ;
m1 යනු පළමු අනුපිළිවෙලෙහි මොහොතෙහි වර්ග වේ;
m2 - දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මොහොත
(සංඛ්‍යාන ජනගහණයේ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් වෙනස් විකල්ප දෙකක් පමණක් පවතින ආකාරයට ගුණාංගය වෙනස් වන්නේ නම්, එවැනි විචල්‍යතාවය විකල්ප ලෙස හැඳින්වේ) සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැකිය:
ආදේශ කිරීම මෙම සූත්රයවිසරණය q \u003d 1- p, අපට ලැබෙන්නේ:
විසරණ වර්ග
සම්පූර්ණ විචලනයමෙම විචලනය ඇති කරන සියලුම සාධකවල බලපෑම යටතේ සමස්තයක් ලෙස සමස්ත ජනගහනය මත ගති ලක්ෂණවල විචලනය මනිනු ලබයි. එය සම්පූර්ණ සාමාන්ය අගය x වෙතින් x ගුණාංගයේ තනි අගයන්හි අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍රයට සමාන වන අතර සරල විචලනය හෝ බරිත විචලනය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක.
අහඹු විචලනය ගුනාංගීකරනය කරයි, i.e. විචලනයේ කොටසක්, එය ගණන් නොගත් සාධකවල බලපෑම නිසා වන අතර කණ්ඩායම්කරණයට යටින් පවතින සංඥා සාධකය මත රඳා නොපවතී. මෙම විචලනය කාණ්ඩයේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් X කාණ්ඩය තුළ ඇති ගුණාංගයේ තනි අගයන්හි අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍රයට සමාන වන අතර එය සරල විචල්‍යයක් ලෙස හෝ බර විචල්‍යයක් ලෙස ගණනය කළ හැක.
මේ ක්රමයෙන්, සමූහය තුළ විචල්‍යතා පියවරයන්කණ්ඩායමක් තුළ ඇති ලක්ෂණයක විචලනය සහ සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
එහිදී xi - කණ්ඩායම් සාමාන්යය;
ni යනු සමූහයේ ඒකක ගණනයි.
උදාහරණයක් ලෙස, සාප්පුවේ ශ්රම ඵලදායිතා මට්ටම මත කම්කරුවන්ගේ සුදුසුකම් වල බලපෑම අධ්‍යයනය කිරීමේ කාර්යයේ දී තීරණය කළ යුතු අන්තර්-කණ්ඩායම් විචල්‍යයන්, හැකි සියලු සාධක නිසා ඇතිවන එක් එක් කාණ්ඩයේ ප්‍රතිදානයේ වෙනස්කම් පෙන්වයි ( තාක්ෂණික තත්ත්වයඋපකරණ, මෙවලම් සහ ද්රව්ය ලබා ගැනීම, කම්කරුවන්ගේ වයස, ශ්රම තීව්රතාවය, ආදිය), වෙනස්කම් හැර සුදුසුකම් ලබන කාණ්ඩය(කණ්ඩායමක් තුළ, සියලුම සේවකයින්ට එකම සුදුසුකම් ඇත).
සමූහය තුළ ඇති විචලනයන්ගේ සාමාන්යය අහඹු ලෙස පිළිබිඹු කරයි, එනම්, කණ්ඩායම් සාධකය හැර අනෙකුත් සියලුම සාධකවල බලපෑම යටතේ සිදු වූ විචලනයේ කොටස. එය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
එය කණ්ඩායම්කරණයට යටින් පවතින ගති-සාධකයේ බලපෑම නිසා ඇති වන ගති ලක්ෂණයේ ක්‍රමානුකූල විචලනය සංලක්ෂිත කරයි. එය සමස්ථ මධ්‍යන්‍යයෙන් සමූහ මාධ්‍යයේ අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය චතුරශ්‍රයට සමාන වේ. අන්තර් කණ්ඩායම් විචලනය සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ:
සංඛ්‍යාලේඛනවල විචල්ය එකතු කිරීමේ රීතිය
අනුව විචලනය එකතු කිරීමේ රීතියසම්පූර්ණ විචලනය අන්තර් කණ්ඩායම් සහ අන්තර් කණ්ඩායම් විචල්‍යයන්ගේ සාමාන්ය එකතුවට සමාන වේ:
මෙම රීතියේ තේරුමයනු සියලු සාධකවල බලපෑම යටතේ සිදුවන සම්පූර්ණ විචලනය අනෙකුත් සියලුම සාධකවල බලපෑම යටතේ පැන නගින විචල්‍යයන්ගේ එකතුවට සමාන වන අතර කණ්ඩායම් සාධකය හේතුවෙන් පැන නගින විචලනය වේ.
විචල්‍යතා එකතු කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපට දෙකකින් තීරණය කළ හැකිය දන්නා වෙනස්කම්තුන්වන නොදන්නා, මෙන්ම කණ්ඩායම් ලක්ෂණයේ බලපෑමේ ශක්තිය විනිශ්චය කිරීමට.
විසරණ ගුණාංග
1. ගුණාංගයේ සියලුම අගයන් එකම නියත අගයකින් අඩු කළහොත් (වැඩි කළහොත්), එවිට විචලනය මෙයින් වෙනස් නොවේ.
2. ගුණාංගයේ සියලුම අගයන් එකම වාර ගණනකින් (වැඩි) අඩු කළහොත්, විචලනය ඒ අනුව n^2 ගුණයකින් අඩු වේ (වැඩි වේ).
මෙම පිටුව විචලනය සෙවීමේ සම්මත උදාහරණයක් විස්තර කරයි, ඔබට එය සොයා ගැනීම සඳහා වෙනත් කාර්යයන් දෙස බැලිය හැකිය
උදාහරණ 1. කණ්ඩායම තීරණය කිරීම, කණ්ඩායමේ සාමාන්යය, කණ්ඩායම් අතර සහ සම්පූර්ණ විචලනය
උදාහරණ 2. කණ්ඩායම් වගුවක විචලනය සහ විචල්ය සංගුණකය සොයා ගැනීම
උදාහරණ 3. විචලනය සොයා ගැනීම විවික්ත මාලාවක්
උදාහරණ 4. ලිපි හුවමාරු සිසුන් 20 දෙනෙකුගෙන් යුත් කණ්ඩායමක් සඳහා පහත දත්ත අප සතුව ඇත. විශේෂාංග බෙදාහැරීමේ විරාම ශ්‍රේණියක් ගොඩනැගීම, විශේෂාංගයේ මධ්‍යන්‍ය අගය ගණනය කිරීම සහ එහි විචලනය අධ්‍යයනය කිරීම අවශ්‍ය වේ
අපි interval grouping එකක් හදමු. සූත්රය මගින් පරතරයේ පරාසය තීරණය කරමු:
මෙහි X max යනු සමූහකරණ විශේෂාංගයේ උපරිම අගයයි;
X min යනු සමූහකරණ විශේෂාංගයේ අවම අගයයි;
n යනු විරාම ගණනයි:
අපි n=5 පිළිගන්නවා. පියවර වන්නේ: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6
අපි interval grouping කරමු
වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා, අපි සහායක වගුවක් සාදන්නෙමු:
X "i - අන්තරයේ මැද. (උදාහරණයක් ලෙස, අන්තරයේ මැද 159 - 165.6 \u003d 162.3)
සිසුන්ගේ සාමාන්ය වර්ධනය තීරණය වන්නේ අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්‍යයේ සූත්රය මගිනි:
අපි සූත්රය මගින් විසර්ජනය තීරණය කරමු:
සූත්රය මේ ආකාරයට පරිවර්තනය කළ හැක.
මෙම සූත්‍රයෙන් එය පහත දැක්වේ විචලනය වේ විකල්පවල වර්ගවල මධ්යන්යය සහ වර්ග සහ මධ්‍යන්‍ය අතර වෙනස.
විචල්ය මාලාවේ විචලනයඅවස්ථා ක්‍රමයට අනුව සමාන කාල පරතරයන් සමඟ දෙවන විසරණ ගුණය භාවිතා කරමින් පහත ආකාරයට ගණනය කළ හැකිය (සියලු විකල්පයන් පරතරයේ අගයෙන් බෙදීම). විචලනය අර්ථ දැක්වීම, පහත දැක්වෙන සූත්‍රයට අනුව මොහොතක ක්රමය මගින් ගණනය කරනු ලබන්නේ අඩු කාලයක් ගතවේ.
i යනු විරාමයේ අගය;
A - කොන්දේසි සහිත ශුන්‍යය, ඉහළම සංඛ්‍යාතය සහිත පරතරය මැද භාවිතා කිරීමට පහසු වේ;
m1 යනු පළමු අනුපිළිවෙලෙහි මොහොතෙහි වර්ග වේ;
m2 - දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මොහොත
විශේෂාංග විචලනය (සංඛ්‍යාන ජනගහණයේ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් වෙනස් විකල්ප දෙකක් පමණක් පවතින ආකාරයට ගුණාංගය වෙනස් වන්නේ නම්, එවැනි විචල්‍යතාවය විකල්ප ලෙස හැඳින්වේ) සූත්රය මගින් ගණනය කළ හැකිය:
මෙම විසරණ සූත්රය q = 1- p ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
විසරණ වර්ග
සම්පූර්ණ විචලනයමෙම විචලනය ඇති කරන සියලුම සාධකවල බලපෑම යටතේ සමස්තයක් ලෙස සමස්ත ජනගහනය මත ගති ලක්ෂණවල විචලනය මනිනු ලබයි. එය සම්පූර්ණ සාමාන්ය අගය x වෙතින් x ගුණාංගයේ තනි අගයන්හි අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍රයට සමාන වන අතර සරල විචලනය හෝ බරිත විචලනය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක.
අන්තර් කණ්ඩායම් විචලනය අහඹු විචලනය ගුනාංගීකරනය කරයි, i.e. විචලනයේ කොටසක්, එය ගණන් නොගත් සාධකවල බලපෑම නිසා වන අතර කණ්ඩායම්කරණයට යටින් පවතින සංඥා සාධකය මත රඳා නොපවතී. මෙම විචලනය කාණ්ඩයේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් X කාණ්ඩය තුළ ඇති ගුණාංගයේ තනි අගයන්හි අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍රයට සමාන වන අතර එය සරල විචල්‍යයක් ලෙස හෝ බර විචල්‍යයක් ලෙස ගණනය කළ හැක.
මේ ක්රමයෙන්, සමූහය තුළ විචල්‍යතා පියවරයන්කණ්ඩායමක් තුළ ඇති ලක්ෂණයක විචලනය සහ සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
එහිදී xi - කණ්ඩායම් සාමාන්යය;
ni යනු සමූහයේ ඒකක ගණනයි.
නිදසුනක් වශයෙන්, සාප්පුවක ශ්රම ඵලදායිතා මට්ටමට කම්කරුවන්ගේ සුදුසුකම් වල බලපෑම අධ්‍යයනය කිරීමේ කාර්යයේදී තීරණය කළ යුතු අන්තර්-කණ්ඩායම් විචල්‍යයන්, හැකි සියලු සාධක නිසා එක් එක් කාණ්ඩයේ ප්‍රතිදානයේ වෙනස්කම් පෙන්වයි (උපකරණවල තාක්ෂණික තත්ත්වය, මෙවලම් සහ ද්රව්ය තිබීම, සේවකයින්ගේ වයස, ශ්රම තීව්රතාවය යනාදිය.), සුදුසුකම් කාණ්ඩයේ වෙනස්කම් හැර (කණ්ඩායම තුළ, සියලුම සේවකයින්ට එකම සුදුසුකම් ඇත).
විසරණය යනු දත්ත අගයන් සහ මධ්යන්යය අතර සාපේක්ෂ අපගමනය විස්තර කරන විසරණයේ මිනුමක් වේ. එය එක් එක් දත්ත අගයන් සාරාංශ කිරීම, වර්ග කිරීම, අපගමනය මගින් ගණනය කරනු ලබන සංඛ්‍යාලේඛනවල විසරණය පිළිබඳ වැඩිපුරම භාවිතා වන මිනුම වේ. මධ්යම ප්රමාණය. විචලනය ගණනය කිරීමේ සූත්රය පහත දැක්වේ:
s 2 - නියැදි විචලනය;
x cf යනු නියැදියේ මධ්‍යන්‍ය අගයයි;
n — නියැදි ප්රමාණය (දත්ත අගයන් ගණන),
(x i – x cf) යනු දත්ත කට්ටලයේ එක් එක් අගය සඳහා මධ්‍යන්‍ය අගයෙන් අපගමනය වේ.
සූත්රය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, අපි උදාහරණයක් බලමු. මම ඇත්තටම උයන්න කැමති නැහැ, ඒ නිසා මම එය කරන්නේ කලාතුරකිනි. කෙසේ වෙතත්, කුසගින්නෙන් මිය නොයෑම සඳහා, ප්රෝටීන්, මේද හා කාබෝහයිඩ්රේට සමඟ මගේ ශරීරය සංතෘප්ත කිරීමේ සැලැස්ම ක්රියාත්මක කිරීම සඳහා විටින් විට මම උදුන වෙත යා යුතුය. පහත දත්ත කට්ටලය පෙන්නුම් කරන්නේ Renat සෑම මසකම කොපමණ වාරයක් ආහාර පිසිනවාද යන්නයි:
විචලනය ගණනය කිරීමේ පළමු පියවර වන්නේ නියැදි මධ්යන්යය තීරණය කිරීමයි, එය අපගේ උදාහරණයේ මසකට 7.8 වතාවක් වේ. ඉතිරි ගණනය කිරීම් පහත වගුවේ ආධාරයෙන් පහසු කළ හැක.
විචලනය ගණනය කිරීමේ අවසාන අදියර මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
සියලුම ගණනය කිරීම් එකවර කිරීමට කැමති අය සඳහා, සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
අමු ගණන් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීම (ඉවුම් පිහුම් උදාහරණය)
තව තියෙනවා ඵලදායී ක්රමය"අමු ගණන් කිරීමේ" ක්රමය ලෙස හඳුන්වන විචලනය ගණනය කිරීම. බැලූ බැල්මට සමීකරණය තරමක් අවුල් සහගත බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, ඇත්ත වශයෙන්ම එය එතරම් බියජනක නොවේ. ඔබට මෙය සත්‍යාපනය කළ හැකිය, ඉන්පසු ඔබ වඩාත් කැමති ක්රමය තීරණය කරන්න.
වර්ග කිරීමෙන් පසු එක් එක් දත්ත අගයේ එකතුව වේ,
සියලු දත්ත අගයන්හි එකතුවේ වර්ග වේ.
දැන්ම හිත නැති කරගන්න එපා. අපි ඒ සියල්ල වගුවක ස්වරූපයෙන් තබමු, එවිට ඔබට පෙර උදාහරණයට වඩා අඩු ගණනය කිරීම් මෙහි ඇති බව ඔබට පෙනෙනු ඇත.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, පෙර ක්රමය භාවිතා කරන විට ප්රතිඵලය සමාන වේ. වාසි මෙම ක්රමයනියැදි ප්රමාණය (n) වර්ධනය වන විට පැහැදිලි වේ.
Excel හි විචලනය ගණනය කිරීම
ඔබ දැනටමත් අනුමාන කර ඇති පරිදි, විචලනය ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන සූත්‍රයක් Excel සතුව ඇත. එපමණක් නොව, එක්සෙල් 2010 සිට, ඔබට විසරණ සූත්‍රයේ ප්‍රභේද 4 ක් සොයාගත හැකිය:
1) VAR.V - නියැදියේ විචලනය ලබා දෙයි. බූලියන් අගයන් සහ පෙළ නොසලකා හරිනු ලැබේ.
2) VAR.G - විචලනය ආපසු ලබා දෙයි ජනගහනය. බූලියන් අගයන් සහ පෙළ නොසලකා හරිනු ලැබේ.
3) VASP - බූලියන් සහ පෙළ අගයන් සැලකිල්ලට ගනිමින් නියැදි විචලනය ආපසු ලබා දෙයි.
4) VARP - තාර්කික සහ පෙළ අගයන් සැලකිල්ලට ගනිමින් ජනගහනයේ විචලනය ආපසු ලබා දෙයි.
පළමුව, නියැදියක් සහ ජනගහනයක් අතර වෙනස බලමු. විස්තරාත්මක සංඛ්‍යාලේඛනවල අරමුණ වන්නේ විශාල පින්තූරයක් ඉක්මනින් ලබා ගැනීමට හැකි වන පරිදි දත්ත සාරාංශ කිරීම හෝ ප්‍රදර්ශනය කිරීමයි. මෙම ජනගහනයෙන් දත්ත නියැදියක් මත පදනම්ව ජනගහනයක් පිළිබඳ අනුමාන කිරීමට සංඛ්‍යාන අනුමානය ඔබට ඉඩ සලසයි. ජනගහනය අපට උනන්දුවක් දක්වන සියලු ප්රතිඵල හෝ මිනුම් නියෝජනය කරයි. නියැදියක් යනු ජනගහනයක උප කුලකයකි.
උදාහරණයක් ලෙස, රුසියානු විශ්ව විද්‍යාලයක සිසුන් කණ්ඩායමක සමස්තය ගැන අපි උනන්දු වන අතර කණ්ඩායමේ සාමාන්ය ලකුණු තීරණය කළ යුතුය. අපට සිසුන්ගේ සාමාන්ය කාර්ය සාධනය ගණනය කළ හැකි අතර, එවිට ලැබෙන සංඛ්‍යාව පරාමිතියක් වනු ඇත, මන්ද මුළු ජනගහනයම අපගේ ගණනය කිරීම්වලට සම්බන්ධ වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, අපට අපේ රටේ සියලුම සිසුන්ගේ GPA ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය නම්, මෙම කණ්ඩායම අපගේ නියැදිය වනු ඇත.
නියැදිය සහ ජනගහනය අතර විචලනය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රයේ වෙනස හරයේ ඇත. නියැදිය සඳහා එය (n-1) ට සමාන වන අතර සාමාන්ය ජනගහනය සඳහා පමණක් n.
දැන් අපි අවසානයන් සමඟ විචලනය ගණනය කිරීමේ කාර්යයන් සමඟ කටයුතු කරමු නමුත්,ගණනය කිරීම පෙළ සහ තාර්කික අගයන් සැලකිල්ලට ගන්නා බව කියනු ලබන විස්තරයේ. හිදී මෙම නඩුවසංඛ්‍යාත්මක නොවන අගයන් සිදුවන නිශ්චිත දත්ත කට්ටලයක විචලනය ගණනය කිරීමේදී, Excel විසින් පෙළ සහ ව්‍යාජ බූලියන 0 ලෙසත් සත්‍ය බූලියන 1 ලෙසත් අර්ථකථනය කරයි.
එබැවින්, ඔබට දත්ත මාලාවක් තිබේ නම්, ඉහත ලැයිස්තුගත කර ඇති එක්සෙල් ශ්‍රිතයක් භාවිතයෙන් එහි විචලනය ගණනය කිරීම අපහසු නොවනු ඇත.
ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විසරණය - බහුලව භාවිතා වන සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ අහඹු විචල්යය. ඒවා බෙදා හැරීමේ වැදගත්ම ලක්ෂණ සංලක්ෂිත කරයි: එහි පිහිටීම සහ විසරණයේ මට්ටම. භාවිතයේ බොහෝ ගැටලු වලදී, අහඹු විචල්‍යයක් පිළිබඳ සම්පූර්ණ, සම්පූර්ණ විස්තරයක් - බෙදා හැරීමේ නීතිය - එක්කෝ කිසිසේත්ම ලබා ගත නොහැක, නැතහොත් කිසිසේත් අවශ්‍ය නොවේ. මෙම අවස්ථා වලදී, ඒවා සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණ භාවිතා කරමින් අහඹු විචල්‍යයක ආසන්න විස්තරයකට සීමා වේ.
ගණිතමය අපේක්ෂාව බොහෝ විට සසම්භාවී විචල්‍යයක සාමාන්ය අගය ලෙස හැඳින්වේ. අහඹු විචල්‍යයක් විසුරුවා හැරීම එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව වටා අහඹු විචල්‍යයක් විසුරුවා හැරීමේ ලක්ෂණයකි.
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්තියේ යාන්ත්‍රික විග්‍රහයෙන් ප්‍රථමයෙන් ගණිතමය අපේක්ෂාව යන සංකල්පය වෙත ප්‍රවේශ වෙමු. ඒකක ස්කන්ධය x-අක්ෂයේ ලක්ෂ්‍ය අතර බෙදා හැරේවා x1 , x 2 , ..., x n, සහ එක් එක් ද්රව්ය ලක්ෂ්‍යය එයට අනුරූප ස්කන්ධයක් ඇත පි1 , පි 2 , ..., පි n. x-අක්ෂයේ එක් ලක්ෂ්‍යයක් තෝරා ගැනීම අවශ්‍ය වන අතර එමඟින් ඒවායේ ස්කන්ධයන් සැලකිල්ලට ගනිමින් සමස්ත ද්රව්ය ලක්ෂ්‍ය පද්ධතියේ පිහිටීම සංලක්ෂිත වේ. ද්රව්ය ලක්ෂ්‍ය පද්ධතියේ ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය එවැනි ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස ගැනීම ස්වාභාවිකය. මෙය සසම්භාවී විචල්යයේ බරිත සාමාන්යය වේ x, එහි එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ abscissa xමමඅනුරූප සම්භාවිතාවට සමාන "බර" සමඟ ඇතුල් වේ. මෙලෙස ලබාගත් සසම්භාවී විචල්යයේ මධ්‍යන්‍ය අගය xඇය ඇමතුවා ගණිතමය අපේක්ෂාව.
විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව යනු එහි ඇති හැකි සියලුම අගයන්හි නිෂ්පාදනවල එකතුව සහ මෙම අගයන්හි සම්භාවිතාවයි:
උදාහරණ 1ජයග්‍රාහී ලොතරැයියක් සංවිධානය කළා. ජයග්‍රහණ 1000 ක් ඇත, එයින් 400 ක් රුබල් 10 බැගින් වේ. රූබල් 300-20 බැගින් රූබල් 200-100 බැගින්. සහ රූබල් 100 - 200 බැගින්. එක් ටිකට් පතක් මිලදී ගන්නා පුද්ගලයෙකුගේ සාමාන්ය ජයග්‍රහණ කොපමණද?
විසඳුමක්. 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 රූබල් ට සමාන වන මුළු ජයග්‍රහණ ප්රමාණය 1000 කින් (මුළු ජයග්‍රහණ ප්රමාණය) බෙදුවහොත් අපට සාමාන්ය ජයග්‍රහණය සොයාගත හැකිය. එවිට අපි 50000/1000 = 50 rubles. නමුත් සාමාන්ය ලාභය ගණනය කිරීමේ ප්‍රකාශනය පහත ආකාරයෙන් ද නිරූපණය කළ හැක:
අනෙක් අතට, මෙම කොන්දේසි යටතේ, ජයග්‍රහණ ප්රමාණය අහඹු විචල්‍යයක් වන අතර එය රූබල් 10, 20, 100 සහ 200 අගයන් ගත හැකිය. පිළිවෙලින් 0.4 ට සමාන සම්භාවිතාවන් සහිතව; 0.3; 0.2; 0.1 එබැවින්, අපේක්ෂිත සාමාන්ය ගෙවීම එකතුවට සමාන වේඒවා ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව අනුව ජයග්‍රහණවල ප්‍රමාණයේ නිෂ්පාදන.
උදාහරණ 2ප්රකාශකයා ප්රකාශයට පත් කිරීමට තීරණය කළේය නව පොත. ඔහු පොත රුබල් 280 කට විකිණීමට යන අතර එයින් 200 ක් ඔහුට ද 50 ක් පොත් සාප්පුවට ද 30 කතුවරයාට ද දෙනු ලැබේ. පොතක් ප්රකාශයට පත් කිරීමේ පිරිවැය සහ පොතේ නිශ්චිත පිටපත් ප්‍රමාණයක් විකිණීමේ සම්භාවිතාව පිළිබඳ තොරතුරු වගුවේ දැක්වේ.
ප්‍රකාශකයාගේ අපේක්ෂිත ලාභය සොයන්න.
විසඳුමක්. අහඹු විචල්ය "ලාභ" විකිණීමෙන් ලැබෙන ආදායම සහ පිරිවැයේ පිරිවැය අතර වෙනසට සමාන වේ. උදාහරණයක් ලෙස, පොතක පිටපත් 500 ක් විකුණනු ලැබුවහොත්, විකිණීමෙන් ලැබෙන ආදායම 200 * 500 = 100,000 ක් වන අතර ප්‍රකාශනයේ පිරිවැය රුබල් 225,000 කි. මේ අනුව, ප්රකාශකයා රුබල් 125,000 ක අලාභයකට මුහුණ දෙයි. පහත වගුව අහඹු විචල්යයේ අපේක්ෂිත අගයන් සාරාංශ කරයි - ලාභය:
| අංකය | ලාභයක් xමම | සම්භාවිතාව පිමම | xමම පිමම |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| සමස්ත: | 1,00 | 25000 |
මේ අනුව, අපි ප්‍රකාශකයාගේ ලාභයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ලබා ගනිමු:
.
උදාහරණය 3එක පහරකින් පහර දීමට අවස්ථාවක් පි= 0.2. 5 ට සමාන පහර ගණනක ගණිතමය අපේක්ෂාව සපයන ෂෙල් වෙඩි පරිභෝජනය තීරණය කරන්න.
විසඳුමක්. අප මෙතෙක් භාවිතා කළ එම අපේක්ෂා සූත්‍රයෙන්, අපි ප්රකාශ කරමු x- ෂෙල් පරිභෝජනය:
.
උදාහරණය 4අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව නිර්ණය කරන්න xසෑම පහරකින්ම පහර දීමේ සම්භාවිතාව නම්, පහර තුනක් සහිත පහර ගණන පි = 0,4 .
ඉඟිය: අහඹු විචල්‍යයක අගයන්හි සම්භාවිතාව සොයන්න බර්නූලි සූත්රය .
අපේක්ෂා ගුණාංග
ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග සලකා බලන්න.
දේපල 1.නියත අගයක ගණිතමය අපේක්ෂාව මෙම නියතයට සමාන වේ:
දේපල 2.නියත සාධකය අපේක්ෂා ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:
දේපල 3.අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ (වෙනස) ගණිතමය අපේක්ෂාව ඒවායේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ එකතුවට (වෙනස) සමාන වේ:
දේපල 4.අහඹු විචල්‍යවල ගුණිතයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ඒවායේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ:
දේපල 5.අහඹු විචල්යයේ සියලුම අගයන් නම් xඑම සංඛ්යාවෙන් අඩු කිරීම (වැඩිවීම). සිට, එවිට එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව එම සංඛ්යාවෙන් අඩු වේ (වැඩි වේ):
ඔබට ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ට පමණක් සීමා විය නොහැකි විට
බොහෝ අවස්ථාවන්හිදී, ගණිතමය අපේක්ෂාව පමණක් අහඹු විචල්‍යයක් ප්‍රමාණවත් ලෙස සංලක්ෂිත කළ නොහැක.
සසම්භාවී විචල්ය වලට ඉඩ දෙන්න xහා වයිපහත බෙදාහැරීමේ නීති මගින් ලබා දී ඇත:
| අර්ථය x | සම්භාවිතාව |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| අර්ථය වයි | සම්භාවිතාව |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
මෙම ප්‍රමාණවල ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සමාන වේ - ශුන්යයට සමාන වේ:
කෙසේ වෙතත්, ඔවුන්ගේ බෙදා හැරීම වෙනස් වේ. අහඹු අගය xගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් හා අහඹු විචල්‍යයට වඩා තරමක් වෙනස් අගයන් පමණක් ගත හැක වයිගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් සැලකිය යුතු ලෙස බැහැර වන අගයන් ගත හැක. සමාන උදාහරණයක්: සාමාන්ය වැටුප විනිශ්චය කිරීමට හැකි නොවේ විශිෂ්ඨ ගුරුත්වයඉහළ සහ අඩු වැටුප් සහිත කම්කරුවන්. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් කෙනෙකුට අවම වශයෙන් සාමාන්‍යයෙන් සිදුවිය හැකි අපගමනයන් විනිශ්චය කළ නොහැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සසම්භාවී විචල්‍යයක විචලනය සොයා ගත යුතුය.
විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් විසුරුවා හැරීම
විසුරුමවිවික්ත අහඹු විචල්යය xඑය ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් එහි අපගමනය වන චතුරස්‍රයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ලෙස හැඳින්වේ.
අහඹු විචල්‍යයක සම්මත අපගමනය xකියලා අංක ගණිතමය අගයඑහි විචලනයේ වර්ගමූලය:
.
උදාහරණ 5අහඹු විචල්‍යවල විචල්‍යයන් සහ සම්මත අපගමනයන් ගණනය කරන්න xහා වයි, බෙදාහැරීමේ නීති ඉහත වගු වල දක්වා ඇත.
විසඳුමක්. අහඹු විචල්‍යවල ගණිතමය අපේක්ෂාවන් xහා වයි, ඉහත සොයාගත් පරිදි, ශුන්යයට සමාන වේ. සඳහා විසරණ සූත්රය අනුව ඊ(x)=ඊ(වයි)=0 අපට ලැබෙන්නේ:
එවිට අහඹු විචල්‍යවල සම්මත අපගමනය xහා වයිපිහිටුවීම
.
මේ අනුව, එකම ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සමඟ, අහඹු විචල්යයේ විචලනය xඉතා කුඩා හා අහඹු වයි- සැලකිය යුතු. මෙය ඔවුන්ගේ බෙදා හැරීමේ වෙනසෙහි ප්රතිවිපාකයකි.
උදාහරණය 6ආයෝජකයාට විකල්ප ආයෝජන ව්‍යාපෘති 4ක් ඇත. වගුව මෙම ව්‍යාපෘතිවල අපේක්ෂිත ලාභය පිළිබඳ දත්ත අනුරූප සම්භාවිතාව සමඟ සාරාංශ කරයි.
| ව්යාපෘතිය 1 | ව්යාපෘතිය 2 | ව්යාපෘතිය 3 | ව්යාපෘතිය 4 |
| 500, පී=1 | 1000, පී=0,5 | 500, පී=0,5 | 500, පී=0,5 |
| 0, පී=0,5 | 1000, පී=0,25 | 10500, පී=0,25 | |
| 0, පී=0,25 | 9500, පී=0,25 |
එක් එක් විකල්පය සඳහා ගණිතමය අපේක්ෂාව, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය සොයන්න.
විසඳුමක්. 3 වන විකල්පය සඳහා මෙම ප්‍රමාණ ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වමු:
වගුව සියලු විකල්ප සඳහා සොයාගත් අගයන් සාරාංශ කරයි.
සියලුම විකල්ප එකම ගණිතමය අපේක්ෂාවක් ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ දිගුකාලීනව සෑම කෙනෙකුටම එකම ආදායමක් ඇති බවයි. සම්මත අපගමනය අවදානම් මිනුමක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක - එය විශාල වන තරමට ආයෝජනයේ අවදානම වැඩි වේ. වැඩි අවදානමක් අවශ්‍ය නොවන ආයෝජකයෙකු ව්‍යාපෘති 1 තෝරාගනු ලබන්නේ එහි කුඩාම සම්මත අපගමනය (0) ඇති බැවිනි. ආයෝජකයා කෙටි කාලයක් තුළ අවදානම සහ ඉහළ ප්‍රතිලාභ ලබා ගැනීමට කැමති නම්, ඔහු විශාලතම ව්යාපෘතිය තෝරා ගනු ඇත සම්මත අපගමනය- ව්යාපෘතිය 4.
විසරණ ගුණාංග
අපි විසරණයේ ගුණාංග ඉදිරිපත් කරමු.
දේපල 1.නියත අගයක විසුරුම ශුන්‍ය වේ:
දේපල 2.නියත සාධකය වර්ග කිරීම මගින් විසරණ ලකුණෙන් පිටතට ගත හැක:
.
දේපල 3.සසම්භාවී විචල්‍යයක විචල්යය මෙම අගයේ වර්ගයෙහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට සමාන වේ, එයින් අගයෙහිම ගණිතමය අපේක්ෂාවේ වර්ගය අඩු කරනු ලැබේ:
,
කොහෙද 
.
දේපල 4.සසම්භාවී විචල්‍යවල එකතුවේ (වෙනස) විචලනය ඒවායේ විචල්‍යයන්ගේ එකතුවට (වෙනස) සමාන වේ:
උදාහරණ 7විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක් බව දන්නා කරුණකි xඅගයන් දෙකක් පමණක් ගනී: −3 සහ 7. ඊට අමතරව, ගණිතමය අපේක්ෂාව දනී: ඊ(x) = 4 . විවික්ත අහඹු විචල්‍යයක විචලනය සොයන්න.
විසඳුමක්. මගින් දක්වන්න පිඅහඹු විචල්‍යයක් අගයක් ගන්නා සම්භාවිතාව x1 = −3 . එවිට අගයේ සම්භාවිතාව x2 = 7 1 - වනු ඇත පි. ගණිතමය අපේක්ෂාව සඳහා සමීකරණය ව්‍යුත්පන්න කරමු:
ඊ(x) = x 1 පි + x 2 (1 − පි) = −3පි + 7(1 − පි) = 4 ,
අපට සම්භාවිතාව ලැබෙන තැන: පි= 0.3 සහ 1 - පි = 0,7 .
අහඹු විචල්‍යයක් බෙදා හැරීමේ නීතිය:
| x | −3 | 7 |
| පි | 0,3 | 0,7 |
අපි මෙම අහඹු විචල්යයේ විචලනය ගණනය කරන්නේ විචලනයේ 3 ගුණයෙන් සූත්රය භාවිතා කරමිනි:
ඩී(x) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව ඔබම සොයා ගන්න, ඉන්පසු විසඳුම බලන්න
උදාහරණ 8විවික්ත අහඹු විචල්යය xඅගයන් දෙකක් පමණක් ගනී. එය 0.4 ක සම්භාවිතාවක් සහිත 3 හි විශාල අගය ගනී. මීට අමතරව, සසම්භාවී විචල්යයේ විචලනය දනී ඩී(x) = 6 . අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න.
උදාහරණ 9බඳුනක සුදු බෝල 6 ක් සහ කළු බෝල 4 ක් අඩංගු වේ. බඳුනෙන් බෝල 3 ක් ගනු ලැබේ. ඇද ගන්නා ලද බෝල අතර ඇති සුදු බෝල ගණන විවික්ත අහඹු විචල්‍යයකි x. මෙම අහඹු විචල්යයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය සොයන්න.
විසඳුමක්. අහඹු අගය x 0, 1, 2, 3 අගයන් ගත හැක. අනුරූප සම්භාවිතාව ගණනය කළ හැක සම්භාවිතා ගුණ කිරීමේ රීතිය. අහඹු විචල්‍යයක් බෙදා හැරීමේ නීතිය:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| පි | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
එබැවින් මෙම අහඹු විචල්යයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව:
එම්(x) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
දී ඇති අහඹු විචල්‍යයක විචලනය වන්නේ:
ඩී(x) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විසුරුවා හැරීම
අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, ගණිතමය අපේක්ෂාවේ යාන්ත්‍රික අර්ථ නිරූපණය එකම අර්ථය රඳවා ගනු ඇත: ඝනත්වය සහිත x-අක්ෂයේ අඛණ්ඩව බෙදා හරින ලද ඒකක ස්කන්ධයක් සඳහා ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය f(x) විවික්ත අහඹු විචල්‍යයකට ප්‍රතිවිරුද්ධව, ශ්‍රිත තර්කය සඳහා xමමහදිසියේ වෙනස් වේ, අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක් සඳහා, තර්කය අඛණ්ඩව වෙනස් වේ. නමුත් අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව එහි මධ්‍යන්‍ය අගයට ද සම්බන්ධ වේ.
අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචල්‍යතාවය සොයා ගැනීමට, ඔබ නිශ්චිත අනුකලනයක් සොයා ගත යුතුය. . අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයක ඝනත්ව ශ්‍රිතයක් ලබා දෙන්නේ නම්, එය සෘජුවම අනුකලනයට ඇතුල් වේ. සම්භාවිතා බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයක් ලබා දෙන්නේ නම්, එය අවකලනය කිරීමෙන්, ඔබ ඝනත්ව ශ්‍රිතය සොයා ගත යුතුය.
අඛණ්ඩ සසම්භාවී විචල්‍යයක විය හැකි සියලු අගයන්හි ගණිතමය සාමාන්යය එහි ලෙස හැඳින්වේ ගණිතමය අපේක්ෂාව, මගින් හෝ .
සංඛ්‍යාලේඛනවල විචලනය පිළිබඳ ප්‍රධාන සාමාන්යකරණ දර්ශක වන්නේ විචලනයන් සහ මධ්‍යන්‍යයන් ය සම්මත අපගමනය.
විසුරුම එය අංක ගණිත මධ්යන්යය මුළු මධ්‍යන්‍යයෙන් එක් එක් විශේෂාංග අගයේ වර්ග අපගමනය. විචලනය සාමාන්‍යයෙන් අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය වර්ග ලෙස හඳුන්වන අතර එය 2 ලෙස දැක්වේ. ආරම්භක දත්ත මත පදනම්ව, විචලනය සරල හෝ බර අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් ගණනය කළ හැක:
බර නොකළ (සරල) විසරණය;
බර සහිත විචලනය.
සම්මත අපගමනය යනු නිරපේක්ෂ මානයන්හි සාමාන්යකරණ ලක්ෂණයකි වෙනස්කම් සමස්තයක් වශයෙන් ලක්ෂණය. එය ලකුණ (මීටර, ටොන්, සියයට, හෙක්ටයාර්, ආදිය) ලෙස එකම ඒකක වලින් ප්රකාශ වේ.
සම්මත අපගමනය යනු විචලනයේ වර්ගමූලය වන අතර එය මගින් දැක්වේ:
බර නොකළ සම්මත අපගමනය;
බර සම්මත අපගමනය.
සම්මත අපගමනය මධ්යන්යයේ විශ්වසනීයත්වයේ මිනුමක් වේ. සම්මත අපගමනය කුඩා වන තරමට, අංක ගණිත මධ්යන්යය වඩා හොඳින් නියෝජනය වන මුළු ජනගහනයම පිළිබිඹු කරයි.
සම්මත අපගමනය ගණනය කිරීම විචලනය ගණනය කිරීම මගින් පූර්ව වේ.
බර විචලනය ගණනය කිරීමේ ක්රියා පටිපාටිය පහත පරිදි වේ:
1) ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය තීරණය කරන්න:
2) සාමාන්‍යයෙන් විකල්පවල අපගමනය ගණනය කරන්න:
3) මධ්‍යන්‍යයෙන් එක් එක් විකල්පයේ අපගමනය වර්ග කරන්න:
4) වර්ග අපගමනය බරින් (සංඛ්‍යාත) ගුණ කරන්න:
5) ලැබුණු කෘති සාරාංශ කරන්න:
6) ලැබෙන මුදල බර එකතුවෙන් බෙදනු ලැබේ:
උදාහරණය 2.1
ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය ගණනය කරන්න:
මධ්යන්යය සහ ඒවායේ වර්ග වලින් බැහැරවීම් වල අගයන් වගුවේ දක්වා ඇත. අපි විචලනය නිර්වචනය කරමු:
සම්මත අපගමනය සමාන වනු ඇත:
මූලාශ්‍ර දත්ත අන්තරයක් ලෙස ඉදිරිපත් කරන්නේ නම් බෙදාහැරීමේ මාලාව , පසුව ඔබ මුලින්ම විශේෂාංගයේ විවික්ත අගය තීරණය කළ යුතු අතර, පසුව විස්තර කර ඇති ක්රමය යොදන්න.
උදාහරණය 2.2
තිරිඟු අස්වැන්න අනුව සාමූහික ගොවිපලෙහි වපුරන ලද ප්රදේශය බෙදා හැරීම පිළිබඳ දත්ත මත විරාම ශ්රේණි සඳහා විචලනය ගණනය කිරීම අපි පෙන්වමු.
අංක ගණිත මධ්යන්යය වන්නේ:
අපි විචලනය ගණනය කරමු:
6.3 තනි දත්ත සඳහා සූත්රය අනුව විසරණය ගණනය කිරීම
ගණනය කිරීමේ තාක්ෂණය විසුරුම සංකීර්ණ, සහ විශාල අගයන් සඳහා විකල්ප සහ සංඛ්‍යාත අපහසු විය හැක. විසරණ ගුණාංග භාවිතයෙන් ගණනය කිරීම් සරල කළ හැක.
විසුරුම පහත ගුණාංග ඇත.
1. විචල්ය ලක්ෂණයක බර (සංඛ්‍යාත) නිශ්චිත වාර ගණනකින් අඩු වීම හෝ වැඩි වීම විසරණය වෙනස් නොවේ.
2. එක් එක් විශේෂාංග අගය එකම නියත අගයකින් අඩු කිරීම හෝ වැඩි කිරීම නමුත්විසරණය වෙනස් නොවේ.
3. එක් එක් විශේෂාංග අගය නිශ්චිත වාර ගණනකින් අඩු කිරීම හෝ වැඩි කිරීම කේපිළිවෙළින් විචලනය අඩු කරයි හෝ වැඩි කරයි කේ 2 වතාවක් සම්මත අපගමනය තුළ කේවරක්.
4. අත්තනෝමතික අගයකට සාපේක්ෂව ලක්ෂණයක විචලනය සාමාන්ය සහ අත්තනෝමතික අගයන් අතර වෙනසෙහි වර්ගයෙන් අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සාපේක්ෂව විචලනයට වඩා සෑම විටම වැඩි වේ:
අ නමුත් 0, එවිට අපි පහත සමානාත්මතාවයට පැමිණෙමු:
එනම්, ලක්ෂණයක විචලනය ලක්ෂණ අගයන්හි මධ්‍යන්‍ය වර්ග සහ මධ්යන්යයේ වර්ග අතර වෙනසට සමාන වේ.
විචලනය ගණනය කිරීමේදී සෑම දේපලක්ම තනිවම හෝ වෙනත් අය සමඟ ඒකාබද්ධව භාවිතා කළ හැකිය.
විචලනය ගණනය කිරීමේ ක්රියා පටිපාටිය සරලයි:
1) තීරණය කරන්න අංක ගණිත මධ්යන්යය :
2) අංක ගණිත මධ්යන්යය වර්ග කරන්න:
3) ශ්‍රේණියේ එක් එක් ප්‍රභේදයේ අපගමනය වර්ග කරන්න:
x මම 2 .
4) විකල්පවල වර්ග එකතුව සොයන්න:
5) විකල්ප වර්ගවල එකතුව ඒවායේ අංකයෙන් බෙදන්න, එනම් සාමාන්ය වර්ග තීරණය කරන්න:
6) ලක්ෂණයේ මධ්‍යන්‍ය වර්ග සහ මධ්යන්යයේ වර්ග අතර වෙනස තීරණය කරන්න:
උදාහරණ 3.1කම්කරුවන්ගේ ඵලදායිතාව පිළිබඳ පහත දත්ත අප සතුව ඇත:
පහත ගණනය කිරීම් සිදු කරමු:
